atividade estruturada de calculo 3

Prévia do material em texto

Nome: Fábio Amarante Araújo
Matricula: 201409014363
APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
Problema 1: De acordo com a lei de arrefecimento4 de Newton, a taxa de resfriamento de uma substância numa corrente de ar é proporcional à diferença (de temperatura) da substância e a do ar. Sendo a temperatura do ar 30°C e resfriando a substância de 120ºC para 80ºC em 20 minutos, achar o momento em que a temperatura desta substância será 50ºC.
Solução:
Seja T a temperatura da substância. 
t o tempo.
Tm a Temperatura ambiente, temos:
E sabendo que Tm = 30, a equação pode ser escrita da seguinte forma:
dT/dt = kTm – kT dT/dt = -k( T – Tm)
dT/dt = -k( T – 30) dT/(T – 30) = -kdt
Integrando entre os limites t variando de 0 a 20 minutos e T variando de 120ºC a 80ºC, obtém-se:
 = -k
Ln(T-30)= -kt 
Ln 50 – ln90 = -20k 
Ln() = 20k
20k = 0,5878
Integrando entre os limites T variando de 120°C a 50ºC, t variando de 0 a t minutos, consegue-se o instante exato em que a temperatura será 50°C.
 = -k
Ln20 –ln 90 = -kt
Multiplicando ambos os membros por 20, tem-se:
20kt = 20 ln )
Como 20k = 0,5878, isolando t tem-se;
t= 
t = 51,18 ou aproximadamente 51 minutos e 11 segundos