Amaury Funcoes de Transferencia Conversores MCC

Prévia do material em texto

i 
 
FUNÇÕES DE TRANSFERÊNCIA DE CONVERSORES ESTÁTICOS PARA 
MODO DE CONDUÇÃO CONTÍNUA 
Francisco Amaury Rios Filho 
Universidade Federal do Ceará 
 
 Resumo – O objetivo deste trabalho é realizar a 
modelagem dos conversores não isolados Buck, Boost e 
Buck-Boost. Para tanto será utilizada a técnica de 
modelagem que utiliza o modelo da chave PWM para 
obter uma equação matemática que seja capaz de 
descrever o comportamento físico dos mesmos. Uma 
simulação destes conversores e a obtenção dos diagramas 
de Bode a partir da mesma serão realizadas de forma a 
validar os modelos. 
 
 Palavras-Chave – Função de Transferência. 
Modelagem de conversores. Modo de condução contínua. 
Diagrama de Bode. 
I. INTRODUÇÃO 
 Existem diversas técnicas de modelagem de conversores. 
Com elas é possível obter uma equação matemática que 
representa o comportamento físico de um conversor. As 
principais técnicas de modelagem utilizam os seguintes 
modelos: 
 Modelo AC básico aproximado (the basic ac 
modeling approach); 
 Modelo médio de espaços de estado (state-space 
averaging model); 
 Modelo do circuito canônico (canonical circuit 
model); 
 Modelo da chave média (averaged switch 
model); 
 Modelo da chave PWM. 
O presente trabalho realiza a modelagem aplicando o 
modelo da chave PWM aos conversores. A partir desta 
técnica de modelagem, este trabalho objetiva determinar o 
ganho estático e algumas funções de transferência (FT) dos 
conversores não isolados Buck, Boost e Buck-Boost. Para 
tanto serão utilizados os modelos CC e os modelos CA de 
pequenos sinais da chave PWM. De forma a validar os 
resultados da modelagem, uma simulação dos conversores é 
realizada em um software de simulação de circuitos 
eletrônicos. Uma comparação entre os diagramas de Bode, 
resultantes da modelagem e das simulações, será realizada, 
sendo então o principal parâmetro de validação dos modelos. 
 
 
 
Fig. 1. Conversores Buck (a), Boost (b) e Buck-Boost (c) com 
suas chaves PWM 
II. MODELO DA CHAVE PWM 
As chaves ativas e passivas, ou controladas e não 
controladas, respectivamente, de um conversor podem ser 
agrupadas em um bloco, como representado na figura 1 
através de um retângulo tracejado. Este bloco, que pode 
também ser definido nos demais conversores básicos que não 
estão representados na figura 1, representa a não linearidade 
dos conversores. Esse agrupamento pode ser enxergado 
como um dispositivo de três terminais, ativo, passivo e 
comum, conforme ilustrado na figura 2, representando a 
Chave PWM. 
 
 
Fig. 2. Chave PWM 
 
O terminal ativo está sempre relacionado a uma chave 
controlada. Já o terminal passivo está relacionado a uma 
chave não controlada, enquanto que o terminal comum está 
junto a uma fonte de corrente. 
Os conversores são obtidos através de uma simples 
permutação da chave PWM e a alocação adequada dos 
elementos externos com relação às portas de tensão e 
corrente. 
ii 
 
Nos conversores básicos as tensões (vap(t) e vcp(t)) e 
correntes (ia(t) e ic(t)) instantâneas nos terminais da chave 
PWM não variam, sendo elas ilustradas na figura 3. 
 
Fig.3 Tensões e correntes nos terminais da chave PWM 
 
A partir da análise das curvas da figura 3, baseada nos 
valores médios das mesmas resultam as seguintes equações. 
 
a cI D I 
 
 'cp ap e cV V r I D D   
 
( )1
 
( )2
 
A. Modelo CC da Chave PWM 
Utilizado para encontrar o ganho estático dos conversores, 
o modelo CC da chave PWM é um modelo de regime 
permanente obtido a partir das equações 1 e 2, sendo 
ilustrado na figura 4. O ganho estático é a relação entre as 
tensões de saída e de entrada do conversor. 
 
Fig.4 Modelo CC da Chave PWM 
B. Modelo CA da Chave PWM 
Também chamado de modelo de pequenos sinais da chave 
PWM, este modelo é obtido a partir de perturbações nas 
variáveis tensões, correntes e razão cíclica das equações 1 e 
2. Perturbando-se todas as variáveis destas equações e 
realizando manipulações matemáticas obtêm-se as seguintes 
equações. 
      aa a c c cI i D d I i i D i I d          
 (3) 
          cp cp àp ap c c eV v D d V v I i r D d          1
 
'cp ap ce Dv D v r D D i V d       
  
 
(4) 
Em que, 
 'D e c apV r I D D V     
 
O acento circunflexo representa o diferencial da variável 
nas equações 3 e 4. A figura 5 ilustra o modelo CA da Chave 
PWM. 
 
Fig. 5 Modelo CA da Chave PWM 
III. ESPECIFICAÇÕES DOS CONVERSORES 
As especificações dos conversores estão apresentadas na 
tabela I. Os demais componentes foram dimensionados a 
partir destas especificações. 
 
. TABELA I 
Especificações dos conversores 
 Buck Boost Buck-Boost 
Potência de saída (Po) 500W 500W 200W 
Tensão de entrada (Vi) 200W 60V 24V 
Tensão de saída (Vo) 60V 200V 60V 
Frequência (fs) 30kHz 30kHz 30kHz 
Corrente mínima de saída (Iomin) 0,5A 0,5A 1A 
Ondulação da tensão de saída (ΔVo) 1V 1V 0,5V 
Depois de projetar os componentes passivos de cada 
conversor, foram realizados os cálculos das funções de 
transferência desejadas. 
Simultaneamente os conversores foram simulados no 
software de circuitos eletrônicos PSIM. Através deste 
software foi possível obter os diagramas de Bode das funções 
de transferências calculadas na modelagem. Os dados desses 
diagramas foram convertidos em um arquivo de texto (.txt) 
para posteriormente serem importados pelo software 
Mathcad. 
Uma vez realizados os cálculos e as simulações, os 
diagramas de Bode de ambos foram inseridos no software 
Mathcad, possibilitando assim a comparação mostrada na 
seção seguinte. 
IV. RESULTADOS 
A seguir serão apresentadas as modelagens dos 
conversores e as comparações entre os diagramas de Bode 
obtidos a partir da modelagem e os diagramas obtidos a partir 
da simulação dos conversores em no software PSIM. As 
figuras a seguir apresentam os resultados para a função de 
transferência do conversor Buck. Nas mesmas, as linhas 
cheias representam os resultados do modelo, enquanto que as 
linhas pontilhadas representam os resultados do software de 
simulação. 
A. Conversor Buck 
O ganho estático obtido a partir do modelo CC da Chave 
PWM foi obtido a partir do circuito equivalente apresentado 
na figura 6. 
iii 
 
 
Fig. 6 Circuito equivalente para ganho estático 
 
0
v
i
V
G
V

 
A modelagem CA da Chave resultou nas seguintes 
funções de transferência.
 
1) Primeira FT: 
0
ˆ 0
ˆ
iˆ d
v
v


 
O circuito equivalente está ilustrado na figura abaixo. 
 
Fig. 7 Circuito equivalente para 1ª FT 
 
A tensão no secundário, desconsiderando RE, será: 
ˆ
S iV v D  
Definindo as impedâncias: 
1Z sL 
 
 2 2
11
\ \
1
e
e
e
R sR C
Z R R Z
sC sC R R
 
    
   
A tensão de saída será: 
2
0
1 2
ˆ
iˆ
Z
v v D
Z Z
 
 
Assim a FT será: 
 
   
0
2
1ˆ
( )
ˆ
e
i e e
R sR Cv
G s D
v s LC R R s R RC L R

 
    
A figura a seguir apresenta o diagrama de Bode. 
 
 
Fig. 8 Diagrama de Bode para a 1ª FT 
2) Segunda FT 
0ˆ 0
ˆ
ˆ
i
v
v
d

 
O circuito equivalente está ilustrado na figura abaixo.
 
 
Fig. 9 Circuito equivalente para 2ª FT 
 
A tensão de entrada é modelada através de um capacitor 
em série com uma resistência. Assim definindo a impedância 
1
i i
i
Z R
sC
 
 
A tensão de entrada será 
 ˆˆ
i a i
v i Z 
 
A tensão do secundário será 
10 100 1 10
3
 1 104

80
60
40
20
0
20 log GVoVi s( ) 
BodeVoVi
1 
s
2 
BodeVoVi
0 

10 100 1 10
3
 1 10
4

150
112.5
75
37.5
0
arg GVoVi s( ) 
180


BodeVoVi
2 
s
2 
BodeVoVi
0 
 
iv 
 
ˆ ˆD
S i
V
V d v D
D
 
   
 
 
Já a corrente îc é dada por 
ˆ ˆ
ˆ
D
i
c
V
d v D
D
i
sL
 
  
 

 
A corrente îa é dada por 
2ˆˆ
ˆˆ 
D
i
a C
V
v d D
D
i I d
sL
 
  
 
  
 
Substituindo a corrente e a impedância na equação da tensão 
de entrada 
2ˆˆ
1ˆˆ
i
D
i
C i
i
V
v d D
D
v I d R
sL sC
  
            
  
 
 
 
Assim a função de transferência será: 
 2
2 2 2
ˆ
( )
ˆ
i i i C C i i i i
i i i
v s LR C I s LI R CV D V D
G s
s LC sR C D Dd
   
      
 
 
A figura a seguir apresenta o diagrama de Bode 
 
 
 
Fig. 10 Diagrama de Bode para a 2ª FT 
3) Terceira FT 
0
ˆ 0
ˆ
ˆ
iv
v
d 

 
O circuito equivalente está ilustrado na figura abaixo. 
 
Fig. 11 Circuito equivalente para 3ª FT 
 
Definindo as impedâncias 
1Z sL 
 
 2 2
11
\ \ 
1
e
e
e
R sR C
Z R R Z
sC sC R R
 
    
   
A tensão no secundário será 
ˆ
S DV V d  
A tensão de saída é obtida com um divisor de tensão 
2
0
1 2
ˆˆ
D
Z
v V d
Z Z
 
 
Assim a função de transferência será 
 
   
0
2
ˆ 1
( )
ˆ
i e
e e
v V R sR C
G s
s LC R R s RR C L Rd

 
    
 
A figura a seguir apresenta o diagrama de Bode 
 
10 100 1 10
3
 1 10
4

20
5
30
55
80
20 log GVid s( ) 
BodeVid
1 
s
2 
BodeVid
0 

10 100 1 10
3
 1 10
4

0
50
100
150
200
arg GVid s( ) 
180


BodeVid
2 
s
2 
BodeVid
0 
 
v 
 
 
 
Fig. 12 Diagrama de Bode para a 3ª FT 
 
 
4) Quarta FT 
 
ˆ 0
ˆ
ˆ
i
L
v
i
d


 
O circuito equivalente está ilustrado na figura abaixo. 
 
Fig. 13 Circuito equivalente para 3ª FT 
 
A tensão do secundário será: 
ˆ
S DV V d  
Definindo as impedâncias 
1Z sL 
 
 2 2
11
\ \ 
1
e
e
e
R sR C
Z R R Z
sC sC R R
 
    
   
Assim 
 
 
 1 2
1ˆ ˆ ˆ
1
e
D L L
e
R sR C
V d Z Z i sL i
sC R R
 
         
Logo a função de transferência será 
 
 2
ˆ 1
( )
ˆ ( )
eL
i
e e
sC R Ri
G s V
s LC R R s R RC L Rd
 
  
    
A figura apresenta o diagrama de Bode 
 
 
 
Fig. 14 Diagrama de Bode para a 4ª FT 
 
5) Quinta FT 
0ˆ ˆ 0
ˆ
ˆ
i
L
v v
i
d
 

 
O circuito equivalente está ilustrado na figura abaixo. 
 
Fig. 15 Circuito equivalente para 3ª FT 
 
A tensão no secundário será 
ˆ
S DV V d  
Assim 
10 100 1 10
3
 1 10
4

10
0
10
20
30
40
50
60
20 log GVod s( ) 
BodeVod
1 
s
2 
BodeVod
0 

10 100 1 10
3
 1 10
4

150
125
100
75
50
25
0
arg GVod s( ) 
180


BodeVod
2 
s
2 
BodeVod
0 

10 100 1 10
3
 1 10
4

0
10
20
30
40
50
20 log GIld_vi0s( ) 
BodeIld_vi0
1 
s
2 
BodeIld_vi0
0 

10 100 1 10
3
 1 10
4

100
75
50
25
0
25
50
arg GIld_vi0s( ) 
180


BodeIld_vi0
2 
s
2 
BodeIld_vi0
0 
 
vi 
 
ˆ ˆ
D LV d sL i   
Logo a função de transferência será 
ˆ
( )
ˆ
iL
Vi
G s
sLd
 
 
A figura apresenta o diagrama de Bode 
 
 
 
Fig. 16 Diagrama de Bode para a 5ª FT 
 
6) Sexta FT 
O 
0
ˆˆ 0
ˆ
ˆ
i
L v d
v
i
 

 
O circuito equivalente está ilustrado na figura abaixo. 
 
Fig. 17 Circuito equivalente para 6ª FT 
 
Como vi=0, a tensão de secundário será: 
0
1 0
S
S
VD
V  
 
Já a tensão de saída é dada por: 
 
 0
1
ˆˆ
1
e
L
e
R R Cs
v i
Cs R R
 
 
 
 
Logo a função de transferência será 
 
 
0
1ˆ
( )
ˆ 1
e
eL
R R Csv
G s
Cs R Ri
 
 
 
 
 
A figura apresenta o diagrama de Bode 
 
 
Fig. 18 Diagrama de Bode para a 6ª FT 
 
 
7) Sétima FT 
ˆˆ 0
ˆ
ˆ
o
i
L v d
v
i
  
O circuito equivalente está ilustrado na figura abaixo. 
 
Fig. 19 Circuito equivalente para 7ª FT 
 
A função de transferência será: 
10 100 1 10
3
 1 10
4

0
20
40
60
80
20 log GIld_vi0_vo0s( ) 
BodeIld_vi0_vo0
1 
s
2 
BodeIld_vi0_vo0
0 

10 100 1 10
3
 1 10
4

100
80
60
40
20
0
arg GIld_vi0_vo0s( ) 
180


BodeIld_vi0_vo0
2 
s
2 
BodeIld_vi0_vo0
0 

10 100 1 10
3
 1 10
4

20
10
0
10
20
20 log GVoIl s( ) 
BodeVoIl
1 
s
2 
BodeVoIl
0 

10 100 1 10
3
 1 10
4

60
45
30
15
0
arg GVoIl s( ) 
180


BodeVoIl
2 
s
2 
BodeIld_vi0
0 

vii 
 
 
   2
( )
e
e e
D CD R R s
G s
s LC R R s RR C L R
 

   
 
A figura 20 apresenta a seguir o diagrama de Bode. 
 
 
 
Fig. 20 Diagrama de Bode para a 7ª FT 
 
 
8) Oitava FT 
ˆ 0
ˆ
ˆ
i
in
a d
v
Z
i

 
 
O circuito equivalente está ilustrado na figura abaixo. 
 
Fig. 21 Circuito equivalente para 8ª FT 
 
A tensão do secundário será: 
ˆ
S iV D v  
A corrente do secundário será: 
ˆ
a
S
i
I
D
 
Pode-se obter a seguinte relação: 
 
 
ˆ1
ˆ
1
e a
i
e
R R Cs i
v D sL
Cs R R D
  
        
Logo a função de transferência será: 
 
  2
1ˆ 1
( )
ˆ 1
ei
ea
R R Csv
G s sL
Cs R R Di
  
       
 
 
 
A figura 22 apresenta a seguir o diagrama de Bode 
 
 
 
Fig. 22 Diagrama de Bode para a 8ª FT 
 
9) Nona FT 
ˆˆ 0i
o v d
Z
 

 
O circuito equivalente está ilustrado na figura abaixo. 
 
Fig. 11 Circuito equivalente para 9ª FT 
 
Definindo as impedâncias: 
10 100 1 10
3
 1 10
4

60
40
20
0
20
20 log GViIl s( ) 
BodeViIl
1 
s
2 
BodeViIl
0 
 
10 100 1 10
3
 1 10
4

100
68
36
4
28
60
arg GViIl s( ) 
180


BodeViIl
2 
s
2 
BodeViIl
0 
 
10 100 1 10
3
 1 10
4

150
75
0
75
150
20 log GZin s( ) 
BodeZin
1 
s
2 
BodeZin
0 

10 100 1 10
3
 1 10
4

30
12
54
96
138
180
arg GZin s( ) 
180


BodeZin
2 
s
2 
BodeZin
0 

viii 
 
1
2
1
e
Z sL
Z R
sC

 
 
A impedância de saída é obtida a partir da impedância 
equivalente do paralelo: 
1 2( ) outG s Z Z Z R 
 
A figura a seguir apresenta o diagrama de Bode. 
 
 
 
 
Fig. 24 Diagrama de Bode para a 1ª FT 
 
V. CONCLUSÕES 
A modelagem do conversor permite a obtenção de uma 
equação matemática que representa o seu comportamento 
físico. O modelo da chave PWM está entre técnicas 
existentes para modelagem de conversores. O modelo CC da 
chave PWM é utilizado para determinar os parâmetros em 
regime permanente dosconversores. O modelo CA ou 
modelo de pequenos sinais da chave PWM é utilizado para 
determinar as funções de transferência dos parâmetros de 
controle do conversor. 
 
REFERÊNCIAS 
 
[1] V. Vorperian. Simplified analysis of PWM converters 
using model of PWM switch part I: Continuous 
conduction mode. IEEE transactions on aerospace and 
electronic systems.vol.26. 1990. 
[2] R. W. Erickson, D. Maksimovic. Fundamentals of 
power electronics, Kluwer 2.ed. New York, 2004. 
[3] D. W. Hart. Power electronics. McGraw-Hill. 1.ed. 
New York, 2010. 
[4] PSIM User´s guide. Powersim Inc. 2010. 
 
10 100 1 10
3
 1 10
4

40
25
10
5
20
20 log GZo s( ) 
BodeZo
1 
s
2 
BodeZo
0 
 
10 100 1 10
3
 1 10
4

230
120
10
100
arg GZo s( ) 
180


BodeZo
2 
s
2 
BodeZo
0 
 