Caderno do Professor Matemática 2009 3ªSérie EM Volume 3

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caderno do
volume 3 - 2009
PROFESSOR
3a SÉRIE M
AT
EM
ÁT
IC
A
ensino médio
Governador
José Serra
Vice-Governador
Alberto Goldman
Secretário da Educação
Paulo Renato Souza
Secretário-Adjunto
Guilherme Bueno de Camargo
Chefe de Gabinete
Fernando Padula
Coordenadora de Estudos e Normas
Pedagógicas
Valéria de Souza
Coordenador de Ensino da Região
Metropolitana da Grande São Paulo
José Benedito de Oliveira
Coordenador de Ensino do Interior
Rubens Antonio Mandetta
Presidente da Fundação para o
Desenvolvimento da Educação – FDE
Fábio Bonini Simões de Lima
EXECUÇÃO
Coordenação Geral
Maria Inês Fini
Concepção
Guiomar Namo de Mello
Lino de Macedo
Luis Carlos de Menezes
Maria Inês Fini
Ruy Berger
GESTÃO
Fundação Carlos Alberto Vanzolini
Presidente do Conselho Curador:
Antonio Rafael Namur Muscat
Presidente da Diretoria Executiva:
Mauro Zilbovicius
Diretor de Gestão de Tecnologias 
aplicadas à Educação:
Guilherme Ary Plonski
Coordenadoras Executivas de Projetos: 
Beatriz Scavazza e Angela Sprenger
COORDENAÇÃO TÉCNICA
CENP – Coordenadoria de Estudos e Normas 
Pedagógicas
São Paulo (Estado) Secretaria da Educação.
 Caderno do professor: matemática, ensino médio - 3ª- série, volume 3 / 
Secretaria da Educação; coordenação geral, Maria Inês Fini; equipe, Carlos Eduardo 
de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Nílson José Machado, Roberto 
Perides Moisés, Walter Spinelli.– São Paulo : SEE, 2009.
 ISBN 978-85-7849-362-2
 1. Matemática 2. Ensino Médio 3. Estudo e ensino I. Fini, Maria Inês. II. Granja, 
Carlos Eduardo de Souza Campos. III. Mello, José Luiz Pastore. IV. Machado, Nílson 
José. V. Moisés, Roberto Perides. VI. Spinelli, Walter. VII. Título.
 CDU: 373.5:51
S239c
A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo autoriza a reprodução do conteúdo do material de sua titularidade pelas demais 
secretarias de educação do país, desde que mantida a integridade da obra e dos créditos, ressaltando que direitos autorais protegi-
dos* deverão ser diretamente negociados com seus próprios titulares, sob pena de infração aos artigos da Lei nº 9.610/98.
* Constituem “direitos autorais protegidos” todas e quaisquer obras de terceiros reproduzidas no material da SEE-SP que não 
estejam em domínio público nos termos do artigo 41 da Lei de Direitos Autorais.
Catalogação na Fonte: Centro de Referência em Educação Mario Covas
Coordenação do Desenvolvimento dos 
Conteúdos Programáticos e dos Cadernos dos 
Professores
Ghisleine Trigo Silveira
AUTORES
Ciências Humanas e suas Tecnologias
Filosofia: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton 
Luís Martins e Renê José Trentin Silveira
Geografia: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu 
Oliva, Raul Borges Guimarães, Regina Araujo, 
Regina Célia Bega dos Santos e Sérgio Adas
História: Paulo Miceli, Diego López Silva, 
Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e 
Raquel dos Santos Funari
Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza 
Martins, Marcelo Santos Masset Lacombe, 
Melissa de Mattos Pimenta e Stella Christina 
Schrijnemaekers 
Ciências da Natureza e suas Tecnologias
Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo 
Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene 
Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta 
Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar 
Santana, Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo 
Venturoso Mendes da Silveira e Solange Soares 
de Camargo
Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina 
Leite, João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto, 
Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida 
Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria 
Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo 
Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro, 
Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão, 
Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume
Física: Luis Carlos de Menezes, Estevam 
Rouxinol, Guilherme Brockington, Ivã Gurgel, Luís 
Paulo de Carvalho Piassi, Marcelo de Carvalho 
Bonetti, Maurício Pietrocola Pinto de Oliveira, 
Maxwell Roger da Purificação Siqueira, Sonia 
Salem e Yassuko Hosoume
Química: Maria Eunice Ribeiro Marcondes, 
Denilse Morais Zambom, Fabio Luiz de Souza, 
Hebe Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valença de Sousa 
Santos, Luciane Hiromi Akahoshi, Maria Fernanda 
Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidião
Linguagens, Códigos e suas Tecnologias
Arte: Gisa Picosque, Mirian Celeste Martins, 
Geraldo de Oliveira Suzigan, Jéssica Mami Makino 
e Sayonara Pereira
Educação Física: Adalberto dos Santos Souza, 
Jocimar Daolio, Luciana Venâncio, Luiz Sanches 
Neto, Mauro Betti e Sérgio Roberto Silveira
LEM – Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges, Alzira 
da Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini Rodrigues, 
Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles Fidalgo
Língua Portuguesa: Alice Vieira, Débora Mallet 
Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar, 
José Luís Marques López Landeira e João Henrique 
Nogueira Mateos
Matemática
Matemática: Nílson José Machado, Carlos 
Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore 
Mello, Roberto Perides Moisés, Rogério Ferreira da 
Fonseca, Ruy César Pietropaolo e Walter Spinelli
Caderno do Gestor
Lino de Macedo, Maria Eliza Fini e 
Zuleika de Felice Murrie
Equipe de Produção
Coordenação Executiva: Beatriz Scavazza
Assessores: Alex Barros, Beatriz Blay, Carla de Meira 
Leite, Eliane Yambanis, Heloisa Amaral Dias de 
Oliveira, José Carlos Augusto, Luiza Christov, Maria 
Eloisa Pires Tavares, Paulo Eduardo Mendes, Paulo 
Roberto da Cunha, Pepita Prata, Renata Elsa Stark, 
Solange Wagner Locatelli e Vanessa Dias Moretti
Equipe Editorial
Coordenação Executiva: Angela Sprenger
Assessores: Denise Blanes e Luis Márcio Barbosa
Projeto Editorial: Zuleika de Felice Murrie
Edição e Produção Editorial: Edições Jogo de 
Amarelinha, Conexão Editorial e Occy Design 
(projeto gráfico)
APOIO
FDE – Fundação para o Desenvolvimento da 
Educação
CTP, Impressão e Acabamento
Esdeva Indústria Gráfica
Caras professoras e caros professores,
Tenho a grata satisfação de entregar-lhes o volume 3 dos Cadernos do Professor.
Vocês constatarão que as excelentes críticas e sugestões recebidas dos profis-
sionais da rede estão incorporadas ao novo texto do currículo. A partir dessas 
mesmas sugestões, também organizamos e produzimos os Cadernos do Aluno.
Recebemos informações constantes acerca do grande esforço que tem caracte-
rizado as ações de professoras, professores e especialistas de nossa rede para 
promover mais aprendizagem aos alunos.
A equipe da Secretaria segue muito motivada para apoiá-los, mobilizando 
todos os recursos possíveis para garantir-lhes melhores condições de trabalho.
Contamos mais uma vez com a colaboração de vocês.
Paulo Renato Souza
Secretário da Educação do Estado de São Paulo
São Paulo faz escola – Uma Proposta Curricular para o Estado 5
Ficha do Caderno 7
Orientação geral sobre os Cadernos 8
Situações de Aprendizagem 12
Situação de Aprendizagem 1 – Grandezas, interdependência: um panorama 
sobre funções 12
Situação de Aprendizagem 2 – Construção de gráficos: um olhar “funcional” 21
Situação de Aprendizagem 3 – As três formas básicas de crescimento ou 
decrescimento: a variação e a variação da variação 27
Situação de Aprendizagem 4 – Os fenômenos naturais e o crescimento ou 
decrescimento exponencial: o número ℮ 37
Orientações para Recuperação 50
Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para a 
compreensão do tema 52
Considerações finais 53
Conteúdos de Matemática por série/bimestre do Ensino Médio 54
SUMáRiO
5
SãO PAUlO FAz ESCOlA – UMA PROPOStA 
CURRiCUlAR PARA O EStAdO
Prezado(a) professor(a),
É com muita satisfação que lhe entregamos mais um volume dos Cadernos do Professor, 
parte integrante da Proposta Curricularde 5ª- a 8ª- séries do Ensino Fundamental – Ciclo II e 
do Ensino Médio do Estado de São Paulo. É sempre oportuno relembrar que esta é a nova 
versão, que traz também a sua autoria, uma vez que inclui as sugestões e críticas recebidas 
após a implantação da Proposta.
É também necessário relembrar que os Cadernos do Professor espelharam-se, de forma 
objetiva, na Base Curricular, referência comum a todas as escolas da rede estadual, e deram 
origem à produção dos Cadernos dos Alunos, justa reivindicação de professores, pais e famí-
lias para que nossas crianças e jovens possuíssem registros acadêmicos pessoais mais organi-
zados e para que o tempo de trabalho em sala de aula pudesse ser melhor aproveitado.
Já temos as primeiras notícias sobre o sucesso do uso dos dois Cadernos em sala de 
aula. Este mérito é, sem dúvida, de todos os profissionais da nossa rede, especialmente seu, 
professor!
O objetivo dos Cadernos sempre será o de apoiar os professores em suas práticas de 
sala de aula. Podemos dizer que este objetivo está sendo alcançado, porque os professores 
da rede pública do Estado de São Paulo fizeram dos Cadernos um instrumento pedagógico 
com bons resultados.
Ao entregar a você estes novos volumes, reiteramos nossa confiança no seu trabalho e 
contamos mais uma vez com seu entusiasmo e dedicação para que todas as crianças e jo-
vens da nossa rede possam ter acesso a uma educação básica de qualidade cada vez maior.
Maria Inês Fini
Coordenadora Geral
Projeto São Paulo Faz Escola
6
7
FiChA dO CAdERnO
Funções como relações de interdependência: qualidades, 
gráficos, transformações, variações 
 nome da disciplina: Matemática
 área: Matemática
 Etapa da educação básica: Ensino Médio
 Série: 3a
 Volume: 3
 temas e conteúdos: A ideia de função: um panorama de exemplos 
 Construção e análise de gráficos de funções 
 Análise da variação das funções: crescimento, 
decrescimento, taxas 
8
ORiEntAçãO GERAl SObRE OS CAdERnOS 
Os temas escolhidos para compor o conteú- 
do disciplinar de cada bimestre não se afas-
tam, de maneira geral, do que é usualmente 
ensinado nas escolas, ou do que é apresenta-
do pelos livros didáticos. As inovações pre-
tendidas referem-se à forma de abordagem 
desses temas, sugerida ao longo dos Cader-
nos de cada um dos bimestres. Em tal abor-
dagem, busca-se evidenciar os princípios 
norteadores do presente currículo, desta-
cando-se a contextualização dos conteúdos, 
as competências pessoais envolvidas, espe-
cialmente as relacionadas com a leitura e a 
escrita matemática, bem como os elementos 
culturais internos e externos à Matemática.
Em todos os Cadernos, os conteúdos estão 
organizados em oito unidades de extensões 
aproximadamente iguais, que podem corres-
ponder a oito semanas de trabalho letivo. De 
acordo com o número de aulas disponíveis por 
semana, o professor explorará cada assunto 
com mais ou menos aprofundamento. A crité-
rio do professor, em cada situação específica, 
o tema correspondente a uma das unidades 
pode ser estendido para mais de uma semana, 
enquanto o de outra unidade pode ser tratado 
de modo mais simplificado. 
É desejável que o professor tente con-
templar todas as oito unidades, uma vez 
que, juntas, compõem um panorama do 
conteúdo do bimestre e, muitas vezes, uma 
das unidades contribui para a compreensão 
das outras.
Insistimos, no entanto, no fato de que so-
mente o professor, em sua circunstância parti-
cular e levando em consideração seu interesse 
e o dos alunos pelos temas apresentados, pode 
determinar adequadamente quanto tempo de-
dicar a cada uma das unidades. 
Ao longo dos Cadernos, são apresentadas, 
além de uma visão panorâmica do conteúdo do 
bimestre, quatro Situações de Aprendizagem 
(1, 2, 3 e 4), que pretendem ilustrar a forma 
de abordagem sugerida, instrumentalizando 
o professor para sua ação em sala de aula. 
As situações são independentes e podem ser 
exploradas pelo professor com mais ou me-
nos intensidade, segundo o seu interesse e da 
sua classe. Naturalmente, em razão das limi-
tações no espaço dos Cadernos, nem todas 
as unidades foram contempladas com Situa-
ções de Aprendizagem, mas a expectativa é 
de que a forma de abordagem dos temas seja 
explicitada nas atividades oferecidas.
São apresentados também em cada Cader-
no, sempre que possível, materiais disponíveis 
(textos, softwares, sites, vídeos, entre outros) 
em sintonia com a forma de abordagem pro-
posta que podem ser utilizados pelo professor 
para o enriquecimento de suas aulas. 
Compõem o Caderno ainda algumas con-
siderações sobre a avaliação a ser realizada, 
bem como o conteúdo considerado indispen-
sável ao desenvolvimento das competências 
esperadas no presente bimestre em cada Situa- 
ção de Aprendizagem.
9
Matemática – 3a série – Volume 3
Conteúdos básicos do bimestre
O conteúdo básico do 3o bimestre da 
3a série é a ideia de função, que é a tradução, 
em linguagem matemática, da relação de in-
terdependência entre duas ou mais grande-
zas. Tal ideia já foi apresentada aos alunos 
anteriormente em diversas situações e seria 
interessante uma breve retomada de tais ocor-
rências por parte do professor, antes de iniciar 
os trabalhos deste bimestre.
O fundamento dessa noção pode ser en-
contrado na 6a série do Ensino Fundamen-
tal, no estudo da proporcionalidade direta 
ou inversa: quando duas grandezas são pro-
porcionais, o valor de uma delas é deter-
minado pelo valor da outra, ou seja, se y é 
proporcional a x, para cada valor de x existe 
em correspondência um e somente um valor 
para y, ou seja, y é uma função de x. No caso 
da proporcionalidade direta, expressamos tal 
fato escrevendo: y = kx; na proporcionali-
dade inversa, traduzimos a interdependência 
escrevendo y = kx , sendo k uma constante, 
nos dois casos. 
Na 8a série, tal noção foi explorada um 
pouco mais, estudando-se as funções de 
1o grau y = ax + b, que sempre traduzem uma 
proporcionalidade (entre y – b e x), e as fun-
ções de 2o grau y = ax2 + bx + c, que sempre 
traduzem uma proporcionalidade entre uma 
grandeza e o quadrado de outra. De fato, 
uma vez que sempre podemos escrever o tri-
nômio de 2o grau na forma y = k(x – u)2 + v, 
podemos dizer que y – v é diretamente pro-
porcional a (x – u)2 .
Na 1a série do Ensino Médio, retomamos 
o estudo das funções, procurando caracteri-
zar melhor a situação de interdependência 
entre duas grandezas, uma das quais pode 
variar livremente – é a variável independen-
te – sendo que a outra tem o seu valor deter-
minado pelo valor da primeira – é a variável 
dependente. Assim, sendo x a variável inde-
pendente, se a cada valor de x corresponde 
um único valor da variável dependente y, 
então dizemos que y é uma função de x e es-
crevemos y = f(x). Nessa perspectiva, foram 
estudadas as funções de 1o grau f(x) = ax + b 
e a de 2o grau f(x) = ax2 + bx + c. Além disso, 
foram estudados dois tipos especiais de fun-
ção, em que uma das variáveis aparece como 
expoente, como nos casos em que y = ax ou 
x = ay, sendo a uma constante positiva e di-
ferente de 1. No primeiro caso, em que a 
variável independente está no expoente, te-
mos a função exponencial f(x) = ax e, no se-
gundo, em que a variável dependente está no 
expoente, escrevemos f(x) = logax, e temos a 
função logarítmica. Ambas as funções são 
especialmente importantes para representar 
matematicamente fenômenos que não envol-
vem proporcionalidade direta ou inversa entre 
as grandezas, mas em que uma delas cresce 
ou decresce exponencialmente com a outra: 
crescimento de populações, juros compostos,desintegração radioativa são exemplos de 
fenômenos desse tipo. 
Na 2a série do Ensino Médio, fomos apre-
sentados a um novo tipo de função, espe-
cialmente adequada para a representação de 
fenômenos periódicos: as funções trigonomé-
tricas f(x) = senx, g(x) = cosx, entre outras. 
10
Em tais funções, embora os valores de x pos-
sam variar livremente ao longo de toda a reta 
real, os valores correspondentes de f(x) repe-
tem-se periodicamente, situando-se entre os 
extremos 1 e –1. 
Em todas essas situações, foram apre-
sentadas certas qualidades das funções em 
questão, sobretudo as associadas aos res-
pectivos gráficos e relativas ao crescimen-
to ou decrescimento, bem como à eventual 
existência de valores máximos ou mínimos, 
por exemplo. A partir de agora, serão explo-
radas de modo um pouco mais sistematizado 
as qualidades / características das funções já 
estudadas em séries anteriores, ampliando-se 
as possibilidades de construção de gráficos 
e da compreensão das formas básicas de 
crescimento ou decrescimento. Com isso, a 
possibilidade de utilização de funções para 
compreensão de fenômenos da realidade 
concreta será ampliada, e os alunos pode-
rão apreciar com mais nitidez a riqueza da 
linguagem das funções. 
Para a organização dos trabalhos ao longo 
do bimestre, propomos a seguinte estrutura:
 Nas três primeiras unidades, serão apre- f
sentadas as funções já estudadas em sé-
ries anteriores (funções de 1o e 2o graus, 
funções polinomiais, funções exponencial 
e logarítmica, funções trigonométricas), 
tendo em vista não somente a recorda-
ção de suas principais qualidades, mas 
também a construção de um panorama 
comparativo das relações de interdepen-
dência já conhecidas (Situação de Apren-
dizagem 1 – Grandezas, interdependência: 
um panorama sobre funções).
 Nas duas unidades seguintes, serão explo- f
rados especialmente os recursos para a 
construção de gráficos envolvendo as fun-
ções apresentadas nas três primeiras uni-
dades, incluindo as transformações que 
se podem realizar sobre cada uma delas: 
composição, translações, etc. (Situação de 
Aprendizagem 2 – Construção de gráficos: 
um olhar “funcional”).
 Nas três últimas unidades, buscar-se-á f
caracterizar as diferentes formas de cres-
cimento ou decrescimento, as taxas de va-
riação e suas relações com as concavidades 
(as inflexões). Ainda que a abordagem seja 
essencialmente qualitativa, serão calcula-
dos os valores das taxas em alguns exem-
plos simples (Situação de Aprendizagem 3 
– As três formas básicas de crescimento ou 
decrescimento: a variação e a variação da 
variação). Será apresentada ainda uma re-
trospectiva das funções das unidades ante-
riores, tendo em vista um estudo simples 
do crescimento, do decrescimento e das 
taxas de variação, à guisa de conclusão 
(Situação de Aprendizagem 4 – Os fenôme-
nos naturais e o crescimento ou decresci-
mento exponencial: o número ℮).
11
Matemática – 3a série – Volume 3
Quadro geral de conteúdos do 3o bimestre da 3a série do Ensino Médio
Unidade 1 – A ideia de função – Da proporcionalidade às funções polinomiais. 
Unidade 2 – Variável no expoente – Funções exponencial e logarítmica.
Unidade 3 – Fenômenos periódicos e funções trigonométricas.
Unidade 4 – Construção de gráficos – Em vez de “ponto a ponto”, um olhar “funcional”.
Unidade 5 – Funções e transformações: composições, translações, inversões.
Unidade 6 – Formas básicas de crescimento e decrescimento – Taxas de variação e concavi-
dade; polinômios.
Unidade 7 – O crescimento exponencial e a função f(x) = ℮x.
Unidade 8 – Exercícios sobre funções, incluindo gráficos, taxas de variação, concavidade, 
crescimento exponencial.
12
SitUAçõES dE APREndizAGEM
SITuAçãO DE APRENDIzAGEM 1 
GRANDEzAS, INTERDEPENDêNCIA: uM PANORAMA 
SObRE FuNçõES
Muitas relações de interdependência entre 
grandezas já terão sido estudadas pelos alu-
nos até o presente bimestre, desde as situações 
que envolviam grandezas proporcionais até 
aquelas que consideravam o crescimento ou o 
decrescimento exponencial, ou ainda as que se 
referiam a fenômenos periódicos, em que os 
valores de uma grandeza repetem-se capricho-
samente a cada novo período. 
Nosso objetivo agora é recordar tais temas, 
munindo-os de uma linguagem e de recursos 
mais amplos, ou seja, abordando tais interde-
pendências como funções. Ao mesmo tempo, 
procuraremos compor um panorama das funções 
até aqui estudadas, destacando suas qualidades 
essenciais e fazendo com que colaborem mutua-
mente, favorecendo uma compreensão mais 
ampla de múltiplos fenômenos da realidade. 
As competências básicas – expressão, com-
preensão, contextualização, argumentação, 
decisão – estarão presentes continuamente ao 
longo das atividades previstas, uma vez que, 
como já se afirmou anteriormente, buscamos 
com as funções uma linguagem adequada 
para compreender e expressar fenômenos 
de diferentes tipos, praticando efetivamente 
o movimento de apreender um contexto e 
representá-lo por meio da linguagem mate-
mática, tendo sempre como meta a argumen-
tação e a tomada de decisões em situações 
concretas. 
Sugere-se ao professor que utilize duas se-
manas na construção do panorama sobre o 
estudo das funções já realizado até o presente 
momento nas séries anteriores.
tempo previsto: 2 semanas.
Conteúdos e temas: panorama/resumo sobre funções de 1o e 2o graus, funções exponencial 
e logarítmica, funções trigonométricas, com a apresentação de seus gráficos em situações 
simples e de suas propriedades fundamentais.
Competências e habilidades: expressar e compreender fenômenos de diferentes tipos por meio 
da linguagem matemática, especificamente por meio da representação de funções; argumentar 
e tomar decisões na resolução de situações-problema vinculadas a fenômenos da realidade.
Estratégias: apresentação, de forma sintética, dos conteúdos e temas, com destaque para 
a ideia de função como uma especial situação de interdependência; exploração de alguns 
exercícios exemplares dos vários tipos de função em estudo.
13
Matemática – 3a série – Volume 3
Roteiro para aplicação da Situação 
de Aprendizagem 1
Conteúdos e temas
Seria interessante que o professor recor-
dasse as características principais das funções 
referidas anteriormente, quais sejam:
 f Função de 1o grau: y = ax + b, com a e b 
constantes, a ≠ 0
Estudada na 6a série do Ensino Funda-
mental, na 8a série do Ensino Fundamental, 
na 1a série do Ensino Médio e no 1o bimestre 
da 3a série do Ensino Médio, essa função ex-
pressa a proporcionalidade direta entre y – b 
e x. O coeficiente a representa a variação de 
y por unidade a mais de x, a partir de qual- 
quer ponto.
 f Função do 2o grau: y = ax2 + bx + c, com 
a, b e c constantes, a ≠ 0
Estudada na 8a série do Ensino Funda-
mental, na 1a série do Ensino Médio e no 
1o bimestre da 3a série do Ensino Médio. O si-
nal do coeficiente a indica a concavidade da 
curva que é o gráfico (parábola): quando a > 0, 
a concavidade é para cima e a função tem um 
valor mínimo no ponto (u,v), sendo u
b
a
= –
2
 
e v = f(u); quando a < 0, a concavidade é para 
baixo e a função tem um valor máximo no 
ponto (u,v), sendo u
b
a
= –
2
 e v = f(u). 
Função f y = kx , com k constante, k ≠ 0
Estudada na 6a série do Ensino Funda-
mental e na 3a série do Ensino Médio, essa 
função representa a proporcionalidade inver-
sa entre as grandezas y e x; podemos dizer que 
y é inversamente proporcional a x ou que x é 
inversamente proporcional a y. A curva que 
representa o gráfico é uma hipérbole.
 f Funções exponencial e logarítmica: 
y = ax e y = loga x, com a > 0 e a ≠ 1
Estudadasna 1a série do Ensino Médio, 
as funções exponenciais e logarítmicas po-
dem ser entendidas com base na mesma rela-
ção y = ax, a partir da qual se pode escrever 
x = loga y. De modo geral, representam situações 
em que uma variável encontra-se no expoente, 
caracterizando um crescimento ou decresci-
mento exponencial. Quando a variável inde-
pendente está no expoente, temos a função 
exponencial; quando a variável dependente está 
no expoente, temos a função logarítmica.
 f Funções trigonométricas: y = senx, y = cosx, 
y = tgx, y = secx, entre outras 
Estudadas na 2a série do Ensino Médio. 
Vale a pena destacar que o cosseno de um 
arco x é o seno do arco complementar de x, 
ou seja, o seno de 
π
2
– x


, de modo que 
todas as propriedades da função cosseno 
podem ser deduzidas a partir da função 
seno. Algo similar ocorre com a função 
cossecante de x, que é a secante do comple-
mento de x, e cotangente de x, que é a tan-
gente do complemento de x. Assim, as duas 
funções trigonométricas fundamentais são 
y = senx e y = tgx.
A construção dos gráficos corresponden-
tes na forma básica poderá ser apresentada 
14
8ª PROVA Vanzolini – CP Matemática 3 MAT_CP_3a_vol3_P8
Ricardo10a PROVA
P.I.
Kleber
ou recordada com maior ou menor ênfase, uma 
vez que uma ampliação nos recursos para a 
construção de gráficos será realizada nas uni-
dades 4 e 5 (Situação de Aprendizagem 2).
uma estratégia a ser explorada nesta Si-
tuação de Aprendizagem, para a apresenta-
ção dos conteúdos e temas acima descritos, 
é a seguinte:
 apresentação de forma sintética dos con- f
teúdos e temas, com destaque para a ideia 
de função como uma especial situação de 
interdependência;
 exploração de alguns exercícios exemplares f
dos vários tipos de função em estudo.
Apresentação dos conteúdos e temas
uma grandeza é algo que pode ser medi-
do; seu valor é o resultado dessa medida e 
pode ser constante ou variável em cada situa-
ção concreta. Chamaremos uma grandeza 
variável (ou constante) apenas de variável 
(ou constante). Quando uma variável y de-
pende de outra variável x de tal forma que a 
cada valor que atribuímos livremente a x cor-
responde um único valor para y, dizemos que 
y é uma função de x, e escrevemos y = f(x). 
Dizemos que x é a variável independente e 
que y é a variável dependente. Naturalmente, 
qualquer letra pode representar as variáveis 
dependente e independente; quando escreve-
mos w = f(z), por exemplo, queremos dizer 
que a variável dependente w é uma função da 
variável independente z. 
uma grandeza pode depender dos valores 
atribuídos a duas outras; a área A de um retân-
gulo depende dos comprimentos de seus dois 
lados, x e y. Dizemos, nesse caso, que A é uma 
função das duas variáveis independentes x e y. 
Na escola básica, somente estudamos funções de 
uma variável, mas podemos facilmente imaginar 
situações práticas em que uma grandeza depen-
de simultaneamente de várias outras, sendo uma 
função de diversas variáveis.
Alguns exemplos simples de funções são 
apresentados a seguir:
Exemplo 1 – O comprimento C de uma circun-
ferência é uma função de seu raio x: C = 2πx
Exemplo 2 – O preço p a pagar por uma 
corrida de táxi de x quilômetros é uma função 
de x: p = f(x)
15
Matemática – 3a série – Volume 3
Exemplo 3 – A área A de um quadrado é 
uma função de seu lado x: A = x2
•
Exemplo 4 – A distância vertical y percor-
rida por um corpo em queda livre é uma fun-
ção do tempo t de queda: y = f(t).
(próximo à superfície da Terra temos y = 4,9t2, 
y em metros e t em segundos)
•
Exemplo 5 – A massa m de uma substância 
radioativa diminui com o tempo, ou seja, é uma 
função do tempo de decomposição t: m = f(t). 
Para certa substância, tem-se m = mo . 2
–0,1t, 
em que mo é a massa inicial e t o tempo de 
decomposição em horas.
Exemplo 6 – Mantendo-se constante a tem-
peratura, a pressão P de um gás no interior 
de um recipiente de volume variável V é uma 
função de V: P = f(V). No caso, temos P
k
V
= , 
onde k é uma constante.
Exemplo 7 – uma pequena bola é presa a 
uma mola perfeitamente elástica; afastada da 
posição O de equilíbrio de uma distância a, 
a bola oscila em torno da mola, deslocando-se 
em uma superfície lisa, horizontal; a distância 
x da bola até o ponto O depende do instante t 
considerado, ou seja, é uma função de t: x = f(t). 
No caso, temos x = a . cos(kt), onde k é uma 
constante que depende da elasticidade da 
mola e da massa da bola.
16
Exercícios exemplares
Alguns exercícios propostos a seguir po-
derão servir de pretexto para uma revisão do 
que já foi estudado sobre funções até o pre-
sente momento. Com base em cada um dos 
exercícios, o professor poderá sugerir ou criar 
outros exercícios análogos. 
Atividade 1 
Na figura seguinte está representada uma 
viga reta Ab, que sustenta um arco Ab de 
parábola, construído de ferro e apoiado em 
hastes verticais. A largura l do vão é de 40 m 
e a flecha f do arco de parábola tem 5 m. Sa-
bendo que as hastes verticais são igualmente 
espaçadas no vão, calcule seus comprimentos 
y1, y2 e y3.
Escolhendo o sistema de coordenadas XOY 
indicado na figura, a parábola será o gráfico 
da função f(x) = ax2 + c, com a < 0. 
Como as hastes são igualmente espaçadas, 
os comprimentos das hastes serão os valores 
de f(x) para x1 = 5, x2 = 10 e x3 = 15. Como 
a flecha do arco de parábola é f = 5, segue 
que c = 5 e f(x) = ax2 + 5. Como o ponto B 
tem abscissa x = 20 e ordenada y = 0, segue 
que f(20) = 0 e então, 0 = a . 202 + 5, ou seja, 
a = –
1
80
. Logo, f(x) = –
1
80
x2+5
 
e os 
valores procurados são:
y f x f m1 1 5
75
16
4 69= = = ≅( ) ( ) , 
y f x f m2 2 10
15
4
3 75= = = ≅( ) ( ) ,
y f x f m
3 3
15
35
16
2 19= = = ≅( ) ( ) ,
Atividade 2 
Entre todos os retângulos de perímetro 
24 m, qual deles tem a maior área?
1 m
6 m
6 m
Um retângulo de perímetro 24 m pode ser 
bem “magrinho”, tendo área muito pequena. 
Chamando de x e y os lados de um retângulo, 
seu perímetro será p = 2x + 2y e sua área 
será A = xy. Como devemos ter p = 24, 
11 m
17
Matemática – 3a série – Volume 3
a cada valor de x escolhido corresponderá um 
valor para y, ou seja, y é uma função de x. No 
caso, temos y = 12 – x. A área do retângulo 
é uma função de x e y, mas como y = 12 – x, 
segue que a área A é uma função de x: 
A = f(x) = x.(12 – x) = 12x – x2. Esta função 
é um trinômio de 2o grau que se anula para 
x1 = 0 e para x2 = 12. Seu gráfico é uma 
parábola com a concavidade voltada para 
baixo, ou seja, a função área apresenta um 
valor máximo no ponto de coordenadas (u; v), 
sendo 
(x1 + x2)
2
u = e v = f(u). Logo, u = 6 e 
Amáx = f(6) = 36. O retângulo de perímetro 
24 m e área máxima é, pois, o quadrado de 
lado 6 m; a área máxima é igual a 36 m2.
Atividade 3 
A população n de determinado município 
cresce exponencialmente desde a sua funda-
ção, há 20 anos, de acordo com a expressão 
N = 3 000 . 100,1t, sendo t em anos. 
a) Esboce o gráfico de n como função de t.
A população N é uma função do tempo t, 
contado a partir da fundação: 
N = f(t)= 3 000 . 100,1t. O gráfico de f(t), 
neste caso, é o de uma função exponencial 
crescente, cujo valor inicial (para t = 0) é 
3 000.
b) Calcule o valor da população n, 15 anos 
após a fundação do município.
O valor de N para t = 15 é N = f(15) = 
= 3 000 . 100,1.15 = 3 000 . 10
3
2 ≅ 
≅ 94 868 habitantes
c) Depois de quanto tempo, após a funda-
ção, o valor de n atingiu 216 000 habi-
tantes?
O valor de N será 216 000 para um valor de t 
tal que f(t) = 216 000,ou seja, 
3 000 . 100,1t = 216 000 
Logo, 100,1t = 72 e 0,1t = log72
Consultando uma tabela de logaritmos 
ou usando uma calculadora, obtemos 
log72 = 1,86; segue que t ≅ 18,6 anos.
Atividade 4 
Certa substância radioativa se decompõe de 
tal forma que sua massa m reduz-se à metade do 
valor inicial a cada 4 horas, ou seja, m = mo. 2 
– 0,25t, 
sendo mo o valor inicial da massa (t em horas). 
Partindo de 60 g da substância, pede-se:
a) o gráfico de m como função de t; 
A função m = f(t) = 60 . 2–0,25t é uma expo-
nencial decrescente, a partir do valor inicial 60.
N
t
216 000
94 868
3 000
0 15 18,6
18
b) a massa m restante após 8 h;
O valor de f(t) para t = 8 é: 
m = f(8) = 60 . 2 – 0,25 . 8 = 15 g
c) a expressão de t como função de m;
Expressando t em termos de m, ou seja, 
escrevendo t como uma função de m, obtemos 
sucessivamente:
60 . 2–0,25t = m 2
60
0 25− =, t m
– 0 25
602
, logt
m= 


 
t = – 4 . log
m
602
d) após quanto tempo a massa restante 
será igual a 12 g?
Para saber após quanto tempo a massa m 
será igual a 12 g podemos usar a expressão 
de m em função de t, ou a expressão de t em 
função de m obtida no item c:
t = – 4 . log
12
60
= – 4 . log
1
5
= 4 . log 52 2 2
Usando uma calculadora, obtemos o valor 
log25 ≅ 2,32; segue que t ≅ 9,28 h.
Atividade 5 
uma pequena bola é presa a uma mola per-
feitamente elástica, apoiada em uma superfície 
horizontal lisa, conforme mostra a figura. Com 
a mola em seu comprimento normal, a bolinha 
fica em equilíbrio, parada. Afastando-se a boli-
nha 10 cm da posição de equilíbrio, a mola fica 
esticada; abandonando-se, então, a bolinha, 
ela passa a oscilar em torno da posição inicial, 
realizando um movimento de vai e vem. É pos-
sível mostrar que o afastamento x da bolinha 
em relação à posição de equilíbrio é uma fun-
ção periódica do tempo t, e pode ser expressa 
pela fórmula x = 10 . cos(kt), com x em centí-
metros e t em segundos. Notando que a boli-
nha retorna à posição em que foi abandonada 
(x = 10) a cada 4 segundos:
a) determine o valor de k;
Sabemos que para t = 0, x = 10 
e que para t = 4, temos x = 10 
(primeiro retorno à posição inicial), 
resulta, então:
10 = 10 . cos(k . 4)
Logo, cos(4k) = 1, o que implica:
4k = 2π, ou seja, k = π
2
Note que para t = 8, também temos 
10cos(k . 8) = 10, e cos(8k) = 1; também 
temos 8k = 4π (segundo retorno à posição 
inicial). 
m
60
m = 60 . 2 – 0,25t
8
t
?
19
Matemática – 3a série – Volume 3
b) calcule o valor de x para t = 1s, t = 2s, 
t = 3s e t s= 10
3
.
Sendo, x = 10.cos calculemos os valores 
de x para os valores indicados de t:
t =1  x = . =10= .10= .
2
0 cmcos
π
t = 2  
s cx = . .s c.s c

s c

s c

s c

s cs cs c



s c

s cs c

s c

s c

s cs c
s c


s c

s c

s c

s cs c
s cs c= =s c10= .10= .
2
2 1s c2 1s c

2 1

s c

s c2 1s c

s cs c

s c2 1s c

s cs cs c2 1s cs c



2 1



s c

s cs c

s c2 1s c

s cs c

s cs c

s cs c
s c2 1s c

s cs c
s cs c= =s c2 1s c= =s c0 1s c0 1s c= =0 1= =s c= =s c0 1s c= =s c −0 1− 0 cmco 0 1os0 1= =0 1= =os= =0 1= =
π
0 1π0 1= =0 1= =π= =0 1= =
t = 3  x = . .












10= .10= .
2
3 0 cm3 0 cm

3 0 cm

3 0 cm


3 0 cm




3 0 cm



=3 0 cm=cos
π
 
t = 10
3 
 s cx = . s c⋅s c

s c

s c

s c

s cs cs c



s c

s cs c

s c

s c

s cs c
s c

s c

s c

s c

s cs cs c



s c

s cs c

s c

s c

s cs c
s cs c= .s c10= .10= .
2
10
3
co
π ππ π10π π10
s cs c= .s c












= . =10s c10s cs c= .s c10s c= .s c
5
3
10= .10= .
1
2
os
π ππ π
10
π π
10
5π π5
5 cm55 cm5
c) construa o gráfi co de x como função 
de t.
O gráfi co da funçãox f t tt t= =x f= =x f t t= =t t.t t.t t

t t

t t

t t

t tt tt tt t

t tt t

t t

t t

t tt t
t t






( )t t( )t t= =( )= =t t= =t t( )t t= =t tt tcot tt tst t10t t10t t
2
π
 
é mostrado a seguir:
Atividade 6 
Esboçar o gráfi co da função polinomial 
f(x) = (x – 1).(x – 2).(x – 5). 
Notamos que o gráfi co corta o eixo x nos 
pontos (1;0), (2;0), e (5;0), ou seja, que x = 1, 
x = 2 e x = 5 são raízes da equação polinomial 
de grau 3 correspondente à igualdade f(x) = 0.
Isso é sufi ciente para um esboço do gráfi co de 
f(x) pelas seguintes razões:
a curva que representa o gráfi co de uma fun- f
ção polinomial é contínua, suave, assumindo 
todos os valores intermediários entre dois 
valores dados; 
o número de raízes reais de uma equação poli- f
nomial (algébrica) de grau 3 é no máximo 3; 
em consequência, o gráfi co não cortará o f
eixo x em outro ponto, além dos 3 já iden-
tifi cados;
o valor de f(0) é (–1).(–2).(–5), ou seja, é –10. f
Reunindo as informações anteriores, temos o 
esboço do gráfi co:
Construindo o gráfi co efetivamente, usando 
um software, obtemos:
É interessante notar que, na função poli-
nomial f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, quando x 
assume valores muito altos, os valores de f(x) 
f(x) = (x–1).(x–2).(x–5)
x521
–10
0
y
 
t tt t.t t.t t

t t

t t

t t

t tt tt tt t

t tt t

t t

t t

t tt t
t t






t tcot tt tst t10t t10t t
2
π
20
acompanham de perto os valores absolutos de 
ax3, sendo muito altos, se a > 0, ou muito bai-
xos, se a < 0. No exemplo, como a = 1, temos 
valores de f(x) muito altos para valores mui-
to grandes de x e valores de f(x) muito baixos 
para valores muito pequenos de x.
Atividade 7
Esboçar o gráfico da função polinomial 
f(x) = x.(x + 1).(x – 2).(3x – 7).
De modo análogo ao que foi feito na ativi-
dade 6, temos:
as raízes da equação polinomial de grau 4 f
representada pela igualdade f(x) = 0 são 
x = 0, x = –1, x = 2 e x = 
7
3
;
sendo a equação de grau 4, ela terá no máxi- f
mo 4 raízes reais, ou seja, o gráfico somente 
cortará o eixo x nos pontos correspondentes 
às quatro raízes mencionadas;
notamos, mesmo sem efetuar os cálculos, que f
o coeficiente do termo em x4 é positivo e igual 
a 3, ou seja, quando os valores de x crescem 
muito, os valores de f(x) são “dominados” 
pelos valores de 3x4, ou seja, tornam-se cada 
vez maiores; o mesmo ocorre quando x se tor-
na muito pequeno (–1 000 000, por exemplo), 
uma vez que o maior expoente de x é par; 
segue o esboço do gráfico de f(x): f
Construindo efetivamente o gráfico usando 
um software, obtemos:
Considerações sobre a avaliação
Ao final deste percurso de aprendizagem, a 
expectativa é que os alunos reconheçam situações 
de interdependência entre grandezas em contex-
tos característicos, como o da proporcionalidade 
direta e inversa, o do crescimento exponencial 
e logarítmico e dos fenômenos periódicos, as-
sociados a funções do tipo seno ou cosseno. As 
características das funções polinomiais de 1o e 
2o graus, estudadas já na 8a série do Ensino 
Fundamental, devem aqui ser consolidadas. 
Os gráficos das funções estudadas podem ser 
apresentados apenas na forma básica, sem explo-
ração maior das transformações que podem ser 
realizadas sobre eles, uma vez que tal estudo 
será realizado mais adiante. As atividades apre-
sentadas no roteiro desta Situação de Aprendi-
zagem representam uma amostra da expectativa 
sobre o resultado final do panorama composto.Como dito inicialmente, a construção de um 
panorama sobre as situações de interdependên-
cia teve como estratégia a exploração de algu-
mas atividades consideradas exemplares, que 
constituiriam meros pretextos para o professor, 
a partir deles, recordar ou apresentar as caracte-
rísticas das funções envolvidas. 
f(x) =x.(x+1).(x–2).(3x–7)
y
x
0–1 2
7
3
21
Matemática – 3a série – Volume 3
Convidamos o professor, nesta Situação 
de Aprendizagem, a explorar uma forma es-
pecial de construir o gráfico de uma função 
y = f(x), que pode ser muito interessante. 
Nosso objetivo é apresentar uma nova es-
tratégia, que complementa a estratégia mais 
frequente, qual seja, a atribuição de valores 
à variável independente x, a determinação 
dos valores da variável dependente y, a cons-
trução de tabelas com os valores de x e y e 
a representação dos pontos (x;f(x)) no pla-
no cartesiano. Esse procedimento “ponto a 
ponto” pode ser muito interessante quando 
já sabemos o tipo de curva que será o grá-
fico, mas é bem pouco efetivo quando não 
dispomos dessa informação.
Com os conhecimentos que já temos sobre 
as funções apresentadas na Situação de Apren-
dizagem 1, vamos agora procurar desenvolver 
um olhar “funcional” sobre a expressão y = f(x), 
procurando identificar as funções mais sim-
ples componentes da expressão f(x). Para obter 
o gráfico de f(x) = x2 + 5, por exemplo, basta 
construir o gráfico de y = x2 e deslocá-lo para 
cima 5 unidades, na direção do eixo y. Muitas 
transformações simples podem ser realizadas a 
partir dos gráficos das funções em sua forma 
básica, como foi apresentado na Situação de 
Aprendizagem 1.
As mesmas competências básicas asso-
ciadas aos conteúdos e temas da Situação de 
Aprendizagem 1 estarão presentes nesta Situa-
ção de Aprendizagem 2, com destaque para a 
expressão e compreensão. 
Sugere-se que o professor utilize duas se-
manas na exploração dessa nova estratégia 
para a construção de gráficos.
SITuAçãO DE APRENDIzAGEM 2 
CONSTRuçãO DE GRáFICOS: uM OlhAR “FuNCIONAl”
tempo previsto: 2 semanas.
Conteúdos e temas: apresentação dos gráficos das funções recordadas na Situação de Apren-
dizagem anterior; construção de gráficos de situações de interdependência envolvendo 
composições, translações, ampliações, reduções, apresentadas de modo informal.
Competências e habilidades: expressar fenômenos diversos por meio de gráficos; compreen-
der transformações realizadas sobre eles em diferentes contextos.
Estratégias: apresentação de exemplos ilustrativos da construção de gráficos segundo um 
olhar “funcional”; proposição e exploração de exercícios representativos das diferentes 
transformações referidas. 
22
Roteiro para aplicação da Situação 
de Aprendizagem 2
Conteúdos e temas
Construção de gráfi f cos em situações em 
que a interdependência entre grandezas en-
volve composições de funções, apresentada 
de modo informal.
Translações, ampliações, reduções e ou- f
tras transformações a serem realizadas 
nos gráficos das funções já conhecidas em 
sua forma básica. Por exemplo, uma fun-
ção como f(x) = (x + 5)2 pode ser inter-
pretada como a função f(X) = X2, sendo 
X = (x + 5); já a função f(x) = sen(x – 5) 
pode ser interpretada como a composi-
ção da função f(X) = senX com a função 
X = (x – 5), e assim por diante.
Também aqui a estratégia será a apresen-
tação de uma série de exemplos ilustrativos 
da construção de gráficos segundo um olhar 
“funcional”, que podem servir de pretex-
to para o professor explicar os conteúdos 
propostos. A seguir, uma série de exercícios 
exemplares representativos dos vários tipos de 
transformações vistas anteriormente será 
proposta para a exploração por parte do pro-
fessor, que poderá criar a partir deles muitos 
outros igualmente significativos ao tema.
Exemplos ilustrativos
Para ilustrar o que se pretende explorar na 
presente Situação de Aprendizagem, vamos 
examinar a construção de alguns gráficos. 
Exemplo 1 – Gráfico de f(x) = x2 – 7 
Temos que representar os pontos (x,y) em 
que y = x2 – 7. Podemos imaginar o gráfico 
de y = x2 deslocado 7 unidades para baixo na 
direção do eixo y.
0
5
10
–5
–2– 4–6 642
y
x
f(x) = x2–7
Exemplo 2 – Gráfico de f(x) = 2 + senx 
Podemos representar o gráfico de f(x) = 2 + senx 
deslocando o gráfico de y = senx 2 unidades 
para cima na direção do eixo y.
0
y
x
−5−10−15
5 10 15
2
4
−2
−4
y = senx
f(x) = 2+senx
Exemplo 3 – Gráfico de f(x) = (x – 3)2 
Podemos imaginar o gráfico de y = x2 des-
locado 3 unidades para a direita na direção do 
eixo x. O gráfico de y = (x – 3)2 é como se fosse 
o de y = X2, sendo X = x – 3. O vértice da pa-
rábola desloca-se do ponto em que x = 0 para 
o ponto em que x = 3.
y = x2
23
Matemática – 3a série – Volume 3
y
x0
1
–2
4
2
–1
5
7
3
6
8
9
0–1 3 6 7–2 2 5–3 1 4
f(x) = (x–3)2
y =x2
Exemplo 4 – Gráfico de f(x) = 3(x+ 2) 
Podemos imaginar o gráfico de y = 3x des-
locado para a esquerda na direção do eixo x. 
O gráfico de y = 3(x+2) é como se fosse o de 
y = 3X, sendo X = x + 2. É como se o eixo y se 
deslocasse horizontalmente de tal forma que o 
antigo ponto em que x = 0 fosse coincidir com 
o novo ponto em que x = –2 (ou seja, X = 0).
y
0
1
–2
–4 –2–3 –1 1 2 3 74 85 9 10 11 12 13
4
2
–1
5
7
3
6
8
9
y = log2(x–5)
y = log2x
f(x) = 4 + log2(x–5)
6
x
Exemplo 6 – Gráfico de f x
x
( ) =
+
1
12
Para construir o gráfico de f(x) podemos co-
meçar com o de y = x2. Depois, fazemos o de 
y = x2 + 1, deslocando o de y = x2 uma unidade 
para cima, na direção do eixo y. A partir daí, 
para obter o gráfico de f(x), representamos os 
pontos (x,y) tais que o valor de y seja o inverso 
de x2 + 1, para cada valor de x. 
–1 50 6–3 3–5 1–2 4– 4 2–6
y
x
1
2
3
y = x2+1
y = x2
f x
x
( ) =
+
1
12
É importante notar que:
 no ponto onde x = 0, x f 2 + 1 vale 1 e o inver-
so de x2 + 1 é igual a 1;
 em todos os outros pontos x f 2 + 1 é positivo 
e maior do que 1, logo, seu inverso é positi-
vo e menor do que 1;
assim, o gráfico de f f x
x
( ) =
+
1
12
 situa-se 
sempre acima do eixo x, aproximando-se 
mais e mais dele à medida que o valor de 
x aumenta, pois quanto maior for o valor 
de x2 + 1, menor será o valor de seu inverso.
Exemplo 5 – Gráfico de f(x) = 4 + log2(x – 5) 
Para obter o gráfico de y = log2(x – 5) pode-
mos imaginar o gráfico de y = log2 x deslocado de 
5 unidades para a direita, como se estivéssemos 
construindo o gráfico de y = log2 X , sendo X = x – 5. 
Depois, deslocamos o gráfico assim obtido para 
cima, na direção do eixo y, 4 unidades.
y
x0
3
6
11
14
17
19
21
23
1
–2
4
9
7
12
15
18
20
22
2
–1
5
10
–1 1 2 3–2
13
16
8
f(x) = 3(x+2)
y = 3x
 
24
Resumindo, na construção do gráfico de 
f x
x
( ) =
+
1
12
, podemos seguir os seguintes passos:
 construir o gráfico de y = x f 2 ;
 construir o gráfico de y = x f 2 + 1;
 construir o gráfico de f f x
x
( ) =
+
1
12
.
Exemplo 7 – Gráfico de 7
1− =f x
x
( ) 
Podemos fazer o gráfico de y = x e repre-
sentar, para cada valor de x, a ordenada y que 
é o inverso de x. 
y
x2 4 6 8 90 1
1
2
3
4
3 5 7–8 –6 –4 –2 –1–9
–4
–3
–2
–1
–7 –5 –3
f x
x
( )
1
y = x
É importante notar que:
 quando x = 0 não existe o inverso de f x, ou 
seja, a função f(x) não está definida;
 quanto mais próximo de 0 é o valor de f x, 
maior é o valor absoluto do inverso de x, sen-
do quevalores de x positivos têm inversos po-
sitivos, e valores de x negativos têm inversos 
negativos;
 quanto maior é o valor absoluto de f x, tanto 
positivo quanto negativo, mais próximo de 0 
é o inverso de x, sendo o sinal de x sempre 
igual ao sinal de seu inverso.
Exemplo 8 – Gráfico de f x
x
( )
–
= 1
12
Podemos fazer o gráfico de y = x2, depois o 
de y = x2 – 1 e em seguida representar os pontos 
com abscissa x e ordenada o inverso de x2 – 1. 
y
x
–4 1–2 3–3 2–1 –1
5
–2
4
–3
3
–4
2
–5
1
0
0
4
y = x2
f x
x
( ) =
+
1
12
y = x2–1
É importante notar que:
 quando x f 2 – 1 = 0, ou seja, quando temos 
x = 1 ou x = –1, então a função f(x) não 
está definida;
 quando f x assume valores próximos de 1 ou 
de –1, os valores absolutos dos inversos 
tornam-se muito grandes. Se x se aproxima 
de 1 por valores maiores do que 1, os inver-
sos tornam-se muito grandes (positivos), 
enquanto se x se aproxima de 1 por valores 
menores do que 1, os inversos tornam-se 
muito grandes em valor absoluto, mas ne-
gativos. Algo similar ocorre quando x se 
aproxima de –1.
Exemplo 9 – Gráfico de f(x) = 3senx
O gráfico é análogo ao de y = senx, com a 
amplitude aumentando de 1 para 3 unidades, ou 
seja, os valores de f(x) oscilarão entre +3 e – 3.
25
Matemática – 3a série – Volume 3
–2 –1
y
x
0 2 4 5 76 8
0
2
1
1
–2
–3
3
–1
3–3
Exemplo 10 – Gráfico de f(x) = 3x.senx
Para construir o gráfico de f(x) = 3x.senx, 
basta imaginar o gráfico de y = A.senx, sendo 
que o valor de A varia de acordo com x se-
gundo a reta y = 3x. Assim, o gráfico oscilará 
entre as retas y = 3x e y = –3x, conforme ob-
servamos na figura a seguir:
0–5
5 10 15 2520 30
y
20
–20
–40
–60
40
60
x
Exercícios exemplares
Muitos outros gráficos poderiam ser obtidos 
sem dependermos das conclusões a que uma re-
presentação de pontos isolados nos conduziria. 
Para praticar o caminho sugerido nos 
exemplos anteriores, o professor poderá ex-
plorar os exercícios seguintes.
Atividade 1 
Esboçar no mesmo sistema de coordenadas 
os gráficos das seguintes funções:
a) f(x) = x2 + 9
b) g(x) = x2 – 9
c) h(x) = 9 – x2
d) m(x) = –9 – x2
y = –3x
f (x) = 3x.senx
y =
 3x
Atividade 2
Esboçar no mesmo sistema de coordenadas 
os gráficos das funções indicadas:
a) f(x) = cosx 
b) g(x) = 5 + cosx 
c) h(x) = –3 + cosx 
d) m(x) = 5cosx
Atividade 3
Esboçar no mesmo sistema de coordenadas 
os gráficos das funções indicadas:
a) f(x) = 3x
b) g(x) = 3x–1
c) h(x) = 3x+1
d) m(x) = 3–x
e) n(x) = 3–x+1
4
–12
–14
–16
12
–6
16
–2
2
6
10
–8
14
–4
18
20
0–1 4 5–2 2–4–5 1 x
y
m(x) = –9 – x2
h(x) = 9 – x2
g(x) = x2– 9
f(x) = x2+9
8
–3
–10
3
x
g(x) = 5 + cosx
1
–5
2
–4
3
–3
5
–1
4
–1–3
y
–5–6–7–9–11
m(x) = 5cosx
f(x)=cosx
h(x)= –3 + cosx
–2
–8–10 0 765321 9 104 8 11–2–4
26
24
16
8
20
12
4
22
0 1–1–2 32 4
14
6
18
10
2
x
y
m(x) = 3–x
g(x) = 3x–1
n(x) = 3–x+1 h(x) = 3x+1
f(x) = 3x
Note que o valor de g(x) para x = 0 é igual 
a 1
3
, ou seja, é o inverso do valor de f(x) 
para x = 0, que é 3.
Atividade 4 
Esboçar no mesmo sistema de coordena-
das os gráficos das funções indicadas:
a) f(x) = –x2 
b) g(x) = 3 – x2 
c) h x
x
( ) =
−
1
3 2
x
y
2
–2
4
6
–1–2–3 3 4 5–4 2–5 1
–4
–6
h x
x
( ) =
−
1
3 2
g(x) = 3 – x2
f(x)=–x2
− 3 + 3
Atividade 5 
Esboçar no mesmo sistema de coordena-
das os gráficos das funções indicadas:
a) f(x) = 3x2 
b) g(x) = –3x2 
c) h(x) = senx 
d) m(x) = 3x2.senx
x
y
2
4
6
8
10
–2
–10
–12
–14
–18
–24
–16
–22
–20
–26
–6
–4
–8
16
14
20
26
12
18
24
22
0 1–7 4–4 2–6 5–3 3–5 6–2 7–1
f(x) = 3x2
m(x) = 3x2.senx
g(x) = –3x2
h(x) = senx
Considerações sobre a avaliação
Ao final deste percurso, a expectativa é que 
os alunos tenham aprendido a “ler” a expressão 
f(x), que traduz analiticamente uma situação 
de interdependência funcional, sendo capazes de 
tomar iniciativas de decompor tal função em 
outras mais simples, já estudadas anteriormen-
te. Assim, a construção do gráfico de funções 
mais complexas pode ser vislumbrada a partir 
dos gráficos das funções mais simples. 
As competências desenvolvidas na prática 
de tal interpretação/decomposição depende-
rão do número de exercícios realizados, em 
sintonia com a disponibilidade e as circuns-
tâncias dos professores em sua realidade 
concreta. Naturalmente, não se pode preten-
der o desenvolvimento de uma competência 
absoluta, uma capacidade de construção de 
qualquer tipo de gráfico, em tal nível de ensi-
no. Por outro lado, não se pode considerar a 
meta inicialmente proposta atingida se os alu-
nos não assimilaram a nova estratégia para a 
construção de gráficos, isto é, se não acharem 
naturais transformações como deslocamentos 
verticais para cima e para baixo, deslocamen-
tos horizontais para a direita e para a esquer-
da, inversões de sentido, por exemplo.
27
Matemática – 3a série – Volume 3
As representações gráficas das relações de in-
terdependência entre grandezas são importantes 
para a visualização das variações das grandezas 
representadas, como a identificação de seus sinais 
e valores, dos intervalos de crescimento ou de 
decrescimento da variável dependente, ou, ain-
da, o reconhecimento de pontos de máximo ou 
de mínimo, quando eles existirem. Isso já foi fei-
to anteriormente, particularmente para as fun-
ções de 1o e 2o graus. Agora buscaremos estender 
para as demais funções que compõem o panora-
ma que estamos construindo. 
Nesta Situação de Aprendizagem, vamos 
procurar ir além da constatação do crescimen-
to ou do decrescimento, procurando qualifi-
cá-lo, tentando caracterizar a rapidez com que 
ocorre o crescimento ou decrescimento por 
meio da taxa de variação, ou seja, da variação 
da variável independente por unidade a mais da 
variável dependente. Apesar de tal preocupação 
com as taxas de variação não ser muito comum no 
estudo das funções no Ensino Médio convidamos 
o professor a nos acompanhar nesta viagem. Te-
mos certeza de que ela será muito proveitosa, tanto 
para o estudo das funções na escola básica, quanto 
para descortinar uma série de ideias simples sobre 
variação de funções que serão muito úteis para a 
compreensão de inúmeros fenômenos, naturais 
ou econômicos, envolvendo variações e taxas de 
variação, como a descrição dos movimentos, ou a 
compreensão das taxas de inflação, por exemplo.
Todas as competências básicas podem ser 
desenvolvidas por meio de tal tratamento quali-
tativo das funções: a expressão/compreensão de 
fenômenos, a argumentação/tomada de decisão, 
a contextualização/abstração de relações. 
Sugere-se ao professor que utilize duas se-
manas com o material ora apresentado. 
SITuAçãO DE APRENDIzAGEM 3 
AS TRêS FORMAS báSICAS DE CRESCIMENTO Ou 
DECRESCIMENTO: A VARIAçãO E A VARIAçãO DA VARIAçãO
tempo previsto: 2 semanas.
Conteúdos e temas: a ideia geral de função como interdependência, explorando-se as funções 
já estudadas até o presente momento na perspectiva do crescimento ou decrescimento, com 
a caracterização da rapidez com que crescem ou decrescem.
Competências e habilidades: compreender fenômenos envolvendo crescimento ou decresci-
mento, bem como expressar a rapidez com que crescem ou decrescem a partir de qualidades 
expressas nos gráficos das funções representadas.
Estratégias:inicialmente será apresentada a ideia de que existem três formas básicas de cresci-
mento ou decrescimento: a das funções de 1o grau, a das funções que crescem ou descrescem mais 
rapidamente do que ela e a das funções que crescem ou decrescem mais lentamente do que a de 
1o grau. uma lista de exemplos ilustrativos, seguidas de exercícios exemplares representativos 
das diversas situações apresentadas, será oferecida para exploração por parte do professor.
28
Roteiro para aplicação da Situação 
de Aprendizagem 3
Conteúdos e temas
 A ideia geral de função como relação de f
interdependência.
As funções de 1 f o e 2o graus, com suas carac-
terísticas já conhecidas, que servirão de base 
para a compreensão do estudo das variações 
e das taxas de variação.
 Todas as funções já apresentadas aos alu- f
nos até o presente momento, analisadas 
agora sob a perspectiva do crescimento/
decrescimento e das taxas de variação.
Inicialmente serão apresentadas as ideias 
de crescimento, decrescimento, taxa de varia-
ção, a partir das funções que expressam a pro-
porcionalidade direta, ou seja, as associadas à 
função de 1o grau f(x) = ax + b (a ≠ 0). Tais 
funções ou são crescentes (a > 0) ou são de-
crescentes (a < 0), e o crescimento ou decresci-
mento são constantes, isto é, a variação de f(x) 
por unidade a mais de x é sempre a mesma, 
que corresponde ao coeficiente a. 
Todas as outras funções podem ter seu 
crescimento ou decrescimento comparado com 
o padrão determinado pelas funções de 1o grau, 
sendo possível crescer mais rapidamente do que o 
padrão de 1o grau ou mais lentamente do que ele: 
esta é a ideia principal a ser desenvolvida.
uma lista de exemplos ilustrativos acom-
panhará a exposição, seguindo-se uma série 
de exercícios exemplares representativos das 
diversas situações apresentadas.
A forma-padrão de crescimento ou 
decrescimento: f(x) = ax + b
Como já foi visto desde a 8a série do Ensino 
Fundamental, as funções de 1o grau são cres-
centes (a > 0) ou são decrescentes (a < 0), sen-
do que o coeficiente a representa a variação 
em f(x) quando x aumenta de 1 unidade a 
partir de qualquer valor inicial. O valor de a é 
chamado de taxa de variação unitária de f(x), 
ou somente taxa de variação de f(x). Natural-
mente, se a = 0, ou seja, se a taxa de variação é 
zero, então a função f(x) é constante: f(x) = b.
x 
De modo geral, dizemos que uma função f(x) 
é crescente nos intervalos em que ocorre o seguin-
te: se os valores de x crescem, então os correspon-
dentes valores de f(x) também crescem. Dizemos 
que f(x) é decrescente nos intervalos em que 
ocorre o seguinte: se os valores de x crescem, en-
tão os correspondentes valores de f(x) decrescem. 
O significado do crescimento ou do decrescimen-
to no gráfico de f(x) é bastante expressivo:
x1 x2
x aumenta 
x
y 
y2 
y1 
y aumenta 
f(x) crescente
y
x
x1 x2 
x aumenta 
f(x) decrescente
y1 
 
y2
y diminui
y
1
1
a
b
(a > 0, função crescente)
(a < 0, função decrescente)
taxa de variação = a = variação de f(x) por unidade a mais de x
a = f(x + 1) – f(x) = constante
a = 0 (função constante)
a
f(x) = ax + b
29
Matemática – 3a série – Volume 3
Consideremos uma função que não é de 
1o grau, ou seja, cujo gráfico não é uma reta. 
A primeira constatação que ocorre é o fato 
de que a taxa de variação unitária de f(x), ou 
seja, a variação de f(x) por unidade a mais 
de x, não é mais constante, isto é, a diferença 
f(x + 1) – f(x) passa a depender do valor de x 
a partir do qual ela é calculada.
 Por exemplo, se f(x) = 5x + 7, então f
f(x + 1) – f(x) = 5(x + 1) + 7 – (5x + 7) = 5, 
ou seja, a taxa de variação de f(x) = 5x + 7 
é constante e igual a 5;
no entanto, se f(x) = 5x f 2 + 7, então 
f(x + 1) – f(x) = 5(x + 1)2 + 7 – (5x2 + 7) = 
= 10x + 5, ou seja, a taxa de variação 
unitária de f(x) = 5x2 + 7 é igual a 10x + 5, 
variando, portanto, com o valor de x para 
cada ponto considerado.
No que segue, chamaremos de taxa de 
variação unitária de uma função, para 
cada valor de x, o valor da diferença 
f(x + 1) – f(x).
x1 x2
x aumenta 
x
y 
y2 
y1 
y aumenta 
f(x) crescente
y
x
x1 x2 
x aumenta 
f(x) decrescente
y1 
 
y2
y diminui
Quando uma função f(x) cresce a taxas 
crescentes, seu gráfico fica encurvado para 
cima; quando ela cresce a taxas decrescentes, 
seu gráfico fica encurvado para baixo. 
basicamente, em cada intervalo considera-
do, estas são as três formas de crescimento: 
crescer linearmente, com taxa de variação f
constante;
crescer cada vez mais rapidamente, ou seja, f
com taxas de variação crescentes, o que faz 
com que o gráfico resulte encurvado para cima;
crescer cada vez mais lentamente, o que faz f
com que o gráfico resulte encurvado para 
baixo.
De forma análoga, em dado intervalo, uma 
função pode decrescer de três modos distintos: 
decrescer linearmente, com taxa de varia- f
ção constante;
decrescer cada vez mais rapidamente, ou f
seja, com taxas de variação crescentes em 
valor absoluto (as taxas são negativas);
B
A
C
y
x
1
1
1
a
a’
a’’
a < a’ < a’’
f(x) cresce a taxas crescentes
f(x) = ax + b 
 cresce a taxa constante
f(x) cresce a taxas decrescentes
a
a’
a > a’ > a’’
1
1
1
1
1
a
a 
a
a’’
1
f(x) cresce a taxas crescentes
a < a’ < a”
f(x) = ax + b
cresce a taxa constante
f(x) cresce a taxas decrescentes
a > a’ > a”
30
t
t
t
t
P
P
P
P
P
P
P
P
t 
t t
país A
país B
país E
país F
país G
país H
t 
país C
país D
decrescer cada vez mais lentamente, ou f
seja, com taxas de variação decrescentes 
em valor absoluto (as taxas são negativas).
O gráfico a seguir ilustra as três formas de 
decrescimento:
B 
C 
1
1
1 
1 
1 
1 
1 
1 
a 
 
1 
a 
a 
a 
a
a’
a’ 
a’’ 
a’’ 
f(x) decresce a taxas 
decrescentes 
(em valor absoluto) 
f(x) decresce a 
taxa constante 
f(x) decresce a taxas 
crescentes 
(em valor absoluto) 
x 
y
A 
Quando uma função decresce a taxas de-
crescentes seu gráfico fica encurvado para 
cima; quando ela decresce a taxas crescentes, 
seu gráfico fica encurvado para baixo.
Observação: no que segue sempre que fi-
zermos menção a decrescimentos, as taxas se-
rão consideradas em valores absolutos.
Exercícios exemplares
Atividade 1 
Os gráficos a seguir representam o preço 
médio P dos alimentos da mesma cesta básica, 
em diferentes países, em função do tempo t, 
ao longo de determinado ano.
t
t
t
t
P
P
P
P
P
P
P
P
t 
t t
país A
país B
país E
país F
país G
país H
t 
país C
país D
t
t
t
t
P
P
P
P
P
P
P
P
t 
t t
país A
país B
país E
país F
país G
país H
t 
país C
país D
t
t
t
t
P
P
P
P
P
P
P
P
t 
t t
país A
país B
país E
país F
país G
país H
t 
país C
país D
t
t
t
t
P
P
P
P
P
P
P
P
t 
t t
país A
país B
país E
país F
país G
país H
t 
país C
país D
31
Matemática – 3a série – Volume 3
t
t
t
t
P
P
P
P
P
P
P
P
t 
t t
país A
país B
país E
país F
país G
país H
t 
país C
país D
t
t
t
t
P
P
P
P
P
P
P
P
t 
t t
país A
país B
país E
país F
país G
país H
t 
país C
país D
t
t
t
t
P
P
P
P
P
P
P
P
t 
t t
país A
paísB
país E
país F
país G
país H
t 
país C
país D
Pergunta-se: 
a) Em que país os preços estiveram estabi-
lizados ao longo do ano?
No país A, os preços mantiveram-se cons-
tantes.
b) Em que país os preços cresceram à taxa 
constante?
No país B, os preços variaram tendo como 
gráfico uma reta inclinada com inclinação 
positiva.
c) Em que país os preços cresceram a taxas 
crescentes?
No país D, os preços cresceram tendo o grá-
fico encurvado para cima, o que significa 
taxas crescentes.
d) Em que país os preços decresceram à 
taxa constante?
No país C, os preços decresceram tendo como 
gráfico uma reta com inclinação negativa.
e) Em que país os preços cresceram a taxas 
decrescentes?
No país F, os preços cresceram tendo o grá-
fico encurvado para baixo.
f) Em que país os preços decresceram a 
taxas decrescentes?
No país E, os preços decresceram tendo o 
gráfico encurvado para cima.
P 
t 
P 
t 
32
a) A função f(x) é positiva.
Temos f(x) > 0 para x entre x2 e x7 e para x 
entre x10 e x12.
b) A função f(x) é negativa.
Temos f(x) < 0 para x entre x1 e x2 e para x 
entre x7 e x10. 
c) A função f(x) é constante. 
A função f(x) é constante para valores de x 
entre x4 e x5 e para x entre x8 e x9.
d) A função f(x) é crescente.
A função f(x) é crescente para x entre x1 e 
x4 , e para x entre x9 e x12.
e) A função f(x) é decrescente.
A função f(x) é decrescente para x entre x5 
e x8.
f) A função f(x) cresce a taxa constante.
A função f(x) cresce a taxa constante nos 
intervalos em que o gráfico é um segmento 
de reta ascendente, ou seja, para x entre x1 e 
x3 e para x entre x10 e x11.
g) A função f(x) decresce a taxa constante.
A função f(x) decresce a taxa constante no 
intervalo em que o gráfico é um segmento de 
reta descendente, ou seja, para x entre x6 e x7.
h) A função f(x) cresce a taxas crescentes.
A função f(x) cresce a taxas crescentes no 
intervalo em que é crescente e o gráfico é 
encurvado para cima, ou seja, para x entre 
x9 e x10.
i) A função f(x) cresce a taxas decrescentes.
A função f(x) cresce a taxas decrescentes 
nos intervalos em que é crescente, mas o 
gráfico está encurvado para baixo, ou seja, 
para x entre x3 e x4 e para x entre x11 e x12.
g) Em que país os preços inicialmente 
cresceram à taxa constante, e, posterior-
mente, cresceram a taxas decrescentes?
No país J, os preços inicialmente tiveram um 
gráfico retilíneo. Depois, seguiram uma cur-
va voltada para baixo.
h) Em que país os preços decresceram a 
taxas crescentes?
No país G, os preços decresceram tendo o 
gráfico encurvado para baixo.
i) Em que país os preços inicialmente 
cresceram a taxas crescentes, depois cres - 
ce ram a taxas decrescentes?
No país H, os preços inicialmente tiveram um 
gráfico voltado para cima. A partir de certo 
ponto, o gráfico encurvou-se para baixo.
j) Em que país os preços inicialmente 
decresceram a taxas crescentes, de-
pois decresceram a taxas decrescentes?
No país I, os preços decresceram segundo 
um gráfico voltado para baixo. Depois, se-
gundo um gráfico voltado para cima.
Atividade 2 
No gráfico a seguir identifique os interva-
los nos quais: 
x1 x9x5x3 x11x7
y
x
x2 x10x6x4 x12x8
33
Matemática – 3a série – Volume 3
j) A função f(x) decresce a taxas crescentes.
A função f(x) decresce a taxas crescentes 
no intervalo em que é decrescente e o gráfico 
é encurvado para baixo, ou seja, para x entre 
x5 e x6.
k) A função f(x) decresce a taxas decrescentes.
A função f(x) decresce a taxas decrescentes 
no intervalo em que é decrescente e o gráfico 
é encurvado para cima, ou seja, para x entre 
x7 e x8.
Atividade 3 
Quando uma pedra é lançada vertical-
mente para cima com uma velocidade inicial 
40 m/s, a partir de uma altura inicial de 45 m, 
ela sobe com velocidade cada vez menor, até 
atingir uma altura máxima em relação ao solo, 
quando momentaneamente para. A partir 
daí, ela desce cada vez mais rapidamente até 
voltar ao solo. Sabemos que, por causa da for-
ça da gravidade (peso), que age sobre a pedra, 
sua velocidade diminui a uma taxa constante 
de aproximadamente 10 m/s a cada segundo, 
no movimento da subida. Podemos descre-
ver o movimento da pedra por meio de uma 
função de 1o grau, que representa sua velocida-
de, e uma função de 2o grau, que representa sua 
altura em relação ao solo. Nesse caso, as funções 
que representam a velocidade e a altura são as 
seguintes: v = 40 – 10t.
(a partir do valor inicial 40 m/s, a velocidade 
diminui 10 m/s a cada segundo, ou seja, a taxa 
de variação da velocidade –10 m/s por s, que 
se escreve –10 m/s2) 
h = 45 + 40t – 5t2
(a partir do valor inicial 45 m, a altura aumen-
ta até um valor máximo, diminuindo poste-
riormente até atingir o valor zero.)
0
v = 40 m/s
2 
3
t = 0
45 m
hmáx
v = 0
1
Pede-se:
a) construir o gráfico de v como função de t.
b) construir o gráfico de h como função de t.
c) determinar o valor máximo de h(t).
d) determinar o valor de t quando a pedra 
voltar a passar pela posição inicial.
e) calcular depois de quanto tempo a pe-
dra atinge o solo.
f) Observando os gráficos de h(t) e v(t), 
assinalar V (Verdadeiro) ou F (Falso) 
nas frases seguintes:
 ( ) “A velocidade decresce à taxa constante”.
 ( ) “A altura h cresce cada vez mais len-
tamente até atingir o valor máximo; 
depois decresce cada vez mais rapi-
damente”.
 ( ) “A altura cresce a taxas decrescentes 
até o valor máximo; depois decresce 
a taxas crescentes”.
34
v
t 
v = 40 – 10t 
1 
–10 
40 
45 
4 
h 
hmáx
4 
h = 45 + 40t – 5t2 
0 
0 
8 9 
t 
a, b, c , d, e
O gráfico da velocidade v como função do 
tempo t é uma semirreta, com início no 
ponto (0; 40) e com inclinação negativa e 
igual a –10. Como v diminui de 10 m/s a cada 
segundo, após 4s a velocidade será igual a 
zero, ou seja, a semirreta corta o eixo x (ver 
figura a seguir). 
O gráfico da altura h em função do tempo t 
é um arco de parábola, iniciando no ponto 
(0; 45), com a concavidade para baixo. Seu 
ponto de máximo coincide com o instante 
em que a velocidade é igual a zero, ou seja, 
ocorre para t = 4s. A altura máxima é o valor 
de h(t) para t = 4, ou seja, é h(4) = 125 m.
A pedra leva 4s subindo até a altura máxima 
e igual tempo descendo até a posição de 
partida; logo após 8s estará de volta à 
posição inicial.
O instante em que ela toca o solo é o valor 
de t para h = 0, ou seja, é a raiz da equação 
0 = 45 + 40t – 5t2; resolvendo, encontramos 
t = 9s.
Todos esses resultados estão sintetizados 
nos seguintes gráficos:
f) Observando os gráficos e especialmente 
as concavidades, concluímos que as três 
afirmações são verdadeiras.
Atividade 4 
Considere o gráfico da função de 2o grau 
f(x) = (x – 5).(x + 1) a seguir indicado.
a) Identificar os intervalos em que f(x) > 0 
e os intervalos em que f(x) < 0.
b) Identificar os intervalos em que f(x) 
é crescente e os intervalos em que é 
decrescente.
c) Qualificar o crescimento e o decresci-
mento de f(x), informando se eles são a 
taxas crescentes ou a taxas decrescentes.
Para construir o gráfico de f(x), sabemos 
que ele é uma parábola com a concavidade 
para cima, pois o coeficiente de x2 é positivo 
(igual a 1), e temos as raízes da equação 
f(x) = 0, que são x = –1 e x = 5. Sabemos 
v
t 
v = 40 – 10t 
1 
–10 
40 
45 
4 
h 
hmáx
4 
h = 45 + 40t – 5t2 
0 
0 
8 9 
t 
35
Matemática – 3a série – Volume 3
ainda que o vértice da parábola encontra-se 
no ponto médio do segmento determinado 
pelas raízes, ou seja, no ponto em que x = 2. 
Logo, temos:
x
y
0 1–2–3 2 3 4 5 6 7
0
–81
–3
–7
2
–2
–6
–10
3
–1
–5
–9
f(x) = (x+1).(x–5)
–1
–4
–11
Observando o gráfico, concluímos:
a) f(x) > 0 para x > 5, ou então para 
x < –1;
 f(x) < 0 para x entre –1 e 5;
b) f(x) é crescente para x > 2;
 f(x) é decrescente para x < 2;
c) para x > 2, f(x) cresce a taxas 
crescentes (concavidade para cima);
 para x < 2, f(x) decresce a taxas 
decrescentes (concavidade para cima).
Atividade 5
Construir o gráfico das funções: 
a) f(x) = 3x
b) g(x) = 3–x
c) h(x) = log3 x
d) m x x( ) log= 1
3
Identificar em cada caso se a função é cres-
cente ou decrescente, bem como se o crescimen-
to é a taxas crescentes ou a taxas decrescentes.
Basta notar a concavidade do gráfico em 
cada caso:
0 1–1–2 3
0
1
–1
–2
–3
–4
–5
2
3
4
5 y
x
2
Concluímos que:
f(x) cresce a taxas crescentes;
g(x) decresce a taxas decrescentes;
h(x) cresce a taxas decrescentes;
m(x) decresce a taxas decrescentes.
Atividade 6 
Construir o gráfico das funções f(x) = senx 
e g(x) = cosx entre x = 0 e x = 2π no mesmo 
sistema de coordenadas.
60
0
1
1 2 3 4 5 7
x
y
f(x) = senx
g(x) = cosx
x
π
2 π
3
2
π
2π
0 2π
a) Identificar os intervalos em que f(x) e 
g(x) são crescentes e os intervalos em 
que são decrescentes.
No intervalo considerado, temos:
f(x) é crescente para x entre 0 e π
2
 e para x 
entre 3
π
2
 e 2π;
f(x) é decrescente para x entre π
2
 e 3 π
2
;
g(x) = 3–x f(x) = 3x
h(x) = log3x
m(x) = log1
3
x
36
g(x) é crescente para x entre π e 2π;
g(x) é decrescente para x entre 0 e π.
b) Comparar os gráficos de f(x) e de g(x), 
observando que os valores máximos de 
uma das funções ocorrem nos pontos 
em que a outra se anula e vice-versa.
Notamos que o valor máximo de f(x) ocorre 
no ponto x = π
2
, e o valor mínimo ocorre no 
ponto x = 3 π
2
; nesses pontos, temos g(x) = 0. 
Analogamente, o valor máximo de g(x) 
ocorre nos pontos x = 0 e x = 2π, e o valor 
mínimo, no ponto x = π; nesses pontos, temos 
f(x) = 0.
c) Comparar os gráficos de f(x) e de g(x), ve-
rificando que a concavidade de f(x) muda 
(de gráfico encurvado para baixo para 
gráfico encurvado para cima ou vice-ver - 
sa) nos pontos em que g(x) assume 
valores extremos (máximo ou mínimo) 
e vice-versa em relação a g(x). 
Notamos no gráfico que o gráfico de f(x) pas-
sa de voltado para baixo a voltado para cima 
no ponto x = π, em que g(x) assume o valor 
mínimo. Analogamente, o gráfico de g(x) pas-
sa de voltado para baixo a voltado para cima 
no ponto x = π
2
, que é de máximo para f(x), 
e volta a ficar voltado para baixo no ponto 
x = 3 π
2
, que é de mínimo de f(x).
Considerações sobre a avaliação 
No final deste percurso de aprendizagem, a 
expectativa é que os alunos tenham aprendido 
que, ao observar o gráfico de uma função, é 
possível ir muito além da simples constatação 
do crescimento ou do decrescimento, passando 
a incorporar a ideia de que a rapidez com que 
uma função cresce ou decresce também é im-
portante e pode ser vislumbrada qualitativa-
mente no gráfico. 
Conforme foi visto, uma indicação da ra-
pidez com que uma função cresce ou decresce 
pode ser obtida por meio da taxa de varia-
ção unitária, ou seja, da variação de f(x) por 
unidade a mais de x, a partir de um ponto. 
É fundamental o reconhecimento de que exis-
tem três formas básicas de crescer ou decres-
cer: a taxas constantes, como as funções que 
traduzem algum tipo de proporcionalidade 
e têm como gráficos uma linha reta; a taxas 
crescentes, quando o gráfico é encurvado para 
cima; e a taxas decrescentes, quando o gráfico 
é encurvado para baixo. 
A exploração do significado de tais fatos 
em exemplos contextualizados e o reconheci-
mento do tipo de crescimento e decrescimento 
nas funções já apresentadas nas Situações de 
Aprendizagem anteriores são o conteúdo mí-
nimo a ser aprendido.
37
Matemática – 3a série – Volume 3
As funções são instrumentos fundamentais 
para a representação das relações de interde-
pendência entre grandezas, conforme está sen-
do visto no presente bimestre. Já vimos que as 
funções de 1o grau f(x) = ax + b prestam-se 
muito bem para representar relações que en-
volvem proporcionalidade, que funções como 
f(x) = senx ou f(x) = cosx são interessantes na 
representação de fenômenos periódicos, que 
funções como f(x) = ax expressam crescimento 
ou decrescimento exponenciais, dependendo 
do valor do coeficiente positivo a (crescimen-
to, se a > 1; decrescimento, se a < 1). 
uma característica fundamental da função 
exponencial é o fato de que a taxa de variação 
unitária, ou seja, f(x+1) – f(x) é diretamente 
proporcional ao valor de f(x) em cada ponto. 
uma função exponencial particularmente 
importante, que se encontra na representação 
de diversos fenômenos naturais, é aquela em 
que a base a é um número relativamente pou-
co conhecido no Ensino Fundamental, mas 
muito importante na Matemática: trata-se do 
número representado pela letra ℮, cujo valor 
é 2,718281828459045... ou seja, é aproxima-
damente igual a 2,7183. Tal como o número 
π = 3,141592... ou, aproximadamente, 3,1416, 
que representa a razão constante entre o 
comprimento de uma circunferência e seu 
diâmetro, o número ℮ tem um significado es-
pecialmente importante quando se estudam as 
diversas formas de uma função f(x) crescer ou 
decrescer. Fenômenos que envolvem crescimento 
ou decrescimento de populações, desintegração 
radioativa, juros compostos, entre outros, quando 
analisados de modo adequado, tornam natural 
o aparecimento do número ℮, o que será mostra-
do na presente Situação de Aprendizagem. 
Tal como o número π, o número ℮ é irracional 
e transcendente. Irracionais como 2 não são ra-
zões entre inteiros, mas são raízes de equações al-
gébricas com coeficientes inteiros (por exemplo, 
x2 – 2 = 0); um irracional é transcendente quando 
não existe equação algébrica com coeficientes in-
teiros que o tenha como raiz, e esse é o caso de nú-
meros como π e ℮. Tais fatos, no entanto, não nos 
interessarão no presente momento. Interessa-nos 
apenas conhecer uma particular função exponen-
cial, que vai ampliar significativamente o repertó-
rio de recursos para o tratamento matemático de 
diversos fenômenos em diferentes contextos. 
As competências básicas que podem ser de-
senvolvidas pela exploração de tal tema são as 
capacidades de expressão, de compreensão de 
fenômenos, de contextualização e de formula-
ção de propostas de intervenção na realidade. 
A despeito de o número ℮ não ser habitual- 
mente apresentado aos alunos do Ensino 
Médio, convidamos o colega professor para 
nos acompanhar em sua apresentação. Temos 
certeza de que o desafio terá como contrapar-
tida o descortinar de uma temática que des-
perta muito interesse nos alunos. 
Sugere-se que o professor utilize duas se-
manas com o material ora apresentado. 
SITuAçãO DE APRENDIzAGEM 4 
OS FENôMENOS NATuRAIS E O CRESCIMENTO Ou 
DECRESCIMENTO EXPONENCIAl: O NúMERO ℮
38
Roteiro para aplicação da Situação 
de Aprendizagem 4
Conteúdos e temas
 uma característica fundamental de uma f
função exponencial, referente ao modo de 
crescimento e decrescimento.
 A existência de uma função exponencial f
peculiar para representar o crescimento ou 
decrescimento exponencial.
 O número f ℮, base dessa função exponen-
cial especial, bem como dos logaritmos 
correspondentes, os logaritmos naturais.
 Alguns exemplos de utilização da exponen- f
cial e dos logaritmos naturais em diferentes 
contextos.
Inicialmente, será destacada uma proprie-
dade característica das funções exponenciais, 
cujo crescimento ou decrescimento difere 
muito das