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Cap. VII - Equação da Linha Elástica 1 Cap. VII – Equação da Linha Elástica 1. Cálculo da deformação das vigas por integração – No estudo da flexão simples vimos que: L = ρθ ; L’= (ρ-y)θ; δ = L’ – L; δ = - yθ; ε = δ/L. Como: σ= (M/I)*y; do diagrama Tensão X deformação - σ = E * ε. Logo: σ = E * ε = (M/I)*y; e, fazendo as substituições devidas, encontramos que: 1/ρ = M/(E*I) Cap. VII - Equação da Linha Elástica 2 Cap. VII – Equação da Linha Elástica 1. Cálculo da deformação das vigas por integração – Considerando a viga em balanço “AB” e, sabendo que 1/ρ = M/(E*I), temos: 1/ρ = -P*X/(E*I). Cap. VII - Equação da Linha Elástica 3 Cap. VII – Equação da Linha Elástica . Diagrama de Momento Cap. VII - Equação da Linha Elástica 4 Cap. VII – Equação da Linha Elástica 2. Equação da Linha Elástica (Equação da deformada) Do cálculo diferencial obtemos a expressão acima, que fornece a curvatura de uma curva plana em um ponto Q(x,y). Para pequenas deformações, podemos escrever: 1/ρ = d2y/ d2x = M/EI Cap. VII - Equação da Linha Elástica 5 Cap. VII – Equação da Linha Elástica 2. Equação da Linha Elástica (Equação da deformada) 1/ρ = d2y/ d2x = M/EI EI dy/dx = ∫Mx dx + C1 (C = condição de contorno) Cap. VII - Equação da Linha Elástica 6 Cap. VII – Equação da Linha Elástica 2. Equação da Linha Elástica (Equação da deformada) Condições de contorno Cap. VII - Equação da Linha Elástica 7 Cap. VII – Equação da Linha Elástica 3. Exercício 1. – A viga prismática “AB”, simplesmente apoiada, está submetida a uma carga uniformemente distribuída “p” por unidade de comprimento. Determinar a equação da linha elástica e a flecha máxima da viga. b h Cap. VII - Equação da Linha Elástica 8 Cap. VII – Equação da Linha Elástica 3. Exercício 2. – A viga prismática “AB”, simplesmente apoiada, está submetida a uma carga uniformemente distribuída “p” por unidade de comprimento. Determinar a equação da linha elástica e a flecha máxima da viga. b h Cap. VII - Equação da Linha Elástica 9 Cap. VII – Equação da Linha Elástica 3. Exercício 3. – Determinar, para a viga e o carregamento indicados: a) equação da linha elástica; b) a declividade da linha elástica no ponto “A”; c) a flecha no ponto “C”. b = 50 mm H= 150 mm Mo = 10 KN.m a = 2,0 m; b= 3,0 m E = 200 GPa Eq. Linha Elástica; d2y/ d2x = M/EI Declividade - dy/dx = θ EI dy/dx = ∫Mx dx + C1 dy/dx = θ Cap. VII - Equação da Linha Elástica 10 Cap. VII – Equação da Linha Elástica 3. Exercício 4. – Determinar, para a viga e o carregamento indicados: a) equação da linha elástica; b) a declividade da linha elástica no ponto “A”; c) a flecha no ponto “C”. b = 50 mm H= 150 mm w = 10 KN/m L = 6,0 m; E = 200 GPa Eq. Linha Elástica; d2y/ d2x = M /EI Declividade - dy/dx = θ EI dy/dx = ∫Mx dx + C1 dy/dx = θ Cap. VII - Equação da Linha Elástica 11 Cap. VII – Equação da Linha Elástica 3. Exercício 5. – Determinar, para o carregamento indicado: a) equação da linha elástica da viga em balanço “AB”; b) a flecha na extremidade livre; c) a declividade na extremidade livre. Cap. VII - Equação da Linha Elástica 12 Cap. VII – Equação da Linha Elástica 3. Exercício 6. – Determinar, para o carregamento indicado: a) equação da linha elástica da viga em balanço “AB”; b) a flecha na extremidade livre; c) a declividade na extremidade livre. Cap. VII - Equação da Linha Elástica 13 Cap. VII – Equação da Linha Elástica 4. Exercício AC. – Determinar, para a viga e o carregamento indicados: a) equação da linha elástica; b) a declividade da linha elástica no ponto “A”; c) a flecha no ponto “C”. h b Dados: p = 10 KN/m E = 200 GPa a = c = 3,0 m b = 50 mm h = 150 mm Cap. VII – Equação da Linha Elástica Cap. VII – Equação da Linha Elástica Cap. VII – Equação da Linha Elástica Cap. VII – Equação da Linha Elástica Cap. VII – Equação da Linha Elástica Cap. VII – Equação da Linha Elástica Cap. VII – Equação da Linha Elástica Cap. VII – Equação da Linha Elástica Cap. VII – Equação da Linha Elástica Cap. VII – Equação da Linha Elástica Cap. VII – Equação da Linha Elástica Cap. VII – Equação da Linha Elástica Cap. VII – Equação da Linha Elástica
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