Geometria Diferencial

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Aula 1
Equações paramétricas das cônicas
Ao estudarmos as retas no plano, vimos que a reta r que passa por dois pontos distintos
P1 = (x1, y1) e P2 = (x2, y2) é dada pelas seguintes equações paramétricas:
r :
x = x1 + t(x2 − x1)y = y1 + t(y2 − y1) ; t ∈ R
Essas equações expressam os valores das coordenadas cartesianas x e y de um ponto qual-
quer da reta r em função de apenas uma variável, a variável t, denominada parâmetro. As retas
não são as únicas curvas planas que podem ser representadas por equações paramétricas.
Definição 1
Seja C uma curva plana. Dizemos que uma aplicação γ : D −→ R2, γ(t) = (x(t), y(t)), é uma
parametrização de C se a sua imagem γ(D) coincide com C, ou seja,
C = γ(D) = {(x(t), y(t)) | t ∈ D} ,
onde D é um subconjunto de R (geralmente um intervalo ou uma reunião finita de intervalos).
A imagem γ(D) ⊂ R2 é também chamada o traço de γ.
Parametrização de um círculo
Seja C : x2 + y2 = r2 o círculo de centro na origem e raio r > 0.
Seja t a medida, em radianos, do ângulo P̂0OP (tomada no sentido anti-horário), onde O é
a origem do sistema cartesiano de coordenadas, P0 = (r, 0) é a interseção do círculo com o
semi-eixo positivo OX e P = (x, y) é um ponto pertencente a C.
Considere o ponto P ′ = (x, 0). Como o triângulo OPP ′ é retângulo em P ′, as expressões das
coordenadas x e y, em função do parâmetro t, são:
x = x(t) = r cos t e y = y(t) = r sen t
Geometria Analítica II - Aula 1 2
Fig. 1: Círculo C : x2 + y2 = r2
Fazendo t percorrer os valores do intervalo [0, 2pi),
obtemos todos os pontos do círculo.
Se quisermos, podemos considerar t percorrendo tam-
bém todos os valores reais. Isto implica realizar um nú-
mero infinito de voltas sobre o círculo. Portanto, uma
possibilidade de equações paramétricas para o círculo
C é:
C :
x = r cos ty = r sen t ; t ∈ R .
Note que, para qualquer valor real a 6= 0, as equa-
ções
x = r cos(at) e y = r sen(at), com t ∈ R ,
também são equações paramétricas para o círculo C, pois:
x2 + y2 = r2 cos2(at) + r2 sen2(at) = r2 .
Observe que as equações paramétricas
C :
x = r cos ty = r sen t ; t ∈ [0, pi] ,
definem apenas o semi-círculo de P0 = (r, 0) a P1 = (−r, 0) percorrido no sentido positivo (anti-
horário).
Seja, agora, o círculo
C : (x− x0)2 + (y− y0)2 = r2
de centro (x0, y0) e raio r > 0.
Fig. 2: Círculo C :: (x − x0)2 + (y − y0)2 = r2
Por uma translação do sistema de eixos OXY, obte-
mos um novo sistema de eixos OXY, com O = (x0, y0).
Nas coordenadas x e y, onde
x = x+ x0 e y = y+ y0,
a equação cartesiana do círculo é dada por x2+y2 = r2,
pois, no sistema de eixos OXY, o círculo C tem raio r e
está centrado na origem.
Sendo x = r cos t e y = r sen t, t ∈ R, as equações
paramétricas de C nas coordenadas x e y, temos que:
C :
x = x0 + r cos ty = y0 + r sen t ; t ∈ R ,
são equações paramétricas do círculo C nas coordenadas x e y.
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Exemplo 1
Parametrize o círculo C : x2 + y2 − 4x− 6y = 12.
Solução.
Completando o quadrado:
x2 − 4x+ y2 − 6y = 12⇐⇒ (x− 2)2 + (y− 3)2 = 12+ 4+ 9 = 25 ,
obtemos que C é o círculo de centro C = (2, 3) e raio r = 5. Logo, pelo visto acima,
C :
x = 2+ 5 cos ty = 3+ 5 sen t ; t ∈ R ,
são equações paramétricas do círculo C. �
Parametrização de uma elipse
Seja E : x
2
a2
+
y2
b2
= 1 uma elipse de centro na origem.
Seja C : α2 + β2 = 1 o círculo de centro na origem e raio r = 1. Como (x, y) ∈ E se, e só se,
(α,β) =
(
x
a
,
y
b
)
∈ C, e C :
α = cos tβ = sen t ; t ∈ R, é uma parametrização de C, temos que
E :
x = a cos ty = b sen t ; t ∈ R ,
é uma possível parametrização da elipse E .
O significado geométrico do parâmetro t ∈ R pode ser visto do seguinte modo.
Sejam Ca : x2 + y2 = a2 o círculo de centro na origem e raio a e Cb : x2 + y2 = b2 o círculo de
centro na origem e raio b.
Fig. 3: Círculos Ca e Cb, a > b > 0
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Geometria Analítica II - Aula 1 4
Considere, para cada t ∈ R, os pontos Pa = (a cos t, a sen t) ∈ Ca e Pb = (b cos t, b sen t) ∈
Cb, tais que os vetores −−−→OPa e −−−→OPb fazem um ângulo t, medido em radianos, no sentido anti-
horário, com o semi-eixo positivo OX.
A interseção da reta ra : x = a cos t, paralela ao eixo−OY que passa pelo ponto Pa, com
a reta rb : y = b sen t, paralela ao eixo−OX que passa pelo ponto Pb, nos dá o ponto P =
(a cos t, b sen t) pertencente à elipse E : x
2
a2
+
y2
b2
= 1.
Fig. 4: Construção da elipse E
Seja, agora, a elipse E : (x− x0)
2
a2
+
(y− y0)
2
b2
= 1 de centro (x0, y0).
Por uma translação dos eixos coordenados, obtemos um sistema de eixos OXY, onde O =
(x0, y0) é o centro da elipse. Nas novas coordenadas x e y, a equação cartesiana da elipse fica
na forma E : x
2
a2
+
y2
b2
= 1 e, portanto,
E :
x = a cos ty = b sen t ; t ∈ R,
é uma parametrização da elipse nas coordenadas x e y.
Como x = x+ x0 e y = y+ y0, obtemos que:
E :
x = x0 + a cos ty = y0 + b sen t ; t ∈ R ,
é uma parametrização da elipse nas coordenadas x e y.
Exemplo 2
Parametrize a elipse x2 + 4y2 − 2x− 16y = −1.
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Solução.
Completando os quadrados:
x2 − 2x+ 4y2 − 16y = −1 ⇐⇒ (x− 1)2 + 4(y− 2)2 = −1+ 1+ 16 = 16⇐⇒ (x− 1)2
16
+
(y− 2)2
4
= 1 ,
obtemos que a elipse E tem centro no ponto (1, 2), reta-focal y = 2 paralela ao eixo−OX, a = 4
e b = 2. Então,
E :
x = 1+ 4 cos ty = 2+ 2 sen t ; t ∈ R ,
é uma parametrização de E . �
Parametrização de uma hipérbole
Consideremos a hipérbole H : x2 − y2 = 1 equilátera (a = b = 1) de centro na origem cuja
reta-focal é o eixo−OX.
Sejam cosh t = e
t + e−t
2
e senh t = e
t − e−t
2
, t ∈ R, respectivamente, as funções cosseno
hiperbólico e seno hiperbólico. Os pontos (cosh t, senh t) e (− cosh t, senh t) pertencem à hi-
pérbole H, pois,
(cosh t)2 − (senh t)2 = e
2t + 2+ e−2t
4
−
e2t − 2+ e−2t
4
= 1 para todo t ∈ R.
Fig. 5: Gráficos de cosh t e senh t
Além disso, variando t ∈ R, vemos que x = ± cosh t percorre todos os valores em (−∞,−1]∪
[1,+∞), enquanto y = senh t percorre todos os valores reais.
Portanto,
x = cosh ty = senh t ; t ∈ R, é uma parametrização para o ramo H+ de H que intesecta
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Geometria Analítica II - Aula 1 6
o semi-eixo positivo OX, e
x = − cosh ty = senh t ; t ∈ R, é uma parametrização para o ramo H− de
H que intesecta o semi-eixo negativo OX.
Fig. 6: Gráfico de H = H+ ∪H−
Seja, agora, a hipérbole H : (x− x0)
2
a2
−
(y− y0)
2
b2
= 1 de centro (x0, y0) e reta-focal paralela
ao eixo−OX.
Considere a hipérbole H0 : α2 − β2 = 1.
Como (x, y) ∈ H se, e só se, (α,β) =
(
x− x0
a
,
y− y0
b
)
∈ H0 e H0 :
α = ± cosh tβ = senh t ; t ∈ R ,
é uma parametrização de H0, temos quex = x0 ± a cosh ty = y0 + b senh t ; t ∈ R ,
são equações paramétricas da hipérbole H.
De modo análogo, podemos verificar quex = x0 + b senh ty = y0 ± a cosh t ; t ∈ R ,
são equações paramétricas da hipérbole H : (y− y0)
2
a2
−
(x− x0)
2
b2
= 1 de centro (x0, y0) e reta-
focal paralela ao eixo−OY.
Observação 1
Podemos obter outras equações paramétricas para a hipérbole H : x
2
a2
−
y2
b2
= 1, utilizando as
funções trigonométricas.
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7 Geometria Analítica II - Aula 1
A seguir, assumimos 0 < b < a (faça as adaptações
necessárias para o caso em que 0 < a < b).
Acompanhe o procedimento na Figura 7.
Fig. 7: Hipérbole H : x2
a2
− y
2
b2
= 1 .
Sejam as retas s1 : x = b e s2 : x = a. Consideremos
um ponto P = (x, y) ∈ H no primeiro quadrante. Seja
P1 = (x1, y1) o ponto de interseção de s1 com a reta
paralela ao eixo OX que passa por P.
Seja t a medida (em radianos) do ângulo do semi-eixo
positivoOX para a semi-retaOP1 no sentido anti-horário.
Da Trigonometria, temos P1 = (x1, y1) = (b, b tg t).
Note que as segundas coordenadas de P e P1 são iguais.
Daí concluímos que y = y1 = b tg t.
Ou seja, P = (x, y) = (x, y1) = (x, b tg t) .
Para obter a coordenada x do ponto P, seja P2 o ponto de interseção da semi-reta OP1 com a
reta s2 . Então |OP2| = |a sec t|.
O círculo de centro na origem e raio |OP2| intersecta o semi-eixo positivo OX no ponto P0 =
(x0, 0) , onde x0 = |OP2| = |a sec t|.
Como t é um arco do primeiro quadrante, a sec t é um número positivo. Logo, x0 = a sec t.
Afirmamos que x = x0 , isto é,
P = (x, y) = (x, b tg t) = (x0, b tg t) = (a sec t, b tg t) .
Para verificar a afirmativa, basta mostrar que o ponto de coordenadas (a sec t, b tg t) satisfaz a
equação cartesiana da hipérbole H:
(a sec t)2
a2
−
(b tg t)2
b2
= sec2 t− tg2 t = 1 .
Finalmente, observe que, conforme t percorre todos os valores do intervalo [0, pi
2
), o ponto P
percorre todos os pontos da hipérbole que estão no primeiro quadrante. Veja a Figura 7.
Fig. 8: Ramo de H no quarto quadrante.
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Geometria Analítica II - Aula 1 8
Para obter os pontos do quarto quadrante, fazemos a mesma construção, variando t no intervalo
(−pi
2
, 0]. Neste caso, o ponto P = (x, y) da hipérbole tem a sua segunda coordenada negativa
coincidindo com b tg t, que é também um número negativo. Veja a Figura 8.
Para obter o ramo da hipérbole que intersecta o semi-eixo negativo OX, repetimos a construção,
variando t no intervalo (pi
2
, 3pi
2
) sendo, agora, t o ângulo (em radianos) que o semi-eixo positivo
OX faz com o vetor
−−−→
OP ′1 , no sentido horário, onde P
′
1 é o ponto de interseção da reta s
′
1 : x = −b
com a reta paralela ao eixo−OX que passa por P.
Fig. 9: Ramo de H no semi-plano x < 0.
Observe que:
a sec t < 0 , para t ∈
(
pi
2
,
3pi
2
)
, e
b tg t ≤ 0 , para pi2 < t ≤ pib tg t > 0 , para pi < t < 3pi
2
.
Com essa análise, chegamos às seguintes equações paramétricas da hipérboleH : x2
a2
− y
2
b2
= 1 :
H :
x = a sec ty = b tg t , t ∈ (−pi2 , pi2 ) ∪ (pi2 , 3pi2 )
Quando t varia no intervalo (−pi
2
, pi
2
), obtemos o ramo da hipérbole H que intersecta o semi-
eixo positivo OX, e quando t varia no intervalo (pi
2
, 3pi
2
), obtemos o ramo de H que intersecta o
semi-eixo negativo OX.
Observação 2
Podemos determinar equações paramétricas de cada ramo da hipérbole isoladamente, fazendo
variar t num mesmo intervalo. De fato, já sabemos que as equações paramétricas:
H+ :
x = a sec ty = b tg t , t ∈
(
−
pi
2
,
pi
2
)
,
descrevem as coordenadas dos pontos do ramo H+ de H que intersecta o semi-eixo positivo
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9 Geometria Analítica II - Aula 1
OX.
Também, como t ∈
(
−
pi
2
,
pi
2
)
se, e somente se, t+ pi ∈
(
pi
2
,
3pi
2
)
, e:
a sec(t+ pi) = −a sec t e b tg(t+ pi) = b tg t ,
vemos que as coordenadas dos pontos do ramo H− de H, que intersecta o semi-eixo negativo
OX, são dadas pelas equações paramétricas:
H− :
x = −a sec ty = b tg t , t ∈
(
−
pi
2
,
pi
2
)
Portanto, H é descrita completamente pelas equações paramétricas:
H+ :
x = a sec ty = b tg t , t ∈
(
−
pi
2
,
pi
2
)
, H− :
x = −a sec ty = b tg t , t ∈
(
−
pi
2
,
pi
2
)
De modo geral, podemos verificar que
H :
x = ±a sec t+ x0y = b tg t+ y0 , t ∈
(
−
pi
2
,
pi
2
)
,
são equações paramétricas da hipérbole H : (x− x0)
2
a2
−
(y− y0)
2
b2
= 1 de centro (x0, y0) e reta-
focal paralela ao eixo−OX, e
H :
x = b tg t+ x0y = ±a sec t+ y0 , t ∈
(
−
pi
2
,
pi
2
)
são equações paramétricas da hipérbole H : (y− y0)
2
a2
−
(x− x0)
2
b2
= 1 de centro (x0, y0) e reta-
focal paralela ao eixo−OY.
Exemplo 3
Parametrize a hipérbole H : x2 − 4y2 + 2x− 8y = 7 de duas maneiras diferentes.
Solução.
Completando os quadrados, temos:
x2 + 2x− 4y2 − 8y = 7 ⇐⇒ (x+ 1)2 − 4(y+ 1)2 = 7+ 1− 4 = 4⇐⇒ (x+ 1)2
4
− (y+ 1)2 = 1 .
Logo H é uma hipérbole de centro (−1,−1), reta-focal y = −1 paralela ao eixo−OX, a = 2 e
b = 1.
Assim, pelo visto acima,
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Geometria Analítica II - Aula 1 10
H :
x = ±2 cosh t− 1y = senh t− 1 ; t ∈ R , e H :
x = ±2 sec t− 1y = tg t− 1 ; t ∈
(
−
pi
2
,
pi
2
)
,
são duas parametrizações possíveis para hipérbole H. �
Exemplo 4
Parametrize a hipérbole H : −x2 + 9y2 + 18y− 2x− 1 = 0 de duas maneiras.
Solução.
Completando o quadrado, obtemos:
9(y2 − 2y) − (x2 + 2x) = 1⇐⇒ 9(y+ 1)2 − (x+ 1)2 = 1+ 9− 1 = 9⇐⇒ (y+ 1)2 − (x+ 1)2
9
= 1 .
Logo H é a hipérbole de centro (−1,−1), reta-focal x = −1 paralela ao eixo−OY, a = 1 e b = 3.
Então,
H :
x = 3 senh t− 1y = ± cosh t− 1 , t ∈ R e H :
x = 3 tg t− 1y = ± sec t− 1 , t ∈
(
−
pi
2
,
pi
2
)
são duas parametrizações distintas da hipérbole. �
Parametrização de uma parábola
As equações cartesianas canônicas das parábolas se caracterizam por apresentar uma das
variáveis no primeiro grau. Isso permite expressar essa variável como dependente da variável
do segundo grau.
Fig. 10: P : (x − a)2 = k(y − b) .
Assim, por exemplo, na parábola P de equação
cartesiana
(x− a)2 = k(y− b)⇐⇒ y = 1
k
(x− a)2 + b,
de vértice (a, b) e reta-focal paralela ao eixo−OY,
escolhendo a variável independente t como sendo
x − a, a variável dependente y se expressa como
y =
1
k
t2 + b.
Portanto, P tem por equações paramétricas:
P :
x = t+ ay = 1
k
t2 + b
, t ∈ R
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11 Geometria Analítica II - Aula 1
Exemplo 5
Parametrize a parábola P : y2 − 2x+ 4y = 0.
Solução.
Completando o quadrado:
y2 + 4y− 2x = 0 ⇐⇒ (y+ 2)2 = 2x+ 4 = 2(x+ 2) ,
vemos que P é uma parábola de vértice V = (−2,−2) e reta-focal y = −2 paralela ao eixo−OX.
Então, como x = (y+ 2)
2
2
− 2, temos que:
P :
x =
t2
2
− 2
y = t− 2
; t ∈ R ,
são equações paramétricas da parábola P. �
Observação 3
O procedimento utilizado para obter equações paramétricas das parábolas se aplica para obter
equações paramétricas de partes de elipses e hipérboles.
Exemplo 6
Considere a elipse:
E : x
2
a2
+
y2
b2
= 1 .
Colocando em evidência a variável y, obtemos:
y2
b2
= 1−
x2
a2
=⇒ y2 = b2(1− x2
a2
) =⇒ y = ±√b2
a2
(a2 − x2) =⇒ y = ±b
a
√
(a2 − x2).
Note que a expressão que aparece no radicando, no lado direito da última igualdade, está defi-
nida somente para os valores de x tais que a2 − x2 ≥ 0, ou seja, −a ≤ x ≤ a.
Para cada escolha de sinal na expressão de y, descrevemos uma parte da elipse E . Fazendo
x = t, obtemos as equações paramétricas:
E+ :
x = ty = b
a
√
a2 − t2
, t ∈ (−a, a] , E− :
x = ty = −b
a
√
a2 − x2
, t ∈ [−a, a) ,
onde E+ é a semi-elipse contida no semiplano superior incluindo o vértice V1 = (a, 0) e excluindo
o vértice V2 = (−a, 0). Analogamente, E− é a semi-elipse
contida no semiplano inferior, incluindo
o vértice V2 = (−a, 0) e excluindo o vértice V1 = (a, 0). Veja as Figuras 11, 12 e 13.
Nos exemplos abaixo veremos como parametrizar cônicas que não estão na forma canônica.
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Geometria Analítica II - Aula 1 12
Fig. 11: Semi-elipse E+ . Fig. 12: Semi-elipse E− . Fig. 13: Elipse E = E+ ∪ E− .
Exemplo 7
Determine a equação cartesiana e equações paramétricas da hipérbole equilátera H que passa
pelo ponto P0 = (−1,−5) e tem os eixos coordenados como assíntotas.
Solução.
Como as assíntotas se intersectam na origem e uma de suas bissetrizes é a reta-focal, temos
que C = (0, 0) é o centro da hipérbole e a reta-focal é a reta y = x ou a reta y = −x.
Fig. 14: Hipérbole H
Além disso, como o ponto P0 = (−1,−5) ∈ H está no
terceiro quadrante, vemos que a reta-focal deH é a reta
y = x.
Por uma rotação de 45o em torno da origem no sentido
positivo, obtemos um novo sistema de eixos ortogonais
OXY, sendo:
x =
√
2
2
(x− y)
y =
√
2
2
(x+ y)
(1) e

x =
√
2
2
(x+ y)
y =
√
2
2
(−x+ y)
(2)
as equações de mudança de coordenadas.
Nesse novo sistema de eixos, a hipérbole é equilátera,
tem centro na origem e reta-focal = eixo−OX. Então,
H : x
2
a2
−
y2
a2
= 1 ⇐⇒ H : x2 − y2 = a2 ,
é a equação da hipérbole nas coordenadas x e y.
Como −1 e −5 são, respectivamente, as coordenadas x e y do ponto P0, temos, por (2), que:
x =
√
2
2
(−1− 5) = −3
√
2
y =
√
2
2
(1− 5) = −2
√
2 ,
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13 Geometria Analítica II - Aula 1
são as coordenadas deste ponto no sistema de eixos ortogonais OXY.
Assim, a2 = (−3
√
2)2 − (−2
√
2)2 = 18 − 8 = 10 , já que (−3
√
2,−2
√
2) satisfaz a equação
x2 − y2 = a2 da hipérbole nas coordenadas x e y.
Finalmente, fazendo x =
√
2
2
(x+ y) e y =
√
2
2
(−x+ y) na equação x2 − y2 = 10, obtemos:
2
4
(x+ y)2 −
2
4
(−x+ y)2 = 10 ⇐⇒ (x2 + 2xy+ y2) − (x2 − 2xy+ y2) = 20
⇐⇒ 4xy = 20
⇐⇒ xy = 5 ,
que é a equação cartesiana da hipérbole nas coordenadas x e y.
Para parametrizar a hipérbole H, parametrizamos primeiro a hipérbole H : x2 − y2 = 10, com
a = b =
√
10:
H :
x = ±
√
10 cosh t
y =
√
10 senh t
; t ∈ R .
Utilizando a mudança de coordenadas (1), obtemos que:
H :

x =
√
2
2
(
±√10 cosh t−√10 senh t
)
y =
√
2
2
(
±√10 cosh t+√10 senh t
) ; t ∈ R ,
são equações paramétricas para a hipérbole H.
Podemos também parametrizar a hipérbole H fazendo y = s, s ∈ R− {0}, e x = 5
y
=
5
s
.
Para s ∈ (0,+∞), a parametrização
x =
5
s
y = s
cobre a parte da curva situada no primeiro
quadrante e, para s ∈ (−∞, 0), a parametrização
x =
5
s
y = s
cobre a parte da curva situada no
terceiro quadrante. �
Exemplo 8
Determine uma parametrização da cônica dada pela equação do segundo grau:
9x2 − 24xy+ 16y2 − 20x+ 110y− 50 = 0 .
Solução.
Os coeficientes da equação são A = 9, B = −24, C = 16, D = −20, E = 110, F = 50 e seu
indicador é I = B2 − 4AC = (−24)2 − 4× 9× 16 = 0. Portanto, a equação é do tipo parabólico.
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Geometria Analítica II - Aula 1 14
Como A 6= C, temos que tg(2θ) = B
A− C
=
−24
9− 16
=
24
7
> 0 e
cos 2θ =
√
1
1+ (tg 2θ)2
=
√
1
1+ 576/49
=
7√
625
=
7
25
,
de onde obtemos:
cos θ =
√
1+ cos 2θ
2
=
√
1+ 7/25
2
=
4
5
,
sen θ =
√
1− cos 2θ
2
=
√
1− 7/25
2
=
3
5
,
onde θ é o ângulo que devemos girar os eixos OX e OY para obter um novo sistema de eixos
OXY, no qual a cônica se escreve na forma canônica.
As relações de mudança de coordenadas são:
x =
1
5
(4x− 3y)
y =
1
5
(3x+ 4y)
(1) e

x =
1
5
(4x+ 3y)
y =
1
5
(−3x+ 4y)
(2) ,
e a equação da cônica nas coordenadas x e y fica na forma:
Ax2 + Cy2 +Dx+ Ey+ F = 0 ,
onde F = F = −50; (
A 0
0 C
)
=
1
5
× 1
5
(
4 3
−3 4
)(
9 −12
−12 16
)(
4 −3
3 4
)
=
1
25
(
0 0
−75 100
)(
4 −3
3 4
)
=
(
0 0
0 25
)
,
ou seja, A = 0 e C = 25; (
D
E
)
=
1
5
(
4 3
−3 4
) (
−20
110
)
=
(
50
100
)
,
ou seja, D = 50 e E = 100.
Logo, a equação da cônica nas coordenadas x e y é dada por:
25y2 + 50x+ 100y− 50 = 0⇐⇒ y2 + 2x+ 4y− 2 = 0 .
Completando o quadrado, temos:
y2 + 4y = −2x+ 2⇐⇒ (y+ 2)2 = −2x+ 2+ 4 = −2(x− 3) .
Assim, a curva representa uma parábola de vértice V = (3,−2), parâmetro p = +1
2
, reta-focal
` : y = −2, foco F =
(
3−
1
2
,−2
)
=
(
5
2
,−2
)
e diretriz L : x = 3+ 1
2
=
7
2
.
Portanto,
IM-UFF K. Frensel - J. Delgado
15 Geometria Analítica II - Aula 1
 x = −t
2
2
+ 3
y = t− 2
; t ∈ R ,
é uma parametrização da parábola nas coordenadas x e y.
Então, usando a mudança de coordenadas (1), obtemos que:
P :

x =
1
5
(
4
(
−
t2
2
+ 3
)
− 3(t− 2)
)
= −
1
5
(2t2 + 3t− 18)
y =
1
5
(
3
(
−
t2
2
+ 3
)
+ 4(t− 2)
)
=
1
5
(
−
3
2
t2 + 4t+ 1
) ; t ∈ R ,
é uma parametrização da cônica no sistema de coordenadas OXY. �
Fig. 15: Parábola 9x2 − 24xy + 16y2 − 20x + 110y − 50 = 0
K. Frensel - J. Delgado IM-UFF
		Equações paramétricas das cônicas
		modeloParametrização de um círculo
		modeloParametrização de uma elipse
		modeloParametrização de uma hipérbole
		modeloParametrização de uma parábola
Geometria Diferencial/Análise Complexa e Geometria Diferencial de certas Superfícies do Espaço hiperbólico.pdf
Bol. Soc. Paran. Mat.
(3s.) v. 21 1/2 (2003): 1–20.
c©SPM
Ana´lise Complexa e Geometria Diferencial de certas Superf´ıcies do
Espac¸o hiperbo´lico
Ricardo Sa Earp
abstract: Desde os tempos de Gauss, Riemann e de outros que a Geometria
Diferencial entrelac¸a-se com a Ana´lise Complexa. Um dos mais belos efeitos disto e´
a bem conhecida representac¸a˜o de Weierstrass para superf´ıcies mı´nimas de IR3, con-
sistindo de dados meromorfos (f, g) que descrevem inteiramente uma tal superf´ıcie.
O estudo da ana´lise complexa aplicado neste contexto, ao longo das u´ltimas de´cadas,
tem produzido vertiginosos resultados e tem desenvolvido esta teoria para ale´m das
expectativas. Ja´ e´ bem conhecido que a`s superf´ıcies mı´nimas simplesmente conexas
de IR3 pode-se associar suas primas no espac¸o hiperbo´lico tridimensional IH3 que
possuem curvatura me´dia igual a 1. Tal relac¸a˜o segue do teorema fundamental da
Geometria, calcado nas equac¸o˜es de Gauss e de Codazzi-Mainardi. O fato e´ que
tambe´m existem dados meromorfos sobre as superf´ıcies de curvatura me´dia 1 em
IH3, o que sob um ponto de vista filoso´fico e´ de se esperar. Este e´ o escopo destas
notas: Explicar um pouco as origens desta teoria e suas ligac¸o˜es com a teoria cla´ssica
das superf´ıcies mı´nimas de IR3 e apresentar os dados meromorfos e exemplos, se-
gundo um trabalho recente do autor com Toubiana. Como o espac¸o hiperbo´lico
possui va´rios modelos naturais, diferentemente do espac¸o Euclideano, existem va´rios
pontos de vistas alternativos nesta teoria- revelando a riqueza iniguala´vel da Geome-
tria Hiperbo´lica.
Isto tem sido estabelecido por R. Bryant, Umehara,Yamada que
sa˜o os pioneiros na moderna abordagem deste assunto. Nota´veis trabalhos nesta
a´rea tambe´m teˆm sido compilados por Rossman, Small, Rosenberg, Collin, Hauss-
wirth e Toubiana. De modo que fervilham resultados que exibem a pujanc¸a do link
Ana´lse Complexa, Geometria Hiperbo´lica & Geometria Diferencial. 1
Contents
1 Introduc¸a˜o 2
2 A linguagem proveniente da ana´lise complexa e as superf´ıcies
mı´nimas de IR3 5
3 O espac¸o hiperbo´lico IH3 8
4 Superf´ıcies de curvatura me´dia pre´-determinada em IR3 11
5 A famı´lia cateno´ide-helico´ide 12
1 Durante a elaborac¸a˜o deste artigo o autor foi parcialmente apoiado pelo CNPq e PRONEX.
1
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c© Soc. Paran. Mat.
2 Ricardo Sa Earp
6 Teorema de representac¸a˜o e teorema de dados meromorfos 13
1. Introduc¸a˜o
Recentemente, o autor destas notas e Toubiana iniciaram certa pesquisa sobre
as superf´ıcies com curvatura me´dia 1 no espac¸o hiperbo´lico; a`s quais chamaremos de
primas das superf´ıcies mı´nimas de IR3, ou simplesmente primas das mı´nimas (tal
terminologia sera´ justificada adiante). O approach utilizado e´ inovador, tendo como
resultado a determinac¸a˜o de meromorphic data e um teorema de representac¸a˜o para
tais superf´ıcies em IH3, via um constructo bem geome´trico (veja [32], [33], [34]).
Como ja´ enfatizamos no Abstract, a abordagem na˜o e´ a u´nica. Vamos abrir agora
um pareˆnteses para discorrer um pouco sobre a histo´ria deste assunto a` luz de
descobertas modernas. O leitor fica advertido que na˜o faremos um survey com-
pleto sobre o assunto, apenas sublinharemos em seguida alguns fatos e progressos
marcantes das u´ltimas duas de´cadas:
No limiar dos anos 80 R. Bryant estabeleceu a sua famosa representac¸a˜o, con-
hecida atualmente como representac¸a˜o de Bryant (veja [3]). Manfredo Do Carmo e
Alexandre Magalha˜es da Silveira usufruindo de certas ide´ias de Bryant que, essen-
cialmente, consistem num aprofundamento de propriedades de func¸o˜es meromorfas,
mostraram que o ı´ndice de Morse de uma imersa˜o completa com curvatura me´dia
1 em IH3 e´ finito se, e somente se a curvatura total e´ finita (veja [7]). E´ inter-
essante notar que Javier Ordo´n˜ez em sua tese de doutorado na PUC-Rio mostrou
que as superf´ıcies de rotac¸a˜o com curvatura me´dia 1 em IH3 tem curvatura total
finita (veja [20]). Para completar esta histo´ria queremos observar que Alexandre
Magalha˜es da Siveira, mostrou que uma imersa˜o completa com curvatura me´dia 1
fracamente esta´vel (veja [8]) e´ necessariamente uma horosfera (veja [36]). Nos idos
dos anos 90, a representac¸a˜o de Bryant foi magistralmente explorada por Umehara
e Yamada que deduziram resultados e te´cnicas muito poderosas, fazendo um liame
interessante com as Varia´veis Complexas. Pode-se afirmar que Umehara e Yamada
tiveram papel fundamental no desenvolvimento do assunto. Por exemplo, eles in-
troduziram o importante conceito de fins regulares (tais fins sa˜o discos perfurados
cuja aplicac¸a˜o de Gauss hiperbo´lica se estende meromorficamente ao puncture).
Tambe´m estabeleceram equac¸o˜es fundamentais baseadas na teoria das equac¸o˜es
diferenciais de segunda ordem lineares singulares regulares, construindo exemplos
de primas das mı´nimas completas com fins regulares e fins irregulares (veja [39],
[40], [41]). Em seguida Rossman se juntou a dupla e obtiveram va´rios resultados
que enriqueceram a teoria, exibindo exemplos de primas de geˆnero g, com muitas
simetrias e fins mergulhados (veja [25], [26], [27], [28]). Por outro lado, o presente
autor junto com Toubiana, usando certas te´cnicas desenvolvidas por Umehara e Ya-
mada sobre a representac¸a˜o de Bryant, estabeleceram que se E e´ um fim regular,
mergulado em IH3, com curvatura me´dia 1 e curvatura total finita, enta˜o E e´ ou
Ana´lise Complexa e Geometria Diferencial... 3
bem assimpto´tico a uma prima do cateno´ide, ou bem assimpto´tico a uma horosfera.
Mais precisamente, no modelo do semi-espac¸o tal E e´ assimpto´tico, como gra´fico
Euclideano vertical, a um fim de horosfera ou a um fim de prima do cateno´ide (veja
[31]). Assim, similarmente ao resultado de Schoen no espac¸o Euclideano sobre fins
mı´nimos mergulhados com curvatura total finita em IR3 (veja [35]), obtivemos
uma classificac¸a˜o geome´trica no espac¸o hiperbo´lico dos fins mergulhados de cur-
vatura total finita das chamadas primas das mı´nimas. Lima junto com Rossman
escreveram um artigo no qual este comportamento assimpto´tico estava impl´ıcito
(veja [18]), pore´m no´s inferimos fo´rmulas expl´ıcitas que acarretaram nesta clas-
sificac¸a˜o. De fato, o comportamento assimpto´tico como gra´ficos Euclideanos que
estabelecemos, acreditamos ter sido muito surpreendente. Usando a referida classi-
ficac¸a˜o geome´trica dos fins, Collin, Hauswirth e Rosenberg, demonstraram que um
fim propriamente mergulhado em IH3, de curvatura me´dia 1, tem que ser regular
e de curvatura total finita (veja [4]). Existe uma fo´rmula para as superf´ıcies de
curvatura me´dia 1 de IH3 conhecida por fo´rmula de Small, baseada em me´todos da
geometria alge´brica (veja [37]). O nosso referido trabalho sobre meromorphic data
delineia e estabelece uma deduc¸a˜o alternativa desta fo´rmula. Os brasileiros Lima e
Roitman, explicaram a fo´rmula de Small do ponto de vista do me´todo de Bianchi
que remonta ao in´ıcio do se´culo 20 (veja [17]). Por outro lado, Kokubu, Umehara
e Yamada, escreveram uma demonstrac¸a˜o elementar da fo´rmula de Small e outros
desenvolvimentos similares (veja [15]). O conhecimeno de te´cnicas das Varia´veis
Complexas das func¸o˜es el´ıpticas propiciou a Costa descobrir a sua famosa superf´ıcie
mı´nima (veja [5]). Costa junto com Souza Neto construiu uma prima ana´loga no
espac¸o hiperbo´lico (veja [6]). Finalmente, queremos observar que Galva˜o e Go´es
estabeleceram um approach alternativo das primas das mı´nimas (veja [9]). Vamos
fechar agora este pareˆnteses histo´rico e continuar nossa discussa˜o.
∗ ∗ ∗
Ha´ uma grande afinidade entre nossa ide´ia ou concepc¸a˜o demeromorphic data, a
qual estamos nos propondo a comunicar nestas linhas, com o trabalho de Kenmotsu
publicado em 1979 (veja [14]), sobre uma representac¸a˜o de tipo Weierstrass para
superf´ıcies de curvatura me´dia constante (na˜o nula) em IR3. De fato, considere a
seguinte equac¸a˜o num domı´nio simplesmente conexo U do plano complexo C :
Ezz = 2
EEzEz
1 + EE
Observe que toda soluc¸a˜o da equac¸a˜o de Kenmotsu origina uma imersa˜o conforme
(possivelmente com pontos de ramificac¸a˜o) com curvatura me´dia constante em IR3.
Todavia e´ dif´ıcil encontrar soluc¸o˜es na˜o triviais da equac¸a˜o de Kenmotsu. Por outro
lado, observamos que Ritore´ usou a equac¸a˜o de Kenmotsu para construir superf´ıcies
4 Ricardo Sa Earp
perio´dicas com curvatura me´dia constante em IR3 (veja [23]). No nosso estudo
apareceu naturalmente uma equac¸a˜o similar para superf´ıcies de curvatura me´dia 1
no espac¸o hiperbo´lico para as primas das mı´nimas: Pense que E(z) e´ a aplicac¸a˜o de
Gauss Euclideana usual em IH3 e que z ∈ U, onde U e´ um domı´nio simplesmente
conexo. Considere a equac¸a˜o
(∗) Ezz = EEzEz
1 + EE
No´s conseguimos resolver completamente a equac¸a˜o (∗), expressando qualquer
soluc¸a˜o E via uma representac¸a˜o que pode ser escrita em termos de dados mero-
morfos (h, T ) em U . Na verdade, dada qualquer soluc¸a˜o E, demonstramos que E
origina uma imersa˜o conforme ramificada de curvatura me´dia 1 em IH3, sendo que
os pontos de ramificac¸a˜o, caso existirem, sa˜o isolados e sa˜o explicitamente deter-
minados como zeros de Ez (veja [32]). Ale´m disso, a func¸a˜o altura w, a aplicac¸a˜o
de Gauss Euclideana E, a me´tricas e a segunda forma fundamental sa˜o exibidas
explicitamente em termos
do par meromorfo (h, T ). Por exemplo,
w =
|h2Tz|2
|(Th)z|2 + |hz|2
E =h ·
(
Thz + hTz
h2Tz
)(
T +
(
hz
Thz + hTz
)) (1)
Agora, gostar´ıamos de observar que a componente horizontal u+ iv esta´ dada
por uma integrac¸a˜o complexa envolvendo (h, T ), ou seja
∫
h2dT. De certo modo, e´
poss´ıvel manter controle sobre os pontos de ramificac¸a˜o a fim de se obter imerso˜es
regulares conformes de primas das mı´nimas (veja [33]). Finalmente, a` guisa de
conclusa˜o, realc¸amos o fato que tivemos que olhar as primas das mı´nimas dentro
do contexto geral das imerso˜es conformes em IH3 com curvatura me´dia arbitra´ria.
De fato, inferimos fo´rmulas gerais para uma qualquer imersa˜o conforme que fazem
um papel prepoderante na teoria. Por exemplo, as seguintes fo´rmulas sa˜o essenciais:
u+ iv = G− wE (2)
Gz = wEz (3)
onde u + iv e´ a componente horizontal, w e´ a altura, E e´ a aplicac¸a˜o de Gauss
Euclideana e G e´ a aplicac¸a˜o de Gauss hiperbo´lica. De posse de tais fo´rmulas ob-
tivemos um teorema de representac¸a˜o tipo Weierstrass-Kenmotsu para superf´ıcies
de curvatura me´dia pre´-determinada no espac¸o hiperbo´lico (veja [34]).
Ana´lise Complexa e Geometria Diferencial... 5
2. A linguagem proveniente da ana´lise complexa e as superf´ıcies
mı´nimas de IR3
Vamos fixar agora certa linguagem complexa e vamos fazer uma breve incursa˜o
na a´rea das superf´ıcies mı´nimas de IR3. Nesta discussa˜o seguiremos um plano
fundamentado no nosso livro com Toubiana sobre a Geometria Hiperbo´lica e as
Superf´ıcies de Riemann (veja [30]).
Seja U ⊂ C um domı´nio simplesmente conexo do plano hiperbo´lico. Dizemos
que f : U → C uma func¸a˜o complexa definida em U e´ holomorfa se f possui
derivada complexa f ′(z) em todos os pontos de U, ou seja o limite
lim
h→0
f(z + h)− f(z)
h
:= f ′(z)
existe e e´ finito para todo z ∈ U. Dizemos que f e´ conforme, se f preserva aˆngulos
orientados. Um fato que pode ser provado via as equac¸o˜es de Cauchy-Riemann
(veja adiante), e´ que f e´ conforme se e somente se f e´ holomorfa e f ′(z) 6= 0, ∀z ∈
U. Uma func¸a˜o holomorfa f em U, exceto num conjunto de pontos isolados S de U,
tal que lim |f(z)| =∞, quando z tende a` algum destes pontos isolados e´ chamada
de func¸a˜o meromorfa. Cada ponto de S e´ chamado de po´lo de f. A` toda func¸a˜o
f : U → C, (na˜o necessariamente holomorfa) que possui derivadas parciais fx e fy
(z = x+ iy), e´ costume associar as derivadas com respeito a z e a z
fz =
1
2
(fx − ify) fz =12(fx + ify)
ou equivalentemente
fx =fz + fz fy = ifz − ifz
Outra notac¸a˜o corrente e´ fz =
∂f
∂z
e fz =
∂f
∂z
. Pode ser facilmente verificado que
se f e´ holomorfa em U, enta˜o
∂f
∂z
≡ 0, em U (equac¸o˜es de Cauchy-Riemann). Neste
caso, tem-se que f ′(z) =
∂f
∂z
. O teorema de Looman-Menchoff fornece a rec´ıproca
(veja [19] pgina 7): Seja f uma func¸a˜o cont´ınua em U e assuma que as derivadas
parciais fx e fy existem, em U, e satisfazem as equac¸o˜es de Cauchy-Riemann, i.e
∂f
∂z
≡ 0. Tem-se enta˜o que f e´ holomorfa em U.
Agora considere o espac¸o IR3 munido do produto escalar usual ·, ou seja, para
cada par de vetores −→a = (a1, a2, a3) e −→b = (b1, b2, b3) tem-se que
6 Ricardo Sa Earp
−→a · −→b = a1b1 + a2b2 + a3b3. Dizemos que uma aplicac¸a˜o
X : U → IR3, z 7→ X(z) e´ uma imersa˜o conforme, se Xx ·Xy = 0, Xx ·Xx =
Xy ·Xy 6= 0, ∀z ∈ U. Ale´m disso exige-se que {Xx, Xy, N} seja uma base positiva
de IR3, onde N e´ a aplicac¸a˜o de Gauss Euclideana (normal unita´rio) definida por
N =
Xy ×Xy
‖Xx ×Xy‖
sendo que o s´ımbolo × refere-se ao produto vetorial de IR3. Superf´ıcies que mini-
mizam a´rea teˆm sido estudadas em va´rios contextos. Tais superf´ıcies sa˜o mı´nimas
com a definic¸a˜o usual de um primeiro curso de Geometria Diferencial: a soma
das curvaturas principais e´ nula. Uma definic¸a˜o equivalente mais bem ajustada ao
nosso enfoque e´ que a composta da aplicac¸a˜o normal de Gauss com a aplicac¸a˜o
estereogra´fica Π do po´lo norte e´ uma func¸a˜o meromorfa; isto e´ Π ◦N := g e´ mero-
morfa.
Vamos agora descrever sumariamente a representac¸a˜o de Weierstrass para as
superf´ıcies mı´nimas de IR3. Suporemos que o leitor esteje familiarizado com inte-
grac¸a˜o complexa e com o teorema de Cauchy (veja [1]).
Considere uma func¸a˜o meromorfa g(z) e uma diferencial holomorfa ω = f(z) dz,
definidos em U. Assuma que po´los de g e os zeros de ω satisfazem a seguinte
condic¸a˜o: Um ponto c ∈ U e´ um zero de ordem 2n de ω se e somente se c e´ um
po´lo de ordem n de g. Suponha ainda que tenhamos:
<
∫
γ
(1− g2)f dz
 = 0 <
i∫
γ
(1 + g2)f dz
 = 0 <
∫
γ
fg dz
 = 0
para todo caminho fechado γ em U. Neste caso, fixando-se um ponto z0 ∈ U, temos
que a aplicac¸a˜o
X(z) = <
 z∫
z0
(1− g2)f
2
dz, i
z∫
z0
(1 + g2)f
2
dz,
z∫
z0
fg dz

esta´ bem definida em U, posto que a integral na˜o depende do caminho ligando z0 a` z.
A condic¸a˜o sobre os po´los de g e zeros de ω, assegura queX e´ uma imersa˜o conforme
de U em IR3. Logo g tem um importante significado geome´trico: e´ a composta da
aplicac¸a˜o normal de Gauss com a aplicac¸a˜o estereogra´fica Π do po´lo norte. Note
que com isso fica a disposic¸a˜o todas as poderosas ferramentas da Ana´lise Complexa
que sa˜o muito aplicadas na explorac¸a˜o de propriedades das superf´ıcies mı´nimas.
Por exemplo: existem teoremas e ate´ mesmo conjecturas abertas sobre os valores
omitidos da aplicac¸a˜o normal de Gauss que sa˜o teoremas “tipo Picard” (veja [21],
[2] [30]). O par (g, ω) e´ chamado de representac¸a˜o de Weierstrass-Enneper, ou
Ana´lise Complexa e Geometria Diferencial... 7
simplesmente de representac¸a˜o de Weierstrass. De fato, pode ser mostrado que
toda imersa˜o mı´nima conforme de U em IR3, pode ser obtida desta maneira. A
me´trica ds2 e a curvatura de Gauss K da imersa˜o podem ser explicitamente dadas
em termos do par (g, f) :
ds2 =
( |f |
2
(1 + |g|2)
)2
|dz|2
K = −
(
4|g′|
|f |(1 + |g|2)2
)2
As superf´ıcies mı´nimas completas de curvatura total finita, tem sido muito estu-
dadas com nota´veis descobertas (veja, por exemplo [11]).
Vamos explicar agora o conceito: Dada uma superf´ıcieM, dizemos que γ e´ uma
curva divergente, se γ “sai” de todo compacto de M. Dizemos que M e´ completa se
toda curva divergente tem comprimento infinito. Seja K(p) a curvatura de Gauss
de M em um ponto p. A curvatura total de M, denotada por C(M) esta´ definida
por
C(M) =
∫
M
K(p) dA
onde dA e´ o elemento de a´rea. Note que no caso das mı´nimas e´ fa´cil provar que
K 6 0, logo a integral acima sempre converge. Pode ainda ser mostrado que a
curvatura total tem o seguinte significado geome´trico: representa a a´rea esfe´rica da
aplicac¸a˜o normal de Gauss contada com multiplicidades (veja exemplos adiante).
Outra propriedade importante das superf´ıcies mı´nimas de IR3 e´ o princ´ıpio de
reflexa˜o que diz o seguinte: uma superf´ıcie mı´nima que conte´m um segmento de
reta no seu bordo pode ser prolongada analiticamente fazendo-se a simetria com
respeito a` reta (veja [16]). Na verdade tal princ´ıpio esta fundamentado no bem
conhecido princ´ıpio de simetria de Schwarz para func¸o˜es holomorfas (veja [1]).
Vamos agora reproduzir o par de Weierstras (g, ω) de algumas superf´ıcies mı´nimas
cla´ssicas:
Cateno´ide Sabe-se que o cateno´ide e´ a u´nica superf´ıcie mı´nima de revoluc¸a˜o cuja
curva geratriz e´ a catena´ria: U = C \ {0}, g(z) = z, ω = dz
z2
. Note que a
curvatura total do cateno´ide e´ −4pi, ja´ que a imagem da aplicac¸a˜o normal de
Gauss e´ a esfera menos os po´los norte e sul.
Helico´ide O helico´ide e´ localmente isome´trico ao cateno´ide
e, sem contar com o
plano, e´ a u´nica superf´ıcie mı´nima regrada: U = C, g(z) = ez, ω = i e−z dz.
O cateno´ide e´ uma superf´ıcie mı´nima perio´dica, logo possui curvatura total
−∞.
8 Ricardo Sa Earp
Enneper A superf´ıcie de Enneper tem a seguinte parametrizac¸a˜o. U = C, g(z) =
z, ω = dz.
O compeˆndio cla´ssico sobre superf´ıcies mı´nimas e´ o texto de Osserman (veja [21]),
cujas pesquisas em meados do se´culo vinte introduziram a geometria conforme no
estudo das mı´nimas, suscitando desde enta˜o muito interesse no assunto. Tambe´m
existem os opu´sculos de Costa que desenvolve a teoria das func¸o˜es el´ıpticas e as-
pectos da teoria das superf´ıcies de Riemann explicando a construc¸a˜o da superf´ıcie
mı´nima com seu nome (veja [5]) e de Barbosa -Colares (veja [2]) que descreve
va´rios exemplos e propriedades das superf´ıcies mı´nimas de IR3.
3. O espac¸o hiperbo´lico IH3
Vamos agora perambular no espac¸o hiperbo´lico fixando notac¸o˜es e evocando
certas noc¸o˜es que sera˜o u´teis aos nossos propo´sitos. A nossa refereˆncia central
sobre o assunto sa˜o o referido livro (veja [30]) e o trabalho sobre meromorphic data
( [32]), ambos elaborados com Toubiana. Vamos focalizar o chamado modelo do
semi-espac¸o do espac¸o hiperbo´lico, denotado por IH3, ou seja
IH3 = {(u, v, w) ∈ IR3; w > 0}
munido da me´trica
1
w2
(du2 + dv2 + dw2)
o que significa dizer que, denotando por 〈, 〉 o produto interno de IH3, para cada
par de vetores tangentes −→a = (a1, a2, a3) −→b = (b1, b2, b3) no ponto (u, v, w) ∈ IH3
tem-se que 〈 −→a , −→b 〉 = 1
w2
−→a · −→b . O plano Euclideano horizontal {w = 0}∪ {∞}
e´ chamado de bordo assimpto´tico ( e e´ denotado por ∂∞IH3). A Geometria Difer-
encial das superf´ıcies de IH3 pode ser desenvolvida nos moldes do contraparte
Euclideano; por exemplo as va´rias noc¸o˜es geome´tricas de geode´sicas, curvaturas (
e.g. curvaturas principais, curvatura de Gauss, curvatura me´dia), assim como as
equac¸o˜es fundamentais da geometria (e.g segunda forma fundamental, equac¸o˜es de
curvatura de Gauss e de Codazzi-Mainardi) sa˜o inferidas similarmente. Por exem-
plo, as curvas que minimizam o comprimento de arco entre dois pontos quaisquer
por onde ela passa, chamadas de geode´sicas de IH3, sa˜o as semi-retas verticais e
os semi-c´ırculos ortogonais ao bordo assimpto´tico, inteiramente contidos em IH3.
No espac¸o Euclideano aparecem logo o plano e as esferas que sa˜o superf´ıcies com
Ana´lise Complexa e Geometria Diferencial... 9
propriedades geome´tricas importantes, sendo estas as u´nicas superf´ıcies totalmente
umb´ılicas, i.e com curvaturas principais iguais em todos os pontos. E´ sabido que
no caso do plano tal curvatura e´ zero e no caso da esfera e´ constante diferente de
zero. No espac¸o hiperbo´lico aparecem novidades revelando que em certo sentido
este e´ “ maior” que o espac¸o Euclideano. As superf´ıcies totalmente umb´ılicas de
IH3 sa˜o as seguintes:
Os planos totalmente geode´sicos Estes sa˜o os semi-planos verticais e as semi-
esferas ortogonais ao bordo assimpto´tico, inteiramente contidos em IH3. Tais
planos tem curvaturas principais iguais a zero e sa˜o “co´pias ” do plano
hiperbo´lico bidimensional possuindo curvatura de Gauss K = −1.
As esferas hiperbo´licas Estas podem ser descritas geometricamente como o lu-
gar geome´trico dos pontos de IH3 que esta˜o a uma mesma distaˆncia ρ de
um ponto fixado p. Tal esferas sa˜o tambe´m esferas Euclideanas inteiramente
contidas em IH3, possuindo curvaturas principais em mo´dulo > 1 iguais a
coth ρ.
As horosferas As horosferas tem curvaturas principais em mo´dulo iguais a 1 e sa˜o
as esferas Euclideanas tangente ao bordo assimpto´tico e os planos Euclideanos
horizontais inteiramente contidos em IH3.
As superf´ıcies equidistantes Estas sa˜o o lugar dos pontos que esta˜o a uma
mesma distaˆncia de um plano totalmente geode´sico fixado. Tais superf´ıcies
sa˜o semi-planos inclinados e calotas esfe´ricas que fazem um aˆngulo 0 <
θ < pi/2 com o bordo assimpto´tico, inteiramente contidos em IH3. Estas
superf´ıcies teˆm em mo´dulo curvaturas principais constantes entre 0 e 1.
Poder´ıamos neste momento citar tambe´m os cilindros hiperbo´licos que sa˜o o lugar
dos pontos equidistantes de uma geode´sica fixada. Por exemplo, o cone Euclideano
vertical com ve´rtice na origem (0, 0, 0) e´ o cilindro hiperbo´lico equidistante da
geode´sica vertical {(u, v, w); u = v = 0, w > 0}. Tais cilindros sa˜o “planos”, i.e
com curvatura de Gauss K = 0 e possuem curvatura me´dia H˜ > 1.
Um conceito central em Geometria e´ o conceito de isometria: Dizemos que um
difeomorfismo f : IH3 → IH3 e´ uma isometria se f preserva a me´trica hiperbo´lica.
Por exemplo e´ fa´cil ver que as translac¸o˜es Euclideanas horizontais, as rotac¸o˜es em
torno de uma geode´sica vertical e as homotetias com foco no bordo assimpto´tico que
preservam IH3 sa˜o isometrias positivas (preservam orientac¸a˜o) do espac¸o hiperbo´lico.
Estas u´ltimas sa˜o translac¸o˜es hiperbo´licas, ao longo de uma geode´sica vertical. Na
verdade, toda isometria positiva de IH3 e´ a composta de uma translac¸a˜o Euclideana
horizontal, de uma translac¸a˜o hiperbo´lica e de uma rotac¸a˜o hiperbo´lica. Ale´m disso,
toda isometria positiva f : IH3 → IH3 e´ a extensa˜o de uma transformac¸a˜o de
Mo¨bius de
10 Ricardo Sa Earp
T : C ∪ {∞} → C ∪ {∞} (veja [30]).
Na verdade, baseado nas equac¸o˜es fundamentais de Codazzi-Mainardi pode-
se mostrar que numa superf´ıcie de curvatura me´dia constante, tanto no espac¸o
Euclideano quanto no espac¸o hiperbo´lico, existe uma certa diferencial quadra´tica
holomorfa globalmente definida cujos zeros sa˜o os pontos umb´ılicos, usualmente
chamada de diferencial de Hopf. Tal estrutura traz muitas informac¸o˜es. De fato,
usando-a Hopf demonstrou seu teorema segundo o qual uma superf´ıcie imersa
fechada (compacta sem bordo) de curvatura me´dia constante (na˜o nula) de genus
0 e´ uma esfera ” redonda” (veja [12]).
Vamos agora rever a definic¸a˜o da aplicac¸a˜o de Gauss Euclideana e dar a definic¸a˜o
da aplicac¸a˜o de Gauss Hiperbo´lica: Seja X : U ⊂ C→ IH3 uma imersa˜o conforme
de um domı´nio simplesmente conexo U do plano complexo no espac¸o hiperbo´lico
IH3. Seja N = (N1, N2, N3) a aplicac¸a˜o de Gauss Euclideana orientada tal como
definimos anteriormente. Seja Π : S2 → C ∪ {∞} a aplicac¸a˜o estereogra´fica
canoˆnica. Seja
E = Π ◦N = N1 + iN2
1−N3
Vamos chamar E tambe´m de aplicac¸a˜o de Gauss Euclideana orientada de X. Note
que podemos recuperar N pela fo´rmula
N =
(2<E, 2=E,EE − 1)
EE + 1
Note ainda que na teoria das superf´ıcies mı´nimas de IR3, E e´ o pequeno g. Seja
p = X(z), e considere γ+ o raio geode´sico de IH3 partindo de p no sentido deN. Seja
ζ ∈ ∂∞IH3 = C ∪ {∞}, o ponto do que γ+ encontra o bordo assimpto´tico de IH3.
Definimos a aplicac¸a˜o G : U → C ∪ {∞}, colocando G(z) := ζ. Tal G e´ chamada
de aplicac¸a˜o normal de Gauss hiperbo´lica. Na introduc¸a˜o exibimos uma fo´rmula
ba´sica que relaciona G, E e as coordenadas da imersa˜o u, v, w. Vamos denotar
doravante a curvatura me´dia hiperbo´lica (semi-soma das curvaturas principais) da
imersa˜o X por H˜. Um fato nota´vel descoberto por Bryant no trabalho referido
na introduc¸a˜o e´ o seguinte: A imersa˜o conforme X tem curvatura me´dia H˜ = 1,
se e somente se a aplicac¸a˜o normal de Gauss hiperbo´lica G e´ meromorfa. Note
que X e´ uma imersa˜o mı´nima conforme em IR3, se e somente se g e´ meromorfa.
Isto ja´ revela uma analogia entre as superf´ıcies com curvatura me´dia 0 de IR3 e as
superf´ıcies com curvatura me´dia H˜ = 1 de IH3.
Estes fatos tambe´m podem ser deduzidos do acervo de fo´rmulas que inferi-
mos no modelo do semi-espac¸o do espac¸o hiperbo´lico (veja fo´rmulas (1), (2) e (3)
na introduc¸a˜o); mais precisamente, podem ser
deduzidos das seguintes fo´rmulas
Ana´lise Complexa e Geometria Diferencial... 11
(E(z) 6=∞, ∀z ∈ U):
(4) ds2 =
|Gz − wEz|2
w2
|dz|2
(5) 2
Gz
1 + EE
= (1− H˜)(Gz − wEz)
(6) H =
−2Ez
(1 + EE)(Gz − wEz)
(7) wz =
E
1 + EE
(Gz − wEz)
onde (repetimos) H˜ e´ a curvatura me´dia hiperbo´lica, H e´ a curvatura me´dia Eu-
clideana (“esquecendo-se a me´trica hiperbo´lica”), E,G sa˜o as aplicac¸o˜es de Gauss
Euclideana e hiperbo´lica, respectivamente.
Agora gostar´ıamos de realc¸ar a ligac¸a˜o entre as superf´ıcies mı´nimas de IR3 e suas
primas em IH3 : Dada uma imersa˜o conforme mı´nima X : U ⊂ C → IR3, de um
domı´nio simplesmente conexo U em IR3, segue das equac¸o˜es de Codazzi-Mainardi e
de curvatura de Gauss (teorema fundamental da geometria), que podemos associar
uma imersa˜o conforme de curvatura me´dia 1 em IH3; e vice-versa (veja [12], [38]).
Este e´ um fato importante que esta´ subjacente e sempre presente na teoria.
4. Superf´ıcies de curvatura me´dia pre´-determinada em IR3
Toubiana observou que certos resultados que ja´ sa˜o considerados cla´ssicos de
Kenmotsu (veja [14]) podem ser recuperados e re-demonstrados via as fo´rmulas que
no´s inferimos no espac¸o hiperbo´lico: De fato, pode-se pensar que um “pedac¸o” da
imagem de uma superf´ıcie imersa em IR3, esteja contida no semi-espac¸o superior
{w > 0}; ou seja tal superf´ıcie pode ser considerada um subconjunto do espac¸o
hiperbo´lico, esquecendo-se a estrutura hiperbo´lica. Vamos esboc¸ar alguns detalhes
disto aqui. Note que das fo´rmulas (6) e (7) pode-se extrair uma fo´rmula geral para
a derivada em relac¸a˜o a z da func¸a˜o altura w de uma superf´ıcie de curvatura me´dia
pre´-determinada na˜o nula H em termos da aplicac¸a˜o normal de Gauss Euclideana
E, de sua derivada em relac¸a˜o a z e de H. Agora observe que da fo´rmula (6) segue
imediatamente uma fo´rmula para Gz em termos da func¸a˜o altura de E, de Ez e de
H. Levando-se em conta a fo´rmula para Gz dada pela equac¸a˜o (3), deduz-se, apo´s
algumas contas fa´ceis, a seguinte equac¸a˜o de Kenmotsu (Th. 3, pg. 96 de [13]):
H
(
Ezz − 2EEzEz
1 + EE
)
= HzEz
12 Ricardo Sa Earp
Pode-se trabalhar um pouco mais e verificar que a equac¸a˜o acima e´ a condic¸a˜o de
compatibilidade de certo sistema de equac¸o˜es a fim demostrar um teorema de re-
presentac¸a˜o (parametrizac¸a˜o ramificada) relativo a superf´ıcies de curvatura me´dia
pre´-determinada na˜o nula H; dependendo apenas de E (satisfazendo a equac¸a˜o
acima). Este e´ o teorema principal de Kenmotsu em na refereˆncia citada. Compare
com o resultado obtido em [34].
5. A famı´lia cateno´ide-helico´ide
A famı´lia Cateno´ide-helico´ide de superf´ıcies mı´nimas localmente isome´tricas sa˜o
dadas pela representac¸a˜o de Weierstrass
(g(z), f(z) dz) = (ez, λ eiθ e−z dz), z ∈ C
onde λ > 0 e´ uma constante positiva e θ ∈ [0, 2pi). Sendo fixada λ, quando θ varia
no intervalo [0, 2θ), obte´m -se uma famı´lia de imerso˜es mı´nimas isome´tricas ligando
continuamente os cateno´ides (quando eiθ = ±1) aos helico´ides (quando eiθ = ±i).
Lembramos que a cada elemento desta famı´lia corresponde a associada ∼ com cur-
vatura me´dia 1 (“ prima”) no espac¸o hiperbo´lico. Um fato surpreendente e´ que
quando eiθ = −1 e λ = 1/4 a superf´ıcie associada no espac¸o hiperbo´lico e´ uma
superf´ıcie invariante por um grupo cont´ınuo de translac¸o˜es Euclideanas horizon-
tais, cuja curva geradora ja´ tinha sido estudada por Poleni em 1729. Tal curva e´
conhecida como “courbe des forc¸ats” (veja ref [22]). Em seguida , escrevemos a
parametrizac¸a˜o da curva de Poleni, esboc¸amos seu perfil e usamos o MAPLE para
desenhar a superf´ıcies em IH3.Veja Figura 1. Note que E(z) tem uma representac¸a˜o
da forma: func¸a˜o holomorfa, func¸a˜o anti-holomorfa vezes a soma de uma func¸a˜o
holomorfa com uma func¸a˜o anti-holomorfa. Tal estrutura se revelara´ verdadeira em
geral. “Courbe des forc¸ats”
Poleni-1729
Ana´lise Complexa e Geometria Diferencial... 13
Courbe des Forc¸ats: u = s− 2 tanh s, w = 2/ cosh s
Figura 1
E =
1
2
e−
z
2 e
z
2
(− ez +e−z)
∗ ∗ ∗
Agora, vamos fazer uma sinopse histo´rica dos fatos e resultados que giram em
torno da famı´lia cateno´ide-helico´ide e sua associada em IH3. Lembramos que famı´lia
cateno´ide-helico´ide associada em IH3 esta´ dada por g(z) = ez, f(z) = λ eiθ e−z, λ >
14 Ricardo Sa Earp
0, θ ∈ [0, 2pi[. Em 1987 Bryant mostrou que as primas dos cateno´ides sa˜o obtidas
fazendo eiθ = 1 or, eiθ = −1 e λ < 1/4. A superf´ıcie de Poleni tem sido enfocada
por va´rios geoˆmetras tais como Gomes [10], Ordo´n˜es [20] e Sa´ Earp-Toubiana
[31]. Esta´ determinada pela seguinte representac¸a˜o: eiθ = −1, and λ = 1/4. As
superf´ıcie de translac¸a˜o hiperbo´lica sa˜o associadas a um cateno´ide de IR3, e sa˜o
dadas por eiθ = −1, and λ > 1/4. As demais superf´ıcies helicoidais propriamente
ditas em IH3 correspondem a todos os outros casos. Ale´m disso vale a seguinte
fo´rmula:
E = e−γz︸︷︷︸
h
eγz︸︷︷︸
S
(
(1 + γ) e−z︸ ︷︷ ︸
T
+ γ · 1 + γ
1 + γ
· ez︸ ︷︷ ︸
R
)
(8)
onde γ satisfisfaz
γ2 + γ − λ eiθ = 0
6. Teorema de representac¸a˜o e teorema de dados meromorfos
Nas pro´ximas linhas faremos um suma´rio dos resultados obtidos com Toubiana,
segundo [32]. Para outros exemplos segundo o nosso approach veja [33]. De fato, em
seguida enunciamos um teorema existeˆncia que mostra que toda soluc¸a˜o na˜o trivial
da equac¸a˜o (∗) da´ origem a uma imersa˜o conforme em IH3 com curvatura me´dia 1,
veja Teorema 1. Ale´m disso, tal soluc¸a˜o e´ u´nica a menos de uma homotetia e de
uma translac¸a˜o Euclideana horizontal. Depois, escrevemos a representac¸a˜o de toda
soluc¸a˜o de (∗) em termos de dados meromorfos. Finalmente, nas u´ltimas pa´ginas
exibimos alguns exemplos.
Theorem 1 (Teorema de representac¸a˜o) Seja U ⊂ C um domı´nio simples-
mente conexo e seja E : U → C uma func¸a˜o na˜o -holomorfa de classe C2 satis-
fazendo a equac¸a˜o (∗). Colocamos: U∗ = {z ∈ U, Ez(z) 6= 0} (U \ U∗ e´ discreto).
Temos enta˜o que existe uma aplicac¸a˜o X : U → IH3 tal que a restric¸a˜o de X a`
U∗e´ uma imersa˜o conforme com curvatura me´dia 1 de U∗ em IH3 cuja aplicac¸a˜o
de Gauss Euclideana e´ E. Mais precisamente, temos que
w(z) = e
−2<
∫
EEz
1 + EE
dz
G(z) =
∫
wEzdz
(u+ iv)(z) = (G− wE)(z)
Ana´lise Complexa e Geometria Diferencial... 15
A me´trica hiperbo´lica induzida por X e´ dada por
ds = |Ez| · |dz|
Ale´m disso, X esta´ unicamente determinada, a menos de uma isometria positiva
de IH3. Mais precisamente, se X̂ : U∗ → IH3 e´ uma outra imersa˜o conforme
com curvatura me´dia 1, cuja aplicac¸a˜o de Gauss Euclideana e´ E, enta˜o existe um
nu´mero real positivo λ > 0 e um nu´mero complexo α ∈ C tal que
X̂(z) = λ.X(z) + (α, 0).
Os pro´ximo resultados revelam a estrutura complexa que mencionamos obtida
na procura de soluc¸o˜es na˜o triviais de (∗), em termos de dados meromorfos .
Proposition 6.1 (Proposic¸a˜o fundamental) E e´ uma soluc¸a˜o na˜o trivial da
equac¸a˜o
Ezz =
E
1 + EE
EzEz ∗
da forma E = hS(T + R), definida num conjunto simplesmente conexo U se e
somente se existem nu´meros complexos a, a 6= 0 e b tal que
S =
(b+ aT )hz + ahTz
h2Tz
R =
b
a
+
1
a
· hz
(b+ aT )hz + ahTz
h 6= 1
αT + β
for any complex numbers α, β
Reciprocamente, para quaisquer func¸o˜es meromorfas h, e T, e quaisquer nu´meros
complexos a e b, a 6= 0, a func¸a˜o E = hS(T +R), onde R e S esta˜o definidos acima
e´ uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o (∗).
Theorem 2 (Dados meromorfos) Seja U ⊂ C um domı´nio simplesmente conexo
e seja X : U → IH3 uma imersa˜o conforme na˜o-totalmente umb´ılica.
Seja E a aplicac¸a˜o de Gauss Euclideana
orientada de X. Assuma que X tenha
curvatura me´dia 1 com respeito a E (logo, E satisfaz a equac¸a˜o (∗)). Temos enta˜o
que existem duas func¸o˜es meromorfas h, T em U tal que
E = h ·
(
Thz + hTz
h2Tz
)(
T +
(
hz
Thz + hTz
))
Ale´m disso, a menos de uma constante positiva multiplicativa temos que
16 Ricardo Sa Earp
w =
|h2Tz|2
|Thz + hTz|2 + |hz|2
Gz = h2Tz
enta˜o, a menos de uma constante positiva multiplicativa e de uma constante com-
plexa aditiva, temos que
u+ iv = G− wE
Portanto,
ds = |Ez dz| = |hTzhzz − 2h
2
zTz − hhzTzz|
|hTz|2
(
1 + |T |2)|dz|
Π = <(2hTzhzz − 2h2zTz − hhzTzz
h2Tz
(dz)2
)
+ ds2
g = T e f = − 1
Tz
· hTzhzz − 2h
2
zTz − hhzTzz
h2Tz
(4)
Vamos agora exibir famı´lias de superf´ıcies completas e de curvatura me´dia 1 de
IH3. Para saber maiores detalhes sobre as figuras consulte as refereˆncias citadas.
Na Figura 2, fazemos γ = −1 + i (o paraˆmetro γ e´ o mesmo da equac¸a˜o (8)).
Figura 2
Nas Figura 3 e 4, sa˜o mostradas primas com fins imersos rodando em volta do
eixo z (Metade desenhada).
Ana´lise Complexa e Geometria Diferencial... 17
Figura 3
rodando duas vezes
Figura 4
rodando treˆs vezes
Nas Figuras 5 e 6 sa˜o mostradas primas com fins mergulhados rodando em volta
do eixo z (Metade desenhada).
18 Ricardo Sa Earp
Figura 5
Ana´lise Complexa e Geometria Diferencial... 19
Figura 6
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Ricardo Sa Earp
Pontif´ıcia Universidade Cato´lica do Rio de janeiro
Depto de matema´tica
Rua Marqueˆs de Sa˜o Vicente 225
24 453-900 Rio de Janeiro-RJ, Brazil
fax:55-021-3114 1282
email: earp@mat.puc-rio.br
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Geometria Diferencial
Curvas no plano e no espac¸o - Segundo semestre de 2007
Versa˜o 14 compilada com o pdflatex no dia 2 de Agosto de 2007.
Departamento de Matema´tica - UEL
Prof. Ulysses Sodre´: ulysses(a)uel(pt)br
Matema´tica Essencial: http://www.mat.uel.br/matessencial/
Resumo: Notas de aulas geradas com materiais usados em aulas
na UEL em 1985. Elas devem ser usadas como roteiro e na˜o espero
que elas venham a substituir qualquer livro sobre o assunto. Alguns
conceitos foram obtidos em livros citados na Bibliografia, mas os
assuntos foram modificados de acordo com o meu interesse. Sugiro
que o leitor pesquise na Internet para obter materiais de dom´ınio
pu´blico para os seus estudos.
Mensagem: ‘No princ´ıpio era o Verbo, e o Verbo estava com Deus, e o
Verbo era Deus. Ele estava no princ´ıpio com Deus. Todas as coisas foram
feitas por interme´dio dele, e sem ele nada do que foi feito se fez. Nele
estava a vida, e a vida era a luz dos homens; a luz resplandece nas trevas,
e as trevas na˜o prevaleceram contra ela. (...) Estava ele no mundo, e
o mundo foi feito por interme´dio dele, e o mundo na˜o o conheceu. Veio
para o que era seu, e os seus na˜o o receberam. Mas, a todos quantos o
receberam, aos que creˆem no seu nome, deu-lhes o poder de se tornarem
filhos de Deus; os quais na˜o nasceram do sangue, nem da vontade da carne,
nem da vontade do vara˜o, mas de Deus. E o Verbo se fez carne, e habitou
entre no´s (...)’ A B´ıblia Sagrada, Joa˜o 1:1-15
CONTEU´DO ii
Conteu´do
1 Introduc¸a˜o a` Geometria Diferencial 1
2 Conceitos topolo´gicos na reta real 2
2.1 Conjuntos abertos em R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2 Conjuntos fechados em R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.3 Conjuntos conexos em R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.4 Conjuntos compactos em R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.5 Aplicac¸o˜es cont´ınuas em R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3 Vetores no plano e no espac¸o 5
3.1 O espac¸o vetorial R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.2 Dependeˆncia linear em R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.3 Bases para R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.4 Produto escalar e suas principais propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.5 Bases ortogonais e ortonormais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.6 Produto vetorial e suas principais propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.7 Produto misto e suas principais propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4 Func¸o˜es vetoriais de uma varia´vel real 12
4.1 Func¸o˜es vetoriais com um paraˆmetro real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.2 Func¸o˜es limitadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.3 Limites de func¸o˜es e as suas principais propriedades . . . . . . . . . . . . . 13
4.4 Continuidade e as suas principais propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.5 Derivadas de func¸o˜es e suas principais propriedades . . . . . . . . . . . . . . 14
4.6 Classes de diferenciabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.7 Fo´rmula de Taylor com resto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.8 Func¸o˜es anal´ıticas reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.9 S´ımbolos de Landau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Notas de aulas de Geometria Diferencial: Curvas - Ulysses Sodre´ - Matema´tica - UEL - 2007
CONTEU´DO iii
5 Curvas no plano e no espac¸o 18
5.1 Curvas parametrizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5.2 Projec¸o˜es ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.3 Representac¸a˜o impl´ıcita de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5.4 Vetor tangente unita´rio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5.5 Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.6 Vetor normal unita´rio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.7 Vetor binormal unita´rio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5.8 Torc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.9 A teoria das curvas e o triedro de Frenet-Serret . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.10 Complementos sobre a teoria de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Notas de aulas de Geometria Diferencial: Curvas - Ulysses Sodre´ - Matema´tica - UEL - 2007
Sec¸a˜o 1 Introduc¸a˜o a` Geometria Diferencial 1
1 Introduc¸a˜o a` Geometria Diferencial
Geometria Diferencial(1.) e´ o ramo da Geometria no qual os conceitos de Ca´lculo sa˜o aplicados
a curvas, superf´ıcies e outros objetos geome´tricos. A Geometria Diferencial cla´ssica usa a
geometria de coordenadas, como geometria anal´ıtica, coordenadas cartesianas, etc, embora
no se´culo XX os me´todos de Geometria Diferencial teˆm sido aplicados a outras a´reas de
Geometria, como Geometria Projetiva.
A Geometria Diferencial foi estudada por Gaspard Monge e Carl F. Gauss no in´ıcio do se´culo
XIX. Trabalhos importantes no se´culo XIX foram feitas por matematicos como: B. Riemann,
E. B. Christoffel e C. G. Ricci, que foram colecionados e sistematizados no final do se´culo
por J. G. Darboux e Luigi Bianchi. A importaˆncia da Geometria Diferencial e´ vista no estudo
da Teoria da Relatividade Geral que Einstein formulou inteiramente em func¸a˜o da Geometria
Diferencial de uma variedade tetra-dimensional combinando espac¸o e tempo, usando a notac¸a˜o
tensorial.
No estudo de curvas, se um ponto r = r(s) se move atrave´s de uma curva cujo comprimento
do arco e´ s a partir de um ponto fixo, enta˜o T =
dr
ds
e´ um vetor tangente unita´rio a` curva
em r = r(s). O vetor normal N e´ perpendicular a` curva neste ponto, indicando a direc¸a˜o da
taxa de variac¸a˜o de T , isto e´, a tendeˆncia de T se desviar da curva original no plano contendo
r e T , e o vetor binormal B e´ perpendicular a ambos T e N , indicando a tendeˆncia da curva
sair para fora do plano contendo T e N . Os treˆs vetores T , N e B, esta˜o relacionados por
treˆs fo´rmulas do matema´tico franceˆs Jean Fre´de´ric Frenet, que sa˜o fundamentais no estudo
de curvas no espac¸o:
dT
ds
= κN ,
dN
ds
= −κT + τ B e dB
ds
= −τ N , onde as constantes κ e
τ sa˜o a curvatura e a torc¸a˜o da curva, respectivamente. Curvas importantes sa˜o a evoluta e
a involuta. A evoluta de uma curva e´ uma outra curva cujas tangentes sa˜o normais a` curva
original e a involuta de uma curva e´ uma curva cuja evoluta e´ a curva dada.
No estudo de superf´ıcies, pontos sobre uma superf´ıcie podem ser descritos na˜o somente
com respeito a`s coordenadas do espac¸o onde a superf´ıcie esta´ imersa, mas tambe´m com
respeito a um sistema de coordenadas intr´ınsecas, definido em func¸a˜o de curvas sobre a
pro´pria superf´ıcie. As curvas na superf´ıcie que representam localmente a menor distaˆncia
entre pontos na superf´ıcie sa˜o as geode´sicas. Geode´sicas no plano sa˜o segmentos de reta.
Vetores Tangente e Normal tambe´m sa˜o definidos para uma superf´ıcie, mas a relac¸a˜o entre
eles e´ muito mais complexa que no caso de curvas no espac¸o, pois em um dado ponto de uma
superf´ıcie existe um c´ırculo completo formado por vetores tangentes unita´rios.
Os resultados da teoria de superf´ıcies sa˜o mais facilmente representados na notac¸a˜o tensorial.
Mostra-se que a curvatura total ou Gaussiana de uma superf´ıcie
e´ um invariante, que e´ uma
propriedade intr´ınseca da pro´pria superf´ıcie, independente do espac¸o no qual a superf´ıcie
esta´ imersa. Sa˜o importantes as superf´ıcies de curvatura constante, planos, cilindros, cones,
algumas superf´ıcies desenvolv´ıveis com curvatura zero, as superf´ıcies el´ıpticas da geometria
na˜o-euclidiana que sa˜o superf´ıcies de curvatura constante positiva e as superf´ıcies hiperbo´licas
da geometria na˜o-euclidiana que sa˜o superf´ıcies de curvatura constante negativa.
1Adaptado da sec¸a˜o sobre Geometria Diferencial de infoplease: http://www.infoplease.com/index.html
Notas de aulas de Geometria Diferencial: Curvas - Ulysses Sodre´ - Matema´tica - UEL - 2007
Sec¸a˜o 2 Conceitos topolo´gicos na reta real 2
2 Conceitos topolo´gicos na reta real
2.1 Conjuntos abertos em R
Definic¸a˜o 1. (Bola aberta centrada em um ponto) Bola aberta de raio r centrada em um
ponto p ∈ R, denotada por Br(p), e´ o conjunto de todos os x ∈ R tal que |x − p| < r.
Se x pertence a esta bola aberta, denotamos tal fato por x ∈ Br(p). Dependendo das
circunstaˆncias, uma bola aberta pode ser identificada com um intervalo aberto.
Exemplo 1. (Bolas abertas)
1. B1(0) = {x ∈ R : −1 < x < 1 } = (−1, 1) e´ uma bola aberta em R.
2. Br(c) = {x ∈ R : c− r < x < c+ r } = (c− r, c+ r) e´ uma bola aberta em R.
Definic¸a˜o 2. (Conjunto aberto) Um conjunto A ⊂ R e´ aberto se para cada x ∈ A e´ poss´ıvel
construir uma bola aberta de raio r centrada em um ponto x, que esteja inteiramente contida
em A.
Exemplo 2. (Conjuntos abertos)
1. O intervalo aberto (a, b) e´ aberto em R.
2. Se x ∈ R, enta˜o a bola aberta Br(x) e´ um conjunto aberto em R.
3. O conjunto {x ∈ R : x > 0} e´ um conjunto aberto em R.
4. O conjunto {x ∈ R : x ≥ 0} na˜o e´ um conjunto aberto em R.
Proposic¸a˜o 1. (Propriedades dos conjunto abertos em R)
1. ∅ e R sa˜o conjuntos abertos em R
2. Se (Ak) e´ uma colec¸a˜o de conjuntos abertos em R, enta˜o a reunia˜o de elementos dessa
colec¸a˜o e´ um conjunto aberto em R.
3. Se (Ak) e´ uma colec¸a˜o finita de conjuntos abertos em R, enta˜o a intersec¸a˜o de
elementos dessa colec¸a˜o e´ um conjunto aberto em R.
Proposic¸a˜o 2. (Propriedade da separac¸a˜o de pontos em R) Dois pontos distintos p, q ∈ R
podem ser separados por bolas disjuntas Br(p) e Bs(q), onde r > 0 e s > 0 sa˜o os respectivos
raios dessas bolas.
2.2 Conjuntos fechados em R
Definic¸a˜o 3. (Conjunto fechado) Um conjunto F ⊂ R e´ fechado em R se o seu complementar
F c e´ um conjunto aberto em R.
Exerc´ıcio 1. Apresentar exemplos de conjuntos fechados em R.
Definic¸a˜o 4. (Ponto de acumulac¸a˜o) Um ponto p e´ ponto de acumulac¸a˜o de um conjunto
S ⊂ R se toda bola Br(p) possui pontos de S, que sa˜o diferentes do pro´prio ponto p.
Notas de aulas de Geometria Diferencial: Curvas - Ulysses Sodre´ - Matema´tica - UEL - 2007
2.3 Conjuntos conexos em R 3
Definic¸a˜o 5. (Ponto isolado) Um ponto p e´ um ponto isolado em um conjunto S ⊂ R se
existe uma bola Br(p) contendo apenas o ponto p.
Definic¸a˜o 6. (Ponto de adereˆncia) Um ponto p e´ ponto de adereˆncia de um conjunto S ⊂ R
se toda bola Br(p) possui pontos de S.
Observac¸a˜o 1. Um ponto de adereˆncia de um conjunto S ⊂ R pode ser: ou um ponto
isolado em S ou um ponto de acumulac¸a˜o de S.
Proposic¸a˜o 3. (Ponto de acumulac¸a˜o implica ponto de adereˆncia) Se um ponto p e´ ponto
de acumulac¸a˜o de um conjunto S ⊂ R, enta˜o p e´ ponto de adereˆncia do conjunto S.
Proposic¸a˜o 4. (Conjunto fechado via ponto de acumulac¸a˜o) Um conjunto S ⊂ R e´ fechado
se, e somente se, conte´m todos os seus pontos de acumulac¸a˜o.
2.3 Conjuntos conexos em R
Definic¸a˜o 7. (Conjunto conexo) Um conjunto S ⊂ R e´ conexo quando na˜o pode decom-
posto na reunia˜o disjunta de dois conjuntos abertos na˜o vazios de R.
Exemplo 3. (Conexos na reta real)
1. (a, b), (a, b], [a, b) e [a, b] sa˜o conjuntos conexos em R.
2. (a,∞), (−∞, a), (−∞, b] e [a,∞) sa˜o conjuntos conexos em R.
3. Se x ∈ R, enta˜o Br(x) = (x− r, x+ r) e´ um conjunto conexo em R.
4. R e´ um conjunto conexo em R.
Exerc´ıcio 2. (Conjuntos conexos)
1. Sera´ que o conjunto vazio e´ conexo?
2. Definir o que e´ um intervalo na reta real.
Proposic¸a˜o 5. (Conexo equivale a intervalo) Um conjunto S e´ conexo em R se, e somente
se, S e´ um intervalo em R.
2.4 Conjuntos compactos em R
Definic¸a˜o 8. (Conjunto limitado) Um conjunto K ⊂ R e´ limitado se existe uma bola Br(p)
contendo inteiramente o conjunto K para todo p ∈ K.
Definic¸a˜o 9. (Conjunto compacto) Um conjunto K ⊂ R e´ compacto se K e´ limitado e
fechado em R.
Observac¸a˜o 2. Existem va´rias maneiras equivalentes de definir conjuntos compactos.
Exerc´ıcio 3. Apresentar exemplos de conjuntos compactos em R.
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2.5 Aplicac¸o˜es cont´ınuas em R 4
2.5 Aplicac¸o˜es cont´ınuas em R
Definic¸a˜o 10. (Aplicac¸a˜o cont´ınua) Uma aplicac¸a˜o f : S ⊂ R → R e´ cont´ınua em p ∈ S
se, dado ε > 0 arbitra´rio, existe δ > 0 tal que se |t − p| < δ implica que |f(t) − f(p)| < ε.
Neste caso, usamos o limite para indicar este fato
lim
t→p
f(t) = f(p)
Definic¸a˜o 11. (Aplicac¸a˜o cont´ınua) Uma aplicac¸a˜o f : S ⊂ R → R e´ cont´ınua em p ∈ S
se para cada bola aberta Bε(f(p)) contida na imagem f(S) existe uma bola aberta Br(p)
contida em S tal que
f(Br(p)) ⊂ f(Bε(f(p)))
Definic¸a˜o 12. (Aplicac¸a˜o cont´ınua) Uma aplicac¸a˜o f : S ⊂ R → R e´ cont´ınua em p ∈ S
se, para todo conjunto aberto V contendo f(p)) tem-se que f−1(V ) e´ um conjunto aberto
contendo p ∈ S.
Observac¸a˜o 3. (Aplicac¸a˜o cont´ınua em um conjunto) Uma aplicac¸a˜o f e´ cont´ınua sobre um
conjunto S se e´ cont´ınua em todo ponto p ∈ S.
Definic¸a˜o 13. (Conjunto conexo por caminhos) Um conjunto S ⊂ R e´ conexo por caminhos
se, dados dois pontos quaisquer p, q ∈ S, existe uma aplicac¸a˜o cont´ınua f : [0, 1] → S tal
que f(0) = p e f(1) = q.
Proposic¸a˜o 6. (Conexo equivale a conexo por caminhos) Um conjunto S e´ conexo por
caminhos em R se, e somente se, S e´ conexo em R.
Teorema 1. (Continuidade e conexa˜o) Se f : S → R e´ uma aplicac¸a˜o cont´ınua sobre S ⊂ R
e A ⊂ S e´ um conjunto conexo, enta˜o f(A) tambe´m e´ um conjunto conexo em R.
Teorema 2. (Continuidade e compacidade) Se f : S → R e´ uma aplicac¸a˜o cont´ınua sobre
S ⊂ R e A e´ um conjunto compacto em S, enta˜o f(A) e´ um conjunto compacto em R.
Teorema 3. (Teorema dos valores extremos) Se f : S → R e´ uma aplicac¸a˜o cont´ınua sobre
S ⊂ R e K um conjunto compacto em S, enta˜o f assume o seu valor ma´ximo e tambe´m o
seu valor m´ınimo sobre K.
Teorema 4. (Homeomorfismo) Uma aplicac¸a˜o f : S → T e´ um homeomorfismo entre os
conjuntos S e T , se f e´ uma aplicac¸a˜o cont´ınua cuja inversa f−1 : T → S tambe´m e´ uma
aplicac¸a˜o cont´ınua. Quando existe um homeomorfismo f : S → T , diz-se que S e T sa˜o
homeomorfos.
Exemplo 4. (Conjuntos homeomorfos)
1. Todo intervalo (a, b) e´ homeomorfo ao intervalo (0, 1).
2. Todo intervalo (a, b) e´ homeomorfo ao intervalo (−1, 1).
3. Todo intervalo (a, b) e´ homeomorfo a` reta real R.
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Sec¸a˜o 3 Vetores no plano e no espac¸o 5
3 Vetores no plano e no espac¸o
Vetores no plano e no espac¸o tridimensional sa˜o segmentos de reta orientados com direc¸a˜o,
sentido e intensidade. Um vetor e´ uma classe formada por todos os segmentos de reta com a
mesma direc¸a˜o, mesmo sentido e mesma medida. Um vetor pode ser denotado por uma letra
v, mas pela forma como definimos, deveria ser denotado por [v].
Podemos construir um vetor no espac¸o tridimensional com a direc¸a˜o vertical, tendo o ponto
inicial no plano z = 0 e