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SUMÁRIO 1 Série de potências 3 1.1 Séries de números reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Exercícios 1-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Séries de potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Exercícios 1-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3 Série de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Exercícios 1-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 Equações diferenciais de 1a ordem. 33 2.1 Equações diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Exercícios 2-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2 Tipos de equações de primeira ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Exercícios 2-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.3 Solução de equações de primeira ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Exercícios 2-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 2.4 Equações diferenciais não lineares de primeira ordem . . . . . . . . . . . . 78 Exercícios 2-4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 APÊNDICE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Referências Bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 1 2 Suplemento de Cálculo IV Capítulo 1 Série de potências 1.1 Séries de números reais Exercícios 1-1 Exercício 1.1.1. Determine se a série dada +∞∑ n=1 9 √ n− 1 n2 + 3 √ n converge. Solução. Seja +∞∑ n=1 an = +∞∑ n=1 9 √ n− 1 n2 + 3 √ n . Consideremos a série +∞∑ n=1 bn = +∞∑ n=1 √ n n2 = +∞∑ n=1 1 n3/2 , esta série é p-convergente. Como lim n→∞ an bn = lim n→∞ 9 √ n− 1 n2 + 3 √ n · n 3/2 1 = lim n→∞ 9n2 −√n3 n2 + 3 √ n = 9. O teste de Comparação permite concluir que a série dada é convergente. Exercício 1.1.2. Determine a convergência da série +∞∑ n=1 1 2n ( 1 + 1 n )n2 Solução. Temos an = 1 2n ( 1+ 1 n )n2 , aplicando o critério de Cauchy n √ an = n √ 1 2n ( 1 + 1 n )n2 = 1 2 ( 1 + 1 n )n . Como lim n→∞ n √ an = 1 2 e > 1, a série diverge. Exercício 1.1.3. 3 4 Suplemento de Cálculo IV Determine se a série dada +∞∑ n=1 1 (n+ 1)Ln(n+ 1) converge. Solução. Consideremos f(x) = 1 (1 + x)Ln(1 + x) , pelo critério da integral +∞∫ 1 1 (1 + x)Ln(1 + x) dx = Ln(Ln(x+ 1) ∣∣∣+∞ 1 = +∞ Portanto a série dada diverge. Exercício 1.1.4. Verificar que o produto infinito ∞∏ n=0 (1 + an) com an > 0 converge sempre ∞∑ n=0 an con- verge. Solução. Sabe-se que ex = 1 + x+ x2 2! + . . .+ xn n! + . . ., logo 1 + x ≤ ex, ∀ x > 0. Assim, como ∞∑ n=0 an converge, logo ∞∑ n=0 an = M para algum M ∈ R. Pn = (1 + a1)(1 + a2)(1 + a3) · · · (1 + an) ≤ ea1 · ea2 · ea3 · · · ean = eM , ∀ n ∈ N então, sendo Pn sequência monótona crescente, e limitada, segue que existe L ∈ R tal que ∞∏ n=0 (1 + an) ≤ e ∞∑ n=0 an = L ∈ R Portanto, ∞∏ n=0 (1 + an) com an > 0 converge. Exercício 1.1.5. Determine os intervalos de convergência para as seguintes series de potências: 1. 2x+ 8 3 x3 + 32 5 x5 + 128 7 x7 + · · · 2. x 1 · 2 + x2 2 · 3 + x3 22 · 4 + x4 23 · 5 + · · · 3. 1− x 2 22 + x4 2242 − x 6 224262 + · · · Solução. 1. Temos o desenvolvimento da série f(x) = ∞∑ n=0 22n+1 2n+ 1 x2n+1. Para calcular seu raio de convergência 1 r = lim n→∞ ∣∣∣∣an+1an ∣∣∣∣ ⇒ 1r = limn→∞ ∣∣∣∣ 22n+32n+ 3x2n+3 · 2n+ 122n+1x2n+1 ∣∣∣∣ = 4|x|2 < 1 Christian José Quintana Pinedo 5 assim, 4|x|2 < 1 ⇒ |x| < 1 2 = r Portanto, o intervalo de convergência é |x| < 1 2 . 2. Podemos escrever a série na forma f(x) = ∞∑ n=1 xn 2n+1(n+ 1) . Para calcular seu raio de convergência 1 r = lim n→∞ ∣∣∣∣an+1an ∣∣∣∣ ⇒ 1r = limn→∞ ∣∣∣∣ xn+12n+1(n+ 3) · 2n(n+ 1)xn ∣∣∣∣ = |x|2 < 1 assim, |x| < 2 ⇒ |x| < 2 = r. Quando x = −2 tem-se, f(−2) = ∞∑ n=1 (−2)n 2n+1(n+ 1) = 1 2 ∞∑ n=1 (−1)n n+ 1 converge abso- lutamente. Portanto, o intervalo de convergência é −2 ≤ x < 2. 3. Temos o desenvolvimento da série f(x) = ∞∑ n=0 (−1)nx2n 22n(n!)2 . Para calcular seu raio de convergência 1 r = lim n→∞ ∣∣∣∣an+1an ∣∣∣∣ ⇒ limn→∞ ∣∣∣∣ (−1)n+1x2n+222n+2((n+ 1)!)2 · 22n(n!)2(−1)nx2n ∣∣∣∣ = |x|222 · 0 < 1 assim, |x| < r =∞ ⇒ x ∈ R Portanto, o intervalo de convergência é todo R. Exercício 1.1.6. Calcule o raio de convergência das seguintes séries de potências: Solução. 1. ∞∑ n=1 ( n 2n+ 1 )2n−1 xn Temos an = ( n 2n+ 1 )2n−1 , logo aplicando o critério de Cauchy n √ an = n √( n 2n+ 1 )2n−1 = ( n 2n+ 1 )2 n √(2n+ 1 n ) Como 1 r = lim n→∞ n √ an = lim n→∞ ( n 2n+ 1 )2 n √(2n+ 1 n ) = 1 4 ⇒ r = 4. Portanto, o raio de convergência é r = 4. 6 Suplemento de Cálculo IV 2. ∞∑ n=1 (−1)n1 · 3 · 5 · · · (2n− 1) 2 · 4 · 6 · · · (2n) x 2n Temos an = (−1)n(2n− 1)! (2n)! , logo 1 r = lim n→∞ ∣∣∣∣(−1)n+1(2n+ 1)!(2(n+ 1))! · (2n)!(−1)n(2n− 1)! ∣∣∣∣ = limn→∞ (2n+ 1)2(n+ 1) = 1 ⇒ r = 1 Portanto, o raio de convergência é r = 1. 3. ∞∑ n=1 ( 1 + 1 n )n2 (x− 1)n Temos an = ( 1 + 1 n )n2 , aplicando o critério de Cauchy n √ an = n √( 1 + 1 n )n2 = ( 1 + 1 n )n Como 1 r = lim n→∞ n √ an = e ⇒ r = e−1. Portanto, o raio de convergência é r = e−1 Exercício 1.1.7. Encontre a região de convergência das seguintes séries de potências: Solução. 1. Dada a série ∞∑ n=1 (x− 3)n n · 5n , temos 1 r = lim n→∞ ∣∣∣∣an+1an ∣∣∣∣ ⇒ limn→∞ ∣∣∣∣ (x− 3)n+1(n+ 1) · 5n+1 · n · 5n(x− 3)n ∣∣∣∣ = 15 |x− 3| < 1 |x− 3| < 5 ⇔ −5 < x− 3 < 5 ⇔ −2 < x < 8 Quando x = −2, em ∞∑ n=1 (x− 3)n n · 5n temos a série alternada ∞∑ n=1 (−1)n n , ela converge pelo teste da série alternada. Portanto, o intervalo de convergência é [−2, 8). 2. Dada a série ∞∑ n=0 (n+ 1)5 2n+ 1 x2n, temos 1 r = lim n→∞ ∣∣∣∣an+1an ∣∣∣∣ ⇒ limn→∞ ∣∣∣∣(n+ 2)5x2n+2(2n+ 3) · (2n+ 1)(n+ 1)5x2n ∣∣∣∣ = 1 · |x|2 < 1 ⇒ Christian José Quintana Pinedo 7 r = 1, |x|2 < 1 ⇔ −1 < x < 1 Se x = ±1, ⇒ ∞∑ n=0 (n+ 1)5 2n+ 1 (±1)2n diverge, pois lim n→∞ (n+ 1)5 2n+ 1 6= 0 Portanto, o intervalo de convergência é (−1, 1) 3. Dada a série ∞∑ n=1 n n+ 1 [x 2 ]n , temos 1 r = lim n→∞ ∣∣∣∣an+1an ∣∣∣∣ ⇒ limn→∞ ∣∣∣∣n+ 1n+ 2 [x2]n+1 · n+ 1n [ 2 x ]n∣∣∣∣ = 12 · |x| < 1 ⇒ r = 2, |x| < 2 ⇔ −2 < x < 2 Portanto, o intervalo de convergência é (−2, 2). 4. Dada a série ∞∑ n=1 (−1)n+1 x 2n−1 (2n− 1)! , temos 1 r = lim n→∞ ∣∣∣∣an+1an ∣∣∣∣ ⇒ limn→∞ ∣∣∣∣ x2n+1(2n+ 1)! · (2n− 1)!x2n−1 ∣∣∣∣ = |x|2 · 0 = |x|2 · 1∞ < 1 ⇒ r =∞, |x|2 <∞ ⇔ −∞ < x <∞ Portanto, o intervalo de convergência é (−∞, ∞) 5. Dada a série ∞∑ n=1 2nxn n2 , temos , 1 r = lim n→∞ ∣∣∣∣an+1an ∣∣∣∣ ⇒ limn→∞ ∣∣∣∣2n+1xn+1(n+ 1)2 · n22nxn ∣∣∣∣ = 2 · |x| < 1 ⇒ r = 1 2 , |x| < 1 2 ⇔ −1 2 < x < 1 2 Quando: x = −1 2 ⇒ ∞∑ n=1 2n · (−1)n 2n n2 <∞; x = 1 2 ⇒ ∞∑ n=1 2n · 1 2n n2 <∞; Portanto, r = 1 2 e o intervalo de convergência é [−1 2 , 1 2 ]6. Dada a série ∞∑ n=1 (x+ 2)n Ln(n+ 1) , temos Resposta r =, e o intervalo de convergência é [−3,−1) 8 Suplemento de Cálculo IV 7. Dada a série ∞∑ n=1 Lnn n+ 1 (x− 5)n, temos 1 r = lim n→∞ ∣∣∣∣an+1an ∣∣∣∣ ⇒ limn→∞ ∣∣∣∣(x− 5)n+1Ln(n+ 1)n+ 2 · n+ 1(x− 5)nLnn ∣∣∣∣ = |x− 5|11 < 1 r = 1, |x− 5| < 1 ⇔ 4 < x < 6 Resposta, r = 1, o intervalo de convergência é [4, 6) 8. Dada a série ∞∑ n=1 n! · xn, temos 1 r = lim n→∞ ∣∣∣∣an+1an ∣∣∣∣ ⇒ limn→∞ ∣∣∣∣(n+ 1)! · xn+1n! · xn ∣∣∣∣ = |x| limn→∞n+ 1 = |x| · ∞ = |x|0 < 1 Portanto, o raio r = 0, e o intervalo de convergência se reduz ao ponto onde |x| = 0 é no ponto x = 0. 9. Dada a série ∞∑ n=1 1 1 + x2n , temos O termo geral é da forma an = 1 1 + x2n . Para o caso |x| < 1 o limite lim n→∞ 1 1 + x2n = 1 6= 0, logo a série diverge. Para caso |x| = 1, obtém-se a série divergente 1 2 + 1 2 + 1 2 + + · · · Para o caso |x| > 1 temos 1 1 + x2n < 1 x2n , como a série ∞∑ n=0 1 x2n converge, a série em estudo também converge. Portanto, a série ∞∑ n=1 1 1 + x2n converge quando |x| > 1 Exercício 1.1.8. Determine o maior intervalo aberto em que a série +∞∑ n=1 (n!)2 (2n)! xn é convergente. Solução. Rpta. (−4, 4) Exercício 1.1.9. Determine a convergência da série +∞∑ n=1 ( n+ 1 2n+ 1 )n · (x− 2)n Solução. Christian José Quintana Pinedo 9 Temos an = ( n+ 1 2n+ 1 )n . Para achar o raio de convergência, consideremos r−1 = lim n→∞ n √( n+ 1 2n+ 1 )n = lim n→∞ n+ 1 2n+ 1 = 1 2 logo r = 2. A série converge se |x− 2| < 2 Estudemos a convergência nos extremos. Considerando x = 4 obtemos a série numérica +∞∑ n=1 ( n+ 1 2n+ 1 )n · 2n = 1 2 +∞∑ n=1 ( 1 + 1 2n+ 1 )n como lim n→∞ ( 1+ 1 2n+ 1 )n = √ e 6= 0. Portanto, para x = 4 a série dada diverge. O mesmo acontece quando x = 0. Portanto, a série dada converge em (0, 4) Exercício 1.1.10. Mostre que a série +∞∑ n=1 x2 (1 + x2)n é convergente em R. Solução. Exercício 1.1.11. Considere a série de potências ∞∑ n=0 an+1 n+ 1 xn+1; com a ∈ R+: 1. Determine o raio de convergência da série e estude a sua natureza nos extremos do intervalo de convergência. 2. Considere a série numérica que se obtém fazendo x = −3. Justique que existe um único valor de a para o qual a série numérica correspondente é simplesmente convergente e determine-o. Solução. 1. Tem-se, 1 r = lim n→∞ ∣∣∣∣ an+2n+ 2xn+2 · n+ 1xn+1an+1 ∣∣∣∣ = a|x| limn→∞ n+ 1n+ 2 = a|x| logo r = 1a . 10 Suplemento de Cálculo IV Se x = 1 a então ∞∑ n=0 an+1 n+ 1 ( 1 a )n+1 = ∞∑ n=0 1 n+ 1 , é divergente. Se x = −1 a então ∞∑ n=0 an+1 n+ 1 (− 1 a )n+1 = ∞∑ n=0 (−1)n n+ 1 , é simplesmente convergente. 2. Quando x = −3, pela parte (1.) temos 1 r = a| − 3| < 1 de onde a < 1 3 . Quando a = 1 3 , então a série fica da forma ∞∑ n=0 (− 1 3 )n+1 n+ 1 (−3)n+1 = ∞∑ n=0 (−1)n n+ 1 , é simplesmente convergente. Exercício 1.1.12. Considere a série de potências ∞∑ k=1 xk+3 k + 3 1. Determine o maior intervalo onde a série é convergente. 2. Representando por f(x) a soma da série dada, escreva o desenvolvimento de f ′(x) em série de potências e determine a soma desta série. 3. Utilizando a parte 2. calcule a soma da série dada. Solução. 1. Temos 1 r = lim n→∞ ∣∣∣∣an+1an ∣∣∣∣ ⇒ limn→∞ ∣∣∣∣ xk+4k + 4 · k + 3xk+3 ∣∣∣∣ = |x| · 1 < 1 ⇒ r = 1, |x| < 1 ⇔ −1 < x < 1 Portanto, o maior intervalo de convergência é (−1, 1), 2. Seja f(x) = ∞∑ k=1 xk+3 k + 3 = x4 4 + x5 5 + x6 6 + · · ·+ x k+3 k + 3 + · · · . Sua derivada f ′(x) = x3 + x4 + x5 + . . .+ xk + . . . = ∞∑ k=1 xk+2 Sendo a série geométrica, sabemos que f ′(x) = x3 · ∞∑ k=1 xk−1 = x3 1− x sempre que |x| < 1. 3. Sendo f ′(x) = x3 1− x ⇒ f(x) = ∫ x3 1− xdx = − ∫ [x2 + x+ 1 + 1 x− 1]dx Portanto, f(x) = −x 3 3 − x 2 2 − x− Ln(1− x) sempre que |x| < 1. Christian José Quintana Pinedo 11 Exercício 1.1.13. Determine o intervalo de convergência das seguintes séries de potências e estude a sua natureza nos extremos daquele intervalo: Solução. 1. ∞∑ n=1 xn 2n+ √ n Resposta:1. (−1, 1), simplesmente convergente em −1, divergente em 1, 2. ∞∑ n=1 2nxn 1 + 2n Resposta:2. (−1, 1), divergente nos extremos , 3. ∞∑ n=1 [2 + (−1)n]2n(x+ 1)n Resposta:3. (−10 9 ,−8 9 ),divergente nos extremos 4. ∞∑ n=1 (x− 3)n√ n Resposta:4. (2, 4) simplesmente convergente em 2, divergente em 4, 5. ∞∑ n=1 (x− 1)n 1 + n2 Resposta:5. (0, 2), absolutamente convergente nos extremos , 6. ∞∑ n=1 (−1)n(n+ 1)! 2× 4× 6× · · · × (2n)x n+1 Resposta:6. (−2, 2) divergente nos extremos , 7. ∞∑ n=1 (x+ 5)n 5n+1 Resposta:7. (−10, 0), divergente nos extremos , 8. ∞∑ n=1 (x+ 3)2n (n+ 1)4n Resposta:8.(−5,−1) divergente nos extremos , 9. ∞∑ n=1 (−1)n (2n+ 1)! (x− 1)n Resposta:9.(−∞,+∞) , 10. ∞∑ n=1 (3x− 1)n 32n Resposta: 10. (−8 3 , 10 3 ) divergente nos extremos 12 Suplemento de Cálculo IV 11. ∞∑ n=1 nx enx Resposta: x ≥ 0 12. ∞∑ n=1 cosnx enx Resposta: x > 0 Christian José Quintana Pinedo 13 1.2 Séries de potências Exercícios 1-2 Exercício 1.2.1. Desenvolver em séries de potências de x2 a fração f(x) = x4 x4 + x2 − 2 Solução. Temos f(x) = x4 x4 + x2 − 2 = 5 3 · [ 1 x2 + 2 ] + 1 3 · [ 1 x2 − 1 ] (1.1) Sabemos que ∞∑ k=0 ak = 1 + a+ a2 + a3 + · · ·+ an−1 + · · · = 1 1− a, |a| < 1 Quando a = −x 2 2 ⇒ 1 1− a = 1 1 + x 2 2 = 2 2 + x2 ; |x2| < 2 Quando a = x2 ⇒ 1 1− a = 1 1− x2 ; |x 2| < 1 Em (1.1) f(x) = 5 6 · [ 2 x2 + 2 ] − 1 3 · [ 1 1− x2 ] ; |x2| < 1 ⇒ f(x) = 5 6 · [ ∞∑ k=0 (−1)k(x2 2 )k]− 1 3 · [ ∞∑ k=0 (x2)k ] ; |x2| < 1 ⇒ f(x) = 1 3 ∞∑ k=0 [ 5(−1)k 2k+1 − 1· ] x2k; |x2| < 1; r = 1 Exercício 1.2.2. Dada a função f(x) = ex, expanda-a em série de Taylor, com aproximação até terceira ordem, em torno de x0 = 0 Solução. Temos f (n)(x) = ex, ∀ n ∈ N, logo f (n)(0) = e0 = 1, assim f(x) = ∞∑ n=0 f (n)(0) n! (x− 0)n ⇒ f(x) = f(0) + f ′(0) 1! x+ f ′′(0) 2! x2 + f ′′′(0) 3! x3 + . . . Portanto a função f(x) = ex expandida até a terceira ordem é f(x) = 1+x+ x2 2 + x3 6 . Exercício 1.2.3. Idem ao exercício anterior , para a função g(x) = 1 (x+ 2)2 Solução. 14 Suplemento de Cálculo IV Temos g(n)(x) = (−1)nn! (x+ 2)n+2 , ∀ n ∈ N, logo g(n)(0) = (−1) nn! 2n+2 , assim g(x) = ∞∑ n=0 g(n)(0) n! (x− 0)n ⇒ g(x) = g(0) + g ′(0) 1! x+ g′′(0) 2! x2 + g′′′(0) 3! x3 + . . . isto é g(x) = 1 22 − 2 23 x+ 3! 24 x2 − 4! 25 x3 + . . . Portanto a função f(x) = (x + 2)−2 expandida até a terceira ordem é g(x) = 1 4 − 1 22 x+ 3 23 x2 − 3 4 x3. Exercício 1.2.4. Desenvolver em séries de potências de x a fração f(x) = x+ 2 x2 + x+ 1 Solução. Rpta: 1 3 +∞∑ n=0 anx n onde an = 2 se n = 3k, an = 1 se n = 3k± 1 onde k ∈ Z+, r = 1. Exercício 1.2.5. Seja f(x) = 1 1− x . 1. Desenvolva em série de potências de x a função x · f ′(x), indicando o respectivo intervalo de convergência. 2. Utilize o desenvolvimento obtido em (1). para mostrar que +∞∑ k=1 k 2k = 2. Solução. 1. Temos que desenvolver em séries de potências a função F (x) = x · f ′(x), isto é F (x) = x · 1 (1− x)2 = − 1 1− x + d dx [ 1 1− x ] ⇒F (x) = − ∞∑ n=0 xn + d dx [ ∞∑ n=0 xn ] = − ∞∑ n=0 xn + ∞∑ n=1 nxn−1; |x| < 1 F (x) = − ∞∑ n=0 xn + ∞∑ n=0 (n+ 1)xn = ∞∑ n=0 nxn; |x| < 1 Solução. 2. Pela parte (1.) temos x · 1 (1− x)2 = ∞∑ n=0 nxn quando x = 1 2 segue +∞∑ k=1 k 2k = 2 onde |x| < 1. Exercício 1.2.6. Christian José Quintana Pinedo 15 Desenvolva em série de potências de x as seguintes funções: Solução. 1. f(x) = 1 (1 + x)2 Sabemos que ∞∑ k=0 xk = 1 1− x |x| < 1 então g(x) = ∞∑ k=0 (−x)k = ∞∑ k=0 (−1)kxk = 1 1 + x assim g′(x) = ∞∑ k=0 (−1)kkxk−1 = − 1 (1 + x)2 ⇒ 1 (1 + x)2 = − ∞∑ k=0 (−1)kkxk−1. Portanto, f(x) = ∞∑ k=0 k(−1)k+1xk−1 sempre que |x| < 1. 2. f(x) = 1 (x− 1)(x− 2) = 1 1− x − 1 2− x = 1 1− x − 1 2 · 1 1− x 2 ⇒ f(x) = ∞∑ n=0 xn − 1 2 ∞∑ n=0 (x 2 )n . |x| < 1 ∧ |x| 2 < 1 Portanto, f(x) = ∞∑ n=0 ( 1− 1 2n+1 ) xn sempre que |x| < 1. 3. f(x) = arctan x Sabemos que ∞∑ n=0 xn = 1 1− x |x| < 1 ⇒ ∞∑ n=0 (−x2)n = 1 1− (−x2) , assim ∞∑ n=0 (−1)nx2n = 1 1 + x2 ⇒ ∫ 1 1 + x2 dx = ∫ ∞∑ n=0 (−1)nx2ndx ⇒ Portanto, f(x) = arctan x = ∞∑ n=0 (−1)n 1 2n+ 1 x2n+1 sempre que |x| < 1. 4. f(x) = Ln √ 1− x 1 + x Sabemos que ∞∑ n=0 xn + ∞∑ n=0 (−x)n = 1 1− x + 1 1 + x , |x| < 1 ∫ [ 1 1− x + 1 1 + x ] dx = ∫ ∞∑ n=0 [1 + (−1)n]xndx = 2 ∫ ∞∑ n=0 x2ndx 16 Suplemento de Cálculo IV ⇒ −Ln(1− x) + Ln(1 + x) = 2 ∞∑ n=0 1 2n+ 1 x2n+1 ⇒ 1 2 Ln 1− x 1 + x = − ∞∑ n=0 1 2n+ 1 x2n+1 Portanto, f(x) = Ln √ 1− x 1 + x = − ∞∑ n=0 1 2n+ 1 x2n+1 sempre que |x| < 1. 5. f(x) = 1 (1− x)2 Sabemos que g(x) = ∞∑ n=0 xn = 1 1− x |x| < 1 ⇒ g′(x) = ∞∑ n=0 nxn−1 = − 1 (1− x)2 ⇒ 1 (1− x)2 = − ∞∑ n=0 nxn−1 Portanto, f(x) = − ∞∑ n=0 nxn−1 sempre que |x| < 1. 6. f(x) = 2x (1− 2x)2 Exercício 1.2.7. Considere a série de potências ∞∑ k=1 (−1)k(1 − 1 k )kxk. 1. Determine o conjunto dos pontos onde a série é convergente. 2. Seja f(x) a função definida pela série anterior. Determine o domínio da função g(t) = f(1− 2t) Solução. 1. Para calcular o raio de convergência, usar a regra de L’Hospital lim n→∞ ∣∣∣∣∣∣∣ (−1)k+1(1− 1 k + 1 )k+1xk+1 (−1)k(1− 1 k )kxk ∣∣∣∣∣∣∣ = |x| limn→∞ ∣∣∣∣∣∣∣ (1− 1 k + 1 )k+1 (1− 1 k )k ∣∣∣∣∣∣∣ = |x| < 1 Portanto, converge no intervalo (−1, 1). 2. Como g(t) = f(1− 2t) então D(g) = { t ∈ R /. |1− 2t| < 1 } |1− 2t| < 1 ⇔ −1 < 1− 2t < 1 ⇔ −2 < −2t < 0 ⇔ 0 < t < 1 Portanto, o domínio de g é D(g) = (0, 1) Christian José Quintana Pinedo 17 Exercício 1.2.8. Considere a função f(x) = x3 1 + x2 . Desenvolva f(x) em série de potências de x, determine o respectivo intervalo de convergência e calcule o valor de f (9)(0) Solução. Rpta. ∞∑ k=0 (−1)kx2k+3, (−1, 1) f (9)(−1) = 9! Exercício 1.2.9. Desenvolva as seguintes funções em série de Taylor, na vizinhança do ponto a indicado, e determine o maior intervalo aberto de R onde a série representa a função: 1. x2ex, c = 0 2. − 1 x , c = −1 3. sen2x, c = 0 4. Lnx, c = 1 5. √ x, c = 1 6. 2 (x+ 1)(x+ 2) , c = 0 Solução. 1. Resposta: ∞∑ k=0 xk+2 k! , R 2. Dado y = f(x) onde y = −1 x temos as derivadas y′ = 1 x2 , y′′ = − 2 x3 , y′′′ = 3! x4 , y(iv) = − 4! x5 , · · · , y(n) = (−1) n+1n! xn+1 Logo o coeficiente principal da série de Taylor é an = f (n)(−1) n! ⇒ an = (−1)n+1n! (−1)n+1n! = 1. A série de Taylor pedida é ∞∑ k=0 (x+ 1)k, seu intervalo de convergência é (−2, 0) 3. Resposta: ∞∑ k=0 (−1)k−122k−1 (2n)! x2k R 18 Suplemento de Cálculo IV 4. Dado y = f(x) onde y = Lnx temos as derivadas y′ = 1 x , y′′ = − 1 x2 , y′′′ = 2 x3 , y(iv) = − 3! x4 , · · · , y(n) = (−1) n+1(n− 1)! xn O coeficiente principal da série é an = f (n)(1) n! ⇒ an = (−1) n+1(n− 1)! (1)nn! = (−1)n+1 n Como f(1) = 0, a série de Taylor pedida é f(x) = Lnx = 0 + ∞∑ k=1 (−1)n+1 n (x− 1)k = ∞∑ k=1 (−1)n+1 n (x− 1)k Seu raio de convergência é dado por r = lim n→∞ (n+ 1) ∣∣∣∣(−1)n+1(n− 1)!(−1)n+2n! ∣∣∣∣ = 1 Portanto, a série converge quando |x− 1| < 1, isto é em (0, 2) 5. Resposta: 1 + 1 2 (x− 1) + ∞∑ k=2 (−1)k−11× 3× 5× · · · × (2k − 3) 2k · k! (x− 1) k, (0, 2) 6. Resposta: ∞∑ k=0 (−1)k 2 k+1 − 1 2k xk, (−1, 1) Exercício 1.2.10. Considere a série de potências +∞∑ k=1 (x+ 1)k√ k · 3k 1. Determine em que pontos a série converge absolutamente e em que pontos converge simplesmente. 2 Sendo f(x) a função definida por aquela série nos pontos onde é convergente, calcule f ′(1); f ′′(1) e escreva a série de Taylor de f no ponto x = 1 da função x+ f ′(x) Solução. Christian José Quintana Pinedo 19 1. Rpta. Absolutamente convergente em (−2, 4), simplesmente convergente em −2 2. Rpta. 0, √ 2 9 , 4 3 + (1 + √ 2 9 )(x− 1) + ∞∑ k=3 k(x− 1)k−1 3k √ k Exercício 1.2.11. Diga, justificando, se são verdadeiras ou falsas as seguintes proposições: 1. Se +∞∑ k=1 akx k tem raio de convergência 1/2 ; então +∞∑ k=1 ak é convergente. 2. Se +∞∑ k=1 akx k tem raio de convergência 2; então lim k→+∞ ak = 0. Solução. 1. Rpta. Falsa 2. Rpta. Verdadeira Exercício 1.2.12. Estude, para os diferentes valores de x, a natureza das séries: 1. +∞∑ k=1 (x− 4)k (k + 1)3k+1 2. +∞∑ k=1 xk k(k + 2)2k Solução. 1. Temos ak = 1 (k + 1)3k+1 , logo como 1 r = lim n→∞ ∣∣∣∣ak+1ak ∣∣∣∣ ⇒ lim k→∞ ∣∣∣∣ (x− 4)k+1(k + 2)3k+2 · (k + 1)3k+1(x− 4)k ∣∣∣∣ = |x− 4|3 limk→∞ k + 1k + 2 < 1 Logo |x− 4| < 3 ⇒ x ∈ (1, 7). Portanto, se x ∈ (1, 7) é absolutamente convergente. • Se x = 1 temos +∞∑ k=1 (−1)k · 3k (k + 1)3k+1 = 1 3 +∞∑ k=1 (−1)k k + 1 < +∞. Se x = 7 temos +∞∑ k=1 (−1)k · 7k (k + 1)7k+1 = 1 7 +∞∑ k=1 (−1)k k + 1 < +∞. Portanto, se x = 1 ou x = 7 é simplesmente convergente. • Para os outros casos x /∈ [1, 7] mostra-se que a série é divergente. Portanto, se x ∈ Rr (1, 7) é divergente 20 Suplemento de Cálculo IV 2. Temos ak = +∞∑ k=1 xk k(k + 2)2k , logo como 1 r = lim n→∞ ∣∣∣∣ak+1ak ∣∣∣∣ ⇒ Resposta. (2.) Se x ∈ (−2, 2) é absolutamente convergente e se x ∈ R r (−2, 2) é divergente Exercício 1.2.13. Determine o domínio de convergência da série de potências +∞∑ k=1 (−1)k 5k(k + 2) (x+ 2)k Solução. Temos ak = (−1)k 5k(k + 2) , logo como 1 r = lim n→∞ ∣∣∣∣ak+1ak ∣∣∣∣ ⇒ lim k→∞ ∣∣∣∣ (−1)k+15k+1(k + 3)(x+ 2)k+1 · 5k(k + 2)(−1)k(x+ 2)k ∣∣∣∣ = |x+ 2|5 limk→∞ k + 2k + 3 < 1 Logo |x+ 2| < 5 ⇒ x ∈ (−7, 3). O maior subconjunto de R para o qual a série é absolutamente convergente é (−7, 3). Exercício 1.2.14. Considere a série de potências +∞∑ k=1 (1 − x)k ( k k + 1 )k . (1.) Determine o maior subconjunto de R para o qual a série é convergente e indique se existem pontos para os quais a série é simplesmente convergente. (2.) Sendo f(x) = +∞∑ k=1 (1 − x)k k k + 1 no intervalo de convergência desta série, determine f ′(x). Solução. 1. Rpta. (1.) (0, 2) não ha, 2. f ′(x) = +∞∑ k=1 (−k)(1− x)k−1( k k + 1 )k Exercício 1.2.15. Considere a série de potências +∞∑ k=1 (x+ 3)k 2k + 1 . (1.) Determine o maior subconjunto de R para o qual a série é absolutamente convergente. (2.) Sendo f(x) = +∞∑ k=1 (x+ 3)k 2k + 1 definida no intervalo de convergência desta série, determine a primitiva de f(x) que para x = −3 toma o valor 2. Solução. Christian José Quintana Pinedo 21 1. Temos ak =(x+ 3)k 2k + 1 , logo 1 r = lim n→∞ ∣∣∣∣ak+1ak ∣∣∣∣ ⇒ limk→∞ ∣∣∣∣(x+ 3)k+12k + 3 · 2k + 1(x+ 3)k ∣∣∣∣ = |x+ 3| limk→∞ 2k + 12k+1 + 1 < 1 Logo |x+ 3| < 2 ⇒ x ∈ (−5,−1). O maior subconjunto de R para o qual a série é absolutamente convergente é (−5, 1). 2. Seja g(x) uma primitiva de f(x), logo f(x) = g′(x). g(x) = +∞∑ k=1 (x+ 3)k+1 (k + 1)2k + 1 ⇒ g(3) = +∞∑ k=1 (−3 + 3)k+1 (k + 1)2k + 1 = 0 Portanto, g(x) = +∞∑ k=1 (x+ 3)k+1 (k + 1)(2k + 1) + 2. Exercício 1.2.16. Expresse a função 1 (1− x)2 como soma de uma série de potências. Em seguida, en- contre a soma da série numérica ∞∑ n=1 n 2n Solução. Sabemos pela igualdade da série geométrica que 1 1− x = 1 + x+ x 2 + x3 + · · ·+ xn + · · · , se |x| < 1 ⇒ derivando respeito de x segue 1 (1− x)2 = 1 + 2x+ 3x 2 + 4x3 + · · ·+ nxn−1 + · · · , se |x| < 1 Portanto, 1 (x− 1)2 = +∞∑ n=1 nxn−1. Em particular, quando x = 1 2 1 (x− 1)2 = +∞∑ n=1 nxn−1 ⇒ 1 (1 2 − 1)2 = +∞∑ n=1 n · 1 2n−1 ⇒ 4 = ∞∑ n=1 n 2n−1 Portanto ∞∑ n=1 n 2n = 2. 22 Suplemento de Cálculo IV Exercício 1.2.17. Obtenha o desenvolvimento em série de potências da função f(x) abaixo em torno do ponto a indicado. Solução. 1. f(x) = 1 (x− 2)(x− 3) em torno de a = 0. Podemos escrever f(x) = 1 (x− 2)(x− 3) = 1 2− x − 1 3− x = 1 1− x 2 − 1 1− x 3 f(x) = ∞∑ n=1 [ ( x 2 )n − (x 3 )n ] onde |x 2 | < 1 e |x 3 | < 1 ⇒ f(x) = ∞∑ n=1 [x 6 ]n = ∞∑ n=1 (x− 0)n 6n , onde |x| < 2 2. f(x) = senhx, a = 0 3. f(x) = sen2x, a = 0 4. f(x) = senx cos x, a = 0 5. f(x) = Lnx em torno de a = 1. Sabe-se que 1 1− y = ∞∑ n=0 yn, |y| < 1, logo quando y = 1− x 1 x = ∞∑ n=0 (1− x)n, |1− x| < 1 Lnx = ∫ 1 x dx = ∞∑ n=0 ∫ (1− x)ndx = ∞∑ n=0 1 n+ 1 (1− x)n+1, 0 < x < 2 Em torno de a = 1 temos f(x) = ∞∑ n=0 (−1)n+1 n+ 1 (x− 1)n+1, 0 < x < 2. 6. f(x) = cos x, a = pi/3 Christian José Quintana Pinedo 23 1.3 Série de Taylor Exercícios 1-3 Exercício 1.3.1. Determine as constantes a0, a1, a2, a3 e a4 de modo que 3x4 − 17x3 + 35x2 − 32x+ 17 = a4(x− 1)4 + a3(x− 1)3 + a2(x− 1)2 + a1(x− 1) + a0 Solução. Temos a4 = 3, a4(x− 1)4 = 3x4 − 12x3 + 18x2 − 12x+ 3. a3(x− 1)3 = a3x3 − 3a3x2 + 3a3x− a3; a2(x− 1)2 = a2x2 − 2a2x2 + a2 Por outro lado, −17 = −12 + a3 ⇒ a3 = −5, também 35 = 18 − 3(−5) + a2 ⇒ a2 = 2. Por último, −32 = −12+3(−5)−2(2)+a1 ⇒ a1 = −1 ⇒ a0 = 6, portanto 3x4 − 17x3 + 35x2 − 32x+ 17 = 3(x− 1)4 − 5(x− 1)3 + 2(x− 1)2 − (x− 1) + 6 Exercício 1.3.2. Determine uma série de potências de x+ 1 para a função f(x) = e2x, e uma série de potências de x− 1 para a função g(x) = Lnx. Solução. • Suponhamos que f(x) tenha uma representação em série de potências de x + 1. Logo f(x) = ∞∑ n=0 an(x− c)n, onde an = f (n)(c) n! onde c = −1, e temos f ′(x) = 2e2x, f ′′(x) = 22e2x, f ′′′(x) = 23e2x, f ′v(x) = 24e2x, · · · f (n)(x) = 2ne2x logo, f (n)(−1) = 2ne−2 Portanto, f(x) = e−2 · ∞∑ n=0 2n n! (x+ 1)n. • Suponhamos que g(x) tenha uma representação em série de potências de x − 1. Logo g(x) = ∞∑ n=0 an(x− c)n, onde an = g (n)(c) n! onde c = 1, e temos g′(x) = 1 x , g′′(x) = − 1 x2 , g′′′(x) = 2 x3 , g′v(x) = − 3! x4 , · · · , g(n)(x) = (−1) n(n− 1)! xn logo, g(n)(1) = (−1)n(n− 1)! 24 Suplemento de Cálculo IV Portanto, g(x) = ∞∑ n=0 (−1)n n (x− 1)n. Exercício 1.3.3. Uma função f(x) tem as seguintes propriedades: f(x) > 0, ∀ x ∈ R, f ′(x) = 2xf(x), ∀ x ∈ R e f(0) = 1. Achar uma série de potências que represente a função f(x). Solução. Temos f ′(x) = 2xf(x) ⇒ f ′(x) f(x) = 2x ⇒ Ln[f(x)] = x2 + C1 ⇒ f(x) = Cex2 Observe que f(x) > 0 ∀ x ∈ R e como f(0) = 1 então C = 1, logo f(x) = ex2 . Por outro lado f(x) = ∞∑ n=0 1 n! (x2)n Portanto, f(x) = ∞∑ n=0 1 n! x2n é a série procurada. Exercício 1.3.4. Idem ao exercício 1.3.3 para uma função g(x) com as propriedades: g(0) = 0, g′(0) = 1 e g′′(x) = −g(x), ∀ x ∈ R. Solução. Exercício 1.3.5. Desenvolva as seguintes funções em série de Taylor no ponto x = 1 e indique o maior intervalo aberto em que a série representa a função: 1. f(x) = 1 x2 2. f(x) = Ln √ x (x− 1)2 Solução. Rpta. (1.)f(x) = +∞∑ k=0 (−1)k+1k(x−1)k−1, (0, 2)(2.)f(x) = +∞∑ k (−1)k 2(k + 1) (x−1)k−1, (0, 2) Exercício 1.3.6. Represente 1 (1− x)2 numa série de MacLaurin para |x| < 1. Solução. Rpta. ∞∑ n=0 (n+ 1)xn. Exercício 1.3.7. Christian José Quintana Pinedo 25 Sendo g(x) = 1 4 + x2 , desenvolva em série de potências de x−c função g′(x) e indique o maior intervalo aberto em que o desenvolvimento é válido. Solução. Respostas: g′(x) = +∞∑ k (−1)k 2kx 2k−1 4k+1 , (−2, 2) Exercício 1.3.8. Desenvolva em série de MacLaurin a função f(x) = Ln 1 x+ 2 e indique o maior in- tervalo aberto em que esse desenvolvimento é válido. Solução. Rpta. f(x) = +∞∑ k (−1)k+1 x k+1 2k+1(k + 1) + Ln 1 2 , (−2, 2) Exercício 1.3.9. Verificar que x∫ 0 e−t 2 dt = +∞∑ (−1)n (2n+ 1) · n!x 2n+1. Solução. Exercício 1.3.10. Dado f(x) = +∞∑ n=1 sennx n3 , verificar que pi∫ 0 f(x)dx = 2 ∞∑ n=1 1 (2n− 1)4 . Solução. Exercício 1.3.11. Considere a função f(x) = arctan(x2). 1. Escreva o desenvolvimento em série de MacLaurin de f ′(x), indicando o maior intervalo aberto onde esse desenvolvimento é válido. 2. Usando a item anterior, calcule f ′(1 2 ) + f ′′(0). Solução. Rpta. (1.)f ′(x) = +∞∑ k 2(−1)kx4k+1, (−1, 1) (2.) 16 17 + 2 Exercício 1.3.12. Dado um k ∈ Z+ considere a k-ésima derivada da Função de Bessel de primeira espécie Jk(x), definida por Jk(x) = +∞∑ n=0 (−1)n n!(n+ k)! (x 2 )2n+k 1. Determine o raio de convergência desta série. 2. Mostre que o erro cometido ao aproximar Jk(x), 0 ≤ x ≤ 1, pelo polinômio 1 − x 2 4 + x4 64 − x 6 2304 é inferior a 10−5. 26 Suplemento de Cálculo IV 3. Verificar que J ′0(x) = −J1(x) e ∫ x3J2(x)dx = x 3J3(x) Solução. Exercício 1.3.13. Encontre uma expansão em série de potências de x para x2e−x, logo derive este resul- tado para provar que +∞∑ n=2 (−1)n(n+ 2)2n n! = 6. Solução. Temos x2e−x = +∞∑ n=0 (−1)nxn+2 n! derivando e−x(2x − x2) = +∞∑ n=1 (−1)n(n+ 2)xn+1 n! isto é e−x(2x− x2) = −3x2 + +∞∑ n=2 (−1)n(n+ 2)xn+1 n! . Quando x = 2, temos e−2(4− 22) = −12 + 2 +∞∑ n=2 (−1)n(n+ 2)2n n! . Portanto, +∞∑ n=2 (−1)n(n+ 2)2n n! = 6. Exercício 1.3.14. Ache a série de MacLaurin para f(x) = 1− cos x x se x 6= 0 0 se x = 0 e indique o raio de convergência. Solução. Exercício 1.3.15. Calcular lim x→0 x− arctanx x2 . Solução. Sabemos que d dx arctanx = 1 1 + x2 = ∞∑ n=0 (−1)nx2n sempre que |x2| < 1. Logo temos a igualdade arctanx = ∞∑ n=0 (−1)n 2n+ 1 x2n+1 = x+ ∞∑ n=1 (−1)n 2n+ 1 x2n+1 o limite lim x→0 x− arctanx x2 = − lim x→0 1 x2 ∞∑ n=1 (−1)n 2n+ 1 x2n+1 = ∞∑ n=1 (−1)n 2n+ 1 x2n−1 = 0 Exercício 1.3.16. Calcular lim x→0 1− cos x ex − 1− x . Solução. Exercício 1.3.17. Christian José Quintana Pinedo 27 Calcular 0,2∫ 0 senx x com precisão até 0, 0001. Solução. Exercício 1.3.18. Calcular 0,1∫ 0 ex − 1 x com precisão até 0, 001. Solução. Mostra-se no Exercício (1.3.22) que ex − 1 x = +∞∑ n=0 xn (n+ 1)! , logo 0,1∫ 0 ex − 1 x = 0,1∫ 0 +∞∑ n=0 xn (n+ 1)! dx = +∞∑ n=0 xn+1 (n+ 1)!(n+ 1) ∣∣∣0,1 0 = +∞∑ n=0 (0, 1)n+1 (n+ 1)!(n+ 1) = = 0, 1 + (0, 1)24 + (0, 1)3 18 + (0, 1)4 96 + · · · ≈ 0, 102556597222222 . . . Portanto, 0,1∫ 0 ex − 1 x ≈ 0, 1026. Exercício 1.3.19. Determine o grau do polinômio de Taylor Pn(x), expandido em torno de x = 1, de modo que o resto da aproximação de Ln(1, 2) seja menor do que 0, 001 Solução. Exercício 1.3.20. Desenvolver pela fórmula de MacLaurin até os termos de terceira ordem, inclusive, a função f(x, y) = senhy cos x. Solução. Exercício 1.3.21. Desenvolver pela fórmula de MacLaurin até os termos de quarta ordem, inclusive, a função g(x, y) = e−ysenx. Solução. Exercício 1.3.22. Determine a série de Taylor da função ex − 1 x em torno de a = 0. Solução. Temos ex − 1 = +∞∑ n=1 xn n! ⇒ ex − 1 = x +∞∑ n=1 xn−1 n! ⇒ e x − 1 x = +∞∑ n=0 xn (n+ 1)! quando |x| < 1 28 Suplemento de Cálculo IV Portanto, ex − 1 x = +∞∑ n=0 xn (n+ 1)! quando |x| < 1. Exercício 1.3.23. Por diferenciação termo a termo da série de potências do exercício 1.3.22, mostre que ∞∑ n=1 n (n+ 1)! = 1 Solução. Exercício 1.3.24. Calcule as seguintes integrais com erro inferior a 10−4: 1. 1/2∫ 0 senx2dx 2. 1∫ 1/2 senx x dx 3. 1/3∫ 0 dx 1 + x4 4. ∫ 0 q cos √ xdx 5. 6. Solução. Exercício 1.3.25. Use séries de potências para calcular Ln(1, 2) e arctan 1 4 , com erro inferior a 10−4. Solução. Exercício 1.3.26. Derivando termo a termo duas vezes uma série de potências que representa a função e−x 2, mostre que +∞∑ n=1 (−1)n+1(n+ 2) n!2n = 1. Solução. Exercício 1.3.27. Determine o polinômio de Taylor de ordem m das funções seguintes nos pontos indi- cados. 1. f(x, y) = 1 2 + x− 2y , m = 2, (x0, y0) = (2, 1) 2. f(x, y) = cos(x+ seny), m = 2, (x0, y0) = (0, 0) 3. f(x, y) = ex+2y, m = 3, (x0, y0) = (0, 0) 4. f(x, y) = yx, m = 2, (x0, y0) = (1, 1) Solução. Exercício 1.3.28. Desenvolva em série de potências de x a função f(x) = 2 3 + 4x3 . Solução. Christian José Quintana Pinedo 31 Sabe-se que 1 1− y = ∞∑ n=0 yn, |y| < 1, logo quando y = −4x3 3 1 1 + 4x 3 3 = ∞∑ n=0 (−4x 3 3 )n, ⇒ 3 3 + 4x3 = ∞∑ n=0 (−1)n(4x 3 3 )n ∣∣∣∣4x33 ∣∣∣∣ < 1 ⇒ 2 3 + 4x3 = 2 3 ∞∑ n=0 (−1)n4 nx3n 3n ,= ∞∑ n=0 (−1)n2 2n+1x3n 3n+1 |x3| < 3 4 Portanto, f(x) = +∞∑ n=0 (−1)n2 2n+1 3n+1 x3n, (− 3 √ 3 4 , 3 √ 3 4 ). Exercício 1.3.29. Calcular 1∫ 0 √ 1− x3dx com quatro casas decimais. Solução. Exercício 1.3.30. Calcular 1∫ 0 senx2dx com cinco casas decimais. Solução. Sabemos que seny = y 1! − y 2 3! + y5 5! − y 7 7! + · · · , logo 1∫ 0 senx2dx = 1∫ 0 [ x2 1! − x 6 3! + x10 5! − x 14 7! + · · · ] dx = 1 3 − 1 42 + 1 1320 − 1 75.600 +· · · = 0, 31028 32 Suplemento de Cálculo IV Capítulo 2 Equações diferenciais de 1a ordem. 2.1 Equações diferenciais Exercícios 2-1 Exercício 2.1.1. Para os exercícios seguintes classificar cada equação diferencial segundo a ordem, o grau (quando possível) e a linearidade. Determine a função incógnita e a variável inde- pendente. Solução. 1. y′′′ − 9xy′ = senx+ 2. Equação diferencial ordinária, linear com coeficientes variáveis de terceira ordem não homogênea de primeiro grau. 2. xy′′ − x2y′ + Ln[x√y] = x2. Equação diferencial ordinária, não linear com coeficientes variáveis e não homogênea de segunda ordem. 3. t2 d2s dt2 − stds dt = t 4. y′′′ − 9xy′ = senx+ 2 Equação diferencial ordinária, linear com coeficientes variáveis e não homogênea de segunda ordem. 5. xy − x2y′ + Lnx√y = x2 − x− 1 6. t2 d2s dt2 − stds dt = t 33 34 Suplemento de Cálculo IV 7. dnx dyn = y2 + 1 8. ( dt dp )5 = 8p 9. y(5) + xy′′ + x2y′ + cos y = 0 10. d6s dp6 − 9p = 0 11. x4y(4) + 2xy′′′ = ex 12. (y′′)2 − 8xy′ + 2xy = 0 Equação diferencial não linear ordinária de segunda ordem homogênea de segundo grau. Exercício 2.1.2. Para cada exercício, elimine as constantes arbitrárias e construa a equação diferencial respectiva. Solução. 1. x3 − 3x2y = C ⇒ 3x2 − 6xy − 3x2y′ = 0. Logo 3x2y′ + 6xy = 3x2. A equação pedida é xy′ + 2y = x.. 2. y = C1e−x + C2e−3x ⇒ y′ = −C1e−x − 3C2e−3x, derivando novamente y′′ = C1x −x + 9C2e−3x. Logo y′ + y = −2C2e−3x e y′′ − y = 8C2e−3x. −4(y − y′) = y′′ − y ⇒ y′′ + 4y′ + 3y = 0 A equação pedida é y′′ + 2y′ − 3y = 0. 3. y = C1e2x + xC2e2x ⇒ y′ = 2C1e2x + 2xC2e2x + C2e2x = 2y + C2e2x derivando novamente y′′ = 2y′+2C2e2x como y′−2y = C2e2x, substituindo y′′ = 2y′+2(y′−2y). A equação pedida é y′′ − 4y′ + 4y = 0. 4. y2 = 4Cx ⇒ 2yy′ = 4C, derivando novamente 2(y′)2 + 2yy′′ = 0. A equação pedida é yy′′ + (y′)2 = 0. 5. y = Cx+ C2 + 1 6. y = C1 cos(ωx) + C2sen(ωx) 7. x2y = 1 + Cx Christian José Quintana Pinedo 35 8. y = C1 + C2e−3x 9. y = x+ C1e−x + C2e−3x 10. Cy2 = x2 + y 11. y = xC1 + xC2e−x 12. y = x2C1 + C2e2x Exercício 2.1.3. Para cada exercício, aplicando o teorema de existência e unicidade, determine uma região onde admite solução a equação diferencial. Solução. O teorema diz: “Seja dada uma equação diferencial y′ = f(x, y), onde a função f(x, y) está definida no recinto R = { (x, y) ∈ R2 /. |x− x0| ≤ a, |y− y0| ≤ b } do plano-xy que contêm o ponto (x0, y0).” “Se a função f(x, y) satisfaz as condições:” i) Ser função contínua nas duas variáveis x e y, no região R. ii) Admitir derivada parcial ∂f ∂y contínua com respeito a x e y, no região R. Então existe uma, e somente uma solução y = y(x) da equação dada que satisfaz o problema de valor inicial y′ = f(x, y), y(x0) = y0. Solução 1. Para a equação y′ = x2 + y2 Segundo o teorema temos que f(x, y) = x2 + y2, esta função é contínua em R2. Sua derivada parcial ∂f ∂y = 2y é contínua com respeito a x e y, no região R2. Portanto, existe solução em qualquer ponto (x0, y0) ∈ R2. 2. Equação y′ = x y 3. Equação y′ = y + 3 3√y 4. Equação y′ = √ x− y 36 Suplemento de Cálculo IV Solução 5. Para a equação y′ = √ x2 − y − x Temos que f(x, y) = √ x2 − y−x é contínua em R = { (x, y) ∈ R2 . x2− y ≥ 0}, isto é, contínua nos pontos embaixo e na fronteira da parábola y = x2. Sua derivada parcial ∂f ∂y = − 1 2 √ x2 − y é contínua com respeito a x e y, no região totalmente embaixo da parábola y = x2 (não considerar a fronteira) Portanto, existe solução em qualquer ponto (x0, y0) ∈ R, sen considerar sua fron- teira. Solução 6. Para a equação y′ = √ 1− y2 Temos que f(x, y) = √ 1− y2 é contínua em R = { (x, y) ∈ R2 . 1−y2 ≥ 0}, isto é, contínua nos pontos da faixa horizontal limitada pelas retas y = ±1, ∀ x ∈ R. Sua derivada parcial ∂f ∂y = − yy ′√ 1− y2 é contínua com respeito a x e y, no região da faixa −1 < y < 1, ∀ x ∈ R, ∀ x ∈ R. Portanto, existe solução em qualquer ponto (x0, y0) ∈ Rr { y 6= ±1 }. 7. Equação y′ = y + 1 x− y 8. Equação y′ = seny − cos y 9. Equação y′ = 1− cot y 10. Equação y′ = 3 √ 3x− y − 1 11. Equação 2y′ = 3 3 √ y2 Exercício 2.1.4. Determine se, a função indicada é solução da equação: Solução. 1. função: y(x) = 2e−x + xex, equação: y′′ + 2y′ + y = 0. Temos y = 2e−x + xex ⇒ y′ = −2e−x + ex + xex ⇒ y′′ = 2e−x + 2ex + xex, logo y′′ + 2y′ + y = (2e−x + 2ex + xex) + 2(−2e−x + ex + xex) + (2e−x + xex) = = 4ex + 4xex = 4ex(1 + x) 6= 0 Não, é solução da equação y′′ + 2y′ + y = 0. Christian José Quintana Pinedo 37 2. função: y = 1, equação: y′′′ + 2y′ + y = x. Temos y = 1 ⇒ y′ = y′′′ = 0, como y′′′ + 2y′ + y = 0 + 2(0) + 1 6= x Não, é solução para todo x ∈ R. 3. função: y = senx x , equação: xy′ + y = cos x. Supondo x 6= 0, temos que existey = senx x ⇒ xy = senx derivando implícita- mente y + xy′ = cos x. Sim, é solução em Rr {0}. 4. função: y = Ce−2x + 1 3 ex, equação: y′ + 2y = ex. 5. função: y = x √ 1− x2, equação: yy′ = x− 2x3. Supondo x ∈ [−1, 1], temos que existe y = x√1− x2 ⇒ y2 = x2(1 − x2) derivando implícitamente 2yy′ = 2x− 4x3 = 2(x− x3). Sim, é solução ∀ x ∈ [−1, 1]. 6. função: y = 2 + C √ 1 + x2, equação: (1− x2)y′ + xy = 2x. 7. função: y = earcsenx, equação: xy′ = tanLny. 8. função: y = ex x∫ 0 et 2 dt, equação: y′ − y = ex+x2 . Aplicando o teorema fundamental do cálculo integral segue que y = ex x∫ 0 et 2 dt ⇒ y′ = ex x∫ 0 et 2 dt+ ex(ex 2 ) = y + ex+x 2 logo, y′ − y = ex+x2 . Observe, se x = 0 temos y = e0(0) = 0 de onde 0 = y′ − y 6= 1 = e0+02 . Portanto, sim, é solução em Rr {0}. 9. função: y = x x∫ 0 sent t dt, equação: xy′ = y + xsenx. Aplicando o teorema fundamental do cálculo integral segue que y = x x∫ 0 sent t dt ⇒ y′ = x∫ 0 sent t dt+ senx logo, xy′ = y + xsenx. 38 Suplemento de Cálculo IV Portanto, sim, é solução em R. 10. função: y = x [∫ ex x dx ] , equação: xy′ − y = xex. 11. função: x = cos t y = sent } , equação: x+ yy′ = 0. Temos dx = −sent dy = cos t } ⇒ dy dx = dy dt dx dt = −cos t sent = −x y ⇒ x+ yy′ = 0 Sim é solução! 12. função: x = tet y = e−t } equação: (1 + xy)y′ + y2 = 0. Temos dx = (t+ 1)etdt dy = −e−tdt } ⇒ dy dx = − e −t (t+ 1)et = − e −2t (t+ 1) ⇒ (t+ 1)y′ + e−2t = 0 ⇒ (t+ 1)y′ + y2 = 0 ⇒ (xy + 1)y′ + y2 = 0 Sim, é solução em R. 13. função: x = earctan t y = e− arctan t } , equação: y − xy′ = 0. Temos dx = earctan t · dt 1 + t2 = xdt 1 + t2 dy = e− arctan t · (−dt) 1 + t2 = −ydt 1 + t2 ⇒ dydx = −yx ⇒ xy′ + y = 0 Não é solução! 14. função: x = tLnt y = t2(2Ln(t) + 1) } , equação: y′Ln( y′ 4 ) = 4x. Temos dx = (Lnt+ 1)dt dy = (4tLnt+ 3t)dt } ⇒ y′ = 4tLnt+ 4t Lnt+ 1 = 4t e Ln( y′ 4 ) = Ln(t) Christian José Quintana Pinedo 39 Multiplicando estas duas últimas igualdades y′Ln( y′ 4 ) = 4tLn(t) = 4x Portanto, sim é solução! 15. função: y = { −x2 se, x < 0 x2 se, x ≥ 0 , equação: xy ′ − 2y = 0. A função y = y(x) é contínua em x = 0, mediante a definição da derivada, mostra-se que f ′(0−) = lim h→0− f(h)− f(0) h = lim h→0− −h2 − 0 h = 0 f ′(0+) = lim h→0+ f(h)− f(0) h = lim h→0+ h2 − 0 h = 0 Temos dy dx = { −2x se, x < 0 2x se, x ≥ 0 ⇒ x dy dx = { −2x2 se, x < 0 2x2 se, x ≥ 0 Também −2y = { 2x2 se, x < 0 −2x2 se, x ≥ 0 ⇒ xy ′ − 2y = 0 Sim, é solução em R. 16. função: y = { 0 se, x < 0 x3 se, x ≥ 0 , equação: (y ′)2 − 9xy = 0. A função y = y(x) é contínua em x = 0, mediante a definição da derivada, mostra-se que y′ = { 0 se, x < 0 3x2 se, x ≥ 0 ⇒ (y ′)2 = { 0 se, x < 0 9x4 se, x ≥ 0 Como −9xy = { 0 se, x < 0 −9x4 se, x ≥ 0 ⇒ (y ′)2 − 9xy = 0 Sim, é solução em R. 17. função: y = Lnx , equação: xy′′ + y′ = 0 em (0, ∞), porém não é solução em (−∞, +∞). A função Lnx está definida em (0,+∞), logo nesse intervalo y′ = 1 x ⇒ y′′ = − 1 x2 ⇒ y′′ = −1 x · 1 x = y′ · 1 x . Assim xy′′ + y′ = 0 Sim, é solução em (0,+∞), porém não no intervalo (−∞, +∞). 40 Suplemento de Cálculo IV 18. função: y = 1 x2 − 1 , equação: y ′ + 2xy2 = 0 em (−1, 1) porém não em qualquer outro intervalo mas amplo contendo (−1, 1). A função y = 1 x2 − 1 é contínua em R quando x 6= ±1. Sua derivada df dx = − 2x (x2 − 1)2 = −2x · [ 1 x2 − 1 ]2 = −2xy2 ⇒ y′ + 2xy2 = 0. Sim, é solução em (−1, 1) porém não em algum intervalo que contenha o intervalo (−1, 1). Exercício 2.1.5. Mostre que y = √ 9− x2 e y = −√9− x2 são soluções para dy dx = −x y no intervalo (−3, 3). Explicar por que y = { √ 9− x2 se, −3 < x < 0 −√9− x2 se, 0 ≤ x < 3 não é uma solução para a equação diferencial no intervalo (−3, 3). Solução. Temos que y = √ 9− x2 existe em R sempre que x ∈ [−3, 3]. Se x = ±3 segue que y = 0, assim, dy dx = −x y não tem sentido. Logo, caso exista solução será no intervalo (−3, 3). Como y = √ 9− x2 ⇒ y2 = 9 − x2 ⇒ 2yy′ = −2x de onde y′ = −x y em (−3, 3). O caso y = −√9− x2 é análogo. Portanto y = √ 9− x2 e y = −√9− x2 são soluções para dy dx = −x y no intervalo (−3, 3). Para o caso da função dada temos y = { √ 9− x2 se, −3 < x < 0 −√9− x2 se, 0 ≤ x < 3 que ela não é contínua em x = 0, consequentemente ela não é derivável em x = 0, logo não será solução equação diferencial dada. Exercício 2.1.6. Determine valores de m para que y = xm seja uma solução para cada equação diferen- cial. Solução. 1. Dado y = xm ⇒ y′ = mxm−1 ⇒ y′′ = m(m − 1)xm−2. Substituindo na equação: x2y′′ − y = 0 ⇒ m(m− 1)xm − xm = 0 ⇒ xm(m(m− 1)− 1) = 0 Christian José Quintana Pinedo 41 supondo xm 6= 0 então m2 −m− 1 = 0 ⇒ m = 1 + √ 5 2 ou m = 1−√5 2 . 2. Dado y = xm ⇒ y′ = mxm−1 ⇒ y′′ = m(m − 1)xm−2. Substituindo na equação: x2y′′+6xy′+4y = 0 ⇒ m(m−1)xm+6mxm+4xm = 0 ⇒ xm(m2+5m+4) = 0 supondo xm 6= 0 então m2 + 5m+ 4 = 0 ⇒ m = −1 ou m = −4. Exercício 2.1.7. Determine valores de m para que y = emx seja uma solução para cada equação dife- rencial. Solução. 1. Dado y = emx ⇒ y′ = memx ⇒ y′′ = m2emx. Substituindo na equação: y′′ − 5y′ + 6y = 0 ⇒ emx(m2 − 5m+ 6) = 0 como emx 6= 0 então m2 − 5m+ 6 = 0 ⇒ m = 2 ou m = 3. 2. Dado y = emx ⇒ y′ = memx ⇒ y′′ = m2emx. Substituindo na equação: y′′ + 10y′ + 25y = 0 ⇒ emx(m2 + 10m+ 25) = 0 como emx 6= 0 então m2+10m+25 = 0 ⇒ m = 5 é raiz de multiplicidade dois. Exercício 2.1.8. Determine uma solução do problema de valor inicial (pvi) indicado para a solução geral dada, onde C1 e C2 são constantes arbitrárias. Solução. 1. Ao determinar uma solução do pvi está implícito que a solução é particular. Para y′ + y = 0, por dados temos o valor inicial y(3) = 2 e a solução geral y = C1e −x, então 2 = C1e−3, isto implica que C1 = 2e3. Portanto, uma solução do pvi é y = 2e3e−x = 2e3−x 2. Ao determinar uma solução do pvi está implícito que a solução é particular. Para y′′ + 4y = 3senx, por dados temos os valores iniciais y(0) = 0, y′(0) = 1 e a solução geral y = C1senx+ C2 cos x. De y = C1senx + C2 cos x ⇒ y(0) = 0 ⇒ C2 = 0, de y′ = C1 cos x − C2senx ⇒ y′(0) = 1 ⇒ C1 = 1 42 Suplemento de Cálculo IV Por outro lado, y′′ = −C1senx− C2 cos x, isto implica que y′′ + 4y = 3C1senx+ 3C2 cosx = 3senx, C1 = 1, C2 = 0 Portanto, a solução do pvi é y = senx 3. y′ = 1 + y2; y(0) = 0. Solução geral: y = C1 tanx. Exercício 2.1.9. Determine uma solução do problema de valores de contorno indicado para a solução geral dada, onde C1 e C2 são constantes arbitrárias. Solução. 1. y′′ + 4y = 0; y( pi 8 ) = 0, y( pi 6 ) = 1.. Como a solução geral é: y = C1sen2x+ C2 cos 2x então 0 = C1sen pi 4 + C2 cos pi 4 ⇒ 0 = √ 2(C1 + C2) ⇒ 0 = C1 + C2 1 = C1sen pi 3 + C2 cos pi 3 ⇒ 1 = 1 2 ( √ 3C1 + C2) ⇒ 2 = √ 3C1 + C2 Resolvendo o sistema C1 = √ 3 + 1, C2 = − √ 3− 1 2. y′′ + 4y = 0; y(0) = 1, y( pi 2 ) = 2. Como a solução geral é: y = C1sen2x+ C2 cos 2x então 1 = C1sen0 + C2 cos 0 ⇒ 1 = C2 2 = C1sen pi 2 + C2 cos pi 2 ⇒ 2 = C1 + 1 ⇒ 1 = C1 Portanto, C1 = 1, C2 = 1. Exercício 2.1.10. Determine C1 e C2 de modo que a função dada, satisfaça as condições indicadas. Solução. 1. Função: y = C1sen2x+ C2 cos 2x+ 1. Condições: y( pi 8 ) = 0, y′( pi 8 ) = √ 2 2. Função: y = C1e2x + C2ex + 2senx. Condições: y(0) = 1, y′(0) = 1 Observe que y(0) = C1e0 + C2e0 + 2sen0 = 1 ⇒ C1 + C2 = 1. A derivaday′ = 2C1e2x + C2ex + 2 cos x ⇒ y′(0) = 2C1 + C2 + 2 = 1 Christian José Quintana Pinedo 43 Resolvendo o sistema C1 + C2 = 1 2C1 + C2 = −1 } ⇒ C1 = −2 C2 = 3 Portanto, y(x) = −2e2x + 3ex + 2senx. 3. Função: y = C1ex + C2e−x + 4senx. Condições: y(0) = 1, y′(0) = −1 4. Função: y = C1x+ C2 + x2. Condições: y(1) = 1, y′(1) = 2 5. Função: y = C1ex + C2e2x + 3e3x. Condições: y(0) = 0, y′(0) = 0 6. Função: y = C1senx+ C2 cosx+ 1. Condições: y(pi) = 0, y′(pi) = 0 7. Função: y = C1ex + C2xex + x2ex. Condições: y(1) = 1, y′(1) = −1 Exercício 2.1.11. Para os seguintes exercícios, determine C1 e C2 de modo que y(x) = C1senx+C2 cos x satisfaça s condições dadas. Determine se tais condições são iniciais ou de contorno. Solução. 1. Dado y(x) = C1senx+ C2 cosx, como y(0) = 1, y′(0) = 2 então y(0) = 1 ⇒ 1 = C1sen0 + C2 cos 0 ⇒ C2 = 1 y′(x) = C1 cos x− C2senx ⇒ 2 = C1 cos 0− C2sen0 ⇒ C1 = 2 As condições são iniciais, e C1 = 2, C2 = 1 2. Dado y(x) = C1senx+ C2 cosx, como y(0) = 2, y′(0) = 1 3. Dado y(x) = C1senx+ C2 cosx, como y( pi 2 ) = 1, y′( pi 2 ) = 2 4. Dado y(x) = C1senx+ C2 cosx, como y(0) = 1, y( pi 2 ) = 1 5. Dado y(x) = C1senx+ C2 cosx, como y′(0) = 1, y( pi 2 ) = 1 6. Dado y(x) = C1senx+ C2 cosx, como y(0) = 1, y′(pi) = 1 então y(0) = 1 ⇒ 1 = C1sen0 + C2 cos 0 ⇒ C2 = 1 y′(x) = C1 cosx− C2senx ⇒ 1 = C1 cos pi − C2senpi ⇒ C1 = −1 As condições são de contorno, e C1 = −1, C2 = 1 44 Suplemento de Cálculo IV 7. Dado y(x) = C1senx+ C2 cosx, como y(0) = 1, y(pi) = 2 8. Dado y(x) = C1senx+ C2 cosx, como y(0) = 0, y′(0) = 0 9. Dado y(x) = C1senx+ C2 cosx, como y( pi 4 ) = 0, y( pi 6 ) = 1 10. Dado y(x) = C1senx+ C2 cos x, como y(0) = 0, y′( pi 2 ) = 1 Exercício 2.1.12. Demonstrar que a curva cujo coeficiente angular da tangente em cada ponto é propor- cional à abscissa do ponto de tangencia é uma parábola. Solução. Seja y = y(x) a curva. No ponto (x0, y0) da curva, temos que o coeficiente angular da reta tangente é dado por dy dx (x0). Pela hipótese do problema temos que dy dx (x0) = Kx0, onde K ∈ R é uma constante. Em geral em qualquer ponto da curva y = y(x) temos a equação diferencial que satisfaz as condições do problema é dy dx (x) = Kx, isto é dy dx = kx ⇒ y = K1x2 +K2 onde K1 = 1 2 K. Portanto, a y = K1x2 +K2 parábola satisfaz as condições do problema. Exercício 2.1.13. Achar uma curva que passe pelo ponto (1; 1) de tal maneira que o coeficiente angular da tangente em cada ponto seja proporcional ao quadrado da ordenada nesse ponto. Solução. Seja y = y(x) a curva, então 1 = y(1), o coeficiente angular da curva em qualquer ponto esta dado por dy dx (x0). Pelas condições de problema dy dx (x) = Ky2 ⇒ dy y2 = Kdx ⇒ −1 y = Kx+C. Das condições iniciais −1 = K + C ⇒ C = −(1 +K) Portanto, Kyx = y(1 +K)− 1 é a equação pedida Exercício 2.1.14. Verificar que y1(t) = √ t e y2(t) = 1 t são soluções da equação diferencial 2t2y′′ + 3ty′ − y = 0. Solução. Exercício 2.1.15. Verificar que y(t) = √ 1 + 2 3 Ln(1 + t3) é solução do pvi y′ = t2 y(1 + t2) , y(0) = 1. Para qual intervalo esta solução é válida? Solução. Christian José Quintana Pinedo 45 Dado y(t) = √ 1 + 2 3 Ln(1 + t3) então y2 = 1 + 2 3 Ln(1 + t3) ⇒ 2yy′ = 2 3 · 3t 2 1 + t3 ⇒ y′ = t 2 y(1 + t2) Em y(t) = √ 1 + 2 3 Ln(1 + t3) ⇒ y(0) = √ 1 + 2 3 Ln(1 + 03) = 1. Portanto, y(t) = √ 1 + 2 3 Ln(1 + t3) é solução do pvi dado. Exercício 2.1.16. O problema de valor inicial y′ = 2 √|x|; y(0) = 0 admite duas soluções y = x|x| e y = 0. Este resultado contradiz o Teorema 2.1? Solução. Não contradiz o Teorema 2.1, em verdade não satisfaz as condições do teorema, pois não é lipschitziana na origem. Este problema admite, no entanto, soluções, embora não haja unicidade. Duas possíveis soluções são: y′ = f(x, y) = 2 √|x| ⇒ ∂f ∂y = . . . Exercício 2.1.17. A população de uma cidade é de 1.000.000 de habitantes. Houve uma epidemia e 10% da população contraiu um vírus. Em sete dias esta porcentagem cresceu para 20%. O vírus se propaga por contato direto entre indivíduos enfermos e sãos (logo, é proporcional ao número de contatos). A partir destes dados e supondo que o modelo seja fechado, isto é, a população se mantém constante, sem nascimentos, mortes ou migração, e os indivíduos tendo toda a liberdade de interagir, calcule: 1. A proporção de indivíduos enfermos e sãos, como uma função do tempo. 2. O tempo necessário para que a porcentagem de indivíduos enfermos seja 50%. Solução. 1. A proporção de indivíduos enfermos e sãos, como uma função do tempo. x = nε n , y = nδ n , x+ y = 1, nε + nδ = n onde: n = número total de habitantes, ne = número de indivíduos enfermos, ns = número de indivíduos sãos x = proporção de indivíduos enfermos, y = proporção de indivíduos sãos. 46 Suplemento de Cálculo IV Pelos dados do problema temos que dx dt = kxy = kx(1− x) onde k é a constante de proporcionalidade dos contatos. Assim 1 x(1− x)dx = k · dt ⇒ ∫ 1 x(1− x)dx = ∫ k · dt ⇒ Ln x 1− x = kt+ C ⇒ x 1− x = Ae kt onde A = eC Quando t = 0 temos que x = 10% = 0, 1, assim 0,1 1−0,1 = Ae k·0 ⇒ A = 1 9 de onde x 1−x = 1 9 ekt. Quando t = 7 temos que x = 20% = 0, 2, assim 0,2 1−0,2 = 1 9 e7k ⇒ k = 1 7 Ln9 4 de onde x 1−x = 1 9 ekt. Portanto, x(t) = exp( t 7 Ln9 4 ) 9 + exp( t 7 Ln9 4 ) e y(t) = 9 9 + exp( t 7 Ln9 4 ) . Solução. 2. O tempo necessário para que a porcentagem de indivíduos enfermos seja de 50% é x(t∗) = 1 2 = 0, 5. x 1− x = 1 9 exp( t∗ 7 Ln 9 4 ) ⇒ 0, 5 1− 0, 5 = 1 9 exp( t∗ 7 Ln 9 4 ) ⇒ t∗ = 7Ln9 Ln9 4 ≈ 19 dias Christian José Quintana Pinedo 47 2.2 Tipos de equações de primeira ordem Exercícios 2-2 Exercício 2.2.1. Determine quais das seguintes equações diferenciais são de variáveis separáveis. Solução. 1. (1 + xy)dx+ ydy = 0 Não, é de variáveis separáveis. 2. dy dx = [ 2y + 3 4x+ 5 ]2 ⇒ dy (2y + 3)2 − dx (4x+ 5)2 = 0 Sim, é de variáveis separáveis. 3. xy2dx− x2y2dy = 0 ⇒ x2y2(dx x − dy) = 0 ⇒ dx x − dy = 0 ou xy = 0 Sim, é de variáveis separáveis. 4. senxdx+ y2dy = 0 Sim, é de variáveis separáveis. 5. dx dy = 1 + 2y2 y · senx ⇒ senxdx− 1 + 2y2 y dy = 0 Sim, é de variáveis separáveis. 6. 1 7. (y− yx2)dy dx = (y+1)2 ⇒ y(1−x2)dy dx = (y+1)2 ⇒ dx 1− x2 − ydy (y + 1)2 = 0 Sim, é de variáveis separáveis. 8. dS dr = kS ⇒ dS S − kdr = 0 Sim, é de variáveis separáveis. 9. x √ 1− y2dx = dy ⇒ xdx− dy√ 1− y2 = 0. Sim, é de variáveis separáveis. 10. (1 + x2 + y2 + x2y2)dy = y2dx ⇒ (1 + y2)(1 + x2)dy = y2dx podemos escrever na forma dx 1 + x2 − (1 + y 2) y2 dy = 0. Sim, é de variáveis separáveis. 48 Suplemento de Cálculo IV Exercício 2.2.2. Determine quais das seguintes equações diferenciais são exatas. Solução. 1. Na equação 3x2ydx+(y+x3)dy = 0 considere-seM(x, y) = 3x2y e N(x, y) = y+x3, temos ∂M ∂y = 3x2, ∂N ∂x = 3x2 Sim, é uma equação diferencial exata. 2. Na equação (5y− 2x)y′− 2y = 0 considere-se M(x, y) = −2y e N(x, y) = 5y− 2x, temos ∂M ∂y = −2, ∂N ∂x = −2 Sim, é uma equação diferencial exata. 3. Na equação xydx+ y2dy considere-se M(x, y) = xy e N(x, y) = y2, temos ∂M ∂y = x, ∂N ∂x = 0 Não, é uma equação diferencial exata. 4. Na equação xy2dx + (x2y + y2)dy = 0 considere-se M(x, y) = xy2 e N(x, y) = x2y + y2, temos ∂M ∂y = 2xy, ∂N ∂x = 2xy Sim, é uma equação diferencial exata. 5. Na equação 2x y dx− x 2 y2 dy = 0 consideremosM(x, y) = 2x y e N(x, y) = x2 y2 , temos ∂M ∂y = −2x y2 , ∂N ∂x = −2x y2 Sim, é uma equação diferencial exata. 6. Na equação y′ = −2y x ⇒ 2ydx + xdy = 0 considere-se M(x, y) = 2y e N(x, y) = x, temos ∂M ∂y = 2, ∂N ∂x = 1 Não, é uma equação diferencial exata. Christian José Quintana Pinedo 49 7. Na equação (1 − 2x2 − 2y)dx dy = 4x3 + 4xy considere-se M(x, y) = 1 − 2x2 − 2y e N(x, y) = −(4x3 + 4xy), temos ∂M ∂y = −2, ∂N ∂x = −12x2 − 4y Não, é uma equação diferencial exata. Exercício 2.2.3. Suponha que M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0 seja uma equação homogênea. Mostre que a substituição x = uy transforma a equação em uma com variáveis separáveis. Solução. Supondo u = u(x) segue dx = udy + ydu então substituindo na equação homogênea M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0 ⇒ M(uy, y)(udy + ydu) +N(uy, y)dy = 0 ⇒ yα[M(u, 1)(udy + ydu) +N(u, 1)dy = 0 ⇒ [uM(u, 1) +N(u, 1)]dy + ydu = 0 onde α é a ordem da homogênea. Logo dy y + du uM(u, 1) +N(u, 1) = 0, é uma EDO de variáveis separáveis. Exercício 2.2.4. Suponha que M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0 seja uma equação homogênea. Mostre que a substituição x = r cos θ, y = rsenθ transforma a equação em uma com variáveis separáveis. Solução. Exercício 2.2.5. Suponha que M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0 seja uma equação homogênea. Mostre que a equação pode ser escrita dy dx = G(x, y). Solução. Exercício 2.2.6. Diga se as seguintes equações diferenciais são homogêneas. Solução. 1. y′ = x+ y x = f(x, y) ⇒ f(αx, αy) = αx+ αy αx = f(x, y) para α ∈ R, α 6= 0 Sim, é homogênea. 2. y′ = y2 x = f(x, y) ⇒ f(αx, αy) = (αy) 2 αx = αf(x, y) para α ∈ R, α 6= 0 Não, é homogênea. 50 Suplemento de Cálculo IV 3. y′ = 2xye x y x2 + y5sen(x y ) = f(x, y) ⇒ f(αx, αy) = (2αx)(αy)e αx αy (αx)2 + (αy)5sen(αx αy ) f(αx, αy) = α2(2xy)e x y α2(x2 + α3y5sen(x y )) = 2xye x y x2 + α3y5sen(x y ) 6= f(x, y) Não, é homogênea. 4. y′ = x2 + y x3 y′ = x2 + y x3 = f(x, y) ⇒ f(αx, αy) = (αx) 2 + αy (αx)3 6= f(x, y) para α ∈ R, α 6= 0 Não, é homogênea. 5. y′ = xy2 x2y + y3 Sim, é homogênea. 6. y2y′ = x2 Sim, é homogênea. Exercício 2.2.7. Determine quais das seguintes equações diferenciais são lineares: Solução. 1. y′ = (senx)y + ex, é da forma y′ − (senx)y = ex, podemos escrever a2(x)y ′+a1(x)y+a0(x) = b(x), a2(x) = 1, a1(x) = senx, a0(x) = 0, b(x) = ex Portanto, a equação diferencial sim é linear. 2. y′ = xseny + ex, é da forma y′ − xseny = ex, não podemos escrever na forma a2(x)y ′+a1(x)y+a0(x) = b(x), a2(x) = 1, a1(x) = −x, a0(x) = 0, b(x) = ex Portanto, a equação diferencial não é linear. 3. y′ = y2 + x A equação diferencial não é linear. 4. y′ = 5 A equação diferencial sim é linear. Christian José Quintana Pinedo 51 5. y′ = xy + 1 A equação diferencial sim é linear. 6. xy′ + 2y = 0 A equação diferencial sim é linear. Exercício 2.2.8. Prove que uma equação diferencial de variáveis separáveis é sempre exata. Solução. Exercício 2.2.9. Resolver exdx− ydy = 0, y(0) = 1. Solução. Integrando, ∫ exdx− ∫ ydy = C ⇒ ex − 1 2 y2 = C Das condições iniciais e0 − 1 2 (1)2 = C ⇒ C = 1 2 Portanto, y2 = 2ex − 1. Exercício 2.2.10. Determine a solução geral para as seguintes equações de variáveis separáveis. Solução. 1. (1 + y2)dx+ (1 + x2)dy = 0 ⇒ 1 1 + x2 dx+ 1 1 + y2 dy = 0 ∫ 1 1 + x2 dx+ ∫ 1 1 + y2 dy = C ⇒ arctanx+ arctan y = C Portanto, arctanx+arctan y = C é a solução geral na forma implícita da equação diferencial. 2. (1 + y2)dx+ xydy = 0 ⇒ 1 x dx+ y 1 + y2 dy = 0 ∫ 1 x dx+ ∫ y 1 + y2 dy = C ⇒ Lnx+ Ln( √ 1 + y2) = LnC1 Portanto, x √ 1 + y2 = C é a solução geral na forma implícita da equação diferen- cial. 52 Suplemento de Cálculo IV 3. (y2 + xy2)y′ + x2 − yx2 = 0 ⇒ y 2 1− ydy + x2 1 + x dy = 0 ∫ x2 1 + x dx+ ∫ y2 1− ydy = C ⇒ 1 2 x2−x+Ln(x+1)− 1 2 y2−y−Ln(y−1) = C Portanto, 1 2 (x2−y2)− (x+y)+ ln x+ 1 1− y = C é a solução geral na forma implícita da equação diferencial. 4. (1 + y2)dx = xdy 5. x √ 1 + y2 + yy′ √ 1 + x2 = 0 ⇒ x√ 1 + x2 + y√ 1 + y2 y′ = 0 ∫ x√ 1 + x2 dx+ ∫ y√ 1 + y2 dy = C ⇒ √ 1 + x2 + √ 1 + y2 = C Portanto, √ 1 + x2+ √ 1 + y2 = C é a solução geral na forma implícita da equação diferencial. 6. x √ 1− y2dx+ y√1− x2dy = 0, y(0) = 1 7. e−y(1 + y′) = 1 ⇒ (1 + dy dx ) = ey ⇒ 1 ey − 1dy = dx ⇒∫ e−y 1− e−y dy − ∫ dx = 0 ⇒ Ln(1− e−y)− x = LnC Portanto, y = −Ln(1− Cex) é a solução geral da equação diferencial. 8. yLnydx+ xdy = 0, y(1) = 1 9. y′ = ax+y, (a > 0, a 6= 1) 10. ey(1 + x2)dy − 2x(1 + ey)dx = 0 11. (1 + ex)yy′ = ey, y(0) = 0 ⇒ y(−e−ydy − dx 1 + ex = 0, logo ∫ y(−e−ydy − ∫ dx 1 + ex = C ⇒ y(−e−ydy − ∫ (−e−ydy + Ln(e−x) = C Da condição inicial −0e−0 − e−0 + Ln(e−0 + 1) = C ⇒ C = 0. Portanto, (y + 1)e−y = Ln(1 + e−x) é solução particular da equação diferencial. 12. (1 + y2)(e2xdx− ydy)− (1 + y)dy = 0 Christian José Quintana Pinedo 53 13. dy dx = (x+y+1)2. Seja z = x+y+1 ⇒ dz dx = 1+ dy dx , logo dz dx −1 = z2 ⇒ 1 z2 + 1 dz − dx = 0 ⇒ x = C + arctan z Portanto, x = C + arctan(x + y + 1) é a solução geral na forma implícita da equação diferencial. 14. dy dx = 1− x− y x+ y . Seja z = x+ y, então dz dx = 1 + dy dx , logo dy dx = 1− x− y x+ y ⇒ dz dx − 1 = 1− z z ⇒ dz dx = 1 z ⇒ ∫ zdz − ∫ dx = C ⇒ 1 2 z2 − x = C Portanto, (x+ y)2 − 2x = 2C. 15. dy dx = tan2(x+ y). Seja z = x+ y, então dz dx = 1 + dy dx , logo dy dx = tan2(x+ y) ⇒ dz dx − 1 = tan2 z ⇒ dz dx = sec2 z ⇒ ∫ cos2 zdz − ∫ dx = C ⇒ z + sen(2z)− 2x = C Portanto, y − x+ sen(2x+ 2y) = C. 16. dy dx = sen(x+ y). Seja z = x+ y, então dz dx = 1 + dy dx , logo dy dx = sen(x+ y) ⇒ dz dx − 1 = senz ⇒ 1− senz cos2 z dz − dx = 0 ⇒ ∫ sec2 zdz − ∫ (sec z tan z)dz − ∫ dx = C ⇒ tan z − sec z − x = C Portanto, tan(x+ y)− sec(x+ y)−x = C é a solução geral da equação diferencial. 17. dy dx = 2 + √ y − 2x+ 3. Seja z = y − 2x+ 3 ⇒ dz dx = dy dx − 2, logo dz dx + 2 = 2 + √ z ⇒ dz√ z − dx = 0 ⇒ 2√z − x = C Portanto, 2 √ y − 2x+ 3− x = C é solução geral da equação diferencial. 54 Suplemento de Cálculo IV 18. dy dx = 1 + ey−x+5. Seja z = y − x+ 5 ⇒ dz dx = dy dx − 1, logo dz dx + 1 = 1 + ez ⇒ dz ez − dx = 0 ⇒ −e−z − x = C1 e−z = −(x+ C1) ⇒ −z = Ln[−(x+ C1)] ⇒ y − x+ 5 = −Ln|x+ C1| Portanto, y(x) = x− 5− Ln|x+ C1| é solução geral da equação diferencial. Exercício 2.2.11. Para cada exercício, encontre uma solução para cada equação diferencial dada que passe pelos pontos indicados: Solução. 1. dy dx − y2 = −9 ⇒ dy y2 − 9 − dx = 0 ⇒ ∫ dy y2 − 9 − ∫ dx = 0 logo a solução geral é 1 6 Ln ∣∣∣∣y − 3y + 3 ∣∣∣∣− x = C (a) Quando passa por (0, 0) ⇒ 1 6 Ln ∣∣∣∣0− 30 + 3 ∣∣∣∣−0 = C ⇒ C = 0. A equação pedida é Ln ∣∣∣∣y − 3y + 3 ∣∣∣∣ = 6x (b) Quando passa por (0, 3) ⇒ 1 6 Ln ∣∣∣∣3− 33 + 3 ∣∣∣∣ − 0 = C ⇒ C = −∞, pois lim ε→0 Lnε = −∞. Não existe solução da equação que passe por (0, 3). (c) Quando passa por ( 1 3 , 1) ⇒ 1 6 Ln ∣∣∣∣1− 31 + 3 ∣∣∣∣− 13 = C ⇒ C = 13Ln12 − 13 . A equação pedida é Ln ∣∣∣∣y − 3y + 3 ∣∣∣∣− 6x = 1 2. x dy dx = y2 − y (a) (0, 1) (b) (0, 0) (c) (1 2 , 1 2 ) Exercício 2.2.12. Verifique se as seguintes equações diferenciais são exatas, e resolva as que forem. Solução. 1. (2xy+x)dx+(x2+ y)dy = 0. Temos M(x, y) = 2xy+x, N(x, y) = x2+ y, então ∂M∂y = 2x, ∂N ∂x = 2x. Sim, é exata. seja ∂F ∂x (x, y) = M(x, y) então F (x, y) = ∫ (2xy + x)dx = x2y + 1 2 x2 + u(y) Christian José Quintana Pinedo 55 Por outro lado, ∂F ∂y (x, y) = N(x, y) então ∂F ∂y (x, y) = x2 + u′(y) = x2 + y ⇒ u(y) = 1 2 y2 Portanto, a solução geral da equação é x2y + 1 2 x2 + 1 2 y2 = C. 2. (y + 2xy3)dx + (1 + 3x2y2 + x)dy = 0. Temos M(x, y) = y + 2xy3, N(x, y) = 1 + 3x2y2 + x, então ∂M ∂y = 1 + 6xy2, ∂N ∂x = 6xy2 + 1. Sim, é exata. seja ∂F ∂x (x, y) = M(x, y) então F (x, y) = ∫ (y + 2xy3)dx = xy + x2y3 + u(y) Por outro lado, ∂F ∂y (x, y) = N(x, y) então ∂F ∂y (x, y) = x+ 3x2y2 + u′(y) = 1 + 3x2y2 + x ⇒ u(y) = y Portanto, a solução geral da equação é xy + x2y3 + y = C. 3. yexydx + xexydy = 0. Temos M(x, y) = yexy, N(x, y) = xexy, então ∂M ∂y = exy(1 + xy), ∂N ∂x = exy(1 + yx). Sim, é exata. seja ∂F ∂x (x, y) = M(x, y) então F (x, y) = ∫ yexydx = exy + u(y) Por outro lado, ∂F ∂y (x, y) = N(x, y) então ∂F ∂y (x, y) = xexy + u′(y) = xexy ⇒ u(y) = C1 Portanto, a solução geral da equação é exy = C. 4. xexydx+ yexydy = 0 5. 3x2y2dx+ (2x3y + 4y3)dy = 0 56 Suplemento de Cálculo IV 6. ydx+ xdy = 0 7. (x− y)dx+ (x+ y)dy = 0 8. (ysenx + xy cos x)dx + (xsenx + 1)dy = 0. Temos M(x, y) = ysenx + xy cos x, N(x, y) = xsenx+ 1, então ∂M ∂y = senx+ x cos x, ∂N ∂x = senx+ x cosx. Sim, é exata. seja ∂F ∂x (x, y) = M(x, y) então F (x, y) = ∫ (ysenx+ xy cosx)dx = yxsenx+ u(y) Por outro lado, ∂F ∂y (x, y) = N(x, y) então ∂F ∂y (x, y) = xsenx+ u′(y) = xsenx+ 1 ⇒ u(y) = y Portanto, a solução geral da equação é yxsenx+ y = C. 9. x(2x2+y2)+y(x2+2y2)y′ = 0. Temos M(x, y) = x(2x2+y2), N(x, y) = y(x2+2y2), então ∂M ∂y = 2xy, ∂N ∂x = 2yx. Sim, é exata. seja ∂F ∂x (x, y) = M(x, y) então F (x, y) = ∫ (2x3 + xy2)dx = 1 2 x4 + 1 2 x2y2 + u(y) Por outro lado, ∂F ∂y (x, y) = N(x, y) então ∂F ∂y (x, y) = x2y + u′(y) = yx2 + 2y3 ⇒ u(y) = 1 2 y4 Portanto, a solução geral da equação é x4 + x2y2 + y4 = C. 10. (3x2 + 6xy2)dx + (6x2y + 4y3)dy = 0. Temos M(x, y) = 3x2 + 6xy2, N(x, y) = 6x2y + 4y3, então ∂M ∂y = 12xy, ∂N ∂x = 12xy. Sim, é exata. seja ∂F ∂x (x, y) = M(x, y) então F (x, y) = ∫ (3x2 + 6xy2)dx = x3 + 3x2y2 + u(y) Christian José Quintana Pinedo 57 Por outro lado, ∂F ∂y (x, y) = N(x, y) então ∂F ∂y (x, y) = 6x2y + u′(y) = 6x2y + 4y3 ⇒ u(y) = y4 Portanto, a solução geral da equação é x3 + 3x2y2 + y4 = C. Exercício 2.2.13. Para cada uma das equações, determine o valor da constante k para que a equação seja exata. Solução. 1. (y3 + kxy4 − 2x)dx+ (3xy2 + 20x2y2)dy = 0 Temos M(x, y) = y3 + kxy4 − 2x, N(x, y) = 3xy2 + 20x2y3, então ∂M ∂y = 3y2 + 4kxy3, ∂N ∂x = 3y2 + 40xy3 ⇒ 3y2 + 4kxy3 = 3y2 + 40xy3 Para ser exata k = 10. 2. (2xy2 + yex)dx+ (2x2y + kex − 1)dy = 0 Temos M(x, y) = 2xy2 + yex, N(x, y) = 2x2y + kex − 1, então ∂M ∂y = 4xy + ex, ∂N ∂x = 4xy + kex ⇒ 4xy + ex = 4xy + kex Para ser exata k = 1. 3. (2x− ysenxy + ky4)dx− (20xy3 + xsenxy)dy = 0 Temos M(x, y) = 2x− ysenxy + ky4, N(x, y) = −(20xy3 + xsenxy), então ∂M ∂y = −senxy − yx cos xy + 4ky3, ∂N ∂x = −20y3 − senxy − xy cos xy ⇒ −senxy − yx cosxy + 4ky3 = −20y3 − senxy − xy cosxy ⇒ Para ser exata k = 5. 4. (6xy3 + cos y)dx+ (kx2y2 − xseny)dy = 0 58 Suplemento de Cálculo IV Exercício 2.2.14. Determine a solução geral para as seguintes equações homogêneas. Solução. 1. 4x− 3y + y′(2y − 3x) = 0. Seja y = ux ⇒ dy dx = u+ x du dx . 4x− 3y + y′(2y − 3x) = 0 ⇒ 4− 3y x + ( dy dx = u+ x du dx )(2 y x − 3) = 0 ⇒ 2u2dx− 6u+ 4 + x(2u− 3)du = 0 ⇒ ∫ dx x + ∫ 2u− 3 2u2 − 6u+ 4du = 0 Lnu+ 1 2 Ln(2u2 − 6u+ 4) = LnC1 ⇒ 1 2 Ln(2y2 − 6xy + 4x2) = LnC1 Portanto, 2y2 − 6xy + 4y2 = C é a solução geral 2. xy′ = y + √ y2 − x2 3. 2xy′(x2 + y2) = y(y2 + 2x2) 4. 4x2 + xy − 3y2 + y′(y2 − 5x2 + 2xy) = 0 5. y′ = 2xy 3x2 − y2 6. 4x2 − xy + y2 + y′(x2 − xy + 4y2) = 0 7. xy′ = √ y2 − x2 8. (y2 − 3x2)dy = −xydx 9. y3dx+ 2(x3 − xy2)dy = 0 10. (y − xy′)2 = x2 + y2 11. 3x+ y − 2 + y′(x− 1) = 0 12. 2x+ 2y − 1 + y′(3x− 7y − 3) = 0 Exercício 2.2.15. Para os seguintes exercícios, determine a solução das equações que satisfazem as con- dições dadas. Solução. Christian José Quintana Pinedo 59 1. y′ − 2xy = cos x− 2xsenx, onde y é função limitada quando x→∞. Temos y′ − 2xy = cos x− 2xsenx ⇒ e ∫ −2xdx(y′ − 2xy) = e∫ −2xdx(cosx− 2xsenx) logo e−x 2 y = ∫ e−x 2 cos xdx− 2 ∫ e−x 2 xsenxdx+ C = = ∫ e−x 2 cos xdx+ e−x 2 senx− ∫ e−x 2 cosxdx+ C Pelas condições do problema, quando x →∞, temos |y| ≤ M de onde C = 0, logo y = senx. 2. 2 √ xy′ − y = −sen√x− cos√x , onde y é limitada quando x→ +∞. 3. y′ − yLn2 = 2senx(cosx− 1)Ln2, onde y é limitada quando x→ +∞. 4. 2x2y′ − xy = 2x cosx− 3senx, onde y → 0 quando x→ +∞. 5. y′senx− y cos x = −sen 2x x2 , onde y → 0 quando x→∞. 6. (1+x2)Ln(1+x2)y′−2xy = Ln(1+x2)−2x arctanx, onde y → −pi 2 quando x→ −∞. O fator de integrante é e− ∫ 2x (1+x2)Ln(1+x2) dx = e−Ln(Ln(1+x 2)) = 1 Ln(1 + x2) , logo d dx [y · 1 Ln(1 + x2) ] = 1 (1 + x2)Ln(1 + x2) − 2x arctanx (1 + x2)Ln2(1 + x2) ⇒ y · 1 Ln(1 + x2) = ∫ 1 (1 + x2)Ln(1 + x2) dx− ∫ 2x arctanx (1 + x2)Ln2(1 + x2) dx ⇒ y · 1 Ln(1 + x2) = Ln(Ln(1 + x2))− [− arctanx Ln(x2 + 1) + ∫ 1 (1 + x2)Ln(1 + x2) dx ] ⇒ y · 1 Ln(1 + x2) = − arctanx Ln(x2 + 1) + C ⇒ y = CLn(x2 + 1) + arctanx Para y → −pi 2 quando x→ −∞ então C = 0. Portanto, y = arctan x é solução particular da equação. 60 Suplemento de Cálculo IV 7. y′ − exy = 1 x2 sen 1 x − ex cos 1 x , onde y → 2 quando x→ −∞. Temos y′ − 1 x2 sen 1 x = exy − ex cos 1 x ⇒ d dx [y − cos 1 x ] = ex[y − cos 1 x ] ⇒ ∫ 1 [y − cos 1 x ] d[y − cos 1 x ] = ∫ exdx+ C1 ⇒ Ln[y − cos 1 x ] = ex + C1 ⇒ y − cos 1 x = Cee x ⇒ y(x) = − cos 1 x + Cee x Quando x→ −∞ temos que eex → e0 = 1 e cos 1 x → 0 ⇒ C = 2. Portanto a solução da equação é y(x) = − cos 1 x + 2ee x . 8. y′ − yLnx = −(1 + 2Lnx)x−x, onde y → 0 quando x→ +∞. O fator de integrante é e− ∫ Lnxdx = e−x(Lnx−1) = exx−x, logo d dx [exx−xy] = −exx−x · (1 + 2Lnx)x−x ⇒ exx−xy = ∫ exx−2x(1 + 2Lnx)dx+C exx−xy = −exx−2x + C ⇒ y = −x−x + Ce−xxx Para y → 0 quando x→ 0 então C = 0. Portanto, y = x−x é solução particular da equação. Exercício 2.2.16. Um tubo em forma de U está cheio (Figura (2.1)) com um líquido homogêneo, que é levemente comprimido em um dos lados do pistão. O pistão é removido e o nível do líquido em cada ramo oscila. Determine a altura do nível do líquido em um dos ramos em função do tempo. Solução. Figura 2.1: Consideremos o fluido ideal. São características do fluido ideal, quando: 1. O escoamento é uniforme: A velocidade do fluido em qualquer ponto não muda com o tempo, em magnitude, em direção e em sentido. 2. O escoamento é incompressível: A densidade do fluido é constante. 3. O escoamento é não-viscoso: Então um objeto se movendo através do fluido não experimenta nenhuma força resistiva devido à viscosidade. Christian José Quintana Pinedo 61 4. O escoamento é irrotacional: Então um corpo imerso no fluido não gira em torno do eixo que passa pelo seu centro de massa. Quando o nível em um dos ramos do tubo em U desce de uma quantidade y, a diferença de pressão do líquido entre os dois ramos é 4p = 2ρgy onde ρ e a densidade do líquido e g e a aceleração da gravidade. Dessa forma, a força restauradora pode ser escritacomo F = −A4p = 2ρAgy onde A é a área da seção transversal do tubo. Temos então que m d2y dt2 = −2ρAgy ⇒ d 2y dt2 + 2ρAg m y = 0 mas, 2ρAg m = 2ρAg ρV = 2ρAg ρA` = 2g ` dai d2y dt2 + 2g ` y = 0 onde ` e o comprimento total da coluna líquida e m = ρV e a massa total de líquido. A equação característica é r2 + 2g ` = 0 de onde r = ± √ 2g ` i, logo y(t) = C1e iωt + C2e −iωt onde ω = √ 2g ` Ainda podemos escrever y(t) = A cosφ cosωt− Asenφsenωt = A cos(ωt+ φ) onde C1 + C2 + A cosφ e C1 − C2 = −Asenφ Portanto, y(t) = A cos( √ 2g ` t+ φ) 62 Suplemento de Cálculo IV 2.3 Solução de equações de primeira ordem Exercícios 2-3 Exercício 2.3.1. Determine a função M(x, y) para que a equação M(x, y) + ( xexy + 2xy + 1 x ) dy = 0 seja exata. Solução. Seja N(x, y) = xexy + 2xy + 1 x , então ∂N ∂x = exy + xexy + 2y − 1 x2 , logo ∂M ∂y = exy + xexy + 2y − 1 x2 ⇒ M(x, y) = 1 2 [(1 + x)ex + 2]y2 − y x2 Portanto, M(x, y) = 1 2 [(1 + x)ex + 2]y2 − y x2 = u(x) onde u(x) é função só de x. Exercício 2.3.2. Determine a função N(x, y) para que a equação(√ y √ x−1 + x x2 + y ) dx+N(x, y)dy = 0 seja exata. Solução. Seja M(x, y) = √y√x−1 + x x2 + y , então ∂M ∂y = 1 2 √ xy − x (x2 + y)2 , logo ∂N ∂x = 1 2 √ xy − x (x2 + y)2 ⇒ N(x, y) = √ x√ y + 1 2(x2 + y) + h(y) Portanto, N(x, y) = √ x y + 1 2 (x2 + y)−1 + h(y) onde h(y) é função só de y. Exercício 2.3.3. Mostre, se My −Nx yN − xM = R(xy) então e t∫ R(s)ds é um fator integrante , onde t = xy. Solução. Seja a equação linear de primeira ordem M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 e I(x, y) um fator integrante, pela Propriedade 2.4, temos I(x, y) [ ∂M ∂y − ∂N ∂x ] = N(x, y) ∂I ∂x −M(x, y)∂I ∂y ⇒ Christian José Quintana Pinedo 63 I(x, y) · [My −Nx] = N(x, y)∂I ∂x −M(x, y)∂I ∂y ⇒ isto é dividindo por yN − xM e usando a hipótese I(x, y) ·R(xy) = [ N(x, y) yN − xM ] · ∂I ∂x − [ M(x, y) yN − xM ] · ∂I ∂y então ⇓ ⇓ ⇓ Exercício 2.3.4. Quais são as condições para que Mdx+Ndy = 0 tenha um fator integrante da forma I(x+ y)? Solução. Exercício 2.3.5. Mostre, se Mdx + Ndy = 0 é homogênea então I(x, y) = 1 xM + yN é um fator integrante. Solução. Exercício 2.3.6. Para cada um dos seguintes exercícios, determine um fator integrante apropriado para cada equação, e resolva-a. Solução. 1. (y + 1)dx− xdy = 0. Primeira solução : Podemos escrever (y + 1)− xdy dx = 0 ⇒ y′ − 1 x y = 1 x ⇒ e− ∫ 1 x dx = 1 x Portanto o fator integrante é I(x) = 1 x . A solução da equação é: 1 x [ y′ − 1 x y = 1 x ] ⇒ d dx [ y · 1 x ] = 1 x2 ⇒ y · 1 x = ∫ 1 x2 dx 64 Suplemento de Cálculo IV ⇒ y · 1 x = −1 x + C ⇒ y = Cx− 1 A solução geral é y = Cx− 1. Segunda solução : Sejam M(x, y) = y + 1, N(x, y) = −x. Como ∂M ∂y = 1 6= ∂N ∂x = −1. Pela Observação 2.11 temos 1 N ( ∂M ∂y − ∂N ∂x ) = 2 −x = g(x) um fator integrante é I(x, y) = e− ∫ g(x)dx = 1 x2 . Multiplicando a equação (y + 1)dx− xdy = 0 pelo fator integrante 1 x2 resulta 1 x2 [(y + 1)dx− xdy = 0] ⇒ M˜ = 1 x2 (y + 1) e N˜ = −1 x ⇒ dF dx = M˜ ⇒ F (x, y) = ∫ 1 x2 (y + 1)dx+ g(y) = −1 x (y + 1) + g(y) ⇒ dF dy = −1 x + g′(y) = N˜ = −1 x ⇒ g(y) = C2 Como F (x, y) = −1 x (y + 1) + C2 = C1 ⇒ y = Cx− 1 A solução geral é y = Cx− 1. 2. ydx+ (1− x)dy = 0 3. (x2 + y + y2)dx− xdy = 0 Sejam M(x, y) = x2 + y + y2, N(x, y) = −x. Como ∂M ∂y = 1 + 2y, ∂N ∂x = −1, então ∂M ∂y − ∂N ∂x = 2(1 + y) Seja I = I(x, y) um fator integrante, pela Propriedade 2.4 temos ⇓ ⇓ ⇓ 4. (y + x2y3)dx+ xdy = 0 5. (y + x4y2)dx+ xdy = 0 Sejam M(x, y) = y + x4y2, N(x, y) = x. Como ∂M ∂y = 1 + 2x4y, ∂N ∂x = 1, então ∂M ∂y − ∂N ∂x = 2x4y Christian José Quintana Pinedo 65 Seja I = I(x, y) um fator integrante, como M = y · (1 + x4y) e N = x · g(x, y), pela Propriedade 2.4− (3) temos que I(x, y) = 1 x(y + x4y2)− y(x) = 1 x5y2 é o fator integrante procurado, logo 1 x5y2 [ (y + x4y2)dx+ xdy = 0 ] ⇒ ( 1 x5y + 1 x )dx+ 1 x4y2 dy = 0 6. (3x2y − x2)dx+ dy = 0 7. dx− 2xydy = 0 Sejam M(x, y) = 1, N(x, y) = −2xy. Como ∂M ∂y = 0, ∂N ∂x = −2y, então ∂M ∂y − ∂N ∂x = 2y Seja I = I(x, y) um fator integrante, pela Propriedade 2.4 temos 1 N (∂M ∂y − ∂N ∂x ) ≡ g(x) = −1 x ⇒ I = e− ∫ 1 x dx = 1 x logo 1 x dx− 2ydy = 0 é exata A solução geral é y2 = Lnx = C. 8. 2xydx+ y2dy = 0 9. ydx− 3ydy = 0 10. ( 2xy2 + x y2 ) dx+ 4x2ydy = 0 11. xy2dx+ (x2y2 + x2y)dy = 0 12. xy2dx+ x2ydy = 0 Exercício 2.3.7. Para cada um dos seguintes exercícios, achar o fator integrante e resolver pelo método da exatas. Solução. 1. (cos 2y − senx)dx− 2 tanxsen2ydy = 0 Sejam M(x, y) = cos 2y − senx, N(x, y) = −2 tan xsen2y. Como ∂M ∂y = −2sen2y, ∂N ∂x = −2 sec2 xsen2y, então ∂M ∂y − ∂N ∂x = −2sen2y + −2 sec2 xsen2y = 2 tan2 xsen(2y), por outro lado, 1 N [ ∂M ∂y − ∂N ∂x ] = 2 tan2 xsen(2y) −2 tan xsen(2y) = − tanx 66 Suplemento de Cálculo IV Pela Observação2.11, temos que o fator integrante é I(x, y) = e ∫ − tanxdx = eLn cosx = cos x. Multiplicando pelo fator integrante a equação original temos cos x[(cos 2y − senx)dx− 2 tan xsen2ydy] = 0 (2.1) Sejam M˜(x, y) = cosx(cos 2y − senx), N˜(x, y) = −2 cos x tanxsen2y. Resolvendo pelo método da exatas (2.1). ∂F ∂y = N˜(x, y) ⇒ F (x, y) = ∫ −2 cos x tanxsen2ydy + u(x) ⇒ F (x, y) = cos(2y)senx+ u(x) Logo, ∂F ∂x = cos(2y) cos x+ u′(x) de onde ∂F ∂x = cos(2y) cos x+ u′(x) = cos x(cos 2y − senx) = M˜ ⇒ u′(y) = − cos xsenx = 1 2 cos2 x ⇒ F (x, y) = cos(2y)senx+ 1 2 cos2 x = C Portanto, a solução da equação é senx cos(2y) + 1 2 cos2 x = C. 2. (3xy3 + 4y)dx+ (3x2y2 + 2x)dy = 0 Resposta: x3y3 + 2x2y + C 3. 2xyLnydx+ (x2 + y2 √ y2 + 1)dy = 0 Sejam M(x, y) = 2xyLny, N(x, y) = x2 + y2 √ y2 + 1 então ∂M ∂y = 2x(Lny + 1), ∂N ∂x = 2x ⇒ ∂M ∂y − ∂N ∂x = 2xLny ∂M ∂y − ∂N ∂x −M = 2xLny −2xyLny = − 1 y ⇒ I(x, y) = e− ∫ 1 y = 1 y Multiplicando a equação original pelo fator integrante I(x, y) = e− ∫ 1 y = 1 y , temos que resolver a equação 2xLnydx+ ( x2 y + y √ y2 + 1 ) dy = 0 Christian José Quintana Pinedo 67 esta última equação é exata F (x, y) = ∫ 2xLnydx+ v(y) = x2Lny + v(y) ⇒ ∂F ∂y = x2 y + v′(y) assim ∂F ∂y = x2 y + v′(y) = x2 y + y √ y2 + 1 ⇒ v(y) = 1 3 √ (y2 + 1)3 Portanto, a solução da equação é: x2Lny + 1 3 √ (y2 + 1)3 = C. 4. [ x√ x2 + y2 + 1 x + 1 y ] dx+ ( 1√ x2 + y2 + 1 y − x y2 ) dy = 0 5. (3x2 tan y − 2y 3 x3 )dx+ (x3 sec2 y + 4y3 + 3y2 x2 )dy = 0 6. [ 2x+ x2 + y2 x2y ] dx = x2 + y2 xy2 dy 7. [ sen2x y + x ] dx+ (y − sen 2x y2 )dt = 0 8. (3x2 − 2x− y)dx+ (2y − x+ 3y2)dy = 0 9. [ xy√ 1 + x2 + 2xy − y x ] dx+ ( √ 1 + x2 + x2 − Lnx)dy = 0 Exercício 2.3.8. Achar a solução particular da equação dy dx = − 3x 2y + y2 2x3 + 3xy que passa pelo ponto y(1) = −2. Solução. Este é um PVI Resposta: x3y2 + y3x = 4 Exercício 2.3.9. Mostre que a solução geral da equação (xnyn+1 + ay)dx+ (xn+1yn + bx)dy = 0 é da forma { xnyn = nLn(Cx−ay−b), se n 6= 0 xy = C1x −ay−b, se n = 0 68 Suplemento de Cálculo IV
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