DIAGRAMAS DE BODE 20

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Prof. Paulo R. Brero de Campos - Apostila Diagramas de Bode - UTFPR XII - 
 
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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO 
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ 
DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE ELETRÔNICA 
 
DIAGRAMAS DE BODE 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
 Para explicar os diagramas de Bode, vamos fazer, inicialmente, uma análise 
intuitiva. Dado um sistema realimentado: 
 
 
 
 
 
 Para que este sistema entre em oscilação, isto é fique instável, duas condições 
devem ser satisfeitas: 1) O sinal de erro, aplicado em G(s) deve retornar com uma 
amplitude maior ou igual à original. 2) O defasamento total do circuito deve ser 0o ou 
360o. 
 Note que o sinal negativo do somador significa um defasamento de 180o. 
 Devido a isto temos que verificar se o defasamento de G(jw) poderá ser 180o (pois 
os outros 180o são devido ao sinal de menos do somador) ao mesmo tempo em que o 
módulo de |G(jw)| será 1. 
 Para fazer a análise da variação da fase e do ganho serão utilizados os 
diagramas de Bode. 
Os diagramas de Bode, são compostos por dois diagramas: a) diagrama de 
módulo em função da frequência e b) diagrama de fase em função da frequência. 
Para entender como se utilizam estes diagramas, podemos analisar a figura abaixo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A margem de ganho é o fator pelo qual o ganho pode ser aumentado antes que o 
sistema fique instável. A margem de ganho pode ser lida diretamente das curvas de 
Bode, medindo a distância vertical entre a curva de módulo da função GH(j) e a linha 
|GH(j) |=1, isto é, a linha de 0 db, na freqüência onde GH(j) =180º. 
A margem de fase é o numero de graus de GH(j) acima de -180º, na 
freqüência de cruzamento de ganho, onde o módulo da função é igual a 1 (ou seja, 0db). 
A margem de fase é definida como 180º mais o ângulo de fase da função de 
f 
g 
Erro 
G(j) 
Figura 1 
Figura 2 
Margem 
de fase 
Margem de 
ganho 
0 dB 
Diagrama de 
fase 
 0º 
 
-180º 
 
 
Diagrama de 
módulo 
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transferência de malha aberta na freqüência cujo módulo tem o valor unitário, isto é: 
Margem de fase = [180º + argGH(jg)], onde |GH(jg)|=1 e g é chamada frequência de 
cruzamento de ganho. 
As margens de ganho e de fase são medidas de estabilidade relativa. 
 Os diagramas de bode são desenhados utilizando-se a função de transferência de 
malha aberta. Isto é uma vantagem, pois evita termos de calcular a função de 
transferência em malha fechada. Desta forma será possível fazer a análise do sistema 
em malha fechada, verificando apenas a função de transferência em malha aberta. 
Pelo diagrama da figura 1, o sinal realimentado é subtraído do sinal de referência. 
Este sinal negativo, equivale a defasar o sinal em 180o. Desta forma para termos um 
defasamento de 360o do sistema em malha fechada, e que poderia tornar o sistema 
instável, resta verificar se a função G(s)H(s) irá causar um defasamento de 180o (pois os 
outros 180o são causados pelo sinal de menos do somador). 
Através da figura 2 podemos ver que o diagrama de fase terá 180o no momento 
em que o módulo for menor que 0 dB (isto é ganho menor que 1). Isto significa que o 
sistema é estável. 
OBS: A variável complexa s é formada pela soma de um termo real com um 
termo imaginário: s=  + j. Para se fazer a análise da resposta em freqüência deve ser 
imposta a condição: =0; desta forma tem-se s= j. Isto significa que estamos analisando 
a resposta do sistema no eixo j, ou seja a resposta em freqüência da função. 
 
 
2. DEFINIÇÕES DE MF E MG 
 
Margem de fase: é o atraso de fase adicional na frequência de cruzamento do 
ganho, necessário para levar o sistema ao limiar da instabilidade. 
A frequência de cruzamento de ganho é a frequência na qual o módulo da 
função de transferencia em malha aberta é unitário, isto é |G(jg)|= 1. 
A margem de fase é definida como 180º mais o ângulo de fase da função de 
transferência de malha aberta, na freqüência cujo módulo tem o valor unitário: 
 
 
 
 
Onde argGH(jg) é o valor da fase na frequência onde |G(jg)| = 1. 
 
Margem de ganho: é o inverso do módulo |G(j)| na frequência onde o ângulo de 
fase é – 180º. Definindo-se a frequência de cruzamento de fase (f) como a frequência 
na qual o ângulo de fase da função de transferência a malha aberta é igual a – 180o , a 
margem de ganho é: 
 
 
 
 
Margem de ganho é um valor em decibéis que indica o quanto o módulo da 
função de malha aberta, |GH(jg)|, está abaixo de 0db, na freqüência cuja fase vale -
180º. A margem de ganho, em db, é dada por: 
 
 
 
 
 
MF = 180
o
 + argGH(jg) 
MG = 1 
 |GH(jf)| 
 
MGdB = - 20 log|GH(jf)| 
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OBS 1: uma margem de ganho positiva (em dB) significa que o sistema é estável. 
Do diagrama de módulo, o valor lido será positivo se for menor que 0db. 
OBS 2 Uma margem de ganho negativa (em dB) significa que o sistema é instável. 
Do diagrama de módulo, o valor lido será negativo se for maior que 0db. 
OBS 3: a) Para um sistema de fase mínima estável, a margem de ganho indica de 
quanto o ganho pode ser aumentado antes de o sistema se tornar instável. b) Para um 
sistema instável, a margem de ganho indica de quanto o ganho deve ser diminuído para 
tornar o sistema estável. 
 
3. DESENHO DOS DIAGRAMAS DE BODE 
 
Dada uma função de transferência, a primeira coisa a ser feita é escrevê-la na 
forma de Bode. 
 
 
 
 
 
 
O ganho de Bode é definido como: 
 
 
Para o eixo de frequências (eixo x), utiliza-se uma escala logarítma para que seja 
possível verificar uma grande faixa de freqüências. 
Para o diagrama de módulo, será utilizado 20log(módulo(função)). Isto possibilitará 
somar ou subtrair todos os termos componentes do módulo. Se não fosse utilizado esta 
forma, seria necessario multiplicar ou dividir os termos. 
Os diagramas serão obtidos utilizando-se assíntotas. 
 
3.1 Termo constante de bode (KB) 
20log|KB| 
Para KB < 0, o modulo não se altera, mas a fase terá a seguinte forma: 
KB = K  zi 
  Pi 
 
GH(j) = K  zi (1 + j/z1) (1 + j/z2) ... 
  Pi (j)L (1 + j/p1) (1 + j/p1) ... 
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Neste caso o 
diagrama de módulo 
tem uma inclinação 
de –20 dB/década, 
sendo que o ganho 
vale 0dB para a 
freqüência = 1. 
 
Devido ao operador 
complexo (j) no 
denominador temos 
um defasamento de 
–90o . 
3.2 Termo pólo na origem 
GH(j)=1/j 
 
3.3 Termo zero na origem 
GH(j)= j 
 
3.4 Termo pólo em -p 
 
 
 
 
Neste caso o 
diagrama de módulo 
tem uma inclinação 
de + 20 dB/década, 
sendo que o ganho 
vale 0dB para a 
freqüência = 1. 
 
Devido ao operador 
complexo (j) no 
numerador temos um 
defasamento de 
+ 90o . 
A curva assintótica é 
uma boa aproximação da curva 
real. 
A curva assintótica do 
módulo é desenhada fazendo 
que o módulo seja 0dB até o 
valor do pólo e tenha uma 
inclinação de –20 dB/década a 
partir do valor do pólo. O erro 
máximo é de –3dB, em =p. 
A curva assintótica da 
fase é desenhada marcando-se 
os pontos 0,2 vezes o pólo e 5,0 
vezes o pólo. Abaixo de 0,2.polo 
a fase vale 0
o
 e acima de 
5,0.pólo a fase vale –90
o
. No 
ponto =p a fase vale – 45o. O 
erro máximo será de 11,3
o
 nos 
pontos 0,2.polo e 5,0.pólo. 
 1 
 1 + j 
 p 
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5 
3.5 Termo zero em -p 
 
 
 
 
 
3.6 Termo pólos complexos 
 
 
 
 
 
 
 Isto é válido para 0   1. 
 
 
 
 1 + j 
 p 
Os pólos 
complexos aparecem 
sempre em pares 
conjugados: 
(s + a + bj)(s+ a – bj) 
O produto dessa 
equação leva a uma 
equação da forma: 
s
2
 + xs + y, onde 
x=2a e y=a
2
 + b
2
. 
 
 
A curva assintótica é uma 
boa aproximação da curva 
real. 
A curva assintótica do 
módulo é desenhada fazendo 
que o módulo seja 0dB até o 
valor do pólo e tenha uma 
inclinação de +20 dB/década 
a partir do valor do pólo. O 
erro máximo é de 3dB, em 
=p. 
A curva assintótica da 
fase é desenhada marcando-
se os pontos 0,2 vezes o pólo 
e 5,0 vezes o pólo. Abaixo de 
0,2.polo a fase vale 0
o
 e 
acima de 5,0.pólo a fase vale 
+ 90
o
. No ponto =p a fase 
vale + 45
o
. O erro máximo 
será de 11,3
o
 nos pontos 
0,2.polo e 5,0.pólo. 
 1 
 _____________________________ 
 1 + j 2   -  2 
 n n 
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3.7 Termo zero em + p 
 
 
 
 
 
 Note que este termo significa um zero no semi-plano direito. Desta forma a fase vai 
para -90º . 
 
 
 
Exercícios: Desenhe os diagramas de Bode e encontre as margens de ganho e de fase: 
a) G1(s)=1000/(s(s+10)(s+20)) 
b) G2(s)= 100(s+10)/(s(s+20)(s+50)) 
 
 1 – j 
 p