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UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE TANGARÁ DA SERRA BACHARELADO EM ENGENHARIA CIVIL USO DO MEF EM BARRAS Acadêmico: Jhonatta Andrade Prof.º Renê Quispe Rodriguez Tangará da Serra – MT Novembro de 2017 1 INTRODUÇÃO O método dos elementos finitos (MEF ou FEM), consiste em uma ferramenta utilizada na resolução de problemas através de métodos numéricos, onde não é possível utilização de métodos analíticos. Este método foi desenvolvido com o objetivo de resolver problemas complexos em mecânica dos sólidos, porém o seu uso não se restringe à essa área, sendo utilizado em diversos problemas físicos complexos, tais como análise de fluxos de fluídos, entre outras aplicações. O MEF resolve problemas descritos por equações diferencias de maneira aproximada, utilizando para isso a aproximação do tipo polinomial nodal em subdomínios, através de discretização. 2 PROBLEMA Com o objetivo de utilizar de maneira prática o MEF em barras, foi solicitado a resolução do seguinte problema, através da matriz de rigidez do elemento, conforme visto em aula. Exercício – Achar os deslocamentos e tensões em: {u} {σ} Testar Resolução: {u} A barra apresentada acima, é composta por 3 elementos, possui uma força externa ‘F’ e apresenta engaste na extremidade esquerda. Sabe-se que a matriz de rigidez local de uma barra qualquer apresenta a seguinte forma: Desta forma temos as matrizes de rigidez local de cada um dos elementos da barra: Podemos encontrar a matriz rigidez global da barra pela sobreposição das matrizes locais de cada elemento, para a barra em questão temos a seguinte matriz de rigidez global: Conforme visto, através do princípio da mínima energia potencial total, chegamos a equação de equilíbrio: Portanto: Sendo, para o exercício em questão: Como o vínculo na extremidade esquerda é do tipo engastes temos uma condição de contorno (u1 = 0), com isso temos uma redução na matriz [K], fincando a mesma da seguinte forma: Realizando as operações matriciais chegamos ao seguinte resultado: {σ} Adotando os materiais constituintes de cada elemento da barra como elásticos, podemos encontrar a tensão através da lei de Hooke, onde: Onde: σ: Tensão ε: Deformação E: Módulo de elasticidade ΔL = Variação do comprimento Lo = Comprimento Inicial Para a barra do problema, temos que ΔLi = ui, portanto: => => => Teste Para Realizar o teste, será utilizada uma barra composta por três elementos, tendo os mesmos as seguintes propriedades: Elemento 1 (Aço) E1 = 2.100.000 Kgf/cm² A1 = 30cm² L1 = 100cm Elemento 2 (Aço) E2 = 2.100.000 Kgf/cm² A2 = 20cm² L2 = 200 cm Elemento 3 (Aço) E3 = 2.100.000 Kgf/cm² A3 = 10cm² L3 = 300cm A força externa aplicada é de 30.000 Kgf. Logo: Sendo, , temos: Logo: De maneira analítica teríamos: Tensões (σ) => => => 4 RESULTADOS Conforme pode-se observar, o método utilizado para resolução do problema resulta nos mesmo valores do método analítico, validando portanto a utilização da matriz de rigidez na resolução de problemas de deslocamentos em barras compostas por mais de um elemento. Apesar de válido, a utilização do método matricial não é muito indicada no caso acima, visto que contamos com a possibilidade de resolução por métodos analíticos de maneira mais eficiente, ficando o exercício restrito apenas a verificação da precisão do método matricial. 5 REFERÊNCIAS Azevedo, A. F. M. Método dos elementos finitos. Faculdade de Engenharia da universidade do porto: Portugal, 2013.
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