Lista 6

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1. Verificar a regra da cadeia para as funções: 
a)  )ln(),( 22 yxyxf += ;  12 += tx  e  54 2 −= ty  
b)  )52(),( yxsenyxf += ;  tx cos=  e  senty =  
c) 
22),( xyexyxf ⋅= ;  tx 2=  e  13 −= ty  
d)  225),( yxxyyxf −+= ;  12 −= tx  e  2+= ty  
 
2. Determinar 
dt
dz
, usando a regra da cadeia para as funções: 
a)  yxz cos⋅= ;  sentx =  e  ty =  
c)  )cos(cos yxez x += ;  3tx =  e  2ty =  
 
3. Verificar a regra da cadeia para as funções: 
 
a)  22 vuz −= ;  1+= xu  e  xyv =  
b)  522 ++= vuz ;  xu cos=  e  senyv =  
 
4. Determine 
3
0
( , )f x y dx∫  e  4
0
( , )f x y dy∫  para as seguintes funções: 
a) 2( , ) 2 3f x y x x y= +     b)  ( , )
2
yf x y
x
= +  
 
5. Calcule a integral iterada: 
a) 
3 1
1 0
(1 4 )xy dxdy+∫ ∫       b)  4 1 2 2
2 1
( )x y dydx
−
+∫ ∫  
 
c)   ( )2 /2
0 0
xseny dydx
π∫ ∫       d)  4 2
1 0
( )x y dxdy+∫ ∫  
 
 
Lista 6 
 
UUUNNNIIIVVVEEERRRSSSIIIDDDAAADDDEEE PPPAAAUUULLLIIISSSTTTAAA “““UUUNNNIIIPPP””” 
Disciplina: Cálculo de Funções de Várias Variáveis 
Engenharia Básico 
Profª Juliana Brassolatti Gonçalves 
e) 
2 1
8
0 0
(2 )x y dxdy+∫ ∫       f)  ( )2 1 2
1 0
x y dxdy−+∫ ∫  
 
g) 
ln 2 ln5
2
0 0
x ye dxdy−∫ ∫  
 
6. Calcule a integral dupla  ( )2 3 46 5 
R
x y y dA−∫∫ , onde  { }( , ) / 0 3 e 0 1R x y x y= ≤ ≤ ≤ ≤ . 
 
7. Calcule  ( )cos 2 
R
x y dA+∫∫ , onde  { }( , ) / 0 e 0 / 2R x y x yπ π= ≤ ≤ ≤ ≤ . 
 
8. Calcule a integral dupla 
2
2 1R
xy dA
x +∫∫ , onde  { }( , ) / 0 1 e -3 3R x y x y= ≤ ≤ ≤ ≤ . 
 
9. Determine o volume do sólido dado por  ( )1 1
0 0
4 2x y dxdy− −∫ ∫ . 
 
10. Determine o volume do sólido dado por  ( )1 1 2 2
0 0
2 x y dydx− −∫ ∫ . 
 
11. Determine o volume do sólido que está abaixo do parabolóide 
hiperbólico 2 24z x y= + − e acima do quadrado [ 1,1] [0,2]R = − × .