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TeoriaAlgebraLinearAlunosPartes1e2 (1)

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Notas para o acompanhamento das aulas de
A´lgebra Linear
Versa˜o Parcial
A´lgebra Linear UFU Pa´gina 1
Cap´ıtulo 1
Sistemas, Matrizes e Determinantes
1.1 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares
Sejam:
R: conjunto dos nu´meros reais;
C: conjunto dos nu´meros complexos.
Estes conjuntos munidos das operac¸o˜es de adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o usuais sa˜o chamados de corpos nume´ricos.
Sejam a1, . . . , an, b ∈ R (ou C), sendo n ≥ 1, chama-se equac¸a˜o linear sobre R (ou C) uma equac¸a˜o da forma:
a1x1 + · · ·+ anxn = b
sendo:
xk, 1 ≤ k ≤ n, varia´veis ou inco´gnitas em R (ou C).
ak, 1 ≤ k ≤ n, sa˜o os coeficientes de xk.
b e´ o termo independente.
Dizemos que a n-upla (α1, . . . , αn), ou x1 = α1, . . . , xn = αn, αk ∈ R (ou C) e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o linear acima
quando a1α1 + · · ·+ anαn = b for verdadeira.
Observac¸a˜o: xk ser varia´vel significa que xk pode assumir infinitos valores, enquanto que xk ser inco´gnita significa
que xk pode assumir apenas um valor.
Exemplos. As equac¸o˜es 2x1 + 4x2 = 2 ou x2 + x3 + x4 = 0 sa˜o equac¸o˜es lineares sobre R.
Um sistema linear S, m por n sobre R (ou C) e´ um conjunto de m equac¸o˜es lineares sobre R (ou C), cada uma
com n varia´veis ou inco´gnitas. Representamos S do seguinte modo:
S =

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2
...
am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm (m×n)
Se m = n dizemos simplesmente que S e´ de ordem n.
Dizemos que a n-upla (α1, . . . , αn) e´ soluc¸a˜o de S quando for soluc¸a˜o de cada uma das m equac¸o˜es lineares de S.
Observac¸a˜o: salvo menc¸a˜o contra´ria, trabalharemos apenas com S sobre R.
Exemplo. O sistema
S =
{
2x1 + 4x2 = 2
x2 + x3 + x4 = 0
e´ um sistema linear 2× 4 sobre R.
Dado um sistema linear S, dizemos que:
S e´ incompat´ıvel (ou imposs´ıvel) quando na˜o admitir soluc¸o˜es. (SI)
S e´ compat´ıvel determinado (ou poss´ıvel e determinado) quando admitir apenas uma soluc¸a˜o. (SPD)
S e´ compat´ıvel indeterminado (ou poss´ıvel e indeterminado) quando admitir infinitas soluc¸o˜es. (SPI)
agustini@ufu.br sites.google.com/site/edsonagustini Edson Agustini
Pa´gina 2 UFU A´lgebra Linear
Exemplos.
Exemplo (1) Os sistemas
S =
{
x1 + x2 = 1
x1 + x2 = 2
e S =
{
0x1 + 0x2 = 3
4x1 + 2x2 = 0
sa˜o sistemas lineares imposs´ıveis.
Exemplo (2) O sistema
S =
 1x1 + 0x2 + 0x3 = 10x1 + 2x2 + 0x3 = 2
0x1 + 0x2 + 3x3 = 3
e´ um sistema linear poss´ıvel e determinado. Soluc¸a˜o: x1 = x2 = x3 = 1 (ou (1, 1, 1)).
Exemplo (3) O sistema
S =
{
x1 + x2 = 1
2x1 + 2x2 = 2
e´ um sistema linear poss´ıvel e indeterminado.
Seja S um sistema linear. Sa˜o chamadas operac¸o˜es elementares em S as seguintes operac¸o˜es:
(i) permuta de duas linhas de S.
(ii) multiplicac¸a˜o de uma linha de S por um nu´mero real na˜o nulo.
(iii) soma de uma linha de S com outra linha que foi multiplicada por um nu´mero real na˜o nulo.
Observemos que operac¸o˜es elementares na˜o alteram a(s) soluc¸a˜o(o˜es) do sistema linear.
Um sistema linear S1 e´ equivalente a um sistema linear S2 quando S2 e´ obtido de S1 por operac¸o˜es elementares.
Notac¸a˜o: S1 ∼ S2.
Exemplo. Os sistemas
S1 =

x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 1
2x1 + 3x2 + 4x3 + 5x4 = 2
3x1 + 4x2 + 5x3 + 6x4 = 3 .(-1)
4x1 + 5x2 + 6x3 + 7x4 = 4
�
+
e S2 =

2x1 + 3x2 + 4x3 + 5x4 = 2
x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 1
6x1 + 8x2 + 10x3 + 12x4 = 6
x1 + x2 + x3 + x4 = 1
sa˜o sistemas lineares equivalentes.
Observac¸o˜es.
(i) A equivaleˆncia ∼ definida acima e´ chamada de relac¸a˜o de equivaleˆncia entre sistemas lineares, ou seja:
(a) S1 ∼ S1 (reflexiva);
(b) S1 ∼ S2 ⇐⇒ S2 ∼ S1 (sime´trica);
(c) S1 ∼ S2 e S2 ∼ S3 =⇒ S1 ∼ S3 (transitiva).
(ii) Sistemas lineares equivalentes possuem a(s) mesma(s) soluc¸a˜o(o˜es).
Dizemos que um sistema linear m× n esta´ escalonado quando possui o seguinte formato:
a1r1xr1 + · · · + a1nxn = b1
a2r2xr2 + · · · + a2nxn = b2
...
ajrjxrj + · · · + ajnxn = bj
0xn = bj+1
...
0xn = bm
(as linhas nulas podem ser eliminadas)
sendo a1r1 , . . . , ajrj 6= 0; 1 ≤ r1 < r2 < · · · < rj ≤ n.
Edson Agustini sites.google.com/site/edsonagustini agustini@ufu.br
A´lgebra Linear UFU Pa´gina 3
Exemplos.
Exemplo (1) O sistema abaixo esta´ escalonado e e´ um sistema poss´ıvel e indeterminado (SPI):
x1 + 2x2 + 4x4 + 5x5 = 1
4x3 + 5x4 = 2
6x4 + 7x5 = 3
8x5 = 4
Exemplo (2) O sistema abaixo esta´ escalonado e e´ um sistema imposs´ıvel (SI):
x1 + x2 = 1
2x2 = 3
0x2 = 5
Exemplo (3) O sistema abaixo esta´ escalonado e e´ um sistema poss´ıvel e determinado (SPD):
x1 + x2 = 1
2x2 + 3x3 = 2
6x3 = 3
Proposic¸a˜o 1. Todo sistema linear e´ equivalente a um sistema linear escalonado.
Classificac¸a˜o de Sistemas Lineares Via Escalonamento
Seja S um sistema linear escalonado m× n com linhas nulas e repetidas eliminadas.
(i) Se a u´ltima linha de S for da forma 0xn = b 6= 0, enta˜o o sistema e´ imposs´ıvel (SI).
Caso as linhas da forma 0xn = b 6= 0 na˜o ocorram temos:
(ii) Se m = n, enta˜o o sistema e´ poss´ıvel e determinado (SPD).
(iii) Se m < n, enta˜o o sistema e´ poss´ıvel e indeterminado (SPI).
Observac¸a˜o: se m > n, enta˜o necessariamente ocorrem linhas do tipo 0xn = b 6= 0.
Exemplos. Escalone e classifique. (aqui faremos x1 = x, x2 = y e x3 = z para simplificar a notac¸a˜o)
Exemplo (1) Seja S1 =
 x + 2y − 3z = −13x − y + 2z = 7
5x + 3y − 4z = 2
. Temos
S1 =
 x + 2y − 3z = −1 .(-3) .(-5)3x − y + 2z = 7 �+
5x + 3y − 4z = 2
�
+
∼ S2 =
 x + 2y − 3z = −1− 7y + 11z = 10 .(-1)
− 7y + 11z = 7
�
+
∼ S3 =
 x + 2y − 3z = −1− 7y + 11z = 10
0z = −3
Como a u´ltima linha do sistema escalonado S3 e´ da forma 0z = −3 6= 0, temos que S1 e´ um sistema imposs´ıvel.
Exemplo (2) Seja S1 =
 x + y + z = 6x − y + 2z = 5
x + 6y + 3z = 22
. Temos
S1 =
 x + y + z = 6 .(-1) .(-1)x − y + 2z = 5 �+
x + 6y + 3z = 22
�
+
∼ S2 =
 x + y + z = 6− 2y + z = −1 .(5/2)
+ 5y + 2z = 16
�
+
∼ S3 =

x + y + z = 6
− 2y + z = −1
+ 9
2
z = 27
2
Como a u´ltima linha do sistema escalonado S3 na˜o e´ da forma 0z = b 6= 0 e m = n = 3, temos que S1 e´ um sistema
poss´ıvel e determinado, sendo (x, y, z) = (1, 2, 3) sua soluc¸a˜o.
agustini@ufu.br sites.google.com/site/edsonagustini Edson Agustini
Pa´gina 4 UFU A´lgebra Linear
Exemplo (3) Seja S1 =
 x + y + z = 2x − y + z = −2
+ 2y = 4
. Temos
S1 =
 x + y + z = 2 .(-1)x − y + z = −2 �+
+ 2y = 4
∼ S2 =
 x + y + z = 2− 2y = −4 .(1)
+ 2y = 4
�
+
∼ S3 =
 x + y + z = 2− 2y = −4
0y = 0
∼
S4 =
{
x + y + z = 2
− 2y = −4
Como a u´ltima linha do sistema escalonado S3 na˜o e´ da forma 0z = b 6= 0 e m = 2 < n = 3, temos que S1 e´ um
sistema poss´ıvel e indeterminado, sendo {(a, 2,−a) : a ∈ R} o conjunto soluc¸a˜o.
1.2 Matrizes Reais
Sejam m,n ∈ N. Chama-se matriz real m× n uma tabela retangular da forma
M =

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
am1 am2 · · · amn

sendo aij ∈ R, i = 1, . . . ,m e j = 1, . . . , n.
Notac¸a˜o: M = [aij]1≤i≤m
1≤j≤n
ou, simplificadamente, M = [aij].
Ao conjunto de todas as matrizes reais m× n denotamos Mm×n (R).
Quando m = n, chamamos M de matriz quadrada de ordem n e denotamos o conjunto de todas as matrizes reais de
ordem n por Mn (R).
E´ poss´ıvel definir operac¸o˜es sobre Mm×n (R) que sera˜o extremamente u´teis para o desenvolvimento das trans-
formac¸o˜es lineares que sera˜o objetos de estudos futuros.
Operac¸o˜es com matrizes:
(i) Adic¸a˜o: Sejam A = [aij], B = [bij] ∈Mm×n (R). Chama-se soma de A com B, e indica-se por A+ B, a matriz
C = [cij] ∈Mm×n (R) tal que cij = aij + bij.
Simbolicamente:
+ : Mm×n (R)×Mm×n (R) −→ Mm×n (R)
(A,B) 7−→ A+ B
(ii) Multiplicac¸a˜o de matriz por escalar: Sejam A = [aij] ∈Mm×n (R) e α ∈ R.Chama-se produto de α por A
a matriz reais m× n dada por αA = [αaij].
(iii) Multiplicac¸a˜o de matrizes: Sejam A = [aik] ∈Mm×p (R) e B = [bkj] ∈Mp×n (R). Chama-se produto de A
por B, e indica-se por AB, a matriz C = [cij] ∈Mm×n (R) tal que cij =
p∑
k=1
aikbkj.
Uma indagac¸a˜o muito comum na operac¸a˜o de multiplicac¸a˜o de matrizes e´ o por queˆ de uma definic¸a˜o ta˜o artificial.
Na˜o seria mais fa´cil definir a multiplicac¸a˜o de modo ana´logo a` adic¸a˜o, ou seja, multiplicar entradas correspondentes
nas matrizes? A justificativa para essa indagac¸a˜o sera´ apresentada mais adiante. Resumidamente, o que podemos
dizer, por enquanto, e´ que matrizes sera˜o associadas a`s chamadas transformac¸o˜es lineares e a composta de duas
transformac¸o˜es lineares corresponde a` multiplicac¸a˜o de suas matrizes de acordo com a definic¸a˜o acima. Este e´ um dos
(poucos) casos em que o aluno de Ensino Me´dio e´ apresentado para uma definic¸a˜o a qual o professor na˜o tem condic¸o˜es
de justificar de forma razoa´vel, uma vez que o assunto transformac¸o˜es lineares na˜o e´ objeto de estudos no Ensino
Me´dio.
Edson Agustini sites.google.com/site/edsonagustini agustini@ufu.br
A´lgebra Linear UFU Pa´gina 5
Exemplos.
Exemplo (1) Adic¸a˜o:
1 23 4
5 6

3×2
+
6 54 3
2 1

3×2
=
7 77 7
7 7

3×2
.
Exemplo (2) Multiplicac¸a˜o por escalar: 2
[
1 2
3 4
]
2×2
=
[
2 4
6 8
]
2×2
.
Exemplo (3) Multiplicac¸a˜o:
1 22 1
2 2

3×2
[
1 2 3 4
5 6 7 8
]
2×4
=
11 14 17 207 10 13 16
12 16 20 24

3×4
.
Proposic¸a˜o 2. Propriedades operato´rias:
(a) Da adic¸a˜o:
Sejam A,B,C ∈Mm×n (R).
(1) (A+ B) + C = A+ (B+ C); (associativa)
(2) A+ B = B+A; (comutativa)
(3) Existe O ∈Mm×n (R) tal que A+O = A; (elemento neutro aditivo)
(4) Existe −A ∈Mm×n (R) tal que A+ (−A) = O. (elemento inverso aditivo)
(b) Da multiplicac¸a˜o por escalar:
Sejam α,β ∈ R e A,B ∈Mm×n (R).
(1) α (βA) = (αβ)A; (associativa)
(2) α (A+ B) = αA+ αB; (distributiva em relac¸a˜o a` soma de matrizes)
(3) (α+ β)A = αA+ βA; (distributiva em relac¸a˜o a` soma de escalares)
(4) 1A = A. (elemento neutro da multiplicac¸a˜o por escalar)
(c) Da multiplicac¸a˜o:
(1) A (BC) = (AB)C sendo A ∈Mm×p (R), B ∈Mp×q (R) e C ∈Mq×n (R); (associativa)
(2) A (B+ C) = AB + AC; A ∈ Mm×p (R), B,C ∈ Mp×n (R); (distributiva a` direita em relac¸a˜o a` soma de
matrizes)
(3) (A+ B)C = AC + BC; A,B ∈ Mm×p (R), C ∈ Mp×n (R); (distributiva a` esquerda em relac¸a˜o a` soma de
matrizes)
Observac¸a˜o: a propriedade comutativa na˜o e´ va´lida para a multiplicac¸a˜o de matrizes. Um contra-exemplo:[
1 2
3 4
] [
1 1
1 1
]
=
[
3 3
7 7
]
[
1 1
1 1
] [
1 2
3 4
]
=
[
4 6
4 6
]
Transposta de uma Matriz
A transposta de uma matriz A, denotada por At, e´ a matriz obtida de A escrevendo as linhas de A como colunas de
At, ou seja, quando A = [aij] ∈Mm×n (R), temos At = [bji] ∈Mn×m (R) tal que aij = bji.
Mais explicitamente:
A =

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
am1 am2 · · · amn

m×n
⇒ At =

a11 a21 · · · am1
a12 a22 · · · am2
...
...
a1n a2n · · · amn

n×m
Exemplo. Se A =
1 23 4
5 6

3×2
, enta˜o At =
[
1 3 5
2 4 6
]
2×3
.
agustini@ufu.br sites.google.com/site/edsonagustini Edson Agustini
Pa´gina 6 UFU A´lgebra Linear
Proposic¸a˜o 3. Propriedades da transposta:
(1) (A+ B)
t
= At + Bt, sendo A,B ∈Mm×n (R).
(2) (kA)
t
= kAt, sendo A ∈Mm×n (R).
(3) (At)
t
= A, sendo A ∈Mm×n (R).
(4) (AB)
t
= BtAt, sendo A ∈Mm×p (R) e B ∈Mp×n (R).
Matrizes Invert´ıveis
Consideremos Mn (R) o conjunto das matrizes quadradas de ordem n. Definimos
In =

1 0 · · · 0
0 1 · · · 0
...
...
0 0 · · · 1

n×n
como sendo a matriz identidade de ordem n.
E´ fa´cil verificar a seguinte propriedade: InA = AIn = A para qualquer A ∈Mn (R).
Dizemos que A ∈Mn (R) e´ invert´ıvel quando existe B ∈Mn (R) tal que AB = BA = In.
Notac¸a˜o: B = A−1; (B e´ a inversa de A).
Proposic¸a˜o 4. Sejam A,B ∈Mn (R).
(i) Se A apresentar uma linha ou coluna nula, enta˜o A na˜o e´ invert´ıvel.
(ii) Se A for invert´ıvel, enta˜o
(
A−1
)−1
= A; (a inversa da inversa e´ a pro´pria matriz).
(iii) Se A e B forem invert´ıveis, enta˜o AB tambe´m e´ invert´ıvel e (AB)
−1
= B−1A−1.
Determinac¸a˜o da Inversa de uma Matriz
De modo ana´logo a sistemas lineares, dizemos que A,B ∈Mn (R) sa˜o equivalentes quando B puder ser obtida de
A via um nu´mero finito de operac¸o˜es elementares sobre as linhas de A.
Proposic¸a˜o 5. Uma matriz A ∈Mn (R) e´ invert´ıvel se, e somente se, A e´ equivalente a` In e, neste caso, as mesmas
operac¸o˜es elementares que transformam A em In, transformam In em A
−1.
Exemplos.
Exemplo (1) Verificar se A =
1 0 11 1 0
0 2 1
 e´ invert´ıvel e obter a inversa, caso afirmativo.
Resoluc¸a˜o. Montemos um arranjo com a matriz A e I3 lado a lado para aplicarmos as operac¸o˜es elementares simulta-
neamente nas duas matrizes.
A | I3 =⇒
1 0 11 1 0
0 2 1
1 0 00 1 0
0 0 1
 .(-1)�+ =⇒
1 0 10 1 −1
0 2 1
 1 0 0−1 1 0
0 0 1
 .(-2)
�
+
=⇒
1 0 10 1 −1
0 0 3
 1 0 0−1 1 0
2 −2 1

.(1/3)
=⇒
1 0 10 1 −1
0 0 1
 1 0 0−1 1 0
2/3 −2/3 1/3
 �+
.(1)
�+
.(-1)
=⇒
1 0 00 1 0
0 0 1
 1/3 2/3 −1/3−1/3 1/3 1/3
2/3 −2/3 1/3
 =⇒ I3 | A−1
Logo, A e´ invert´ıvel e A−1 = 1
3
 1 2 −1−1 1 1
2 −2 1
.
Edson Agustini sites.google.com/site/edsonagustini agustini@ufu.br
A´lgebra Linear UFU Pa´gina 7
Exemplo (2) Verificar se A =
3 −1 02 1 −1
1 0 2
 e´ invert´ıvel e obter a inversa, caso afirmativo.
Resoluc¸a˜o. Montemos um arranjo com a matriz A e I3 lado a lado para aplicarmos as operac¸o˜es elementares simulta-
neamente nas duas matrizes.
A | I3 =⇒
3 −1 02 1 −1
1 0 2
1 0 00 1 0
0 0 1
 �
�
=⇒
1 0 22 1 −1
3 −1 0
0 0 10 1 0
1 0 0
 .(-2)�+ .(-3)
�
+
=⇒
1 0 20 1 −5
0 −1 −6
0 0 10 1 −2
1 0 −3
 .(1)
�
+
=⇒
1 0 20 1 −5
0 0 −11
0 0 10 1 −2
1 1 −5

.(-1/11)
=⇒
1 0 20 1 −5
0 0 1
 0 0 10 1 −2
−1/11 −1/11 5/11
 �+
.(5)
�+
.(-2)
=⇒
1 0 00 1 0
0 0 1
 2/11 2/11 1/11−5/11 6/11 3/11
−1/11 −1/11 5/11
 =⇒ I3 | A−1
Logo, A e´ invert´ıvel e A−1 = 1
11
 2 2 1−5 6 3
−1 −1 5
.
Matrizes Ortogonais
Seja A ∈ Mn (R) invert´ıvel. Dizemos que A e´ ortogonal quando sua inversa for igual a sua transposta, ou seja,
A−1 = At. Desta forma, quando A e´ ortogonal, temos
AAt = AtA = In .
Exemplo. A =
[
1/2
√
3/2√
3/2 −1/2
]
e´ ortogonal pois At =
[
1/2
√
3/2√
3/2 −1/2
]
e AAt = AtA = I2.
Matrizes e Sistemas Lineares
Consideremos o sistema linear
S =

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2
...
am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm (m×n)
Podemos colocar S na notac¸a˜o matricial adotando as seguintes matrizes:
A =

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
am1 am2 · · · amn

m×n
matriz dos coeficientes de S
X =

x1
x2
...
xn

n×1
matriz das varia´veis ou inco´gnitas de S e B =

b1
b2
...
bm

m×1
matriz dos termos independentes de S
Logo, Am×nXn×1 = Bm×1 (ou, resumidamente, AX = B) e´ uma equac¸a˜o matricial que representa o sistema linear S.
Exemplo. O sistema S =
 3x − y = 12x + y − z = 0
x + 2z = 2
possui representac¸a˜o matricial AX = B tal que
3 −1 02 1 −1
1 0 2

3×3︸ ︷︷ ︸
A
xy
z

3×1︸ ︷︷ ︸
X
=
10
2

3×1︸ ︷︷ ︸
B
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Pa´gina 8 UFU A´lgebra Linear
Sistemas de Cramer
Dizemos que um sistema linear S deordem n e´ um Sistema de Cramer quando a matriz A dos coeficientes de S
e´ invert´ıvel.
Observac¸o˜es:
(1) Em um Sistema de Cramer, AX = B ⇒ A−1AX = A−1B ⇒ InX = A−1B ⇒ X = A−1B, o que significa que todo
Sistema de Cramer e´ poss´ıvel e determinado.
(2) Se um sistema linear e´ homogeˆneo (ou seja, a matriz B dos termos independentes e´ uma matriz coluna nula) e e´
um Sistema de Cramer, enta˜o a soluc¸a˜o do sistema e´ a soluc¸a˜o trivial (isto e´, soluc¸a˜o nula). De fato, AX = 0⇒ X =
A−10⇒ X = 0. (0 e´ matriz coluna nula).
Exemplo. Resolva o Sistema de Cramer S =
 3x − y = 12x + y − z = 0
x + 2z = 2
invertendo a matriz de coeficientes.
Resoluc¸a˜o.
Representando S temos
AX = B, sendo A =
3 −1 02 1 −1
1 0 2
 , B =
10
2
 e X =
xy
z
 .
Mas vimos em exemplo anterior que A−1 = 1
11
 2 2 1−5 6 3
−1 −1 5
. Logo, AX = B⇒ X = A−1B, ou seja,
xy
z
 = 1
11
 2 2 1−5 6 3
−1 −1 5
10
2
 =
4/111/11
9/11
⇒ x = 4
11
, y =
1
11
e z =
9
11
.
Portanto,
(
4
11
, 1
11
, 9
11
)
e´ a soluc¸a˜o procurada.
Observac¸a˜o: embora a te´cnica acima seja interessante, normalmente e´ bem mais simples resolver um sistema linear
por escalonamento do que invertendo matriz de coeficientes.
Exerc´ıcio. Uma companhia produz 3 tipos de produtos: A, B e C. Esta companhia possui 3 fa´bricas: F1, F2 e F3
sendo que as fa´bricas produzem diariamente as seguintes quantidades:
- F1 produz 1 tonelada de cada produto;
- F2 na˜o produz A, produz 1 tonelada de B e 2 toneladas de C;
- F3 produz 2 toneladas de A, 1 tonelada de B e 2 toneladas de C.
A companhia recebeu um pedido de 20 toneladas de A, 22 toneladas de B e 26 toneladas de C.
Quantos dias inteiros cada uma das fa´bricas tera´ de trabalhar para que juntas produzam exatamente a quantia
solicitada?
Resoluc¸a˜o.
Sejam:
x a quantidade de dias que F1 trabalhara´.
y a quantidade de dias que F2 trabalhara´.
z a quantidade de dias que F3 trabalhara´.
Quantidade total de produto A produzido em F1: 1x.
Quantidade total de produto A produzido em F2: 0y.
Quantidade total de produto A produzido em F3: 2z.
Queremos 1x+ 0y+ 2z = 20.
Quantidade total de produto B produzido em F1: 1x.
Quantidade total de produto B produzido em F2: 1y.
Quantidade total de produto B produzido em F3: 1z.
Queremos 1x+ 1y+ 1z = 22.
Quantidade total de produto C produzido em F1: 1x.
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A´lgebra Linear UFU Pa´gina 9
Quantidade total de produto C produzido em F2: 2y.
Quantidade total de produto C produzido em F3: 2z.
Queremos 1x+ 2y+ 2z = 26.
Logo,
S =
 x + 2z = 20x + y + z = 22
x + 2y + 2z = 26
⇒ S′ =
 x + 2z = 20y − z = 2
2y = 6
⇒ S′′ =
 x + 2z = 20y − z = 2
2z = 2
⇒ z = 1, y = 3 e x = 18.
Conclusa˜o: F1 trabalhara´ 1 dia, F2 trabalhara´ 3 dias e F3 trabalhara´ 18 dias.
1.3 Determinantes de Matrizes Reais
Toda aplicac¸a˜o bijetiva σ : {1, 2, . . . , n}→ {1, 2, . . . , n} e´ chamada de permutac¸a˜o do conjunto {1, 2, . . . , n}.
Exemplo. Existem 6 permutac¸o˜es do conjunto {1, 2, 3}. Chamemo-as de σ1, σ2, . . . , σ6. Sa˜o elas: σ1 (1) = 1σ1 (2) = 2
σ1 (3) = 3
,
 σ2 (1) = 1σ2 (2) = 3
σ2 (3) = 2
,
 σ3 (1) = 3σ3 (2) = 1
σ3 (3) = 2
,
 σ4 (1) = 3σ4 (2) = 2
σ4 (3) = 1
,
 σ5 (1) = 2σ5 (2) = 3
σ5 (3) = 1
e
 σ6 (1) = 2σ6 (2) = 1
σ6 (3) = 3
Vamos adotar a seguinte notac¸a˜o para uma permutac¸a˜o σ : {1, 2, . . . , n}→ {1, 2, . . . , n}
σ :
(
1 2 3 · · · n
σ (1) σ (2) σ (3) · · · σ (n)
)
Assim, no exemplo acima as 6 permutac¸o˜es sa˜o denotadas do seguinte modo:
σ1 :
(
1 2 3
1 2 3
)
; σ2 :
(
1 2 3
1 3 2
)
; σ3 :
(
1 2 3
3 1 2
)
; σ4 :
(
1 2 3
3 2 1
)
; σ5 :
(
1 2 3
2 3 1
)
e σ6 :
(
1 2 3
2 1 3
)
E´ fa´cil notar que o nu´mero de permutac¸o˜es de um conjunto com n elementos e´ n!
No exemplo acima, n = 3 e temos 3! = 6 permutac¸o˜es.
Seja σ uma permutac¸a˜o de {1, 2, . . . , n} e r a quantidade de vezes que ocorre um decrescimento na imagem de σ, ou
seja,
i < j⇒ σ (i) > σ (j)
sendo i, j ∈ {1, 2, . . . , n}.
Definimos a func¸a˜o sinal de σ, denotada por sgn (σ), do seguinte modo:{
sgn (σ) = 1, quando r e´ par.
sgn (σ) = −1, quando r e´ ı´mpar.
Exemplo. Consideremos as permutac¸o˜es do exemplo anterior
Para σ1 temos r = 0. Logo, sgn (σ1) = 1.
Para σ2 temos r = 1. Logo, sgn (σ2) = −1.
Para σ3 temos r = 2. Logo, sgn (σ3) = 1.
Para σ4 temos r = 3. Logo, sgn (σ4) = −1.
Para σ5 temos r = 2. Logo, sgn (σ5) = 1.
Para σ6 temos r = 1. Logo, sgn (σ6) = −1.
Seja A = [aij] ∈Mn (R) uma matriz real de ordem n. Ao nu´mero∑
σ
sgn (σ)a1σ(1)a2σ(2) · · ·anσ(n)
chamamos de determinante de A e indicamos por detA.
O somato´rio acima e´ sobre todas as n! permutac¸o˜es σ do conjunto {1, 2, . . . , n}. Portanto, a soma acima e´ constitu´ıda
por n! parcelas.
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Pa´gina 10 UFU A´lgebra Linear
Exemplos.
Exemplo (1) Se n = 1, enta˜o A = [a11] e existe apenas uma permutac¸a˜o σ : {1}→ {1} que e´ σ (1) = 1. Logo, r = 0 e
sgn (σ) = 1.
Logo,
detA =
∑
σ
sgn (σ)a1σ(1) = 1a11 = a11.
Assim, por exemplo, se A = [7], enta˜o detA = 7.
Exemplo (2) Se n = 2, enta˜o A =
[
a11 a12
a21 a22
]
e existem 2! = 2 permutac¸o˜es σ1 :
(
1 2
1 2
)
e σ1 :
(
1 2
2 1
)
. Logo, para
σ1 temos r = 0 e sgn (σ1) = 1, enquanto que para σ2 temos r = 1 e sgn (σ2) = −1.
Logo,
detA =
∑
σ
sgn (σ)a1σ(1)a2σ(2)
= sgn (σ1)a1σ1(1)a2σ1(2) + sgn (σ2)a1σ2(1)a2σ2(2)
= 1a11a22 + (−1)a12a21
= a11a22 − a12a21.
Assim, por exemplo, se A =
[
1 2
3 4
]
, enta˜o detA = 4− 6 = −2.
Exemplo (3) Se n = 3, enta˜o A =
a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33
 e existem 3! = 6 permutac¸o˜es que sa˜o as apresentadas nos dois
primeiros exemplos dessa sec¸a˜o.
Logo,
detA =
∑
σ
sgn (σ)a1σ(1)a2σ(2)a3σ(3)
= sgn (σ1)a1σ1(1)a2σ1(2)a3σ1(3) + · · ·+ sgn (σ6)a1σ6(1)a2σ6(2)a3σ6(3)
= 1a11a22a33 + (−1)a11a23a32 + 1a13a21a32 + (−1)a13a22a31 + 1a12a23a31 + (−1)a12a21a33
= (a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32) − (a13a22a31 + a11a23a32 + a12a21a33) .
Assim, por exemplo, se A =
1 2 34 5 6
7 8 9
, enta˜o detA = 45+ 84+ 96− 105− 48− 72 = 0.
Exemplo (4) Seja A =

a11 0 0 · · · 0
a21 a22 0 · · · 0
...
...
an1 an2 an3 · · · ann
. Seja uma permutac¸a˜o σ de {1, 2, . . . , n} diferente da identi-
dade. Logo, existe i ∈ {1, . . . , n} tal que σ (i) = j > i e, portanto, a1σ(1) . . . aiσ(i) . . . anσ(n) = 0 pois aiσ(i) = 0.
Logo, detA =
∑
σ
sgn (σ)a1σ(1)a2σ(2) . . . anσ(n) = 1a11a22 . . . ann. (so´ a permutac¸a˜o identidade)
Proposic¸a˜o 6. Propriedades de determinantes:
(1) Linearidade sobre colunas.
(i) det

a11 · · · a1i + a1i′ · · · a1n
a21 · · · a2i + a2i′ · · · a2n
...
...
an1 · · · ani + ani′ · · · ann
 = det

a11 · · · a1i · · · a1n
a21 · · · a2i · · · a2n
...
...
an1 · · · ani · · · ann
+det

a11 · · · a1i′ · · · a1n
a21 · · · a2i′ · · · a2n
...
...
an1 · · · ani′ · · · ann
.
(ii) det

a11 · · · ka1i · · · a1n
a21 · · · ka2i · · · a2n
...
...
an1 · · · kani · · · ann
 = k det

a11 · · · a1i · · · a1n
a21 · · · a2i · · · a2n
...
...
an1 · · · ani · · · ann
, sendo k ∈ R.
Propriedades ana´logas valem para as linhas (linearidade sobre linhas).
(2) Uma matriz real de ordem n com duas linhas ou duas colunas iguais possui determinante zero.
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A´lgebra Linear UFU Pa´gina 11
(3) Seja B uma matriz real de ordem n obtida de A pela permutac¸a˜o de duas linhas ou duas colunas de A. Enta˜o,
detB = −detA.
(4) det
a11 · · · a1i · · · a1n... ...
an1 · · · ani · · · ann = det

a11 · · · a1i +
n∑
k=1
k6=i
αka1k · · · a1n
...
...
an1 · · · ani +
n∑
k=1
k6=i
αkank · · · ann

, sendo αk ∈ R.
A propriedade (4) acima tambe´m vale para linhas.
(5) Se A ∈Mn (R), enta˜o detA = detAt.
(6) Se A,B ∈Mn (R), enta˜o det (AB) = detA detB.
(7) Se A ∈Mn (R) e´ invert´ıvel, enta˜o det
(
A−1
)
= 1detA .
Da propriedade (1) (i) resulta que se uma matriz real de ordem n possui uma linha ou uma coluna nula, enta˜o seu
determinante e´ zero.
A propriedade (4) permite fazer escalonamento em matrizes sem alterar o determinante (veja exemplo abaixo).
Como det (In) = 1, a propriedade (7) e´ uma consequeˆncia direta da propriedade (6).
Exemplos.
Exemplo (1) det
1 2+ 3 45 6+ 0 5
4 3+ 2 1
 = det
1 2 45 6 5
4 3 1
+ det
1 3 45 0 5
4 2 1
 = −15+ 75 = 60.
Exemplo (2) det
1 2.2 34 2.5 6
7 2.8 0
 = 2det
1 2 34 5 6
7 8 0
 = 54.
Exemplo (3) det
1 1 23 3 4
5 5 6
 = 0. (duas colunas iguais)
Exemplo (4) det
1 2 34 5 6
7 8 0
 = −det
2 1 35 4 6
8 7 0
 = 27.
Exemplo (5) det
1 2 34 5 6
7 8 0
 = det
1+ 2.2+ 5.3 2 34+ 2.5+ 5.6 5 6
7+ 2.8+ 5.0 8 0
 = 27. (neste exemplo, n = 3, i = 1, α2 = 2 e α3 = 5)
Exemplo (6) Calcule o determinante da matriz A =

1 5 2 1
3 4 2 0
1 2 1 2
0 3 1 3
 aplicando a propriedade (5) sucessivas vezes,
fazendo um escalonamento.
Resoluc¸a˜o:
det

1 5 2 1
3 4 2 0
1 2 1 2
0 3 1 3

.(-5) �
.(-2) �
.(-1) �
= det

1 5+ (−5) 1 2+ (−2) 1 1+ (−1) 1
3 4+ (−5) 3 2+ (−2) 3 0+ (−1) 3
1 2+ (−5) 1 1+ (−2) 1 2+ (−1) 1
0 3+ (−5) 0 1+ (−2) 0 3+ (−1) 0
 = det

1 0 0 0
3 −11 −4 −3
1 −3 −1 1
0 3 1 3

.(-4/11) �
.(-3/11) �
= det

1 0 0 0
3 −11 0 0
1 −3 1/11 20/11
0 3 −1/11 24/11

.(-20) �
= det

1 0 0 0
3 −11 0 0
1 −3 1/11 0
0 3 −1/11 4
 = 1 (−11)( 111
)
4 = −4.
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Pa´gina 12 UFU A´lgebra Linear
Exerc´ıcio. Mostre que det

1 2 3 4
0 2 3 1
1 1 0 2
0 4 1 2
 = −15 utilizando operac¸o˜es elementares sobre linhas ou colunas. (Proprie-
dades (1), (3) e (4))
Regra de Laplace para ca´lculo de determinantes
A definic¸a˜o abaixo e´ fundamental para a introduc¸a˜o de uma das te´cnicas mais comuns para ca´lculo de determinantes,
que e´ a Regra de Laplace, enunciada em seguida.
Sejam
A =
a11 · · · a1n... ...
an1 · · · ann

n×n
e aij uma entrada de A. Ao nu´mero Aij = (−1)
i+j
Dij, sendo Dij o determinante da matriz (n− 1)× (n− 1) obtida
pela supressa˜o da i-e´sima linha e j-e´sima coluna de A, chamamos de cofator de aij. Dizemos ainda que Dij e´ o
menor complementar de aij.
Proposic¸a˜o 6. (Regra de Laplace) Seja A matriz real n× n e aij uma entrada dessa matriz. Enta˜o,
detA =
n∑
i=1
aijAij︸ ︷︷ ︸↓
=
n∑
j=1
aijAij︸ ︷︷ ︸↓
soma dos soma dos
produtos produtos
dos elementos dos elementos
da coluna j da linha i
por seus por seus
cofatores cofatores
Exemplo. Calcular o determinante de A =
1 2 34 5 6
7 8 9
 utilizando a Regra de Laplace.
Resoluc¸a˜o.
Escolhendo a primeira linha de A temos detA =
3∑
j=1
a1jA1j. Logo,
detA = a11A11 + a12A12 + a13A13
= a11 (−1)
1+1
D11 + a12 (−1)
1+2
D12 + a13 (−1)
1+3
D13
= a11 (−1)
1+1
det
[
5 6
8 9
]
+ a12 (−1)
1+2
det
[
4 6
7 9
]
+ a13 (−1)
1+3
det
[
4 5
7 8
]
= 1 (1) (45− 48) + 2 (−1) (36− 42) + 3 (1) (32− 35)
= −3+ 12− 9
= 0
Exerc´ıcio. Mostre que det
 1 2 3−1 1 1
2 1 3
 = 3 utilizando a Regra de Laplace.
Regra de Chio´ para ca´lculo de determinantes
Esta regra e´ uma combinac¸a˜o das propriedades de determinantes e da Regra de Laplace. O me´todo consiste em
usar as propriedades para criar uma linha ou coluna que tenha uma entrada igual a 1 e as demais entradas iguais a 0.
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A´lgebra Linear UFU Pa´gina 13
Depois, basta a aplicar a Regra de Laplace utilizando essa linha ou coluna. Com isso, precisamos calcular apenas um
cofator.
Seja A =
a11 · · · a1n... ...
an1 · · · ann
 ∈Mn (R) na˜o nula. Sem perda de generalidade, suponhamos que a11 6= 0.
Da propriedade (1) (ii) podemos escrever
detA = a11 det

1 b12 · · · b1n
a21 a22 a2n
...
...
an1 an2 · · · ann

sendo b1j =
a1j
a11
.
Da propriedade (4) podemos escrever
detA = a11 det

1 b12 · · · b1n
a21 a22 a2n
...
...
an1 an2 · · · ann

.(-b12) �
...
.(-b1n) �
= a11 det

1 0 · · · 0
a21 a
′
22 a
′
2n
...
...
an1 a
′
n2 · · · a′nn

sendo a′ij = aij − ai1b1j; i = 2, . . . , n e j = 2, . . . , n.
Utilizando a Regra de Laplace:
detA = a11 det

1 0 · · · 0
a21 a
′
22 a
′
2n
...
...
an1 a
′
n2 · · · a′nn
 = a11 (1) (−1)1+1 det
a
′
22 a
′
2n
...
a′n2 · · · a′nn

detA = a11 det
a
′
22 a
′
2n
...
a′n2 · · · a′nn

Exemplo. Calcular o determinante de A =
 2 2 4−1 5 7
1 2 1
 utilizando a Regra de Chio´.
Resoluc¸a˜o.
Escolhendo a primeira linha e a primeira entrada:
det
 2 2 4−1 5 7
1 2 1
 = 2 det
 1 1 2−1 5 7
1 2 1

.(-1) �
.(-2) �
= 2det
 1 0 0−1 6 9
1 1 −1
 = 2 det [6 9
1 −1
]
= 2 (−6− 9) = −30
Exerc´ıcio. Mostre que det
 3 6 9−1 5 7
1 2 1
 = −42 utilizando a Regra de Chio´.
Regra de Sarrus para ca´lculo de determinantes de matrizes de ordem 3
Este me´todo so´ vale para matrizes de ordem 3.
Ja´ vimos que se A =
a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33
, enta˜o
detA = (a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32) − (a13a22a31 + a11a23a32 + a12a21a33) .
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Pa´gina 14 UFU A´lgebra Linear
O me´todo de Sarrus consiste apenas em enxergar um dispositivo pra´tico com a tabela de entradas da matriz A
que nos conduza ao resultado acima.
Para simplificar, reescrevamos a matriz A do seguinte modo: A =
a b cd e f
g h i
. Logo,
detA = aei+ bfg+ chd− ceg− bdi− ahf.
Observe na figura abaixo o procedimento pra´tico da Regra de Sarrus:
g h i g h
d e f d e
a b c a b
-ceg- - + + +afh bdi aei bfg cdh
Note que os produtos advindos das setas paralelas a` diagonal principal permanecem inalterados, enquanto que
os produtos advindos das setas paralelas a` diagonal secunda´ria sa˜o multiplicados por −1 (ou seja, seus “sinais” sa˜o
trocados). No final, todos os seis termos sa˜o somados para obtermos o determinante.
Exemplo. Calcular o determinante de A =
1 2 33 2 1
1 1 1
 utilizando a Regra de Sarrus.
Resoluc¸a˜o.
Temos, de acordo com o dispositivo pra´tico:
1 1 1 1 1
3 2 1 3 2
1 2 3 1 2
-6 - - + + +1 6 2 2 9
Logo, detA = 2+ 2+ 9− 6− 1− 6 = 0.
Exerc´ıcio. Mostre que det
1 2 34 5 4
3 2 1
 = −8 utilizando a Regra de Sarrus.
Matriz Adjunta
Nesta subsec¸a˜o apresentamos um novo me´todo para calcular a matriz inversa de uma matriz invert´ıvel.
Seja A = [aij] matriz real de ordem n e sejam Aij os cofatores de aij. Definimos a matriz adjunta de A como
sendo
AdjA = [Aij]
t
=

A11 A21 · · · An1
A12 A22 · · · An2
...
...
A1n A2n · · · Ann

n×n
A importaˆncia da matriz adjunta reside no resultado abaixo.
Proposic¸a˜o 7. Seja A matriz real n× n tal que detA 6= 0. Enta˜o, A e´ invert´ıvel e
A−1 =
1
detA
AdjA
Exemplo. Calcular a matriz inversa de A =
 1 2 31 1 1
−1 2 −1
 utilizando a matriz adjunta.
Resoluc¸a˜o.
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A´lgebra Linear UFU Pa´gina 15
Precisamos calcular os 9 cofatores de A:
A11 = (−1)
1+1
det
[
1 1
2 −1
]
= −3; A12 = (−1)
1+2det
[
1 1
−1 −1
]
= 0; A13 = (−1)
1+3
det
[
1 1
−1 2
]
= 3
A21 = (−1)
2+1
det
[
2 3
2 −1
]
= 8; A22 = (−1)
2+2
det
[
1 3
−1 −1
]
= 2; A23 = (−1)
2+3
det
[
1 2
−1 2
]
= −4
A31 = (−1)
3+1
det
[
2 3
1 1
]
= −1; A32 = (−1)
3+2
det
[
1 1
3 1
]
= 2; A33 = (−1)
3+3
det
[
1 2
1 1
]
= −1
Precisamos do determinante de A:
det
 1 2 31 1 1
−1 2 −1
 = −1− 2+ 6+ 3+ 2− 2 = 6
Logo,
A−1 =
1
detA
AdjA =
1
6
−3 8 −10 2 2
3 −4 −1

Exerc´ıcio. Mostre que a matriz inversa de A =
 1 1 22 3 −1
−2 1 −1
 e´ A−1 = 1
18
−2 3 −74 3 5
8 −3 1
 utilizando a matriz
adjunta.
Regra de Cramer para resoluc¸a˜o de Sistemas Poss´ıveis e Determinados
Podemos encontrar soluc¸o˜es de um Sistema de Cramer (portanto, um sistema linear poss´ıvel e determinado)
utilizando determinantes, via o seguinte resultado:
Proposic¸a˜o 8. (Regra de Cramer) Seja AX = B um Sistema de Cramer escrito em forma matricial, sendo A =a11 · · · a1n... ...
an1 · · · ann

n×n
, B =
b1...
bn

n×1
e X =
x1...
xn

n×1
. Enta˜o,
xk =
det∆k
detA
sendo
∆k =
a11 · · · a1(k−1) b1 a1(k+1) · · · a1n... ... ... ... ...
an1 · · · an(k−1) bn an(k+1) · · · ann

n×n
(∆k e´ a matriz que se obter de A substituindo a k-e´sima coluna pela matriz coluna B).
E´ importante enfatizar que a Regra de Cramer possui interesse teo´rico apenas. Comparado ao me´todo de resoluc¸a˜o
de sistemas lineares por escalonamento, a Regra de Cramer e´ extremamente ineficiente, devido ao fato de ser necessa´rio
o ca´lculo de diversos determinantes (o que geralmente e´ bem trabalhoso). Quanto maior a ordem do sistema, maior e´
a ineficieˆncia desse me´todo.
Exemplo. Resolver S =
 x + 2y + 3z = 142x − y + 3z = 9
−x − 2y + z = −2
utilizando a Regra de Cramer.
Resoluc¸a˜o
Temos A =
 1 2 32 −1 3
−1 −2 1
 ; B =
149
−2
 e X =
xy
z
. Temos tambe´m que detA = −1− 6− 12− 3− 4+ 6 = −20.
(i) det∆1 = det
14 2 39 −1 3
−2 −2 1
 = −14− 12− 54− 6− 18+ 84 = −20.
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Pa´gina 16 UFU A´lgebra Linear
Portanto, x1 = x =
det∆1
detA =
−20
−20 = 1.
(ii) det∆2 = det
 1 14 32 9 3
−1 −2 1
 = 9− 42− 12+ 27− 28+ 6 = −40.
Portanto, x2 = y =
det∆2
detA =
−40
−20 = 2.
(iii) det∆3 = det
 1 2 142 −1 9
−1 −2 −2
 = 2− 18− 56− 14+ 8+ 18 = −60.
Portanto, x3 = z =
det∆3
detA =
−60
−20 = 3.
Conclusa˜o: (x, y, z) = (1, 2, 3) e´ soluc¸a˜o do sistema.
Exerc´ıcio. Resolver S =
 −x + 2y − z = 02x + 5y + 3z = 10
−x + 2y − 4z = −3
utilizando a Regra de Cramer.
Resposta. (x, y, z) = (1, 1, 1) e´ soluc¸a˜o do sistema.
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Cap´ıtulo 2
Espac¸os Vetoriais
2.1 O conceito de Espac¸o Vetorial
Motivac¸a˜o:
Seja V3 conjunto dos vetores do espac¸o euclidiano.
Podemos definir duas operac¸o˜es sobre V3: a adic¸a˜o e a multiplicac¸a˜o por escalar.
u
v
u v+
A
B C
u
v
e a multiplicac¸a˜o por escalar.
gv < 1(g - )
v
av >1(a )
b ( b )v 0< <1 d (- d )v 1< <0
Formalmente:
+ : V3 × V3 −→ V3
(~u,~v) 7−→ ~u+~v e´ a operac¸a˜o de adic¸a˜o de vetores.
· : R× V3 −→ V3
(α, ~u) 7−→ α~u e´ a operac¸a˜o de multiplicac¸a˜o de escalar por vetor.
O conjunto V3 munido das operac¸o˜es acima cumpre as seguintes propriedades:
(1) Adic¸a˜o: sejam ~u,~v, ~w ∈ V3.
(i) ~u+ (~v+ ~w) = (~u+~v) + ~w (associativa);
(ii) ~u+~v = ~v+ ~u (comutativa);
(iii) ∃ ~0 ∈ V3 tal que ~u+~0 = ~0+ ~u = ~u (elemento neutro aditivo);
(iv) ∃ −~u ∈ V3 tal que ~u+ (−~u) = ~0 (elemento oposto).
(2) Multiplicac¸a˜o por escalar: sejam ~u,~v ∈ V3 e α,β ∈ R.
(i) α (β~u) = (αβ) ~u (associativa);
(ii) (α+ β) ~u = α~u+ β~u (distributiva em relac¸a˜o a` adic¸a˜o de escalares);
(iii) α (~u+~v) = α~u+ α~v (distributiva em relac¸a˜o a` adic¸a˜o de vetores);
(iv) 1~u = ~u (elemento neutro multiplicativo).
Nessas condic¸o˜es, dizemos que V3 munido das operac¸o˜es + e · possui estrutura vetorial e e´ chamado de espac¸o
vetorial sobre R, indicado por
(
V3,+, ·).
Os conjuntos que possuem as mesmas propriedades de V3 sera˜o chamados de espac¸os vetoriais. Abaixo segue a
definic¸a˜o formal:
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Pa´gina 18 UFU A´lgebra Linear
Sejam V um conjunto e K um corpo nume´rico (K = R ou K = C).
Dizemos que V e´ um espac¸o vetorial sobre K quando:
(1) Existe uma operac¸a˜o de adic¸a˜o
+ : V × V −→ V
(u, v) 7−→ u+ v
satisfazendo, para quaisquer u, v,w ∈ V:
(i) (u+ v) +w = u+ (v+w);
(ii) u+ v = v+ u;
(iii) ∃ 0 ∈ V tal que u+ 0 = 0+ u = u;
(iv) ∃ −u ∈ V tal que u+ (−u) = 0.
(2) Existe uma operac¸a˜o de multiplicac¸a˜o por escalar
· : K× V −→ V
(α, v) 7−→ αv
satisfazendo, para quaisquer u, v ∈ V e α,β ∈ K:
(i) α (βu) = (αβ)u;
(ii) (α+ β)u = αu+ βu;
(iii) α (u+ v) = αu+ αv;
(iv) 1u = u.
Os elementos de V sa˜o comumente chamados de vetores, independente de sua natureza.
A menos que se diga o contra´rio, trabalharemos com espac¸os vetoriais sobre K = R (espac¸os vetoriais reais).
Tendo em vista a existeˆncia de elemento oposto para qualquer elemento de um espac¸o vetorial, e´ comum escrever
u+ (−v) como u− v, ou seja, u+ (−v) = u− v.
Alguns Exemplos Simples.
Exemplo (1) Mm×n (R) munido das operac¸o˜es de adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o por escalar usuais de matrizes e´ um espac¸o
vetorial sobre R. Ja´ vimos as propriedades no cap´ıtulo anterior.
Exemplo (2) V2 ou V3 munidos das operac¸o˜es de adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o por escalar usuais de vetores sa˜o espac¸os
vetoriais sobre R. Usamos V3 no exemplo de motivac¸a˜o acima e a verificac¸a˜o das propriedades geralmente e´ feita em
um curso de Geometria Anal´ıtica.
Exemplo (3) O pro´prio conjunto R dos nu´meros reais munido das operac¸o˜s de adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o usuais e´ um
espac¸o vetorial sobre R. Tambe´m o conjunto C dos nu´meros complexos munido das operac¸o˜es de adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o
usuais e´ um espac¸o vetorial sobre R. A verificac¸a˜o das propriedades e´ o´bvia.
Alguns Exemplos Importantes.
Exemplo (1) O conjunto Rn = {(x1, x2, . . . , xn) : xi ∈ R} munido das operac¸o˜es:
+ : Rn × Rn −→ Rn
((x1, . . . , xn) , (y1, . . . , yn)) 7−→ (x1 + y1, . . . , xn + yn)
e
· : R× Rn −→ Rn
(α, (x1, . . . , xn)) 7−→ (αx1, . . . , αxn)
ou seja,
(x1, . . . , xn) + (y1, . . . , yn) = (x1 + y1, . . . , xn + yn)
α (x1, . . . , xn) = (αx1, . . . , αxn)
e´ um espac¸o vetorial sobre R.
Por exemplo, para n = 3 temos (1, 2, 3) + (4, 5, 6) = (5, 7, 9) e 2 (1, 2, 3) = (2, 4, 6).
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Verifiquemos as propriedades:
Adic¸a˜o: sejam u = (x1, . . . , xn); v = (y1, . . . , yn) e w = (z1, . . . , zn) em Rn.
(1i) Associativa:
(u+ v) +w = ((x1, . . . , xn) + (y1, . . . , yn)) + (z1, . . . , zn)
= (x1 + y1, . . . , xn + yn) + (z1, . . . , zn)
= ((x1 + y1) + z1, . . . , (xn + yn) + zn)
= (x1 + (y1 + z1) , . . . , xn + (yn + zn)) (
∗)
= (x1, . . . , xn) + (y1 + z1, . . . , yn + zn)
= (x1, . . . , xn) + ((y1, . . . , yn) + (z1, . . . , zn))
= u+ (v+w)
(∗) aqui usamos a propriedade associativa dos nu´meros reais.
(1ii) Comutativa:
u+ v = (x1, . . . , xn) + (y1, . . . , yn)
= (x1 + y1, . . . , xn + yn)
= (y1 + x1, . . . , yn + xn) (
∗∗)
= (y1, . . . , yn) + (x1, . . . , xn)
= v+ u
(∗∗) aqui usamos a propriedade comutativa dos nu´meros reais.
(1iii) Elemento neutro:
Seja 0 = (0, . . . , 0) ∈ Rn. Temos
u+ 0 = (x1, . . . , xn) + (0, . . . , 0)
= (x1 + 0, . . . , xn + 0)
= (x1, . . . , xn) (
∗∗∗)
= u
(∗∗∗) aqui usamos a propriedade do elementoneutro aditivo dos nu´meros reais.
(1iv) Elemento oposto:
Seja −u = (−x1, . . . ,−xn) ∈ Rn. Temos
u+ (−u) = (x1, . . . , xn) + (−x1, . . . ,−xn)
= (x1 + (−x1) , . . . , xn + (−xn))
= (0, . . . , 0) (∗∗∗∗)
= 0
(∗∗∗∗) aqui usamos a propriedade do elemento oposto dos nu´meros reais.
Multiplicac¸a˜o por escalar: sejam u = (x1, . . . , xn) e v = (y1, . . . , yn) em Rn e α,β ∈ R.
(2i) Associativa:
α (βu) = α (β (x1, . . . , xn))
= α (βx1, . . . , βxn)
= (α (βx1) , . . . , α (βxn))
= ((αβ) x1, . . . , (αβ) xn)
(
#
)
= (αβ) (x1, . . . , xn)
= (αβ)u
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Pa´gina 20 UFU A´lgebra Linear(
#
)
aqui usamos a propriedade associativa dos nu´meros reais.
(2ii) Distributiva em relac¸a˜o a` adic¸a˜o de escalares:
(α+ β)u = (α+ β) (x1, . . . , xn)
= ((α+ β) x1, . . . , (α+ β) xn)
= (αx1 + βx1, . . . , αxn + βxn)
(
##
)
= (αx1, . . . , αxn) + (βx1, . . . , βxn)
= α (x1, . . . , xn) + β (x1, . . . , xn)
= αu+ βu(
##
)
aqui usamos a propriedade distributiva dos nu´meros reais.
(2iii) Distributiva em relac¸a˜o a` adic¸a˜o de elementos de Rn:
α (u+ v) = α ((x1, . . . , xn) + (y1, . . . , yn))
= α (x1 + y1, . . . , xn + yn)
= (α (x1 + y1) , . . . , α (xn + yn))
= (αx1 + αy1, . . . , αxn + αyn)
(
###
)
= (αx1, . . . , αxn) + (αy1, . . . , αyn)
= α (x1, . . . , xn) + α (y1, . . . , yn)
= αu+ αv(
###
)
aqui usamos a propriedade distributiva dos nu´meros reais.
(2iv) Elemento neutro multiplicativo:
1u = 1 (x1, . . . , xn)
= (1x1, . . . , 1xn)
= (x1, . . . , xn)
(
####
)
= u(
####
)
aqui usamos a propriedade do elemento neutro multiplicativo dos nu´meros reais.
Exemplo (2) O conjunto Pn (R) =
{
anx
n + an−1x
n−1 + · · ·+ a1x+ a0 : ai ∈ R; x ∈ R varia´vel
}
e´ o conjunto dos
polinoˆmios de grau menor do que ou igual a n acrescido do polinoˆmio nulo (que na˜o tem grau definido), munido das
operac¸o˜es:
+ : Pn (R)× Pn (R) −→ Pn (R)
((anx
n + · · ·+ a0) , (bnxn + · · ·+ b0)) 7−→ (an + bn) xn + · · ·+ (a0 + b0)
e
· : R× Pn (R) −→ Pn (R)
(α, (anx
n + · · ·+ a0)) 7−→ (αan) xn + · · ·+ (αa0)
ou seja,
(anx
n + · · ·+ a0) + (bnxn + · · ·+ b0) = (an + bn) xn + · · ·+ (a0 + b0)
α (anx
n + · · ·+ a0) = (αan) xn + · · ·+ (αa0)
e´ um espac¸o vetorial sobre R.
Por exemplo, para n = 2 temos
(
3x2 + x
)
+
(
5x2 + 3
)
= 8x2 + x+ 3 e 2 (3x+ 1) = 6x+ 2.
Verificac¸a˜o das propriedades: exerc´ıcio.
Exemplo (3) O conjunto F (R) =
{
f : R −→ R
x 7−→ f (x)
}
e´ o conjunto das func¸o˜es reais de uma va´ria´vel real com
domı´nio R, munido das operac¸o˜es
+ : F (R)× F (R) −→ F (R)
(f, g) 7−→ f+ g : R −→ R
x 7−→ f (x) + g (x)
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A´lgebra Linear UFU Pa´gina 21
e
· : R× F (R) −→ F (R)
(α, f) 7−→ αf : R −→ R
x 7−→ αf (x)
ou seja,
(f+ g) (x) = f (x) + g (x)
(αf) (x) = αf (x)
e´ um espac¸o vetorial sobre R.
Por exemplo, para f (x) = x2; g (x) = ex e α = 2 temos (f+ g) (x) = x2 + ex e 2f (x) = 2x2.
Verifiquemos as propriedades:
Adic¸a˜o: sejam f, g, h em F (R).
(1i) Associativa:
((f+ g) + h) (x) = (f+ g) (x) + h (x)
= (f (x) + g (x)) + h (x)
= f (x) + (g (x) + h (x)) (∗)
= f (x) + (g+ h) (x)
= (f+ (g+ h)) (x) para qualquer x ∈ R.
(∗) aqui usamos a propriedade associativa dos nu´meros reais.
Portanto, (f+ g) + h = f+ (g+ h).
(1ii) Comutativa:
(f+ g) (x) = f (x) + g (x)
= g (x) + f (x) (∗∗)
= (g+ f) (x) para qualquer x ∈ R.
(∗∗) aqui usamos a propriedade comutativa dos nu´meros reais.
Portanto, f+ g = g+ f.
(1iii) Elemento neutro:
Seja 0 = θ sendo θ (x) = 0 para qualquer x ∈ R (θ e´ a func¸a˜o nula). Temos
(f+ 0) (x) = (f+ θ) (x)
= f (x) + θ (x)
= f (x) + 0
= f (x) para qualquer x ∈ R. (∗∗∗)
(∗∗∗) aqui usamos a propriedade do elemento neutro aditivo dos nu´meros reais.
Portanto, f+ 0 = f.
(1iv) Elemento oposto:
Seja −f ∈ F (R) tal que (−f) (x) = −f (x). Temos
(f+ (−f)) (x) = f (x) + (−f) (x)
= f (x) + (−f (x))
= 0 para qualquer x ∈ R. (∗∗∗∗)
(∗∗∗∗) aqui usamos a propriedade do elemento oposto dos nu´meros reais.
Portanto, f+ (−f) = 0. (0 = θ e´ a func¸a˜o nula)
Multiplicac¸a˜o por escalar: exerc´ıcio.
Exerc´ıcios.
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Pa´gina 22 UFU A´lgebra Linear
Exerc´ıcio (1) Verifique se R2 munido das operac¸o˜es
+ : R2 × R2 −→ R2
((x1, y1) , (x2, y2)) 7−→ (x1 + x2, y1 + y2)
e
· : R× R2 −→ R2
(α, (x, y)) 7−→ (αx, 0)
ou seja,
(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2)
α (x, y) = (αx, 0)
e´ um espac¸o vetorial.
Observe que a adic¸a˜o e´ a usual, mas a multiplicac¸a˜o por escalar na˜o e´ a usual
Resoluc¸a˜o.
Ja´ vimos que as propriedades de adic¸a˜o se verificam.
Quanto a` multiplicac¸a˜o por escalar:
(2i) α (β (x, y)) = α (βx, 0) = ((αβ) x, 0) = (αβ) (x, y) se verifica.
(2ii) (α+ β) (x, y) = ((α+ β) x, 0) = (αx+ βx, 0) = (αx, 0) + (βx, 0) = α (x, y) + β (x, y) se verifica.
(2iii) α ((x1, y1) + (x2, y2)) = α (x1 + x2, y1 + y2) = (α (x1 + x2) , 0) = (αx1 + αx2, 0) = (αx1, 0) + (αx2, 0) =
α (x1, y1) + α (x2, y2) se verifica.
(2iv) 1 (x, y) = (1x, 0) = (x, 0) 6= (x, y) quando y 6= 0. Portanto, 1 (x, y) = (x, y) na˜o se verifica.
Conclusa˜o: R2 munido das operac¸o˜es acima na˜o e´ um espac¸o vetorial.
Exerc´ıcio (2) Mostre que em um espac¸o vetorial (V,+, ·), vale a Lei do Cancelamento para a adic¸a˜o: u+w = v+w⇒
u = v.
Resoluc¸a˜o.
Como w ∈ V, existe o oposto −w ∈ V tal que w+ (−w) = 0, sendo 0 o elemento neutro aditivo.
Logo,
u+w = v+w⇒ (u+w) + (−w) = (v+w) + (−w)⇒
u+ (w+ (−w)) = v+ (w+ (−w))⇒ u+ 0 = v+ 0⇒ u = v
Exerc´ıcio (3) Mostre que em um espac¸o vetorial (V,+, ·), o oposto de um elemento e´ u´nico.
Resoluc¸a˜o.
Suponhamos que u ∈ V possua dois elementos opostos: −u1 e −u2 tais que u+(−u1) = 0 e u+(−u2) = 0, sendo
0 o elemento neutro aditivo.
Logo,
u+ (−u1) = u+ (−u2) = 0⇒ −u1 + u = −u2 + u⇒ −u1 = −u2
Exerc´ıcio (4) Mostre que em um espac¸o vetorial (V,+, ·), o oposto neutro e´ u´nico.
Resoluc¸a˜o.
Suponhamos que existam dois elementos neutros em V, indicados por 01 e 02, tais que u + 01 = u e u + 02 = u,
sendo u ∈ V.
Logo,
u+ 01 = u+ 02 ⇒ 01 + u = 02 + u⇒ 01 = 02
Proposic¸a˜o 1. (Propriedades de Espac¸os Vetoriais) Seja (V,+, ·) espac¸o vetorial sobre R.
(1) Se α ∈ R e 0 ∈ V e´ elemento neutro aditivo, enta˜o α0 = 0.
(2) Se u ∈ V e 0 ∈ R, enta˜o 0u = 0. (o primeiro 0 e´ o zero dos nu´meros reais, enquanto que o segundo 0 e´ o elemento
neutro aditivo de V)
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(3) Se α ∈ R e u ∈ V sa˜o tais que αu = 0, enta˜o α = 0 ou u = 0. (o primeiro 0 e´ o zero dos nu´meros reais, enquanto
que o segundo 0 e´ o elemento neutro aditivo de V)
(4) Se α ∈ R e u ∈ V, enta˜o (−α)u = α (−u) = − (αu). (geralmente escrevemos de forma simplificada −(αu) =
−αu)
(5) Sejam α,β ∈ R e u ∈ V, enta˜o (α− β)u = αu−(βu). (geralmente escrevemos de forma simplificada (α− β)u =
αu− βu)
(6) Sejam α ∈ R e u, v ∈ V, enta˜o α (u− v) = αu− (αv). (geralmente escrevemos de forma simplificada α (u− v) =
αu− αv)
Demonstrac¸a˜o.
(1) 0+ α0 = α0+ 0 = α0 = α (0+ 0) = α0+ α0⇒ 0 = α0⇒ α0 = 0.
(2) 0+ 0u = 0u+ 0 = 0u = (0+ 0)u = 0u+ 0u⇒ 0 = 0u⇒ 0u = 0.
(3) Se α = 0 ∈ R, o resultado e´ o´bvio.
Se α 6= 0 ∈ R, enta˜o existe α−1 ∈ R tal que α−1α = 1.
Assim, αu = 0⇒ α−1 (αu) = α−10⇒ (α−1α)u = 0⇒ 1u = 0⇒ u = 0.
(4) Primeira parte: −(αu) = α (−u).
De fato: αu+ (− (αu)) = 0 = α (u+ (−u)) = αu+ α (−u)⇒ −(αu) = α (−u).
Segunda parte: −(αu) = (−α)u.
De fato: αu+ (− (αu)) = 0 = 0u = (α+ (−α))u = αu+ (−α)u⇒ −(αu) = (−α)u.
(5) (α− β)u = (α+ (−β))u = αu+ (−β)u = αu+ (− (βu)) = αu− (βu).
(6) α (u− v) = α (u+ (−v)) = αu+ α (−v) = αu+ (− (αv)) = αu− (αv). �
Exerc´ıcio. Sendo (V,+, ·) espac¸ovetorial e u, v,w ∈ V, calcule 3u+ v− 3w e encontre x ∈ V tal que u+x
2
− x−v
3
= w
para os seguintes casos:
(1) V =M3×2 (R), u =
1 10 0
0 0
, v =
0 12 1
1 1
 e w =
1 21 0
0 −1
;
(2) V = R3, u = (1, 2, 1), v = (2, 3, 1) e w = (1, 1, 1);
(3) V = P2 (R), u = x2, v = x e w = 2x+ 1;
(4) V = F (R), u = f (x) = 2x+ 2, v = g (x) = 3x+ 3 e w = h (x) = sen (x).
2.2 Subespac¸os Vetoriais
Sejam V um espac¸o vetorial sobre R e W ⊂ V. Dizemos que W e´ um subespac¸o vetorial de V quando:
(i) 0 ∈W;
(ii) ∀u, v ∈W ⇒ u+ v ∈W;
(iii) ∀α ∈ R e ∀u ∈W ⇒ αu ∈W.
Notac¸a˜o: W ⊂
se
V.
Obviamente, W tambe´m e´ um espac¸o vetorial sobre R.
Exemplos.
Exemplo (1) Seja V espac¸o vetorial, enta˜o W = V ou W = {0} sa˜o subespac¸os vetoriais de V (triviais).
Exemplo (2) Seja R2 espac¸o vetorial (operac¸o˜es usuais) sobre R, enta˜o W =
{
(x, y) ∈ R2 : x+ 2y = 0} e´ um
subespac¸o vetorial de R2.
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Pa´gina 24 UFU A´lgebra Linear
De fato:
(i) 0 = (0, 0) ∈W pois 0+ 2.0 = 0;
(ii) ∀ (x1, y1) , (x2, y2) ∈W ⇒ x1 + 2y1 = 0 e x2 + 2y2 = 0⇒ (x1 + x2) + 2 (y1 + y2) = 0⇒ (x1 + x2, y1 + y2) ∈
W ⇒ (x1, y1) + (x2, y2) ∈W;
(iii) ∀α ∈ R e (x, y) ∈W ⇒ x+ 2y = 0⇒ αx+ 2αy = 0⇒ (αx, αy) ∈W ⇒ α (x, y) ∈W.
Exemplo (3) Sejam Mn (R) espac¸o vetorial (operac¸o˜es usuais) sobre R e A ∈Mn (R) fixa, enta˜o
W = {X ∈Mn (R) : AX = XA} e´ subespac¸o vetorial de R2.
De fato:
(i) X = 0 ∈W (matriz nula de ordem n), pois AX = A0 = 0 = 0A = XA;
(ii) ∀X, Y ∈W ⇒ AX = XA e AY = YA⇒ AX+AY = XA+ YA⇒ A (X+ Y) = (X+ Y)A⇒ X+ Y ∈W;
(iii) ∀α ∈ R e ∀X ∈W ⇒ A (αX) = α (AX) = α (XA) = (αX)A⇒ αX ∈W.
Exemplo (4) Sejam F (R) espac¸o vetorial (operac¸o˜es usuais) sobre R, enta˜o W = {f ∈ F (R) : f (−x) = f (x)} (func¸o˜es
pares) e´ um subespac¸o vetorial de F (R).
De fato:
(i) f (x) = 0, ∀x ∈ R, (elemento neutro) esta´ em W, pois f (−x) = 0 = f (x);
(ii) ∀f, g ∈ W ⇒ f (−x) = f (x) e g (−x) = g (x) ⇒ f (−x) + g (−x) = f (x) + g (x) ⇒ (f+ g) (−x) = (f+ g) (x) ⇒
f+ g ∈W;
(iii) ∀α ∈ R e ∀f ∈W ⇒ f (−x) = f (x)⇒ α (f (−x)) = α (f (x))⇒ (αf) (−x) = (αf) (x)⇒ αf ∈W.
Exerc´ıcios.
Exerc´ıcio (1) Verifique queW = {f ∈ F (R) : f (−x) = −f (x)} (func¸o˜es ı´mpares) e´ subespac¸o vetorial de F (R) (operac¸o˜es
usuais).
Exerc´ıcio (2) Verifique que W = {A ∈Mn (R) : A = At} (matrizes sime´tricas) e´ subespac¸o vetorial de Mn (R)
(operac¸o˜es usuais).
Exerc´ıcio (3) Verifique que W = {A ∈Mn (R) : A = −At} (matrizes antisime´tricas) e´ subespac¸o vetorial de Mn (R)
(operac¸o˜es usuais).
Exerc´ıcio (4) Verifique que W = {f ∈ F (R) : f (3) = 0} e´ subespac¸o vetorial de F (R) (operac¸o˜es usuais).
Observemos que os elementos deW sa˜o todas as func¸o˜es cujos gra´ficos passam pelo ponto (3, 0) do plano cartesiano.
Exerc´ıcios Diversos.
Exerc´ıcio (1) (Resolvido) Verifique se W =
{
(a, b, c) ∈ R3 : a ≥ 0} e´ subespac¸o vetorial de R3 (operac¸o˜es usuais).
Resoluc¸a˜o.
E´ fa´cil perceber que (0, 0, 0) ∈ W e que se (a, b, c) , (a′, b′, c′) ∈ W, enta˜o (a+ a′, b+ b′, c+ c′) = (a, b, c) +
(a′, b′, c′) ∈W.
No entanto, para α = −1 e (1, 1, 1) ∈W temos que (−1) (1, 1, 1) = (−1,−1,−1) /∈W.
Logo, W na˜o e´ subespac¸o vetorial de R3.
Exerc´ıcio (2) (Proposto) Verifique se W = {f ∈ F (R) : f (7) = 2+ f (1)} e´ subespac¸o vetorial de F (R) (operac¸o˜es
usuais).
Exerc´ıcio (3) (Resolvido) Mostre que se U eW sa˜o subespac¸os vetoriais do espac¸o vetorial V, enta˜o U∩W e´ subespac¸o
vetorial de V.
Resoluc¸a˜o.
(i) 0 ∈ U e 0 ∈W ⇒ 0 ∈ U ∩W (obs. vimos que 0 e´ u´nico);
(ii) ∀u, v ∈ U ∩W ⇒ u, v ∈ U e u, v ∈W ⇒ u+ v ∈ U e u+ v ∈W ⇒ u+ v ∈ U ∩W;
(iii) ∀α ∈ R e u ∈ U ∩W ⇒ α ∈ R, u ∈ U e u ∈W ⇒ αu ∈ U e αu ∈W ⇒ αu ∈ U ∩W.
Um exemplo simples: U =
{
(a, 0, 0) ∈ R3} e W = {(0, b, c) ∈ R3} sa˜o subespac¸os vetoriais de R3, com operac¸o˜es
usuais (verifique isso). E´ fa´cil ver que U ∩W = {(0, 0, 0)} e´ subespac¸o vetorial de R3.
Exerc´ıcio (4) (Resolvido) Mostre que se U eW sa˜o subespac¸os vetoriais do espac¸o vetorial V, enta˜o U∪W nem sempre
e´ subespac¸o vetorial de V.
Resoluc¸a˜o.
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A´lgebra Linear UFU Pa´gina 25
Trata-se de um exerc´ıcio onde basta exibir um contra-exemplo. De fato:
U =
{
(x, y) ∈ R2 : x+ y = 0}
W =
{
(x, y) ∈ R2 : x− y = 0}
sa˜o subespac¸os vetoriais de R2 com operac¸o˜es usuais (verifique isso).
Temos que (−1, 1) ∈ U e (1, 1) ∈ W. Entretanto, (−1, 1) + (1, 1) = (0, 2) /∈ U ∈ W, pois x = 0 e y = 2 na˜o
satisfazem x+ y = 0 ou x− y = 0.
0 1
P0 2( , )
x
1
2
y
WU
2.3 Soma de Dois Subespac¸os Vetoriais
Sejam U e W subespac¸os vetoriais de V. Definimos a soma de U com W e indicamos por U+W o seguinte conjunto:
U+W = {u+w : u ∈ U e w ∈W}
Proposic¸a˜o 2. Nas condic¸o˜es acima U+W e´ um subespac¸o vetorial de V (com as operac¸o˜es de V).
Demonstrac¸a˜o.
(i) 0 ∈ U e 0 ∈W ⇒ 0+ 0 ∈ U+W ⇒ 0 ∈ U+W.
(ii) v1, v2 ∈ U + W ⇒ v1 = u1 + w1 e v2 = u2 + w2 com u1, u2 ∈ U e w1, w2 ∈ W ⇒ u1 + u2 ∈ U e
w1 +w2 ∈W ⇒ (u1 + u2) + (w1 +w2) ∈ U+W ⇒ (u1 +w1) + (u2 +w2) ∈ U+W ⇒ v1 + v2 ∈ U+W.
(iii) α ∈ R e v ∈ U +W ⇒ α ∈ R e v = u + w com u ∈ U e w ∈ W ⇒ αu ∈ U e αw ∈ W ⇒ αu + αw ∈
U+W ⇒ α (u+w) ∈ U+W ⇒ αv ∈ U+W. �
Observac¸o˜es:
(1) U+ {0} = U;
(2) U ⊂ U+W e W ⊂ U+W;
(3) U+W e´ o menor subespac¸o de V que conte´m U e W.
Justificativa: seja L subespac¸o de V tal que U ⊂ L e W ∈ L.
Mostremos que U+W ⊂ L (como L e´ arbitra´rio, U+W sera´ o menor). Seja v ∈ U+W ⇒ v = u+w com u ∈ U
e w ∈W ⇒ u ∈ L e w ∈ L⇒ u+w ∈ L⇒ v ∈ L. Logo, U+W ⊂ L, como quer´ıamos.
Soma Direta de Dois Subespac¸os Vetoriais
Dados U e W subespac¸os vetoriais de V, dizemos que U +W e´ uma soma direta de U com W, e indicamos por
U⊕W, quando U ∩W = {0}.
Exemplo. U = {(a, 0, 0) : a ∈ R} e W = {(0, b, c) : b, c ∈ R} sa˜o subespac¸os vetoriais de R3 (operac¸o˜es usuais).
Como U ∩W = {(0, 0, 0)} temos U⊕W como soma direta.
Exerc´ıcio. Sejam U =
{
(x, y, z) ∈ R3 : x = z} e W = {(x, y, z) ∈ R3 : x+ y+ z = 0} subespac¸os vetoriais de R3.
Verifique se U+W e´ soma direta de U com W.
Resoluc¸a˜o.
Seja (x, y, z) ∈ U ∩W ⇒ { x = z
x+ y+ z = 0
⇒ { x = z
y = −2z
.
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Pa´gina 26 UFU A´lgebra Linear
Logo, U ∩W = {(x, y, z) ∈ R3 : x = z e y = −2z} = {(z,−2z, z) : z ∈ R} 6= {(0, 0, 0)}.
Conclusa˜o: U+W na˜o e´ soma direta.
Proposic¸a˜o 3. Sejam U e W subespac¸os vetoriais de V. Temos:
U⊕W = V se, e somente se, para qualquer v ∈ V, existem, e sa˜o u´nicos, u ∈ U e w ∈W tais que v = u+w.
Demonstrac¸a˜o.
(⇒) Suponhamos que v = u1 +w1 e v = u2 +w2 com u1, u2 ∈ U e w1, w2 ∈W ⇒ u1 +w1 = u2 +w2 ⇒ u1 − u2︸ ︷︷ ︸
∈U
=
w1 −w2︸ ︷︷ ︸
∈W
∈ U ∩W.
Como a soma e´ direta temos
{
u1 − u2 = 0
w1 −w2 = 0
⇒ { u1 = u2
w1 = w2
. Logo, a decomposic¸a˜o de v como soma de elementos
de U e W e´ u´nica.
(⇐) Seja v ∈ U ∩W ⇒ v ∈ U e v ∈ W. Sejam u ∈ U e w ∈ W quaisquer. Temos u↓
∈U
+ w↓
∈W
= (u− v)︸ ︷︷ ︸
∈U
+ (w+ v)︸ ︷︷ ︸
∈W
.
Mas, por hipo´tese, o elemento u+w e´ escrito de maneira u´nica como soma de elementos de U e W. Logo, u = u− v e
w = w+ v⇒ v = 0. Conclusa˜o U∩W = {0} e, portanto, a soma e´ direta. Por fim, observemos que a hipo´tese garante
que todo v ∈ V e´ escrito como soma de elementos de U e W. Portanto, V = U⊕W. �
Observac¸a˜o. Embora a proposic¸a˜o acima seja interessante, geralmente e´ mais fa´cil provar que V = U⊕W verificando
que V = U+W (V e´ uma soma de dois subespac¸os) e U ∩W = {0} (a soma e´ direta).
Exerc´ıcios.
Exerc´ıcio (1) Sejam U =
{
(x, y, z) ∈ R3 : x = z}, V = {(x, y, z) ∈ R3 : x = y = 0} e
W =
{
(x, y, z) ∈ R3 : x+ y+ z = 0}. Verifique se (i) R3 = U⊕W; (ii) R3 = U⊕ V e (iii) R3 = V ⊕W.
Dicas: no caso (ii) escreva (x, y, z) = (x, y, x)+(0, 0, z− x) e no caso (iii) (x, y, z) = (0, 0, x+ y+ z) = (x, y,−x− y).
No caso (i)na˜o e´ soma direta.
Exerc´ıcio (2) Mostre que se U e´ subespac¸o vetorial das matrizes sime´tricas e W e´ subespac¸o vetorial das matrizes
anti-sime´tricas de V =Mn (R) (operac¸o˜es usuais), enta˜o Mn (R) = V ⊕W.
Dicas: U = {A ∈Mn (R) : A = At}, W = {A ∈Mn (R) : A = −At} e, se M ∈ Mn (R), escreva M = 12 (M+Mt) +
1
2
(M−Mt).
Exerc´ıcio (3) Mostre que se U e´ subespac¸o vetorial das func¸o˜es pares e W e´ subespac¸o vetorial das func¸o˜es ı´mpares
de V = F (R) (operac¸o˜es usuais), enta˜o F (R) = V ⊕W.
Resoluc¸a˜o.
Temos
U = {g ∈ F (R) : g (−x) = g (x)}
W = {h ∈ F (R) : h (−x) = −h (x)}
(i) Dada f ∈ F (R), definamos g (x) = 1
2
(f (x) + f (−x)) e h (x) = 1
2
(f (x) − f (−x)).
Observemos que:
g (−x) =
1
2
(f (−x) + f (− (−x))) =
1
2
(f (−x) + f (x)) =
1
2
(f (x) + f (−x)) = g (x) . Logo, g ∈ U.
h (−x) =
1
2
(f (−x) − f (− (−x))) =
1
2
(f (−x) − f (x)) = −
1
2
(f (x) − f (−x)) = −h (x) . Logo, h ∈W.
Mas
g (x)︸︷︷︸
∈U
+ h (x)︸ ︷︷ ︸
∈W
=
1
2
(f (x) + f (−x)) +
1
2
(f (x) − f (−x)) = f (x)⇒ f = g+ h.
Portanto, F (R) = U+W.
(ii) Seja f ∈ U ∩W ⇒ f (x) = f (−x) e f (x) = −f (−x) ⇒ f (−x) = −f (−x) ⇒ f (x) = −f (x) (pois f (x) = f (−x))⇒ 2f (x) = 0⇒ f (x) = 0 para qualquer x ∈ R. Logo, U ∩W = {0} e a soma e´ direta.
Conclusa˜o: F (R) = U⊕W.
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A´lgebra Linear UFU Pa´gina 27
2.4 Combinac¸o˜es Lineares
Seja V um espac¸o vetorial sobre R. Dizemos que v ∈ V e´ combinac¸a˜o linear de v1, . . . , vn quando existirem
α1, . . . , αn ∈ R tais que v = α1v1 + · · ·+ αnvn.
Exemplo. Sejam V = R3, v1 = (1, 0, 0), v2 = (0, 1, 0) e v3 = (0, 0, 1) em R3. Temos que v = (2, 2, 3) = 2 (1, 0, 0) +
2 (0, 1, 0) + 3 (0, 0, 1) e´ combinac¸a˜o linear de v1, v2 e v3.
Exerc´ıcios.
Exerc´ıcio (1) Sejam v1 = (1, 1,−1), v2 = (2, 1, 0) e v3 = (0, 1, 1) em R3. Escreva v = (2, 2, 3) como combinac¸a˜o linear
de v1, v2 e v3.
Resoluc¸a˜o.
Sejam a1, a2 e a3 ∈ R tais que:
v = a1v1 + a2v2 + a3v3 ⇒ (2, 2, 3) = a1 (1, 1,−1) + a2 (2, 1, 0) + a3 (0, 1, 1)⇒
(2, 2, 3) = (a1 + 2a2, a1 + a2 + a3,−a1 + a3)⇒
 a1 + 2a2 = 2a1 + a2 + a3 = 2
−a1 + a3 = 3
⇒ · · ·⇒
 a1 = −4/3a2 = 5/3
a3 = 5/3
Logo, (2, 2, 3) = −4
3
(1, 1,−1) + 5
3
(2, 1, 0) + 5
3
(0, 1, 1).
Exerc´ıcio (2) Dados v1 = (1,−3, 2) e v2 = (2, 4,−1) em R3. Mostre que:
(i) v = (4, 3,−6) na˜o e´ combinac¸a˜o linear de v1 e v2.
(ii) Determine k ∈ R para que (−1, k,−7) seja combinac¸a˜o linear de v1 e v2.
(Resposta: k = 13)
2.5 Subespac¸o Vetorial Gerado por um Conjunto
O conjunto de todas as combinac¸o˜es lineares de um subconjunto de elementos de um espac¸o vetorial desempenha um
papel muito importante na A´lgebra Linear, conforme proposic¸a˜o abaixo.
Proposic¸a˜o 4. Sejam V espac¸o vetorial e S ⊂ V, S = {v1, . . . , vn}. Enta˜o, [S] = {a1v1 + · · ·+ anvn : a1, . . . , an ∈ R}
e´ subespac¸o vetorial de V.
Demonstrac¸a˜o.
(i) 0 ∈ [S] pois 0 = 0v1 + · · ·+ 0vn.
(ii) Sejam u, v ∈ [S]⇒ u = a1v1 + · · ·+ anvn e v = b1v1 + · · ·+ bnvn ⇒ u+ v = (a1 + b1)︸ ︷︷ ︸
c1
v1 + · · ·+ (an + bn)︸ ︷︷ ︸
cn
vn =
c1v1 + · · ·+ cnvn ∈ [S].
(iii) Sejam α ∈ R e v ∈ [S]⇒ α ∈ R e v = a1v1+· · ·+anvn ⇒ αv = (αa1)︸ ︷︷ ︸
b1
v1+· · ·+ (αan)︸ ︷︷ ︸
bn
vn = b1v1+· · ·+bnvn ∈ [S].
�
Nas condic¸o˜es da proposic¸a˜o acima, [S] e´ chamado de subespac¸o vetorial de V gerado por S. Os elementos de S sa˜o
chamados de geradores de [S].
Quando S = ∅, convencionamos que [S] = {0}.
Quando S ⊂ V for infinito, definimos [S] como sendo o conjunto dos v ∈ V tais que existem v1, . . . , vn ∈ S e
α1, . . . , αn ∈ R (quantidades finitas!) tais que v = α1v1 + · · ·+ αnvn.
Exemplos.
Exemplo (1) V = R2 e S = {(1, 0) , (1, 1)}. Determinar [S].
Resoluc¸a˜o.
Seja (x, y) ∈ [S]. Logo, existem α, β ∈ R tais que (x, y) = α (1, 0) + β (1, 1) ⇒ (x, y) = (α+ β,β) ⇒{
x = α+ β
y = β
⇒ { α = x− y
β = y
, ou seja, (x, y) = (x− y) (1, 0) + y (1, 1) e podemos escrever qualquer elemento
de R2 como combinac¸a˜o linear de (1, 0) e (1, 1). Logo, R2 ⊂ [S].
Como, naturalmente, [S] ⊂ R2, temos [S] = R2.
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Pa´gina 28 UFU A´lgebra Linear
Exemplo (2) V = R3 e S = {(1,−2,−1) , (2, 1, 1)}. Determinar [S].
Resoluc¸a˜o.
Seja (x, y, z) ∈ [S]. Logo, existem α, β ∈ R tais que
(x, y, z) = α (1,−2,−1) + β (2, 1, 1)⇒ (x, y, z) = (α+ 2β,−2α+ β,−α+ β)⇒ x = α+ 2βy = −2α+ β
z = −α+ β
⇒
 x = α+ 2βy = −2α+ β
z = −α+ β
⇒
 α+ 2β = x5β = 2x+ y
3β = x+ z
⇒

α+ 2β = x
5β = 2x+ y
0 = −1
5
x− 3
5
y+ z
.
A u´ltima linha pode ser reescrita como x+ 3y− 5z = 0.
Assim, para que (x, y, z) ∈ [S] possa ser escrito como combinac¸a˜o linear de elementos de S e´ necessa´rio que
x+ 3y− 5z = 0 (caso contra´rio, o sistema e´ imposs´ıvel).
Logo, [S] =
{
(x, y, z) ∈ R3 : x+ 3y− 5z = 0} ⊂ R3 (geometricamente, [S] e´ um plano que conte´m a origem do R3).
Exemplo (3) V =M2 (R) e S =
{[
−1 2
−2 3
]
,
[
3 −1
1 1
]}
. Determinar [S].
Resposta. [S] =
{[
x y
w z
]
∈M2 (R) : y+w = 0 e x+ 2y− z = 0
}
.
Exemplo (4) Seja V = R∞ = {(x1, x2, . . . , xn, . . .) : xk ∈ R para qualquer k ∈ N} (e´ fa´cil mostrar que V e´ o espac¸o
vetorial das sequeˆncias reais com as operac¸o˜es usuais). Seja S = {(1, 0, 0, 0, . . .) , (0, 1, 0, 0, . . .) , (0, 0, 1, 0, . . .) , . . .} ⊂ V.
O elemento v = (2, 1, 3, 2, 0, 0, 0, . . .) ∈ [S], pois existem v1 = (1, 0, 0, 0, 0, . . .), v2 = (0, 1, 0, 0, 0, . . .), v3 =
(0, 0, 1, 0, 0, . . .), v4 = (0, 0, 0, 1, 0, . . .) ∈ S e α1 = 2, α2 = 1, α3 = 3, α4 = 2 ∈ R tais que v = α1v1+α2v2+α3v3+α4v4,
ou seja, (2, 1, 3, 2, 0, 0, 0, . . .) = 2 (1, 0, 0, 0, 0, . . .) + 1 (0, 1, 0, 0, 0, . . .) + 3 (0, 0, 1, 0, 0, . . .) + 2 (0, 0, 0, 1, 0, . . .).
Ja´ o elemento v = (1, 2, 3, 4, 5, . . .) /∈ [S], pois na˜o existe uma quantidade finita de elementos de S tais que v seja
combinac¸a˜o linear desses elementos.
Proposic¸a˜o 5. (Propriedades) Seja V espac¸o vetorial sobre R e S = {v1, . . . , vn} ⊂ V.
(i) S ⊂ [S];
(ii) S1 ⊂ S2 ⊂ V ⇒ [S1] ⊂ [S2];
(iii) [S] = [[S]];
(iv) S1, S2 ⊂ V ⇒ [S1 ∪ S2] = [S1] + [S2].
Demonstrac¸a˜o.
(i) Seja vk ∈ S. Enta˜o, vk = 0v1 + · · ·+ 0vk−1 + 1vk + 0vk+1 + · · ·+ 0vn ∈ [S]. Logo, S ⊂ [S].
(ii) Neste item fac¸amos S1 = {u1, . . . , um} e S2 = {w1, . . . , wn} (esses conjuntos na˜o precisam ter a mesma quantidade
de elementos) e, como S1 ⊂ S2, temos m ≤ n e, sem perda de generalidade, suponhamos que u1 = w1, u2 = w2, . . .,
um = wm.
Seja v ∈ [S1]⇒ v = α1u1+· · ·+αmum = α1w1+· · ·+αmwm = α1w1+· · ·+αmwm+0wm+1+· · ·+0wn ⇒ v ∈ [S2].
Logo, [S1] ⊂ [S2].
(iii) Do item (i) temos S ⊂ [S]⇒ [S] ⊂ [[S]].
Quanto a` inclusa˜o contra´ria:
Seja v ∈ [[S]]⇒ v = n∑
i=1
αivi com vi ∈ [S]. Mas vi =
m∑
j=1
βjuj com uj ∈ S. Logo,
v =
n∑
i=1
(
αi
m∑
j=1
βjuj
)
=
n∑
i=1
(
m∑
j=1
αiβjuj
)
=
m∑
j=1
(
n∑
i=1
αiβj
)
︸ ︷︷ ︸
γj
uj =
m∑
j=1
γjuj ⇒ v ∈ [S] .
Logo, [[S]] ⊂ [S].
Conclusa˜o: [S] = [[S]].
(iv) Neste item fac¸amos S1 = {u1, . . . , um} e S2 = {w1, . . . , wn} (esses conjuntos na˜o precisam ter a mesma quantidade
de elementos).
Seja v ∈ [S1 ∪ S2] ⇐⇒ v = α1u1 + · · ·+ αmum︸ ︷︷ ︸
∈[S1]
+ β1w1 + · · ·+ βnwn︸ ︷︷ ︸
∈[S2]
⇐⇒ v ∈ [S1] + [S2]. Logo, [S1 ∪ S2] =
[S1] + [S2]. �
Observac¸a˜o. Se S e´ um espac¸o vetorial, enta˜o S = [S]. De fato, se v ∈ [S], enta˜o v = α1v1 + · · ·+ αnvn︸ ︷︷ ︸
∈S
, ou seja,
v ∈ S, pois S e´ espac¸o vetorial. Portanto, [S] ⊂ S. Como S ⊂ [S] (proposic¸a˜o acima), conclu´ımos S = [S].
Edson Agustini sites.google.com/site/edsonagustini agustini@ufu.br
A´lgebra Linear UFU Pa´gina 29
Exerc´ıcios.
Exerc´ıcio (1) Determine um conjunto gerador para os seguintes subespac¸os vetoriais:
(a) U =
{
(x, y, z) ∈ R3 : x− y = 0} ⊂ R3 (com operac¸o˜es usuais).
(b) V =
{
(x,y, z, t) ∈ R4 : x− y = z+ t = 0} ⊂ R4 (com operac¸o˜es usuais).
(c) W =
{
(x, y, z, t) ∈ R4 : x− y− z+ t = 0} ⊂ R4 (com operac¸o˜es usuais).
Resoluc¸a˜o de (a).
Seja (x, y, z) ∈ U⇐⇒ x− y = 0⇐⇒ x = y, ou seja, (x, y, z) = (x, x, z) = x (1, 1, 0) + z (0, 0, 1) sendo x, z ∈ R.
Chamando v1 = (1, 1, 0), v2 = (0, 0, 1) e S = {v1, v2} temos U = [S], ou seja, S e´ conjunto gerador de U.
Respostas de (b) e (c): V = [S] com S = {(1, 1, 0, 0) , (0, 0, 1,−1)} eW = [S] com S = {(1, 1, 0, 0) , (1, 0, 1, 0) , (−1, 0, 0, 1)}.
Exerc´ıcio (2) Se U = [(1, 0, 0) , (1, 1, 1)] e V = [(0, 1, 0) , (0, 0, 1)], encontre um conjunto gerador de U ∩ V.
Observac¸a˜o: [S] pode ser escrito como [v1, . . . , vn] sendo S = {v1, . . . , vn}.
Resoluc¸a˜o.
Temos
v ∈ U ∩ V ⇒ { v = α (1, 0, 0) + β (1, 1, 1)
v = γ (0, 1, 0) + δ (0, 0, 1)
⇒ v = (α+ β,β, β) = (0, γ, δ)⇒
 α+ β = 0⇒ α = −ββ = γ
β = δ
⇒
{
v = −β (1, 0, 0) + β (1, 1, 1)
v = β (0, 1, 0) + β (0, 0, 1)
⇒ { v = (−β+ β,β, β)
v = (0, β, β)
⇒ v = (0, β, β) = β (0, 1, 1) com β ∈ R⇒ v ∈ [(0, 1, 1)]
Logo, U ∩ V ⊂ [(0, 1, 1)].
Quanto a` inclusa˜o contra´ria, observemos que (0, 1, 1) = − (1, 0, 0) + (1, 1, 1)⇒ (0, 1, 1) ∈ U⇒ [(0, 1, 1)] ⊂ [U] = U
(pois U e´ espac¸o vetorial). Analogamente, (0, 1, 1) = (0, 1, 0) + (0, 0, 1)⇒ (0, 1, 1) ∈ V ⇒ [(0, 1, 1)] ⊂ [V ] = V (pois V
e´ espac¸o vetorial). Logo, [(0, 1, 1)] ⊂ U ∩ V.
Conclusa˜o: U ∩ V = [(0, 1, 1)]. e S = {(0, 1, 1)} e´ conjunto gerador de U ∩ V.
Exerc´ıcio (3) Dados U =
{
(x, y, z) ∈ R3 : z = 0} e V = {(x, y, z) ∈ R3 : x+ y+ z = 0}. Determine conjuntos gera-
dores para U, V, U ∩ V e U+ V.
Exerc´ıcio (4) Determine conjuntos geradores para:
(i) M2 (R);
(ii) U = {A ∈M2 (R) : A = At} (subespac¸o vetorial das matrizes ortogonais);
(iii) W =
{[
a b
c d
]
∈M2 (R) : b = −c
}
.
2.6 Espac¸os Vetoriais Finitamente Gerados
Dizemos que V e´ um espac¸o vetorial finitamente gerado quando existe S ⊂ V finito tal que V = [S].
Exemplos.
Exemplo (1) R3 e´ finitamente gerado: R3 = [(1, 0, 0) , (0, 1, 0) , (0, 0, 1)].
De fato, [(1, 0, 0) , (0, 1, 0) , (0, 0, 1)] ⊂ R3 (o´bvio).
Seja (x, y, z) ∈ R3 ⇒ (x, y, z) = x (1, 0, 0) + y (0, 1, 0) + z (0, 0, 1) ⇒ (x, y, z) ∈ [(1, 0, 0) , (0, 1, 0) , (0, 0, 1)]. Logo,
R3 ⊂ [(1, 0, 0) , (0, 1, 0) , (0, 0, 1)].
Conclusa˜o: R3 = [(1, 0, 0) , (0, 1, 0) , (0, 0, 1)].
Exemplo (2) (generalizac¸a˜o do exemplo anterior) Rn e´ finitamente gerado:
Rn = [(1, 0, 0, . . . , 0) , (0, 1, 0, . . . , 0) , . . . , (0, . . . , 0, 1)].
Exemplo (3) Pn (R) e´ finitamente gerado: Pn (R) =
[
1, x, x2, . . . , xn
]
.
Exemplo (4) M2 (R) e´ finitamente gerado: Mn (R) =
{[
1 0
0 0
]
,
[
0 1
0 0
]
,
[
0 0
1 0
]
,
[
0 0
0 1
]}
.
Exemplo (5) P (R): conjunto dos polinoˆmios com coeficientes reais, na˜o e´ finitamente gerado.
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Pa´gina 30 UFU A´lgebra Linear
De fato, seja S = {p1, p2, . . . , pn} ⊂ P (R). Logo, existe pk ∈ S de grau ma´ximo. Suponhamos que o grau do
polinoˆmio pk seja m. Tomemos p ∈ P (R) tal que p possui grau maior do que m. Logo, o polinoˆmio p na˜o pode ser
escrito como combinac¸a˜o linear de p1, . . . , pn. Portanto, P (R) 6= [S].
Exemplo (6) R∞ = {(x1, x2, . . . , xn, . . .) : xk ∈ R com k ∈ N} (espac¸o vetorial das sequeˆncias nume´ricas reais) na˜o e´
finitamente gerado.
2.7 Dependeˆncia e Independeˆncia Linear
Sejam V espac¸o vetorial sobre R e S = {u1, . . . , un} ⊂ V. Dizemos que S e´ um conjunto linearmente independente
(LI) quando ocorrer:
α1u1 + α2u2 + · · ·+ αnun = 0⇒ α1 = α2 = · · · = αn = 0.
Caso contra´rio, dizemos que S e´ um conjunto linearmente dependente (LD).
Com certo abuso de linguagem, tambe´m se pode dizer que u1, . . . , un sa˜o LI, ou LD.
Por convenc¸a˜o, S = ∅ e´ considerado LI.
Exemplos.
Exemplo (1) Sejam V = R3 (operac¸o˜es usuais) e S = {(1, 0, 0) , (0, 1, 0) , (0, 0, 1)}. O conjunto S e´ LI.
De fato, sejam α1, α2, α3 ∈ R tais que α1 (1, 0, 0) + α2 (0, 1, 0) + α3 (0, 0, 1) = (0, 0, 0)⇒ (α1, α2, α3) = (0, 0, 0)⇒
α1 = α2 = α3 = 0. Logo, S e´ LI.
Exemplo (2) Sejam V = R3 (operac¸o˜es usuais) e S = {(1, 0, 0) , (0, 1, 0) , (1, 2, 0) , (0, 1, 1)}. O conjunto S e´ LD.
De fato, sejam α1, α2, α3, α4 ∈ R tais que α1 (1, 0, 0) + α2 (0, 1, 0) + α3 (1, 2, 0) + α4 (0, 1, 1) = (0, 0, 0) ⇒
(α1 + α3, α2 + 2α3 + α4, α4) = (0, 0, 0). Logo, α1 + α3 = 0α2 + 2α3 + α4 = 0
α4 = 0
que e´ um sistema linear escalonado com mais varia´veis do que linhas, ou seja, um sistema linear poss´ıvel e indeterminado
(SPI). Portanto, ha´ infinitas soluc¸o˜es. A soluc¸a˜o trivial (todos os α′s nulos) e´ apenas uma delas. Um exemplo de
soluc¸a˜o na˜o trivial e´ α1 = 1, α2 = 2, α3 = −1 e α4 = 0. Logo, S e´ LD.
Exerc´ıcio. Verifique se S = {eax cos (bx) , eax sen (bx)} ⊂ F (R), com a e b constantes reais sendo b 6= 0, e´ LI ou LD.
Resoluc¸a˜o.
Sejam α1, α2 ∈ R tais que α1 (eax cos (bx)) + α2 (eax sen (bx)) = 0⇒ α1 cos (bx) + α2 sen (bx) = 0 (pois eax 6= 0
para qualquer x ∈ R).
Mas a igualdade deve valer para qualquer x ∈ R.
Para x = 0 temos α1 cos (0) + α2 sen (0) = 0⇒ α11+ α20 = 0⇒ α1 = 0.
Para x = pi
2b
temos α1 cos
(
b pi
2b
)
+ α2 sen
(
b pi
2b
)
= 0⇒ α1 cos (pi2 )+ α2 sen (pi2 ) = 0⇒ α10+ α21 = 0⇒ α2 = 0.
Logo, α1 = α2 = 0. Portanto, S e´ LI.
Propriedades da Dependeˆncia Linear
(1) Sendo V um espac¸o vetorial e S um conjunto finito S ⊂ V, que conte´m o elemento neutro de V, e´ LI ou LD?
Exemplo: V = R2 e S = {(0, 0) , (1, 2) , (1, 1)} e´ LI ou LD?
Sejam α1, α2, α3 ∈ R tais que α1 (0, 0) + α2 (1, 2) + α3 (1, 1) = (0, 0). Podemos tomar, por exemplo, α1 = 1,
α2 = α3 = 0. Logo, S e´ LD.
P1. Se V e´ espac¸o vetorial, S ⊂ V e´ finito e 0 ∈ S, enta˜o S e´ LI.
Justificativa: Sejam S = {0, u2, . . . , un} e α1, α2, . . . , αn ∈ R tais que α10+α2u2 + · · ·+αnun = 0. Tomando α1 6= 0
e α2 = · · · = αn = 0, a igualdade envolvendo a combinac¸a˜o linear fica satisfeita sem que todos os coeficientes seja
nulos. Logo, S e´ LD.
(2) Um conjunto unita´rio S = {u} ⊂ V, sendo V espac¸o vetorial e u 6= 0, e´ LI ou LD?
Exemplo: V = R2 e S = {(1, 1)} e´ LI ou LD?
Seja α ∈ R tal que α (1, 1) = (0, 0)⇒ (α,α) = (0, 0)⇒ α = 0. Logo, α e´ necessariamente nulo. Portanto, S e´ LI.
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A´lgebra Linear UFU Pa´gina 31
P2. Se V e´ espac¸o vetorial, S = {u} ⊂ V com u 6= 0, enta˜o S e´ LI.
Justificativa: Seja α ∈ R tal que αu = 0. Logo, α = 0 necessariamente (pois u 6= 0).
De fato, se α 6= 0 ter´ıamos a existeˆncia de α−1 ∈ R tal que αα−1 = 1. Ale´m disso, α−10 = α−1 (0+ 0) =
α−10+ α−10 e, portanto,
0 = −
(
α−10
)
+
(
α−10
)
= −
(
α−10
)
+
(
α−10+ α−10
)
=
(
−α−10+ α−10
)
+ α−10 = 0+ α−10 = α−10.
Logo,
αu = 0⇒ α−1 (αu) = α−10⇒ (αα−1)u = 0⇒ 1u = 0⇒ u = 0,
uma contradic¸a˜o com a hipo´tese.
(3) Quando S ⊂ V, sendo V espac¸o vetorial, e´ finito e LD, e´ verdade que existe um elemento de S que pode ser escrito
como combinac¸a˜o linear dos demais?
Exemplo: V = R2 e S = {(1, 0) , (0, 1) , (1, 1)} e´ LD, pois 1 (1, 0) + 1 (0, 1) − 1 (1, 1) = (0, 0) e α1 = 1, α2 = 1,
α3 = −1 na˜o sa˜o todos nulos.
Podemos escrever (1, 0) como combinac¸a˜o linear de (0, 1) e (1, 1) do seguinte modo: (1, 0) = 1 (1, 1) − 1 (0, 1).
Idem para (0, 1) sendo (0, 1) = 1 (1, 1) − 1 (1, 0).
Idem para (1, 1) sendo (1, 1) = 1 (1, 0) + 1 (0, 1).
P3. Se S = {u1, . . . , un} ⊂ V, sendo V espac¸o vetorial, e´ LD, enta˜o existe um de seus elementos que pode ser escrito
como combinac¸a˜o linear dos demais.
Justificativa: Como S e´ LD, existem α1, . . . , αn ∈ R tais que α1u1 + · · ·+ αnun = 0 com algum αk 6= 0. Logo, existe
α−1k ∈ R tal que αkα−1k = 1 e
α−1k (α1u1 + · · ·+ αnun) = α−1k 0⇒ (α1α−1k )u1 + · · ·+ (αkα−1k )uk + · · ·+ (αnα−1k )un = 0⇒
uk = −
(
α1α
−1
k
)
u1 − · · ·−
(
αk−1α
−1
k
)
uk−1 −
(
αk+1α
−1
k)
uk+1 − · · ·−
(
αnα
−1
k
)
un,
ou seja, uk e´ combinac¸a˜o linear dos demais elementos de S.
Uma observac¸a˜o importante sobre a propriedade (3): nem sempre todo elemento de S pode ser escrito como combinac¸a˜o
linear dos demais elementos de S, como fizemos no exemplo acima. De fato, S = {(1, 0) , (2, 0) , (0, 1)} e´ LD, pois
2 (1, 0) − 1 (2, 0) + 0 (0, 1) = (0, 0). Mas (0, 1) na˜o pode ser escrito como combinac¸a˜o linear de (1, 0) e (2, 0), pois caso
contra´rio, (0, 1) = α1 (1, 0) + α2 (2, 0)⇒ { α1 + 2α2 = 01 = 0 , o que e´ uma contradic¸a˜o.
(4) Quando S1 e S2 sa˜o finitos e na˜o vazios com S1 LD e S1 ⊂ S2 ⊂ V, sendo V espac¸o vetorial, o conjunto S2 e´ LI
ou LD?
Exemplo: S1 = {(1, 0) , (0, 1) , (1, 1) , (2, 0)} e S2 = {(1, 0) , (2, 0)} sa˜o tais que S2 e´ LD, pois 1 (1, 0)−
1
2
(2, 0) = (0, 0)
e α1 = 1, α2 = −
1
2
na˜o sa˜o nulos. Mas S1 tambe´m e´ LD, pois 1 (1, 0) −
1
2
(2, 0) + 0 (0, 1) + 0 (1, 1) = (0, 0).
P4. Se S1 ⊂ S2 sa˜o conjuntos finitos na˜o vazios no espac¸o vetorial V e S1 e´ LD, enta˜o S2 e´ LD.
Justificativa: Tomemos S1 = {u1, . . . , ur} e S2 = {u1, . . . , ur, . . . , un}. Como S1 e´ LD, existem α1, . . . , αr ∈ R
na˜o todos nulos tais que α1u1 + · · · + αrur = 0 ⇒ α1u1 + · · · + αrur + 0ur+1 + · · · + 0un = 0, ou seja, existem
α1, . . . , αr, . . . , αn ∈ R na˜o todos nulos tais que α1u1 + · · ·+ αrur + · · ·+ αnun = 0 e, portanto, S2 e´ LD.
(5) Um conjunto finito na˜o vazio contido em um conjunto finito LI em um espac¸o vetorial pode ser LD?
Exemplo: Seja S1 = {(1, 0, 0) , (1, 1, 0)} e S2 = {(1, 0, 0) , (1, 1, 0) , (1, 1, 1)}.
O conjunto S2 e´ LI pois α1 (1, 0, 0)+α2 (1, 1, 0)+α3 (1, 1, 1) = (0, 0, 0)⇒ (α1 + α2 + α3, α2 + α3, α3) = (0, 0, 0)⇒
α1 = α2 = α3 = 0 (necessariamente)
O conjutno S1 e´ LI pois α1 (1, 0, 0) + α2 (1, 1, 0) = (0, 0, 0) ⇒ (α1 + α2, α2, 0) = (0, 0, 0) ⇒ α1 = α2 = 0
(necessariamente).
P5. Se S1 ⊂ S2 sa˜o conjuntos finitos na˜o vazios no espac¸o vetorial V e S2 e´ LI, enta˜o S1 e´ LI.
Justificativa: se S1 fosse LD, enta˜o pela propriedade (4), S2 seria LD, uma contradic¸a˜o com a hipo´tese. Logo, S1 e´ LI.
(6) Se adicionarmos um elemento a um conjunto LI e este novo conjunto tornar-se LD, podemos escrever u como
combinac¸a˜o linear dos elementos do conjunto original?
Exemplo: S = {(1, 0) , (0, 1)} e´ LI. Tomemos u = (10, 20) e formemos o conjunto S′ = {(1, 0) , (0, 1) , (10, 20)} que
e´ LD, pois 10 (1, 0) + 20 (0, 1) − 1 (10, 20) = (0, 0) com coeficientes α1 = 10, α2 = 20 e α3 = −1 na˜o todos nulos. O
elemento (10, 20) pode ser escrito como combinac¸a˜o linear de (1, 0) e (0, 1). De fato, (10, 20) = 10 (1, 0) + 20 (0, 1).
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Pa´gina 32 UFU A´lgebra Linear
P6. Se S = {u1, . . . , un} ⊂ V, sendo V espac¸o vetorial, e´ LI e S′ = S ∪ {u} e´ LD com u ∈ V, enta˜o u e´ combinac¸a˜o
linear dos elementos de S.
Justificativa: Por hipo´tese, S′ e´ LD. Logo, existem α1, . . . , αn, α ∈ R na˜o todos nulos tais que
α1u1 + · · ·+ αnun + αu = 0.
Afirmac¸a˜o: α 6= 0. De fato, se α = 0 ter´ıamos α1u1 + · · · + αnun = 0 e, como S e´ LI por hipo´tese, ter´ıamos
α1 = · · · = αn = 0, contrariando o fato de α1, . . . , αn, α na˜o serem todos nulos.
Logo, existe α−1 ∈ R tal que αα−1 = 1. Portanto,
α−1 (α1u1 + · · ·+ αnun + αu) = α−10⇒ (α−1α1)u1 + · · ·+ (α−1αn)un + (α−1α)u = 0⇒
u = −
(
α−1α1
)
u1 − · · ·−
(
α−1αn
)
un,
ou seja, u pode ser escrito como combinac¸a˜o linear dos elementos de S. Em outras palavras, u ∈ [S].
(7) Seja S um conjunto finito e na˜o vazio e suponhamos que u ∈ S possa ser escrito como combinac¸a˜o linear dos demais
elementos de S. Nessas condic¸o˜es, e´ verdade que os espac¸os vetoriais gerados por S e por S− {u} sa˜o os mesmos? Em
outras palavras, [S] = [S− {u}]?
Exemplo: Seja S = {(1, 0) , (0, 1) , (1, 1)} e u = (1, 1). Temos u como combinac¸a˜o linear de (1, 0) e (0, 1), pois
(1, 1) = 1 (1, 0) + 1 (0, 1) com α1 = 1 e α2 = 1 na˜o nulos.
Nessas condic¸o˜es, [S] = {x (1, 0) + y (0, 1) + z (1, 1) : x, y, z ∈ R} e [S− {u}] = {x′ (1, 0) + y′ (0, 1) : x′, y′ ∈ R}.
E´ o´bvio que [S− {u}] ⊂ [S] (basta fazer z = 0 em [S]).
Quanto a` inclusa˜o contra´ria, seja v ∈ [S] ⇒ v = x (1, 0) + y (0, 1) + z (1, 1) ∈ [S] ⇒ v = x (1, 0) + y (0, 1) +
z ((1, 0) + (0, 1)) = (x+ z)︸ ︷︷ ︸
x′
(1, 0)+ (y+ z)︸ ︷︷ ︸
y′
(0, 1) = x′ (1, 0) + y′ (0, 1)⇒ v ∈ [S− {u}]. Logo, [S] ⊂ [S− {u}].
Portanto, [S] = [S− {u}].
P7. Se S = {u1, . . . , uk, . . . , un} ⊂ V, sendo V espac¸o vetorial, e uk ∈ [S− {uk}], enta˜o [S] = [S− {uk}].
Justificativa: Como S− {uk} ⊂ S⇒ [S− {uk}] ⊂ [S] (propriedade).
Quanto a` inclusa˜o contra´ria, seja v ∈ [S] ⇒ v = α1u1 + · · · + αkuk + · · · + αnun. Como uk ∈ [S− {uk}] ⇒ uk =
β1u1 + · · ·+ βk−1uk−1 + βk+1uk+1 + · · ·+ βnun.
Portanto,
v = α1u1 + · · ·+ αkuk + · · ·+ αnun
= α1u1 + · · ·+ αk (β1u1 + · · ·+ βk−1uk−1 + βk+1uk+1 + · · ·+ βnun) + · · ·+ αnun
= (α1 + αkβ1)u1 + · · ·+ (αk−1 + αkβk−1)uk−1 + (αk+1 + αkβk+1)uk+1 + · · ·+ (αn + αkβn)un,
ou seja, v ∈ [S− {uk}]. Portanto, [S] ⊂ [S− {uk}].
Conclusa˜o: [S] = [S− {uk}].
P8. Se S ⊂ V e´ finito, na˜o vazio e LI, sendo V espac¸o vetorial, enta˜o v ∈ [S] e´ escrito de maneira u´nica como
combinac¸a˜o linear dos elementos de S.
Justificativa: Suponhamos que S = {u1, . . . , un} e v ∈ [S] e´ tal que v = α1u1 + · · ·+ αnun e v = β1u1 + · · ·+ βnun.
Enta˜o:
α1u1 + · · ·+ αnun = β1u1 + · · ·+ βnun ⇒
(α1 − β1)u1 + · · ·+ (αn − βn)un = 0⇒
α1 − β1 = · · · = αn − βn = 0 (pois S e´ LI)⇒
α1 = β1, . . . , αn = βn,
ou seja v e´ escrito de modo u´nico como combinac¸a˜o linear dos elementos de S.
2.8 Base e Dimensa˜o de Um Espac¸o Vetorial Finitamente Gerado
Seja V um espac¸o vetorial finitamente gerado sobre R. Um subconjunto B ⊂ V finito e´ uma base para V quando:
(i) B e´ LI;
(ii) [B] = V.
Quando V = {0}, convencionamos que B = ∅ e´ base de V.
Exemplos.
Exemplo (1) B = {(1, 0) , (0, 1)} e´ uma base para R2.
Edson Agustini sites.google.com/site/edsonagustini agustini@ufu.br
A´lgebra Linear UFU Pa´gina 33
De fato:
(i) Sejam α1, α2 ∈ R tais que α1 (1, 0) + α2 (0, 1) = (0, 0)⇒ (α1, α2) = (0, 0)⇒ α1 = α2 = 0. Logo, B e´ LI.
(ii) Obviamente [B] ⊂ R2. Quanto a` inclusa˜o contra´ria, seja (x, y) ∈ R2 ⇒ (x, y) = x (1, 0)+y (0, 1)⇒ (x, y) ∈ [B].
Logo, R2 ⊂ [B]. Portanto, R2 = [B].
Exemplo (2) B = {(1, 0, . . . , 0) , (0, 1, . . . , 0) , . . . , (0, 0, . . . , 1)} e´ uma base para Rn, chamada de base canoˆnica de
Rn.
Exemplo (3) B =
{
1, x, x2, . . . , xn
}
e´ base para Pn (R).
De fato:
(i) Sejam α0, . . . , αn ∈ R tais que α01+α1x+α2x2+ · · ·+αnxn = 0 (0 e´ o polinoˆmio nulo)⇒ α0 = · · · = αn = 0.
Logo, B e´ LI.
(ii) Obviamente [B] ⊂ Pn (R). Quanto a` inclusa˜o contra´ria, seja p = a0+a1x+a2x2+· · ·+anxn ∈ Pn (R)⇒ p ∈ [B]
pois α0 = a0, α1 = a1, . . ., αn = an na combinac¸a˜o linear dos elementos de B. Logo, Pn (R) ⊂ [B]. Portanto,
Pn (R) = [B].
Exemplo (4) B =
{[
1 0
0 0
]
,
[
0 1
0 0
]
,
[
0 0
1 0
]
,
[
0 0
0 1
]}
e´ base para M2 (R).
De fato:
(i) Sejam α1, . . . , α4 ∈ R tais que α1
[
1 0
0 0
]
+ α2
[
0 1
0 0
]
+ α3
[
0 0
1 0
]
+ α4
[
0 0
0 1
]
=
[
0 0
0 0
] ⇒ [α1 α2
α3 α4
]
=[
0 0
0 0
]⇒ α1 = · · · = α4 = 0. Logo, B e´ LI.
(ii) Obviamente [B] ⊂ M2 (R). Quanto a` inclusa˜o contra´ria, seja
[
a b
c d
]
∈ M2 (R) ⇒ [a bc d
]
= a
[
1 0
0 0
]
+
b
[
0 1
0 0
]
+ c
[
0 0
1 0
]
+ d
[
0 0
0 1
]⇒ [a b
c d
]
∈ [B]. Logo, M2 (R) ⊂ [B]. Portanto, M2 (R) = [B].
Observemos que esse exemplo pode ser generalizado para Mm×n (R) tomando
B =

1 0 0 · · · 0... ...
0 0 0 · · · 0

m×n
,
0 1 0 · · · 0... ...
0 0 0 · · · 0

m×n
, . . . ,
0 0 0 · · · 0... ...
0 0 0 · · · 1

m×n
 .
Observac¸a˜o: Bases para espac¸os vetoriais na˜o sa˜o u´nicas.

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