sist de amort constante

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Resumo
Nesta aula, estudaremos o sistema de amortização constante (SAC), que, 
como o próprio nome diz, em vez de prestação fi xa como o SAP, tem 
uma amortização fi xa, ou seja, os juros e a prestação variam mas a taxa de 
amortização permanece constante.
Sistema de amortização 
constante (SAC)
Eduardo Araújo*
A planilha de cálculos no SAC
Como você sabe, prestação é o mesmo que juros mais amortização:
PMT = J + At
Como os juros sempre são calculados sobre o saldo devedor (que, logicamente, tem de diminuir 
com o tempo) e a amortização é constante, o valor da prestação é decrescente ao longo do tempo.
Nesse sistema, as chamadas quotas de amortização (m) são calculadas dividindo-se a dívida total 
pelo número de prestações:
 
m =
PMT
n
 Mestre em Ensino de Ciências e Matemática – Ulbra. Especialista em Educação a Distância – Senac. Graduado em Matemática – Ulbra.
Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
170 Matemática para Negócios e Finanças
Veja uma aplicação:
Um investidor fez um empréstimo de R$ 20.000,00 via SAC em 4 prestações mensais à taxa de 5% 
a.m./c.m. A partir disso, construa a planilha financeira de amortização da dívida.
Solução:
::	 Primeiramente, calculamos as quotas de amortização (que são constantes) nas prestações:
m =
PMT
n
=
20 000
4
= R$5.000, 00 e construímos uma tabela semelhante a do sistema de 
amortização francês, porém mais simples, já que podemos preencher toda a coluna do saldo 
devedor de uma só vez (como a amortização é constante, basta subtraírmos a cada linha o 
valor fixo da amortização).
::	 A coluna dos juros também é muito simples, já que basta multiplicarmos a taxa fixa de juros 
pelo saldo devedor da coluna anterior e a prestação simplesmente é a soma da amortização 
(fixa) com os juros. Veja:
Mês	(t) Saldo	Devedor 
SDt = SDt-1- At
Amortização	At Juros		
Jt = i . SDt-1
Prestação		
PMT = At + Jt
0 20 000 0 0 0
1
SDt = 20 000 - 5 000
SDt = 15 000
5 000
Jt = 0,05 . 20 000 
Jt = 1000
5 000 + 1 000= 6 000
2
SDt = 15 000 - 5 000
SDt = 10 000
5 000
Jt = 0,05 . 15 000 
Jt = 750
5 000 + 750 = 5 750
3
SDt = 10 000 - 5 000 
SDt = 5 000
5 000
Jt = 0,05 . 10 000 
Jt = 500
5 000 + 500 = 5 500
4
SDt = 5 000 - 5 000 
SDt = 0
5 000
Jt = 0,05 . 5 000 
Jt = 250
5000+250 = 5 250
Na planilha Excel também podemos construir a situação anterior e, de forma eletrônica, temos a 
movimentação mês a mês. Veja:
 
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Sistema de amortização constante (SAC) 171
Veja como ficaria essa situação no sistema de amortização progressiva (SAP):
PMT =
VP
fvp (i%, n)⋅
PMT = 20 000 ÷ 3,545951
PMT = 5640,24
Como você pode perceber, dependendo do sistema de amortização utilizado, temos diferentes 
valores de prestações e cálculo da dívida. 
Cálculo das variáveis para um período qualquer no sistema SAC
Assim como no SAP, neste sistema existem expressões matemáticas simples que permitem o 
cálculo direto das variáveis envolvidas quando não necessitamos da tabela por completo, mas em um 
só momento. Veja:
Quota de amortização (m)
A quota de amortização é constante e dada por m =
PV
n
 
Saldo devedor (Sd)
S =PV (1-
p
n
)d ⋅
 
em que: 
PV = valor presente das dívidas em questão;
p = número da prestação na qual queremos calcular o saldo devedor;
n = número de prestações.
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172 Matemática para Negócios e Finanças
Veja o cálculo do saldo devedor para o mês 3 de uma situação em que a dívida é de R$ 20.000,00 
e pagamento em 4 parcelas pelo sistema SAC:
 PV = 20 000
 p = 3 (queremos no terceiro mês)
 n = 4 (total de prestações)
 
S =20 000 (1 -
3
4
)
S =20 000 (1 - 0,75)
S =20 000 (0,25)
S =5000
d
d
d
d
⋅
⋅
⋅
 
Prestações (PMTp)
PMT =
PV
n
[1 + (n - p + 1) i]p ⋅ ⋅
Veja o cálculo da quarta prestação do mesmo exemplo citado anteriormente:
PMT =
20 000
4
[1 + (4 - 3 + 1) 0,05]
PMT = 5000 . [1 + (2) . 0,05]
PMT = 500
3
3
3
⋅ ⋅
00 . [1 +0,1]
PMT = 5000 . 1,1
PMT = 5500
3
3
Realizar cálculos pelo SAC é bastante simples, já que a amortização é constante e os juros incidem 
sobre um saldo devedor, portanto, de decréscimo linear. Isso implica em um cálculo de variáveis para 
um período qualquer bastante simplificado.
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Sistema de amortização constante (SAC) 173
Atividades
	 Um empresário fez, por meio do sistema SAC, um empréstimo de R$ 40.000,00 para ser pago em 
25 meses, em uma financeira que cobra taxa de juros de 4% a.m. A partir destas informações, 
responda às questões que seguem.
a) Construa o quadro de amortização para os três primeiros meses.
b) Qual será o saldo devedor no 13.º mês?
 
 
c) Qual será o valor da prestação no 13.º mês?
 
 
d) Qual será o valor da última prestação?
 
 
e) Essa última prestação representa que valor no ato do fechamento do empréstimo?
 
 
f) Suponha que o empresário deseje, após o pagamento das seis primeiras prestações, quitar o 
saldo devedor, renegociando a dívida com juros de 3% a.m./c.m. para pagamento único em 
120 dias. Qual deverá ser o valor a pagar?
 
Ampliando conhecimentos
Crie uma planilha referente a uma situação de seu interesse ou necessidade, utilizando os conceitos que 
estudamos do SAC. Procure fazer pelo menos uma planilha manual e, a mesma, no Excel. Compare os 
valores obtidos e calcule algumas das variáveis para um período qualquer. A partir disso, você poderá 
construir algo de sua necessidade e corrigir os resultados encontrados. 
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174 Matemática para Negócios e Finanças
Auto-avaliação
1.	 Construa em uma planilha eletrônica a seguinte situação:
 Um empréstimo de R$ 20.000,00 será pago utilizando-se o sistema de amortização constante 
(SAC), em 12 prestações mensais postecipadas e com juros de 1,5% a.m.
 Em seguida, utilize os procedimentos de cálculo para saldo devedor, amortização e juros em um 
período qualquer e confira com os resultados obtidos na tabela.
 
 
 
2.		 Construa, em uma outra planilha eletrônica, a situação que segue:
 Um empréstimo de R$ 30.000,00 será pago utilizando-se o SAC, com 6 prestações mensais 
postecipadas com juros de 1% a.m.
 Em seguida, utilize os procedimentos de cálculo para saldo devedor, amortização e juros em um 
período qualquer e confira com os resultados obtidos na tabela.
 
 
 
 
3.		 Um empréstimo de R$ 250.000,00 deve ser pago, por meio do SAC, com juros de 8% a.m./c.m., e 
em 20 parcelas mensais. Qual será o valor da última parcela?
 
 
4.	 Um empréstimo no valor de R$ 80.000,00 será pago pelo SAC em 40 parcelas mensais. A taxa de 
juros da operação é de 4% a.m./c.m. Determine:
a) o valor das amortizações mensais;
 
 
b) o valor dos juros da prestação referente ao 22.º pagamento;
 
 
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Sistema de amortização constante (SAC) 175
c) o valor da última prestação;
 
 
 
d) o saldo devedor após o pagamento da 10.ª prestação. 
 
 
 
Referências
BRANCO, Anísio Costa Castelo. Matemática	Financeiraaplicada: método algébrico, HP-12 C, Microsoft 
Excel. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2002.
DI AGUSTINI, Carlos Alberto. Matemática	aplicada	à	gestão	de	negócios. Rio de Janeiro: Editora FGV, 2005.
GOLDSTEIN, Larry J.; LAY. Matemática	Administração	e	Contabilidade. Porto Alegre: Bookman: 2002.
KRUSE, Fábio. Matemática	Financeira: conceitos e aplicações com o uso da HP-12 C. Novo Hamburgo: 
Feevale, 2003.
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Sistema de amortização constante (SAC) 177
Gabarito 
Atividades
1.	 a)
n Saldo Devedor Amortização Juros Prestação
0 40 000 0 0 0
1 SD1 = 38 400,00 A1 = 1 600,00 J1 = 1 600,00 PMT1 = 3.200,00
2 SD2 = 36 800,00 A2 = 1 600,00 Jt =1 536,00 PMT2 = 3 136,00
3 SD3 = 35 200,00 A3 = 1 600,00 Jt = 1 472,00 PMT2 = 3 072,00
b) R$ 19.200,00.
c) R$ 2432,00.
d) R$ 1664,00.
e) R$ 624,19.
f) Comentado.
 SD6 = R$30.400.
 VF = 34.215,47.
Auto-avaliação
1.	 Questão aberta.
2.	 Questão aberta.
3.		 R$ 13.500,00.
4.		 a) R$ 2.000,00.
b) J22 = R$ 1.520,00. 
c) PMT40 = R$ 2.080,00.
d) S10 = R$ 60.000,00.
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