regime de juros compostos

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Regime de juros compostos
Conceito
No regime de juros compostos (RJC), ao contrário do que acontece no 
regime de juros simples, os juros incidem sobre o saldo acumulado, ocorren-
do, dessa forma, juros sobre juros periodicamente, isto é, o juro gerado em 
determinado período é incorporado ao principal e serve de base para o cál-
culo de juros no período seguinte. Por conseguinte, o valor dos juros cresce 
exponencialmente com o passar do tempo. 
Assim, para um capital P aplicado a uma taxa de juros i pôr n períodos, o 
juro do n-ésimo período será calculado multiplicando-se a taxa de juros (i) 
pelo capital atualizado até o período imediatamente anterior (Mn-1). 
Dedução do montante
O desenvolvimento de uma fórmula que relacione um valor monetário 
de hoje (P) com um valor futuro distante n períodos de hoje (M) pode ser 
desenvolvida tal como apresentado a seguir:
M1 = P + J
M1 = P + (P . i)
M1 = P (1 + i)
M2 = M1 + J
M2 = M1 + (M1 . i)
M2 = M1 (1 + i)
M2 = P (1 + i) . (1 + i)
M2 = P (1 + i)
2
Mn = Mn-1 + J
Mn = Mn-1 + (M
n-1 . i)
Mn = Mn-1 (1 + i)
Mn = P (1 + i)
n-1 . (1 + i)
Mn = P (1 + i)
n
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Regime de juros compostos
Assim, no regime de juros compostos, a fórmula básica que relaciona dois 
valores monetários posicionados em pontos distintos no tempo será dada 
por: 
M = P (1 + i)n
Onde: M = montante.
P = principal.
i = taxa de juros.
n = prazo.
Todos os cálculos relativos ao regime de juros compostos podem ser fa-
cilmente resolvidos utilizando calculadoras financeiras. Nesse tipo de calcu-
ladora, teclas específicas são utilizadas para esta finalidade e são definidas 
das seguinte forma:
M � (tecla FV – do inglês future value) – representa o Montante.
P � (tecla PV – do inglês present value) – representa o Principal, Valor 
Presente ou Valor Atual.
i � (tecla i – do inglês interest) – representa a taxa de juros expressa em 
percentagem.
n � (tecla n – do inglês number of periods) – representa o tempo no cál-
culo do Valor Presente ou do Valor Futuro e o número de prestações no 
cálculo do valor de prestações a pagar ou a receber. 
As variáveis descritas acima podem ser representadas graficamente, atra-
vés do conceito do fluxo de caixa, em que uma linha horizontal representa 
o tempo (n), e setas para cima indicam entradas de recursos financeiros no 
caixa e, setas para baixo, representam pagamentos, ou seja, saídas de recur-
sos monetários.
21 3
n
PV
FV
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Utilizando calculadoras financeiras, a fórmula básica que relaciona PV e 
FV é a mesma demonstrada para o cálculo do Montante, alterando apenas 
as definições de acordo com as teclas das calculadoras.
M = P . (1 + i)n FV = PV .(1 + i)n
Onde: M = FV = montante.
PV = principal.
i = taxa de juros.
n = prazo da operação.
Exemplo:
 Suponha que um investidor possua R$1.000,00 para aplicar por quatro 
meses a uma taxa de 5% ao mês.
 Solução:
Período Saldo inicial Juros (P . i) Saldo final
0 – – R$1.000,00
1 R$1.000,00 R$50,00 R$1.050,00
2 R$1.050,00 R$52,50 R$1.102,50
3 R$1.102,50 R$55,10 R$1.157,62
4 R$1.157,62 R$57,88 R$1.215,50
 Conforme podemos ver na tabela acima, o saldo final cresce de forma 
exponencial (Progressão Geométrica). 
Evolução do capital no caso do regime de juros compostos.
Mn
período
M1
M2
i . M2
i . M1
i . P
M3
P
0 1 2 3
= juros no período
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Regime de juros compostos
 Obs.: 
 Denomina-se Fator de Capitalização (ou Fator de Valor Futuro, pois “leva 
adiante” os valores) o termo representado por: (FV / PV, i%, n) = (1 + i)n. 
 A maioria dos livros de Matemática Financeira exibe tabelas desses e 
outros fatores para que possam ser realizados os cálculos para aqueles 
que não possuam uma calculadora com funções financeiras. Portanto, 
a fórmula de cálculo do Montante, utilizando tabelas financeiras, pode 
ser expressa da seguinte forma:
FV = PV (FV / PV, i%, n).
 
Onde: FV = montante.
PV = principal.
i = taxa de juros.
n = prazo da operação.
Exemplos:
1. Um indivíduo aplicou R$20.000,00 à taxa (efetiva) de 10% ao mês, no 
regime de juros compostos. Calcule o montante no final do 1.o, 2.o, 3.o, 
4.o e 5.o meses.
 Solução:
 M1 = R$20.000,00 . (1 + 0,1)
1 = R$22.000,00
 M2 = R$20.000,00 . (1 + 0,1)
2 = R$24.200,00
 M3 = R$20.000,00 . (1 + 0,1)
3 = R$26.620,00
 M4 = R$20.000,00 . (1 + 0,1)
4 = R$29.282,00
 M5 = R$20.000,00 . (1 + 0,1)
5 = R$32.210,20
2. Um investidor aplica R$40.000 por 16 meses a uma taxa de 2,4% ao 
mês, pelo regime de juros compostos. Qual é o montante?
Regime de juros compostos
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 Solução:
PV=R$40.000,00
meses
FV
16
 M16 = R$40.000,00 (1 + 0,024)
16 = R$58.460,07
 Utilizando uma calculadora com funções financeiras, o cálculo será 
obtido da seguinte forma: 
 40.000,00 CHS PV
 2,4 i
 16 n
 FV 58.460,07
Explicitação dos juros
Dado que Mn = P .(1 + i)n e Mn = P + J, temos que:
J = Mn – P
J = P (1 + i)n – P
J = P. [(1 + i)n – 1]
Onde: J = juros acumulados até a data.
P = principal.
i = taxa de juros.
n = prazo da operação.
Exemplo:
 Um investidor aplica R$40.000,00 por 16 meses a uma taxa de 2,4% ao 
mês, pelo regime de juros compostos. Calcule os juros.
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Regime de juros compostos
 Solução:
PV=R$40.000,00
meses
FV
16
 Solução:
 J = P . [(1 + i)n – 1]
 J = R$40.000,00 . [(1 + 0,024)16 – 1]
 J = R$40.000,00 . 0,4615 = R$18.460,06
Explicitação do principal
Dado que Mn = P (1 + i)
n, logo temos:
Mn
(1 + i)n
P =
ou
P = M . (1 + i)-n
Onde: M = montante.
P = principal.
i = taxa de juros.
n = prazo da operação.
O termo (1 + i)-n é denominado Fator de Desconto (ou fator de Valor Atual, 
pois “antecipa” os valores) e é representado por (PV / FV, i%, n). Outra forma 
de apresentar a expressão do principal a partir da utilização de tabelas finan-
ceiras é:
Regime de juros compostos
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P = PV = FV . (PV / FV, i%, n)
Exemplos:
1. Quanto deverá aplicar um investidor que deseja resgatar R$80.000,00 
daqui a 12 meses, supondo uma taxa de 2,4% ao mês, pelo regime de 
juros compostos?
 Solução:
P=?
meses
FV= R$80.000,00
12
 
Mn
(1 + i)n
P =
 
R$80.000,00
(1 + 0,024)12
P =
 P = R$60.185,31
 Utilizando uma calculadora com funções financeiras, o cálculo será 
obtido da seguinte forma: 
 R$80.000,00 FV
 2,4 i
 12 n
 PV – R$60.185,31
2. Qual é o valor do capital que, quando aplicado por 180 dias a uma taxa 
de juros de 18% ao ano, com capitalização mensal, produz um rendi-
mento de R$11.213,19?
 Solução:
 Mn = P . (1 + i)
n
 P + J = P . (1 + i)n
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Regime de juros compostos
 
J
(1 + i)n – 1
P =
 
R$11.213,19
(1 + 0,015)6 – 1
P =
 P = R$120.000,00
Explicitação do período
Dado que Mn = P (1 + i)
n , temos:
M = P (1 + i)n logo,
M/P = (1 + i)n
Devemos usar agora o logaritmo para determinarmos o número de perí-
odos de capitalização, ou seja, 
Ln. (Mn/P) = ln. [(1 + i)
n ]
Uma das propriedades do logaritmo diz que o logaritmo de uma potência 
é igual ao expoente multiplicado pelo logaritmo da base da potência, ou seja, 
ln .(Mn/P) = n . ln .(1 + i). Como nosso interesse é o valor de n, temos então:
n = ln .(M/P) / ln .(1 + i)
Onde: M = montante.
P = principal.
i = taxa de juros.
ln = logaritmo neperiano.
n = prazo da operação.
Exemplo:
 Uma determinada pessoa aplicou R$20.000,00 à taxa compos-
ta de 1,67% ao mês, recebendo após algum tempo o montante de 
R$25.600,00. Calcule o tempo em que o principal ficou aplicado.
Regime de juros compostos
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 Solução:
P = R$20.000,00
M = R$25.600,00
n = ?
 n = ln .(Mn/P) / ln . (1 + i)
 n = ln.(R$25.600,00/R$20.000,00)/ ln . (1,0167)n = ln .(1,28)/ln.(1,0167)
 n = 14,9 meses = 14 meses e 27 dias
 Utilizando uma calculadora com funções financeiras, o cálculo será 
obtido da seguinte forma: 
 R$20.000,00 CHS PV
 R$25.600,00 FV
 1,67 i
 n 15
Importante:
A calculadora financeira modelo HP-12C apresenta o período n arredon-
dado para cima. Caso seja importante saber o período exato, devemos ajus-
tar a taxa para um período de capitalização menor. Por exemplo, se a taxa 
dada é anual, deveríamos calcular a taxa mensal efetiva para termos a res-
posta em meses ao invés de anos.
Taxas de juros
As complexas relações financeiras verificadas no mercado são refletidas 
no mercado financeiro através da realização de vários tipos de operações 
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Regime de juros compostos
com diversos tipos de taxas de juros, dificultando o cálculo da rentabilidade 
e/ou do custo efetivo de uma operação para quem não está familiarizado 
com esses conceitos.
Para que possamos decidir corretamente sobre qualquer tipo de questão 
relacionada à área financeira, é necessário, como primeiro passo no processo 
decisório, determinarmos de forma correta o custo e/ou a rentabilidade efe-
tivas da alternativa em consideração. 
Fundamental nesse processo é o conhecimento dos diversos tipos de 
taxas de juros praticadas pelo mercado, bem como o domínio das formas de 
compatibilização dessas taxas com os respectivos períodos de capitalização 
da(s) alternativa(s) em estudo. O domínio desses conceitos é fundamental 
para a qualidade do processo decisório de qualquer tipo de empresa, inde-
pendente de seu tamanho e área de atuação.
O desconhecimento de alguns desses conceitos pode levar as empresas 
e mesmo as pessoas físicas (nas suas transações do dia a dia) a incorrer em 
sérios prejuízos. Dada a importância que o assunto requer, é fundamental 
que dominemos os conceitos relativos aos diferentes tipos de taxas de juros 
utilizadas no mercado financeiro em suas transações.
Explicitação da taxa de juros
Dado que Mn = P . (1 + i)
n, temos: 
Mn/P = (1 + i)
n
(Mn/P)
(1/n) = (1 + i) 
i = (M/P)(1/n) – 1
Onde: M = montante.
P = principal.
i = taxa de juros.
n = prazo da operação.
Regime de juros compostos
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Exemplo:
 Uma pessoa recebe uma proposta para investir hoje R$400.000,00 
para receber R$580.000,00 dentro de oito meses. Qual a taxa (efetiva) 
de rentabilidade mensal implícita nessa aplicação financeira?
 Solução:
P=R$400.000,00
meses
M = R$580.000,00
8
 i = (Mn/P)
(1/n) – 1
 i = (R$580.000/R$400.000)(1/8) – 1
 i = 0,04754 = 4,754%
 Utilizando uma calculadora com funções financeiras, o cálculo será 
obtido da seguinte forma: 
 R$400.000,00 CHS PV
 R$580.000,00 FV
 8 n
 i 4,754%
A seguir, apresentamos a conceituação dos diversos tipos de taxas de 
juros utilizadas pelo mercado financeiro, assim como a forma como duas ou 
mais taxas podem estar relacionadas.
Taxa nominal
Uma ou mais taxas de juros são conceituadas como nominais quando são 
expressas para um intervalo de tempo diferente do período de capitalização 
a que se referem, não tendo, portanto, qualquer utilização prática. Uma taxa 
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Regime de juros compostos
nominal serve apenas como um indicador de custo ou rentabilidade, não de-
vendo, em hipótese alguma, ser utilizada em qualquer tipo de cálculo finan-
ceiro antes de transformada em taxa efetiva, conforme veremos a seguir.
Exemplo: 12% ao ano capitalizado trimestralmente.
Importante:
Uma vez que as taxas nominais não são expressas para o mesmo interva-
lo de tempo do período de capitalização, sempre que nos depararmos com 
esse tipo de taxa deveremos, primeiramente, transformá-la em taxa corres-
pondente a esses períodos. A forma de transformação obedece às seguintes 
etapas:
Determinar quantos períodos de capitalização existem no intervalo de 1. 
tempo expresso na taxa.
Dividir a taxa nominal pela quantidade determinada na etapa acima.2. 
O resultado obtido é uma 3. taxa efetiva conforme veremos a seguir.
Exemplo:
Um banco empresta recursos utilizando a taxa de 36% a.a. de juros, ca-
pitalizados mensalmente. Qual a taxa de juros mensal cobrada por essa 
instituição?
i = 36% / 12 = 3% ao mês com capitalização mensal.
Taxa efetiva
Sempre que nos deparamos com diferentes alternativas de investimento, 
um dos primeiros critérios que nos vem à mente é decidir baseado na maior 
taxa de juros, ou na menor taxa, supondo uma operação de empréstimo, isso 
claro, julgando que as diferentes alternativas possuem o mesmo grau de risco.
Na prática, no entanto, nem sempre as taxas de juros a serem comparadas 
estão expressas nas mesmas condições, fato que pode nos levar a incorrer em 
erros grotescos de avaliação e em perdas financeiras elevadas, quer pagando 
além do valor correto, quer deixando de ganhar algum tipo de remuneração. 
Regime de juros compostos
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Para que possamos verificar se essas taxas refletem as mesmas condições, 
é necessário que calculemos as chamadas taxas efetivas relativas às taxas de 
juros a serem comparadas. Mas o que é uma taxa efetiva?
É a taxa cujo período de tempo a que se refere coincide com o período 1. 
de capitalização.
É a taxa de juros efetivamente paga ou recebida em uma operação fi-2. 
nanceira qualquer.
Exemplos:
12% a.a. capitalizado mensalmente – taxa nominal;
12,68% a.a. capitalizado anualmente – taxa efetiva.
Taxas de juros equivalentes
Taxas equivalentes são aquelas que, ao serem aplicadas sobre um mesmo 
principal P, no mesmo prazo n, expresso na unidade de tempo da taxa ia.n., 
produzem o mesmo montante. Para explicitar o conceito, suponhamos duas 
taxas efetivas ia.n. e ia.k. capitalizadas, aos períodos n e k, respectivamente, 
existindo s períodos k no período n. 
Para que os montantes sejam idênticos, é necessário que:
P (1 + ia.n.)
n = P (1 + ia.k.)
n . s 
(1 + ia.n.)
1 = (1 + ia.k.)
s 
ia.n. = (1 + ia.k.)
s - 1 e ia.k. = (1 + ia.n.)1/s - 1
Onde: ia.n. = taxa para um período de tempo maior do que a taxa de partida.
ia.k. = taxa para um período de tempo menor do que a taxa de partida.
s = número de vezes em que o tempo da taxa menor cabe no tempo da 
taxa maior.
82
Regime de juros compostos
Importante:
Do entendimento do conceito anterior, podemos dizer que no regime de 
juros compostos:
taxas equivalentes também são efetivas; �
taxas equivalentes não são proporcionais. �
A formulação abaixo permite o cálculo das taxas equivalentes diárias, 
mensais, trimestrais, semestrais e anuais:
( 1+ id)
360 = (1+im)
12 = (1+it)
4 = (1+is)
2 = (1+ia)
Onde: id = Taxa dia expressa na forma decimal.
im= Taxa mês expressa na forma decimal.
it= Taxa trimestre expressa na forma decimal.
is = Taxa semestre expressa na forma decimal.
ia = Taxa ano expressa na forma decimal.
Exemplos:
1. Determinar a taxa anual equivalente a 20% a.m.:
 Solução:
 (1 + ia)
1 = (1+ 0,20)12 ia = (1+ 0,20)
(12/1)
 – 1 = 791,61% a.a.
2. Determinar a taxa mensal equivalente a 26% a.a.:
 Solução:
 (1 + 0,26)1 = (1 + im)
12 im = 1,94% a.m. 
3. Um banco oferece a um investidor uma taxa de 80% a.a. para uma 
aplicação de 63 dias. Qual é a taxa bruta do período?
 Solução:
 (1 + 0,8)1 = (1 + i63)
(360/63) i63 = (1 + 0,8)
(63/360) - 1 = 10,83% no período.
4. Qual a taxa anual equivalente (a juros compostos) à taxa de 15% ao 
mês?
Regime de juros compostos
83
 Solução:
 ia = [(1 + 0,15)
12 – 1] . 100 ia = 435,03% a.a.
5. Determine a taxa mensal equivalente composta à taxa de 4% aos 40 
dias:
 Solução:
 im = [(1+0,04)
30/40 – 1] . 100 im = 2,99% a.m.
Funções do Excel utilizadas em juros compostos 
(para situações de pagamentos únicos)
Função do montante: 
=VF(taxa; nper; pgto; vp; tipo)
A função VF calculará diretamente o montanteou valor futuro uma vez 
que tenham sido fornecidos os valores (ou os endereços) dos parâmetros. 
Parâmetros utilizados:
taxa � – taxa de juros;
nper � – número de períodos;
pgto � – valor de uma prestação;
VP � – valor presente;
tipo � – 0 ou omitido para séries “postecipadas”; 1 para séries antecipa-
das.
Obs.: deve ser respeitada a convenção do fluxo de caixa em que VP e VF 
devem ter sinais opostos.
Exemplo:
 Qual é o valor de resgate de uma aplicação de R$1.000,00 daqui a qua-
tro meses, supondo uma taxa de juros de 5% ao mês?
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Regime de juros compostos
 Solução:
Fonte: Microsoft Office Excel 2003.
Fonte: Microsoft Office Excel 2003.
Fonte: Microsoft Office Excel 2003.
Função do principal: 
=VP(taxa; nper; pgto; vf; tipo)
A função VP calculará diretamente o valor presente uma vez que tenham 
sido fornecidos os valores (ou os endereços) dos parâmetros. Parâmetros 
utilizados:
taxa � – taxa de juros;
nper � – número de períodos;
Regime de juros compostos
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VF � – valor futuro;
pgto � – valor de uma prestação;
tipo � – 0 ou omitido para séries “postecipadas” ou 1 para séries anteci-
padas.
Obs.: deve ser respeitada a convenção do fluxo de caixa em que VP e VF 
devem ter sinais opostos.
Exemplo:
 Que capital, aplicado a juros compostos, à taxa efetiva de 5% ao mês, 
formou um montante de R$1.215,51 após quatro meses?
 Solução:
Fonte: Microsoft Office Excel 2003.
Função da taxa de juros: 
=Taxa (nper; pgto; vp; vf; tipo)
A função taxa calculará diretamente a taxa de juros uma vez que tenham 
sido fornecidos os valores (ou os endereços) dos parâmetros.
Parâmetros utilizados:
np � er – número de períodos;
VF � – valor futuro;
pgto � – valor de uma prestação;
VP � – valor presente;
tipo � – 0 ou omitido para séries “postecipadas” ou 1 para séries anteci-
padas.
Importante:
A convenção do fluxo de caixa, em que VP e VF devem ter sinais opostos, 
deve sempre ser respeitada.
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Regime de juros compostos
Exemplo:
 Uma pessoa depositou R$1.000,00 num banco, a juros compostos, 
com capitalização mensal. Sabendo que após quatro meses o saldo 
estava em R$1.215,51, calcule a taxa de juros.
 Solução: 
Fonte: Microsoft Office Excel 2003.
Função do prazo: 
=Nper(taxa; pgto; vp; vf; tipo)
A função nper calculará diretamente o prazo uma vez que tenham 
sido fornecidos os valores (ou os endereços) dos parâmetros. Parâmetros 
utilizados:
VF � – valor futuro;
pgto � – valor de uma prestação;
taxa � – taxa de juros;
VP � – valor presente;
tipo � – 0 ou omitido para séries “postecipadas” ou 1 para séries anteci-
padas.
Obs.: deve ser respeitada a convenção do fluxo de caixa em que VP e VF 
devem ter sinais opostos.
Exemplo:
 Uma pessoa aplica R$1.000,00 e resgata R$1.215,51. Sabendo-se que a 
taxa de juros da aplicação é de 5% ao mês, calcule o tempo de aplicação.
 Solução:
Fonte: Microsoft Office Excel 2003.
Regime de juros compostos
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Cálculo de taxas equivalentes
Fórmula prática para a obtenção da taxa equivalente (em função dos 
prazos em dias).
Uma forma prática de obtermos a taxa equivalente é através da seguinte 
fórmula: 
iq = (1 + it)
q
t – 1
Onde: iq = taxa que queremos.
it = taxa que temos.
t = prazo em dias da taxa que temos.
q = prazo em dias da taxa que queremos, obtida de (1 + i1)
n1 = 
(1 + i2)
n2.
Fazendo-se i1 = iq e i2 = it e considerando o prazo padrão de um ano, tere-
mos que n1 = 360 / q e n2 = 360 / t, portanto:
(1 + iq)
360
q = (1 + it)
360
t (1 + iq)
360
q
q
360
 = (1 + it)
360
t
q
360
e finalmente 
iq = (1 + it)
q
t – 1
Exemplos:
1. Em juros compostos, qual a taxa mensal equivalente a 8% a.t.?
 Solução:
 taxa que queremos mensal q = 30
 taxa que temos trimestral t = 90
 iq = im = (1 + 8%)
30
90 – 1 = 2,60% a.m.
88
Regime de juros compostos
2. Qual a taxa anual equivalente a 15% a.m.? 
 Solução:
Fonte: Microsoft Office Excel 2003.
3. Qual a taxa mensal equivalente a 435,03% a.a.? 
 Solução:
Fonte: Microsoft Office Excel 2003.
Cálculo com prazos fracionários
No regime de juros compostos (exponencial), muitas vezes o prazo da 
aplicação não corresponde a um número inteiro de períodos a que se refere 
a taxa de juros, mas sim a um número fracionário. Existem duas formas de se 
fazer o cálculo de juros.
Convenção Linear; �
Convenção Exponencial. �
Pela convenção linear fazemos o cálculo para o número inteiro de pe-
ríodos pelo regime de juros compostos e para o período fracionário pelo 
regime de juros simples. Pela convenção exponencial, o cálculo é feito pelo 
regime de juros compostos tanto para o número inteiro de períodos como 
para o período fracionário.
Exemplos:
1. Calcule o montante gerado, no regime de juros compostos, por um 
principal de R$1.000,00 aplicado por 15 dias, à taxa (exponencial) de 
12% a.m. pela convenção exponencial e pela linear.
Regime de juros compostos
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 Solução:
 id = (1 + 0,12)
(1/30) – 1 = 0,3785% a.d.
 Pela convenção exponencial temos:
 M = R$1.000,00 (1 + 0,12)0,5 = R$1.058,30 
 ou M = R$1.000,00 (1 + 0,003785)15 = R$1.058,30
 Pela convenção linear temos:
 M = R$1.000,00 . (1 + 0,004 . 15) = R$1.060,00 
Observações:
a) A calculadora financeira HP-12c realiza automaticamente cálculos 
para o período fracionário utilizando a Convenção Linear, conforme 
apresentado abaixo:
 – 1.000,00 PV
 12 i
 0,5 n
 FV 1.060,00 
 Para que a HP-12C gere o valor pela convenção exponencial, temos 
que pressionar a tecla STO EEX. Ao realizarmos essa operação, apare-
cerá um “c” no canto direito do visor. A partir daí, todos os cálculos com 
períodos fracionários serão realizados pela Convenção Exponencial.
 STO EEX
 – 1.000,00 PV
 12 i
 0,5 n
 FV 1.058,30 
b) Para que retorne à convenção linear, basta pressionar STO EEX nova-
mente, desaparecendo “c”.
90
Regime de juros compostos
2. Calcule o montante gerado, no regime de juros compostos, por um 
principal de R$1.000,00 aplicado por 45 dias, à taxa (exponencial) de 
12% a.m. pela convenção exponencial e pela linear.
 Solução:
 id = (1 + 0,12)
(1/30) – 1 = 0,3785% a.d.
 Pela convenção exponencial temos:
 M = R$1.000,00. (1 + 0,12)1,5 = R$1.185,30 
 ou M = 1.000,00. (1 + 0,003785)45 = R$1.185,30 
 Utilizando a calculadora HP-12C temos:
 STO EEX
 – 1.000,00 PV
 12 i
 1,5 n
 FV 1.185,30
 Pela convenção linear temos:
 Mn = 1.000 . (1 + 0,12)1 . (1 + 0,004 . 15) = R$1.187,20 
 Pela HP-12C temos:
 – 1.000 PV
 12 i
 1,5 n
 FV 1.187,20 (segue a convenção linear)
Equivalência de capitais
No regime de juros compostos, dois ou mais fluxos de caixa são ditos 
equivalentes a uma determinada taxa de juros se eles produzem o mesmo re-
sultado (principal ou alternativamente montante), quando expressos numa 
mesma data. A equivalência de capitais pode ser realizada em qualquer 
Regime de juros compostos
91
período n, desde que esse período seja o mesmo para todos os fluxos, ou 
seja, a equivalência financeira entre conjuntos de capitais é independente da 
data focal, fazendo com que conjuntos de capitais equivalentes numa certa 
data focal também o sejam em outra data distinta. 
Exemplos:
1. Uma determinada pessoa tem os seguintes compromissos a vencer: 
R$5.000,00 daqui a quatro meses e R$6.000,00 daqui a oito meses. Caso 
ela proponha uma troca com o seu credor, de modo a realizar dois pa-
gamentos idênticos com vencimento daqui a dez e 12 meses, qual será 
o valor desses pagamentos se a taxa de juros compostos efetiva cobra-
da for de 4% a.m., considerando a data (mês) 0 como data focal? 
 Solução:
4 8 meses
R$6.000,00
10 12
R$5.000,00X X
 
R$5.000,00
(1 + 0,04)4
 + 
R$6.000,00
(1 + 0,04)8
 = 
x
(1 + 0,04)10
 + 
x
(1 + 0,04)12
 X = R$6.659,30
2. Refazer o exercício anterior considerando a data (mês) quatro como 
data focal.
 Solução: 
 
R$5.000,00 + 
R$6.000,00
(1 + 0,04)4
 = 
x
(1 + 0,04)6
 + 
x
(1 + 0,04)8
 X = R$6.659,30
3. Uma loja oferece um desconto de 4% para aqueles que comprarem uma 
televisão à vista, diz não cobrar juros daqueles que pagarem com cheque 
para daqui a 30 dias e cobra um acréscimo de 5% daqueles que pagarem 
com cheque para daqui a 60 dias. Que conselho você daria a um indiví-
duo que tem o dinheiro para pagar à vista, sabendo-se que esse recurso 
vem sendo aplicado a uma taxa de juros mensal de 2,5% ao mês?
92
Regime de juros compostos
 Solução:
 P = 0,96 P . (1 + im)
1
 im = 4,16% a.m.
 1,05 P = 0,96 P . (1 + im)
2 
 im = 4,58% a.m.
 É melhor pagar a televisão à vista, pois o ganho na poupança é menor 
do que a taxa cobrada pelo banco tanto para cheque de 30 dias, como 
para o cheque de 60 dias.
Capitalização composta com 
taxas de juros variáveis
Na fórmula do montante M = P. (1+i)n considera-se que a taxa de juros 
permaneça constante em cada período. Considerando que as taxas de juros 
variem de um período para o outro, a fórmula do montante pode ser gene-
ralizada para levar em consideração essa variação. 
Considerando um capital C, aplicado a juros compostos à taxa i1 (no pri-
meiro período), i2 (no segundo período), i3 (no terceiro período) assim suces-
sivamente até in (no iésimo período), o montante seria calculado da seguinte 
forma: 
M1 será M1 = C + Ci1 = C . (1 + i1)
M2 será M2 = M1 + M1i2 = M1 .(1 + i2) = C . (1 + i1) . (1+ i2)
M3 será M3 = M2 + M2i3 = M2 .(1 + i3) = C . (1 + i1) . (1+ i2) . (1 + i3)
...........
em n períodos o montante será:
Mn = C . (1+i1) . (1+i2) . (1+i3) ........... (1+in)
A taxa acumulada no período é dada por:
iAC = Mn/C – 1
iAC = [(1+i1) . (1+i2) . (1+i3) ........... (1+in)] – 1
Regime de juros compostos
93
Importante: 
O cálculo apresentado anteriormente pode ser realizado no Excel através 
da função VFPLANO. Essa função permite obter um valor futuro de um capi-
tal que será atualizado por uma série consecutiva de taxas compostas.
=VFPLANO (capital; plano).
Capital: é o valor presente, capital inicial ou principal.
Plano: é a matriz de taxas de juros a ser utilizada.
Fonte: Microsoft Office Excel 2003.
Exemplos:
1. Em quatro meses sucessivos, um fundo de renda fixa rendeu 1,1%, 
1,2%, 1,2% e 1,5%. Qual a taxa de rentabilidade acumulada desse fun-
do no período? Se o capital aplicado nesse fundo foi de R$15.000,00, 
qual foi o montante obtido após o quarto mês?
 Solução:
a) Taxa de rentabilidade acumulada nos quatro meses: 
 iAC = [(1+i1) . (1+i2) . (1+i3) . (1+i4)] – 1 = 
 = [(1+0,011) . (1+0,012) . (1+0,012) . (1+0,015)] – 1
 = 5,09%
Fonte: Microsoft Office Excel 2003.
94
Regime de juros compostos
b) Montante obtido após o 4.º mês:
Fonte: Microsoft Office Excel 2003.
 M4 = P . (1 + iAC) = R$15.000,00 (1 + 5,09%) = R$15.764,11
2. Em janeiro, fevereiro e março, um fundo de ações rendeu 3%, 8% e 
– 4%, respectivamente. Qual a taxa de rentabilidade acumulada desse 
fundo no período?
 Solução:
 iAC =[(1+i1) . (1+i2) . (1+i3)] – 1 = 
 iAC = [(1 + 3%) . (1 + 8%) . (1 – 4%)] – 1 = 6,79%
Fonte: Microsoft Office Excel 2003.
Tratamento da inflação
Inflação pode ser entendida como um fenômeno relacionado ao aumen-
to persistente dos preços de bens e serviços. Em ambientes inflacionários 
deve-se estar atento para a denominada ilusão monetária. É fundamental 
que seja ressaltado nas várias taxas de juros nominais praticadas na econo-
mia, o componente devido à inflação e aquele declarado como real. 
Regime de juros compostos
95
A existência da inflação em níveis relevantes durante um longo período de 
tempo no país, fez com que surgissem diversos índices agregados de preços 
(que são medidas da inflação), como por exemplo o IGP-DI, IGPM, INPC, ICV 
etc. Pela evolução desses índices pode ser constatado como os preços gerais 
da economia variam em um certo intervalo de tempo. Para tanto, relaciona-
se o índice final do período que se deseja estudar com o indicador relativo 
ao início do período.
Taxa de inflação e taxa de inflação acumulada
A taxa de inflação j, obtida a partir de índices de preços, é definida como 
a variação percentual do índice de preço entre um período n e um período 
anterior n – t. 
Assim:
j = (Pn – Pn-t )/Pn-t = Pn/Pn-t – 1
Onde: Pn = índice de preços do período n.
Pn-1 = índice de preços do período anterior.
A taxa de inflação acumulada ao longo de um período (três meses por 
exemplo) é igual à variação percentual do índice de preços entre a data final 
e a data inicial. 
jac = p3/p0 –1 jac = [(p1/p0). (p2/p1). (p3/p2)] – 1 = 
jac = [(1 + j1) .(1 + j2) .(1 + j3)] – 1
Onde: jac = índice de inflação acumulada no período.
j1... j2... j3 = índice de inflação dos períodos 1, 2, 3 (...)
Exemplos:
1. Com base na tabela a seguir, calcule a taxa de inflação acumulada no 
segundo trimestre do ano.
96
Regime de juros compostos
Mês Índice de inflação
Janeiro R$649,79
Fevereiro R$703,38
Março R$800,31
Abril R$903,79
Maio R$1.009,67
Junho R$1.152,63
Julho R$1.353,79
 Solução:
 A taxa de inflação no segundo trimestre do ano foi igual a 
 j = [(R$1.152,63 / R$800,31) –1] . 100 = 44,02%
2. Se a inflação for dada mês a mês, conforme a tabela a seguir, calcule a 
inflação acumulada no período.
Mês Inflação
Abril 12,93%
Maio 11,72%
Junho 14,16%
 Solução:
 jac = [( 1 + j1) .(1 + j2). (1 + j3)] – 1
 jac = [1,1293 . 1,1172 . 1,1416] – 1
 jac = 44,03%
Taxa de desvalorização monetária
A consequência da inflação é a corrosão no poder aquisitivo da moeda. 
Por exemplo, se no início do ano para se comprar uma cesta de produtos 
forem necessários R$2.000,00 e se a taxa de inflação neste ano (baseada num 
índice relacionada a essa cesta de produtos) for de 100%, isso vai implicar em 
que no final do ano sejam necessários R$4.000,00 (duas vezes o valor inicial) 
para comprar a mesma cesta, ou seja, com R$2.000,00 só será possível com-
prar metade (1/2) da cesta (50%). 
Regime de juros compostos
97
Assim, podemos verificar que houve uma perda do poder aquisitivo da 
moeda (dado pela taxa de desvalorização da moeda representada por Tdm) 
de 50% (1/2). A taxa de desvalorização monetária pode ser calculada pela 
seguinte fórmula:
Tdm = 
j
1 + j
 
Onde: Tdm = taxa de desvalorização da moeda do período.
j = taxa de inflação do período.
Assim, para uma inflação de 100%, a taxa de desvalorização monetária 
será de 50% (1/2). Quanto maior for a taxa de inflação, maior será a perda do 
poder aquisitivo da moeda.
Tdm = 
100%
1 + 100%
 = 50%
Taxa de inflação Taxa de desvalorização da moeda
25% 20,0%
50% 33,3%
75% 42,9%
100% 50,0%
125% 55,6%
150% 60,0%
175% 63,6%
200% 66,7%
225% 69,2%
250% 71,4%
Taxa de desvalorização da moeda
Taxa de inflação
Tdm
80,0%
60,0%
40,0%
20,0%
0,0%
25
%
50
%
75
%
10
0%
12
5%
15
0%
17
5%
20
0%
22
5%
25
0%
98
Regime de juros compostos
Taxa real e taxa nominal
É fundamental que seja feita uma análise do relacionamento das taxas 
de juros com as taxas de inflação. O resultado de uma aplicação financeira 
poderá ser ilusório, caso o aplicador não considere a inflação do período cor-
respondente. Por exemplo, se for feita uma aplicação por um ano à taxa de 
10% a.a., e a inflação no mesmo período for de 15%, o ganho dessa aplicação 
nem sequer conseguirá repor o poder aquisitivo do dinheiro aplicado. 
Define-se taxa real dejuros r ao ganho real expresso como percentagem 
do capital corrigido. É a remuneração que se aufere ou se paga acima da 
taxa de correção monetária (inflação). Mesmo numa conjuntura econômi-
ca com reduzidas taxas de inflação, torna-se importante se conhecer o juro 
real. Nessas condições, pequenas oscilações nos índices de preços produzem 
impacto relevante sobre as taxas de juros ao longo do tempo, alterando a 
competitividade entre os ativos negociados no mercado.
Define-se ganho real para um dado período de tempo t como a diferença 
entre o montante M1 (gerado pela aplicação da taxa i sobre um capital ini-
cial C) e o montante M2 (gerado pela correção monetária pela inflação desse 
capital C). 
Assim: 
M1 = C.(1 + i)
1 e M2 = C. (1 + j)
1
Onde: i = taxa nominal de juros do período.
j = taxa de inflação do período.
M1 – M2 = ganho real.
Poderão existir as seguintes situações:
M � 1 = M2 diz-se que a taxa de juros i apenas recompôs o poder aqui-
sitivo do capital C.
M � 1 > M2 dizemos que houve um ganho real em relação à inflação.
M � 1 < M2 dizemos que houve uma perda real em relação à inflação.
Sendo a taxa geral de juros r o ganho real expresso como porcentagem 
do capital corrigido, temos:
Regime de juros compostos
99
r = 
M1 – M2
M2 
r = 
M1
M2
 – 1
 
r = 
C (1 + i)
C (1 + j)
 – 1
Onde: i = taxa nominal de juros do período.
j = taxa de inflação do período.
Fórmula de Fisher – fórmula da taxa de juros real
O economista norte-americano Irving Fisher criou em 1930 a equação 
que decompõe a taxa de retorno aparente (i) em taxa de inflação (j) mais a 
taxa real (r).
1 + r = 
(1 + i)
(1 + j)
Se i = j então r = 0 (taxa real nula). �
Se i > j então r > 0 (taxa real positiva). �
Se i < j então r < 0 (taxa real negativa). �
Exemplos:
1. Uma pessoa comprou no início do ano um imóvel por R$180.000,00. 
Depois de um ano esse imóvel foi vendido por R$220.000,00. Qual foi 
a rentabilidade real se a inflação desse ano foi de 25%?
 Solução:
Fonte: Microsoft Office Excel 2003.
2. Um investidor aplicou R$80.000,00 e resgatou R$83.360 ao final de 62 
dias. Se a inflação do período foi de 3,3%, qual a taxa de juros real por 
ele obtida?
100
Regime de juros compostos
 Solução:
 
1 + r = 
(1 + i)
(1 + j)
 R$83.360,00 = R$80.000,00. (1 + i)
 i = 4,2%
 
1 + r = 
(1 + 0,042)
(1 + 0,033)
 r = 0,87%
3. Um investidor tem duas opções de aplicação:
a) 15% ao ano capitalizados mensalmente.
b) 14% ao ano capitalizados semestralmente.
 Qual é a melhor delas?
 Solução:
 im = 15/12 = 1,25% ao mês
 im = (1+0,07)
1/6 – 1 = 1,13% ao mês
 A melhor opção é A.
4. Um indivíduo fez uma aplicação num fundo de investimentos por três 
meses, tendo obtido 3,5% de rendimento no primeiro mês, 2,0% no 
segundo e 1,9% no terceiro mês. Calcular o rendimento total e o men-
sal equivalente.
 Solução:
 iac = [(1+0,035) . (1+0,02) . (1+0,019)] – 1 =
 iac = 7,58%
 (1 + iac)
1 = (1 + im)
3
 (1 + 0,0758)1 = (1 + im)
3 = 
 im = 2,46% ao mês
5. Um investidor fez uma aplicação com as seguintes características:
 1.° mês: correção monetária: 2,0%
Regime de juros compostos
101
 rendimento: 1,2% 
 2.° mês: correção monetária: 1,8%
 rendimento: 0,7%
 3° mês: correção monetária: 3,2%
 rendimento: 0,9%
a) Qual o rendimento total obtido pelo aplicador?
b) Qual o rendimento mensal equivalente?
c) Qual o rendimento real obtido pelo aplicador?
 Solução:
a) iac = [(1+0,02).(1+0,012).(1+0,018).(1+0,007).(1+0,032).(1+0,009)]–1 =
 iac = 10,19% 
b) (1 + iac)
1 = (1 + im)
3
 (1 + 0,1019)1 = (1 + im)
3 = 
 im = 3,29% ao mês
c) ir = [(1+0,012) . (1+0,007) . (1+0,009)] – 1 =
 ir = 2,83% no período ou
 ir = 0,93% ao mês.
6. Uma pessoa resolveu investir na compra de um imóvel. Comprou à vis-
ta em junho de 1996 um apartamento por R$225.000,00 e vendeu-o 
no final de 1997 por R$242.500,00 (valor líquido de taxas, impostos e 
comissões). Considerando que a taxa de inflação (medida pelo IGP-M) 
nesse período foi de 11,68%, pergunta-se qual foi a rentabilidade real 
do investimento?
 Solução:
 i = [R$242.500,00/R$225.000,00 – 1].100 = 7,78%
 
1 + r = 
(1 + i)
(1 + j)
 j = 11,68% (inflação)
102
Regime de juros compostos
 
1 + r = 
(1 + 0,078)
(1 + 0,1168)
 r = – 3,49%
7. Determine o montante de uma aplicação de R$48.000,00 pelo prazo 
de 11 meses, sabendo-se que a taxa de juros efetiva é de 2% ao mês, 
pelo regime de juros compostos.
 Solução: 
 Mn = P .(1 + i)
n
 Mn =R$48.000,00 .(1 + 0,02)
11 = R$59.681,97
8. Em juros compostos, qual é a taxa em 68 dias equivalente a 8% ao mês?
 Solução: 
 i68 = (1+0,08)
68/30 – 1
 i68 = 19,06%
9. Em juros compostos é preferível aplicar R$18.000,00 durante um ano à 
taxa de 2,5% ao mês ou numa aplicação que remunera a 32% ao ano?
 Solução: 
 im = (1+0,32)
1/12 – 1
 im = 2,34% a.m.
 Logo, é preferível a aplicação que remunera a 2,5% ao mês.
10. Se uma instituição financeira paga uma taxa de 14% ao ano, qual é a 
taxa equivalente num período de 134 dias em juros compostos?
 Solução: 
 i134 = (1+0,14)
134/360 – 1
 i134 = 5,00%
11. Uma concessionária anuncia a venda de veículos com pagamento 
para daqui a quatro meses. Quem, no entanto, optar pelo pagamento 
à vista terá um desconto de 15%.
 Qual é a taxa de juros anual composta cobrada por essa concessionária?
Regime de juros compostos
103
 Solução: 
 Mn = P . (1 + i)
n
 X = 0,85 . (1 + i)4/12
 1 = 0,85 (1 + i)4/12
 i = 62,83% ao ano = 4,15% ao mês.
12. Qual é a taxa de juros mensais que permite gerar em oito meses um 
total de juros de R$50.000,00 para um capital inicial de R$100.000,00?
 Solução:
 Mn = P .(1 + i)
n
 R$150.000,00 = R$100.000,00. (1 + i)8
 i = 5,20% a.m.
13. Qual é o prazo que permite gerar um montante de R$160.000,00 a par-
tir de um capital inicial de R$100.000,00, sabendo-se que a taxa de 
juros efetiva é de 2,0% ao mês.
 Solução:
 Mn = P .(1 + i)
n
 R$160.000,00 = R$100.000,00. (1 + 0,02)n
 ln (1,6) = n . ln (1,02)
 n = 23,73 meses = 23 meses e 22 dias
14. Um indivíduo resolve investir R$550.000,00 num fundo que remunera 
à taxa de 14% ao ano, capitalizados mensalmente. Qual será o valor 
do montante que o investidor poderá obter ao final de um ano e dois 
meses?
 Solução: 
 im = (1 + 0,14)
1/12 – 1 = 1,0979% a.m.
 Mn = P (1 + i)
n
 Mn = R$550.000,00 .(1 + 0,010979)
14
 Mn = R$640.843,06
104
Regime de juros compostos
15. Calcule o valor dos juros que incidem sobre um capital de R$30.000,00 
no período entre 01/03/2004 e 15/12/2004, sabendo que a taxa de ju-
ros efetiva é de 2,0% ao mês.
 Solução: 
 id = (1 + 0,02)
1/30 – 1 = 0,06603% a.d.
 Mn = P . (1 + i)n
 Mn = R$30.000,00 .(1 + 0,0006603)
289
 Mn = R$36.305,26
16. Uma aplicação resultou num montante de R$59.754,63 no período de 
nove meses. Calcule o valor do capital inicial, sabendo-se que a taxa de 
juros efetiva é de 2% ao mês.
 Solução: 
 Mn = P (1 + i)
n
 R$59.754,63 = P (1 + 0,02)9
 P = R$50.000,00
17. Um terreno foi comprado por R$26.000,00, sendo dada uma entrada de 
R$6.000,00 e o restante foi pago após seis meses com um acréscimo de 
R$4.000,00. Determinar a taxa de juros mensal cobrada pelo vendedor.
 Solução: 
R$26.000,00
R$6.000,00 R$24.000,00
 Mn = P.(1 + i)
n
 R$24.000,00 = R$20.000,00 .(1 + i)6
 i = (1,21/6 – 1) . 100 = 
 i = 3,09% a.m.
Regime de juros compostos
105
18. No fim de quanto tempo um capital de R$100.000,00 aplicado a 2% 
ao ano produzirá o mesmo montante de um capital de R$70.000,00 
aplicado a 8% ao ano? 
 Solução: 
 im = (1 + 0,02)
1/12 – 1 = 0,165158% a.m.im = (1 + 0,08)
1/12 – 1 = 0,643403% a.m.
 R$100.000,00 (1 + 0,00165158)n = R$70.000,00 (1 + 0,00643403)n
 R$100.000,00 / R$70.000,00 = (1,00643403 / 1,00165158)n
 ln .(1,4285714) = n . ln .(1,004774586)
 n = 74,88 meses = 74 meses e 26 dias
19. Um indivíduo analisa duas alternativas antes de fechar um emprésti-
mo: o Banco Gama cobra uma taxa efetiva de 50% a.a. e o Banco Ome-
ga cobra juros nominais de 46% a.a. capitalizados mensalmente. Qual 
é a melhor opção?
 Solução: 
 50% ao ano = (1 +0,5)1/12 – 1 = 3,4366% a.m.
 46% / 12 = 3,833% a.m.
 A melhor alternativa é tomar o empréstimo no banco Gama.
20. Em que prazo um principal de R$50.000 aplicado à taxa nominal de 
14% a.a., capitalizada semestralmente, resulta em um montante de 
R$91.922,96?
 Solução: 
 Mn = P .(1 + i)
n
 R$91.922,96 = R$50.000,00. (1 + 0,07)n
 n = ln .1,8384592 / ln 1,07
 n = 9 semestres = quatro anos e meio
106
Regime de juros compostos
21. Calcule o prazo de uma aplicação de R$50.000 a uma taxa nominal, 
que é 16% a.a., capitalizada semestralmente, sabendo-se que rendeu 
juros de R$18.024,45.
 Solução: 
 Mn = P.(1 + i)
n
 R$68.024,45 = R$50.000,00 .(1 + 0,08)n
 n = ln .1,360489 / ln 1,08
 n = 4 semestres = dois anos
Ampliando seus conhecimentos
Em economia, inflação é a queda do valor de mercado ou poder de compra 
do dinheiro. Isso é equivalente ao aumento no nível geral de preços. Inflação é 
o oposto de deflação. Inflação zero, ou muito baixa, é uma situação chamada 
de estabilidade de preços.
Em alguns contextos, a palavra inflação é utilizada para significar um au-
mento no suprimento de dinheiro e a expansão monetária, o que é às vezes 
visto como a causa do aumento de preços; alguns economistas (como os da 
Escola Austríaca) preferem o primeiro significado, em vez de definir inflação 
pelo aumento de preços. Assim, por exemplo, alguns estudiosos da década de 
1920 nos EUA referem-se à inflação, ainda que os preços não estivessem au-
mentando naquele período. Mas, de um modo geral, a palavra inflação é usada 
como aumento de preços, a menos que um significado alternativo seja expres-
samente especificado. Outra distinção também se faz quando analisam-se os 
efeitos internos e externos da inflação: externamente, a inflação se traduz mais 
por uma desvalorização da moeda local frente a outras e, internamente, ela se 
exprime mais no aumento do volume de dinheiro e aumento dos preços.
Um exemplo clássico de inflação foi o aumento de preços no Império 
Romano, causado pela desvalorização dos denários que, antes confecciona-
dos em ouro puro, passaram a ser fabricados com todo tipo de impurezas. 
O imperador Diocleciano, ao invés de perceber essa causa, já que a Ciência 
Econômica ainda não existia, culpou a avareza dos mercadores pela alta dos 
preços, promulgando em 301 um edito que punia com a morte qualquer um 
que praticasse preços acima dos fixados.
Regime de juros compostos
107
A inflação pode ser contrastada com a reflação, que é ou um aumento de 
preços de um estado deflacionado ou, alternativamente, uma redução na taxa 
de deflação (ou seja, situações em que o nível geral de preços está caindo em 
uma taxa decrescente). Um termo relacionado é desinflação, que é uma redu-
ção na taxa de inflação, mas não o suficiente para causar deflação.
Processos inflacionários
Os processos inflacionários podem ser classificados segundo algumas ca-
racterísticas, como:
Inflação prematura � – processo inflacionário gerado pelo aumento dos 
preços sem que o pleno emprego seja atendido. 
Inflação reprimida � – processo inflacionário gerado pelo congelamen-
to dos preços por parte do governo. 
Inflação de custo � – processo inflacionário gerado pelo aumento dos 
custos de produção. Por causa de uma redução na oferta de fatores de 
produção, o seu preço aumenta. Com o custo dos fatores de produção 
mais altos, a produção se reduz e ocorre uma redução na oferta dos 
bens de consumo aumentando seu preço. Ocorre quando a produção 
se reduz, ceteris paribus. 
Inflação de demanda � – processo inflacionário gerado pelo aumento 
do consumo. Os preços sobem porque há aumento geral da demanda 
sem um acompanhamento no crescimento da oferta. 
A inflação de demanda é o tipo mais comum de inflação, e é o único tipo 
de inflação observada em casos de inflação alta, porque a produção teria que 
se reduzir muito em um caso de inflação de custos. Uma das formas utilizadas 
para o controle de uma crise de inflação de demanda, é um redução na oferta 
de moeda, que gera uma redução no crédito, e consequente desaceleração 
econômica. 
Há ainda aqueles que discutem a chamada inflação por razão estrutural, 
que tem a ver com alguma questão específica de um determinado mercado, 
como pressão de sindicatos, tabelamento de preços acima do valor de merca-
do (caso do salário mínimo), imperfeições técnicas no mecanismo de compra 
e venda.
108
Regime de juros compostos
Manipulação dos índices de inflação
No Brasil os índices de inflação são calculados por institutos de pesqui-
sas econômicas, e não por contadores públicos independentes, separando, 
como reza a boa prática de governança, o gestor do avaliador. Nem tampouco 
são auditados por auditores independentes. Todas as tentativas de submeter 
esses índices de inflação à auditoria externa foram refutadas pelos economis-
tas responsáveis por esses institutos. Esse fato aumenta o risco de se aplicar 
em títulos indexados, aumentando a taxa de juro real na economia brasileira. 
No período de 1964 a 1995, a ORTN foi manipulada praticamente todo ano, 
tendo corrigido somente 12% da inflação do período, destruindo praticamen-
te 88% da poupança nacional do período.
O papel da inflação na economia
Um efeito da inflação de pequena escala é que se torna mais difícil rene-
gociar alguns preços, e particularmente contratos e salários, para valores mais 
baixos – então com o aumento geral de preços é mais fácil para que os preços 
relativos se ajustem. Muitos valores são bastante inelásticos para baixo, e 
tendem a subir; logo, os esforços para manter uma taxa zero de inflação (nível 
constante de preços) irão punir outros setores com queda de preços, lucros e 
empregos. Por conta disso, alguns economistas e executivos veem essa infla-
ção suave como um mecanismo de “lubrificação” do comércio. Segundo algu-
mas escolas de Economia, esforços para manter uma estabilidade completa 
de preços podem também levar à deflação (queda constante de preços), que 
pode ser bastante destrutiva, estimulando falências e recessão.
Muitos na comunidade financeira lembram do “risco escondido” da infla-
ção como um incentivo essencial para o investimento, ao invés da simples 
poupança, riqueza acumulada. A inflação, dessa perspectiva, é vista como a 
expressão no mercado do valor temporal do dinheiro. Ou seja, se um real hoje 
é mais valioso que um real daqui a um ano, então deve haver uma desvalo-
rização do real na economia como um todo, no futuro. Dessa perspectiva, a 
inflação representa a incerteza sobre o valor da moeda no futuro.
Segundo os economistas da Escola Austríaca, a inflação (no sentido clássi-
co) provoca efeitos sobre a estrutura de produção da economia. Redistribuin-
do rendas e causando uma desproporcionalidade em relação ao volume de 
demanda para os vários setores da economia, já que os preços não mudam 
Regime de juros compostos
109
todos juntos, e sim, cada um com diferente intensidade. No caso de inflação 
monetária, em que a moeda é injetada no mercado de crédito, investimentos 
ineficientes são criados, o que leva a crises econômicas.
A inflação, entretanto, além dessas consequências, tem vários outros efei-
tos crescentemente negativos na economia. Efeitos que se relacionam com 
o “abatimento” de atividade econômica prévia. Desde que a inflação é geral-
menteresultado de políticas governamentais para aumentar a disponibilidade 
de moeda, a contribuição do governo para um ambiente inflacionário é vista 
como uma taxa sobre a moeda em circulação. Com o aumento da inflação, au-
menta esse peso sobre o dinheiro em circulação – isso, por sua vez, promove 
um aumento da velocidade de circulação do dinheiro, o que por sua vez refor-
ça o processo inflacionário (veja teoria quantitativa da moeda) em um círculo 
vicioso que pode levar à hiperinflação.
A crescente incerteza pode desestimular o investimento e a poupança. 
Redistribuição
Haverá redistribuição da renda, que se transfere progressivamente daque-
les com rendas fixas (locatários, por exemplo) para aqueles com rendas mais 
flexíveis. 
De modo similar será beneficiado o indivíduo que tomou dinheiro empres-
tado a uma taxa fixa, e será prejudicado o emprestador que foi surpreendido 
pela inflação. 
Comércio exterior: se a taxa de inflação for maior do que a praticada em 
outros países, uma tarifa fixa de comércio será solapada pelo enfraquecimen-
to da posição do país na balança comercial. 
Aumento dos custos relativos à maior velocidade de circulação do dinheiro 
(o exemplo simples é das pessoas que precisarão ir mais ao banco). Também 
devem ser considerados os custos, para empresas, da mudança continuada 
de preços (por exemplo, restaurantes que precisam constantemente refazer 
seus cardápios). 
Hiperinflação: se a inflação ficar totalmente fora de controle, interfere pe-
sadamente no funcionamento normal da economia, prejudicando sua capa-
cidade de oferta de bens. 
110
Regime de juros compostos
Numa economia em que alguns setores são “indexados” quanto à inflação 
e outros não, a inflação age como uma redistribuição em sentido dos setores 
indexados e afastando-se dos setores não indexados.
Por conta desses efeitos nefastos, os bancos centrais costumam definir 
a estabilidade de preços como um objetivo primordial de suas políticas, com 
uma inflação perceptível, mas baixa, como ideal.
Por outro lado, segundo alguns economistas de formação heterodoxa, 
como Celso Furtado, a inflação não é um fenômeno meramente monetário: 
sua raiz está na questão distributiva entre os grupos sociais de uma econo-
mia. Isto é, a inflação de preços é o meio pelo qual os grupos sociais ligados às 
atividades produtivas dispõem para ampliar a sua apropriação do acréscimo 
de renda criado no processo de crescimento econômico, levando a economia 
para novos equilíbrios distributivos entre esses grupos. Conforme o argumen-
to de Furtado, se a inflação fosse um efeito meramente monetário e neutro 
em relação ao lado real da economia (o lado da produção de bens e serviços), 
sem afetar a distribuição de renda, o aumento generalizado de preços deveria 
ocorrer de forma proporcionalmente simétrica para todos os setores da eco-
nomia, e não é o empiricamente comprovado.
Medição da inflação
A medição da inflação é feita através de uma grandeza denominada núcleo 
da inflação: mede o que os economistas chamam de “coração da inflação”. O 
Banco Central do Brasil utiliza o modelo de médias aparadas; ou seja, excluem-
-se as altas e baixas mais expressivas.
Outro modelo é o utilizado pelo Fed (o banco central americano); aqui, 
são excluídos do cálculo os preços de itens mais sujeitos a choques de custo, 
como alimentos e energia.
Histórico do quadro inflacionário no Brasil
Os índices de inflação no Brasil são medidos de duas maneiras. Uma pelo 
INPC, aplicado a famílias de baixa renda (aquelas que têm renda de um a oito 
salários mínimos) e outra pelo IPCA, aplicado para famílias que recebem um 
montante de até 40 salários mínimos.
Regime de juros compostos
111
Gráfico 1 – Inflação no Brasil entre 1930 e 2005
Índices da inflação (IBGE)
800%
700%
600%
500%
400%
300%
200%
100%
0% 6% 12%
19% 40% 8,60% 7,60% 5,69%
200520041995/20001990/199419801960/1970195019401930
330%
764%
Índices da inflação
IB
G
E.
Década de 1930 = média anual de 6%; 
Década de 1940 = média anual de 12%; 
Década de 1950 = média anual de 19%;
Décadas de 1960 e 1970 = média anual de 40%;
Década de 1980 = média anual de 330%;
Nota: entre 1985 e 1994 as taxas da inflação no Brasil foram altas;
Entre 1990 a 1994 = média anual de 764%;
Entre 1995 a 2000 = média anual de 8,6%;
Ano de 2004 = 7,60%;
Ano de 2005 = 5,69% (IPCA): limite máximo na meta oficial = 7%; objetivo 
do governo = 5,1%; 
Especificamente, temos o seguinte quadro inflacionário pelo IPCA cheio, 
no período 1998-2007:
1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007
1,65% 8,94% 5,97% 7,67% 12,53% 9,3% 7,6% 5,69% 3,14% 5,90%
112
Regime de juros compostos
A moeda nacional do Brasil mudou de nome várias vezes, principalmente 
nos períodos de altos índices de inflação no país. Na maioria das renomea-
ções monetárias foi cortado três dígitos de zero, estratégia que impediu que 
um quilo de carne custasse cerca de quatro milhões de unidades da moeda 
vigente, por exemplo.
Até 1942: Real (Réis);
De 1942 a 1967: cruzeiro;
De 1967 a 1970: cruzeiro novo;
De 1970 a 1986: cruzeiro;
De 1986 a 1989: cruzado;
De 1989 a 1990: cruzado novo;
De 1990 a 1993: cruzeiro;
De 1993 a 1994: cruzeiro real e Unidade Real de Valor (URV);
De 1994 até hoje: real.
Inflação na Alemanha
Entre janeiro de 1919 e novembro de 1923, o índice inflacionário alemão 
variou em um trilhão por cento (1.000.000.000.000%). Foi a pior inflação da 
história, chegando-se ao ponto de queimar dinheiro em lareiras para aquecer-
-se contra os rigorosos invernos. Tudo isso deve-se ao Tratado de Versalhes 
imposto pelos países vencedores da 1.a Guerra Mundial, que acabou com sua 
infraestrutura e aniquilou sua economia, sem contar com a destruição causa-
da pela guerra.
(Disponível em: <http://pt. wikipedia.org/wiki/Infla%C3%A7%C3%A3o>.)
Atividades de aplicação
1. Durante quanto tempo um capital de R$50.000,00 deve ser aplicado a 
uma taxa mensal de 2,2% para gerar um montante de R$88.042,69?
Regime de juros compostos
113
2. Calcule o montante acumulado ao final de seis meses de uma aplica-
ção de R$12.000,00, sabendo-se que a taxa de juros compostos nos 
seis meses são: 1,2%; 2,2%; 2,3%; 2,1%; 1,9%; 2,1%.
3. Em quanto tempo duplica uma população que cresce à uma taxa de 
2,4% a.a.?
4. Com base nos índices de preços divulgados abaixo, calcule a taxa mé-
dia mensal de inflação em 20x1. 
 Dez. 20x0: 194,00; 
 Dez. 20x1: 210,49.
5. Um imóvel está sendo vendido por R$280.00,00 à vista. Se o compra-
dor se propuser a pagar R$100.000,00 à vista mais R$200.00,00 daqui a 
seis meses, calcule a taxa mensal de juros efetiva dessa proposta.
6. Um investidor aplicou o valor de R$10.000,00 em um fundo de investi-
mentos. Decorridos três anos, verificou que a rentabilidade obtida foi 
de 2,80% no primeiro ano, 3,90% no segundo e -2,20% no terceiro ano. 
Com base nessas informações, determine o valor de resgate obtido 
pelo investidor.
Gabarito
1.
 R$88.042,69 = R$50.000,00 . (1 + 0,022)n
 n = ln.(1,76085)/ ln.(1,022)
 n = 0,565797 / 0,021761
 n = 26 meses.
2.
Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 Ano 5 Ano 6
Taxas 1,20% 2,20% 2,30% 2,10% 1,90% 2,10%
Principal R$12.000,00
 M = R$12.000,00 . (1 + 0,012) . (1 + 0,022) . (1 + 0,023) . (1 + 0,021) . 
(1 + 0,019) . (1 + 0,021)
114
Regime de juros compostos
 Montante: R$13.486,96
 Ou no Excel: utilizar a função VFPLANO (valor principal; célula inicial 
do intervalo de taxas: célula final do intervalo de taxas).
3.
 2 x = x . (1 + 0,024)n
 2 = (1+0,024)
 ln 2 = ln (1+0,024)n
 ln 2 = n . ln (1+0,024)
 ln 2 / ln (1,024) = n
 n = n = 0,693147 / 0,023717
 n = 29 anos.
4.
 Taxa de inflação em 20x1 = (210,49/194) – 1 = 8,50%
 Taxa média mensal = (1+ 0,085)1/12 – 1Taxa média mensal = 0,68% a.m.
5.
 R$200.000,00 = R$180.000,00 . (1 + im)
6
 m = (R$200.000,00/R$180.000,00)1/6 - 1
 m = 1,77%
6.
ano 1 ano 2 ano 3
Taxas 2,80% 3,90% -2,20%
Principal 10.000 
 Montante = R$10.000,00 . (1+ 0,028) . (1+ 0,039) . (1 – 0,022)
 Montante = R$10.445,94