4 Listas de Exercícios

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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIRO
INSTITUTO MULTIDISCIPLINAR
Departamento de Tecnologias e Linguagens
Professores: Paula Takatsuka & Marcello Fide´lis
4a Lista de Exerc´ıcios
Matema´tica Elementar 2017.2
1 Converta de graus para radianos:
a)210◦ b)300◦ c)−315◦ d)900◦ e)120◦ f)−150◦ g)240◦ h)−330◦
2 Converta de radianos para graus:
a)4pirad b)−7pi
2
rad c)4pi
3
rad d)−5pi
6
rad e)7pi
4
rad f)−5pirad
3 a) Determine o comprimento de um setor circular correspondente a um aˆngulo de pi
12
rad se
o raio do c´ırculo for de 36cm.
b) Qual o aˆngulo correspondente a um arco de 1m de comprimento num c´ırculo de raio
1,5m?
4 Desenhe sobre a circunfereˆncia trigonome´trica os seguintes aˆngulos:
a)315◦ b)−150◦ c)3pi
4
rad d)7pi
3
rad
5 Determine o seno, cosseno, tangente, secante, cossecante e cotangente dos seguintes aˆngulos:
a)3pi
4
rad b)4pi
3
rad c)9pi
2
rad d)−5pirad e)5pi
6
rad f)11pi
4
rad
6 O que significa dizer que as func¸o˜es seno, cosseno e tangente sa˜o perio´dicas? Qual e´ o
per´ıodo da func¸a˜o seno? E cosseno? E tangente? Esboce os gra´ficos das func¸o˜es seno, cosseno
e tangente para x ∈ [−4pi, 4pi].
7 Prove as seguintes identidades trigonome´tricas:
a) sen (2x) = 2 senx cosx b) cos(2x) = cos2 x− sen 2x
c) cos(2x) = 2 cos2 x− 1 d) cos(2x) = 1− 2 sen 2x
e) cos2 x =
1 + cos(2x)
2
f) sen 2x =
1− cos(2x)
2
g) tg 2x+ 1 = sec2 x h) cotg 2x+ 1 = cossec 2x
i) sen (−x) = − senx j) cos(−x) = cos(x)
O item (i) prova que a func¸a˜o seno e´ ı´mpar, o que significa que seu gra´fico e´ sime´trico
em relac¸a˜o a` origem, ie, se tivermos o gra´fico para x ≥ 0, obtemos o restante girando-o
de 180◦. Verifique este fato no seu exerc´ıcio acima.
O item (j) prova que a func¸a˜o cosseno e´ par, o que significa que seu gra´fico e´ sime´trico
em relac¸a˜o ao eixo y, ie, se tivermos o gra´fico para x ≥ 0, obtemos o restante refletindo-o
em torno do eixo y. Verifique este fato no seu exerc´ıcio acima.
8 Resolva as seguintes equac¸o˜es trigonome´tricas:
a) senx = −
√
2
2
b) senx = 1
2
c) senx = 0 d) | senx| =
√
3
2
e) cos x =
√
2
2
f) cosx = −1 g) cos x = 0 h) | cosx| = −1
2
i) tg x = −
√
3
3
j) tg x =
√
3 k) tg x = 0 l) | tg x| = 1
9 Resolva as seguintes inequac¸o˜es trigonome´tricas:
a) senx ≥ 0 b) senx =≤ −
√
3
2
c) −1
2
≤ senx <
√
2
2
d) | senx| ≤ 1
2
e) cos x < −1
2
f) −3
2
≤ cosx ≤ 0 g) cos x ≥ −1
2
h) | cosx| > 5
3
i) tg x >
√
3 j) tg x ≤ 0 k) −√3 < tg x ≤
√
3
3
l) | tg x| ≥ 1
Bons Estudos!