INTROD A FINANCEIRA JUROS SIMPLES

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Resumo
Estudaremos aqui conceitos ligados a juros simples, bem como as situações 
em que eles são utilizados.
Quando falarmos em juros simples, estamos nos referindo a uma 
remuneração paga unicamente sobre o capital inicial. A remuneração, 
portanto, é fi xa e a taxa é chamada proporcional, uma vez que varia 
linearmente ao longo do tempo. No Brasil, os juros simples são aplicados, 
geralmente, apenas em situações em que o tempo de pagamento/atraso é 
muito pequeno ou em situações em que não se incide a infl ação (o que não 
é o nosso caso). Dessa forma, estudaremos juros simples muito mais para 
nos ambientarmos a situações fi nanceiras do que reais para aplicações. 
Introdução à Matemática 
Financeira: juros simples
Eduardo Araújo*
 Mestre em Ensino de Ciências e Matemática – Ulbra. Especialista em Educação a Distância – Senac. Graduado em Matemática – Ulbra.
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�6 Matemática para Negócios e Finanças
Noções básicas 
Veja o boleto bancário que exemplifica a situação descrita anteriormente.
Banco ABC n. 111 Local de Pagamento: Até o vencimento em qualquer banco, 
até 20 dias após o vencimento pagável somente nas agências 
do banco ABC.
Vencimento: 
10/12/2006
Parcela 
003
DOC
 00126
Agência:
299/009
Vencimento: 
10/12/2006
Após o vencimento acrescer ao valor do documento taxa de 
permanência de 0,25% ao dia mais multa de R$ 7,58. 
Não receber após 20 dias do vencimento.
Valor do 
documento:
R$ 490,00
Agência: 
299/009
Descontos:
Valor do documento:
R$ 490,00
Mora/Multa:
Sacado:
Fulano de Tal
Sacado:
Fulano de Tal
Rua Sem Nome, Número 000, Bairro Sem Nome
CEP: 00000-000
Valor final:
Nele, podemos notar uma aplicação de juros simples, uma vez que os juros são cobrados unicamente 
sobre o capital, não havendo a tão falada situação de juros compostos (os conhecidos “juros sobre juros”).
No Brasil, a prática da cobrança de juros compostos é muito comum, embora a prática do 
anatocismo1 seja proibida2. Para “driblar” essas situações, as instituições financeiras cobram juros de mora 
(fixos) e multas, limitando o atraso no pagamento em poucos dias e “renegociando” os valores acima 
deste prazo, ou ainda, transformam os juros compostos em simples e cobram, dessa forma, o valor, em 
juros simples, relativo aos juros compostos.
Cálculo dos juros simples (J)
Antes de iniciarmos nosso estudo, iremos definir algumas notações bastante utilizadas em cálculos 
financeiros. Veja:
J = juros
VP = valor presente, atual ou ainda capital
VF = valor futuro ou montante 
i = taxa de juros
n = período 
1 Cobrança de juros sobre juros em períodos inferiores a um ano.
2 Decreto 22.626, de 7 de abril de 1933 e também utilizada no novo Código Civil.
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Introdução à Matemática Financeira: juros simples �7
Imagine que, para o boleto bancário mostrado anteriormente, o devedor atrase em 18 dias o 
pagamento. Qual o valor a ser pago? Procure calcular antes de verificar a solução abaixo.
Solução:
 Juros por 1 dia de atraso:
 J=490.
0,25
100
=490 . 0,0025=R$1,225
 Juros por 18 dias de atraso:
 R$ 1,225 . 18 dias = R$ 22,05
Ou ainda:
 J = 490 
0,25
100
 18 dias = R$ 22, 05⋅ ⋅
Como você pode perceber, para calcularmos juros simples, basta fazermos o produto entre o 
capital (VP), a taxa (em valor decimal) e o tempo (em uma mesma unidade que a taxa). Dessa forma, 
claramente percebe-se que a expressão para o cálculo de juros simples é:
J = VP . i . n
Veja outra situação:
Um capital de R$ 500,00 foi aplicado a juros simples durante 4 meses, a uma taxa de 1% a.m.
Veja como podemos explorar a situação anterior:
VP = 500
i = 1% = 0,01
n = 4
J = VP . i . n
J = 500 . 0,01 . 4
J = 20
Os juros são todos iguais a cada mês, pois são colocados sobre o mesmo valor (500), que é o 
capital inicial. Esses juros podem ser retirados no final de cada mês ou no fim de 4 meses que o total será 
o mesmo, ou seja, 20.
Os juros (20) são divididos da seguinte forma:
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�� Matemática para Negócios e Finanças
Importante
Devemos sempre ter o cuidado de utilizar a taxa de juros e o período em uma mesma unidade 
de tempo. Tratando-se de juros simples, basta multiplicarmos ou dividirmos diretamente valores que 
obteremos essa relação. Veja dois exemplos:
Taxa de 15% a.m. é o mesmo que
 se o período estiver em dias:
 15 ÷ 30 = 0,5% a.d.
 se o período estiver em anos:
 15 . 12 = 180% a.a.
3 meses é o mesmo que
 se a taxa estiver em dias:
 3 . 30 = 90 dias
 se a taxa estiver em anos:
 3 ÷ 12 = 0,25 anos
Dessa forma, quando temos juros com taxas mensais, nosso período tem de ser em meses; se a 
taxa for diária, o período tem de ser em dias e assim por diante.
Cálculo do valor futuro ou montante (VF)
Chamamos de valor futuro ou montante o capital (VP) acrescido de seus juros (J). Para a situação do 
boleto bancário que tínhamos, o valor futuro seria o valor do título (R$ 490,00) mais os juros calculados 
(R$ 22,05), que resultaria em R$ 512,05.
Assim, temos:
 VF = VP + J
 Como J = VP . i . n, podemos escrever
 VF = VP + VP . i . n e, colocando VP em evidência, temos:
VF = VP . (1+ i . n)
Essa é a expressão matemática para o cálculo de juros simples.
Para o boleto bancário que tínhamos, o cálculo ficaria:
VF = VP . (1 + i . n)
VF = 490 . (1 + 0,0025 . 18)
VF = 490 . 1,045
VF = 512,05
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Introdução à Matemática Financeira: juros simples �9
Considerações importantes
::	 Notações de unidades
	 a.m. = taxa ao mês
	 a.b.	= taxa ao bimestre (2 meses)
	 a.t.	= taxa ao trimestre (3 meses)
	 a.s.	= taxa ao semestre (6 meses)
	 a.a.	= taxa ao ano (12 meses)
::		 Juros simples comercial e juros simples exato
Quando falamos em juros simples comercial, estamos nos referindo à taxa de juros em um ano 
de 360 dias, e quando nos referimos a juros simples exato, estamos nos referindo a um ano de 365 
dias ou 366 dias (se bissexto). Nesta disciplina contemplaremos apenas os juros simples comercial, ou 
seja, utilizaremos meses de 30 dias e anos de 360 dias.
::	 Transformando algumas taxas
Ex.: Uma taxa de 10% ao mês equivale a qual % em 1 bimestre?
 Solução:
 1 bimestre = 2 meses
Considerando-se que temos 10% em um mês, em um bimestre teremos o dobro (1 bimestre = 
2 meses), portanto:
 10% a.m. = 20% a.b.
 
Ex.: Uma taxa de 10% ao mês equivale a qual % em 1 ano?
 Solução:
 1 ano = 12 meses
Considerando-se que temos 10% em um mês, em um ano teremos 12 vezes essa taxa (1 ano = 
12 meses), portanto:
 10% a.m. = 120% a.a.
 
Ex.: Uma taxa de 60% ao semestre equivale a qual % ao mês?
 Solução:
 1 semestre = 6 meses
Considerando-se que temos 60% em um semestre, em um mês teremos 1/6 desse valor 
(1 semestre = 6 meses), portanto:
 60% a.s. = 10% a.m.
 
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90 Matemática para Negócios e Finanças
Ex.: Uma taxa de 30% ao trimestre equivale a qual % ao mês?
 Solução:
 1 trimestre = 3 meses
Considerando-se que temos 30% em um trimestre, em um mês teremos 1/3 desse valor 
(1 trimestre = 3meses), portanto:
 30% a.t. = 10% a.m.
 
Exercício comentado
Qual o montante do capital de R$ 80,00 no final de 3 meses e 17 dias a uma taxa de 18 % a.a. de 
juros simples?
Solução:
 Podemos deixar, por exemplo, todas as variáveis em função de dias. Veja:
::	 3 meses e17dias podem ser escritos como 107 dias (3 meses = 90 dias)
::	 18% a.a. = 18% ÷ 360 = 0,05% a.d. = 0,0005 a.d.
::	 VF = VP . (1 + i . n)
	 VF	= 80 . ( 1 + 0,0005 . 107)
	 VF	= 84,28
Capitalizando e descapitalizando capitais
Sempre que tivermos valores a serem comparados em negócios financeiros, devemos compará-los em 
um mesmo tempo (em geral no chamado tempo presente), e para fazê-lo, devemos capitalizar (calcular 
o seu valor no futuro) ou descapitalizar (calcular o seu valor no dia de hoje). 
Para juros simples, na expressão para o valor futuro é VF = VP . (1 + i . n), o fator capitalizante / 
descapitalizante é (1 + i . n). Ou seja, para levarmos esse valor para uma data futura, multiplicamos por 
(1 + i . n) e para trazermos de uma data futura para o dia de hoje dividimos por essa parcela.
Seu José, ao colocar a venda seu imóvel, recebeu três propostas distintas:
1.ª proposta) R$ 78.000,00 à vista
2.ª proposta) R$ 81.000 para 60 dias
3.ª proposta) R$ 40.000 à vista e dois pagamentos de R$ 20.000,00 para 45 e 90 dias, respectivamente.
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Introdução à Matemática Financeira: juros simples 91
Qual a melhor proposta, se para Seu José o dinheiro pode ser aplicado à taxa de 2% a.m. de juros 
simples?
Solução:
Para podermos comparar a melhor proposta, devemos, inicialmente, trazer todos os valores para 
o dia de hoje (descapitalizá-los).
Observações:
 Taxa de juros: 2% = 0,02
 Períodos:
 30 dias = 1 mês
 45 dias = 45 ÷ 30 = 1,5 meses
 90 dias = 90 ÷ 30 = 3 meses
1.ª proposta: R$ 78.000,00 à vista
2.ª proposta:
 VP = 
81000
(1 + 0,02 . 2)
=
81000
1,04
= R$ 77.884, 62
Este valor corresponde ao valor de R$ 80.000,00 se pago à vista.
3.ª proposta:
 Descapitalizando os R$ 20.000,00 dos 45 dias:
 VP = 20 000
(1+0,02 . 1,5)
=
20 000
1,03
= R$19 417, 48.
 Descapitalizando os R$ 20.000,00 dos 90 dias:
 VP = 
20 000
1 + 0,02 . 3
=
20 000
1,06
=R$18.867,92 
 Valor final = R$ 40. 000,00 + R$ 19. 417,48 + R$ 18. 867,92 = R$ 78.285,40
Este valor corresponde a R$40.000,00 à vista, mas as duas parcelas de R$20.000,00.
Então, a melhor proposta para seu José é a terceira, uma vez que a primeira proposta representa, 
hoje, R$78.000,00, a segunda R$77.884,62 e a terceira R$78.285,40.
Como você pôde perceber, realizar cálculos com juros simples é bastante fácil, porém, devemos 
sempre ter o cuidado de manter taxa e período em uma mesma unidade de tempo: taxa em meses, 
período em meses; taxa ao dia, período em dias, e assim por diante.
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92 Matemática para Negócios e Finanças
Atividades
1.	 Determinar os juros simples do capital de R$ 300,00 aplicado à taxa de 24% a.a. durante 2 
meses e 28 dias.
 
2.		 O capital de R$ 200,00 foi aplicado a juros simples durante 4 meses, resultando no montante de 
R$ 232,00. Qual a taxa de juros simples mensal da operação?
 
3.		 Um investidor possui um capital de R$ 28.000,00 e vai aplicá-lo a juros simples da seguinte forma: 
30% à taxa de juros de 6% a.m. e o restante à taxa de juros de 5% a.m. Qual será o montante da 
aplicação após 4 meses?
 
4.		 O capital de R$ 290,00 foi aplicado a juros simples durante 9 meses. Se a taxa dos primeiros 3 
meses foi de 8% a.m. e no período restante foi de 11% a.m., calcule o valor do montante.
 
5.		 O capital de R$ 200,00 foi investido a juros simples à taxa de 7,5% a.m. Após certo prazo a taxa foi 
majorada para 10 % a.m. O montante, 4 meses após a majoração foi de R$ 370,00. Qual o prazo 
total da aplicação?
 
6.		 O capital de R$ 400,00 foi aplicado à taxa de juros simples de 4% a.m. Após um semestre a taxa 
foi majorada, ficando durante 3 meses com esse valor. Se o montante no final de 9 meses foi 
R$ 568,00, qual a taxa no segundo período?
Ampliando conhecimentos
Procure exercitar os conceitos estudados e retomá-los sempre que necessário. Um efetivo aprendizado 
sobre conceitos de juros simples será fundamental durante toda a disciplina e no aprendizado de 
conceitos posteriores. Caso queira uma bibliografia complementar, o livro do professor Fábio Kruse, 
Matemática Financeira – conceitos e aplicações com o uso da HP-12C, traz uma série de aplicações e 
exercícios resolvidos sobre juros simples.
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Introdução à Matemática Financeira: juros simples 93
Auto-avaliação 
1.	 Calcular os juros simples produzidos por um capital de R$ 3.000,00, aplicado durante 1 ano a uma 
taxa de 1,8% a.m. de juros simples.
 
2.	 Um capital de R$ 500,00 produziu em um semestre um montante de R$ 590,00. Qual a taxa de 
juros simples mensal aplicada?
 
3.	 O preço à vista de um produto é R$ 480,00. O mesmo pode ser pago com uma entrada de 25%, 
mais um cheque pré-datado de R$ 381,60. Determine o prazo do cheque, sabendo que a taxa 
mensal de juros simples é de 4% a.m.
 
4.	 O capital de R$ 400,00 foi colocado à taxa de 20% a.a. durante 9 meses. Determine os juros 
simples.
 
5.		 Qual o montante do capital de R$ 80,00 no final de 3 meses e 17 dias a uma taxa de 18% a.a. de 
juros simples?
 
Referências
BRANCO, Anísio Costa Castelo. Matemática	Financeira	aplicada: método algébrico, HP-12C, Microsoft 
Excel. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2002. 
KRUSE, Fábio. Matemática	Financeira: conceitos e aplicações com o uso da HP-12C. Novo Hamburgo: 
Feevale, 2003.
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Introdução à Matemática Financeira: juros simples 95
Gabarito 
Atividades
1.	 R$ 17,60.
2.	 4% a.m.
3.	 R$ 33.936,00.
4.	 R$ 551,00.
5.	 10 meses.
6.	 6% a.m.
Auto-avaliação
1.	 R$ 648,00.
2.	 3% a.m.
3.	 45 dias.
4.	 R$ 60,00.
5.	 R$ 84,28.
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