teorema de reynolds

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Fenômenos de Transporte I 
Prof. Carlos Ruberto Fragoso Jr. 
 
 
1. Fundamentos de Cinemática dos Fluidos 
1.1 Definições 
Escoamento – é a deformação contínua de um fluido que sofre a ação de uma força tangencial, por 
menor que ela seja. 
Cinemática dos Fluidos – descreve o escoamento dos fluidos sem se preocupar com as forças que 
originam estes movimentos. A análise desta forças é deixada para a dinâmica. Para isso, organiza 
informação sobre a posição, o deslocamento, o espaço percorrido, a velocidade, a rapidez e a 
aceleração dos corpos. Cinemática (do grego: cinemática = movimento). 
 gravitacional 
 campo ou volumétricas 
 centrífugo 
Tipos de Forças 
 normais (compressão) 
contato ou superficiais 
 tangenciais (cisalhamento) 
Esforços dos fluidos 
Fluido em repouso – atuam somente as forças de campo. 
Fluido em movimento – atuam as forças de campo, normais e também forças de cisalhamento. 
 
1.2 Regimes de escoamento 
a) Escoamento laminar: 
 As camadas de fluido deslizam umas sobre as outras (lâminas); não há mistura macroscópica de fluido. 
 A velocidade do escoamento em um determinado ponto não varia com o tempo. 
 Ocorre quando o fluido escoa em baixas velocidades em um tubo com diâmetro pequeno. 
 
b) Escoamento turbulento: 
 Aparecimento de turbilhões no seio do fluido, provocando a mistura. 
 A velocidade num ponto oscila com o tempo ao redor de um valor médio. 
 
 
1.3 Experiência de Reynolds (1883) 
 Por meio deste experimento Reynolds pode evidenciar a diferença qualitativa entre o escoamento 
laminar e turbulento. O experimento consistia em introduzir um fio de líquido colorido no centro de um 
tubo através do qual o mesmo líquido, sem corante, escoava com uma velocidade controlada. A baixas 
velocidades de escoamento, o fio de líquido colorido permanecia reto e contínuo pelo comprimento do 
tubo e quando certa velocidade crítica era atingida, a linha colorida era violentamente agitada e sua 
continuidade destruída por curvas e vórtices, revelando assim fluxo turbulento. 
 
1.4 Número de Reynolds 
Quando a velocidade de um fluido que escoa em um tubo excede certo valor crítico, o regime de 
escoamento passa de laminar para turbulento, exceto em uma camada extremamente fina junto à parede 
do tubo, chamada camada limite, onde o escoamento permanece laminar. Além da camada limite, onde o 
escoamento é turbulento, o movimento do fluido é altamente irregular, caracterizado por vórtices locais e 
um grande aumento na resistência ao escoamento. O regime de escoamento, se laminar ou turbulento, é 
determinado pela seguinte quantidade adimensional, chamada número de Reynolds: 
 
uD uD Forças InerciaisRe
Forças Vis cos as
ρ= = =μ ν (1) 
 
Verifica-se experimentalmente que o escoamento de um fluido em um tubo circular é: 
• Laminar se Re < 2100. 
• Turbulento se Re > 4000. 
• Instável, mudando de um regime para outro se 2100 < Re < 4000 (região de transição). 
 
1.5 Propriedades Intensivas e Extensivas 
 Grandeza intensiva é qualquer grandeza associada a uma substância que seja independente da 
sua massa. Pode-se citar como grandeza intensiva a velocidade e a temperatura. Consequentemente 
grandeza extensiva é aquela que depende da massa da substância (i.e. do tamanho do sistema). Como 
exemplos citam-se a massa e o volume da substância. Toda a grandeza extensiva tem uma intensiva a 
ela associada, denominada grandeza específica, que pode ser obtida dividindo-se a grandeza pela 
massa da substância, como exemplificado a seguir para uma propriedade N qualquer. 
 
η = dN
dm
 ou propriedade extensivapropriedade intensiva
m
= (2) 
 
 A próxima tabela exemplifica algumas grandezas extensivas usuais em fenômenos de 
transporte e correspondentes intensivas. 
 
Tabela 1.0 – Exemplos de grandezas extensivas e correspondentes grandezas intensivas. 
Extensivas Intensivas 
Massa m 1 
Quantidade de movimento um Velocidade u 
Volume V Volume específico v 
Energia E Energia específica e 
Energia interna U Energia interna específica u 
Energia cinética ½ m u2 Energia cinética específica ½ u2 
Energia potencial mgz Energia potencial específica gz 
 
1.6 Sistema 
 É uma quantidade de matéria de massa e identidade fixa, que escolhemos como objeto de 
estudo. Esta quantidade de matéria está contida por uma fronteira através da qual não há fluxo de 
massa. Apenas energia (calor e trabalho) flui através da fronteira. Exemplo: 
 
Sistema 
1.7 Volume de Controle 
É uma determinada região delimitada por uma fronteira onde uma determinada quantidade de 
matéria é observada. A fronteira desta região pode ser atravessada por massa, calor, trabalho ou outras 
formas de energia. Estuda-se a variação da massa e da energia da substância ao atravessar esta região. 
Exemplo: 
 
Volume de Controle 
 
 
1.8 Regime permanente (estacionário) e transiente 
No escoamento permanente, as propriedades e características do fluxo são independentes do 
tempo. Isto significa que não existem mudanças nas propriedades deste fluxo em um determinado 
ponto com o decorrer do tempo, mas pode ter mudanças espaciais (de um ponto com relação ao outro). 
 
1.9 Descrição Lagrangeana (sistema) e Euleriana (volume de controle) 
 Estes dois tipos de descrição permitem analisar problemas em mecânica dos fluidos de duas 
formas diferentes: 
1) Descrição Lagrangeana (sistema) consiste em identificar certas partículas do fluido e a partir 
daí observar variações de propriedades tais como temperatura; velocidade; pressão; etc. ao 
longo do tempo, ou seja, necessita-se conhecer as propriedades das partículas à medida que 
estas se deslocam no espaço com o passar do tempo. Isto dificulta consideravelmente o estudo 
do escoamento. A outra forma, a Euleriana, apresenta vantagens por oferecer maior 
simplicidade com precisão satisfatória. (No método de Lagrange a medida deve acompanhar o 
escoamento – ex. balão de sondagem atmosférica). 
 
2) A descrição Euleriana (volume de controle) é a mais apropriada para se estudar as propriedades 
do fluido em escoamento. Este método consiste em fixar-se o tempo e observar as propriedades do 
fluido em vários pontos pré-estabelecidos podendo-se assim obter uma “visão” do comportamento 
do escoamento naquele instante. Repetindo-se este procedimento para alguns instantes diferentes 
pode-se ter um entendimento do comportamento do escoamento ao longo do tempo. (No método de 
Euler, escolhe-se um volume de controle, que é fixo no espaço, o qual é atravessado pelo 
escoamento. Neste método, o equacionamento é aplicado nas entradas e nas saídas). 
 
2. Balanços Globais e Diferenciais 
 Para se estudar um escoamento deve-se identificar algumas informações relativas ao processo e 
fundamentar a técnica a ser utilizada para a sua análise. As abordagens de análise são baseadas na 
descrição lagrangeana (diferencial) e euleriana (global), assim: 
 
Balanços Globais: 
• o volume de controle delimita uma caixa preta; 
• as equações de balanço são aplicadas através da envoltória do volume de controle; 
• o volume de controle pode incluir paredes sólidas, e 
• não fornece informações sobre o comportamento ponto a ponto do sistema, apenas valores 
globais (ou seja, entradas e saídas). 
 
Balanços Diferenciais: 
• o elemento de volume é infinitesimal; está dentro da caixa preta; 
• permite ao observador “observar” variações das grandezas no interior do volume de controle; 
• o balanço é aplicado geralmente sobre uma única fase, e 
• o balanço é integrado até os limites da fase com o auxílio de condições de contorno para 
encontrar a solução particular do problema. 
 
2.1 Equações básicas na forma integral para umvolume de controle (Balanço Global) 
 Começaremos nosso estudo de fluidos em movimento desenvolvendo as equações básicas na 
forma integral para aplicação em volume de controle. Por que a formulação em volume de controle 
(i.e. região fixa) em vez de sistema (i.e. massa fixa)? Há dois motivos básicos. Primeiro, é 
extremamente difícil identificar e seguir a mesma massa de fluido em todos os instantes, como deve 
ser feito para aplicar a formulação do sistema. Segundo, o que nos interessa, geralmente, não é o 
movimento de uma dada massa de fluido, mas sim o efeito do movimento global de fluido sobre algum 
dispositivo ou estrutura (tal como uma seção da asa ou uma curva de uma tubulação). Deste modo, é 
mais conveniente aplicar as leis básicas a um volume definido no espaço, usando uma análise de 
volume de controle (sistema euleriano). 
 Como já estamos familiarizados com as leis básicas para um sistema, pois elas fazem parte de 
estudos anteriores de física, mecânica e termodinâmica. Nosso objetivo agora é obter expressões 
matemáticas para estas leis que sejam válidas para um volume de controle, mesmo sabendo que as leis 
básicas se aplicam realmente a uma massa (i.e. um sistema). Isto envolverá deduções matemáticas que 
convertem uma expressão de sistema para uma expressão equivalente de volume de controle. Ao 
invés de deduzir esta conversão para cada uma das leis, iremos deduzi-la de uma forma genérica, e em 
seguida, aplicá-las a cada lei. 
 
- Leis básicas para um sistema (sem entrada ou saída de massa) 
 
- Conservação de massa 
 Como um sistema é, por definição, uma porção arbitrária de matéria de identidade fixa, ele é 
constituído da mesma quantidade de matéria em todos os instantes. A conservação de massa exige que 
a massa M, do sistema seja constante. Numa base de taxa (i.e. por unidade de tempo), temos: 
 
0
Sistema
D dV
Dt
=∫ ρ (da definição de sistema, as fronteiras não permitem entrada/saída de massa) (3) 
 
 
- A primeira lei da termodinâmica (conservação da energia) 
 A equação da primeira lei pode ser escrita na forma de taxa como sendo: 
 
Sistema
DQ W e dV
Dt
− = ∫� � ρ (4) 
2
e u gz
2
u= + + (5) 
 
- Segunda Lei de Newton (quantidade de movimento) 
 Para um sistema movendo-se em relação a um referencial fixo, a segunda lei de Newton 
( F ma=G G ) estabelece que a soma de todas as forças externas agindo sobre o sistema é igual à taxa de 
variação de quantidade de movimento “linear” do sistema. 
 
Sistema
DF u dV
Dt
=∑ ∫ ρ (6) 
 
De forma genérica podemos observar que para cada lei básica destas apresentadas a quantidade 
integral é uma propriedade extensiva do sistema (Nsis). Nsis pode ser massa, quantidade de movimento 
ou energia do sistema. É útil introduzir a variável η para a propriedade intensiva. Assim, podemos 
tornar as relações para um sistema de uma forma genérica por: 
 
sistema
Sistema
N dV= ∫ ηρ (7) 
 
- Teorema do transporte de Reynolds (converte de sistema para volume de controle) 
 Este teorema tem como premissa transformar as equações válidas para um sistema em equações 
válidas para um volume de controle. (i.e. converte do sistema Lagrangeano para o Euleriano). 
 As equações obtidas na seção anterior para a massa, energia e quantidade de movimento são 
para um sistema, e desejamos agora “converter” para equações equivalentes para volume de controle. 
Para isso, usaremos o símbolo N para representar qualquer uma das propriedades extensivas do 
sistema. Podemos imaginar N como sendo uma quantidade de “coisa” (massa, movimento linear, 
movimento angular ou energia) do sistema. A propriedade intensiva correspondente (N/m) será 
designada por η. Assim, 
 
sistema
Sistema
N dV= ∫ ηρ (8) 
 
Com base nas equações de sistemas e por meio de uma comparação entre sistema e volume de 
controle, obtemos uma relação fundamental entre a taxa de variação de qualquer propriedade extensiva 
arbitrária, N, de um sistema e a variação destas propriedades associadas com um volume de controle. 
Alguns autores referem-se a esta equação discriminada a seguir, como o Teorema de Transporte de 
Reynolds (TTR). 
 
ˆ( ) ( )sistema
A
DN d dV nu dA
Dt dt ∀
= ηρ + ηρ∫∫∫ ∫∫ ou (9) 
 
 ˆ( ) ( )sistema
VC SC
DN d dV nu dA
Dt dt
= ηρ + ηρ∫ ∫ (10) 
 
Avaliação do produto vetorial nˆudA 
 
 
ˆ (cos )nudA u dA= α nˆudA udA= + nˆudA udA= − 
 
 
Interpretação física de cada termo do TTR 
sistemaDN
Dt
 - é a taxa de variação de qualquer propriedade extensiva (da quantidade de qualquer “coisa”, por exemplo, massa e energia) arbitrária do sistema. 
( )
VC
d dV
dt
ηρ∫ 
- é a taxa de variação com o tempo da propriedade extensiva arbitrária N dentro 
do volume de controle. 
: η é a propriedade intensiva correspondente a N; η = N/m. 
: dVρ é um elemento de massa contido no volume de controle. 
: ( )
VC
dVηρ∫ é a quantidade total da propriedade extensiva N contida dentro do 
volume de controle 
ˆ( )
SC
nu dAηρ∫ 
- é a taxa líquida de fluxo da propriedade extensiva N através da superfície de 
controle. 
: ˆ( )nu dAρ é a taxa de fluxo de massa através do elemento de área dA por unidade 
de tempo. 
: ˆ( )nu dAηρ é a taxa de fluxo da propriedade extensiva N através da área dA. 
 
 
2.1.1 CONSERVAÇÃO DE MASSA 
O primeiro princípio físico ao qual aplicamos a relação entre as formulações de sistema e volume 
de controle é o princípio da conservação de massa. A massa de um sistema permanece constante. As 
formulações de sistema e de volume de controle (genérica) são relacionadas pela equação 
 
ˆ( ) ( )sistema
VC SC
DN d dV nu dA
Dt dt
= ηρ + ηρ∫ ∫ (30) 
 Para deduzir a formulação para volume de controle da conservação de massa, fazemos: 
N = M e η = 1 
 Que substituídos na equação genérica do TTR fornece: 
ˆ( ) ( )sistema
VC SC
DM d dV nu dA
Dt dt
= ρ + ρ∫ ∫ (31) 
Da conservação de massa para sistema 0sistemaDM
Dt
⎛ ⎞=⎜ ⎟⎝ ⎠ , resulta em: 
 
ˆ( ) ( ) 0
VC SC
d dV nu dA
dt
ρ + ρ =∫ ∫ (Balanço Geral para Conservação de Massa) (32) 
 
( )
ˆ( )
VC
SC
d dV Taxa de aumento de massa no VC
dt
nu dA Taxa líquida de massa através da SC
ρ =
ρ =
∫
∫
 
Para um volume de controle fixo (não deformável), unidimensional (propriedades do 
escoamento são praticamente uniformes) representado pela figura abaixo: 
 
(Taxa de massa acumulada) + (Taxa de massa que sai) – (Taxa de massa que entra) = 0 
 
VC
d dV
dt∫ ρ + ( )i i i saii Au∑ ρ – ( )i i i entrai Au∑ ρ = 0 
( ) ( ) 0i i i i i isai entra
i iVC
d dV Au Au
dt
+ − =∑ ∑∫ ρ ρ ρ (BGM – VC não deformável). (33) 
 
- Casos Especiais 
Em alguns casos é possível simplificar a equação anterior (Equação 33), como no caso de um 
escoamento incompressível (massa específica ρ = constante, geralmente válida para líquidos). Quando 
ρ não depende nem do espaço nem do tempo, a equação pode ser escrita como: 
 
( ) ( ) 0i i i i i isai entra
i iVC
d dV Au Au
dt
+ − =∑ ∑∫ρ ρ ρ (34) 
 
A integral de dV sobre todo o volume de controle é o próprio volume total do sistema. Assim, 
dividindo a equação anterior por ρ, escrevemos: 
 
( ) ( ) 0i i i isai entra
i i
dV Au Au
dt
+ − =∑ ∑ (35) 
 
Para um volume de controle não deformável, de forma e tamanhos fixos, V = constante. A 
conservação da massa para escoamento incompressível, através de um volume de controle fixo e para 
regime permanente ou não, torna-se: 
 
( ) ( )i i i isai entra
i i
Au Au=∑ ∑ (36) 
 
A solução desta somatória (integral) sobre a seção de umasuperfície de controle é comumente 
chamada de taxa de fluxo de volume ou vazão volumétrica (no SI em m3/s). Assim, a vazão 
volumétrica nestas condições através da seção da superfície de controle de área A, é dada por: 
 
ˆ
SC
Q nudA= ∫ ou Q A u= ∗ (vazão volumétrica – no SI [m3/s]) (37) 
 
*m Q= ρ� (vazão mássica – no SI [kg/s]) (38) 
 
Considere agora o caso geral de escoamento permanente, compressível (para gases), através de 
um volume de controle fixo. Por definição, nenhuma propriedade do fluido varia com o tempo num 
escoamento permanente, reduzindo a equação 33, para: 
 
( ) ( ) 0i i i i i isai entra
i i
Au Au− =∑ ∑ρ ρ (39) 
 
Exemplos 
Exemplo 14: Considere o escoamento permanente de água em uma junção de tubos conforme 
mostrado no diagrama. As áreas das seções são: A1 = 0,2 m2; A2 = 0,2 m2; A3 = 0,15 m2. O fluido 
também vaza para fora do tubo através de um orifício no ponto 4, com uma vazão volumétrica 
estimada em 0,1 m/s. As velocidades médias nas seções 1 e 3 são u1 = 5 m/s e u3 = 12 m/s. Determine 
a velocidade do escoamento na seção 2. 
 
Exemplo 15: Um reservatório se enche de água por meio de duas entradas unidimensionais. Ar é 
aprisionado no topo do reservatório. A altura da água é h. (a) Encontre uma expressão para a variação 
da altura da água, dh/dt. (b) Calcule dh/dt para D1 = 25 mm, D2 = 75 mm, u1 = 0,9 m/s, u2 = 0,6 m/s e 
Ares = 0,18 m2, considerando a água a 20 ºC. 
 
Exemplo 16: Um tanque de volume V = 0,05 m3 contendo ar a p = 800 kPa (absoluta) e T = 15ºC. Em 
t = 0, o ar começa a escapar por uma válvula. O ar sai como uma velocidade u = 300 m/s e massa 
específica ρ = 6 kg/m3 através de uma área A = 65 mm2. Determine a taxa de variação da massa 
específica do ar no tanque em t = 0.