mat fin 1

Prévia do material em texto

Emerson Marcos Furtado
Mestre em Métodos Numéricos pela Univer-
sidade Federal do Paraná (UFPR). Graduado 
em Matemática pela UFPR. Professor do Ensino 
Médio nos estados do Paraná e Santa Catari-
na desde 1992. Professor do Curso Positivo de 
Curitiba desde 1996. Professor da Universidade 
Positivo de 2000 a 2005. Autor de livros didáticos 
destinados a concursos públicos nas áreas de ma-
temática, matemática financeira, raciocínio lógico 
e estatística. Sócio-diretor do Instituto de Pes-
quisas e Projetos Educacionais Praxis de 2003 a 
2007. Professor sócio do Colégio Positivo de Join-
ville desde 2006. Sócio-diretor da Empresa Teore-
ma – Produção de Materiais Didáticos Ltda. desde 
2005. Autor de material didático para sistemas de 
ensino do Grupo Positivo de 2005 a 2009. Pro-
fessor do Concursos e Editora de Curitiba (CEC) 
desde 1992, lecionando as disciplinas de raciocí-
nio lógico, estatística, matemática e matemática 
financeira. Consultor da Empresa Result – Con-
sultoria em Avaliação de Curitiba de 1998 a 2000.
Consultor em Estatística Aplicada com projetos de 
pesquisa desenvolvidos nas áreas socioeconômi-
ca, qualidade, educacional, industrial e eleições 
desde 1999. Membro do Instituto de Promoção de 
Capacitação e Desenvolvimento (Iprocade) desde 
2008. Autor de questões para concursos públicos 
no estado do Paraná desde 2003.
Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., 
mais informações www.iesde.com.br
213
Matemática financeira I
Juros simples: montante, capital, prazo e taxa 
Na televisão, em jornais, em revistas ou em lojas, é comum ouvirmos falar 
em juros. Essa palavra também é mencionada quando nos referimos à dívida 
externa, às aplicações financeiras, ou mesmo, a uma dívida pessoal que, 
muitas vezes, não será saldada à vista.
Quando uma pessoa ou uma instituição dispõe de fundos para emprestar, 
o preço desse crédito é chamado de juro. Tecnicamente, podemos dizer que 
juro é o custo do crédito ou a remuneração do capital. O juro existe porque 
muitas pessoas preferem consumir seus bens no presente e não no futuro. 
Dessa forma, se uma pessoa não tem todo o dinheiro necessário para a aqui-
sição de um produto e, mesmo assim, deseja adquiri-lo no momento, deve 
haver uma compensação por pagá-lo somente no futuro.
Fique atento a algumas definições importantes:
Capital ou principal � – bem ou quantia em dinheiro sobre o qual há 
remuneração.
Taxa de juros � – coeficiente empregado em uma unidade de tempo 
expresso como porcentagem do capital.
Período ou tempo � – tempo em que o capital será remunerado.
Juros � – remuneração do capital.
Montante � – capital inicial adicionado ao juro do período.
Exemplo:
Suponha que uma pessoa aplicou um capital de R$1.000,00 a uma taxa 
de 20% ao ano pelo prazo de três anos. Quanto renderá de juros simples essa 
aplicação?
Quando o regime de capitalização é de juros simples, o juro de cada perí-
odo é calculado sobre o capital inicial:
J1 = J2 = J3 = 1.000 . 0,20 = 200,00
Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., 
mais informações www.iesde.com.br
214
Matemática financeira I
O juro total será a soma dos juros obtidos em todos os anos, ou seja:
J = 200 + 200 + 200
J = 600,00
E o Montante é a soma do capital com o juro:
M = 1.000 + 600 = 1.600
Generalizando, a fórmula para se calcular o valor do juro em um regime 
de capitalização simples é dada por:
J = C . i . t
No exemplo anterior, seria possível efetuar:
J = 1.000 . 0,20 . 3 = 600
De forma análoga, para se calcular o valor do montante em um regime de 
capitalização simples poderíamos utilizar a seguinte relação:
M = C + J
M = C + C . i . t
M = C . (1 + i . t)
Para usarmos essas fórmulas, é necessário que a unidade de tempo do 
prazo da taxa de juros seja a mesma unidade de medida do tempo. Assim, 
se a taxa for 10% ao mês, por exemplo, o tempo deve ser também medido 
em meses.
Taxas equivalentes e taxas proporcionais 
Taxas proporcionais 
Duas taxas são consideradas proporcionais quando os valores das taxas e 
dos períodos formam uma proporção. Ou seja, quando reduzidas às mesmas 
unidades, as taxas sejam iguais.
Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., 
mais informações www.iesde.com.br
Matemática financeira I
215
Exemplos:
As taxas 1% ao mês e 6% ao semestre são proporcionais.
As taxas 5% ao trimestre e 20% ao ano são proporcionais.
Taxa equivalentes 
Duas taxas se dizem equivalentes se, aplicadas a um mesmo capital e pelo 
mesmo prazo de tempo, ambas produzem o mesmo montante.
Exemplos:
Em um regime de juros simples, são equivalentes as taxas:
1% ao mês e 6% ao semestre; �
5% ao trimestre e 20% ao ano. �
Em um regime de juros compostos, são equivalentes as taxas:
1% ao mês e 6,15% ao semestre; �
5% ao trimestre e 21,63% ao ano. �
Conclusão:
Os exemplos anteriores esclarecem que, no regime de juros simples, as 
taxas de juros proporcionais sempre serão taxas equivalentes, pois, se o capi-
tal é o mesmo e o período de tempo também é o mesmo, obrigatoriamente 
a taxa deverá ser a mesma para produzir o mesmo montante. No caso do 
regime de juros compostos, as taxas proporcionais não são, em geral, taxas 
equivalentes, pois não produzem os mesmos montantes.
Descontos simples 
Quando uma pessoa compra uma mercadoria e a paga à vista, em geral, 
recebe por isso um desconto no pagamento. Entretanto, não é apenas em li-
quidações ou promoções de vendas que utilizamos o conceito de desconto.
Exemplo:
Paulo fez uma aplicação financeira com vencimento predeterminado e, 
antes da data do vencimento, precisa de dinheiro. Como ele pode captar re-
cursos financeiros utilizando o título adquirido na aplicação financeira?
Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., 
mais informações www.iesde.com.br
216
Matemática financeira I
Paulo pode transferir o título da aplicação para um terceiro, recebendo na 
transferência o principal aplicado, adicionado aos juros que foram capitaliza-
dos no período. Nesse caso, há uma operação de desconto, pois ele precisou 
trocar o título por dinheiro antes da data do vencimento e, por isso, não terá 
direito ao valor nominal do título.
A
N
D
t
id
O diagrama ilustra uma operação de desconto, na qual um título cujo 
valor nominal (ou de face) é igual a N (valor nominal) será descontado t pe-
ríodos antes do vencimento a uma taxa de desconto id. O valor atual A é o 
valor atual (valor descontado) e o valor D é o valor do desconto.
Desconto racional, real ou “por dentro” 
Um desconto é denominado desconto racional, real ou “por dentro” 
quando é calculado sobre o Valor Atual do título.
Exemplo:
José possui um título no valor nominal de R$11.000,00, com vencimento 
em quatro meses. Ele pretende descontá-lo em uma instituição financeira 
que realiza o desconto racional e cobra uma taxa de juros simples de 36% ao 
ano. Quanto será o valor do desconto e do valor descontado?
Observe a ilustração:
A
4 meses
N
0 t
Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., 
mais informações www.iesde.com.br
Matemática financeira I
217
Das informações do problema, temos:
N = 11.000,00
n = 4 meses
A taxa de 36% ao ano é proporcional a 3% ao mês, pois 
0 36
12
0 03
,
,= .
Quando o desconto é sobre o valor atual, deve-se pensar que aplicando 
o valor atual nas condições do desconto racional, o montante é, na verdade, 
o valor nominal do título:
M = C . (1 + i . t)
N = A . (1 + i . t)
11.000 = A . (1 + 0,03 . 4)
11.000 = A . (1,12)
A = 11 000
1 12
.
,
A ≅ 9.821,43
Logo, o valor descontado racional é aproximadamente igual a R$9.821,43 
e o desconto racional é a diferença entre o valor nominal e o atual do título:D = N – A
D ≅ 11.000 – 9821,43
D ≅ 1.178,57
Assim, o valor do desconto é aproximadamente igual a R$1.178,57.
Fórmulas
O montante é dado por:
M = C . (1 + i . t)
Considerando M = N (valor nominal) e C = A (valor atual), temos:
N = A . (1 + i . t)
Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., 
mais informações www.iesde.com.br
218
Matemática financeira I
Isolando na equação anterior o valor atual, temos:
A
N
it
=
+1
Essa equação permite relacionar o valor atual (A) com o valor nominal (N), 
a taxa de desconto (i) e o prazo de desconto (t).
Mas o desconto é dado por:
D = N – A
Logo, sendo Dr o desconto racional, temos:
D N
N
it
D
N it N
it
D
Nit
it
r
r
r
= −
+
= + −
+
=
+
1
1
1
1
.( )
Essa última equação permite relacionar o desconto racional (Dr) com o 
valor nominal (N), a taxa de desconto (i) e o prazo de desconto (t).
Essas fórmulas são úteis quando se deseja velocidade na resolução da 
questão. Por outro lado, elas se tornam desnecessárias se considerarmos 
que o valor atual é o capital que, quando aplicado nas mesmas condições do 
desconto, tem como montante o valor nominal.
Desconto comercial, bancário ou “por fora” 
Um desconto é denominado desconto comercial, bancário ou “por fora” 
quando é calculado sobre o Valor Nominal do título.
Exemplo:
José possui um título no valor nominal de R$11.000,00, com vencimento 
em quatro meses. Ele pretende descontá-lo em uma instituição financeira 
que realiza o desconto comercial e cobra uma taxa de juros simples de 36% 
ao ano. Quanto será o valor do desconto e do valor descontado?
Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., 
mais informações www.iesde.com.br
Matemática financeira I
219
Solução:
Observe a ilustração:
A
4 meses
N
0 t
Das informações do problema, temos:
N = 11.000,00
n = 4 meses
A taxa de 36% ao ano é proporcional a 3% ao mês, pois 
0 36
12
0 03
,
,= .
Quando o desconto é sobre o valor nominal, deve-se aplicar diretamente 
sobre o valor nominal. Assim, descontando-se o valor nominal obtém-se o 
valor atual:
A = N . (1 – i . t)
A = 11.000 . (1 – 0,03 . 4)
A = 11.000 . (0,88)
A = 9.680,00
Logo, o valor descontado comercial simples é igual a R$9.680,00.
O desconto comercial simples é igual a:
D = N – A
D = 11.000 – 9.680,00
D = 1.320,00
Assim, o valor do desconto é igual a R$1.320,00.
Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., 
mais informações www.iesde.com.br
220
Matemática financeira I
Fórmulas
O desconto comercial de um título, representado por Dc, por incidir sobre 
o valor nominal, é dado por:
Dc = N . i . t
Mas, o valor atual do título, representado por Ac, é dado por:
Ac = N – Dc
Logo:
Ac = N – N . i . t
Ac = N . (1 – it)
O valor Ac é denominado valor atual comercial.
Concluindo, para resolver problemas de descontos, basta lembrar que no 
desconto racional, deve-se capitalizar A para se obter N, e no desconto co-
mercial, deve-se descapitalizar N para se obter A.
Taxa de juros efetiva 
A taxa de juros efetiva é a taxa aplicada sobre o valor descontado comer-
cial (ou bancário), que gera no período considerado um montante igual ao 
valor nominal.
Taxa efetiva para desconto comercial simples 
Sendo ie a taxa efetiva, temos:
N = A .(1+i . t) 
 
c e → = + →
= − → =
−
N
A
i t
i t
N
A
i
N
A
c
e
e
c
e
c
1
1
1
.
.
tt
em que Ac é o valor descontado no caso de uma operação de desconto 
comercial, N é o valor nominal do título na data do correspondente venci-
mento e t é o prazo de tempo do título.
Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., 
mais informações www.iesde.com.br
Matemática financeira I
221
Vamos calcular a taxa efetiva de juros por meio de um exemplo já resolvi-
do anteriormente.
Exemplo:
João pretende saldar um título de R$11.000,00, quatro meses antes do 
correspondente vencimento. Sabendo-se que o desconto será dado sobre o 
valor nominal, qual a taxa efetiva mensal de juros da operação?
Os valores encontrados foram:
N = 11.000,00
Ac = 9.680,00
t = 4 meses
A taxa mensal efetiva de juros é dada por:
i
N
A
t
ie
c
e=
−
→ =
−
→
≅
1 11 000
9 680
1
4
 
i 0,0341e
.
.
Portanto, a operação foi realizada a uma taxa efetiva aproximada de 3,41% 
de juros simples ao mês.
Taxa efetiva para desconto bancário
Sendo ie a taxa efetiva, temos:
N = A .(1+i .t) 
 
b e → = + →
= − → =
N
A
i t
i t
N
A
i
N
A
b
e
e
b
e
b
1
1
.
.
−−1
t
em que Ab é o valor descontado no caso de uma operação de desconto 
bancário, N é o valor nominal do título na data do correspondente venci-
mento e t é o prazo de tempo do título.
Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., 
mais informações www.iesde.com.br
222
Matemática financeira I
Exemplo:
Juca pretende emprestar de um banco que cobra, em regime de juros 
simples, uma taxa de juros de 3% ao mês e uma taxa administrativa fixa de 
2%. Ele pretende fazer um financiamento e saldá-lo pagando R$11.000,00 
após 4 meses. Qual a taxa efetiva mensal de juros no financiamento?
Os valores encontrados foram:
N = 11.000,00
Ab = 9.460,00
t = 4 meses
A taxa mensal efetiva de juros é dada por:
i
N
A
t
i
e
b
e
=
−
=
−
≅
1
11 000
9 460
1
4
.
.
i 0,0353e
Logo, a operação foi realizada a uma taxa efetiva aproximada de 3,53% de 
juros simples ao mês.
Observação:
No caso de desconto racional, a taxa de juros da operação financeira é 
exatamente igual à taxa efetiva dessa operação, pois ambas são calculadas 
sobre o valor atual (e não nominal), sem a adição de taxas administrativas. 
Nesse caso, a taxa efetiva é também chamada de taxa de rentabilidade.
Relação entre taxa efetiva e 
taxa de juros para desconto comercial
Para relacionar a taxa efetiva com a taxa de juros para desconto comercial, 
vamos considerar os descontos racional e comercial. Sendo ie a taxa efetiva e 
i a taxa para desconto comercial, temos:
Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., 
mais informações www.iesde.com.br
Matemática financeira I
223
D
N i t
i tr
e
e
=
+
. .
.1
 e 
D N i tc = . .
Como os descontos devem ser iguais, temos:
N i t
i t
N i t
i
i t
i
i i i i t i i
e
e
e
e
e e e
. .
. .
.
1 1+
= →
+
= →
= + → −
 
 ..
.( . )
.
i t i
i i t i i
i
i t
e
e e
= →
− = → =
−
 
 1
1
Exemplo:
Numa operação financeira de desconto comercial a taxa de juros simples 
praticada é de 3% ao mês, um título foi descontado com quatro meses de 
antecedência em relação à data do correspondente vencimento. Qual é a 
taxa efetiva mensal de juros da operação financeira?
Das informações do enunciado, temos:
i = 3% ao mês
t = 4 meses
Logo:
i
i
i t
i
i
e
e
e
=
−
=
−
=
≅
1
0 03
1 0 03 4
0 03
0 88
.
,
, .
,
,
i 0,0341e
Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., 
mais informações www.iesde.com.br
224
Matemática financeira I
Portanto, a taxa efetiva mensal de juros na operação financeira foi aproxi-
madamente igual a 3,41%.
Relação entre desconto racional e comercial
Por meio de exemplos, observamos anteriormente que, nas mesmas con-
dições, o desconto comercial é maior do que o desconto racional, ou seja:
Dc > Dr
Os descontos comercial e racional são dados, respectivamente, por:
D N i tc = . . e D
N i t
i tr
=
+
. .
.1
Dividindomembro a membro as duas últimas equações, obtemos:
D
D
N i t
N i t
i t
D
D
i t
D D i t
c
r
c
r
c r
=
+
= +
= +( )
. .
. .
.
.
. .
1
1
1
Dessa forma, o desconto comercial pode ser interpretado como sendo o 
montante do desconto racional calculado para um mesmo período e mesma 
taxa.
Exemplo:
O desconto comercial de um título descontado quatro meses antes do 
correspondente vencimento e à taxa de 3% ao mês é de R$1.320,00. Qual é 
o desconto racional?
Do enunciado, temos:
i = 3% ao mês
t = 4 meses
Dc = 1.320,00
Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., 
mais informações www.iesde.com.br
Matemática financeira I
225
Então, o desconto racional será dado por:
D D i t
D
c r
r
= +( )
=
. .1
1
1.320,00 = D .(1+0,03.4)
1.320,00 =1,12.D
r
r
.. ,
,
320 00
1 12
D 1.178,57r ≅
Logo, o desconto racional será aproximadamente igual a R$1.178,57.
Juros compostos 
Vamos iniciar o estudo dos juros compostos recordando um exercício que 
foi resolvido em juros simples.
Para ilustrar, suponha que uma pessoa aplicou um capital de R$1.000,00 
a uma taxa de 20% ao ano pelo prazo de três anos. Quanto renderá de juros 
compostos essa aplicação?
Informações:
Juros compostos. �
C = 1.000,00. �
i = 20% ao ano. �
t = 3 anos. �
Para uma melhor compreensão dos dois regimes de capitalização, vamos 
apresentar um estudo comparativo por meio de uma tabela:
Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., 
mais informações www.iesde.com.br
226
Matemática financeira I
Juros simples Juros compostos
1.º ano
J1 = 1 000,00 x 0,2 x 1 = 200,00
M1 = C + J1
M1 = 1 000,00 + 200,00
M1 = 1 200,00
J1 = 1 000,00 x 0,2 = 200,00
M1 = C + J1
M1 = 1 000,00 + 200,00
M1 = 1 200,00
2.º ano
J2 = 1 000,00 x 0,2 x 1 = 200,00
M2 = M1 + J2
M2 = 1 200,00 + 200,00
M2 = 1 400,00
J2 = 1 200,00 x 0,2 = 240,00
M2 = M1 + J2
M2 = 1 200,00 + 240,00
M2 = 1 440,00
3.º ano
J3 = 1 000,00 x 0,2 x 1 = 200,00
M3 = M2 + J3
M3 = 1 400,00 + 200,00
M3 = 1 600,00
J3 = 1 440,00 x 0,2 = 288,00
M3 = M2 + J3
M3 = 1 440,00 + 288,00
M3 = 1 728,00
Se fosse efetuada em regime de juros simples, a aplicação renderia 
R$600,00. Já a aplicação no regime de juros compostos, rendeu R$728,00. 
Para ilustrar, observe nos gráficos os valores dos montantes alcançados nos 
dois regimes a uma mesma taxa de juros.
1.000
1.100
1.200
1.300
1.400
1.500
1.600
1.700
0 0,5 1,5 2,5 321
Juros simples 
Juros compostos 
Tempo em (anos)
M
on
ta
nt
e 
(R
ea
is
)
Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., 
mais informações www.iesde.com.br
Matemática financeira I
227
Cálculo do montante em juros compostos 
Um capital C aplicado a uma taxa de juros i durante um prazo t terá o 
montante M dado por:
M = C . (1 + i)t
Substituindo os dados do problema, encontramos o mesmo valor do 
montante:
M = 1.000 . (1 + 0,20)3
M = 1.000 . (1,20)3
M = 1.000 . 1,728
M = 1.728
O juro é sempre a diferença entre o montante e o capital, ou seja:
J = M – C
J = 1.728 – 1.000
J = 728
Na fórmula do montante, a expressão (1 + i)t é chamada de fator de acu-
mulação de um capital e é, geralmente, tabelado para diferentes valores de 
i e de t.
Taxas equivalentes 
Duas taxas, relacionadas com diferentes períodos de capitalização, são 
consideradas equivalentes se, aplicadas ao mesmo capital e durante o 
mesmo prazo de tempo, produzirem montantes de mesmo valor.
Exemplo:
1.ª aplicação � : aplicar R$1.000,00, durante um ano, à taxa de 1% ao 
mês;
2.ª aplicação � : aplicar R$1.000,00, durante um ano, à taxa de 12,68% 
ao ano.
Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., 
mais informações www.iesde.com.br
228
Matemática financeira I
Os montantes obtidos em ambas as aplicações terão o mesmo valor, 
observe:
Cálculo do montante à taxa de 1% ao mês:
M = 1.000,00 . (1 + 0,01)12 = 1.126,80
Cálculo do montante à taxa de 12,68% ao ano:
M = 1.000,00 . (1 + 0,1268)1 = 1.126,80
Como os montantes produzidos são iguais, as taxas são equivalentes.
Podemos relacionar duas taxas equivalentes por meio da igualdade exis-
tente entre os montantes. Para exemplificar, considere um capital C e as se-
guintes taxas:
M = C . (1 + ip)
p e M = C . (1 + iq)
q
Para que essas taxas sejam equivalentes, o montante produzido por 
ambas deve ser o mesmo, logo:
C . (1 + ip)
p = C . (1 + iq)
q
Dividindo ambos os membros da última igualdade por C, temos:
(1 + ip)
p = (1 + iq)
q
Exemplo:
Em regime de juros compostos, a taxa mensal de 10% é equivalente a que 
taxa trimestral?
(1 + ip)
p = (1 + iq)
q
(1 +0,10)3 = (1 + it)
(1,10)3 = 1 + it
1,331 = 1 + it
1,331 – 1 = it
it = 0,331
it = 33,1% ao trimestre
Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., 
mais informações www.iesde.com.br
Matemática financeira I
229
Logo, em regime de juros compostos, a taxa mensal de 10% é equivalente 
à taxa trimestral de 33,1%. Quando a questão é de equivalência de taxas, a 
ideia é, a partir do mesmo Capital, produzir o mesmo montante o que, con-
sequentemente, nos levará à igualdade entre os fatores de acumulação de 
capital.
Resolução de questões 
1. (Cesgranrio) Uma empresa oferece aos seus clientes desconto de 10% 
para pagamento no ato da compra ou desconto de 5% para pagamento 
um mês após a compra. Para que as opções sejam indiferentes, a taxa de 
juros mensal praticada deve ser, aproximadamente,
a) 0,5%.
b) 3,8%.
c) 4,6%.
d) 5,0%.
e) 5,6%.
2. (Cesgranrio) Um título com valor de face de R$1.000,00 faltando três me-
ses para seu vencimento, é descontado em um banco que utiliza taxa de 
desconto bancário, ou seja, taxa de desconto simples “por fora”, de 5% ao 
mês. O valor presente do título, em reais, é:
a) 860,00.
b) 850,00.
c) 840,00.
d) 830,00.
e) 820,00.
3. (Cesgranrio) Uma quantia de R$20.000,00 aplicada a uma taxa de 2% ao 
mês no regime de juros compostos, ao final de três meses, gera um mon-
tante, em reais, de:
a) 20.120,24.
b) 21.200,00.
Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., 
mais informações www.iesde.com.br
230
Matemática financeira I
c) 21.224,16.
d) 26.000,00.
e) 34.560,00.
4. (Cesgranrio) Uma loja oferece um aparelho celular por R$1.344,00 à vista. 
Esse aparelho pode ser comprado a prazo, com juros de 10% ao mês, em 
dois pagamentos mensais iguais: um, no ato da compra, e outro, um mês 
após a compra. O valor de cada um dos pagamentos mensais é, em reais, 
de:
a) 704,00.
b) 705,60.
c) 719,00.
d) 739,20.
e) 806,40.
5. (Cesgranrio) João tomou um empréstimo de R$900,00 a juros compostos 
de 10% ao mês. Dois meses depois, João pagou R$600,00 e, um mês após 
esse pagamento, liquidou o empréstimo. O valor desse último pagamen-
to foi, em reais, aproximadamente,
a) 240,00.
b) 330,00.
c) 429,00.
d) 489,00.
e) 538,00.
6. (Cespe) Antônio fez dois investimentos seguintes, em que ambos pagam 
juros compostos de 3% a.m.
I. três depósitos mensais, consecutivos e iguais a R$2.000,00; o primeiro 
foi feito no dia 01/03/2009.
II. dois depósitos mensais, consecutivos e iguais a R$3.000,00; o primei-
ro foi feito no dia 01/03/2009.
Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., 
mais informações www.iesde.com.br
Matemática financeira I
231
 Considerando que M1 e M2 sejam, respectivamente, os montantes das 
aplicações I e II na data do terceiro depósito correspondente ao investi-
mento I, assinale a opção correta:
a) M2 - M1 = R$90,90.
b) M2 - M1 = R$45,45.
c) M2 = M1.
d) M1 - M2 = R$45,45.
e) M1- M2 = R$90,90
7. (Cespe) Uma instituição financeira capta investimentos oferecendo a taxa 
interna de retorno de 5% ao mês. Se, ao investir determinada quantia, um 
investidor fez duas retiradas, uma no valor de R$10.500,00 um mês após 
a data do depósito, e outra, no valor restante de R$11.025,00, dois meses 
após o depósito, então o valor investido foi igual a:
a) R$18.000,00.
b) R$18.500,00.
c) R$19.000,00.
d) R$19.500,00.
e) R$20.000,00.
8. (Cesgranrio) O gráfico a seguir representa as evoluções no tempo do mon-
tante a juros simples e do montante a juros compostos, ambos à mesma 
taxa de juros. M é dado em unidades monetárias e t, na mesma unidade 
de tempo a que se refere à taxa de juros utilizada.
Tempo (t)
Simples
Composto
Montante (M)
c0
1
Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., 
mais informações www.iesde.com.br
232
Matemática financeira I
 Analisando-se o gráfico, conclui-se que para o credor é mais vantajoso 
emprestar a juros:
a) compostos, sempre.
b) compostos, se o período do empréstimo for menor do que a unidade 
de tempo.
c) simples, sempre.
d) simples, se o período do empréstimo for maior do que a unidade de 
tempo.
e) simples, se o período do empréstimo for menor do que a unidade de 
tempo.
9. (Cesgranrio) Júlio fez uma compra de R$600,00, sujeita à taxa de juros de 
2% ao mês sobre o saldo devedor. No ato da compra, fez o pagamento 
de um sinal no valor de R$150,00. Fez ainda pagamentos de R$ 159,00 e 
R$206,00, respectivamente, 30 e 60 dias depois de contraída a dívida. Se 
quiser quitar a dívida 90 dias depois da compra, quanto deverá pagar, em 
reais?
a) 110,00.
b) 108,00.
c) 106,00.
d) 104,00.
e) 102,00.
10. (FCC) Uma empresa obteve um financiamento de $10.000 à taxa de 120% 
ao ano capitalizados mensalmente (juros compostos). A empresa pagou 
$6.000 ao final do primeiro mês e $3.000 ao final do segundo mês. O valor 
que deverá ser pago ao final do terceiro mês para liquidar o financiamen-
to (juros + principal) é:
a) $3.250,00.
b) $3.100,00.
c) $3.050,00.
d) $2.975,00.
e) $2.750,00.
Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., 
mais informações www.iesde.com.br
Matemática financeira I
233
Dica de estudo 
De nada adianta uma pessoa ter boa desenvoltura nos cálculos sem o 
domínio dos conceitos. Da mesma forma, de nada adianta uma pessoa do-
minar os conceitos sem o pleno desenvolvimento dos cálculos. Portanto, o 
êxito no estudo da matemática financeira reside na prática de exercícios e no 
domínio dos conceitos.
Referências 
FURTADO, Emerson Marcos. Lições de Matemática Financeira. CEC: Curitiba, 
2007.
MORGADO, Augusto C.; CESAR, Benjamin. Matemática Financeira. Rio de Janeiro: 
Campus, 2006.
MORGADO, Augusto C.; WAGNER, Eduardo; ZANI, Sheila C. Progressões e Ma-
temática Financeira. SBM – Sociedade Brasileira de Matemática: Rio de Janeiro, 
2005.
Gabarito 
1. Suponha que o preço do produto em questão seja igual a 100 reais. Com 
o desconto de 10% sobre o preço anunciado, o valor à vista passa a ser 
igual a 90 reais. Para pagamento após um mês, o desconto é de 5%, ou 
seja, o pagamento deve ser de 95 reais.
 Assim, o juro é de 95 – 90 = 5 reais sobre o valor que deveria ser pago à 
vista, 90 reais.
 Para calcular a que percentual correspondente a 5 reais, em relação a 90 
reais (100%), basta dividir 5 por 90.
 Assim, 5/90 ≅ 0,056 = 5,6%.
 Resposta: E
Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., 
mais informações www.iesde.com.br
234
Matemática financeira I
2. Se o título será descontado “por fora”, então o desconto é comercial e inci-
dente sobre o valor nominal do título. Como a taxa de desconto simples é 
igual a 5% ao mês e o desconto é realizado 3 meses antes do vencimento, 
então o desconto será de 3 . 5% = 15% sobre o valor do título. Assim, 
o valor presente do título será 15% menor do que o valor nominal, ou 
seja, será 85% do valor nominal. Portanto, o valor presente (descontado) 
é dado por:
A = 0,85 . 1.000,00 = 850,00
Resposta: B
3. O montante de um capital de R$20.000,00, após três meses em regime de 
juros compostos e à taxa de 2% ao mês é dado por:
M = 20.000 . (1,02)3
M = 20.000 . 1,061208
M = 21.224,16
Resposta: C
4. Suponha que o valor da 1.ª prestação seja igual a x reais. O saldo de-
vedor, imediatamente após o pagamento da 1.ª prestação, é igual a 
(1.344 – x). Como este saldo devedor será quitado após um mês, haverá 
a incidência de juros na taxa de 10%, ou seja, a 2ª prestação deve ser 
igual a (1.344 – x) . 1,10. Se as prestações são iguais, deve-se ter:
x = (1.344 – x) . 1,10
x = 1.478,40 – 1,10x
1,10x + x = 1.478,40
2,10x = 1.478,40
x = 1.478,40/2,10
x = 704
Resposta: A
Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., 
mais informações www.iesde.com.br
Matemática financeira I
235
5. O empréstimo de 900 reais tem saldo devedor igual a 1,10 . 900 = 990 
reais após um mês, e 990 . 1,10 = 1.089 após dois meses.
 O pagamento de 600 reais após dois meses, deixa saldo devedor de 
1.089 – 600 = 489. Se o último pagamento será feito após três meses do 
empréstimo, ainda se deve considerar o juro de 10% sobre o saldo deve-
dor de 489. Assim, o último pagamento é igual a 1,10 . 489 = 537,90., ou 
seja, aproximadamente 538,00.
Resposta: E
6. Na data do 3.º depósito do investimento I, o montante do investimento I, 
é dado por:
M1 = 2.000 . (1,03)
2 + 2.000 . (1,03) + 2.000 . (1,03)0
M1 = 2.121,80 + 2.060 + 2.000
M1 = 6.181,80
 Na data do 3.º depósito do investimento I, o montante do investimento II, 
é dado por:
M2 = 3.000 . (1,03)
2 + 3.000 . (1,03)
M2 = 3.182,70 + 3.090
M2 = 6.272,70
Logo, a diferença entre M2 e M1 é dada por:
M2 – M1 = 90,90
Resposta: A
7. A taxa interna de retorno é aquela que anula o Valor Presente do Fluxo de 
Caixa, considerando-se recebimentos e pagamentos. Vamos supor que o 
investimento inicial é igual a X. Logo, com as informações do enunciado, 
é possível construir uma tabela que apresente os recebimentos e paga-
mentos ao longo do tempo:
Tempo (em meses) 0 1 2
Investimento (em reais) –X +10.500 +11.025
Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., 
mais informações www.iesde.com.br
236
Matemática financeira I
 Assim, se a TIR é igual a 5% ao mês, deve-se descontar os valores rece-
bidos nos instantes 1 e 2 para o instante zero (data focal), somar estes 
recebimentos quando levados à data zero, subtrair o investimento inicial 
e igualar a zero o Valor Presente:
VP = –X + 10.500/(1,05) + 11.025 / (1,05)2 = 0
 VP = –X + 10.500/(1,05) + 11.025 / (1,1025) = 0
 VP = –X + 10.000 + 10.000 = 0
 VP = –X + 20.000 = 0
 X = 20.000
 Logo, o investimento inicial foi de R$20.000,00.
 Resposta: E
8. O gráfico compara uma aplicação realizada a juros simples com outra a ju-
ros compostos. Ao final do período 1, os gráficos se intersectam. Assim, ao 
final do período 01 as duas aplicações obtêm o mesmo rendimento. Em 
um período maior que 01 o montante em um regime de juros compostos 
apresenta maior rendimento do que o montante em juros simples. Entre-
tanto, para o período inferior ao instante 01, o montante em juros simples 
apresenta maior rendimento do que o montante em juros compostos.
 Resposta: E
9. Júlio pagou R$150 à vista. Logo, o saldo devedor no instante inicial da 
compra é igual a 600 – 150 = 450.
 Sobre esse saldo devedor deve-se ter juro de 2%, ou seja, 1,02 . 450 = 459 
é o saldo devedor após um mês.
 Se a prestação após um mês é igual a 159 reais, então o saldo devedor 
será 459 – 159 = 300.
 Sobre esse saldo devedor há juro de 2%, de modo que a dívida passará a 
ser de 1,02 . 300 = 306.
 Se o pagamento após dois meses é de206, então saldo devedor será 
306 – 206 = 100.
Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., 
mais informações www.iesde.com.br
Matemática financeira I
237
 Uma vez que a quitação será somente após três meses da data da compra, 
então o pagamento necessário para saldar a dívida deve ser 2% maior do 
que 100 reais, saldo devedor após dois meses, ou seja, deve ser de 1,02 . 
100 = 102 reais.
 Esse problema também poderia ser resolvido projetando-se todos os pa-
gamentos para o mês 3 após a compra e efetuando a soma dos pagamen-
tos menos o valor da compra.
Resposta: E
10. A taxa de 120% ao ano é proporcional a 10% ao mês. Esta deve ser a taxa 
efetiva mensal utilizada para atualizar o saldo devedor.
 O financiamento é igual a 10.000. Após um mês, o saldo devedor é igual a 
10.000 . 1,10 = 11.000.
 Se o 1.º pagamento é igual a 6.000, então o saldo devedor logo após o 1.º 
pagamento é igual a 11.000 – 6.000 = 5.000.
 Se esse saldo será abatido ao final do 2.º mês, então haverá incidência de 
juros à taxa de 10%.
 Logo, o saldo devedor é igual a 5.000 . 1,10 = 5.500.
 Se o 2.º pagamento é igual a 3.000, então o saldo devedor logo após o 2.º 
pagamento é igual a 5.500 – 3.000 = 2.500.
 Ao final do 3.º mês, o saldo devedor deve ser 10% maior do que 2.500, ou 
seja, 1,10 . 2.500 = 2.750.
 Portanto, o valor que deverá ser pago ao final do terceiro mês para liqui-
dar o financiamento é igual a 2.750.
 Resposta: E
Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., 
mais informações www.iesde.com.br
Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., 
mais informações www.iesde.com.br