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Relatório exercicio MEF

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UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO
CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE TANGARÁ DA SERRA
BACHARELADO EM ENGENHARIA CIVIL
USO DO MEF EM BARRAS
Acadêmico: Jhonatta Andrade
Prof.º Renê Quispe Rodriguez
Tangará da Serra – MT
Novembro de 2017
1 INTRODUÇÃO
	O método dos elementos finitos (MEF ou FEM), consiste em uma ferramenta utilizada na resolução de problemas através de métodos numéricos, onde não é possível utilização de métodos analíticos. Este método foi desenvolvido com o objetivo de resolver problemas complexos em mecânica dos sólidos, porém o seu uso não se restringe à essa área, sendo utilizado em diversos problemas físicos complexos, tais como análise de fluxos de fluídos, entre outras aplicações.
	O MEF resolve problemas descritos por equações diferencias de maneira aproximada, utilizando para isso a aproximação do tipo polinomial nodal em subdomínios, através de discretização.
	
2 PROBLEMA
	Com o objetivo de utilizar de maneira prática o MEF em barras, foi solicitado a resolução do seguinte problema, através da matriz de rigidez do elemento, conforme visto em aula.
Exercício – Achar os deslocamentos e tensões em: 
{u}
{σ}
Testar
Resolução: 
{u}
	A barra apresentada acima, é composta por 3 elementos, possui uma força externa ‘F’ e apresenta engaste na extremidade esquerda. 
Sabe-se que a matriz de rigidez local de uma barra qualquer apresenta a seguinte forma: 
	Desta forma temos as matrizes de rigidez local de cada um dos elementos da barra: 
	Podemos encontrar a matriz rigidez global da barra pela sobreposição das matrizes locais de cada elemento, para a barra em questão temos a seguinte matriz de rigidez global: 
	Conforme visto, através do princípio da mínima energia potencial total, chegamos a equação de equilíbrio: 
Portanto: 
Sendo, para o exercício em questão:
 
	Como o vínculo na extremidade esquerda é do tipo engastes temos uma condição de contorno (u1 = 0), com isso temos uma redução na matriz [K], fincando a mesma da seguinte forma: 
Realizando as operações matriciais chegamos ao seguinte resultado: 
{σ}
	Adotando os materiais constituintes de cada elemento da barra como elásticos, podemos encontrar a tensão através da lei de Hooke, onde: 
Onde: 
σ: Tensão
ε: Deformação 
E: Módulo de elasticidade 
ΔL = Variação do comprimento 
Lo = Comprimento Inicial
Para a barra do problema, temos que ΔLi = ui, portanto: 
 => 
 => 
 => 
Teste 
	Para Realizar o teste, será utilizada uma barra composta por três elementos, tendo os mesmos as seguintes propriedades: 
Elemento 1 (Aço)
E1 = 2.100.000 Kgf/cm²
A1 = 30cm²
L1 = 100cm
Elemento 2 (Aço)
E2 = 2.100.000 Kgf/cm²
A2 = 20cm²
L2 = 200 cm
Elemento 3 (Aço)
E3 = 2.100.000 Kgf/cm²
A3 = 10cm²
L3 = 300cm
	A força externa aplicada é de 30.000 Kgf.
Logo: 
Sendo, , temos: 
Logo: 
De maneira analítica teríamos: 
Tensões (σ)
 => 
 => 
 => 
 
4 RESULTADOS
	Conforme pode-se observar, o método utilizado para resolução do problema resulta nos mesmo valores do método analítico, validando portanto a utilização da matriz de rigidez na resolução de problemas de deslocamentos em barras compostas por mais de um elemento. 
	Apesar de válido, a utilização do método matricial não é muito indicada no caso acima, visto que contamos com a possibilidade de resolução por métodos analíticos de maneira mais eficiente, ficando o exercício restrito apenas a verificação da precisão do método matricial.
5 REFERÊNCIAS
Azevedo, A. F. M. Método dos elementos finitos. Faculdade de Engenharia da universidade do porto: Portugal, 2013.

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