05Material de Apoio - derivadas

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1 
DERIVADAS 
 
 “O objetivo é um sonho com prazo fixo.” 
Leo B. Helzer 
Introdução: 
 
No material anterior, vimos como encontrar uma equação para a reta tangente a uma curva, 
usando intuitivamente a noção de limites. Agora, veremos a definição precisa de reta 
tangente a uma curva num ponto Para determinarmos a inclinação 
da reta que tangencia uma curva em um ponto devemos considerar um ponto 
na curva que seja distinto de P e calcularmos a inclinação da reta que passa por 
P e Q, chamada de reta secante (ver figura 1). 
A inclinação da reta coincide com a tangente do ângulo 

 que possui vértice em P, na 
figura. Então, 
Se fizermos Q ficar mais e mais próximo de P, isto é, se a reta secante por P e Q atingir 
alguma posição limite quando consideraremos esse limite como a inclinação da 
reta tangente em P (ver figura 2). 
 
 
 
 
 2 
 
Assim, temos a seguinte definição. 
 
Definição: 
 Suponhamos que a pertença ao domínio da função f. A reta tangente à curva no 
ponto é a reta de equação 
, onde 
 
 
Sempre que existir o limite. 
Há outra expressão para a inclinação da reta tangente, muito utilizada. Essa expressão é 
obtida quando consideramos 
hax 
. Daí, temos que 
 
 
 
 
 
INTERPRETAÇÃO DE DERIVADA: 
 
A derivada de uma função em um número a é a inclinação da reta tangente que passa pelo 
ponto (a, f (a)), ou seja, a derivada de uma função f (x) em um número a é dada por: 
 
h
afhaf
af
h
)()(
lim)('
0



. 
 
 
 3 
Portanto, reescrevendo a equação da reta tangente, num ponto desta reta, 
teremos: 
 
 
 
Exemplo: 
Seja a parábola , encontre: 
a) A inclinação da reta tangente a curva, no ponto P(1,1); 
b) A equação da reta tangente a curva, no ponto P(1,1). 
 
 
 
 
 
 
Velocidades 
 
Estudamos anteriormente, o movimento de uma bola deixada cair de cima de uma 
torre, e sua velocidade foi definida como sendo o valor limite das velocidades médias em 
períodos de tempo cada vez menores. 
Suponha um objeto movendo-se sobre uma linha reta de acordo com a equação 
)(tfs 
, onde 
s
 é o deslocamento do objeto a partir da origem do instante 
t
. A função 
f
que descreve o movimento é chamada função posição do objeto. No intervalo de tempo 
entre 
at 
 e 
hat 
 a variação na posição será de 
)()( afhaf 
 (figura 5, tirada do 
livro texto). A velocidade média nesse intervalo é: 
 
h
afhaf
tempo
todeslocamen
médiavelocidade
)()( 

 
Que é exatamente a inclinação da reta tangente 
PQ
 na figura 6 (tirada do livro texto) 
 
 
 
 4 
 
 
Suponha que a velocidade média seja calculada em intervalos cada vez menores 
 haa ,
. 
Em outras palavras, fazendo 
h
 tender a zero. Como no exemplo da queda da bola, 
definimos velocidade (ou velocidade instantânea) 
)(av
 no instante 
at 
como sendo o 
limite das velocidades médias: 
 
h
afhaf
av
h
)()(
lim)(
0



 
 
Isto significa que a velocidade no instante 
at 
é igual à inclinação da reta tangente em 
P
. 
Usaremos o exemplo visto no material anterior, sobre limites (pág.3) 
 
Suponha que uma bola foi deixada cair do posto de observação da torre, 450 m acima do 
solo. 
 
a) Qual a velocidade após 5 segundos? 
b) Com qual velocidade a bola chega ao solo? 
 
Obs. Vamos utilizar a equação do movimento 
29,4)( ttfs 
: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Derivada 
 
A função definida por: 
 
 
É chamada derivada de f em relação à x. O domínio de é formado pelos x do domínio de f 
para os quais existe o limite. 
 
 
 5 
 
DEFINIÇÃO: Uma função 
f
 é diferenciável em 
a
 se 
)(' af
 existir. É diferenciável em 
um intervalo aberto 
),( ba
 [ou 
),( a
 ou 
),( a
 ou 
),( 
] se for diferenciável em cada 
número do intervalo. 
 
Se usarmos a notação tradicional 
)(xfy 
 para indicar que a variável independente é 
x
 
enquanto que 
y
 é a variável dependente, então algumas notações alternativas para a 
derivada são como se segue: 
 
 
)()()(')(' xfDxDfxf
dx
d
dx
df
dx
dy
yxf x
 
 
 
REGRAS DE DERIVAÇÃO 
 
1- Derivada de uma função constante 
 0)( cdx
d
 
 
Exemplos: Derive as funções: 
 
 a) 
 b) 
)(xf 
 
2- Regra da potência 
 
Se n for um número real qualquer 
 
1)(  nn nxx
dx
d
 
 
 O tipo mais simples de função potência é , onde 
 
 
 
 Derivar as funções: 
 
 a) 
6xy 
 
 b) 
43)( xxf 
 
 
 Calcular: 
 
 a) 






xdx
d 1
 
 
3y
 6 
 b) 






6
3
xdx
d
 
 
 c) 
 x
dx
d
 
 
 
3- Regra do múltiplo constante 
Se f for diferenciável e c uma constante real 
 
 )()( xfdx
d
cxcf
dx
d
 
 
4- Regra da soma 
 
Se f e g forem ambas diferenciáveis, então 
 
 
 
5- Regra da diferença 
 
Se f e g forem ambas diferenciáveis, então 
 
 
 
 
 
Exemplo: Calcule as derivadas das seguintes funções: 
 
a) 
7
2
232 26  xxxy
 
 b) 
x
xxf
5
2
3
)( 4 
 
 
 
6- Regra do produto 
 
 Se f e g forem ambas diferenciáveis, então 
 
      )().()().()().( xfdx
d
xgxg
dx
d
xfxgxf
dx
d

 
 
Ou 
 
 )(').()(').()]'().([ xfxgxgxfxgxf  
 
 7 
Exemplo: Se 
xxexf )(
, encontre 
)(' xf
. 
 
 
 
 
 
 
7- Regra do quociente 
 
 Se f e g forem ambas diferenciáveis, então 
 
   
 2)(
)().()().(
)(
)(
xg
xg
dx
d
xfxf
dx
d
xg
xg
xf
dx
d






 
 
Ou 
 
  
2
'
)(
)(').()(').(
)(
)(
xg
xgxfxfxg
xg
xf 





 
 
 
 
Exemplo: Se 
3
53
4
2



x
xx
y
, encontre 
'y
. 
 
Derivada das funções trigonométricas 
 
1- 
)cos()( xxsen
dx
d

 
 
2- 
)(cos xsenx
dx
d

 
 
Exemplos: Derive as funções: 
 
 a) 
)(2 xseny  
 b) 
)cos(3)( xxf 
 
 
 
 
3- 
)(sec)( 2 xxtg
dx
d

 
 
 8 
4- 
  )(cot).sec(cosseccos xgxx
dx
d

 
 
5- 
  )().sec(sec xtgxx
dx
d

 
 
6- 
)(seccos)(cot 2 xxg
dx
d

 
 
Derivada da função exponencial natural 
xx ee
dx
d

 
 
Exemplos: Derivar a função 
 
 a) 
xey .3 
 
 
Problemas de Derivação e Diferenciação 
 
INTRODUÇÃO 
 
 
 
 
 
Se 
x
 variar de 
1x
 a 
2x
, então a variação em 
x
 é dada por 
12 xxx 
, e a variação 
em 
y
 correspondente é 
)()( 12 xfxfy 
. O quociente dessa diferença 
12
12 )()(
xx
xfxf
x
y





 é a taxa média da variação de 
y
 em relação a 
x
 sobre o intervalo 
 21 xx 
 e pode ser interpretado como a inclinação da reta secante 
PQ
. Seu limite quando 
 9 
0x
 é a derivada 
)(' 1xf
, que pode ser interpretada como a taxa de variação instantânea 
de 
y
 em relação a 
x
. Usando a notação de Leibniz, podemos escrever 
 
x
y
dx
dy
x 


 0
lim
 
 
 
 
Algumas aplicações da taxade variação (livro texto) 
 
1- A posição de uma partícula é dada pela equação , onde 
t
 
é medido em segundos e 
s
 em metros. 
 
a) Encontre a velocidade no instante 
t
. 
 
 
 
b) Qual é a velocidade depois de 2s? Depois de 4s? 
 
 
 
c) Quando a partícula está em repouso? 
 
 
 
d) Quando a partícula está se movendo para frente (isto é, no sentido positivo)? 
 
 
 
 
e) Faça um diagrama para representar o movimento da partícula. 
 
 
 
 
f) Encontre a distância total percorrida pela partícula durante os primeiros 
cinco segundos. 
 
 
 
g) Como poderíamos encontrar uma fórmula que nos fornecesse a aceleração 
dessa partícula? 
 
 
 
 
 10 
 
 
2- A taxa média de crescimento de uma população é dada por 
12
12 )()(
tt
tftf
t
n





, 
onde 
)(tfn 
 é uma função que descreve o numero de indivíduos (
n
) em função 
do tempo 
)(t
. 
 A taxa de crescimento instantâneo é dada por: 
t
n
dt
df
x 


 0
lim
. 
 
 Exemplo: 
O crescimento populacional de uma população de bactérias é dado pela fórmula 
tetf 200)( 
. Qual a função que expressa a taxa de variação instantânea desta 
população? 
 
 
 
Regra da Cadeia 
 
INTRODUÇÃO 
 
Quanto vale a derivada da função 
23 )3(  xy
? 
As fórmulas que possuímos não nos permitem calcular esta derivada. O que 
acontece, é que na verdade possuímos duas funções que formam uma única. Chamamos de 
função composta. Consideremos 
2)( xxf 
 e 
3)( 3  xxg
. Temos que 
gfy 
, ou seja, 
))(( xgfy 
. 
Geralmente chamamos o argumento da função de 
u
. Com isso ficamos com 
2)(uy 
, onde 
)(33 xgxu 
. Desta maneira, poderemos analisar melhor uma das mais 
importantes regras de diferenciação, que é a famosa regra da cadeia. 
 
 
DEFINIÇÃO: Se 
f
 e 
g
forem diferenciáveis e 
gfF 
 for uma função 
composta definida por 
))(()( xgfxF 
, então 
F
 é diferenciável e 
'F
 é dada pelo 
produto: 
)(')).((')(' xgxgfxF 
 
Na notação de Leibniz, se 
)(ufy 
 e 
)(xgu 
 forem duas funções 
diferenciáveis, então 
dx
du
du
dy
dx
dy

. 
 
 
 
 
 11 
 Exercícios: 
 
1- Derivar as seguintes funções: 
 
a) 
23 )3(  xy
 b) 
7)32(  xy c) 1)( 2  xxf 
 
 
 
 
 
 
d) 
)()( 2xsenxf 
 e) 
32  xey
 f) 
1003 )1(  xy
 
 
 
 
 
 
 
PONTO DE MÁXIMO E PONTO DE MÍNIMO 
Observe o gráfico da função abaixo definida por 
234 18163)( xxxxf 
, 
41  x
. 
 
DEFINIÇÃO: Uma função tem um máximo absoluto (ou máximo global) em 
c
 se 
)()( xfcf 
 para todo 
x
 em 
D
, onde 
D
 é o domínio de 
f
. O número 
)(cf
 é chamado 
de valor máximo de 
f
 em 
D
. Analogamente, 
f
 tem um mínimo absoluto em 
c
 se 
 12 
)()( xfcf 
 para todo 
x
 em 
D
 e o número 
)(cf
 é chamado de valor mínimo de 
f
 em 
D
. Os valores máximos e mínimos de 
f
 são chamados de valores extremos de 
f
. 
 
DEFINIÇÃO: Uma função tem um máximo local (ou máximo relativo) em 
c
 se 
)()( xfcf 
 quando 
x
 estiver numa proximidade de 
c
. [Isto significa que 
)()( xfcf 
 
para todo 
x
 em um intervalo aberto contendo 
c
]. Analogamente 
f
 tem um mínimo local 
em 
c
 se 
)()( xfcf 
 quando 
x
 estiver nas proximidades de 
c
 
 
 
TEOREMA DO VALOR EXTREMO: Se 
f
 for contínua em um intervalo fechado 
 ba,
então 
f
 assume um valor máximo absoluto 
)(cf
 e um valor mínimo absoluto 
)(df
 em 
algum número 
c
 e 
d
 em 
 ba,
. 
 
TEOREMA DE FERMAT: Se 
f
tiver um ponto de máximo ou mínimo local em 
c
, e 
)(' cf
 existir, então 
0)(' cf
. 
 
DEFINIÇÃO: Um número crítico em uma função 
f
 é um número 
c
 no domínio de 
f
 
onde ou 
0)(' cf
 ou 
)(' cf
 não existe. 
Se f tiver um máximo ou mínimo local em c, então c é um número crítico de f. 
Exercícios: 
1- Encontre os pontos críticos das funções abaixo: 
a) 
763 2  xxy 
 
b) 
22
23
)(
23
 x
xx
xf
 
 
COMO AS DERIVADAS AFETAM O GRÁFICO 
 13 
Lembrando que a derivada primeira nos dá a taxa de variação, o que podemos dizer 
sobre a função sabendo que sua taxa de variação em determinado ponto é positiva? 
CONDIÇÃO DE CRESCIMENTO OU DECRESCIMENTO: 
a) Se 
0)(' xf
 sobre um intervalo, então 
f
 é crescente nele. 
b) Se 
0)(' xf
 sobre um intervalo, então 
f
 é decrescente nele. 
 
Exercícios 
2- No (exercício 1b) acima, você encontrou como pontos críticos x=1 e x=2. Utilize a 
derivada da função para deduzir se os intervalos entre os pontos críticos são 
crescentes ou decrescentes (os intervalos são 
)2,( 
, 
)1,2(
 e 
),1( 
). 
 
 
 
3- Encontre os pontos críticos da função 
3xy 
 e classifique os intervalos em 
crescente e decrescente, usando a derivada primeira da função. 
 
 
 
 
 
TESTE DA DERIVADA PRIMEIRA: suponha que 
c
 seja um número crítico de uma 
função contínua 
f
. 
a) Se o sinal de 
'f
 mudar de positivo para negativo em 
c
, então 
f
 tem um máximo 
local em 
c
. 
 
b) Se o sinal de 
'f
 mudar de negativo para positivo em 
c
, então 
f
 tem um mínimo 
local em 
c
. 
 
c) Se 
'f
 não mudar de sinal em 
c
então 
f
 não tem um máximo ou mínimo locais em 
c
. 
 
 14 
 
 
Exemplo: Usando o teste da derivada primeira, classifique os pontos de extremo da 
seguinte função: 
 
 
 
Para encontrarmos os valores máximos e mínimos absolutos de uma função f em um 
intervalo fechado [a; b]: 
1- Encontre os valores de f nos números críticos de f em (a; b); 
2- Encontre os valores de f nos extremos do intervalo; 
3- O maior valor das etapas 1 e 2 é o valor máximo absoluto e o menor é o mínimo 
absoluto. 
 
 
 
 15 
Exemplo: 
Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de f no intervalo dado. 
, no intervalo [-2; 3]. 
 
 
DEFINIÇÃO: Um ponto 
I
 sobre a curva f(x) é chamado de ponto de inflexão se f é 
contínua no ponto e a curva mudar de côncava para cima para côncava para baixo ou vice-
versa em 
I
. 
 
Como calcular o ponto de inflexão? Basta calcularmos a segunda derivada da função e 
igualarmos a zero, isto é 
0)(" xf
. 
 
TESTE DA CONCAVIDADE: 
a) Se 
0)(" xf
 para todo 
x
 em um intervalo, então o gráfico de 
f
 é côncavo para 
cima nesse intervalo. 
b) Se 
0)(" xf
 para todo 
x
 em um intervalo, então o gráfico de 
f
 é côncavo para 
baixo nesse intervalo. 
 
Exercício: 
4- Examine a curva 
34 4xxy 
 em relação à concavidade, pontos de inflexão. Use as 
informações para esboçar a curva. 
 
 
 
 
Veremos, abaixo, que existe outra maneira de classificarmos os pontos críticos em máximo 
e mínimo relativos. 
TESTE DA DERIVADA SEGUNDA: Suponha que
"f
seja contínua na proximidade de 
c
 
a) Se 
0)(' cf
 e 
0)(" cf
, então 
f
 tem um mínimo local em 
c
. 
b) Se 
0)(' cf
 e 
0)(" cf
, então 
f
 tem um máximo local em 
c
. 
 16 
 
Exercícios: 
5- Examine as curvas abaixo em relação à concavidade, pontos de inflexão, mínimo e 
máximo local e intervalo crescente e decrescente. Use as informações para esboçar 
a curva. 
 a) 
24
3
)(
3
 x
x
xfb) 
643)( 34  xxxf
 
 
 
 
 
 
PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 
Aplicações de ponto crítico, ponto de máximo e ponto de mínimo 
 
1- Encontre as dimensões de um retângulo com perímetro de 100m, cuja área é a maior 
possível. 
 
 
 
 
 
 17 
 
 
2- Uma caixa deve ser feita com folha de papelão medindo 16 por 30 cm, destacando-
se quadrados iguais dos quatro cantos e dobrando-se os lados, conforme figura 
abaixo. Qual é o tamanho dos quadrados para se obter uma caixa com o maior 
volume? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3- Uma forma líquida de penicilina fabricada por uma firma farmacêutica é vendida a 
granel a um preço de R$ 200,00 por unidade. O custo total de produção para 
x
 
unidades é de 
2003,080000.500)( xxxC 
. Qual a quantidade que maximiza o 
lucro? 
 
 
 
 
 
 18 
 
4- Um fazendeiro tem 2400 pés de cerca e quer cercar um campo retangular que está 
na margem de um rio reto. Ele não precisa de cerca ao longo do rio. Quais são as 
dimensões do campo que tem maior área? 
 
 
 
 
 
5- Se 1200 cm2 de material estiverem disponíveis para fazer uma caixa com base 
quadrada e sem tampa, encontre o maior volume possível da caixa. 
 
 
 
 
 
6- Para as funções custo e receita abaixo, encontre o nível de produção que 
maximizará o lucro 
a) 
201,04680)( xxxC 
 e 
xxR 12)( 
 
b) 
32 001,0361450)( xxxxC 
 e 
201,060)( xxxR 
 
 
 
 
7- Suponhamos que o custo de produção de uma empresa é dado pela função 
700400)( 2  xxxC
, onde 
x
 é a quantidade produzida. Qual a quantidade que 
maximiza o custo? 
 
 
 
 
 19 
FORMAS INDETERMINADAS E REGRA DE L’HÔPITAL 
Já aprendemos a resolver 
1
lim
2
2
1 

 x
xx
x
 e também do tipo 
12
1
lim
2
2


 x
x
x
. 
 No primeiro caso encontramos a forma indeterminada 
0
0
 e no segundo caso 
obtemos a forma indeterminada 


.Observe agora os limites: e 
Como devemos proceder? 
Para resolver tais situações (inclusive as que já conhecíamos) existe uma regra, chamada 
Regra de L’Hôpital que pode ser aplicada para indeterminações do tipo 
0
0
 ou 


. 
REGRA DE L’HÔPITAL: Suponha que 
f
 e 
g
 são diferenciáveis e 
0)(' xg
 
próximo a 
a
(exceto possivelmente em 
a
). Suponha que 
 
0)(lim 

xf
ax
 e 
0)(lim 

xg
ax
 
Ou que 


)(lim xf
ax
 e 


)(lim xg
ax
 
(Em outras palavras, temos uma forma indeterminada do tipo 
0
0
 ou 


). Então 
)('
)('
lim
)(
)(
lim
xg
xf
xg
xf
axax 

 
Se o limite do lado direito existir (ou é 

 ou é 

) 
 
 
Agora, temos condições de resolver os limites, 
a) = 
 
 
 
b) = 
 
 
 
 20 
FORMAS INDETERMINADAS DO TIPO 
.0
, 
).(0 
, 
0.
, 
0.
. 
 Quando temos um limite do tipo 
)().(lim xgxf
ax
 que resulta num dos casos 
.0
, 
).(0 
, 
0.
, 
0.
, devemos escrever o produto 
gf .
 como um quociente: 
g
f
gf
1
. 
 ou 
f
g
gf
1
. 
 
Exemplo: 
a) 
xx
x
lnlim
0
= 
 
FORMA INDETERMINADA DO TIPO 

 
 Tentaremos converter a diferença em um quociente para podermos aplicar a Regra 
de L’Hôpital. 
Exemplo: 
 
 
 
 
FORMAS INDETERMINADAS DO TIPO 
0
, 
00
, 1 
 Várias formas indeterminadas surgem do limite 
  )()(lim xg
ax
xf

. 
 Nestes casos, solucionamos o problema chamando o limite 
  )()(lim xg
ax
xf

 de 
y
 e 
aplicando o logaritmo natural em ambos os lados da igualdade. Para ficar mais claro, vamos 
a um exemplo. 


x
x
x
0
lim
 
 
 









)(seclim
2
tgxx
x
