equiv de taxas efetivas e nominais

Prévia do material em texto

Resumo
Chamamos de taxas efetivas de juros aquelas em que o período de 
capitalização da taxa coincide com seu período de referência. Existem 
também as chamadas taxas nominais de juros, que são aquelas cujo período 
de capitalização não coincide com o período de referência da taxa. É 
acerca destas taxas que trataremos neste capítulo, visualizando, além das 
transformações, a utilização e aplicação desses conceitos.
Equivalência de taxas 
efetivas e nominais 
Eduardo Araújo*
Taxas nominais de juros
As taxas nominais são aquelas em que o período de capitalização não coincide com o período de 
referência da taxa.
Veja que o período de capitalização (mês) é igual ao período de referência (mês).
Ex.: 10% a.m./c.b. (lê-se dez por cento ao mês com capitalização bimestral). Como você pode 
perceber, o período de capitalização é bimestral e o de referência é mensal, ou seja, o juro é de 10% 
ao mês, mas só capitalizado a cada dois meses.
 Mestre em Ensino de Ciências e Matemática – Ulbra. Especialista em Educação a Distância – Senac. Graduado em Matemática – Ulbra.
Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
12� Matemática para Negócios e Finanças
Importante
Existem algumas notações para os períodos de capitalização – assim como existem para o 
período de juros – tanto para taxas nominais quanto para as efetivas. Veja:
c.d. = capitalização diária
c.m. = capitalização mensal
c.b. = capitalização bimestral
c.s. = capitalização semestral
c.t. = capitalização trimestral
c.a. = capitalização anual
Apesar de utilizadas, as taxas nominais não representam as taxas efetivas que estamos buscando 
e, para realizarmos qualquer cálculo, devemos primeiramente transformá-las nas taxas efetivas 
correspondentes. O que é bastante simples, já que precisamos apenas dividir ou multiplicar pelo 
período que estamos buscando.
Na situação trazida anteriormente (10% a.m./c.b.), temos uma taxa de 10% ao mês, mas 
capitalizada somente a cada dois meses, ou seja, 20% a.b./c.b. Como percebe-se, apenas a taxa foi 
dividida por dois, já que um bimestre tem dois meses e a capitalização é bimestral.
Veremos algumas formas de transformar taxas, mas é importante salientar que, tranqüilamente, 
elas podem ser transformadas sem qualquer uso de fórmulas, como fizemos antes.
Para transformarmos taxa nominal (in) em taxa efetiva (i), apenas dividimos a taxa nominal em 
questão pelo número de capitalizações no período, ou seja:
i =
i
n
n
c
 
em que nc = número de capitalizações no período
Ex.: Se a taxa nominal in = 120% a.a./c.m., qual o valor da taxa efetiva equivalente ao mês com 
capitalização mensal? (a.m./c.m.) 
Importante
Se não nos fosse dito que a taxa 120% a.a./c.m. era uma taxa nominal, 
poderíamos logo perceber isso, uma vez que o período de capitalização (mensal) 
não coincide com o período de referência da taxa (anual). Desta forma:
 in = 120 
 nc = 12, já que 1 ano equivale a 12 meses
assim:
 i = 120
12
 = 10
 Portanto, i = 10% a.m./c.m.
Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
Equivalência de taxas efetivas e nominais 129
Como foi visto anteriormente, essa transformação de taxa nominal para a respectiva taxa efetiva 
poderia ser feita simplesmente verificando-se que, se um ano tem 12 meses, e a capitalização é mensal, 
120% a.a./c.m. é o mesmo que i = 10% a.m./c.m.
Para transformarmos taxa efetiva (i) em taxa nominal (in), basta multiplicarmos a taxa nominal em 
questão pelo número de capitalizações no período, ou seja:
in = i . nc
em que nc = número de capitalizações no período
Ex.: Se a taxa efetiva i = 10% a.m./c.m., qual o valor da taxa nominal equivalente ao ano com 
capitalização mensal (a.a./c.m)?
Solução:
 i = 10% a.m./c.m.
 nc= 12 
 in = i . nc
 in = 10 . 12 = 120
 in = 120% a.a./c.m.
Dica
Na verdade, as expressões i=
i
n
n
c
 e in = i . nc são a mesma expressão, porém vista de formas 
diferentes, veja:
Se i=
i
n
n
c
 e passamos o termo nc (que está dividindo no lado direito da igualdade) multiplicando 
para o lado esquerdo, teremos a expressão para in .
Transformando taxas efetivas de juros
Como você já sabe, para transformarmos taxas efetivas não basta multiplicarmos ou dividirmos 
pelo número de meses, já que temos uma capitalização composta e sua variação não é linear. A partir 
da expressão dos juros compostos, facilmente obtemos a seguinte relação para estas taxas:
i =(1+ i ) - 1a b
a
b
 
em que:
 ia = taxa desejada ib = taxa dada
 a = prazo da taxa desejada (ia) b = prazo da taxa dada (ib)
Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
130 Matemática para Negócios e Finanças
Importante
Em geral, transformamos os prazos “a” e “b” em meses para facilitar os cálculos, o que não impede 
que outra unidade de tempo seja utilizada.
Em um Boletim do Banco Central do Brasil (disponível em: <www.bcb.gov.br>), consta que, 
no ano de 2003, a taxa Selic mensal era de 1,37% a.m. e que esta mesma taxa anual foi de 17,737% 
a.a. Caso tivéssemos somente a taxa mensal, como calcularíamos a taxa anual? Para respondermos 
a questões como essa é que estudaremos como transformar taxas efetivas de juros em regime de 
juros compostos.
Veja o cálculo para a situação anteriormente citada:
 ia = ?
 a = 1 ano = 12 meses
 ib = 1,37% a.m. = 0,0137
 b = 1 mês
 Solução: 
 i = 1 + i -1
i = 1 + 0,0137 -1
a b
a
b
a
12
1
( )
( )
 ia = 0,17737 = 17,737 %
Ou seja, em regime de capitalização composta, 1,37% a.m./c.m. é o mesmo que 17,737% a.a./c.a.
Veja outra situação:
No ano de 2002, a taxa TBF ficou em 21,78% a.a. Qual a taxa média ao mês?
 ia = ?
 ib = 21,78 % a.a. = 0,2178
 a = 1 mês
 b = 1 ano = 12 meses
Solução:
 
i =(1 + i ) -1
i = (1+ 0, 2178) -1
a b
a
b
a
1
12
 ia = 0,01655 ≅ 1,66%
Dica
Como você pode perceber, a razão a/b serve apenas para indicar quantas vezes o tempo da 
taxa que queremos é maior (ou menor) do que o tempo da taxa que temos. No nosso exemplo 
anterior, tínhamos a taxa em meses e queríamos uma taxa em anos (12 vezes maior).
Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
Equivalência de taxas efetivas e nominais 131
Veja outras situações:
Situação 1: 
Venda de importados encolhe 57,79% 
Mesmo fechando novembro com crescimento de 4,26% nas vendas em relação ao mês anterior, 
as empresas filiadas à Associação Brasileira das Empresas Importadoras de Veículos Automotores 
(Abeiva) registraram queda de 57,79% no acumulado dos 11 primeiros meses, na comparação com 
igual período do ano passado.
(Disponível em <www.clicrbs.com.br/jornais/zerohora>. Acesso em 11/12/2003)
A partir da situação anterior, podemos calcular a taxa média de queda mensal que corresponde à 
57,79% em um ano. Veja:
Taxa desejada (ia) = ? 
Taxa dada (ib) = 0,5779 = 57,79%
Prazo da taxa desejada (a) = 1 mês 
Prazo da taxa dada (b) = 11 meses
Solução:
 i =(1+0,5779) -1a
1
11
 ia = (1,5779)
0,0909 - 1
 ia = 0,0423
 ia = 4,23 % a.m./c.m.
 Desta forma, a taxa efetiva 57,79 % a.a./c.a. é equivalente à taxa 4,23% a.m./c.m.
Importante
::	 O período a ser considerado na avaliação do prazo é sempre o período de capitalização da taxa.
::	 Muitas vezes não é dito que o regime de capitalização é composto, pois essa informação é 
implícita nas situações em que o período de capitalização é mencionado. Desta forma,juro 
composto de 5% a.m. é o mesmo que dizer apenas 5% a.m./c.m.
Situação 2:
O capital de R$ 810,00 estava aplicado segundo as regras de CL para 1 ano, 2 meses e 12 dias, à 
taxa de juros de 28% a.b./c.m. Pergunta-se qual o valor do resgate.
Solução:
::	 Transformando a taxa para taxa efetiva: 28% a.b./c.m. = 14% a.m./c.m.
::	 Cálculo do período: 1 ano, 2 meses e 12 dias = 14 meses e 12 dias ou seja:
	 ñ = 14
	 nf	= 
12
30
= 0, 4
Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
132 Matemática para Negócios e Finanças
::	 Valor do resgate:
VF	= 810 . (1 + 0,14)14 . (1 + 0,14 . 0,4)
VF	= 5355,71
Situação 3:
Um capital de R$ 2.700,00 foi aplicado durante 1 ano, 4 meses e 15 dias com uma taxa de 6% 
a.m./c.t. Qual será o montante ao final deste período?
Dados desta situação:
 i = 6% a.m./c.t.
Como nossa capitalização é trimestral, deveremos primeiramente transformar nosso período 
em trimestres:
 n = 1 ano, 4 meses e 15 dias
 4 t + 1 t + 1 m + 15 d
 4 t + 1 t + 30 d + 15 d
 5 trimestres e 45 dias
Dessa forma:
 ñ = 5 trimestres
 nf = 45 dias = 45
90
 = 0,5 trimestres
Portanto:
 VF = VP . (1 + i)ñ . (1 + i . nf)
 VF = 2700 . (1 + 0,06)5 . (1 + 0,06 . 0,5)
 VF = 2700 . (1,06)5 . (1,03)
 VF = 3721,61
É importante tomar cuidado com o tipo de transformação de taxa que se está fazendo: quando 
transformarmos taxas nominais em efetivas, ou vice-versa, a transformação é linear, ou seja, apenas 
multiplicamos ou dividimos o período da taxa para igualarmos ao seu período de capitalização. 
Quando formos transformar taxas efetivas em efetivas com outro período de capitalização, estamos 
tratando de transformações não-lineares, portanto, deveremos, por exemplo, utilizar as definições 
apresentadas. 
Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
Equivalência de taxas efetivas e nominais 133
Atividades
1.	 Transforme as taxas indicadas abaixo em taxas a.m./c.m.
a) 6% a.t./c.m.
b) 9% a.s./c.s.
c) 5,75% a.b./c.a.
 
 
 
2.		 Qual é a taxa a.b./c.b. de um capital de R$ 2.500,00 aplicado durante 12 meses, que gerou um 
montante de R$ 3.000,00? 
 
 
 
3.		 A taxa média anual da TR no ano de 2004 foi de 2,2% a.a./c.a. Transforme-a para
a) a.m./c.m.
b) a.t./c.m.
c) a.s./c.s.
d) a.t./c.t.
 
 
 
 
Ampliando conhecimentos
Sempre que nos referirmos a uma taxa com seu respectivo período de capitalização, estamos falando em 
juros compostos. Porém, em geral, esta informação não é dita. Portanto, sempre verifique que regime é 
utilizado. Além disso, é importante atentar se o período em que a taxa será capitalizada é o mesmo dela. 
Nesses casos, teremos taxas efetivas de juros; do contrário, taxas nominais. Procure retomar e entender 
bem esses conceitos. Os livros de Matemática Financeira apresentam estas definições de diferentes 
formas. Procure utilizar a que mais você se adequar, mas é interessante utilizar somente uma, para que 
não haja má interpretação e conseqüente erro nas resoluções dos problemas.
Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
134 Matemática para Negócios e Finanças
Auto-avaliação
1.	 Em uma loja havia uma superpromoção: todos os produtos em 12 vezes com juros compostos 
de apenas 1,99% a.m./c.m. Qual a taxa de juros acumulada ao longo dos 12 meses com 
capitalização anual?
 
 
2.	 E se a promoção fosse em 24 vezes, qual seria o juro composto acumulado no fi nal deste período?
 
 
3.		 Uma taxa acumulada em 23% a.s./c.s. representa que taxa bimestral?
 
 
Referências
BRANCO, Anísio Costa Castelo: Matemática	Financeira	aplicada: método algébrico, HP-12C, Microsoft 
Excel. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2002. 
GOLDSTEIN, Larry J.; LAY, David C.; SCHNEIDER, David I. Matemática	aplicada: economia, administração 
e contabilidade. Porto Alegre: Bookman, 2000.
KRUSE, Fábio. Matemática	Financeira: conceitos e aplicações com o uso da HP-12C. Novo Hamburgo: 
Feevale, 2003. 
Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
Equivalência de taxas efetivas e nominais 135
Gabarito
Atividades
1.	 a) 2% a.m./c.m.
b) 1,45% a.m./c.m.
c) 2,5% a.m./c.m.
2.	 3,09% a.b./c.b.
3.	 a) 0,18% a.m./c.m.
b) 0,54% a.t./c.m.
c) 1,09% a.s./c.s.
d) 0,55% a.t./c.t.
Auto-avaliação
1.	 26,67% a.a./c.a. 
2.		 60,47%
3.	 7,14 % a.b./c.b.
Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br