Lista3 Elementar 2017 2

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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIRO
INSTITUTO MULTIDISCIPLINAR
Departamento de Tecnologias e Linguagens
Professores: Paula Takatsuka & Marcello Fide´lis
3a Lista de Exerc´ıcios
Matema´tica Elementar 2017.2
1 Calcule os seguintes logaritmos:
a)log4 64 b)log3
1
9
c)log125 25 d)log 1
4
32 e)log0,25 8 f)log 3√7 49 g)log 1√
3
√
27 h)log 3√4
1√
8
2 Calcule:
a)3log3 2 b)4log2 3 c)5log25 2 d)21+log2 5 e)81+log2 3 f)92−log3
√
2
3 Prove que se 0 < a 6= 1, b > 0 e c 6= 0 enta˜o logac b =
1
c
loga b.
4 Para 0 < a 6= 1 as func¸o˜es loga(x) e expa(x) = ax sa˜o inversas uma da outra. Em particular,
loga(expa x) = loga(a
x) = , para todo x ∈ R.
5 Utilize o exerc´ıcio acima para resolver as seguintes equac¸o˜es exponenciais:
a)5x = 4 b)3x = 1
2
c)7
√
x = 2 d)3(x
2) = 5 e)54x−3 = 0, 5
f)2x = 3x+2 g)72x−1 = 33x+4 h)5x−1 = 34−2x
i)3x = 2x + 2x+1 j)5x + 5x+1 = 3x + 3x+1 + 3x+2 k)2x+1 − 2x = 3x+2 − 3x
6 a) Quais sa˜o as Condic¸o˜es de Existeˆncia (C.E.) sobre a e b para a expressa˜o “loga b”?
b) Para 0 < a 6= 1 as func¸o˜es expa(x) = ax e loga sa˜o inversas uma da outra. Em particular,
expa(loga x) = a
loga x = , para todo x > 0.
7 Utilize o exerc´ıcio acima para resolver as seguintes equac¸o˜es logar´ıtmicas.
a)log4(3x + 2) = log4(2x + 5) b)log2(5x
2 − 14x + 1) = log2(4x2 − 4x− 20)
c)log4(4x
2 + 13x + 2) = log4(2x− 5) d)log 1
2
(5x2 − 3x− 11) = log 1
2
(3x2−2x−8)
e)log5(4x− 3) = 1 f)log 1
2
(3x− 5) = 0
g)log√2(3x
2 + 7x + 3) = 0 h)log 1
3
(2x2 − 9x + 4) = −2
i)log3(log2 x) = 1 j)log 1
2
(log3(log4 x)) = 0
k)log24 x − 2 log4 x − 3 = 0 l)6 log22 x − 7 log2 x + 2 = 0
m)logx(3x
2 − 13x + 15) = 2 n)logx(4− 3x) = 2
8 a) Esboce o gra´fico de y = loga x para a > 1.
b) Esboce o gra´fico de y = loga x para 0 < a < 1.
1
c) Para a > 1, a func¸a˜o logar´ıtmica loga e´ crescente ou decrescente? Logo,
x1 < x2 =⇒ loga x1 loga x2.
d) Para 0 < a < 1, a func¸a˜o logar´ıtmica loga e´ crescente ou decrescente? Logo,
x1 < x2 =⇒ loga x1 loga x2.
9 Utilize o exerc´ıcio acima (c) e (d) para resolver as seguintes inequac¸o˜es exponenciais:
a)4x > 7 b)(1
3
)x ≤ 5 c)23x+2 > 9 d)3√x > 4 e)2(x2) ≤ 5
f)2x > 3x−1 g)23x−1 ≤ (1
3
)2x−3
h)5x > 3x + 3x+1 i)2x + 2x+1 − 2x+3 < 5x+2 − 5x−1
10 a) Esboce o gra´fico de y = ax para a > 1.
b) Esboce o gra´fico de y = ax para 0 < a < 1.
c) Para a > 1, a func¸a˜o exponencial ax = expa(x) e´ crescente ou decrescente? Logo,
x1 < x2 =⇒ ax1 ax2 .
d) Para 0 < a < 1, a func¸a˜o exponencial ax = expa(x) e´ crescente ou decrescente? Logo,
x1 < x2 =⇒ ax1 ax2 .
11 Utilize o exerc´ıcio acima (c) e (d) para resolver as seguintes inequac¸o˜es logar´ıtmicas
(lembre-se de analisar tambe´m as Condic¸o˜es de Existeˆncia (C.E.) das expresso˜es logar´ıtmicas,
dadas no exerc´ıcio 6a):
a)log3(5x− 2) < log3 4 b)log2(2x2 − 5x) ≤ log2 3
c)log 1
2
(x2 − 1) > log 1
2
(3x + 9) d)log(x2 − x− 2) < log(x− 4)
e)log2(3x + 5) > 3 f)log 1
2
(2x2 − 6x + 3) < 1
g)log 1
2
(x2 + 4x− 5) > −4 h)log(x2 + 3x + 3) = 0
i)3 log23 x + 5 log3 x − 2 ≤ 0 j) 1log2 x −
1
log2 x−1 < 1
k)log3(3x + 4)− log3(2x− 1) > 1 l)log2 x + log2(x + 1) < log2(2x + 6)
m)log1 3(log2 x) < 0 n)log2(log 1
2
(log3 x)) > 1
o)logx2(x + 2) < 1 p)logx
x+3
x−1 > 1
Bons Estudos!
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