Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Notas para o acompanhamento das aulas de A´lgebra Linear Versa˜o Parcial A´lgebra Linear UFU Pa´gina 1 Cap´ıtulo 1 Sistemas, Matrizes e Determinantes 1.1 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares Sejam: R: conjunto dos nu´meros reais; C: conjunto dos nu´meros complexos. Estes conjuntos munidos das operac¸o˜es de adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o usuais sa˜o chamados de corpos nume´ricos. Sejam a1, . . . , an, b ∈ R (ou C), sendo n ≥ 1, chama-se equac¸a˜o linear sobre R (ou C) uma equac¸a˜o da forma: a1x1 + · · ·+ anxn = b sendo: xk, 1 ≤ k ≤ n, varia´veis ou inco´gnitas em R (ou C). ak, 1 ≤ k ≤ n, sa˜o os coeficientes de xk. b e´ o termo independente. Dizemos que a n-upla (α1, . . . , αn), ou x1 = α1, . . . , xn = αn, αk ∈ R (ou C) e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o linear acima quando a1α1 + · · ·+ anαn = b for verdadeira. Observac¸a˜o: xk ser varia´vel significa que xk pode assumir infinitos valores, enquanto que xk ser inco´gnita significa que xk pode assumir apenas um valor. Exemplos. As equac¸o˜es 2x1 + 4x2 = 2 ou x2 + x3 + x4 = 0 sa˜o equac¸o˜es lineares sobre R. Um sistema linear S, m por n sobre R (ou C) e´ um conjunto de m equac¸o˜es lineares sobre R (ou C), cada uma com n varia´veis ou inco´gnitas. Representamos S do seguinte modo: S = a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2 ... am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm (m×n) Se m = n dizemos simplesmente que S e´ de ordem n. Dizemos que a n-upla (α1, . . . , αn) e´ soluc¸a˜o de S quando for soluc¸a˜o de cada uma das m equac¸o˜es lineares de S. Observac¸a˜o: salvo menc¸a˜o contra´ria, trabalharemos apenas com S sobre R. Exemplo. O sistema S = { 2x1 + 4x2 = 2 x2 + x3 + x4 = 0 e´ um sistema linear 2× 4 sobre R. Dado um sistema linear S, dizemos que: S e´ incompat´ıvel (ou imposs´ıvel) quando na˜o admitir soluc¸o˜es. (SI) S e´ compat´ıvel determinado (ou poss´ıvel e determinado) quando admitir apenas uma soluc¸a˜o. (SPD) S e´ compat´ıvel indeterminado (ou poss´ıvel e indeterminado) quando admitir infinitas soluc¸o˜es. (SPI) agustini@ufu.br sites.google.com/site/edsonagustini Edson Agustini Pa´gina 2 UFU A´lgebra Linear Exemplos. Exemplo (1) Os sistemas S = { x1 + x2 = 1 x1 + x2 = 2 e S = { 0x1 + 0x2 = 3 4x1 + 2x2 = 0 sa˜o sistemas lineares imposs´ıveis. Exemplo (2) O sistema S = 1x1 + 0x2 + 0x3 = 10x1 + 2x2 + 0x3 = 2 0x1 + 0x2 + 3x3 = 3 e´ um sistema linear poss´ıvel e determinado. Soluc¸a˜o: x1 = x2 = x3 = 1 (ou (1, 1, 1)). Exemplo (3) O sistema S = { x1 + x2 = 1 2x1 + 2x2 = 2 e´ um sistema linear poss´ıvel e indeterminado. Seja S um sistema linear. Sa˜o chamadas operac¸o˜es elementares em S as seguintes operac¸o˜es: (i) permuta de duas linhas de S. (ii) multiplicac¸a˜o de uma linha de S por um nu´mero real na˜o nulo. (iii) soma de uma linha de S com outra linha que foi multiplicada por um nu´mero real na˜o nulo. Observemos que operac¸o˜es elementares na˜o alteram a(s) soluc¸a˜o(o˜es) do sistema linear. Um sistema linear S1 e´ equivalente a um sistema linear S2 quando S2 e´ obtido de S1 por operac¸o˜es elementares. Notac¸a˜o: S1 ∼ S2. Exemplo. Os sistemas S1 = x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 1 2x1 + 3x2 + 4x3 + 5x4 = 2 3x1 + 4x2 + 5x3 + 6x4 = 3 .(-1) 4x1 + 5x2 + 6x3 + 7x4 = 4 � + e S2 = 2x1 + 3x2 + 4x3 + 5x4 = 2 x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 1 6x1 + 8x2 + 10x3 + 12x4 = 6 x1 + x2 + x3 + x4 = 1 sa˜o sistemas lineares equivalentes. Observac¸o˜es. (i) A equivaleˆncia ∼ definida acima e´ chamada de relac¸a˜o de equivaleˆncia entre sistemas lineares, ou seja: (a) S1 ∼ S1 (reflexiva); (b) S1 ∼ S2 ⇐⇒ S2 ∼ S1 (sime´trica); (c) S1 ∼ S2 e S2 ∼ S3 =⇒ S1 ∼ S3 (transitiva). (ii) Sistemas lineares equivalentes possuem a(s) mesma(s) soluc¸a˜o(o˜es). Dizemos que um sistema linear m× n esta´ escalonado quando possui o seguinte formato: a1r1xr1 + · · · + a1nxn = b1 a2r2xr2 + · · · + a2nxn = b2 ... ajrjxrj + · · · + ajnxn = bj 0xn = bj+1 ... 0xn = bm (as linhas nulas podem ser eliminadas) sendo a1r1 , . . . , ajrj 6= 0; 1 ≤ r1 < r2 < · · · < rj ≤ n. Edson Agustini sites.google.com/site/edsonagustini agustini@ufu.br A´lgebra Linear UFU Pa´gina 3 Exemplos. Exemplo (1) O sistema abaixo esta´ escalonado e e´ um sistema poss´ıvel e indeterminado (SPI): x1 + 2x2 + 4x4 + 5x5 = 1 4x3 + 5x4 = 2 6x4 + 7x5 = 3 8x5 = 4 Exemplo (2) O sistema abaixo esta´ escalonado e e´ um sistema imposs´ıvel (SI): x1 + x2 = 1 2x2 = 3 0x2 = 5 Exemplo (3) O sistema abaixo esta´ escalonado e e´ um sistema poss´ıvel e determinado (SPD): x1 + x2 = 1 2x2 + 3x3 = 2 6x3 = 3 Proposic¸a˜o 1. Todo sistema linear e´ equivalente a um sistema linear escalonado. Classificac¸a˜o de Sistemas Lineares Via Escalonamento Seja S um sistema linear escalonado m× n com linhas nulas e repetidas eliminadas. (i) Se a u´ltima linha de S for da forma 0xn = b 6= 0, enta˜o o sistema e´ imposs´ıvel (SI). Caso as linhas da forma 0xn = b 6= 0 na˜o ocorram temos: (ii) Se m = n, enta˜o o sistema e´ poss´ıvel e determinado (SPD). (iii) Se m < n, enta˜o o sistema e´ poss´ıvel e indeterminado (SPI). Observac¸a˜o: se m > n, enta˜o necessariamente ocorrem linhas do tipo 0xn = b 6= 0. Exemplos. Escalone e classifique. (aqui faremos x1 = x, x2 = y e x3 = z para simplificar a notac¸a˜o) Exemplo (1) Seja S1 = x + 2y − 3z = −13x − y + 2z = 7 5x + 3y − 4z = 2 . Temos S1 = x + 2y − 3z = −1 .(-3) .(-5)3x − y + 2z = 7 �+ 5x + 3y − 4z = 2 � + ∼ S2 = x + 2y − 3z = −1− 7y + 11z = 10 .(-1) − 7y + 11z = 7 � + ∼ S3 = x + 2y − 3z = −1− 7y + 11z = 10 0z = −3 Como a u´ltima linha do sistema escalonado S3 e´ da forma 0z = −3 6= 0, temos que S1 e´ um sistema imposs´ıvel. Exemplo (2) Seja S1 = x + y + z = 6x − y + 2z = 5 x + 6y + 3z = 22 . Temos S1 = x + y + z = 6 .(-1) .(-1)x − y + 2z = 5 �+ x + 6y + 3z = 22 � + ∼ S2 = x + y + z = 6− 2y + z = −1 .(5/2) + 5y + 2z = 16 � + ∼ S3 = x + y + z = 6 − 2y + z = −1 + 9 2 z = 27 2 Como a u´ltima linha do sistema escalonado S3 na˜o e´ da forma 0z = b 6= 0 e m = n = 3, temos que S1 e´ um sistema poss´ıvel e determinado, sendo (x, y, z) = (1, 2, 3) sua soluc¸a˜o. agustini@ufu.br sites.google.com/site/edsonagustini Edson Agustini Pa´gina 4 UFU A´lgebra Linear Exemplo (3) Seja S1 = x + y + z = 2x − y + z = −2 + 2y = 4 . Temos S1 = x + y + z = 2 .(-1)x − y + z = −2 �+ + 2y = 4 ∼ S2 = x + y + z = 2− 2y = −4 .(1) + 2y = 4 � + ∼ S3 = x + y + z = 2− 2y = −4 0y = 0 ∼ S4 = { x + y + z = 2 − 2y = −4 Como a u´ltima linha do sistema escalonado S3 na˜o e´ da forma 0z = b 6= 0 e m = 2 < n = 3, temos que S1 e´ um sistema poss´ıvel e indeterminado, sendo {(a, 2,−a) : a ∈ R} o conjunto soluc¸a˜o. 1.2 Matrizes Reais Sejam m,n ∈ N. Chama-se matriz real m× n uma tabela retangular da forma M = a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n ... ... am1 am2 · · · amn sendo aij ∈ R, i = 1, . . . ,m e j = 1, . . . , n. Notac¸a˜o: M = [aij]1≤i≤m 1≤j≤n ou, simplificadamente, M = [aij]. Ao conjunto de todas as matrizes reais m× n denotamos Mm×n (R). Quando m = n, chamamos M de matriz quadrada de ordem n e denotamos o conjunto de todas as matrizes reais de ordem n por Mn (R). E´ poss´ıvel definir operac¸o˜es sobre Mm×n (R) que sera˜o extremamente u´teis para o desenvolvimento das trans- formac¸o˜es lineares que sera˜o objetos de estudos futuros. Operac¸o˜es com matrizes: (i) Adic¸a˜o: Sejam A = [aij], B = [bij] ∈Mm×n (R). Chama-se soma de A com B, e indica-se por A+ B, a matriz C = [cij] ∈Mm×n (R) tal que cij = aij + bij. Simbolicamente: + : Mm×n (R)×Mm×n (R) −→ Mm×n (R) (A,B) 7−→ A+ B (ii) Multiplicac¸a˜o de matriz por escalar: Sejam A = [aij] ∈Mm×n (R) e α ∈ R.Chama-se produto de α por A a matriz reais m× n dada por αA = [αaij]. (iii) Multiplicac¸a˜o de matrizes: Sejam A = [aik] ∈Mm×p (R) e B = [bkj] ∈Mp×n (R). Chama-se produto de A por B, e indica-se por AB, a matriz C = [cij] ∈Mm×n (R) tal que cij = p∑ k=1 aikbkj. Uma indagac¸a˜o muito comum na operac¸a˜o de multiplicac¸a˜o de matrizes e´ o por queˆ de uma definic¸a˜o ta˜o artificial. Na˜o seria mais fa´cil definir a multiplicac¸a˜o de modo ana´logo a` adic¸a˜o, ou seja, multiplicar entradas correspondentes nas matrizes? A justificativa para essa indagac¸a˜o sera´ apresentada mais adiante. Resumidamente, o que podemos dizer, por enquanto, e´ que matrizes sera˜o associadas a`s chamadas transformac¸o˜es lineares e a composta de duas transformac¸o˜es lineares corresponde a` multiplicac¸a˜o de suas matrizes de acordo com a definic¸a˜o acima. Este e´ um dos (poucos) casos em que o aluno de Ensino Me´dio e´ apresentado para uma definic¸a˜o a qual o professor na˜o tem condic¸o˜es de justificar de forma razoa´vel, uma vez que o assunto transformac¸o˜es lineares na˜o e´ objeto de estudos no Ensino Me´dio. Edson Agustini sites.google.com/site/edsonagustini agustini@ufu.br A´lgebra Linear UFU Pa´gina 5 Exemplos. Exemplo (1) Adic¸a˜o: 1 23 4 5 6 3×2 + 6 54 3 2 1 3×2 = 7 77 7 7 7 3×2 . Exemplo (2) Multiplicac¸a˜o por escalar: 2 [ 1 2 3 4 ] 2×2 = [ 2 4 6 8 ] 2×2 . Exemplo (3) Multiplicac¸a˜o: 1 22 1 2 2 3×2 [ 1 2 3 4 5 6 7 8 ] 2×4 = 11 14 17 207 10 13 16 12 16 20 24 3×4 . Proposic¸a˜o 2. Propriedades operato´rias: (a) Da adic¸a˜o: Sejam A,B,C ∈Mm×n (R). (1) (A+ B) + C = A+ (B+ C); (associativa) (2) A+ B = B+A; (comutativa) (3) Existe O ∈Mm×n (R) tal que A+O = A; (elemento neutro aditivo) (4) Existe −A ∈Mm×n (R) tal que A+ (−A) = O. (elemento inverso aditivo) (b) Da multiplicac¸a˜o por escalar: Sejam α,β ∈ R e A,B ∈Mm×n (R). (1) α (βA) = (αβ)A; (associativa) (2) α (A+ B) = αA+ αB; (distributiva em relac¸a˜o a` soma de matrizes) (3) (α+ β)A = αA+ βA; (distributiva em relac¸a˜o a` soma de escalares) (4) 1A = A. (elemento neutro da multiplicac¸a˜o por escalar) (c) Da multiplicac¸a˜o: (1) A (BC) = (AB)C sendo A ∈Mm×p (R), B ∈Mp×q (R) e C ∈Mq×n (R); (associativa) (2) A (B+ C) = AB + AC; A ∈ Mm×p (R), B,C ∈ Mp×n (R); (distributiva a` direita em relac¸a˜o a` soma de matrizes) (3) (A+ B)C = AC + BC; A,B ∈ Mm×p (R), C ∈ Mp×n (R); (distributiva a` esquerda em relac¸a˜o a` soma de matrizes) Observac¸a˜o: a propriedade comutativa na˜o e´ va´lida para a multiplicac¸a˜o de matrizes. Um contra-exemplo:[ 1 2 3 4 ] [ 1 1 1 1 ] = [ 3 3 7 7 ] [ 1 1 1 1 ] [ 1 2 3 4 ] = [ 4 6 4 6 ] Transposta de uma Matriz A transposta de uma matriz A, denotada por At, e´ a matriz obtida de A escrevendo as linhas de A como colunas de At, ou seja, quando A = [aij] ∈Mm×n (R), temos At = [bji] ∈Mn×m (R) tal que aij = bji. Mais explicitamente: A = a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n ... ... am1 am2 · · · amn m×n ⇒ At = a11 a21 · · · am1 a12 a22 · · · am2 ... ... a1n a2n · · · amn n×m Exemplo. Se A = 1 23 4 5 6 3×2 , enta˜o At = [ 1 3 5 2 4 6 ] 2×3 . agustini@ufu.br sites.google.com/site/edsonagustini Edson Agustini Pa´gina 6 UFU A´lgebra Linear Proposic¸a˜o 3. Propriedades da transposta: (1) (A+ B) t = At + Bt, sendo A,B ∈Mm×n (R). (2) (kA) t = kAt, sendo A ∈Mm×n (R). (3) (At) t = A, sendo A ∈Mm×n (R). (4) (AB) t = BtAt, sendo A ∈Mm×p (R) e B ∈Mp×n (R). Matrizes Invert´ıveis Consideremos Mn (R) o conjunto das matrizes quadradas de ordem n. Definimos In = 1 0 · · · 0 0 1 · · · 0 ... ... 0 0 · · · 1 n×n como sendo a matriz identidade de ordem n. E´ fa´cil verificar a seguinte propriedade: InA = AIn = A para qualquer A ∈Mn (R). Dizemos que A ∈Mn (R) e´ invert´ıvel quando existe B ∈Mn (R) tal que AB = BA = In. Notac¸a˜o: B = A−1; (B e´ a inversa de A). Proposic¸a˜o 4. Sejam A,B ∈Mn (R). (i) Se A apresentar uma linha ou coluna nula, enta˜o A na˜o e´ invert´ıvel. (ii) Se A for invert´ıvel, enta˜o ( A−1 )−1 = A; (a inversa da inversa e´ a pro´pria matriz). (iii) Se A e B forem invert´ıveis, enta˜o AB tambe´m e´ invert´ıvel e (AB) −1 = B−1A−1. Determinac¸a˜o da Inversa de uma Matriz De modo ana´logo a sistemas lineares, dizemos que A,B ∈Mn (R) sa˜o equivalentes quando B puder ser obtida de A via um nu´mero finito de operac¸o˜es elementares sobre as linhas de A. Proposic¸a˜o 5. Uma matriz A ∈Mn (R) e´ invert´ıvel se, e somente se, A e´ equivalente a` In e, neste caso, as mesmas operac¸o˜es elementares que transformam A em In, transformam In em A −1. Exemplos. Exemplo (1) Verificar se A = 1 0 11 1 0 0 2 1 e´ invert´ıvel e obter a inversa, caso afirmativo. Resoluc¸a˜o. Montemos um arranjo com a matriz A e I3 lado a lado para aplicarmos as operac¸o˜es elementares simulta- neamente nas duas matrizes. A | I3 =⇒ 1 0 11 1 0 0 2 1 1 0 00 1 0 0 0 1 .(-1)�+ =⇒ 1 0 10 1 −1 0 2 1 1 0 0−1 1 0 0 0 1 .(-2) � + =⇒ 1 0 10 1 −1 0 0 3 1 0 0−1 1 0 2 −2 1 .(1/3) =⇒ 1 0 10 1 −1 0 0 1 1 0 0−1 1 0 2/3 −2/3 1/3 �+ .(1) �+ .(-1) =⇒ 1 0 00 1 0 0 0 1 1/3 2/3 −1/3−1/3 1/3 1/3 2/3 −2/3 1/3 =⇒ I3 | A−1 Logo, A e´ invert´ıvel e A−1 = 1 3 1 2 −1−1 1 1 2 −2 1 . Edson Agustini sites.google.com/site/edsonagustini agustini@ufu.br A´lgebra Linear UFU Pa´gina 7 Exemplo (2) Verificar se A = 3 −1 02 1 −1 1 0 2 e´ invert´ıvel e obter a inversa, caso afirmativo. Resoluc¸a˜o. Montemos um arranjo com a matriz A e I3 lado a lado para aplicarmos as operac¸o˜es elementares simulta- neamente nas duas matrizes. A | I3 =⇒ 3 −1 02 1 −1 1 0 2 1 0 00 1 0 0 0 1 � � =⇒ 1 0 22 1 −1 3 −1 0 0 0 10 1 0 1 0 0 .(-2)�+ .(-3) � + =⇒ 1 0 20 1 −5 0 −1 −6 0 0 10 1 −2 1 0 −3 .(1) � + =⇒ 1 0 20 1 −5 0 0 −11 0 0 10 1 −2 1 1 −5 .(-1/11) =⇒ 1 0 20 1 −5 0 0 1 0 0 10 1 −2 −1/11 −1/11 5/11 �+ .(5) �+ .(-2) =⇒ 1 0 00 1 0 0 0 1 2/11 2/11 1/11−5/11 6/11 3/11 −1/11 −1/11 5/11 =⇒ I3 | A−1 Logo, A e´ invert´ıvel e A−1 = 1 11 2 2 1−5 6 3 −1 −1 5 . Matrizes Ortogonais Seja A ∈ Mn (R) invert´ıvel. Dizemos que A e´ ortogonal quando sua inversa for igual a sua transposta, ou seja, A−1 = At. Desta forma, quando A e´ ortogonal, temos AAt = AtA = In . Exemplo. A = [ 1/2 √ 3/2√ 3/2 −1/2 ] e´ ortogonal pois At = [ 1/2 √ 3/2√ 3/2 −1/2 ] e AAt = AtA = I2. Matrizes e Sistemas Lineares Consideremos o sistema linear S = a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2 ... am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm (m×n) Podemos colocar S na notac¸a˜o matricial adotando as seguintes matrizes: A = a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n ... ... am1 am2 · · · amn m×n matriz dos coeficientes de S X = x1 x2 ... xn n×1 matriz das varia´veis ou inco´gnitas de S e B = b1 b2 ... bm m×1 matriz dos termos independentes de S Logo, Am×nXn×1 = Bm×1 (ou, resumidamente, AX = B) e´ uma equac¸a˜o matricial que representa o sistema linear S. Exemplo. O sistema S = 3x − y = 12x + y − z = 0 x + 2z = 2 possui representac¸a˜o matricial AX = B tal que 3 −1 02 1 −1 1 0 2 3×3︸ ︷︷ ︸ A xy z 3×1︸ ︷︷ ︸ X = 10 2 3×1︸ ︷︷ ︸ B agustini@ufu.br sites.google.com/site/edsonagustini Edson Agustini Pa´gina 8 UFU A´lgebra Linear Sistemas de Cramer Dizemos que um sistema linear S deordem n e´ um Sistema de Cramer quando a matriz A dos coeficientes de S e´ invert´ıvel. Observac¸o˜es: (1) Em um Sistema de Cramer, AX = B ⇒ A−1AX = A−1B ⇒ InX = A−1B ⇒ X = A−1B, o que significa que todo Sistema de Cramer e´ poss´ıvel e determinado. (2) Se um sistema linear e´ homogeˆneo (ou seja, a matriz B dos termos independentes e´ uma matriz coluna nula) e e´ um Sistema de Cramer, enta˜o a soluc¸a˜o do sistema e´ a soluc¸a˜o trivial (isto e´, soluc¸a˜o nula). De fato, AX = 0⇒ X = A−10⇒ X = 0. (0 e´ matriz coluna nula). Exemplo. Resolva o Sistema de Cramer S = 3x − y = 12x + y − z = 0 x + 2z = 2 invertendo a matriz de coeficientes. Resoluc¸a˜o. Representando S temos AX = B, sendo A = 3 −1 02 1 −1 1 0 2 , B = 10 2 e X = xy z . Mas vimos em exemplo anterior que A−1 = 1 11 2 2 1−5 6 3 −1 −1 5 . Logo, AX = B⇒ X = A−1B, ou seja, xy z = 1 11 2 2 1−5 6 3 −1 −1 5 10 2 = 4/111/11 9/11 ⇒ x = 4 11 , y = 1 11 e z = 9 11 . Portanto, ( 4 11 , 1 11 , 9 11 ) e´ a soluc¸a˜o procurada. Observac¸a˜o: embora a te´cnica acima seja interessante, normalmente e´ bem mais simples resolver um sistema linear por escalonamento do que invertendo matriz de coeficientes. Exerc´ıcio. Uma companhia produz 3 tipos de produtos: A, B e C. Esta companhia possui 3 fa´bricas: F1, F2 e F3 sendo que as fa´bricas produzem diariamente as seguintes quantidades: - F1 produz 1 tonelada de cada produto; - F2 na˜o produz A, produz 1 tonelada de B e 2 toneladas de C; - F3 produz 2 toneladas de A, 1 tonelada de B e 2 toneladas de C. A companhia recebeu um pedido de 20 toneladas de A, 22 toneladas de B e 26 toneladas de C. Quantos dias inteiros cada uma das fa´bricas tera´ de trabalhar para que juntas produzam exatamente a quantia solicitada? Resoluc¸a˜o. Sejam: x a quantidade de dias que F1 trabalhara´. y a quantidade de dias que F2 trabalhara´. z a quantidade de dias que F3 trabalhara´. Quantidade total de produto A produzido em F1: 1x. Quantidade total de produto A produzido em F2: 0y. Quantidade total de produto A produzido em F3: 2z. Queremos 1x+ 0y+ 2z = 20. Quantidade total de produto B produzido em F1: 1x. Quantidade total de produto B produzido em F2: 1y. Quantidade total de produto B produzido em F3: 1z. Queremos 1x+ 1y+ 1z = 22. Quantidade total de produto C produzido em F1: 1x. Edson Agustini sites.google.com/site/edsonagustini agustini@ufu.br A´lgebra Linear UFU Pa´gina 9 Quantidade total de produto C produzido em F2: 2y. Quantidade total de produto C produzido em F3: 2z. Queremos 1x+ 2y+ 2z = 26. Logo, S = x + 2z = 20x + y + z = 22 x + 2y + 2z = 26 ⇒ S′ = x + 2z = 20y − z = 2 2y = 6 ⇒ S′′ = x + 2z = 20y − z = 2 2z = 2 ⇒ z = 1, y = 3 e x = 18. Conclusa˜o: F1 trabalhara´ 1 dia, F2 trabalhara´ 3 dias e F3 trabalhara´ 18 dias. 1.3 Determinantes de Matrizes Reais Toda aplicac¸a˜o bijetiva σ : {1, 2, . . . , n}→ {1, 2, . . . , n} e´ chamada de permutac¸a˜o do conjunto {1, 2, . . . , n}. Exemplo. Existem 6 permutac¸o˜es do conjunto {1, 2, 3}. Chamemo-as de σ1, σ2, . . . , σ6. Sa˜o elas: σ1 (1) = 1σ1 (2) = 2 σ1 (3) = 3 , σ2 (1) = 1σ2 (2) = 3 σ2 (3) = 2 , σ3 (1) = 3σ3 (2) = 1 σ3 (3) = 2 , σ4 (1) = 3σ4 (2) = 2 σ4 (3) = 1 , σ5 (1) = 2σ5 (2) = 3 σ5 (3) = 1 e σ6 (1) = 2σ6 (2) = 1 σ6 (3) = 3 Vamos adotar a seguinte notac¸a˜o para uma permutac¸a˜o σ : {1, 2, . . . , n}→ {1, 2, . . . , n} σ : ( 1 2 3 · · · n σ (1) σ (2) σ (3) · · · σ (n) ) Assim, no exemplo acima as 6 permutac¸o˜es sa˜o denotadas do seguinte modo: σ1 : ( 1 2 3 1 2 3 ) ; σ2 : ( 1 2 3 1 3 2 ) ; σ3 : ( 1 2 3 3 1 2 ) ; σ4 : ( 1 2 3 3 2 1 ) ; σ5 : ( 1 2 3 2 3 1 ) e σ6 : ( 1 2 3 2 1 3 ) E´ fa´cil notar que o nu´mero de permutac¸o˜es de um conjunto com n elementos e´ n! No exemplo acima, n = 3 e temos 3! = 6 permutac¸o˜es. Seja σ uma permutac¸a˜o de {1, 2, . . . , n} e r a quantidade de vezes que ocorre um decrescimento na imagem de σ, ou seja, i < j⇒ σ (i) > σ (j) sendo i, j ∈ {1, 2, . . . , n}. Definimos a func¸a˜o sinal de σ, denotada por sgn (σ), do seguinte modo:{ sgn (σ) = 1, quando r e´ par. sgn (σ) = −1, quando r e´ ı´mpar. Exemplo. Consideremos as permutac¸o˜es do exemplo anterior Para σ1 temos r = 0. Logo, sgn (σ1) = 1. Para σ2 temos r = 1. Logo, sgn (σ2) = −1. Para σ3 temos r = 2. Logo, sgn (σ3) = 1. Para σ4 temos r = 3. Logo, sgn (σ4) = −1. Para σ5 temos r = 2. Logo, sgn (σ5) = 1. Para σ6 temos r = 1. Logo, sgn (σ6) = −1. Seja A = [aij] ∈Mn (R) uma matriz real de ordem n. Ao nu´mero∑ σ sgn (σ)a1σ(1)a2σ(2) · · ·anσ(n) chamamos de determinante de A e indicamos por detA. O somato´rio acima e´ sobre todas as n! permutac¸o˜es σ do conjunto {1, 2, . . . , n}. Portanto, a soma acima e´ constitu´ıda por n! parcelas. agustini@ufu.br sites.google.com/site/edsonagustini Edson Agustini Pa´gina 10 UFU A´lgebra Linear Exemplos. Exemplo (1) Se n = 1, enta˜o A = [a11] e existe apenas uma permutac¸a˜o σ : {1}→ {1} que e´ σ (1) = 1. Logo, r = 0 e sgn (σ) = 1. Logo, detA = ∑ σ sgn (σ)a1σ(1) = 1a11 = a11. Assim, por exemplo, se A = [7], enta˜o detA = 7. Exemplo (2) Se n = 2, enta˜o A = [ a11 a12 a21 a22 ] e existem 2! = 2 permutac¸o˜es σ1 : ( 1 2 1 2 ) e σ1 : ( 1 2 2 1 ) . Logo, para σ1 temos r = 0 e sgn (σ1) = 1, enquanto que para σ2 temos r = 1 e sgn (σ2) = −1. Logo, detA = ∑ σ sgn (σ)a1σ(1)a2σ(2) = sgn (σ1)a1σ1(1)a2σ1(2) + sgn (σ2)a1σ2(1)a2σ2(2) = 1a11a22 + (−1)a12a21 = a11a22 − a12a21. Assim, por exemplo, se A = [ 1 2 3 4 ] , enta˜o detA = 4− 6 = −2. Exemplo (3) Se n = 3, enta˜o A = a11 a12 a13a21 a22 a23 a31 a32 a33 e existem 3! = 6 permutac¸o˜es que sa˜o as apresentadas nos dois primeiros exemplos dessa sec¸a˜o. Logo, detA = ∑ σ sgn (σ)a1σ(1)a2σ(2)a3σ(3) = sgn (σ1)a1σ1(1)a2σ1(2)a3σ1(3) + · · ·+ sgn (σ6)a1σ6(1)a2σ6(2)a3σ6(3) = 1a11a22a33 + (−1)a11a23a32 + 1a13a21a32 + (−1)a13a22a31 + 1a12a23a31 + (−1)a12a21a33 = (a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32) − (a13a22a31 + a11a23a32 + a12a21a33) . Assim, por exemplo, se A = 1 2 34 5 6 7 8 9 , enta˜o detA = 45+ 84+ 96− 105− 48− 72 = 0. Exemplo (4) Seja A = a11 0 0 · · · 0 a21 a22 0 · · · 0 ... ... an1 an2 an3 · · · ann . Seja uma permutac¸a˜o σ de {1, 2, . . . , n} diferente da identi- dade. Logo, existe i ∈ {1, . . . , n} tal que σ (i) = j > i e, portanto, a1σ(1) . . . aiσ(i) . . . anσ(n) = 0 pois aiσ(i) = 0. Logo, detA = ∑ σ sgn (σ)a1σ(1)a2σ(2) . . . anσ(n) = 1a11a22 . . . ann. (so´ a permutac¸a˜o identidade) Proposic¸a˜o 6. Propriedades de determinantes: (1) Linearidade sobre colunas. (i) det a11 · · · a1i + a1i′ · · · a1n a21 · · · a2i + a2i′ · · · a2n ... ... an1 · · · ani + ani′ · · · ann = det a11 · · · a1i · · · a1n a21 · · · a2i · · · a2n ... ... an1 · · · ani · · · ann +det a11 · · · a1i′ · · · a1n a21 · · · a2i′ · · · a2n ... ... an1 · · · ani′ · · · ann . (ii) det a11 · · · ka1i · · · a1n a21 · · · ka2i · · · a2n ... ... an1 · · · kani · · · ann = k det a11 · · · a1i · · · a1n a21 · · · a2i · · · a2n ... ... an1 · · · ani · · · ann , sendo k ∈ R. Propriedades ana´logas valem para as linhas (linearidade sobre linhas). (2) Uma matriz real de ordem n com duas linhas ou duas colunas iguais possui determinante zero. Edson Agustini sites.google.com/site/edsonagustini agustini@ufu.br A´lgebra Linear UFU Pa´gina 11 (3) Seja B uma matriz real de ordem n obtida de A pela permutac¸a˜o de duas linhas ou duas colunas de A. Enta˜o, detB = −detA. (4) det a11 · · · a1i · · · a1n... ... an1 · · · ani · · · ann = det a11 · · · a1i + n∑ k=1 k6=i αka1k · · · a1n ... ... an1 · · · ani + n∑ k=1 k6=i αkank · · · ann , sendo αk ∈ R. A propriedade (4) acima tambe´m vale para linhas. (5) Se A ∈Mn (R), enta˜o detA = detAt. (6) Se A,B ∈Mn (R), enta˜o det (AB) = detA detB. (7) Se A ∈Mn (R) e´ invert´ıvel, enta˜o det ( A−1 ) = 1detA . Da propriedade (1) (i) resulta que se uma matriz real de ordem n possui uma linha ou uma coluna nula, enta˜o seu determinante e´ zero. A propriedade (4) permite fazer escalonamento em matrizes sem alterar o determinante (veja exemplo abaixo). Como det (In) = 1, a propriedade (7) e´ uma consequeˆncia direta da propriedade (6). Exemplos. Exemplo (1) det 1 2+ 3 45 6+ 0 5 4 3+ 2 1 = det 1 2 45 6 5 4 3 1 + det 1 3 45 0 5 4 2 1 = −15+ 75 = 60. Exemplo (2) det 1 2.2 34 2.5 6 7 2.8 0 = 2det 1 2 34 5 6 7 8 0 = 54. Exemplo (3) det 1 1 23 3 4 5 5 6 = 0. (duas colunas iguais) Exemplo (4) det 1 2 34 5 6 7 8 0 = −det 2 1 35 4 6 8 7 0 = 27. Exemplo (5) det 1 2 34 5 6 7 8 0 = det 1+ 2.2+ 5.3 2 34+ 2.5+ 5.6 5 6 7+ 2.8+ 5.0 8 0 = 27. (neste exemplo, n = 3, i = 1, α2 = 2 e α3 = 5) Exemplo (6) Calcule o determinante da matriz A = 1 5 2 1 3 4 2 0 1 2 1 2 0 3 1 3 aplicando a propriedade (5) sucessivas vezes, fazendo um escalonamento. Resoluc¸a˜o: det 1 5 2 1 3 4 2 0 1 2 1 2 0 3 1 3 .(-5) � .(-2) � .(-1) � = det 1 5+ (−5) 1 2+ (−2) 1 1+ (−1) 1 3 4+ (−5) 3 2+ (−2) 3 0+ (−1) 3 1 2+ (−5) 1 1+ (−2) 1 2+ (−1) 1 0 3+ (−5) 0 1+ (−2) 0 3+ (−1) 0 = det 1 0 0 0 3 −11 −4 −3 1 −3 −1 1 0 3 1 3 .(-4/11) � .(-3/11) � = det 1 0 0 0 3 −11 0 0 1 −3 1/11 20/11 0 3 −1/11 24/11 .(-20) � = det 1 0 0 0 3 −11 0 0 1 −3 1/11 0 0 3 −1/11 4 = 1 (−11)( 111 ) 4 = −4. agustini@ufu.br sites.google.com/site/edsonagustini Edson Agustini Pa´gina 12 UFU A´lgebra Linear Exerc´ıcio. Mostre que det 1 2 3 4 0 2 3 1 1 1 0 2 0 4 1 2 = −15 utilizando operac¸o˜es elementares sobre linhas ou colunas. (Proprie- dades (1), (3) e (4)) Regra de Laplace para ca´lculo de determinantes A definic¸a˜o abaixo e´ fundamental para a introduc¸a˜o de uma das te´cnicas mais comuns para ca´lculo de determinantes, que e´ a Regra de Laplace, enunciada em seguida. Sejam A = a11 · · · a1n... ... an1 · · · ann n×n e aij uma entrada de A. Ao nu´mero Aij = (−1) i+j Dij, sendo Dij o determinante da matriz (n− 1)× (n− 1) obtida pela supressa˜o da i-e´sima linha e j-e´sima coluna de A, chamamos de cofator de aij. Dizemos ainda que Dij e´ o menor complementar de aij. Proposic¸a˜o 6. (Regra de Laplace) Seja A matriz real n× n e aij uma entrada dessa matriz. Enta˜o, detA = n∑ i=1 aijAij︸ ︷︷ ︸↓ = n∑ j=1 aijAij︸ ︷︷ ︸↓ soma dos soma dos produtos produtos dos elementos dos elementos da coluna j da linha i por seus por seus cofatores cofatores Exemplo. Calcular o determinante de A = 1 2 34 5 6 7 8 9 utilizando a Regra de Laplace. Resoluc¸a˜o. Escolhendo a primeira linha de A temos detA = 3∑ j=1 a1jA1j. Logo, detA = a11A11 + a12A12 + a13A13 = a11 (−1) 1+1 D11 + a12 (−1) 1+2 D12 + a13 (−1) 1+3 D13 = a11 (−1) 1+1 det [ 5 6 8 9 ] + a12 (−1) 1+2 det [ 4 6 7 9 ] + a13 (−1) 1+3 det [ 4 5 7 8 ] = 1 (1) (45− 48) + 2 (−1) (36− 42) + 3 (1) (32− 35) = −3+ 12− 9 = 0 Exerc´ıcio. Mostre que det 1 2 3−1 1 1 2 1 3 = 3 utilizando a Regra de Laplace. Regra de Chio´ para ca´lculo de determinantes Esta regra e´ uma combinac¸a˜o das propriedades de determinantes e da Regra de Laplace. O me´todo consiste em usar as propriedades para criar uma linha ou coluna que tenha uma entrada igual a 1 e as demais entradas iguais a 0. Edson Agustini sites.google.com/site/edsonagustini agustini@ufu.br A´lgebra Linear UFU Pa´gina 13 Depois, basta a aplicar a Regra de Laplace utilizando essa linha ou coluna. Com isso, precisamos calcular apenas um cofator. Seja A = a11 · · · a1n... ... an1 · · · ann ∈Mn (R) na˜o nula. Sem perda de generalidade, suponhamos que a11 6= 0. Da propriedade (1) (ii) podemos escrever detA = a11 det 1 b12 · · · b1n a21 a22 a2n ... ... an1 an2 · · · ann sendo b1j = a1j a11 . Da propriedade (4) podemos escrever detA = a11 det 1 b12 · · · b1n a21 a22 a2n ... ... an1 an2 · · · ann .(-b12) � ... .(-b1n) � = a11 det 1 0 · · · 0 a21 a ′ 22 a ′ 2n ... ... an1 a ′ n2 · · · a′nn sendo a′ij = aij − ai1b1j; i = 2, . . . , n e j = 2, . . . , n. Utilizando a Regra de Laplace: detA = a11 det 1 0 · · · 0 a21 a ′ 22 a ′ 2n ... ... an1 a ′ n2 · · · a′nn = a11 (1) (−1)1+1 det a ′ 22 a ′ 2n ... a′n2 · · · a′nn detA = a11 det a ′ 22 a ′ 2n ... a′n2 · · · a′nn Exemplo. Calcular o determinante de A = 2 2 4−1 5 7 1 2 1 utilizando a Regra de Chio´. Resoluc¸a˜o. Escolhendo a primeira linha e a primeira entrada: det 2 2 4−1 5 7 1 2 1 = 2 det 1 1 2−1 5 7 1 2 1 .(-1) � .(-2) � = 2det 1 0 0−1 6 9 1 1 −1 = 2 det [6 9 1 −1 ] = 2 (−6− 9) = −30 Exerc´ıcio. Mostre que det 3 6 9−1 5 7 1 2 1 = −42 utilizando a Regra de Chio´. Regra de Sarrus para ca´lculo de determinantes de matrizes de ordem 3 Este me´todo so´ vale para matrizes de ordem 3. Ja´ vimos que se A = a11 a12 a13a21 a22 a23 a31 a32 a33 , enta˜o detA = (a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32) − (a13a22a31 + a11a23a32 + a12a21a33) . agustini@ufu.br sites.google.com/site/edsonagustini Edson Agustini Pa´gina 14 UFU A´lgebra Linear O me´todo de Sarrus consiste apenas em enxergar um dispositivo pra´tico com a tabela de entradas da matriz A que nos conduza ao resultado acima. Para simplificar, reescrevamos a matriz A do seguinte modo: A = a b cd e f g h i . Logo, detA = aei+ bfg+ chd− ceg− bdi− ahf. Observe na figura abaixo o procedimento pra´tico da Regra de Sarrus: g h i g h d e f d e a b c a b -ceg- - + + +afh bdi aei bfg cdh Note que os produtos advindos das setas paralelas a` diagonal principal permanecem inalterados, enquanto que os produtos advindos das setas paralelas a` diagonal secunda´ria sa˜o multiplicados por −1 (ou seja, seus “sinais” sa˜o trocados). No final, todos os seis termos sa˜o somados para obtermos o determinante. Exemplo. Calcular o determinante de A = 1 2 33 2 1 1 1 1 utilizando a Regra de Sarrus. Resoluc¸a˜o. Temos, de acordo com o dispositivo pra´tico: 1 1 1 1 1 3 2 1 3 2 1 2 3 1 2 -6 - - + + +1 6 2 2 9 Logo, detA = 2+ 2+ 9− 6− 1− 6 = 0. Exerc´ıcio. Mostre que det 1 2 34 5 4 3 2 1 = −8 utilizando a Regra de Sarrus. Matriz Adjunta Nesta subsec¸a˜o apresentamos um novo me´todo para calcular a matriz inversa de uma matriz invert´ıvel. Seja A = [aij] matriz real de ordem n e sejam Aij os cofatores de aij. Definimos a matriz adjunta de A como sendo AdjA = [Aij] t = A11 A21 · · · An1 A12 A22 · · · An2 ... ... A1n A2n · · · Ann n×n A importaˆncia da matriz adjunta reside no resultado abaixo. Proposic¸a˜o 7. Seja A matriz real n× n tal que detA 6= 0. Enta˜o, A e´ invert´ıvel e A−1 = 1 detA AdjA Exemplo. Calcular a matriz inversa de A = 1 2 31 1 1 −1 2 −1 utilizando a matriz adjunta. Resoluc¸a˜o. Edson Agustini sites.google.com/site/edsonagustini agustini@ufu.br A´lgebra Linear UFU Pa´gina 15 Precisamos calcular os 9 cofatores de A: A11 = (−1) 1+1 det [ 1 1 2 −1 ] = −3; A12 = (−1) 1+2det [ 1 1 −1 −1 ] = 0; A13 = (−1) 1+3 det [ 1 1 −1 2 ] = 3 A21 = (−1) 2+1 det [ 2 3 2 −1 ] = 8; A22 = (−1) 2+2 det [ 1 3 −1 −1 ] = 2; A23 = (−1) 2+3 det [ 1 2 −1 2 ] = −4 A31 = (−1) 3+1 det [ 2 3 1 1 ] = −1; A32 = (−1) 3+2 det [ 1 1 3 1 ] = 2; A33 = (−1) 3+3 det [ 1 2 1 1 ] = −1 Precisamos do determinante de A: det 1 2 31 1 1 −1 2 −1 = −1− 2+ 6+ 3+ 2− 2 = 6 Logo, A−1 = 1 detA AdjA = 1 6 −3 8 −10 2 2 3 −4 −1 Exerc´ıcio. Mostre que a matriz inversa de A = 1 1 22 3 −1 −2 1 −1 e´ A−1 = 1 18 −2 3 −74 3 5 8 −3 1 utilizando a matriz adjunta. Regra de Cramer para resoluc¸a˜o de Sistemas Poss´ıveis e Determinados Podemos encontrar soluc¸o˜es de um Sistema de Cramer (portanto, um sistema linear poss´ıvel e determinado) utilizando determinantes, via o seguinte resultado: Proposic¸a˜o 8. (Regra de Cramer) Seja AX = B um Sistema de Cramer escrito em forma matricial, sendo A =a11 · · · a1n... ... an1 · · · ann n×n , B = b1... bn n×1 e X = x1... xn n×1 . Enta˜o, xk = det∆k detA sendo ∆k = a11 · · · a1(k−1) b1 a1(k+1) · · · a1n... ... ... ... ... an1 · · · an(k−1) bn an(k+1) · · · ann n×n (∆k e´ a matriz que se obter de A substituindo a k-e´sima coluna pela matriz coluna B). E´ importante enfatizar que a Regra de Cramer possui interesse teo´rico apenas. Comparado ao me´todo de resoluc¸a˜o de sistemas lineares por escalonamento, a Regra de Cramer e´ extremamente ineficiente, devido ao fato de ser necessa´rio o ca´lculo de diversos determinantes (o que geralmente e´ bem trabalhoso). Quanto maior a ordem do sistema, maior e´ a ineficieˆncia desse me´todo. Exemplo. Resolver S = x + 2y + 3z = 142x − y + 3z = 9 −x − 2y + z = −2 utilizando a Regra de Cramer. Resoluc¸a˜o Temos A = 1 2 32 −1 3 −1 −2 1 ; B = 149 −2 e X = xy z . Temos tambe´m que detA = −1− 6− 12− 3− 4+ 6 = −20. (i) det∆1 = det 14 2 39 −1 3 −2 −2 1 = −14− 12− 54− 6− 18+ 84 = −20. agustini@ufu.br sites.google.com/site/edsonagustini Edson Agustini Pa´gina 16 UFU A´lgebra Linear Portanto, x1 = x = det∆1 detA = −20 −20 = 1. (ii) det∆2 = det 1 14 32 9 3 −1 −2 1 = 9− 42− 12+ 27− 28+ 6 = −40. Portanto, x2 = y = det∆2 detA = −40 −20 = 2. (iii) det∆3 = det 1 2 142 −1 9 −1 −2 −2 = 2− 18− 56− 14+ 8+ 18 = −60. Portanto, x3 = z = det∆3 detA = −60 −20 = 3. Conclusa˜o: (x, y, z) = (1, 2, 3) e´ soluc¸a˜o do sistema. Exerc´ıcio. Resolver S = −x + 2y − z = 02x + 5y + 3z = 10 −x + 2y − 4z = −3 utilizando a Regra de Cramer. Resposta. (x, y, z) = (1, 1, 1) e´ soluc¸a˜o do sistema. Edson Agustini sites.google.com/site/edsonagustini agustini@ufu.br A´lgebra Linear UFU Pa´gina 17 Cap´ıtulo 2 Espac¸os Vetoriais 2.1 O conceito de Espac¸o Vetorial Motivac¸a˜o: Seja V3 conjunto dos vetores do espac¸o euclidiano. Podemos definir duas operac¸o˜es sobre V3: a adic¸a˜o e a multiplicac¸a˜o por escalar. u v u v+ A B C u v e a multiplicac¸a˜o por escalar. gv < 1(g - ) v av >1(a ) b ( b )v 0< <1 d (- d )v 1< <0 Formalmente: + : V3 × V3 −→ V3 (~u,~v) 7−→ ~u+~v e´ a operac¸a˜o de adic¸a˜o de vetores. · : R× V3 −→ V3 (α, ~u) 7−→ α~u e´ a operac¸a˜o de multiplicac¸a˜o de escalar por vetor. O conjunto V3 munido das operac¸o˜es acima cumpre as seguintes propriedades: (1) Adic¸a˜o: sejam ~u,~v, ~w ∈ V3. (i) ~u+ (~v+ ~w) = (~u+~v) + ~w (associativa); (ii) ~u+~v = ~v+ ~u (comutativa); (iii) ∃ ~0 ∈ V3 tal que ~u+~0 = ~0+ ~u = ~u (elemento neutro aditivo); (iv) ∃ −~u ∈ V3 tal que ~u+ (−~u) = ~0 (elemento oposto). (2) Multiplicac¸a˜o por escalar: sejam ~u,~v ∈ V3 e α,β ∈ R. (i) α (β~u) = (αβ) ~u (associativa); (ii) (α+ β) ~u = α~u+ β~u (distributiva em relac¸a˜o a` adic¸a˜o de escalares); (iii) α (~u+~v) = α~u+ α~v (distributiva em relac¸a˜o a` adic¸a˜o de vetores); (iv) 1~u = ~u (elemento neutro multiplicativo). Nessas condic¸o˜es, dizemos que V3 munido das operac¸o˜es + e · possui estrutura vetorial e e´ chamado de espac¸o vetorial sobre R, indicado por ( V3,+, ·). Os conjuntos que possuem as mesmas propriedades de V3 sera˜o chamados de espac¸os vetoriais. Abaixo segue a definic¸a˜o formal: agustini@ufu.br sites.google.com/site/edsonagustini Edson Agustini Pa´gina 18 UFU A´lgebra Linear Sejam V um conjunto e K um corpo nume´rico (K = R ou K = C). Dizemos que V e´ um espac¸o vetorial sobre K quando: (1) Existe uma operac¸a˜o de adic¸a˜o + : V × V −→ V (u, v) 7−→ u+ v satisfazendo, para quaisquer u, v,w ∈ V: (i) (u+ v) +w = u+ (v+w); (ii) u+ v = v+ u; (iii) ∃ 0 ∈ V tal que u+ 0 = 0+ u = u; (iv) ∃ −u ∈ V tal que u+ (−u) = 0. (2) Existe uma operac¸a˜o de multiplicac¸a˜o por escalar · : K× V −→ V (α, v) 7−→ αv satisfazendo, para quaisquer u, v ∈ V e α,β ∈ K: (i) α (βu) = (αβ)u; (ii) (α+ β)u = αu+ βu; (iii) α (u+ v) = αu+ αv; (iv) 1u = u. Os elementos de V sa˜o comumente chamados de vetores, independente de sua natureza. A menos que se diga o contra´rio, trabalharemos com espac¸os vetoriais sobre K = R (espac¸os vetoriais reais). Tendo em vista a existeˆncia de elemento oposto para qualquer elemento de um espac¸o vetorial, e´ comum escrever u+ (−v) como u− v, ou seja, u+ (−v) = u− v. Alguns Exemplos Simples. Exemplo (1) Mm×n (R) munido das operac¸o˜es de adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o por escalar usuais de matrizes e´ um espac¸o vetorial sobre R. Ja´ vimos as propriedades no cap´ıtulo anterior. Exemplo (2) V2 ou V3 munidos das operac¸o˜es de adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o por escalar usuais de vetores sa˜o espac¸os vetoriais sobre R. Usamos V3 no exemplo de motivac¸a˜o acima e a verificac¸a˜o das propriedades geralmente e´ feita em um curso de Geometria Anal´ıtica. Exemplo (3) O pro´prio conjunto R dos nu´meros reais munido das operac¸o˜s de adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o usuais e´ um espac¸o vetorial sobre R. Tambe´m o conjunto C dos nu´meros complexos munido das operac¸o˜es de adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o usuais e´ um espac¸o vetorial sobre R. A verificac¸a˜o das propriedades e´ o´bvia. Alguns Exemplos Importantes. Exemplo (1) O conjunto Rn = {(x1, x2, . . . , xn) : xi ∈ R} munido das operac¸o˜es: + : Rn × Rn −→ Rn ((x1, . . . , xn) , (y1, . . . , yn)) 7−→ (x1 + y1, . . . , xn + yn) e · : R× Rn −→ Rn (α, (x1, . . . , xn)) 7−→ (αx1, . . . , αxn) ou seja, (x1, . . . , xn) + (y1, . . . , yn) = (x1 + y1, . . . , xn + yn) α (x1, . . . , xn) = (αx1, . . . , αxn) e´ um espac¸o vetorial sobre R. Por exemplo, para n = 3 temos (1, 2, 3) + (4, 5, 6) = (5, 7, 9) e 2 (1, 2, 3) = (2, 4, 6). Edson Agustini sites.google.com/site/edsonagustini agustini@ufu.br A´lgebra Linear UFU Pa´gina 19 Verifiquemos as propriedades: Adic¸a˜o: sejam u = (x1, . . . , xn); v = (y1, . . . , yn) e w = (z1, . . . , zn) em Rn. (1i) Associativa: (u+ v) +w = ((x1, . . . , xn) + (y1, . . . , yn)) + (z1, . . . , zn) = (x1 + y1, . . . , xn + yn) + (z1, . . . , zn) = ((x1 + y1) + z1, . . . , (xn + yn) + zn) = (x1 + (y1 + z1) , . . . , xn + (yn + zn)) ( ∗) = (x1, . . . , xn) + (y1 + z1, . . . , yn + zn) = (x1, . . . , xn) + ((y1, . . . , yn) + (z1, . . . , zn)) = u+ (v+w) (∗) aqui usamos a propriedade associativa dos nu´meros reais. (1ii) Comutativa: u+ v = (x1, . . . , xn) + (y1, . . . , yn) = (x1 + y1, . . . , xn + yn) = (y1 + x1, . . . , yn + xn) ( ∗∗) = (y1, . . . , yn) + (x1, . . . , xn) = v+ u (∗∗) aqui usamos a propriedade comutativa dos nu´meros reais. (1iii) Elemento neutro: Seja 0 = (0, . . . , 0) ∈ Rn. Temos u+ 0 = (x1, . . . , xn) + (0, . . . , 0) = (x1 + 0, . . . , xn + 0) = (x1, . . . , xn) ( ∗∗∗) = u (∗∗∗) aqui usamos a propriedade do elementoneutro aditivo dos nu´meros reais. (1iv) Elemento oposto: Seja −u = (−x1, . . . ,−xn) ∈ Rn. Temos u+ (−u) = (x1, . . . , xn) + (−x1, . . . ,−xn) = (x1 + (−x1) , . . . , xn + (−xn)) = (0, . . . , 0) (∗∗∗∗) = 0 (∗∗∗∗) aqui usamos a propriedade do elemento oposto dos nu´meros reais. Multiplicac¸a˜o por escalar: sejam u = (x1, . . . , xn) e v = (y1, . . . , yn) em Rn e α,β ∈ R. (2i) Associativa: α (βu) = α (β (x1, . . . , xn)) = α (βx1, . . . , βxn) = (α (βx1) , . . . , α (βxn)) = ((αβ) x1, . . . , (αβ) xn) ( # ) = (αβ) (x1, . . . , xn) = (αβ)u agustini@ufu.br sites.google.com/site/edsonagustini Edson Agustini Pa´gina 20 UFU A´lgebra Linear( # ) aqui usamos a propriedade associativa dos nu´meros reais. (2ii) Distributiva em relac¸a˜o a` adic¸a˜o de escalares: (α+ β)u = (α+ β) (x1, . . . , xn) = ((α+ β) x1, . . . , (α+ β) xn) = (αx1 + βx1, . . . , αxn + βxn) ( ## ) = (αx1, . . . , αxn) + (βx1, . . . , βxn) = α (x1, . . . , xn) + β (x1, . . . , xn) = αu+ βu( ## ) aqui usamos a propriedade distributiva dos nu´meros reais. (2iii) Distributiva em relac¸a˜o a` adic¸a˜o de elementos de Rn: α (u+ v) = α ((x1, . . . , xn) + (y1, . . . , yn)) = α (x1 + y1, . . . , xn + yn) = (α (x1 + y1) , . . . , α (xn + yn)) = (αx1 + αy1, . . . , αxn + αyn) ( ### ) = (αx1, . . . , αxn) + (αy1, . . . , αyn) = α (x1, . . . , xn) + α (y1, . . . , yn) = αu+ αv( ### ) aqui usamos a propriedade distributiva dos nu´meros reais. (2iv) Elemento neutro multiplicativo: 1u = 1 (x1, . . . , xn) = (1x1, . . . , 1xn) = (x1, . . . , xn) ( #### ) = u( #### ) aqui usamos a propriedade do elemento neutro multiplicativo dos nu´meros reais. Exemplo (2) O conjunto Pn (R) = { anx n + an−1x n−1 + · · ·+ a1x+ a0 : ai ∈ R; x ∈ R varia´vel } e´ o conjunto dos polinoˆmios de grau menor do que ou igual a n acrescido do polinoˆmio nulo (que na˜o tem grau definido), munido das operac¸o˜es: + : Pn (R)× Pn (R) −→ Pn (R) ((anx n + · · ·+ a0) , (bnxn + · · ·+ b0)) 7−→ (an + bn) xn + · · ·+ (a0 + b0) e · : R× Pn (R) −→ Pn (R) (α, (anx n + · · ·+ a0)) 7−→ (αan) xn + · · ·+ (αa0) ou seja, (anx n + · · ·+ a0) + (bnxn + · · ·+ b0) = (an + bn) xn + · · ·+ (a0 + b0) α (anx n + · · ·+ a0) = (αan) xn + · · ·+ (αa0) e´ um espac¸o vetorial sobre R. Por exemplo, para n = 2 temos ( 3x2 + x ) + ( 5x2 + 3 ) = 8x2 + x+ 3 e 2 (3x+ 1) = 6x+ 2. Verificac¸a˜o das propriedades: exerc´ıcio. Exemplo (3) O conjunto F (R) = { f : R −→ R x 7−→ f (x) } e´ o conjunto das func¸o˜es reais de uma va´ria´vel real com domı´nio R, munido das operac¸o˜es + : F (R)× F (R) −→ F (R) (f, g) 7−→ f+ g : R −→ R x 7−→ f (x) + g (x) Edson Agustini sites.google.com/site/edsonagustini agustini@ufu.br A´lgebra Linear UFU Pa´gina 21 e · : R× F (R) −→ F (R) (α, f) 7−→ αf : R −→ R x 7−→ αf (x) ou seja, (f+ g) (x) = f (x) + g (x) (αf) (x) = αf (x) e´ um espac¸o vetorial sobre R. Por exemplo, para f (x) = x2; g (x) = ex e α = 2 temos (f+ g) (x) = x2 + ex e 2f (x) = 2x2. Verifiquemos as propriedades: Adic¸a˜o: sejam f, g, h em F (R). (1i) Associativa: ((f+ g) + h) (x) = (f+ g) (x) + h (x) = (f (x) + g (x)) + h (x) = f (x) + (g (x) + h (x)) (∗) = f (x) + (g+ h) (x) = (f+ (g+ h)) (x) para qualquer x ∈ R. (∗) aqui usamos a propriedade associativa dos nu´meros reais. Portanto, (f+ g) + h = f+ (g+ h). (1ii) Comutativa: (f+ g) (x) = f (x) + g (x) = g (x) + f (x) (∗∗) = (g+ f) (x) para qualquer x ∈ R. (∗∗) aqui usamos a propriedade comutativa dos nu´meros reais. Portanto, f+ g = g+ f. (1iii) Elemento neutro: Seja 0 = θ sendo θ (x) = 0 para qualquer x ∈ R (θ e´ a func¸a˜o nula). Temos (f+ 0) (x) = (f+ θ) (x) = f (x) + θ (x) = f (x) + 0 = f (x) para qualquer x ∈ R. (∗∗∗) (∗∗∗) aqui usamos a propriedade do elemento neutro aditivo dos nu´meros reais. Portanto, f+ 0 = f. (1iv) Elemento oposto: Seja −f ∈ F (R) tal que (−f) (x) = −f (x). Temos (f+ (−f)) (x) = f (x) + (−f) (x) = f (x) + (−f (x)) = 0 para qualquer x ∈ R. (∗∗∗∗) (∗∗∗∗) aqui usamos a propriedade do elemento oposto dos nu´meros reais. Portanto, f+ (−f) = 0. (0 = θ e´ a func¸a˜o nula) Multiplicac¸a˜o por escalar: exerc´ıcio. Exerc´ıcios. agustini@ufu.br sites.google.com/site/edsonagustini Edson Agustini Pa´gina 22 UFU A´lgebra Linear Exerc´ıcio (1) Verifique se R2 munido das operac¸o˜es + : R2 × R2 −→ R2 ((x1, y1) , (x2, y2)) 7−→ (x1 + x2, y1 + y2) e · : R× R2 −→ R2 (α, (x, y)) 7−→ (αx, 0) ou seja, (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) α (x, y) = (αx, 0) e´ um espac¸o vetorial. Observe que a adic¸a˜o e´ a usual, mas a multiplicac¸a˜o por escalar na˜o e´ a usual Resoluc¸a˜o. Ja´ vimos que as propriedades de adic¸a˜o se verificam. Quanto a` multiplicac¸a˜o por escalar: (2i) α (β (x, y)) = α (βx, 0) = ((αβ) x, 0) = (αβ) (x, y) se verifica. (2ii) (α+ β) (x, y) = ((α+ β) x, 0) = (αx+ βx, 0) = (αx, 0) + (βx, 0) = α (x, y) + β (x, y) se verifica. (2iii) α ((x1, y1) + (x2, y2)) = α (x1 + x2, y1 + y2) = (α (x1 + x2) , 0) = (αx1 + αx2, 0) = (αx1, 0) + (αx2, 0) = α (x1, y1) + α (x2, y2) se verifica. (2iv) 1 (x, y) = (1x, 0) = (x, 0) 6= (x, y) quando y 6= 0. Portanto, 1 (x, y) = (x, y) na˜o se verifica. Conclusa˜o: R2 munido das operac¸o˜es acima na˜o e´ um espac¸o vetorial. Exerc´ıcio (2) Mostre que em um espac¸o vetorial (V,+, ·), vale a Lei do Cancelamento para a adic¸a˜o: u+w = v+w⇒ u = v. Resoluc¸a˜o. Como w ∈ V, existe o oposto −w ∈ V tal que w+ (−w) = 0, sendo 0 o elemento neutro aditivo. Logo, u+w = v+w⇒ (u+w) + (−w) = (v+w) + (−w)⇒ u+ (w+ (−w)) = v+ (w+ (−w))⇒ u+ 0 = v+ 0⇒ u = v Exerc´ıcio (3) Mostre que em um espac¸o vetorial (V,+, ·), o oposto de um elemento e´ u´nico. Resoluc¸a˜o. Suponhamos que u ∈ V possua dois elementos opostos: −u1 e −u2 tais que u+(−u1) = 0 e u+(−u2) = 0, sendo 0 o elemento neutro aditivo. Logo, u+ (−u1) = u+ (−u2) = 0⇒ −u1 + u = −u2 + u⇒ −u1 = −u2 Exerc´ıcio (4) Mostre que em um espac¸o vetorial (V,+, ·), o oposto neutro e´ u´nico. Resoluc¸a˜o. Suponhamos que existam dois elementos neutros em V, indicados por 01 e 02, tais que u + 01 = u e u + 02 = u, sendo u ∈ V. Logo, u+ 01 = u+ 02 ⇒ 01 + u = 02 + u⇒ 01 = 02 Proposic¸a˜o 1. (Propriedades de Espac¸os Vetoriais) Seja (V,+, ·) espac¸o vetorial sobre R. (1) Se α ∈ R e 0 ∈ V e´ elemento neutro aditivo, enta˜o α0 = 0. (2) Se u ∈ V e 0 ∈ R, enta˜o 0u = 0. (o primeiro 0 e´ o zero dos nu´meros reais, enquanto que o segundo 0 e´ o elemento neutro aditivo de V) Edson Agustini sites.google.com/site/edsonagustini agustini@ufu.br A´lgebra Linear UFU Pa´gina 23 (3) Se α ∈ R e u ∈ V sa˜o tais que αu = 0, enta˜o α = 0 ou u = 0. (o primeiro 0 e´ o zero dos nu´meros reais, enquanto que o segundo 0 e´ o elemento neutro aditivo de V) (4) Se α ∈ R e u ∈ V, enta˜o (−α)u = α (−u) = − (αu). (geralmente escrevemos de forma simplificada −(αu) = −αu) (5) Sejam α,β ∈ R e u ∈ V, enta˜o (α− β)u = αu−(βu). (geralmente escrevemos de forma simplificada (α− β)u = αu− βu) (6) Sejam α ∈ R e u, v ∈ V, enta˜o α (u− v) = αu− (αv). (geralmente escrevemos de forma simplificada α (u− v) = αu− αv) Demonstrac¸a˜o. (1) 0+ α0 = α0+ 0 = α0 = α (0+ 0) = α0+ α0⇒ 0 = α0⇒ α0 = 0. (2) 0+ 0u = 0u+ 0 = 0u = (0+ 0)u = 0u+ 0u⇒ 0 = 0u⇒ 0u = 0. (3) Se α = 0 ∈ R, o resultado e´ o´bvio. Se α 6= 0 ∈ R, enta˜o existe α−1 ∈ R tal que α−1α = 1. Assim, αu = 0⇒ α−1 (αu) = α−10⇒ (α−1α)u = 0⇒ 1u = 0⇒ u = 0. (4) Primeira parte: −(αu) = α (−u). De fato: αu+ (− (αu)) = 0 = α (u+ (−u)) = αu+ α (−u)⇒ −(αu) = α (−u). Segunda parte: −(αu) = (−α)u. De fato: αu+ (− (αu)) = 0 = 0u = (α+ (−α))u = αu+ (−α)u⇒ −(αu) = (−α)u. (5) (α− β)u = (α+ (−β))u = αu+ (−β)u = αu+ (− (βu)) = αu− (βu). (6) α (u− v) = α (u+ (−v)) = αu+ α (−v) = αu+ (− (αv)) = αu− (αv). � Exerc´ıcio. Sendo (V,+, ·) espac¸ovetorial e u, v,w ∈ V, calcule 3u+ v− 3w e encontre x ∈ V tal que u+x 2 − x−v 3 = w para os seguintes casos: (1) V =M3×2 (R), u = 1 10 0 0 0 , v = 0 12 1 1 1 e w = 1 21 0 0 −1 ; (2) V = R3, u = (1, 2, 1), v = (2, 3, 1) e w = (1, 1, 1); (3) V = P2 (R), u = x2, v = x e w = 2x+ 1; (4) V = F (R), u = f (x) = 2x+ 2, v = g (x) = 3x+ 3 e w = h (x) = sen (x). 2.2 Subespac¸os Vetoriais Sejam V um espac¸o vetorial sobre R e W ⊂ V. Dizemos que W e´ um subespac¸o vetorial de V quando: (i) 0 ∈W; (ii) ∀u, v ∈W ⇒ u+ v ∈W; (iii) ∀α ∈ R e ∀u ∈W ⇒ αu ∈W. Notac¸a˜o: W ⊂ se V. Obviamente, W tambe´m e´ um espac¸o vetorial sobre R. Exemplos. Exemplo (1) Seja V espac¸o vetorial, enta˜o W = V ou W = {0} sa˜o subespac¸os vetoriais de V (triviais). Exemplo (2) Seja R2 espac¸o vetorial (operac¸o˜es usuais) sobre R, enta˜o W = { (x, y) ∈ R2 : x+ 2y = 0} e´ um subespac¸o vetorial de R2. agustini@ufu.br sites.google.com/site/edsonagustini Edson Agustini Pa´gina 24 UFU A´lgebra Linear De fato: (i) 0 = (0, 0) ∈W pois 0+ 2.0 = 0; (ii) ∀ (x1, y1) , (x2, y2) ∈W ⇒ x1 + 2y1 = 0 e x2 + 2y2 = 0⇒ (x1 + x2) + 2 (y1 + y2) = 0⇒ (x1 + x2, y1 + y2) ∈ W ⇒ (x1, y1) + (x2, y2) ∈W; (iii) ∀α ∈ R e (x, y) ∈W ⇒ x+ 2y = 0⇒ αx+ 2αy = 0⇒ (αx, αy) ∈W ⇒ α (x, y) ∈W. Exemplo (3) Sejam Mn (R) espac¸o vetorial (operac¸o˜es usuais) sobre R e A ∈Mn (R) fixa, enta˜o W = {X ∈Mn (R) : AX = XA} e´ subespac¸o vetorial de R2. De fato: (i) X = 0 ∈W (matriz nula de ordem n), pois AX = A0 = 0 = 0A = XA; (ii) ∀X, Y ∈W ⇒ AX = XA e AY = YA⇒ AX+AY = XA+ YA⇒ A (X+ Y) = (X+ Y)A⇒ X+ Y ∈W; (iii) ∀α ∈ R e ∀X ∈W ⇒ A (αX) = α (AX) = α (XA) = (αX)A⇒ αX ∈W. Exemplo (4) Sejam F (R) espac¸o vetorial (operac¸o˜es usuais) sobre R, enta˜o W = {f ∈ F (R) : f (−x) = f (x)} (func¸o˜es pares) e´ um subespac¸o vetorial de F (R). De fato: (i) f (x) = 0, ∀x ∈ R, (elemento neutro) esta´ em W, pois f (−x) = 0 = f (x); (ii) ∀f, g ∈ W ⇒ f (−x) = f (x) e g (−x) = g (x) ⇒ f (−x) + g (−x) = f (x) + g (x) ⇒ (f+ g) (−x) = (f+ g) (x) ⇒ f+ g ∈W; (iii) ∀α ∈ R e ∀f ∈W ⇒ f (−x) = f (x)⇒ α (f (−x)) = α (f (x))⇒ (αf) (−x) = (αf) (x)⇒ αf ∈W. Exerc´ıcios. Exerc´ıcio (1) Verifique queW = {f ∈ F (R) : f (−x) = −f (x)} (func¸o˜es ı´mpares) e´ subespac¸o vetorial de F (R) (operac¸o˜es usuais). Exerc´ıcio (2) Verifique que W = {A ∈Mn (R) : A = At} (matrizes sime´tricas) e´ subespac¸o vetorial de Mn (R) (operac¸o˜es usuais). Exerc´ıcio (3) Verifique que W = {A ∈Mn (R) : A = −At} (matrizes antisime´tricas) e´ subespac¸o vetorial de Mn (R) (operac¸o˜es usuais). Exerc´ıcio (4) Verifique que W = {f ∈ F (R) : f (3) = 0} e´ subespac¸o vetorial de F (R) (operac¸o˜es usuais). Observemos que os elementos deW sa˜o todas as func¸o˜es cujos gra´ficos passam pelo ponto (3, 0) do plano cartesiano. Exerc´ıcios Diversos. Exerc´ıcio (1) (Resolvido) Verifique se W = { (a, b, c) ∈ R3 : a ≥ 0} e´ subespac¸o vetorial de R3 (operac¸o˜es usuais). Resoluc¸a˜o. E´ fa´cil perceber que (0, 0, 0) ∈ W e que se (a, b, c) , (a′, b′, c′) ∈ W, enta˜o (a+ a′, b+ b′, c+ c′) = (a, b, c) + (a′, b′, c′) ∈W. No entanto, para α = −1 e (1, 1, 1) ∈W temos que (−1) (1, 1, 1) = (−1,−1,−1) /∈W. Logo, W na˜o e´ subespac¸o vetorial de R3. Exerc´ıcio (2) (Proposto) Verifique se W = {f ∈ F (R) : f (7) = 2+ f (1)} e´ subespac¸o vetorial de F (R) (operac¸o˜es usuais). Exerc´ıcio (3) (Resolvido) Mostre que se U eW sa˜o subespac¸os vetoriais do espac¸o vetorial V, enta˜o U∩W e´ subespac¸o vetorial de V. Resoluc¸a˜o. (i) 0 ∈ U e 0 ∈W ⇒ 0 ∈ U ∩W (obs. vimos que 0 e´ u´nico); (ii) ∀u, v ∈ U ∩W ⇒ u, v ∈ U e u, v ∈W ⇒ u+ v ∈ U e u+ v ∈W ⇒ u+ v ∈ U ∩W; (iii) ∀α ∈ R e u ∈ U ∩W ⇒ α ∈ R, u ∈ U e u ∈W ⇒ αu ∈ U e αu ∈W ⇒ αu ∈ U ∩W. Um exemplo simples: U = { (a, 0, 0) ∈ R3} e W = {(0, b, c) ∈ R3} sa˜o subespac¸os vetoriais de R3, com operac¸o˜es usuais (verifique isso). E´ fa´cil ver que U ∩W = {(0, 0, 0)} e´ subespac¸o vetorial de R3. Exerc´ıcio (4) (Resolvido) Mostre que se U eW sa˜o subespac¸os vetoriais do espac¸o vetorial V, enta˜o U∪W nem sempre e´ subespac¸o vetorial de V. Resoluc¸a˜o. Edson Agustini sites.google.com/site/edsonagustini agustini@ufu.br A´lgebra Linear UFU Pa´gina 25 Trata-se de um exerc´ıcio onde basta exibir um contra-exemplo. De fato: U = { (x, y) ∈ R2 : x+ y = 0} W = { (x, y) ∈ R2 : x− y = 0} sa˜o subespac¸os vetoriais de R2 com operac¸o˜es usuais (verifique isso). Temos que (−1, 1) ∈ U e (1, 1) ∈ W. Entretanto, (−1, 1) + (1, 1) = (0, 2) /∈ U ∈ W, pois x = 0 e y = 2 na˜o satisfazem x+ y = 0 ou x− y = 0. 0 1 P0 2( , ) x 1 2 y WU 2.3 Soma de Dois Subespac¸os Vetoriais Sejam U e W subespac¸os vetoriais de V. Definimos a soma de U com W e indicamos por U+W o seguinte conjunto: U+W = {u+w : u ∈ U e w ∈W} Proposic¸a˜o 2. Nas condic¸o˜es acima U+W e´ um subespac¸o vetorial de V (com as operac¸o˜es de V). Demonstrac¸a˜o. (i) 0 ∈ U e 0 ∈W ⇒ 0+ 0 ∈ U+W ⇒ 0 ∈ U+W. (ii) v1, v2 ∈ U + W ⇒ v1 = u1 + w1 e v2 = u2 + w2 com u1, u2 ∈ U e w1, w2 ∈ W ⇒ u1 + u2 ∈ U e w1 +w2 ∈W ⇒ (u1 + u2) + (w1 +w2) ∈ U+W ⇒ (u1 +w1) + (u2 +w2) ∈ U+W ⇒ v1 + v2 ∈ U+W. (iii) α ∈ R e v ∈ U +W ⇒ α ∈ R e v = u + w com u ∈ U e w ∈ W ⇒ αu ∈ U e αw ∈ W ⇒ αu + αw ∈ U+W ⇒ α (u+w) ∈ U+W ⇒ αv ∈ U+W. � Observac¸o˜es: (1) U+ {0} = U; (2) U ⊂ U+W e W ⊂ U+W; (3) U+W e´ o menor subespac¸o de V que conte´m U e W. Justificativa: seja L subespac¸o de V tal que U ⊂ L e W ∈ L. Mostremos que U+W ⊂ L (como L e´ arbitra´rio, U+W sera´ o menor). Seja v ∈ U+W ⇒ v = u+w com u ∈ U e w ∈W ⇒ u ∈ L e w ∈ L⇒ u+w ∈ L⇒ v ∈ L. Logo, U+W ⊂ L, como quer´ıamos. Soma Direta de Dois Subespac¸os Vetoriais Dados U e W subespac¸os vetoriais de V, dizemos que U +W e´ uma soma direta de U com W, e indicamos por U⊕W, quando U ∩W = {0}. Exemplo. U = {(a, 0, 0) : a ∈ R} e W = {(0, b, c) : b, c ∈ R} sa˜o subespac¸os vetoriais de R3 (operac¸o˜es usuais). Como U ∩W = {(0, 0, 0)} temos U⊕W como soma direta. Exerc´ıcio. Sejam U = { (x, y, z) ∈ R3 : x = z} e W = {(x, y, z) ∈ R3 : x+ y+ z = 0} subespac¸os vetoriais de R3. Verifique se U+W e´ soma direta de U com W. Resoluc¸a˜o. Seja (x, y, z) ∈ U ∩W ⇒ { x = z x+ y+ z = 0 ⇒ { x = z y = −2z . agustini@ufu.br sites.google.com/site/edsonagustini Edson Agustini Pa´gina 26 UFU A´lgebra Linear Logo, U ∩W = {(x, y, z) ∈ R3 : x = z e y = −2z} = {(z,−2z, z) : z ∈ R} 6= {(0, 0, 0)}. Conclusa˜o: U+W na˜o e´ soma direta. Proposic¸a˜o 3. Sejam U e W subespac¸os vetoriais de V. Temos: U⊕W = V se, e somente se, para qualquer v ∈ V, existem, e sa˜o u´nicos, u ∈ U e w ∈W tais que v = u+w. Demonstrac¸a˜o. (⇒) Suponhamos que v = u1 +w1 e v = u2 +w2 com u1, u2 ∈ U e w1, w2 ∈W ⇒ u1 +w1 = u2 +w2 ⇒ u1 − u2︸ ︷︷ ︸ ∈U = w1 −w2︸ ︷︷ ︸ ∈W ∈ U ∩W. Como a soma e´ direta temos { u1 − u2 = 0 w1 −w2 = 0 ⇒ { u1 = u2 w1 = w2 . Logo, a decomposic¸a˜o de v como soma de elementos de U e W e´ u´nica. (⇐) Seja v ∈ U ∩W ⇒ v ∈ U e v ∈ W. Sejam u ∈ U e w ∈ W quaisquer. Temos u↓ ∈U + w↓ ∈W = (u− v)︸ ︷︷ ︸ ∈U + (w+ v)︸ ︷︷ ︸ ∈W . Mas, por hipo´tese, o elemento u+w e´ escrito de maneira u´nica como soma de elementos de U e W. Logo, u = u− v e w = w+ v⇒ v = 0. Conclusa˜o U∩W = {0} e, portanto, a soma e´ direta. Por fim, observemos que a hipo´tese garante que todo v ∈ V e´ escrito como soma de elementos de U e W. Portanto, V = U⊕W. � Observac¸a˜o. Embora a proposic¸a˜o acima seja interessante, geralmente e´ mais fa´cil provar que V = U⊕W verificando que V = U+W (V e´ uma soma de dois subespac¸os) e U ∩W = {0} (a soma e´ direta). Exerc´ıcios. Exerc´ıcio (1) Sejam U = { (x, y, z) ∈ R3 : x = z}, V = {(x, y, z) ∈ R3 : x = y = 0} e W = { (x, y, z) ∈ R3 : x+ y+ z = 0}. Verifique se (i) R3 = U⊕W; (ii) R3 = U⊕ V e (iii) R3 = V ⊕W. Dicas: no caso (ii) escreva (x, y, z) = (x, y, x)+(0, 0, z− x) e no caso (iii) (x, y, z) = (0, 0, x+ y+ z) = (x, y,−x− y). No caso (i)na˜o e´ soma direta. Exerc´ıcio (2) Mostre que se U e´ subespac¸o vetorial das matrizes sime´tricas e W e´ subespac¸o vetorial das matrizes anti-sime´tricas de V =Mn (R) (operac¸o˜es usuais), enta˜o Mn (R) = V ⊕W. Dicas: U = {A ∈Mn (R) : A = At}, W = {A ∈Mn (R) : A = −At} e, se M ∈ Mn (R), escreva M = 12 (M+Mt) + 1 2 (M−Mt). Exerc´ıcio (3) Mostre que se U e´ subespac¸o vetorial das func¸o˜es pares e W e´ subespac¸o vetorial das func¸o˜es ı´mpares de V = F (R) (operac¸o˜es usuais), enta˜o F (R) = V ⊕W. Resoluc¸a˜o. Temos U = {g ∈ F (R) : g (−x) = g (x)} W = {h ∈ F (R) : h (−x) = −h (x)} (i) Dada f ∈ F (R), definamos g (x) = 1 2 (f (x) + f (−x)) e h (x) = 1 2 (f (x) − f (−x)). Observemos que: g (−x) = 1 2 (f (−x) + f (− (−x))) = 1 2 (f (−x) + f (x)) = 1 2 (f (x) + f (−x)) = g (x) . Logo, g ∈ U. h (−x) = 1 2 (f (−x) − f (− (−x))) = 1 2 (f (−x) − f (x)) = − 1 2 (f (x) − f (−x)) = −h (x) . Logo, h ∈W. Mas g (x)︸︷︷︸ ∈U + h (x)︸ ︷︷ ︸ ∈W = 1 2 (f (x) + f (−x)) + 1 2 (f (x) − f (−x)) = f (x)⇒ f = g+ h. Portanto, F (R) = U+W. (ii) Seja f ∈ U ∩W ⇒ f (x) = f (−x) e f (x) = −f (−x) ⇒ f (−x) = −f (−x) ⇒ f (x) = −f (x) (pois f (x) = f (−x))⇒ 2f (x) = 0⇒ f (x) = 0 para qualquer x ∈ R. Logo, U ∩W = {0} e a soma e´ direta. Conclusa˜o: F (R) = U⊕W. Edson Agustini sites.google.com/site/edsonagustini agustini@ufu.br A´lgebra Linear UFU Pa´gina 27 2.4 Combinac¸o˜es Lineares Seja V um espac¸o vetorial sobre R. Dizemos que v ∈ V e´ combinac¸a˜o linear de v1, . . . , vn quando existirem α1, . . . , αn ∈ R tais que v = α1v1 + · · ·+ αnvn. Exemplo. Sejam V = R3, v1 = (1, 0, 0), v2 = (0, 1, 0) e v3 = (0, 0, 1) em R3. Temos que v = (2, 2, 3) = 2 (1, 0, 0) + 2 (0, 1, 0) + 3 (0, 0, 1) e´ combinac¸a˜o linear de v1, v2 e v3. Exerc´ıcios. Exerc´ıcio (1) Sejam v1 = (1, 1,−1), v2 = (2, 1, 0) e v3 = (0, 1, 1) em R3. Escreva v = (2, 2, 3) como combinac¸a˜o linear de v1, v2 e v3. Resoluc¸a˜o. Sejam a1, a2 e a3 ∈ R tais que: v = a1v1 + a2v2 + a3v3 ⇒ (2, 2, 3) = a1 (1, 1,−1) + a2 (2, 1, 0) + a3 (0, 1, 1)⇒ (2, 2, 3) = (a1 + 2a2, a1 + a2 + a3,−a1 + a3)⇒ a1 + 2a2 = 2a1 + a2 + a3 = 2 −a1 + a3 = 3 ⇒ · · ·⇒ a1 = −4/3a2 = 5/3 a3 = 5/3 Logo, (2, 2, 3) = −4 3 (1, 1,−1) + 5 3 (2, 1, 0) + 5 3 (0, 1, 1). Exerc´ıcio (2) Dados v1 = (1,−3, 2) e v2 = (2, 4,−1) em R3. Mostre que: (i) v = (4, 3,−6) na˜o e´ combinac¸a˜o linear de v1 e v2. (ii) Determine k ∈ R para que (−1, k,−7) seja combinac¸a˜o linear de v1 e v2. (Resposta: k = 13) 2.5 Subespac¸o Vetorial Gerado por um Conjunto O conjunto de todas as combinac¸o˜es lineares de um subconjunto de elementos de um espac¸o vetorial desempenha um papel muito importante na A´lgebra Linear, conforme proposic¸a˜o abaixo. Proposic¸a˜o 4. Sejam V espac¸o vetorial e S ⊂ V, S = {v1, . . . , vn}. Enta˜o, [S] = {a1v1 + · · ·+ anvn : a1, . . . , an ∈ R} e´ subespac¸o vetorial de V. Demonstrac¸a˜o. (i) 0 ∈ [S] pois 0 = 0v1 + · · ·+ 0vn. (ii) Sejam u, v ∈ [S]⇒ u = a1v1 + · · ·+ anvn e v = b1v1 + · · ·+ bnvn ⇒ u+ v = (a1 + b1)︸ ︷︷ ︸ c1 v1 + · · ·+ (an + bn)︸ ︷︷ ︸ cn vn = c1v1 + · · ·+ cnvn ∈ [S]. (iii) Sejam α ∈ R e v ∈ [S]⇒ α ∈ R e v = a1v1+· · ·+anvn ⇒ αv = (αa1)︸ ︷︷ ︸ b1 v1+· · ·+ (αan)︸ ︷︷ ︸ bn vn = b1v1+· · ·+bnvn ∈ [S]. � Nas condic¸o˜es da proposic¸a˜o acima, [S] e´ chamado de subespac¸o vetorial de V gerado por S. Os elementos de S sa˜o chamados de geradores de [S]. Quando S = ∅, convencionamos que [S] = {0}. Quando S ⊂ V for infinito, definimos [S] como sendo o conjunto dos v ∈ V tais que existem v1, . . . , vn ∈ S e α1, . . . , αn ∈ R (quantidades finitas!) tais que v = α1v1 + · · ·+ αnvn. Exemplos. Exemplo (1) V = R2 e S = {(1, 0) , (1, 1)}. Determinar [S]. Resoluc¸a˜o. Seja (x, y) ∈ [S]. Logo, existem α, β ∈ R tais que (x, y) = α (1, 0) + β (1, 1) ⇒ (x, y) = (α+ β,β) ⇒{ x = α+ β y = β ⇒ { α = x− y β = y , ou seja, (x, y) = (x− y) (1, 0) + y (1, 1) e podemos escrever qualquer elemento de R2 como combinac¸a˜o linear de (1, 0) e (1, 1). Logo, R2 ⊂ [S]. Como, naturalmente, [S] ⊂ R2, temos [S] = R2. agustini@ufu.br sites.google.com/site/edsonagustini Edson Agustini Pa´gina 28 UFU A´lgebra Linear Exemplo (2) V = R3 e S = {(1,−2,−1) , (2, 1, 1)}. Determinar [S]. Resoluc¸a˜o. Seja (x, y, z) ∈ [S]. Logo, existem α, β ∈ R tais que (x, y, z) = α (1,−2,−1) + β (2, 1, 1)⇒ (x, y, z) = (α+ 2β,−2α+ β,−α+ β)⇒ x = α+ 2βy = −2α+ β z = −α+ β ⇒ x = α+ 2βy = −2α+ β z = −α+ β ⇒ α+ 2β = x5β = 2x+ y 3β = x+ z ⇒ α+ 2β = x 5β = 2x+ y 0 = −1 5 x− 3 5 y+ z . A u´ltima linha pode ser reescrita como x+ 3y− 5z = 0. Assim, para que (x, y, z) ∈ [S] possa ser escrito como combinac¸a˜o linear de elementos de S e´ necessa´rio que x+ 3y− 5z = 0 (caso contra´rio, o sistema e´ imposs´ıvel). Logo, [S] = { (x, y, z) ∈ R3 : x+ 3y− 5z = 0} ⊂ R3 (geometricamente, [S] e´ um plano que conte´m a origem do R3). Exemplo (3) V =M2 (R) e S = {[ −1 2 −2 3 ] , [ 3 −1 1 1 ]} . Determinar [S]. Resposta. [S] = {[ x y w z ] ∈M2 (R) : y+w = 0 e x+ 2y− z = 0 } . Exemplo (4) Seja V = R∞ = {(x1, x2, . . . , xn, . . .) : xk ∈ R para qualquer k ∈ N} (e´ fa´cil mostrar que V e´ o espac¸o vetorial das sequeˆncias reais com as operac¸o˜es usuais). Seja S = {(1, 0, 0, 0, . . .) , (0, 1, 0, 0, . . .) , (0, 0, 1, 0, . . .) , . . .} ⊂ V. O elemento v = (2, 1, 3, 2, 0, 0, 0, . . .) ∈ [S], pois existem v1 = (1, 0, 0, 0, 0, . . .), v2 = (0, 1, 0, 0, 0, . . .), v3 = (0, 0, 1, 0, 0, . . .), v4 = (0, 0, 0, 1, 0, . . .) ∈ S e α1 = 2, α2 = 1, α3 = 3, α4 = 2 ∈ R tais que v = α1v1+α2v2+α3v3+α4v4, ou seja, (2, 1, 3, 2, 0, 0, 0, . . .) = 2 (1, 0, 0, 0, 0, . . .) + 1 (0, 1, 0, 0, 0, . . .) + 3 (0, 0, 1, 0, 0, . . .) + 2 (0, 0, 0, 1, 0, . . .). Ja´ o elemento v = (1, 2, 3, 4, 5, . . .) /∈ [S], pois na˜o existe uma quantidade finita de elementos de S tais que v seja combinac¸a˜o linear desses elementos. Proposic¸a˜o 5. (Propriedades) Seja V espac¸o vetorial sobre R e S = {v1, . . . , vn} ⊂ V. (i) S ⊂ [S]; (ii) S1 ⊂ S2 ⊂ V ⇒ [S1] ⊂ [S2]; (iii) [S] = [[S]]; (iv) S1, S2 ⊂ V ⇒ [S1 ∪ S2] = [S1] + [S2]. Demonstrac¸a˜o. (i) Seja vk ∈ S. Enta˜o, vk = 0v1 + · · ·+ 0vk−1 + 1vk + 0vk+1 + · · ·+ 0vn ∈ [S]. Logo, S ⊂ [S]. (ii) Neste item fac¸amos S1 = {u1, . . . , um} e S2 = {w1, . . . , wn} (esses conjuntos na˜o precisam ter a mesma quantidade de elementos) e, como S1 ⊂ S2, temos m ≤ n e, sem perda de generalidade, suponhamos que u1 = w1, u2 = w2, . . ., um = wm. Seja v ∈ [S1]⇒ v = α1u1+· · ·+αmum = α1w1+· · ·+αmwm = α1w1+· · ·+αmwm+0wm+1+· · ·+0wn ⇒ v ∈ [S2]. Logo, [S1] ⊂ [S2]. (iii) Do item (i) temos S ⊂ [S]⇒ [S] ⊂ [[S]]. Quanto a` inclusa˜o contra´ria: Seja v ∈ [[S]]⇒ v = n∑ i=1 αivi com vi ∈ [S]. Mas vi = m∑ j=1 βjuj com uj ∈ S. Logo, v = n∑ i=1 ( αi m∑ j=1 βjuj ) = n∑ i=1 ( m∑ j=1 αiβjuj ) = m∑ j=1 ( n∑ i=1 αiβj ) ︸ ︷︷ ︸ γj uj = m∑ j=1 γjuj ⇒ v ∈ [S] . Logo, [[S]] ⊂ [S]. Conclusa˜o: [S] = [[S]]. (iv) Neste item fac¸amos S1 = {u1, . . . , um} e S2 = {w1, . . . , wn} (esses conjuntos na˜o precisam ter a mesma quantidade de elementos). Seja v ∈ [S1 ∪ S2] ⇐⇒ v = α1u1 + · · ·+ αmum︸ ︷︷ ︸ ∈[S1] + β1w1 + · · ·+ βnwn︸ ︷︷ ︸ ∈[S2] ⇐⇒ v ∈ [S1] + [S2]. Logo, [S1 ∪ S2] = [S1] + [S2]. � Observac¸a˜o. Se S e´ um espac¸o vetorial, enta˜o S = [S]. De fato, se v ∈ [S], enta˜o v = α1v1 + · · ·+ αnvn︸ ︷︷ ︸ ∈S , ou seja, v ∈ S, pois S e´ espac¸o vetorial. Portanto, [S] ⊂ S. Como S ⊂ [S] (proposic¸a˜o acima), conclu´ımos S = [S]. Edson Agustini sites.google.com/site/edsonagustini agustini@ufu.br A´lgebra Linear UFU Pa´gina 29 Exerc´ıcios. Exerc´ıcio (1) Determine um conjunto gerador para os seguintes subespac¸os vetoriais: (a) U = { (x, y, z) ∈ R3 : x− y = 0} ⊂ R3 (com operac¸o˜es usuais). (b) V = { (x,y, z, t) ∈ R4 : x− y = z+ t = 0} ⊂ R4 (com operac¸o˜es usuais). (c) W = { (x, y, z, t) ∈ R4 : x− y− z+ t = 0} ⊂ R4 (com operac¸o˜es usuais). Resoluc¸a˜o de (a). Seja (x, y, z) ∈ U⇐⇒ x− y = 0⇐⇒ x = y, ou seja, (x, y, z) = (x, x, z) = x (1, 1, 0) + z (0, 0, 1) sendo x, z ∈ R. Chamando v1 = (1, 1, 0), v2 = (0, 0, 1) e S = {v1, v2} temos U = [S], ou seja, S e´ conjunto gerador de U. Respostas de (b) e (c): V = [S] com S = {(1, 1, 0, 0) , (0, 0, 1,−1)} eW = [S] com S = {(1, 1, 0, 0) , (1, 0, 1, 0) , (−1, 0, 0, 1)}. Exerc´ıcio (2) Se U = [(1, 0, 0) , (1, 1, 1)] e V = [(0, 1, 0) , (0, 0, 1)], encontre um conjunto gerador de U ∩ V. Observac¸a˜o: [S] pode ser escrito como [v1, . . . , vn] sendo S = {v1, . . . , vn}. Resoluc¸a˜o. Temos v ∈ U ∩ V ⇒ { v = α (1, 0, 0) + β (1, 1, 1) v = γ (0, 1, 0) + δ (0, 0, 1) ⇒ v = (α+ β,β, β) = (0, γ, δ)⇒ α+ β = 0⇒ α = −ββ = γ β = δ ⇒ { v = −β (1, 0, 0) + β (1, 1, 1) v = β (0, 1, 0) + β (0, 0, 1) ⇒ { v = (−β+ β,β, β) v = (0, β, β) ⇒ v = (0, β, β) = β (0, 1, 1) com β ∈ R⇒ v ∈ [(0, 1, 1)] Logo, U ∩ V ⊂ [(0, 1, 1)]. Quanto a` inclusa˜o contra´ria, observemos que (0, 1, 1) = − (1, 0, 0) + (1, 1, 1)⇒ (0, 1, 1) ∈ U⇒ [(0, 1, 1)] ⊂ [U] = U (pois U e´ espac¸o vetorial). Analogamente, (0, 1, 1) = (0, 1, 0) + (0, 0, 1)⇒ (0, 1, 1) ∈ V ⇒ [(0, 1, 1)] ⊂ [V ] = V (pois V e´ espac¸o vetorial). Logo, [(0, 1, 1)] ⊂ U ∩ V. Conclusa˜o: U ∩ V = [(0, 1, 1)]. e S = {(0, 1, 1)} e´ conjunto gerador de U ∩ V. Exerc´ıcio (3) Dados U = { (x, y, z) ∈ R3 : z = 0} e V = {(x, y, z) ∈ R3 : x+ y+ z = 0}. Determine conjuntos gera- dores para U, V, U ∩ V e U+ V. Exerc´ıcio (4) Determine conjuntos geradores para: (i) M2 (R); (ii) U = {A ∈M2 (R) : A = At} (subespac¸o vetorial das matrizes ortogonais); (iii) W = {[ a b c d ] ∈M2 (R) : b = −c } . 2.6 Espac¸os Vetoriais Finitamente Gerados Dizemos que V e´ um espac¸o vetorial finitamente gerado quando existe S ⊂ V finito tal que V = [S]. Exemplos. Exemplo (1) R3 e´ finitamente gerado: R3 = [(1, 0, 0) , (0, 1, 0) , (0, 0, 1)]. De fato, [(1, 0, 0) , (0, 1, 0) , (0, 0, 1)] ⊂ R3 (o´bvio). Seja (x, y, z) ∈ R3 ⇒ (x, y, z) = x (1, 0, 0) + y (0, 1, 0) + z (0, 0, 1) ⇒ (x, y, z) ∈ [(1, 0, 0) , (0, 1, 0) , (0, 0, 1)]. Logo, R3 ⊂ [(1, 0, 0) , (0, 1, 0) , (0, 0, 1)]. Conclusa˜o: R3 = [(1, 0, 0) , (0, 1, 0) , (0, 0, 1)]. Exemplo (2) (generalizac¸a˜o do exemplo anterior) Rn e´ finitamente gerado: Rn = [(1, 0, 0, . . . , 0) , (0, 1, 0, . . . , 0) , . . . , (0, . . . , 0, 1)]. Exemplo (3) Pn (R) e´ finitamente gerado: Pn (R) = [ 1, x, x2, . . . , xn ] . Exemplo (4) M2 (R) e´ finitamente gerado: Mn (R) = {[ 1 0 0 0 ] , [ 0 1 0 0 ] , [ 0 0 1 0 ] , [ 0 0 0 1 ]} . Exemplo (5) P (R): conjunto dos polinoˆmios com coeficientes reais, na˜o e´ finitamente gerado. agustini@ufu.br sites.google.com/site/edsonagustini Edson Agustini Pa´gina 30 UFU A´lgebra Linear De fato, seja S = {p1, p2, . . . , pn} ⊂ P (R). Logo, existe pk ∈ S de grau ma´ximo. Suponhamos que o grau do polinoˆmio pk seja m. Tomemos p ∈ P (R) tal que p possui grau maior do que m. Logo, o polinoˆmio p na˜o pode ser escrito como combinac¸a˜o linear de p1, . . . , pn. Portanto, P (R) 6= [S]. Exemplo (6) R∞ = {(x1, x2, . . . , xn, . . .) : xk ∈ R com k ∈ N} (espac¸o vetorial das sequeˆncias nume´ricas reais) na˜o e´ finitamente gerado. 2.7 Dependeˆncia e Independeˆncia Linear Sejam V espac¸o vetorial sobre R e S = {u1, . . . , un} ⊂ V. Dizemos que S e´ um conjunto linearmente independente (LI) quando ocorrer: α1u1 + α2u2 + · · ·+ αnun = 0⇒ α1 = α2 = · · · = αn = 0. Caso contra´rio, dizemos que S e´ um conjunto linearmente dependente (LD). Com certo abuso de linguagem, tambe´m se pode dizer que u1, . . . , un sa˜o LI, ou LD. Por convenc¸a˜o, S = ∅ e´ considerado LI. Exemplos. Exemplo (1) Sejam V = R3 (operac¸o˜es usuais) e S = {(1, 0, 0) , (0, 1, 0) , (0, 0, 1)}. O conjunto S e´ LI. De fato, sejam α1, α2, α3 ∈ R tais que α1 (1, 0, 0) + α2 (0, 1, 0) + α3 (0, 0, 1) = (0, 0, 0)⇒ (α1, α2, α3) = (0, 0, 0)⇒ α1 = α2 = α3 = 0. Logo, S e´ LI. Exemplo (2) Sejam V = R3 (operac¸o˜es usuais) e S = {(1, 0, 0) , (0, 1, 0) , (1, 2, 0) , (0, 1, 1)}. O conjunto S e´ LD. De fato, sejam α1, α2, α3, α4 ∈ R tais que α1 (1, 0, 0) + α2 (0, 1, 0) + α3 (1, 2, 0) + α4 (0, 1, 1) = (0, 0, 0) ⇒ (α1 + α3, α2 + 2α3 + α4, α4) = (0, 0, 0). Logo, α1 + α3 = 0α2 + 2α3 + α4 = 0 α4 = 0 que e´ um sistema linear escalonado com mais varia´veis do que linhas, ou seja, um sistema linear poss´ıvel e indeterminado (SPI). Portanto, ha´ infinitas soluc¸o˜es. A soluc¸a˜o trivial (todos os α′s nulos) e´ apenas uma delas. Um exemplo de soluc¸a˜o na˜o trivial e´ α1 = 1, α2 = 2, α3 = −1 e α4 = 0. Logo, S e´ LD. Exerc´ıcio. Verifique se S = {eax cos (bx) , eax sen (bx)} ⊂ F (R), com a e b constantes reais sendo b 6= 0, e´ LI ou LD. Resoluc¸a˜o. Sejam α1, α2 ∈ R tais que α1 (eax cos (bx)) + α2 (eax sen (bx)) = 0⇒ α1 cos (bx) + α2 sen (bx) = 0 (pois eax 6= 0 para qualquer x ∈ R). Mas a igualdade deve valer para qualquer x ∈ R. Para x = 0 temos α1 cos (0) + α2 sen (0) = 0⇒ α11+ α20 = 0⇒ α1 = 0. Para x = pi 2b temos α1 cos ( b pi 2b ) + α2 sen ( b pi 2b ) = 0⇒ α1 cos (pi2 )+ α2 sen (pi2 ) = 0⇒ α10+ α21 = 0⇒ α2 = 0. Logo, α1 = α2 = 0. Portanto, S e´ LI. Propriedades da Dependeˆncia Linear (1) Sendo V um espac¸o vetorial e S um conjunto finito S ⊂ V, que conte´m o elemento neutro de V, e´ LI ou LD? Exemplo: V = R2 e S = {(0, 0) , (1, 2) , (1, 1)} e´ LI ou LD? Sejam α1, α2, α3 ∈ R tais que α1 (0, 0) + α2 (1, 2) + α3 (1, 1) = (0, 0). Podemos tomar, por exemplo, α1 = 1, α2 = α3 = 0. Logo, S e´ LD. P1. Se V e´ espac¸o vetorial, S ⊂ V e´ finito e 0 ∈ S, enta˜o S e´ LI. Justificativa: Sejam S = {0, u2, . . . , un} e α1, α2, . . . , αn ∈ R tais que α10+α2u2 + · · ·+αnun = 0. Tomando α1 6= 0 e α2 = · · · = αn = 0, a igualdade envolvendo a combinac¸a˜o linear fica satisfeita sem que todos os coeficientes seja nulos. Logo, S e´ LD. (2) Um conjunto unita´rio S = {u} ⊂ V, sendo V espac¸o vetorial e u 6= 0, e´ LI ou LD? Exemplo: V = R2 e S = {(1, 1)} e´ LI ou LD? Seja α ∈ R tal que α (1, 1) = (0, 0)⇒ (α,α) = (0, 0)⇒ α = 0. Logo, α e´ necessariamente nulo. Portanto, S e´ LI. Edson Agustini sites.google.com/site/edsonagustini agustini@ufu.br A´lgebra Linear UFU Pa´gina 31 P2. Se V e´ espac¸o vetorial, S = {u} ⊂ V com u 6= 0, enta˜o S e´ LI. Justificativa: Seja α ∈ R tal que αu = 0. Logo, α = 0 necessariamente (pois u 6= 0). De fato, se α 6= 0 ter´ıamos a existeˆncia de α−1 ∈ R tal que αα−1 = 1. Ale´m disso, α−10 = α−1 (0+ 0) = α−10+ α−10 e, portanto, 0 = − ( α−10 ) + ( α−10 ) = − ( α−10 ) + ( α−10+ α−10 ) = ( −α−10+ α−10 ) + α−10 = 0+ α−10 = α−10. Logo, αu = 0⇒ α−1 (αu) = α−10⇒ (αα−1)u = 0⇒ 1u = 0⇒ u = 0, uma contradic¸a˜o com a hipo´tese. (3) Quando S ⊂ V, sendo V espac¸o vetorial, e´ finito e LD, e´ verdade que existe um elemento de S que pode ser escrito como combinac¸a˜o linear dos demais? Exemplo: V = R2 e S = {(1, 0) , (0, 1) , (1, 1)} e´ LD, pois 1 (1, 0) + 1 (0, 1) − 1 (1, 1) = (0, 0) e α1 = 1, α2 = 1, α3 = −1 na˜o sa˜o todos nulos. Podemos escrever (1, 0) como combinac¸a˜o linear de (0, 1) e (1, 1) do seguinte modo: (1, 0) = 1 (1, 1) − 1 (0, 1). Idem para (0, 1) sendo (0, 1) = 1 (1, 1) − 1 (1, 0). Idem para (1, 1) sendo (1, 1) = 1 (1, 0) + 1 (0, 1). P3. Se S = {u1, . . . , un} ⊂ V, sendo V espac¸o vetorial, e´ LD, enta˜o existe um de seus elementos que pode ser escrito como combinac¸a˜o linear dos demais. Justificativa: Como S e´ LD, existem α1, . . . , αn ∈ R tais que α1u1 + · · ·+ αnun = 0 com algum αk 6= 0. Logo, existe α−1k ∈ R tal que αkα−1k = 1 e α−1k (α1u1 + · · ·+ αnun) = α−1k 0⇒ (α1α−1k )u1 + · · ·+ (αkα−1k )uk + · · ·+ (αnα−1k )un = 0⇒ uk = − ( α1α −1 k ) u1 − · · ·− ( αk−1α −1 k ) uk−1 − ( αk+1α −1 k) uk+1 − · · ·− ( αnα −1 k ) un, ou seja, uk e´ combinac¸a˜o linear dos demais elementos de S. Uma observac¸a˜o importante sobre a propriedade (3): nem sempre todo elemento de S pode ser escrito como combinac¸a˜o linear dos demais elementos de S, como fizemos no exemplo acima. De fato, S = {(1, 0) , (2, 0) , (0, 1)} e´ LD, pois 2 (1, 0) − 1 (2, 0) + 0 (0, 1) = (0, 0). Mas (0, 1) na˜o pode ser escrito como combinac¸a˜o linear de (1, 0) e (2, 0), pois caso contra´rio, (0, 1) = α1 (1, 0) + α2 (2, 0)⇒ { α1 + 2α2 = 01 = 0 , o que e´ uma contradic¸a˜o. (4) Quando S1 e S2 sa˜o finitos e na˜o vazios com S1 LD e S1 ⊂ S2 ⊂ V, sendo V espac¸o vetorial, o conjunto S2 e´ LI ou LD? Exemplo: S1 = {(1, 0) , (0, 1) , (1, 1) , (2, 0)} e S2 = {(1, 0) , (2, 0)} sa˜o tais que S2 e´ LD, pois 1 (1, 0)− 1 2 (2, 0) = (0, 0) e α1 = 1, α2 = − 1 2 na˜o sa˜o nulos. Mas S1 tambe´m e´ LD, pois 1 (1, 0) − 1 2 (2, 0) + 0 (0, 1) + 0 (1, 1) = (0, 0). P4. Se S1 ⊂ S2 sa˜o conjuntos finitos na˜o vazios no espac¸o vetorial V e S1 e´ LD, enta˜o S2 e´ LD. Justificativa: Tomemos S1 = {u1, . . . , ur} e S2 = {u1, . . . , ur, . . . , un}. Como S1 e´ LD, existem α1, . . . , αr ∈ R na˜o todos nulos tais que α1u1 + · · · + αrur = 0 ⇒ α1u1 + · · · + αrur + 0ur+1 + · · · + 0un = 0, ou seja, existem α1, . . . , αr, . . . , αn ∈ R na˜o todos nulos tais que α1u1 + · · ·+ αrur + · · ·+ αnun = 0 e, portanto, S2 e´ LD. (5) Um conjunto finito na˜o vazio contido em um conjunto finito LI em um espac¸o vetorial pode ser LD? Exemplo: Seja S1 = {(1, 0, 0) , (1, 1, 0)} e S2 = {(1, 0, 0) , (1, 1, 0) , (1, 1, 1)}. O conjunto S2 e´ LI pois α1 (1, 0, 0)+α2 (1, 1, 0)+α3 (1, 1, 1) = (0, 0, 0)⇒ (α1 + α2 + α3, α2 + α3, α3) = (0, 0, 0)⇒ α1 = α2 = α3 = 0 (necessariamente) O conjutno S1 e´ LI pois α1 (1, 0, 0) + α2 (1, 1, 0) = (0, 0, 0) ⇒ (α1 + α2, α2, 0) = (0, 0, 0) ⇒ α1 = α2 = 0 (necessariamente). P5. Se S1 ⊂ S2 sa˜o conjuntos finitos na˜o vazios no espac¸o vetorial V e S2 e´ LI, enta˜o S1 e´ LI. Justificativa: se S1 fosse LD, enta˜o pela propriedade (4), S2 seria LD, uma contradic¸a˜o com a hipo´tese. Logo, S1 e´ LI. (6) Se adicionarmos um elemento a um conjunto LI e este novo conjunto tornar-se LD, podemos escrever u como combinac¸a˜o linear dos elementos do conjunto original? Exemplo: S = {(1, 0) , (0, 1)} e´ LI. Tomemos u = (10, 20) e formemos o conjunto S′ = {(1, 0) , (0, 1) , (10, 20)} que e´ LD, pois 10 (1, 0) + 20 (0, 1) − 1 (10, 20) = (0, 0) com coeficientes α1 = 10, α2 = 20 e α3 = −1 na˜o todos nulos. O elemento (10, 20) pode ser escrito como combinac¸a˜o linear de (1, 0) e (0, 1). De fato, (10, 20) = 10 (1, 0) + 20 (0, 1). agustini@ufu.br sites.google.com/site/edsonagustini Edson Agustini Pa´gina 32 UFU A´lgebra Linear P6. Se S = {u1, . . . , un} ⊂ V, sendo V espac¸o vetorial, e´ LI e S′ = S ∪ {u} e´ LD com u ∈ V, enta˜o u e´ combinac¸a˜o linear dos elementos de S. Justificativa: Por hipo´tese, S′ e´ LD. Logo, existem α1, . . . , αn, α ∈ R na˜o todos nulos tais que α1u1 + · · ·+ αnun + αu = 0. Afirmac¸a˜o: α 6= 0. De fato, se α = 0 ter´ıamos α1u1 + · · · + αnun = 0 e, como S e´ LI por hipo´tese, ter´ıamos α1 = · · · = αn = 0, contrariando o fato de α1, . . . , αn, α na˜o serem todos nulos. Logo, existe α−1 ∈ R tal que αα−1 = 1. Portanto, α−1 (α1u1 + · · ·+ αnun + αu) = α−10⇒ (α−1α1)u1 + · · ·+ (α−1αn)un + (α−1α)u = 0⇒ u = − ( α−1α1 ) u1 − · · ·− ( α−1αn ) un, ou seja, u pode ser escrito como combinac¸a˜o linear dos elementos de S. Em outras palavras, u ∈ [S]. (7) Seja S um conjunto finito e na˜o vazio e suponhamos que u ∈ S possa ser escrito como combinac¸a˜o linear dos demais elementos de S. Nessas condic¸o˜es, e´ verdade que os espac¸os vetoriais gerados por S e por S− {u} sa˜o os mesmos? Em outras palavras, [S] = [S− {u}]? Exemplo: Seja S = {(1, 0) , (0, 1) , (1, 1)} e u = (1, 1). Temos u como combinac¸a˜o linear de (1, 0) e (0, 1), pois (1, 1) = 1 (1, 0) + 1 (0, 1) com α1 = 1 e α2 = 1 na˜o nulos. Nessas condic¸o˜es, [S] = {x (1, 0) + y (0, 1) + z (1, 1) : x, y, z ∈ R} e [S− {u}] = {x′ (1, 0) + y′ (0, 1) : x′, y′ ∈ R}. E´ o´bvio que [S− {u}] ⊂ [S] (basta fazer z = 0 em [S]). Quanto a` inclusa˜o contra´ria, seja v ∈ [S] ⇒ v = x (1, 0) + y (0, 1) + z (1, 1) ∈ [S] ⇒ v = x (1, 0) + y (0, 1) + z ((1, 0) + (0, 1)) = (x+ z)︸ ︷︷ ︸ x′ (1, 0)+ (y+ z)︸ ︷︷ ︸ y′ (0, 1) = x′ (1, 0) + y′ (0, 1)⇒ v ∈ [S− {u}]. Logo, [S] ⊂ [S− {u}]. Portanto, [S] = [S− {u}]. P7. Se S = {u1, . . . , uk, . . . , un} ⊂ V, sendo V espac¸o vetorial, e uk ∈ [S− {uk}], enta˜o [S] = [S− {uk}]. Justificativa: Como S− {uk} ⊂ S⇒ [S− {uk}] ⊂ [S] (propriedade). Quanto a` inclusa˜o contra´ria, seja v ∈ [S] ⇒ v = α1u1 + · · · + αkuk + · · · + αnun. Como uk ∈ [S− {uk}] ⇒ uk = β1u1 + · · ·+ βk−1uk−1 + βk+1uk+1 + · · ·+ βnun. Portanto, v = α1u1 + · · ·+ αkuk + · · ·+ αnun = α1u1 + · · ·+ αk (β1u1 + · · ·+ βk−1uk−1 + βk+1uk+1 + · · ·+ βnun) + · · ·+ αnun = (α1 + αkβ1)u1 + · · ·+ (αk−1 + αkβk−1)uk−1 + (αk+1 + αkβk+1)uk+1 + · · ·+ (αn + αkβn)un, ou seja, v ∈ [S− {uk}]. Portanto, [S] ⊂ [S− {uk}]. Conclusa˜o: [S] = [S− {uk}]. P8. Se S ⊂ V e´ finito, na˜o vazio e LI, sendo V espac¸o vetorial, enta˜o v ∈ [S] e´ escrito de maneira u´nica como combinac¸a˜o linear dos elementos de S. Justificativa: Suponhamos que S = {u1, . . . , un} e v ∈ [S] e´ tal que v = α1u1 + · · ·+ αnun e v = β1u1 + · · ·+ βnun. Enta˜o: α1u1 + · · ·+ αnun = β1u1 + · · ·+ βnun ⇒ (α1 − β1)u1 + · · ·+ (αn − βn)un = 0⇒ α1 − β1 = · · · = αn − βn = 0 (pois S e´ LI)⇒ α1 = β1, . . . , αn = βn, ou seja v e´ escrito de modo u´nico como combinac¸a˜o linear dos elementos de S. 2.8 Base e Dimensa˜o de Um Espac¸o Vetorial Finitamente Gerado Seja V um espac¸o vetorial finitamente gerado sobre R. Um subconjunto B ⊂ V finito e´ uma base para V quando: (i) B e´ LI; (ii) [B] = V. Quando V = {0}, convencionamos que B = ∅ e´ base de V. Exemplos. Exemplo (1) B = {(1, 0) , (0, 1)} e´ uma base para R2. Edson Agustini sites.google.com/site/edsonagustini agustini@ufu.br A´lgebra Linear UFU Pa´gina 33 De fato: (i) Sejam α1, α2 ∈ R tais que α1 (1, 0) + α2 (0, 1) = (0, 0)⇒ (α1, α2) = (0, 0)⇒ α1 = α2 = 0. Logo, B e´ LI. (ii) Obviamente [B] ⊂ R2. Quanto a` inclusa˜o contra´ria, seja (x, y) ∈ R2 ⇒ (x, y) = x (1, 0)+y (0, 1)⇒ (x, y) ∈ [B]. Logo, R2 ⊂ [B]. Portanto, R2 = [B]. Exemplo (2) B = {(1, 0, . . . , 0) , (0, 1, . . . , 0) , . . . , (0, 0, . . . , 1)} e´ uma base para Rn, chamada de base canoˆnica de Rn. Exemplo (3) B = { 1, x, x2, . . . , xn } e´ base para Pn (R). De fato: (i) Sejam α0, . . . , αn ∈ R tais que α01+α1x+α2x2+ · · ·+αnxn = 0 (0 e´ o polinoˆmio nulo)⇒ α0 = · · · = αn = 0. Logo, B e´ LI. (ii) Obviamente [B] ⊂ Pn (R). Quanto a` inclusa˜o contra´ria, seja p = a0+a1x+a2x2+· · ·+anxn ∈ Pn (R)⇒ p ∈ [B] pois α0 = a0, α1 = a1, . . ., αn = an na combinac¸a˜o linear dos elementos de B. Logo, Pn (R) ⊂ [B]. Portanto, Pn (R) = [B]. Exemplo (4) B = {[ 1 0 0 0 ] , [ 0 1 0 0 ] , [ 0 0 1 0 ] , [ 0 0 0 1 ]} e´ base para M2 (R). De fato: (i) Sejam α1, . . . , α4 ∈ R tais que α1 [ 1 0 0 0 ] + α2 [ 0 1 0 0 ] + α3 [ 0 0 1 0 ] + α4 [ 0 0 0 1 ] = [ 0 0 0 0 ] ⇒ [α1 α2 α3 α4 ] =[ 0 0 0 0 ]⇒ α1 = · · · = α4 = 0. Logo, B e´ LI. (ii) Obviamente [B] ⊂ M2 (R). Quanto a` inclusa˜o contra´ria, seja [ a b c d ] ∈ M2 (R) ⇒ [a bc d ] = a [ 1 0 0 0 ] + b [ 0 1 0 0 ] + c [ 0 0 1 0 ] + d [ 0 0 0 1 ]⇒ [a b c d ] ∈ [B]. Logo, M2 (R) ⊂ [B]. Portanto, M2 (R) = [B]. Observemos que esse exemplo pode ser generalizado para Mm×n (R) tomando B = 1 0 0 · · · 0... ... 0 0 0 · · · 0 m×n , 0 1 0 · · · 0... ... 0 0 0 · · · 0 m×n , . . . , 0 0 0 · · · 0... ... 0 0 0 · · · 1 m×n . Observac¸a˜o: Bases para espac¸os vetoriais na˜o sa˜o u´nicas.
Compartilhar