series de pagamento 2

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Séries de pagamento II
Eduardo Araújo*
Série antecipada é aquela em que o pagamento é efetuado no início de cada período e o valor 
futuro é obtido num intervalo de tempo após o pagamento da última prestação. É como se você, ao adquirir 
o bem, já pagasse a primeira prestação (como uma “entrada” no mesmo valor das prestações ou um 
depósito em conta poupança, porém com valor fi nal um mês após o último depósito). 
Abaixo seguem os principais elementos de uma série antecipada.
VP (PV) = valor presente, valor atual, soma dos termos descapitalizados
VF (FV) = valor futuro, valor nominal, montante, soma dos termos capitalizados
PMT = valor de cada prestação, pagamento, termo
n = número de períodos
i = taxa
O cálculo com séries antecipadas
O gráfi co a seguir representa as prestações (PMT) de uma série de pagamentos antecipadas, o 
valor futuro, ou acumulado desta série (VF) e o valor presente ou atual (VP).
 Mestre em Ensino de Ciências e Matemática – Ulbra. Especialista em Educação a Distância – Senac. Graduado em Matemática – Ulbra.
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14� Matemática para Negócios e Finanças
Séries antecipadas: cálculo de valor presente
Para calcularmos o valor presente em uma série antecipada [VP (ant)], podemos pensar que este 
é a capitalização de um período do valor presente de uma série postecipada [VP (post)], ou seja, basta 
multiplicarmos a expressão, que se obtém o valor presente de uma série postecipada. Assim:
VP = PMT 
1 - 1 + i
i
 . (1 + i)
-n( )






 
 
ou ainda, pela tabela fvp (i%, n)
VP (ant) = PMT . fvp (i%, n) . (1 + i)
Veja uma situação comentada:
Um bem pode ser adquirido em 10 pagamentos mensais antecipados de R$ 180,00 e mais um 
pagamento adicional de R$ 310,00, juntamente com a 4.ª prestação. Se a taxa de juros é de 15% a.m./
c.m., qual o valor à vista do bem?
Solução:
 Cálculo do valor presente:
 
VP = PMT . 
1 - 1 + i
i
(1+i)
VP=180. 
1 - 1 + 0,15
-n
-10
( )







⋅
( )
00,15
. (1 + 0,15)
VP=180 . 5,0187686285 . (1,15)
VP= R$1








[ ]
..038, 89
 
Descapitalizando o pagamento adicional de R$ 310,00 em 3 meses (porque, se é juntamente com 
a 4.ª prestação, para uma série antecipada, que é o mesmo que uma série que tem seu pagamento 
inicial no ato da compra, na 4.ª parcela passaram-se 3 meses):
VP =
310
(1 + 0,15)
= R$203, 833
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Séries de pagamento II 149
Assim, o valor final é:
 1038,89 + 203,83 = R$ 1.242,72 
Veja outro exemplo de aplicação:
Uma dívida de R$ 1.235,97 será paga da seguinte forma: 5 prestações mensais antecipadas no 
valor de R$ 221,00 e mais um reforço juntamente com a 3. ª prestação. Se a taxa de juros é de 7% a.m./
c.m., qual o valor do reforço?
Solução:
VP=PMT . 
1 - (1+i)-n
i
 . (1+i) + 
x
(1+i)n
1
2








 
VP = PMT . 
1 - 1 + i -n1
i
. (1 + i) +
x
(1 + i)n
1235,97=221 . 
1
2
( )







-- 1 + 0,07 -5
0,07
. (1 + 0,07) +
x
(1 + 0,07)
1235,97=221 . 4
2
( )







,,10019743594 . (1,07) +
x
1,1449
1235,97= 969,5736876 + 0,873438
[ ]
77282x
1235,97 - 969,5736876 = 0,8734387282x
266,3963123 = 0,87343387282x
x =
266,3963123
0,8734387282
= 304, 997
 Observar os expoentes n1 e n 2.
Séries antecipadas: cálculo de valor futuro
Para calcularmos o valor futuro em uma série antecipada [VF(ant)], podemos pensar, também, que 
este é a capitalização de um período do valor futuro de uma série postecipada [VF (post)]. Desta forma:
VF (ant) = VF (post) (capitalizado 1 período) 
VF = PMT 
1 +i - 1
i
1 + i
n
⋅ ( )







⋅ ( )
 
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150 Matemática para Negócios e Finanças
ou ainda, pela tabela, basta multiplicar 
VF (ant) = PMT . fvf (i%, n) . (1 + i)
Veja um exemplo de aplicação:
Em uma conta remunerada são efetuados depósitos mensais no valor de R$ 220,00,; juntamente 
com o 5.º depósito, fez-se um depósito adicional de R$ 400,00. Se a taxa de juros é de 8 % a.m./c.m., qual 
o saldo da conta em 30 dias após ter-se efetuado o 8.º depósito mensal?
Solução:
 PMT = 220
 Cálculo do saldo obtido a partir dos depósitos mensais de R$ 220,00
::	 Calculando a partir da fórmula: VF = PMT 
1 + i - 1
i
(1 + i)
n
⋅ ( )







⋅
VF = 220 
1 + 0,08 8 - 1
0,08
. (1 + 0, 08)
VF=220 . 10,6366
.
( )







228 . (1,08)
VF=2527,26
::	 Cálculo do saldo obtido a partir do depósito adicional de R$ 400,00
Este depósito renderá juros compostos por 4 meses (5.º, 6.º, 7.º e 8.º depósitos)
 Cn = 400 . (1+0,08)
4 
 Cn = 544,20 
 Cálculo do valor total:
 2527,26 + 544,20 = 3071,46
::	 Efetuando-se o mesmo cálculo a partir das tabelas financeiras. A partir da expressão:
VF (Ant) = PMT . (fvf (i%, n)) . (1+i)
Buscando diretamente na tabela:
 VF = 220 . (fvf (8%, 8) - 1)
Buscando na tabela fvf (8%, 9), temos 12,48755784. Assim:
 VF= 220 . 10,636628. (1 + 0,08)
 VF = 2527,26
::	 Cálculo do saldo obtido a partir do depósito adicional de R$ 400,00
Este depósito renderá juros compostos por 4 meses (5.º, 6.º, 7.º e 8.º depósitos)
Cn = 400 . (1 + 0,08)
4
Cn = 544,20
Cálculo do valor total:
 2527,26 + 544,20 = 3071,46
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Séries de pagamento II 151
Séries diferidas
Conceito 
Séries diferidas são aquelas em que o primeiro pagamento ocorre após um certo período de 
carência (também chamado de diferimento inicial). Podemos, também, chamá-lo diferimento final, 
quando é avaliado o valor futuro de uma certa quantia um certo período após o último pagamento.
Cálculo de valor presente
Para calcularmos o valor presente em uma série diferida, devemos descapitalizar em m períodos 
o valor presente da série (normalmente antecipada), ou seja, devemos primeiramente calcular o valor 
presente antecipado [VP (ant)] para após obtermos o valor presente diferido [VP (dif)], pois este nada 
mais é do que a descapitalização relativa ao período de diferimento. Veja graficamente 
Desta forma, podemos escrever que:
 VP (dif) = VP (ant) (descapitalizado m períodos) 
ou seja:
 
VP = PMT 
1- 1+i
i
. (1 + i) (1+i)
-n
-m⋅ ( )







⋅
ou, agrupando os termos:
 
VP = PMT 
1 - 1 + i
i
.(1 + i)
-n
-m + 1 ⋅ ( )







ou ainda, pela tabela fvp (i%, n)1
VP (dif) = [PMT . fvp (i%, n)] . (1 + i)-m+1
1 Verificar anexo no final do livro.
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152 Matemática para Negócios e Finanças
Assim, a expressão para o cálculo do valor presente fica igual à expressão dada para o valor 
presente de uma série antecipada, porém, multiplicada pelo fator (1 + i)-m.
Veja a situação abaixo:
A propaganda de uma grande loja de eletrodomésticos anuncia: “Compre tudo e pague em 10 
vezes. Leve hoje e só comece a pagar daqui a 3 meses”. Se a taxa de financiamento é de 3% a.m./c.m., 
qual o valor da prestação de um refrigerador cujo preço à vista éde R$ 2.800,00?
Solução:
Como você pode perceber, se o preço à vista é de R$ 2.800,00 e há um período de carência, este 
valor simboliza o valor presente em uma série diferida, logo podemos aplicar a expressão:
 VP (dif) = [PMT . fvp (i%, n).(1 + i)] . (1 + i) – m + 1
Em que:
 VP = 2 800
 PMT = ?
fvp (i%, n) = fvp (3%,10) que, como você já sabe, pode ser calculado algebricamente ou 
pela tabela financeira, resultando em 8,530203
 i = 0,03
 m = 3 meses
Desta forma:
 VP (dif) = [PMT . fvp (i%, n) . (1 + i)] . (1 + i) - m
 2 800 = [PMT . 8,530203 . (1 + 0,03)] . (1 + 0,03) - 3
 2 800 = [PMT . 8,530203.1,03] . (1,03) - 3
 2 800 = PMT . 8,78610909 . (0,91514166)
 PMT = 348,24
 Logo, para esta situação o valor na parcela será de R$ 348,24.
Poderíamos ter calculado, também, pela fórmula:
 
VP = PMT . 
1 - 1 + i
i
. (1 + i) 
-n
-m+1( )







 
2800 = PMT . 
1 - 1 + 0,03
0,03
. (1 + 0, 03)
2800 = PM
-10
-3+1( )







TT . 8,53023 . (1,03)
2800 = PMT . 8,5302028 . 0,9425959
2800
8,0405
=
-2
PPMT
PMT = 348,24
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Séries de pagamento II 153
Cálculo de valor futuro
É a capitalização em m períodos do valor futuro da série (normalmente postecipada).
VF (dif) = VF (post) (capitalizado m período) 
Assim, a expressão para o cálculo do valor futuro fica igual à expressão dada para o valor futuro 
de uma série antecipada, porém, multiplicada pelo fator (1 + i)m, pois a série de prestações deverá ser 
capitalizada por mais um período. Veja:
 
VF = PMT . 
1 + i -1
i
. (1 + i) . (1 + i)
n
m( )







ou ainda:
 
VF = PMT . 
1+i -1
i
. (1 + i)
n
m+1( )







E, pela tabela [fvf(i%, n)], temos2:
VF (dif) = PMT . fvf (i%, n) . (1 + i) m+1
Como você pode notar, o cálculo com séries diferidas é praticamente o mesmo feito com séries 
antecipadas, porém é necessário capitalizar (no caso do valor futuro), ou descapitalizar (no caso do valor 
presente) a série em questão. 
2 Verificar anexo no final do livro.
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154 Matemática para Negócios e Finanças
Atividades
1.		 Suponha que você possa investir, mensalmente, no máximo R$ 850,00 em prestações antecipadas 
de um automóvel e que o valor que você precisará financiar é de R$16.000,00. Qual(is) da(s) 
alternativa(s) abaixo se enquadraria(m) no seu orçamento? Justifique numericamente, indicando 
o valor das prestações em cada caso.
1.ª alternativa) Financiar em 20 parcelas com juros de 0,99% a.m./c.m.
 
 
 
2.ª alternativa) Financiar em 24 parcelas, com juros de 2,4% a.m./c.m.
 
 
 
3.ª alternativa) Financiar em 36 parcelas, com juros de 3,8% a.m./c.m.
 
 
 
Ampliando conhecimentos
Assim como nas séries postecipadas, é importante resolver as atividades tanto pelas expressões 
algébricas quanto pelas tabelas financeiras ou por meio das calculadoras financeiras. Procure resolver 
por mais de um método e conferir os resultados por outro. Crie situações do seu interesse ou de seu 
cotidiano e resolva por mais de um método.
Auto-avaliação
1.		 Uma indústria financia suas vendas a prazo cobrando uma taxa de juros efetiva de 2,5% a.m./c.m. 
Determine o valor das prestações para uma operação no valor de R$ 25.000,00, sabendo que a 
loja oferece pagamento em 12 prestações mensais antecipadas.
 
 
 
 
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Séries de pagamento II 155
2.		 Sabendo-se que o valor futuro de uma série antecipada é de R$ 1.500,00, calcule o valor das 8 
prestações com uma taxa de juros de 4% a.m./c.m.
 
 
3.		 Um determinado bem é vendido por R$ 521,00 à vista ou em prestações iguais antecipadas de 
R$ 48,50 mais um pagamento adicional na 5.ª prestação de R$ 142,63. Se a taxa de juros é de 7% 
a.m./c.m., qual o número de prestações?
 
 
Dica: lembre-se de que, ao descapitalizar a 5.ª prestação, descapitalizamos 4 meses, já que é 
série antecipada – a primeira é paga na entrada.
4.		 Em uma conta remunerada efetuaram-se 19 depósitos mensais antecipados e, juntamente com o 
10.º depósito, uma retirada de R$ 70,00. Se o saldo da conta 30 dias após o último depósito é de 
R$ 2.042,21 e a taxa de juros do período foi de 8% a.m./c.m., qual o valor do depósito mensal?
Dica: Capitalize para mais 10 meses (já que é antecipado, até a 19.ª) o valor de R$ 70,00, para ser 
descontado no final:
Cn = 70 . (1 + 0,08)
10
Cn = 151,12
 Acrescente este valor do valor final (já que as prestações foram calculadas sobre o valor total). 
Desta forma, o valor futuro será 2 042,21 + 151,12.
 
 
 
5.	 Um empréstimo será pago em 20 parcelas mensais de R$ 860,00, tendo uma carência de 6 meses 
e à taxa de 2% a.m./c.m. Qual é o valor do financiamento na ocasião do contrato?
 
 
6.	 Um televisor 20” pode ser pago com uma entrada de R$ 120,00, mais 12 prestações fixas de 
R$ 85,00. Se a loja oferece primeiro pagamento para 90 dias e cobra uma taxa de 3,5 % a.m., qual 
o valor à vista deste televisor?
 
 
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7.	 O preço de venda à vista de um apartamento é de R$ 46.582,00. Qual deve ser o período de 
carência após o pagamento de uma entrada de R$ 6.000,00? O saldo será fi nanciado em 12 
prestações mensais de R$ 8.000,00 cada. A taxa de juros é de 9% a.m./c.m.
 
 
Referências
BRANCO, Anísio Costa Castelo. Matemática	Financeira	aplicada: método algébrico, HP-12C, Microsoft 
Excel. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2002. 
GOLDSTEIN, Larry J.; LAY, David C.; SCHNEIDER, David I. Matemática	aplicada: economia, administração 
e contabilidade. Porto Alegre: Bookman, 2000.
KRUSE, Fábio. Matemática	Financeira: conceitos e aplicações com o uso da HP-12C. Novo Hamburgo: 
Feevale, 2003. 
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Séries de pagamento II 157
Gabarito 
Atividades
1.	 	A resposta correta é apenas a 3.ª alternativa, pois
1.ª R$ 877,07.
2.ª R$ 864,02.
3.ª R$ 792,78.
Auto-avaliação
1.	 R$ 2.377,73.
2.	 R$ 156,53.
3.	 12.
4.	 R$ 49,00.
5.	 R$ 12.736,60.
6.		 R$ 886,77.
7.		 5 meses.
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Resumo
Nesta aula, estudaremos um dos principais sistemas de amortização utilizados 
em nossa economia – o sistema de amortização francês (também conhecido 
como tabela price). Como qualquer sistema de amortização, ele consiste em 
um processo de extinção de uma certa dívida. Desta forma, quando falamos 
em nossa economia em pagamento de prestações, estamos nos referindo a 
duas parcelas: amortização (reembolso do valor emprestado) e juros (custo 
pelo empréstimo deste valor). Grafi camente podemos representar:
Ou seja, para o pagamento de uma dívida, fazemos prestações, e estas, na 
nossa economia, se compõem de amortização mais juros. É conveniente 
lembrar que o valor que é amortizado (deduzido) mensalmente de nossa 
dívida é somente o relativo à amortização. Os juros apenas fazem parteda 
parcela, mas não são deduzidos da dívida total. Como não é o objetivo da 
disciplina demonstrações nem deduções matemáticas, faremos a exposição 
desses conceitos a partir de situações práticas.
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