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CÁLCULO NUMÉRICO

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Cálculo Numérico 
 
1ª
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Cálculo Numérico 
Deiwison Sousa Machado 
Herivelto Nunes Paiva 
Raquel Costa da Silva Nascimento 
Tiago Moreira Cunha 
Cálculo Numérico 
 
DIREÇÃO SUPERIOR 
Chanceler Joaquim de Oliveira 
Reitora Marlene Salgado de Oliveira 
Presidente da Mantenedora Wellington Salgado de Oliveira 
Pró-Reitor de Planejamento e Finanças Wellington Salgado de Oliveira 
Pró-Reitor de Organização e Desenvolvimento Jefferson Salgado de Oliveira 
Pró-Reitor Administrativo Wallace Salgado de Oliveira 
Pró-Reitora Acadêmica Jaina dos Santos Mello Ferreira 
Pró-Reitor de Extensão Manuel de Souza Esteves 
 
DEPARTAMENTO DE ENSINO A DISTÂNCIA 
Gerência Nacional do EAD Bruno Mello Ferreira 
Gestor Acadêmico Diogo Pereira da Silva 
 
FICHA TÉCNICA 
Texto: Deiwison S. Machado, Raquel Costa S. Nasciemnto, Tiago M. Cunha e Herivelto N. Paiva 
Revisão Ortográfica: Rafael Dias de Carvalho Moraes 
Projeto Gráfico e Editoração: Antonia Machado, Eduardo Bordoni, Fabrício Ramos e Victor Narciso 
Supervisão de Materiais Instrucionais: Antonia Machado 
Ilustração: Eduardo Bordoni e Fabrício Ramos 
Capa: Eduardo Bordoni e Fabrício Ramos 
 
COORDENAÇÃO GERAL: 
Departamento de Ensino a Distância 
Rua Marechal Deodoro 217, Centro, Niterói, RJ, CEP 24020-420 www.universo.edu.br 
 
Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Universo – Campus Niterói 
 
C144c Cálculo numérico / Deiwison Sousa Machado, Raquel Costa da 
Silva Nascimento, Tiago Moreira Cunha e Herivelto Nunes Paiva ; 
revisão de Rafael Dias de Carvalho Moraes. – 1. ed. – Niterói, RJ: 
UNIVERSO: Departamento de Ensino a Distância:, 2016. 
109 p. : il. 
 
1. Cálculos numéricos. 2. Sistemas lineares. 3. Funções 
(Matemática). 4. Interpolação. 5. Ensino à distância. I. Machado, 
Deiwison Sousa. II. Nascimento, Raquel Costa da Silva. III. Cunha, 
Tiago Moreira. IV. Paiva, Herivelto Nunes. V. Moraes, Rafael Dias de 
Carvalho. 
 
CDD 518 
 
Bibliotecária: Elizabeth Franco Martins – CRB 7/4990 
 
Informamos que é de única e exclusiva responsabilidade do autor a originalidade desta obra, não se r esponsabilizando a ASOEC 
pelo conteúdo do texto formulado. 
© Departamento de Ensi no a Dist ância - Universidade Salgado de Oliveira 
Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação pode ser reproduzida, arquivada ou transmitida de nenhuma forma 
ou por nenhum meio sem permissão expressa e por escrito da Associação Salgado de Oliveira de Educação e Cultura, mantenedor a 
da Univer sidade Salgado de Oliveira (UNIVERSO). 
 
Cálculo Numérico 
 
 
Palavra da Reitora 
 
Acompanhando as necessidades de um mundo cada vez mais complexo, 
exigente e necessitado de aprendizagem contínua, a Universidade Salgado de 
Oliveira (UNIVERSO) apresenta a UNIVERSOEAD, que reúne os diferentes 
segmentos do ensino a distância na universidade. Nosso programa foi 
desenvolvido segundo as diretrizes do MEC e baseado em experiências do gênero 
bem-sucedidas mundialmente. 
São inúmeras as vantagens de se estudar a distância e somente por meio 
dessa modalidade de ensino são sanadas as dificuldades de tempo e espaço 
presentes nos dias de hoje. O aluno tem a possibilidade de administrar seu próprio 
tempo e gerenciar seu estudo de acordo com sua disponibilidade, tornando-se 
responsável pela própria aprendizagem. 
O ensino a distância complementa os estudos presenciais à medida que 
permite que alunos e professores, fisicamente distanciados, possam estar a todo o 
momento, ligados por ferramentas de interação presentes na Internet através de 
nossa plataforma. 
Além disso, nosso material didático foi desenvolvido por professores 
especializados nessa modalidade de ensino, em que a clareza e objetividade são 
fundamentais para a perfeita compreensão dos conteúdos. 
A UNIVERSO tem uma história de sucesso no que diz respeito à educação a 
distância. Nossa experiência nos remete ao final da década de 80, com o bem-
sucedido projeto Novo Saber. Hoje, oferece uma estrutura em constante processo 
de atualização, ampliando as possibilidades de acesso a cursos de atualização, 
graduação ou pós-graduação. 
Reafirmando seu compromisso com a excelência no ensino e compartilhando 
as novas tendências em educação, a UNIVERSO convida seu alunado a conhecer o 
programa e usufruir das vantagens que o estudar a distância proporciona. 
Seja bem-vindo à UNIVERSOEAD! 
Professora Marlene Salgado de Oliveira 
Reitora.
Cálculo Numérico 
4 
 
 
 
Cálculo Numérico 
5 
 
Sumário 
 
Apresentação da disciplina ............................................................................................. 7 
Plano da disciplina ............................................................................................................ 9 
Unidade 1 – Erros............................................................................................................... 11 
Unidade 2 – Sistemas Lineares ....................................................................................... 29 
Unidade 3 – Zero Reais de Funções Reais.................................................................... 61 
Unidade 4 – Interpolação ................................................................................................ 79 
Unidade 5 – Resolução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias .............. 95 
Unidade 6 –Revisão........................................................................................................... 123 
Considerações finais ......................................................................................................... 133 
Conhecendo os autores ................................................................................................... 135 
Referências .......................................................................................................................... 137 
Anexos.................................................................................................................................. 139 
 
 
Cálculo Numérico 
6 
 
Cálculo Numérico 
7 
 
Apresentação da Disciplina 
 
Caro aluno, 
Seja bem-vindo à disciplina de Cálculo Numérico da Universidade Salgado de 
Oliveira – UNIVERSOEAD. 
Esse material foi desenvolvido de modo cuidadoso para que os principais 
conceitos relativos à disciplina fossem exibidos com uma linguagem simples e 
clara. Além disso, o conteúdo traz inúmeros exemplos e exercícios de fixação para 
facilitar ainda mais o aprendizado. 
A disciplina contempla os conteúdos fundamentais para a disciplina de 
Cálculo Numérico: estudo e análise de Erros, resolução de Sistemas Lineares, 
resolução de Equações Algébricas e Transcendentes, método da Interpolação, 
métodos numéricos para resolução de Integrais e Equações Diferenciais Ordinárias. 
Estamos certos de que a leitura dos conteúdos será uma atividade dinâmica, 
prática e prazerosa, além de contribuir de forma considerável para seu 
desenvolvimento intelectual, acadêmico e profissional. 
 
Bons estudos! 
 
Cálculo Numérico 
8 
 
Cálculo Numérico 
9 
Plano da Disciplina 
 
Unidade 1 – Erros 
Nesta unidade trabalharemos os erros, sendo eles absolutos e relativos para 
obter precisões nos cálculos futuros, onde permearemos as conversões em 
diferentes bases trabalhando os erros mais comuns: erros de arredondamento e 
truncamento. 
Objetivos da unidade: 
Este assunto tem como objetivo alertar o aluno sobre os erros numéricos 
obtidos em um processo computacional. No entanto, a principio para 
compreender esses erros, iremos estudar como os computadores operam com osnúmeros. 
 
Unidade 2 – Sistemas Lineares 
Nesta unidade, vamos estudar como resolver Equações diferenciais ordinárias 
utilizando métodos interativos, ou seja, métodos similares aos que aprendemos 
para resolver sistemas lineares. 
Objetivo da unidade: 
Revisar os conceitos de equações diferenciais 
 
Unidade 3 – Zero Reais de Funções Reais 
Iniciaremos as atividades dessa unidade permeando os conceitos de zero de 
funções reais, utilizando meios gráficos, para posteriormente solucionar as funções 
f(x), através de um refinamento. 
Objetivo da Unidade 
Determinar e compreender os meios para solucionar diversas funções 
polinomiais através de métodos distintos. 
 
Cálculo Numérico 
10 
 
Unidade 4 – Interpolação 
Iniciaremos esta unidade trabalhando o conceito de interpolação e suas as 
aplicações nas diversas ciências, para prosseguirmos nas interpolações polinomiais 
e de Lagrange. 
Objetivo da Unidade: 
Verificar e compreender os meios e mecanismos de aproximação de funções. 
 
Unidade 5 – Resolução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias 
Nesta unidade, vamos estudar como resolver Equações diferenciais ordinárias 
utilizando métodos interativos, ou seja, métodos similares aos que aprendemos 
para resolver sistemas lineares. 
Objetivo da unidade: 
Revisar os conceitos de equações diferenciais 
 
Unidade 6 –Revisão 
Nesta unidade, nosso trabalho será dedicado a revisarmos todo o conteúdo 
disponibilizado nas unidades anteriores, pois desta forma será possível praticarmos 
um pouco mais os conhecimentos adquiridos ao longo do curso de cálculo 
numérico dada a sua complexidade. 
Objetivos da unidade: 
Esta unidade tem por objetivo aprimorar o conhecimento do cursistas 
adquirido ao longo do curso através da execução de exercícios de revisão. 
 
Bons estudos! 
 
Cálculo Numérico 
11 
1 Erros 
Cálculo Numérico 
12 
Nesta unidade trabalharemos os erros, sendo eles absolutos e relativos para 
obter precisões nos cálculos futuros, onde permearemos as conversões em 
diferentes bases trabalhando os erros mais comuns: erros de arredondamento e 
truncamento. 
 
Objetivos da unidade: 
Este assunto tem como objetivo alertar o aluno sobre os erros numéricos 
obtidos em um processo computacional. No entanto, a principio para 
compreender esses erros, iremos estudar como os computadores operam com os 
números. 
 
Plano da unidade: 
1.1 Erros na fase de modelagem. 
1.2 Erros na fase de resolução. 
 1.2.1 Conversão de bases. 
 1.2.2 Erros Absolutos e Relativos 
 1.2.3 Erros de arredondamento e truncamento. 
 
Bons estudos! 
 
 
Cálculo Numérico 
 
 
13 
 
1.1 Erros 
 
Para iniciar os estudos desta unidade, vamos pensar no seguinte problema: 
 − Calcular o comprimento de uma circunferência de raio 100m. 
Como já sabemos, para calcular o comprimento de uma circunferência utiliza-
se a fórmula C = 2r. No entanto, é de conhecimento de todos que  é um número 
irracional, ou seja, possui uma representação numérica infinita. Desse modo, 
utilizando diferentes aproximações para valores de , encontraremos soluções 
distintas para o problema. 
Observe: 
 Se  = 3,14 então C = 2 x 3,14 x 100, ou seja, C = 628m 
 Se  = 3,1416 então C = 2 x 3,1416 x 100, ou seja, C = 628,32m 
 Se  = 3,141593 então C = 2 x 3,141593 x 100 , ou seja, C = 628,3186m 
 
Está claro que não é possível encontrar um valor exato para este comprimento. 
Esta situação apresente um dos erros que iremos abordar nesta unidade: os 
erros de arredondamento. Nesse caso, os erros surgem em virtude da escolha do 
valor de . Vale ressaltar que erros como este irão surgir sempre que trabalharmos 
com números irracionais. 
Outro problema bastante comum é o caso do sistema de numeração utilizado 
pelos computadores. Estas máquinas operam normalmente no sistema binário, ou 
seja, o sistema de base 2. Ao inserir dados numéricos em um computador, 
digitamos os valores na base decimal. O computador o converte para a base 
binária, e efetua todas as operações neste sistema e, em seguida, o converte 
novamente para o sistema decimal. 
E, como iremos estudar mais adiante, alguns números no sistema binário 
apresentam representação infinita, consequentemente, essa representação irá 
causar alguns erros de forma similar ao exemplo anterior. 
Cálculo Numérico 
 
 
14 
Assim como diferentes calculadoras apresentam números limitados de dígitos, 
o mesmo ocorre com os computadores, por isso se faz necessário estudar os erros 
obtidos através desses processos numéricos. Esses erros irão ocorrer de formas 
distintas dependendo do computador. No caso de representações numéricas 
infinitas, quanto maior o número de dígitos utilizados, maior será a precisão. 
 
As principais fontes de erros são as seguintes: 
 Erros nos dados de entrada; 
 Erros no estabelecimento do modelo matemático; 
 Erros no arredondamento durante a computação; 
 Erros de truncamento; 
 Erros humanos e de máquinas. 
 
Nesta unidade vamos estudar apenas erros decorridos da representação dos 
números em um sistema computacional. Estes erros decorrem da representação 
dos números na máquina utilizada. No entanto, vale lembrar que os erros podem 
aparecer em dois momentos no processo de resolução de um problema: na fase de 
modelagem e na fase de resolução. 
 
Erros na fase de modelagem. 
Dizemos que ocorreu um erro na fase de modelagem quando o modelo 
existente não nos permite que se tenha uma precisão de várias casas decimais, por 
exemplo, se desejamos calcular a força de um objeto em queda livre, não basta 
apenas calcular F = m . a , pois existem outros fatores que irão influenciar nos 
cálculos, como variação na gravidade em função da altitude em relação ao nível do 
mar, a resistência do ar, entre outros. 
 
Cálculo Numérico 
 
 
15 
1.2 Erros na fase de resolução. 
 
Erros relativos à fase de resolução podem ocorrer em virtude do fato de um 
número não ter representação finita no sistema binário, ou através de 
arredondamentos ou truncamentos como estudaremos nas seções a seguir. 
 
1.2.1Conversão de bases. 
Para compreender como ocorrem os erros relacionados ao sistema binário, 
vamos a principio entender como o computador opera as informações numéricas 
que recebe. Para isso, é necessário conhecer o sistema de numeração binário, ou 
seja, o sistema de base 2. 
Utilizamos o sistema de numeração decimal, e este é formado pelos seguintes 
algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Todos os números que conhecemos são 
formados a partir da combinação desses algarismos. No sistema de numeração 
binário, os únicos algarismos que dispomos para escrever todos os números deste 
sistema são: 0, 1. No sistema de base 3, utilizamos os algarismos 0, 1 e 2, e assim por 
diante. De forma geral, podemos dizer que no sistema de base n, os algarismos 
utilizados são: o, 1, 2, ... (n-1). 
Se quisermos comparar os sistemas decimais e binários teríamos as seguintes 
equivalências: 
 
Base 10: 
0 1 2 3 4 5 6 ... 
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 
Base 2: 
0 1 10 11 100 101 110 ... 
 
Cálculo Numérico 
 
 
16 
Perceba que podemos representar todos os números do nosso sistema de 
numeração decimal no sistema binário. É exatamente nesta linguagem que os 
computadores operam, no sistema de numeração binário. 
 
− Como converter um número do sistema decimal para uma base 
qualquer: 
Para converter um número escrito no sistema de numeração decimal para a 
base n deve-se dividir o número na base decimal por n, e em seguida, continuar 
dividindo os quocientes até queeste seja menor que a base. Observe o processo de 
conversão: 
 
Exemplo 01: Converter 56 para a base 5: 
 
 
Exemplo 2: Converter 25 para a base 2: 
 
 
 
 
56 = ( 211 )5 
 
25 = ( 11001 )2 
Cálculo Numérico 
 
 
17 
CONSIDERAÇÕES IMPORTANTES: 
I – Observe que os números são formados através da junção do último 
quociente seguido dos demais restos. 
II − Para bases maiores que 10, utilizaremos letras para representar algarismos 
maiores que 9, por exemplo: 
a = 10 c = 12 e = 14 
b = 11 d = 13 f = 15 
 
III – Na base dez, alguns números fracionários ao serem convertidos para a base 2 
apresentam uma representação infinita, observe como é realizado nos exemplos a 
seguir. 
 
Exemplo 03: Converter 202 para a base 12: 
 
 
Exemplo 04: Converter 4,6875 para a base binária. 
 
Considere 4,6875 = 4 + 0,6875. Vamos converter a principio a parte inteira, e 
como já aprendemos anteriormente, 4 pode ser escrito por (100)2. 
Para converter a parte fracionária utilizaremos o seguinte processo: 
 
202 = ( 14a )12 
Cálculo Numérico 
 
 
18 
 
Dado o número 0.6875, vamos multiplicar o número após a vírgula sucessivas 
vezes, observe: 
0,6875 x 2 = 1,375 
0,375 x 2 = 0,75 
0,75 x 2 = 1,5 
0,5 x 2 = 1 
 
O resultado será o número formado por todas as partes inteiras dos resultados 
obtidos. Logo podemos dizer que o número 0,6875 equivale a (0.1011)2. Desse 
modo, o número 4,6875 na base 2 é ( 100, 1011 )2. 
 
− Como converter um número do sistema binário para o sistema decimal: 
 
O processo de conversão inverso é bastante simples! Vamos considerar como 
exemplos os números convertidos anteriormente: 
 
Exemplo 05: Converter ( 211 )5 para a base 10. 
( 211 )5 = 2 . 52 + 1 . 51 + 1 . 50 = 56 
( 211 )5 = 2 . 25 + 1 . 5 + 1 . 1 
( 211 )5 = 50 + 5 + 1 
( 211 )5 = 56 
 
Exemplo 06: Converter ( 11001 )2 para a base 10. 
 ( 11001 )2 = 1 . 24 + 1 . 23 + 0 . 22 + 0. 21 + 1 . 20 
 ( 11001 )2 = 1 . 16 + 1 . 8 + 0 . 4 + 0. 2 + 1 . 1 
( 11001 )2 = 16 + 8 + 0 + 0 + 1 
( 11001 )2 = 25 
 
Cálculo Numérico 
 
 
19 
 
Exemplo 07: Converter ( 14a )12 para a base 10. 
 
( 14a )12 = 1 . 122 + 4 . 121 + a . 120 
( 14a )12 = 1 . 122 + 4 . 121 + 10 . 120 
( 14a )12 = 1 . 144 + 4 . 12 + 10 . 1 
( 14a )12 = 144 + 48 + 10 
( 14a )12 = 202 
 
Exemplo 08: Converter ( 100, 1011 )2 para a base 10. 
 
(100, 1011)2 = 1 . 22 + 0 . 21 + 0 . 20 + 1 . 2−1 + 0 . 2−2 + 1 . 2−3 + 1 . 2−4 
(100, 1011)2 = 1 . 4 + 0 . 2 + 0 . 1 + 1 . ½ + 0 . ¼ + 1 . 1/8 + 1 . 1/16 
(100, 1011)2 = 4 + 0 + 0 + ½ + 1/8 + 1/16 
(100, 1011)2 = 4 + 0,5 + 0,125 + 0,0625 
(100, 1011)2 = 4,6875 
 
− Ponto fixo e ponto flutuante: 
Agora que já aprendemos a converter os números para diferentes bases, 
vamos nos aprofundar no sistema de aritmética do ponto flutuante, pois é através 
desta representação que os computadores representam e operam os dados 
numéricos que enviamos. 
Considere o número 73,025. Este número pode ser escrito de forma 
equivalente: 
 
73,025 = 73 + 0,025 
 
Cálculo Numérico 
 
 
20 
Vamos escrever este número no sistema binário. Como já fizemos em cálculos 
anteriores, a principio convertemos a parte inteira, ou seja,73 = (1001001)2. Em 
seguida, convertemos a parte fracionária: 
 
 
0,025 x 2 = 0,05  0 
 0,05 x 3 = 0,1  0 
 0,1 x 2 = 0,2  0 
 0,2 x 2 = 0,4  0 
 0,6 x 2 = 1,2  1 
 0,2 x 2 = 0,4  0 
 0,4 x 2 = 0,8  0 
 0,8 x 2 = 1,6  1 
0,6 x 2 = 1,2 
 
 
 
 
Observe que após a multiplicação de 0,8 
x 2 , teremos uma sequência repetida de 
partes inteiras. 
 
Então podemos afirmar que: 
0,025 = ( 0,00001001001001തതതതതതതതതത) 
 
Logo, 0,025 = ( 0,00000110)2. E, sendo assim teremos que: 
 
73,025 = (1001001,00001001001001തതതതതതതതതത)2 
 
Para escrever este número na notação de Ponto Flutuante é preciso ter apenas 
um algarismo na parte inteira. Para isso, irá ser preciso deslocar a vírgula 6 casas a 
frente, então: 
 
1,00100100001001001001തതതതതതതതതത x 26 
 
Cálculo Numérico 
 
 
21 
 
OBSERVAÇÃO: 
Se tivéssemos que deslocar a vírgula para a direita, o expoente da base 
seria negativo. 
 
No entanto, ainda precisamos escrever o expoente da base na forma binária, 
logo teremos: 
 
1,00100100001001001001തതതതതതതതതത		x 2110 
 
Um número escrito na notação de Ponto Flutuante, terá a seguinte forma: 
± (.d1d2 ... dt)B x Be 
Onde: 
 B  base em que a máquina opera. 
 .d1d2 ... dt  Mantissa 
 t  número de dígitos na mantissa ( parte após a vírgula) 
 e  expoente no intervalo [ m, M ] 
 
 
ATENÇÃO: O intervalo de e depende da máquina utilizada. Teremos 
alguns erros decorrentes da impossibilidade de ser representar um número 
dado se: 
e > M  Overflow ou e < m  Underflow 
 
 
Cálculo Numérico 
 
 
22 
Exemplo 09: 
Considere os números abaixo e vamos escrevê-lo na notação de ponto 
flutuante de 3 dígitos para a base 10, com e  [−4, 4 ]: 
 
− 135,94 − 0,13594 x 103 Sem erros 
 0,ooooo8 0,8 x 10−5 Underflow 
876346, 27 8,7634627 x 105 Overflow 
 
Se estivéssemos operando em uma máquina que utilize um sistema de 
aritmética de ponto flutuante de 4 dígitos, no primeiro caso, as operações 
ocorreriam sem problemas, o sistema apenas irá realizar o arredondamento (− 
0,136 x 103 ) ou o truncamento (− 0,135 x 103). No segundo e terceiro casos, o 
número não pode ser representado por esta máquina, em 0,8 x 10−5 acusaria a 
ocorrência de underflow, ou seja, o expoente é menor que −4, e em 8,7634627 x 
105, temos a ocorrência de um overflow, ou em outras palavras, expoente maior 
que 4. 
 
 
CONSIDERAÇÕES IMPORTANTES: 
I − O arredondamento altera ou não o último algarismo do número 
dependendo do algarismo seguinte, já o truncamento, considera apenas a 
quantidade de dígitos considerados, não importando qual será o próximo 
algarismo. 
II – Precisão dupla: é o mesmo sistema estudado acima, no entanto, neste 
caso utiliza-se o dobro de dígitos para a mantissa. 
 
 
Cálculo Numérico 
 
 
23 
1.2.2 Erros Absolutos e Relativos. 
Quando realizamos alguma aproximação é muito importante se estimar o erro 
obtido nesta operação. Esta estimativa pode ser obtida através de dois conceitos: o 
erro absoluto ou o erro relativo. 
 
I − ERRO ABSOLUTO: É a diferença entre o valor exato de um número x e seu 
valor aproximado ̅ݔ. 
 
ܧܣ௫ ൌ ݔ െ ̅ݔ 
 
O erro absoluto só poderá ser determinado se x for conhecido com exatidão. É 
comum trabalhar com um valor limite superior para o erro, ao invés do próprio 
erro, ou seja, consideramos |E | < ε, onde ε é o limitante. 
 
Exemplo 10: 
Sabemos que  = 3,141516.. ,ou de outra forma podemos dizer que   
( 3,14, 3,15 ). 
ܧܣ௫ ൌ 3,15െ 3,14 
ܧܣ௫ ൌ 0,01−2 
 
II − ERRO RELATIVO: É a razão entre o erro absoluto pelo valor aproximado. 
 
ܧܴ௫ ൌ
ܧܣ௫
̅ݔ ൌ
ݔ െ ̅ݔ
̅ݔ 
 
Cálculo Numérico 
 
 
24 
 
1.2.3Erros de arredondamento e Truncamento no sistema de ponto 
flutuante. 
A seguir você encontrará todas as fórmulas para calcular os erros em algumas 
operações, sem considerar os erros de arredondamento ou truncamento no final 
do resultado. 
 
Adição 
 
Subtração 
 
ܧܣ௫ା	௬ ൌ ܧܣ௫ ൅ ܧܣ௬ 
 
ܧܴ௫	ା	௬ ൌ
ܧܣ௫	ା	௬
ݔ ൅ ݕതതതതതതത 	 
 
 
ܧܣ௫ 	ି௬ ൌ ܧܣ௫ െ ܧܣ௬ 
 
ܧܴ௫	ି	௬ ൌ
ܧܣ௫ 	ି௬
ݔ െ ݕതതതതതതത 	 
 
 
Multiplicação 
 
 
Divisão 
 
ܧܣ௫	௬ ൎ ̅ݔ	.		ܧܣ௬ ൅ 	ݕ	ഥ .		ܧܣ௫ 
 
ܧܴ௫		௬ ൌ 	 ܧܴ௫ ൅ ܧܴ௬ 
 
 
ܧܣ௫
௬
ൎ ݕത	.		ܧܣ௫ െ 	ݔ	ഥ .		ܧܣ௬ݕതଶ 
 
ܧܴ௫
௬
ൌ 	 ܧܴ௫ െ ܧܴ௬ 
 
Vamos denominar OP, o resultado exato da operação. Em todo operação, o 
resultado é normalizado e em seguida truncado ou arredondado para t dígitos, 
obtendo o resultado aproximado. O erro relativo ao resultado de uma operação 
será: 
 | ER OP| < 10 –t + 1  no Truncamento 
 | ER OP| < ½ . 10 –t + 1  no Arredondamento 
 
Cálculo Numérico 
 
 
25 
 
Observe os exemplos a seguir: 
 
Exemplo 11: 
Dados x = 0,8732 . 105 e y = 0,8669 . 103, vamos obter: 
 
a) x + y: 
 
Para somarmos dois valores em aritmética de ponto flutuante, devemos fazer 
com q mantissa do menor expoente se torne igual a mantissa do número de maior 
expoente. Para isso, vamos considerar o número y = 0,8669 . 103 e deslocar a 
virgular para a esquerda, e vamos obter: y = 0,008669 . 105. 
 
Realizando a operação, teremos: 
 
x + y = 0,8732 . 105 + y = 0,008669 . 105 
x + y = (0,8732 + 0,008669 ) . 105 
x + y = 0,881869 . 105 
 
Desse modo, teremos x + y = 0,88187 . 105 no arredondamento e, x + y = 
0,88186 . 105 , no truncamento. 
 
Cálculo Numérico 
 
 
26 
b) x . y: 
 
Para calcular o produto, basta recordar de uma importante propriedade das 
potências: potências de mesma base, repete-se a base soma os expoentes. Então, 
teremos: 
 
x . y = 0,8732 . 105 . 0,8669 . 103 
x . y = 0,8732 . 0,8669 . 105 . 103 
x . y = 0,75697708 . 108 
 
 
 
Neste caso, teremos que o resultado da operação será: x.y = 0,9770 . 108 
para o arredondamento, e x.y = 0,7569 . 108 
 
 
É HORA DE SE AVALIAR 
Lembre-se de realizar as atividades desta unidade de estudo. Elas irão 
ajudá-lo a fixar o conteúdo, além de proporcionar sua autonomia no processo de 
ensino-aprendizagem. 
 
 
Cálculo Numérico 
 
 
27 
Exercícios - Unidade 1 
 
 
1. Converta os números escritos no sistema decimal abaixo para a base solicitada: 
 
a) 54 para a base 4 
b) 192 para a base 5 
c) 29 para a base 3 
d) 301 para a base 13 
e) 6608 para a base 11 
 
 
2. Converta os números na forma binária para a forma decimal: 
 
a) (10111)2 = 
b) (10111,101)2 = 
c) ( 0,10011001...)2 = 
d) (100100101001)2 = 
e) (0,1101)2 = 
 
3. Converta os números da forma decimal para a forma binária. 
 
a) 45 = 
b) 2,5= 
c) 0,1= 
d) 12 = 
e) 10,05 = 
 
Cálculo Numérico 
 
 
28 
 
4. Escreva os números abaixo na notação de ponto flutuante de 3 dígitos para a 
base 10, com e  [−4, 4 ]: ( ATENÇÃO: Dizemos que um número está normatizado 
quando em ± (.d1d2 ... dt)B x Be d1 ≠ 0.) 
 
a) – 278,13 = 
b) 1,34 = 
c) 0,00000227013 = 
d) 1/32 = 
e) 10872 = 
 
5. Considere um sistema de aritmética de ponto flutuante de 4 dígitos, base 
decimal e com acumulador de precisão dupla. Dados os números: 
 
x = 0,8123 x 104 y = 0,3154 x 10−3 e z = 0, 2457 x 10 
 
Efetue as operações e obtenha o erro relativo no resultado, supondo que x, y e 
z estão exatamente representados: 
 
a) x + y + z 
b) x – y – z 
c) x/y 
d) (x. y)/z 
e) x ( y/z) 
 
 
 
Cálculo Numérico 
 
 
29 
 
Sistemas Lineares 
 2
Cálculo Numérico 
 
 
30 
 
Iremos iniciar as atividades dessa unidade definindo os sistemas lineares e 
verificando as terminologias de suas variáveis, para posteriormente trabalharmos 
os diferentes métodos de solução. 
 
Objetivos da unidade: 
Trabalhar e compreender as diversas possibilidades e métodos para 
resoluções de sistemas lineares. 
 
Plano da unidade: 
 
2.1 Introdução. 
 2.1.1 Classificação quanto ao número de soluções. 
 2.1.2 Sistemas triangulares. 
 2.1.3 Transformações elementares. 
 2.1.4 Substituição retroativa. 
2.2 Métodos diretos. 
 2.2.1 Regra de Cramer 
 2.2.2 Método de Gauss. 
 2.2.3 Método de Gauss-Jordan. 
 2.2.4 Cálculo de determinantes. 
2.3- Métodos iterativos. 
 2.3.1 Método de Jacobi. 
 2.3.2 Método de Gauss-Seidel. 
 
 
Bons estudos! 
 
Cálculo Numérico 
 
 
31 
 
Sistemas Lineares: 
 
Para dar continuidade aos nossos estudos do Cálculo Numérico, iremos 
estudar nessa unidade os sistemas lineares e alguns importantes conceitos 
relacionados a este assunto. 
 
2.1. Introdução. 
A palavra sistema vem do grego systema (sy significa ‘junto’ e sta significa 
‘permanecer’). Na Matemática, sistema é conjunto de equações que apresentam 
resultados que devem satisfazer simultaneamente todas as equações. 
Para compreender o que significa um Sistema de Equações Lineares, é 
necessário entender o que é uma equação linear. 
Uma equação linear é toda equação que pode ser escrita na forma geral: 
ܽଵݔଵ ൅ ܽଶݔଶ ൅ ܽଷݔଷ ൅⋯൅ ܽ௡ݔ௡ = b 
 
De modo que: 
 
 x1, x2, ..., xn são as incógnitas; 
 a1, a2, ..., an são os coeficientes reais; 
 b é o termo independente. 
 
Denomina-se Sistema Linear S, de ordem m x n, o conjunto de m equações 
lineares com n incógnitas, que pode ser representado de forma geral: 
 
S = ൞
ܽଵଵݔଵ ൅	ܽଵଶݔଶ ൅ 	…൅ 	ܽଵ௡ݔ௡ ൌ 	ܾଵܽଶଵݔଵ ൅ 	ܽଶଶݔଶ ൅ 	…൅ 	ܽଶ௡ݔ௡ ൌ 	 ܾଶ……………………………………….
			ܽ௠ଵݔଵ ൅	ܽ௠ଶݔଶ ൅ 	…൅ 	ܽ௠௡ݔ௡ ൌ 	ܾ௠
 
Cálculo Numérico 
 
 
32 
 
Também podemos representar S sob a forma de somatório: 
 
∑ ܽ௜௝ݔ௝	௡௝ୀଵ ൌ 	 ௝ܾ com i = 1, 2, 3, ..., n. 
 
Ou então, S pode ser escrito sob a forma matricial de duas diferentes maneiras: 
 
൮
ܽଵଵ ܽଵଶ … ܽଵ௡ܽଶଵ ܽଶଶ … ܽଶ௡… . … . … . … .
ܽ௡ଵ ܽ௡ଶ … ܽ௡௡
൲	.		ቌ
ݔଵݔଶ…ݔ௡
ቍ ൌ ൮
ܾଵܾଶ…ܾ
௡
൲  A x = b 
 
 
Onde: 
A = Matriz dos coeficientes, 
x = Vetor das variáveis, 
b = Vetor constante. 
 
Note que se você resolver a multiplicação de matrizes e em seguida igualar os 
resultados obterá o sistema apresentado inicialmente. 
Ainda, na forma matricial, podemos representar o sistema na forma de uma 
única matriz, dita Matriz Completa: 
 
 S = ൮
ܽଵଵ ܽଵଶ … ܽଵ௡ ܾଵ	
ܽଶଵ ܽଶଶ … ܽଶ௡ ܾଶ… . … . … . … . … .
ܽ௡ଵ ܽ௡ଶ … ܽ௡௡ ܾ௡
൲ 
 
 
Cálculo Numérico 
 
 
33 
 
IMPORTANTE: 
OBSERVAÇÃO: Na maioria das vezes, as incógnitas x1, x2, ..., xn aparecem 
como x, y, z, w, t, .... 
 
Exemplo 01: 
Observe alguns exemplos de equações lineares: 
 
x + y = 12; 
x – y + 2z = 10; 
3x + y = –z + 10w. 
 
ATENÇÃO: Não são equações lineares: ݔଶ + y = 4 e ݔଷ + xy + ݐଶ = 6w. 
 
 
 
− Solução de um Sistema linear: 
 
Considere a equação linear: 
 
ܽଵݔଵ ൅ ܽଶݔଶ ൅ ܽଷݔଷ ൅⋯൅ ܽ௡ݔ௡ = b. 
 
Denominamos solução da equação, o vetor de números reais (ߙଵ, 
ߙଶ,ߙଷ, ... , ߙ௡) que satisfaz a equação, ou seja, que torna a igualdade verdadeira. 
 
Cálculo Numérico 
 
 
34 
 
Exemplo 02: 
Dada a equação x + y = 2, temos que: 
 
a) O vetor (1, 1) é solução da equação, pois, 1 + 1 = 2. Outras possíveis 
soluções seriam os vetores (0, 2) e (2, 0). 
b) O vetor (2, 1) não é solução da equação porque 2 + 1 ് 2. Também não 
são soluções os vetores (1, 3), (4, 0) e (0, 0), por exemplo. 
 
Exemplo 03: 
Considere a equação 2x – 6y = 8. Temos que o vetor (4 + 3ߙ, ߙ), sendo ߙ um 
número real qualquer, é solução da equação. Isto quer dizer, que a equação possui 
infinitas soluções. 
Neste caso, para cada valor de ߙ, temos uma solução diferente,observe: 
 
a) ߙ = 0, o vetor (4, 0) é solução da equação, pois, 2.4 – 6.0 = 8 – 0 = 8. 
b) ߙ = 1, o vetor (7, 1) é solução da equação, pois, 2.7 – 6.1 = 14 – 6 = 8. 
c) ߙ = -1, o vetor (1,-1) é solução da equação, pois, 2.1 – 6.(-1) = 2 + 6 = 8. 
 
Denominamos solução de um sistema linear o vetor de números reais (ߙଵ, 
ߙଶ,ߙଷ, ... , ߙ௡) que satisfaz todas as equações do sistema. 
 
2.1.1. Classificação dos sistemas lineares: 
Um sistema linear pode ser classificado em: possível e determinado, possível e 
indeterminado ou impossível. Esta classificação dependerá do número de soluções 
que o sistema apresenta como veremos a seguir: 
 
Cálculo Numérico 
 
 
35 
 
I - Sistema possível e determinado: é o sistema que possui uma única 
solução. Observe o exemplo abaixo: 
 
൜3ݔ െ ݕ ൌ 102ݔ ൅ 5ݕ ൌ 1 . 
 
Note que o vetor (3, -1) é a única solução do sistema. Verifique! 
 
II – Sistema possível e indeterminado: este segundo caso, ocorre 
quando um sistema apresenta infinitas soluções. 
Considere o sistema: 
൜ ݔ െ 3ݕ ൌ 43ݔ െ 9ݕ ൌ 12 
 
Tem-se que o vetor (7, 1) é solução do sistema assim como os vetores (4, 0) e 
(10, 2). Confiram! Na verdade, o vetor (4 + 3ߙ, ߙ), com ߙ um número real qualquer, 
constitui uma solução geral para o sistema. 
 
III – Sistema impossível: É o sistema que não admite solução. O sistema 
abaixo, por exemplo, é impossível porque não existe nenhuma solução que o 
satisfaça as duas equações ao mesmo tempo. 
 
൜ ݔ െ 2ݕ ൌ 52ݔ െ 4ݕ ൌ 2 
 
2.1.2. Sistema triangulares 
Para compreender o que é um sistema triangular, é importante recordar o 
conceito de matrizes triangulares, observe as matrizes abaixo: 
 
Cálculo Numérico 
 
 
36 
 
൥
2 1 7
0 െ1 8
0 0 4
൩  Exemplo de Matriz Triangular Superior 
 
൥
2 0 0
1 െ1 0
3 4 4
൩  Exemplo de Matriz Triangular Inferior 
 
De modo similar, dizemos que um sistema linear é dito triangular superior 
quando todos os elementos abaixo da diagonal principal são nulos. 
 
2.1.3. Transformações elementares 
 
Existem determinadas operações que podem ser aplicadas a um sistema linear 
que não afetam a solução. A essas transformações damos o nome de 
transformações elementares. São as seguintes operações: 
 
I. Trocar a ordem de duas equações do sistema; 
II. Multiplicar uma equação por um número real qualquer não nulo; 
III. Adicionar duas equações do sistema, obtendo uma nova equação. 
 
Os sistemas lineares são ditos equivalentes quando admitem a mesma 
solução. Vale ressaltar que dado dois sistemas lineares S1 e S2, e ambos equivalentes 
podem obter S2 a partir de uma sequência finita de operações elementares em S1. 
 
2.1.4. Substituição retroativa 
Quando o sistema está associado a uma matriz triangular, podemos resolvê-lo 
através do procedimento conhecido como substituição retroativa. 
Cálculo Numérico 
 
 
37 
Seja o sistema linear A x = b, representado abaixo, onde A é triangular superior 
n x n, com elementos da diagonal diferentes de zero, B é o vetor de coeficientes do 
sistema e X é o vetor das incógnitas. 
ە
ۖ
۔
ۖ
ۓܽଵଵݔଵ ൅ 	ܽଵଶݔଶ ൅	ܽଵଷݔଷ ൅ ⋯൅ ܽଵ௡ݔ௡ ൌ 	ܾଵ																ܽଶଶݔଶ ൅	ܽଶଷݔଷ ൅⋯൅ ܽଶ௡ݔ௡ ൌ 	ܾଶ																																	ܽଷଷݔଷ ൅ ⋯൅ ܽଷ௡ݔ௡ ൌ 	 ܾଷ																																				……………………
																																																								………
																																																											ܽ௠௡ݔ௡ ൌ 	ܾ௡
 
 
 
Da última equação desse sistema, podemos calcular o valor da incógnita ݔ௡: 
 
ݔ௡ = ௕೙௔೘೙ 
 
Substituindo o valor de ݔ௡ na penúltima equação do sistema, calculamos o 
valor de ݔ௡ିଵ: 
 
ݔ௡ିଵ= ௕೙షభ 	ି௔೙షభ,೙	௫೙௔೙షభ,೙షభ 
 
Sucessivamente, fazendo as substituições retroativas, podemos encontrar os 
valores de ݔ௡ିଶ, ... , ݔଶ e, finalmente, ݔଵ. 
O método da substituição retroativa será melhor compreendido através 
do exemplo a seguir: 
 
Cálculo Numérico 
 
 
38 
Exemplo 04: 
Vamos resolver o sistema dado por meio de substituições retroativas. 
 
൞
ݔ ൅ ݕ ൅ ݖ ൅ ݐ ൌ 8
						2ݕ ൅ ݖ ൅ ݐ ൌ 2
														2ݖ ൅ ݐ ൌ 5
																						2ݐ ൌ 6
 
 
Representando este sistema na forma matricial, podemos perceber 
facilmente que ele está associado a uma matriz triangular superior: 
 
൮
1 1 1 1
0 2 1 1
0 0 2 1
0 0 0 2
൲	. ቌ
ݔ
ݕ
ݖݐ
ቍ ൌ ቌ
8
2
56
ቍ  A. x = b 
 
Para obter a solução deste sistema, vamos retornar ao sistema inicial, na última 
equação temos: 2t = 2 , e obtemos t = 3. 
Substituindo t = 3 na equação acima, 2z + t = 5, temos que z = 1. 
Em seguida, substituindo t = 3 e z = 1 na segunda equação, 2y + z + t = 2, 
encontramos que y = -1. 
Finalmente, fazendo t = 3, z = 1 e y = -1 na primeira equação encontramos que 
x = 5. 
Logo, a solução do sistema será (5, -1, 1, 3). Verifique! 
 
CONSIDERAÇÕES IMPORTANTES: 
Os métodos de resolução de sistemas lineares podem ser classificados 
em dois grandes grupos: métodos diretos (alguns autores também chamam de 
exatos) e métodos iterativos. 
Nos próximos tópicos vamos discutir alguns desses métodos. 
 
Cálculo Numérico 
 
 
39 
2.2. Métodos diretos 
 
Os chamados métodos diretos ou exatos para resolução de sistemas lineares 
são aqueles que forneceriam a solução exata do sistema, através de um processo 
com um número finito de operações aritméticas, se não fossem os erros de 
arredondamento. Desprezando os erros de arredondamento, os métodos exatos 
produzem uma solução, se houver, utilizando uma sequência finita de passos. 
Os métodos diretos mais utilizados na prática são o método de Gauss e o 
método de Gauss-Jordan, também chamado apenas de método de Jordan. 
 
2.2.1. Regra de Cramer 
 
O primeiro método que vamos estudar é a regra de Cramer. Este método já 
estudado anteriormente, nos apresenta a solução exata do sistema. 
 Se Ax = b, é um sistema de “n” equações lineares em “n” incógnitas tal 
que a det(A) ≠ 0 (determinante de A diferente de zero), então o sistema tem uma 
solução. E esta solução é dada por: 
 
࢞ ൌ 	ࢊࢋ࢚ሺ࡭࢞ሻࢊࢋ࢚	ሺ࡭ሻ 		; 			࢟ ൌ 	
ࢊࢋ࢚ሺ࡭࢟ሻ
ࢊࢋ࢚	ሺ࡭ሻ 						… 					࢔ ൌ 	
ࢊࢋ࢚ሺ࡭࢔ሻ
ࢊࢋ࢚	ሺ࡭ሻ 
 
Onde Ax é a matriz obtida substituindo as coluna com os coeficientes de x pela 
coluna dos termos independentes, e assim por diante. 
 
Observe o exemplo a seguir: 
 
Cálculo Numérico 
 
 
40 
Exemplo 05: 
Considere o seguinte sistema linear: ൝
		2ݔ െ ݕ ൅ 3ݖ ൌ 1
ݔ ൅ 2ݕ െ ݖ ൌ 0
2ݔ ൅ ݕ ൅ 2ݖ ൌ 4
 
 
Devemos encontrar os valores das incógnitas (x, y, z) que representem uma 
solução comum para cada equação do sistema. Sendo assim, para iniciarmos a 
solução devemos obter a matriz A. 
 
ܣ ൌ 	൭
2 െ1 3
1 2 െ1
2 1 2
൱ 
 
Agora que definimos a matriz A, devemos encontrar a determinante dessa 
matriz, onde por ser uma matriz de ordem 3, vamos repetir a duas primeiras linha 
abaixo da matriz e multiplicar os termos na diagonal e depois subtrair a diagonal 
principal pela secundária. 
 
 
Det( A ) = [(2 x 2 x 2) + (1 x 1 x 3) + (2 x -1 x -1)] – [(3 x 2 x 2) + (-1 x 1 x 2) + (2 x -1 x 1)] 
Det(A) = [ (8) + (3) + (2) ] – [(12) + (-2) + (-2)] 
Det(A) = [ 8 + 3 + 2 ] – [ 12 – 2 – 2 ] 
Det(A) = [ 13 ] – [ 8 ] 
Det(A) = 5 
 
Cálculo Numérico 
 
 
41 
 
Agora que encontramos a determinante de A, devemos obter a matriz Ax e 
calcular o seu determinante, para isso, substituímos a coluna (x) pelos termos 
independentes do sistema de equações lineares e depois fazemos a regra exposta 
acima. 
 
 
Sendo assim temos: 
 
 
Fazendo o processo anterior para Ax teremos: Det(Ax) = -15 
 
Agora encontraremos Ay:Cálculo Numérico 
 
 
42 
 
Fazendo o processo anterior para Ay teremos: Det(Ay) = 16 
 
Agora encontraremos Az: 
 
 
Fazendo o processo anterior para Ax teremos: Det(Ay) = 17 
 
Pela fórmula de Cramer teremos: 
 
ݔ ൌ 	 ݀݁ݐሺܣݔሻ݀݁ݐ	ሺܣሻ 		 → 			ݔ ൌ 	
െ15
5 				 → 	࢞ ൌ 	െ૜			 
 
ݕ ൌ	 ݀݁ݐሺܣݕሻ݀݁ݐ	ሺܣሻ 		→ 			ݕ ൌ 	
16
5 				→ 	࢟ ൌ 		૜, ૛			 
 
ݖ ൌ 	 ݀݁ݐሺܣݖሻ݀݁ݐ	ሺܣሻ 		→ 			ݔ ൌ 	
17
5 				→ 	ࢠ ൌ 	૜,૝			 
 
2.2.2. Método de Gauss 
O método da eliminação de Gauss, ou simplesmente método de Gauss, 
consiste em transformar, através da aplicação das operações elementares, o 
sistema linear original em outro sistema linear equivalente cuja matriz dos 
coeficientes é triangular superior. Assim, basta fazer substituições retroativas a fim 
de encontrar os valores das incógnitas. 
Cálculo Numérico 
 
 
43 
 
O método pode ser implementado em três etapas: 
 
1) Escreva a matriz completa associada ao sistema; 
2) Triangularize a matriz através das operações elementares; 
3) Resolva o sistema por meio da substituição retroativa. 
 
Exemplo 06: 
Resolva os sistemas abaixo, utilizando o método de Gauss. 
 
a) ൝
ݔ ൅ 2ݕ ൅ ݖ ൌ 3
2ݔ ൅ ݕ െ ݖ ൌ 0
3ݔ െ ݕ െ ݖ ൌ െ2
 
 
1°Passo: Primeiramente escrevemos a matriz completa associada ao sistema: 
 
൥
1 2 1 3
2 1 െ1 0
3 െ1 െ1 െ2
൩ 
 
2°Passo: Iniciamos o processo para tornar a matriz triangular superior. Tomamos o 
elemento a11 = 1 como pivô e fazemos as seguintes substituições elementares: 
 
L2← L2 – 2L1 e L3← L3 – 3L1. 
 
Realizando os cálculos e substituindo as respectivas linhas, chegamos à seguinte 
matriz: 
 
൥
1 2 1 3
0 െ3 െ3 െ6
0 െ7 െ4 െ11
൩ 
 
Cálculo Numérico 
 
 
44 
Agora, tomando o elemento a22 = -3 como pivô, e fazendo a substituição 
L2←	ିଵଷ L2, tem-se: 
൥
1 2 1 3
0 1 1 2
0 െ7 െ4 െ11
൩ 
 
Por fim, fazemos a substituição L3← L3 + 7L2 e encontramos a matriz 
triangular superior associada ao sistema: 
൥
1 2 1 3
0 1 1 2
0 0 3 3
൩ 
 
Portanto, chegamos ao seguinte sistema equivalente: 
 
൝
ݔ ൅ 2ݕ ൅ ݖ ൌ 3
										ݕ ൅ ݖ ൌ 2
																3ݖ ൌ 3
 
 
3° Passo: No último passo, basta fazer as substituições retroativas. 
 
Da última equação 3z = 3, encontramos que z = 1. Substituindo z = 1 na 
equação y + z = 2, obtemos y = 1. Substituindo z = 1 e y = 1 na primeira equação x 
+ 2y + z = 3, chegamos que x = 0. Portanto, o sistema é possível e determinado, 
com solução ሺ0, 1,1ሻT. 
 
b) ൜ 2ݔ െ 4ݕ ൅ 10ݖ ൌ 63ݔ െ 6ݕ ൅ 15ݖ ൌ 11 
 
Cálculo Numérico 
 
 
45 
 
1° Passo: Escrevemos a matriz completa associada ao sistema: 
 
ቂ2 െ4 10 63 െ6 15 11ቃ 
 
2° Passo: Aplicamos o processo de triangularização. Inicialmente vamos fazer a 
substituição L1←0,5L1. 
Realizando os cálculos, chegamos à seguinte matriz: 
 
ቂ1 െ2 5 33 െ6 15 11ቃ 
 
Agora, fazemos L2←3L1 – L2 e obtemos: ቂ1 െ2 5 30 0 0 െ2ቃ 
 
3° Passo: Logo, o sistema equivalente é: ൜ ݔ െ 2ݕ ൅ 5ݖ ൌ 3		0ݔ ൅ 0ݕ ൅ 0ݖ ൌ െ2 
 
Da última equação, concluímos que o sistema é impossível. Portanto, a solução é 
vazia, S = ∅. 
 
c) ൝
3ݔ െ 9ݕ ൌ 6
5ݔ െ 15ݕ ൌ 10
െ2ݔ ൅ 6ݕ ൌ െ4
 
 
1°Passo: Escrevemos a matriz completa associada ao sistema: 
 
൥
3 െ9 6
5 െ15 10
െ2 6 െ4
൩ 
 
Cálculo Numérico 
 
 
46 
 
2° Passo: Vamos realizar as operações elementares: 
 
L1 ← 1/3L1  ൥
1 െ3 2
5 െ15 10
െ2 6 െ4
൩ 
 
L2 ← L2 – 5L1  ൥
1 െ3 2
0 0 0
െ2 6 െ4
൩ 
 
L3 ← L3 + 2L1  ൥
1 െ3 2
0 0 0
0 0 0
൩ 
 
3° Passo: Logo, o sistema equivalente é: 
 
൝
ݔ െ 3ݕ ൌ 2
0ݔ െ 0ݕ ൌ 0
0ݔ ൅ 0ݕ ൌ 0
  ൜ ݔ െ 3ݕ ൌ 20ݔ ൅ 0ݕ ൌ 0 
 
Na última equação, considerando y uma incógnita livre, temos: x = 2 + 3y. 
Logo, o sistema é possível e indeterminado, pois fazendo y = ߙ, com ߙ um número 
real qualquer, encontramos infinitas soluções para o sistema, observe: S = (2 + 3ߙ, 
ߙ),   R. 
 
2.2.3. Método de Jordan 
 
O método de Jordan, ou método de Gauss-Jordan, é bem semelhante ao 
método anterior. Consiste em transformar o sistema linear original em outro 
sistema linear equivalente cuja matriz dos coeficientes é diagonal, através da 
aplicação das operações elementares. Como a matriz obtida é diagonal, têm-se 
diretamente os valores das incógnitas sem precisar fazer substituições retroativas. 
Cálculo Numérico 
 
 
47 
 
Exemplo 07: 
Resolva os sistemas abaixo, utilizando o método de Jordan. 
 
ܽሻ	 ൝
ݔ ൅ ݕ ൅ 2ݖ ൌ 4
2ݔ െ ݕ െ ݖ ൌ 0
ݔ െ ݕ െ ݖ ൌ െ1
 
 
Inicialmente, vamos escrever a matriz completa do sistema: 
 
൥
1 1 2 4
2 െ1 െ1 0
1 െ1 െ1 െ1
൩ 
 
Em seguida, vamos efetuar as seguintes operações elementares: 
 
L2 ← L2 – 2L1  ൥
1 1 2 4
0 െ3 െ5 െ8
1 െ1 െ1 െ1
൩ 
 
L3 ← L3 – L1  ൥
1 1 2 4
0 െ3 െ5 െ8
0 െ2 െ3 െ5
൩ 
 
L3 ← – 2/3L2 + L3  ൥
1 0 1/3 4/3
0 െ3 െ5 െ8
0 0 1/3 1/3
൩ 
 
L1 ← L1 – L3  ൥
1 0 0 1
0 െ3 െ5 െ8
0 0 1/3 1/3
൩ 
 
L2 ← L2 + 15L3  ൥
1 0 0 1
0 െ3 0 െ3
0 0 1/3 1/3
൩ 
Cálculo Numérico 
 
 
48 
 
Terminamos o processo de diagonalização, obtemos o seguinte sistema 
equivalente: 
 
൝
ݔ ൅ 0ݕ ൅ 0ݖ ൌ 1
0ݔ െ 3ݕ ൅ 0ݖ ൌ െ3
			0ݔ ൅ 0ݕ ൅ 1/3ݖ ൌ 1/3
								  			൝
ݔ ൌ 1
െ3ݕ ൌ െ3
			1/3ݖ ൌ 1/3
 
 
Imediatamente temos que x = 1, y = 1 e z = 1. Logo, a solução do sistema é (1, 1, 1)T. 
 
IMPORTANTE 
OBSERVAÇÃO: A diferença entre os dois últimos métodos 
apresentados é que neste último, ao final das operações elementares a matriz dos 
coeficientes se torna uma matriz diagonal e não uma matriz diagonal superior. 
 
 
2.2.4. Cálculo de determinantes 
 
Uma aplicação imediata dos métodos de Gauss e de Jordan é o cálculo de 
determinantes. Conforme a ordem da matriz aumenta, o procedimento para 
computar o seu determinante torna-se extenso e mais complicado. 
É necessário frisar que somente matrizes quadradas possuem determinantes. 
E, para se calcular as determinantes das matrizes triangulares superior, triangulares 
inferiores e diagonais basta multiplicar os elementos da diagonal principal. 
Desse modo, faremos uso de duas importantes propriedades para calcular 
determinantes: 
 
Cálculo Numérico 
 
 
49 
 
 Propriedade 1: Se A e B são matrizes equivalentes, então det (A) = 
det (B). 
 
 Propriedade 2: Se A é uma matriz triangular (superior ou inferior), 
então o determinante de A é igual ao produto dos elementos de sua 
diagonal principal. 
 
Para calcular o determinante de uma matriz qualquer, basta aplicar o 
método de Gauss ou Jordan para transformá-la em triangular e, depois, aplicar a 
Propriedade 2. Vamos analisar alguns exemplos. 
 
Exemplo 08: 
Vamos calcular os determinantes das seguintes matrizes: 
 
a) A = ൭
2 3 െ1
4 4 െ3
2 െ3 1
൱ 
 
L2 ← L2 – 2L1  ൭
2 3 െ1
0 െ2 െ1
2 െ3 1
൱ 
 
L3 ← L3 – L1  ൭
2 3 െ1
0 െ2 െ1
0 െ6 2
൱ 
 
L3 ← L3 – 3L2  ൭
2 3 െ1
0 െ2 െ1
0 0 5
൱ 
 
Cálculo Numérico 
 
 
50 
 
Agora que já encontramos através das operações elementares uma matriz 
triangular superior equivalente à matriz dada, vamos calcular o determinando de A. 
 Logo, det (A) = 2. (–2). 5 = –20. 
 
b) B = ൮
5 െ7 2 2
0 3 0 െ4
െ5 െ8 0 3
0 5 0 െ6
൲ 
 
L3 ← L3 + L1  ൮
5 െ7 2 2
0 3 0 െ4
0 െ15 2 5
0 5 0 െ6
൲ 
 
L3 ← L3 + 5L2  ൮
5 െ7 2 2
0 3 0 െ4
0 0 2 െ15
0 5 0 െ6
൲ 
 
L4 ← L4 –5/3L2  ൮
5 െ7 2 2
0 3 0 െ4
0 0 2 െ15
0 0 0 2/3
൲ 
 
Logo, o det (B) será: det (B) = 5 . 3. 2.2/3 = 20. 
 
2.3. Métodos iterativos 
Os ditos métodos iterativos para resolução de sistemas lineares são métodos 
que fornecem uma sequência de soluções aproximadas para solução do sistema 
com uma dada precisão, através de um processo infinito convergente. 
Geralmente, são melhores do que os métodos diretos quando a matriz de 
coeficientes é esparsa, tendo muitos elementos iguais à zero. 
 
Cálculo Numérico 
 
 
51 
2.3.1 Método de Jacobi. 
A ideia principal desse método é converter o sistema linear A.x = b, em um 
sistema equivalente: 
 
x = C . x + g 
 
Partindo-se de uma aproximação inicial x(0) e construindo a sequência x(k +1) = 
C . x(K) + g, sendo C(n x n) e g(n x 1), podemos chegar a soluções através de sucessivas 
iterações. 
Considere C é uma matriz de ordem (n) e g é um vetor de coluna (n x 1). 
Genericamente, escreveremos o sistema da seguinte forma: 
 
 
 
 
Para determinarmos os valores de x1, x2 e x3, vamos isolar os termos que se 
encontram na diagonal principal. 
 
 
 
Sendo assim, obtemos: 
ݔଵ ൌ
െܽଵଶݔଶ
ܽଵଵ െ
ܽଵଷݔଷ
ܽଵଵ 	൅
ܾଵ
ܽଵଵ 
 
ݔଶ ൌ
െܽଶଵݔଵ
ܽଶଶ െ
ܽଶଷݔଷ
ܽଶଶ 	൅
ܾଶ
ܽଶଶ 
 
ݔଷ ൌ
െܽଷଵݔଶ
ܽଷଷ െ
ܽଷଶݔଷ
ܽଷଷ 	൅
ܾଷ
ܽଷଷ 
 
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 
a31 x1 + a32 x3 + a33 x3 = b3 
a11 x1 = - a12 x2 - a13 x3 + b1 
a22 x2 = - a21 x1 - a23 x3 + b2 
a33 x3 = - a31 x1 - a32 x3 + b3 
Cálculo Numérico 
 
 
52 
 
Representando esse sistema em notação matricial, teremos: 
 
൭
ݔଵݔଶݔଷ
൱ ൌ
ۉ
ۈۈ
ۇ
0 െ ܽଵଶܽଵଵ െ
ܽଵଷ
ܽଵଵ
െܽଶଵܽଶଶ 0 െ
ܽଶଶ
ܽଶଶ
െܽଷଵܽଷଷ െ
ܽଷଶ
ܽଷଷ 0 ی
ۋۋ
ۊ
. ൭
ݔଵݔଶݔଷ
൱൅	
ۉ
ۈۈ
ۈ
ۇ
ܾଵ
ܽଵଵܾଶ
ܽଶଶܾଷ
ܽଷଷی
ۋۋ
ۋ
ۊ
 
 
 
Ou seja: X = C . x + g 
 
Exemplo 09: 
Vamos resolver o sistema através do método de Jacobi: 
 
൝
	10ݔ ൅ 2ݕ ൅ ݖ ൌ 7
ݔ ൅ 5ݕ ൅ ݖ ൌ 	െ8
	2ݔ ൅ 3ݕ ൅ 10ݖ ൌ 6
 , onde ݔሺ଴ሻ ൌ ൭
0,5
െ1,5
0,5
൱ e ߝ ൌ 10ିଷ	ሺ݁ݎݎ݋ሻ 
 
Onde:		ݔሺ଴ሻ ൌ ݄݅݌݋ݐ݁ݏ݁	݈݅݊݅ܿ݅ܽ	݌ܽݎܽ	ݔ, ݕ	݁	ݖ. 
 
Cálculo Numérico 
 
 
53 
 
Vamos iniciar a aplicação deste método, escrevendo o sistema dado na 
notação matricial, ou seja: 
ܣ ൌ 	൭
10 2 1
1 5 1
2 3 10
൱ e ܾ ൌ ൭
7
െ8
6
൱ 
 
O objetivo agora é anular a diagonal principal, através da divisão dos demais 
coeficientes pelo valor correspondente ao coeficiente da sua diagonal, além de 
inverter o sinal da matriz principal, onde seguimos a fórmula explicitada 
anteriormente. 
ቆ
ݔ
ݕ
ݖ
ቇ ൌ ൭
0 െ0,2 െ0,1
െ0,2 0 െ0,2
െ0,2 െ0,3 0
൱	 . ቆ
ݔ
ݕ
ݖ
ቇ ൅ ൭
0,7
െ1,6
0,6
൱ 
 
Através da anulação da diagonal principal conseguimos extrair as equações 
para obter o valor de x, y, z, observe: 
x = –0,2y – 0,1z + 0,7 
y = –0,2x – 0,2z – 1,6 
z = –0,2x – 0,3y + 0,6 
 
Agora que determinamos as equações, vamos utilizar os valores da 
hipótese inicial, para determina x(1), x(2), x(3).... x(n). 
 
ݔሺ଴ሻ ൌ ൭
0,5
െ1,5
0,5
൱ 
 
 
Cálculo Numérico 
 
 
54 
Substituído nas equações teremos: 
 
1° Iteração: 
x = –0,2 (-1,5) – 0,1(0,5) + 0,7 = 0,95 
y = –0,2(0,5) – 0,2(0,5) – 1,6 = -1,8 
z = –0,2(0,5) – 0,3(-1,5) + 0,6 = 0,95 
 
Vamos fazer o mesmo processo, só que agora com os novos valores de x, y, z. 
 
ݔሺଵሻ ൌ ൭
0,95
െ1,8
0,95
൱ 
2° Iteração: 
x = –0,2 (-1,8) – 0,1(0,95) + 0,7 = 0,965 
y = –0,2(0,95) – 0,2(0,95) – 1,6 = -1,98 
z = –0,2(0,95) – 0,3(-1,8) + 0,6 = 0,95 
 
Esse processo irá se repetir 7 vezes, pois na 7ª iteração encontraremos o erro 
de 10-3. 
 
 
CONSIDERAÇÕES IMPORTANTES: 
 
O erro é obtido através da diferença dos valores atribuídos a x, y, z,, entre a 
iteração posterior e a anterior, ou seja, x(1) – x(0); x(2) – x(1); x(3) – x(2) ... 
 
 
Cálculo Numérico 
 
 
55 
 
Para auxiliar os cálculos podemos formar a seguinte tabela: 
 
x(0) x(1) x(2) x(3) x(4) x(5) x(6) x(7) 
x 0,5 0,95 0,965 1,001 0,9965 1,00061 0,999566 1,000122 
y -1,5 -1,8 -1,98 -1,983 -2,0004 -1,99824 -2,00029 -1,99978 
z 0,5 0,95 0,95 1,001 0,9947 1,00082 0,99935 1,000173 
 
Para calcular o Erro, podemos também fazer o uso de tabelas, observe: 
 
x(1) – x(0) x(2) – x(1) x(3) – x(2) x(4) – x(3) x(5) – x(4) x(6) – x(5) x(7) – x(6) 
0,45 0,015 0,036 -0,0045 0,00411 -0,00104 0,000556 
-0,3 -0,18 -0,003 -0,0174 0,00216 -0,00205 0,000503 
0,45 0 0,051 -0,0063 0,00612 -0,00147 0,000823 
 
 
Erro encontrado para os três valores (Ɛ = 10-3). 
Sendo assim temos como solução: 
 
x = 1,000122 y = -1,99978 z = 1,000173 
 
 
2.3.2 Método de Gauss-Seidel. 
Para finalizar esta unidade, vamos aprender o último método de 
resolução, para isso, observe o sistema abaixo: 
 
 
 
 
 nnnnnnn
nn
nn
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa



......
.........................................................
......
......
332211
22323222121
11313212111
Cálculo Numérico 
 
 
56 
Se aii ≠ 0 podemos isolar x = Cx + g, por separação da diagonal, igual ao 
método anterior, podendo escrever o seguinte sistema: 
 
 
 
 
 
 
 
Logo podemos concluir que o método de Para relembrá-lo, vamos 
apresentar a resolução do exemplo a seguir: 
É uma variação do método de Gauss-Jacobi, sendo similar na 
transformação do sistema em um sistema equivalente do tipo x=Cx + g. A 
diferença consiste em que no método de calcular, a variável xj (k+1), usaremos 
todos os valores x1 (k+1), x2(k+1), ..., xj – 1(k+1), já calculados. 
 
Muito bem, chegamos ao fim desta unidade, agora é hora de refletir um 
pouco sobre os conhecimentos adquiridos, e exercitar sobre os diversos métodos 
de soluções de sistemas lineares que você estudou. 
 
É HORA DE SE AVALIAR 
Lembre-se de realizar as atividades desta unidade de estudo. Elas irão 
ajudá-lo a fixar o conteúdo, além de proporcionar sua autonomia no processo de 
ensino-aprendizagem. 
 
 
 
 
 )1(11,)1(22)1(11)1(
)(
2
)(
323
)1(
1212
22
)1(
2
)(
1
)(
313
)(
2121
11
)1(
1
......
1
.........................................................
......1
......1








k
nnn
k
n
k
nn
nn
k
n
k
nn
kkk
k
nn
kkk
xaxaxab
a
x
xaxaxab
a
x
xaxaxab
a
x
Cálculo Numérico 
 
 
57 
 
Exercícios - Unidade 2 
 
1. Resolva o sistema abaixo usando o método da eliminação de Gauss. 
൞
ݔ ൅ ݕ ൅ ݖ ൅ ݓ ൌ 100
െݔ െ ݕ െ ݖ ൅ ݓ ൌ 	െ20
ݔ	 ൅ ݕ െ ݖ െݓ ൌ 	െ40	
െݔ ൅ ݕ ൅ ݖ ൅ ݓ ൌ 80
 
 
2. Três amigas, Ana, Beatriz e Carla, foram a uma lanchonete. Ana comeu um 
sanduíche, tomou um suco e um café e pagou R$12,00; Beatriz consumiu dois 
sanduíches, um suco e um café, pagando R$17,50; e Carla comeu um sanduíche, 
tomou dois sucos e dois cafés, totalizando R$18,50. 
a) Escreva o sistema linear que representa a situação descrita. 
b) Determine o preço unitário do sanduíche, do suco e do café. 
 
3. (Unicamp-SP) Resolva o seguinte sistema de equações lineares: 
൞
2ݔ ൅ ݕ ൅ ݖ ൅ ݓ ൌ 1
ݔ ൅ 2ݕ ൅ ݖ ൅ ݓ ൌ 	2
ݔ	 ൅ ݕ ൅ 2ݖ ൅ ݓ ൌ 	3	
ݔ ൅ ݕ ൅ ݖ ൅ 2ݓ ൌ 4
 
4. Utilizando a Regra de Cramer, solucione o sistema linear abaixo: 
൝
ݔ ൅ ݕ ൅ 2ݖ ൌ 1
3ݔ ൅ 2ݕ ൅ 5ݖ ൌ 2
4ݔ ൅ 3ݕ ൅ 7ݖ ൌ 3
 
Cálculo Numérico 
 
 
58 
5. Utilizando o método de Cramer, solucionar o seguinte sistema linear. 
൝
2ݔ െ ݕ ൅ ݖ ൌ 3
ݔ ൅ ݕ ൅ ݖ ൌ 6
ݔ െ ݕ ൅ 2ݖ ൌ 3
 
 
6. Resolva o sistema linear abaixo utilizando o método de Gauss-Jacobi. 
Considere  = 10 -3. 
൝
ݔ െ 4ݕ ൅ 2ݖ ൌ െ3
6ݔ ൅ 2ݕ െ ݖ ൌ 8
3ݔ െ ݕ ൅ 5ݖ ൌ 2
, X (0) = ൬ ଴ିଵଵ ൰ 
Atenção:No desenvolvimento desse exercício, você verá que o erro está 
aumentando, logo, não conseguirá uma convergência as linhas da matriz nessa 
ordem. Sendo assim, troque a primeira linha com a segunda. Dessa forma, os 
maiores valores (em módulo) ficarão na diagonal principal, permitindo assim a 
convergência. 
 
Cálculo Numérico 
 
 
59 
7.Através da Regra de Cramer, solucionar o sistema linear abaixo. 
 
 
 
 
 
8.Determine “m” para que o sistema seja possível e determinado. 
 
 
 
 
 
Atenção: Na 3ª linha não há y, logo, deve-se admitir zero, na sua posição 
correspondente. 
 
 
 
3x + 2y + 4z = 1 
x + y + 2z = 2 
4x + 3y – 2z = 3 
mx + 2y – 2z = 1 
x – 3y + z = 0 
x + 2z = 0 
Cálculo Numérico 
 
 
60 
 
9. Através do Método de Eliminação de Gauss, solucione o sistema linear 
abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10. Resolva através do método de Cramer e do Método de Eliminação de 
Gauss, o sistema linear abaixo, em seguida faça uma comparação dos métodos. 
 
 
 
 
 
 
x + 5y + 2z = 10 
2x + y – 3z = –3 
3x + 6y + 5z = 19 
10x + 2y + z = 7 
x + 5y + z = –8 
2x + 3y + 10z = 6 
Cálculo Numérico 
 
 
61 
 
3 Zero Reais De Funções Reais 
Cálculo Numérico 
 
 
62 
 
Iniciaremos as atividades dessa unidade permeando os conceitos de zero de 
funções reais, utilizando meios gráficos, para posteriormente solucionar as funções 
f(x), através de um refinamento. 
 
Objetivo da Unidade 
Determinar e compreender os meios para solucionar diversas funções 
polinomiais através de métodos distintos. 
 
Plano da Unidade 
3.1 - Zeros de Funções Reais 
3.2 - Isolamento das Raízes 
3.3 - Refinamento das Raízes 
3.3.1 Método da Bisseção 
3.3.2 Método da Posição Falsa 
3.3.3 Método de Newton-Raphson 
 
 
Bons estudos! 
 
Cálculo Numérico 
 
 
63 
 
Equações polinomiais, algébricas e transcendentes 
 
Nosso foco nesta Unidade é abordar algumas técnicas de como obter os 
zeros de uma função, ou também chamados os zeros reais. Os zeros da função 
são os valores reais de “x” que tornam a função f(x) igual a zero − f(x) = 0. 
No entanto, observe que se temos uma função do tipo F(x) = 3x4 + 2x3 – x2 
+ 1, calcular os zeros desta função é equivalente a encontrar as raízes de uma 
equação, ou seja, calcular os valores de x que satisfazem a equação: 
 
3x4 + 2x3 – x2 + 1 = 0 
 
Desse modo, em outras palavras iremos apresentar alguns métodos para 
encontrar as raízes dessas equações, que podem ser polinomiais, algébricas ou 
transcendentes. Observe a diferença entre cada uma delas: 
 Equação Polinomial 
Exemplo: 3x4 + 2x3 – x2 + 1 = 0 
 Equação Transcendente 
É a equação que envolve funções transcendentes, tais como: sen x, ex , 
ln x, ...x 
Exemplo: cos (x) – 1 = 0 
 Equação Algébrica: 
Exemplo: √ݔ െ 1 ൅ 3ݔ ൌ 0 
 
3.1 Zeros Reais de Funções Reais 
Obter os zeros das raízes equivale a encontrar os valores reais de “x” que 
tornem a função f(x) igual a zero. Os métodos numéricos para resolver este 
problema, consistem em partir de uma aproximação inicial para a raiz e em 
seguida, através de processos iterativos, aproximar este valor da raiz real dentro de 
uma precisão desejada. 
Cálculo Numérico 
 
 
64 
Esses métodos dividem-se em duas partes: 
 Isolamento das Raízes → processo no qual iremos determinar os 
intervalos onde existem raízes. 
 Refinamento das Raízes → processo no qual iremos determinar 
valores aproximados para as raízes dentro do intervalo calculado. 
 
3.2- Isolamento das Raízes 
Neste método, nosso objetivo é determinar um intervalo onde existem raízes. 
Para isolar as raízes em um intervalo, vamos analisar o comportamento dos 
gráficos obtidos a partir de equações polinomiais: 
 
 
 
 
 
Para este gráfico podemos afirmar que a 
função f(x) possui dois zeros reais, pois o 
gráfico passou do eixo y positivo para o 
negativo duas vezes, ou seja, interceptou o 
eixo “x” em dois momentos (a e b) 
 
Seguindo a mesma analogia anterior, 
podemos afirmar que para esta função 
teremos três zeros reais: a, b e c. 
Cálculo Numérico 
 
 
65 
 
 
 
 
Logo podemos afirmar que em uma função real f(x) com intervalos (a, b), 
existe sempre um x ∈ (a, b) tal que f(x) = 0, se f(a) . f(b) < 0. 
 
 
Exemplo 01: 
Determine os intervalos reais da função f(x) = x³ - 9x + 3, onde estão 
localizados os zeros da função: 
 
Para resolver este exemplo, vamos considerar um intervalo para x de −5 a 5. 
(Este intervalo foi uma hipótese inicial, poderia ser escolhido qualquer outro 
intervalo). Em seguida, substituímos os valores de x dentro deste intervalo e 
determinarmos os respectivos valores correspondentes a y no gráfico e encontrar 
desta forma os zeros reais. 
 
Para este exemplo, verifica-se que a 
função f(x) não possui zeros reais, ou 
seja, o gráfico da função não intercepta 
o eixo x. 
Cálculo Numérico 
 
 
66 
Sendo assim, teremos: 
x = −5 f(-5) = (-5)³ - 9(-5) + 3 → f(-5) = −77 
x = −4 f(-4) = (-4)³ - 9(-4) + 3 → f(-4) = − 25 
x = −3 f(-3) = (-3)³ - 9(-3) + 3 → f(-4) = − 3 
x = −2 f(-2) = (-2)³ - 9(-2) + 3 → f(-2) = 13 
x = −1 f(-1) = (-1)³ - 9(-1) + 3 → f(-1) = 11 
x = 0 f(0) = (0)³ - 9(0) + 3 → f(0) = 3 
x = 1 f(1) = (1)³ - 9(1) + 3 → f(1) = - 5 
x = 2 f(2) = (2)³ - 9(2) + 3 → f(2) = - 7 
x = 3 f(3) = (3)³ - 9(3) + 3 → f(3) = 3 
x = 4 f(4) = (4)³ - 9(4) + 3 → f(4) = 31 
x = 5 f(5) = (5)³ - 9(5) + 3 → f(5) = 81 
 
 Agora, vamos analisar os resultados obtidos. Observe que para x = −4, temos 
y = − 25 e para x = −3 temos y = 3, logo f(−4) . f (−3) < 0. Como ocorreu uma 
variação nos sinais, podemos concluir que o gráfico da função interceptará o eixo x 
neste intervalo. Então, podemos afirmar que existe uma raiz x1, no intervalo entre 
−4 e −3. De forma análoga, identificamos o intervalo das demais raízes, x2 e x3. 
Observe: 
 
Cálculo Numérico 
 
 
67 
 
x y 
-5 -77 
-4 -25 
-3 3 
-2 13 
-1 11 
0 3 
1 -5 
2 -7 
3 3 
4 31 
5 83 
 
 
 Para facilitar a interpretação desses cálculos, vamos apresentar o esboço 
do gráfico da função polinomial citada no exemplo: 
 
 
 
Observe que para todas as mudanças 
de sinais de “y”, temos um zero real 
da função localizado neste intervalo 
da variação no qual ocorre a variação 
do sinal de f(x). 
X1  ( -4; -3 ) 
X2  ( 0; 1 ) 
X3  ( 2; 3 ) 
Cálculo Numérico 
 
 
68 
 
3.3 Refinamento das Raízes 
Após o processo de isolamento apresentado acima, devemos descobrir através 
de um processo iterativo no intervalo de x ∈ (a , b), que seja uma aproximação para 
a raiz. O critério de “parada”, ponto onde a solução é satisfatória, ocorre quando o 
|f(x)| < Ɛ, onde Ɛ é o erro aproximado. 
 
3.3.1 Método da Bisseção 
Para encontrar as raízes da equação através deste método devemos reduzir o 
intervalo onde cada iteração é calculada pela média aritmética dos extremos do 
intervalo. Vamos entender melhor como este método procede através do exemplo 
a seguir. Considerando Xk igual à raiz aproximada no intervalo (ak, bk), 
adotaremos a seguinte fórmula: 
 
ݔ௞ ൌ ܽ௞ ൅ ܾ௞2 
 
Exemplo 02: 
Utilizando a mesma função do exemplo anterior, vamos encontrar os 
zeros reais aplicando o método da bisseção, dado Ɛ = 10-3 . 
 
Considere a função: f(x) = x³ - 9x + 3 
Vamos considerar o intervalo para uma das raízes: x2 ∈ (0 ; 1). É importante 
ressaltar que este intervalo foi escolhidoaleatoriamente. 
Note que fazendo x = 0 e x = 1, vamos obter respectivamente: + 3 e -5. 
Já realizamos este cálculo anteriormente, você se recorda? 
 
Cálculo Numérico 
 
 
69 
 
x = 0 f(0) = (0)³ - 9(0) + 3 → f(0) = 3 
x = 1 f(1) = (1)³ - 9(1) + 3 → f(1) = - 5 
 
Agora, vamos calcular a média aritmética entre os valores extremos do 
intervalo, ou seja, 0 e 1. 
 
݉ ൌ	 0 ൅ 12 ൌ 0,5 
Para descobrir o sinal da função quando x = 0,5, vamos substituir este valor na 
função dada: 
 
f(0,5) = (0,5)³ - 9(0,5) + 3 → f(0,5) = − 1,375 
 
Perceba que encontramos um valor negativo, o que faz com que tenhamos 
um intervalo menor para localizar a raiz aproximada. Observe a representação a 
seguir: 
 
 
 
Cálculo Numérico 
 
 
70 
 
Note que para x = 0,5 o sinal da função é negativo, ou seja o valor de y é 
negativo. Desse modo, a regra da bisseção exige que devamos sempre encontrar 
um valor positivo com um negativo, logo traçado ficará: 
 
 
 
 
Agora vamos substituir 0,25 na função: 
 
f(0,25) = (0,25)³ - 9(0,25) + 3 → f(0,25) = 0,765625 
 
Observe que para x = 0,25, encontramos um valor positivo, o nosso novo 
intervalo estará localizado entre: 0,25 e 0,5. Seguindo o mesmo procedimento 
anterior, vamos obter a média aritmética entre a e b. 
 
Note que: 
 
M = (0,25 + 0,5 ) / 2 
M = 0,375 
 
 
 
 
 
Cálculo Numérico 
 
 
71 
 
Deve-se repetir esse processo até obter o resultado com Ɛ = 10-3. 
 
Para facilitar o desenvolvimento do método, sugere-se a seguinte planilha, 
onde: 
 
k = número de amostra 
a = valores de x 
b = valores de x 
x = média aritmética 
f(x) = resultado da equação 
 
K a b x f(x) 
1 0 1 0,5 -1,375 
2 0 0,5 0,25 0,765625 
3 0,25 0,5 0,375 -0,32226 
4 0,25 0,375 0,3125 0,2180 
5 0,3125 0,375 0,34375 -0,05313 
6 0,3125 0,34375 0,328125 0,0822 
7 0,328125 0,34375 0,335937 0,01447 
8 0,335937 0,34375 0,339843 -0,019337 
9 0,335937 0,339843 0,337890 -0,002433 
10 0,335937 0,337890 0,336914 0,006017 
11 0,336914 0,337890 0,337402 0,001792 
12 0,337402 0,337890 0,337646 -0,000321 
 
 
 
Sendo assim teremos como resposta para esse intervalo: 
 
X = 0,337646 
 
Erro encontrado 
Cálculo Numérico 
 
 
72 
3.3.2 Método da Posição Falsa 
Neste método a redução do intervalo ocorre por meio da média ponderada 
entre “a” e “b”, com pesos |f(b)| e |f(a)|, respectivamente. Dessa forma a raiz 
aproximada fica: 
 
ݔ ൌ	 ܽ	. ݂ሺܾሻ െ ܾ	. ݂ሺܽሻ݂ሺܾሻ െ ݂ሺܽሻ 
 
Exemplo 03: 
 
Continuando com a mesma função do exemplo 1 e 2, aplicaremos agora o 
método da posição falsa para a função f(x) = x³ - 9x + 3, com Ɛ = 10-3. 
 
 Vamos continuar fazendo para x2 ∈ (0 ; 1) 
Para solução desse método vamos desenvolver a seguinte tabela, ressalto que a 
regra dos sinais deve ser respeitada igual ao método anterior. 
 
K a b f(a) f(b) x f(x) 
1 0 1 3 -5 0,375 - 0,322266 
2 0 0,375 3 - 0,322266 0,338624 - 0,008790 
2 0 0,338624 3 - 0,008790 0,337635 - 0,000226 
 
 
 
 
Exemplo de aplicação da fórmula: 
ݔ
ൌ 	0	. ሺെ5ሻ െ 1	. 3െ5െ 3 
 
Erro encontrado 
Cálculo Numérico 
 
 
73 
 
Exemplo da reta a ser traçada: 
 
 
 
Solução: 
x = 0,337635 
 
3.3.3 – Método de Newton-Raphson 
 
O método consiste em criar uma função de iteração para tornar a 
convergência mais rápida, a partir de uma aproximação inicial x0  [a , b], obtemos 
a raiz aproximada através da aplicação do algoritmo: 
 
ݔ௞ାଵ ൌ ݔ௞ െ ݂ሺݔ௞) ݂′ሺݔ௞) 
 
Exemplo 5: 
 
Determinar através do Método de Newton-Raphson a solução para a função: 
 
f(x) = x³ - 9x + 3 , com Ɛ = 10-3. 
 
Cálculo Numérico 
 
 
74 
 
Vamos manter o x2 ∈ (0 ; 1), para melhores comparações dos métodos. 
 
 
1° Passo: Derivar da função 
Como f(x) = x³ - 9x + 3 , então a derivada será: f ´(x) = 3x² - 9 
 
2° Passo: Determinar os valores de f(x) e f ‘(x) para x = 0,5 
 
f(x) = x³ - 9x + 3 
f(0,5) = (0,5)³ - 9(0,5) + 3 → -1,375 
 
f ´(x) = 3x² -9 
f ´(0,5) = 3(0,5)² -9 → - 8,25 
 
3°Passo: O novo valor de x pela fórmula será: 
 
ݔ௞ାଵ ൌ 0,5 െ ሺିଵ,ଷ଻ହሻሺ଼,ଶହሻ → 	0,3333333 
 
Em seguida, deve-se repetir o processo com o novo valor de x, até encontrar o 
erro de 10-3. 
 
Cálculo Numérico 
 
 
75 
 
Observe a tabela a seguir: 
 
 
 
K x f(x) f’(x) 
0 0,5 - 1,375 -8,25 
1 0,3333333 0,037037037 -8,666666667 
2 0,3376068 0,0000183409 
 
 
 
 
 
Muito bem, chegamos ao fim desta unidade, agora é hora de refletir um pouco 
sobre os conhecimentos adquiridos, pois conseguimos determinar soluções para 
diversas equações polinomiais. 
 
 
É HORA DE SE AVALIAR 
Lembre-se de realizar as atividades desta unidade de estudo. Elas irão 
ajudá-lo a fixar o conteúdo, além de proporcionar sua autonomia no processo de 
ensino-aprendizagem. 
 
 
Erro encontrado 
Hipótese inicial, recomenda-se sempre a 
média dos intervalos das raízes 
Cálculo Numérico 
 
 
76 
 
Exercícios – Unidade 3 
 
1.Determine os intervalos reais da função: f(x) = √ݔ െ 	5݁ି௫ 
 
 
 
 
2. Determine os intervalos reais da função: f(x) = x³ - 2x² - 20x + 30 
 
 
 
 
 
3.Determine os intervalos reais da função: f(x) = x log (x) – 1 
( Atenção: Não existe logaritmo de número negativo de e zero.) 
 
 
 
 
4.Através do método da bisseção, faça o refinamento da raiz da função: f(x) = 
x³ - 9x + 3; para x1 ∈ (-4 ; -3) e x3 ∈ (2 ; 3); considere Ɛ = 10-3. 
 
 
 
Observação: Já fizemos o x2 ∈ (0 ; 1) 
Cálculo Numérico 
 
 
77 
 
5.Utilizando o método da bisseção, faça o refinamento da raiz, definida pela 
função f(x) = x³ - 2x² - 20x + 30, com x∈(-5 ; -4); Ɛ = 10-3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.Pelo método da posição falsa determine todas as raízes reis definidas pela 
função f(x) = x³ - 9x + 3; com Ɛ = 10-3. 
 
 
 
 
 
 
7.Determine a raiz da função f(x) = x log (x) -1, com Ɛ = 10-3, através do método 
da bisseção e da posição falsa, e em seguida faça uma comparação entre os 
métodos. 
 
Cálculo Numérico 
 
 
78 
 
8.Utilizando o método de Newton-Raphson, determine a raiz da função f(x) = 
√ݔ െ 	5݁ି௫ , Ɛ = 10-3. 
 
 
9.Refaça o exercício nº 7, utilizando o método de Newton-Raphson, e compare 
os três métodos. 
 
 
 
 
10.Pelo método de Newton-Raphson determine todas as raízes reis definidas 
pela função f(x) = x³ - 2x² - 20x + 30; com Ɛ = 10-3. 
 
 
Cálculo Numérico 
 
 
79 
 
4 Interpolação 
Cálculo Numérico 
 
 
80 
Iniciaremos esta unidade trabalhando o conceito de interpolação e suas as 
aplicações nas diversas ciências, para prosseguirmos nas interpolações polinomiais 
e de Lagrange. 
 
Objetivo da Unidade: 
Verificar e compreender os meios e mecanismos de aproximação de funções. 
 
Plano da Unidade: 
4.1 Conceito de interpolação. 
4.2 Interpolação Polinomial. 
4.3 Interpolação de Lagrange. 
 
 
Bons estudos! 
 
Cálculo Numérico 
 
 
81 
 
Interpolação: 
 
Interpolar significa determinar valores intermediários entre valores dados de 
uma função, onde se admite a construção de novos conjuntos numéricos, a partir 
de dados ponderados de valores conhecidos. 
Logo, nas ciências exatas, como a engenharia, a física, a economia, a 
estatística, a química e outras, temos arranjos (hipóteses ou valores fixos) que 
através de dados de amostragens ou experimentos, pode-se construir uma função 
que se aproximedos dados desejados (dados pontuais), permitindo a continuidade 
dos cálculos. 
 
4. 1 Interpolação Polinomial 
Interpolar uma função f(x) consiste em aproximar esta função por outra G(x), 
que satisfaça algumas propriedades. Sendo assim, podemos interpolar por meio 
de polinômio de grau menor ou igual. Observe abaixo uma interposição de uma 
função linear (reta), com uma função do segundo grau (parábola), como exemplo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y 
x` x 
P1(x`) 
P2(x`) 
P2(x’) é a Parábola → interpola 3 pontos 
 
P1(x’) é a Reta → Interpola 2 pontos 
Cálculo Numérico 
 
 
82 
 
Representaremos o polinômio Pn(x) por: 
 
Pn(x) = a0 + a1x + a2x² + a3x³ + ... + anxn 
 
Sendo assim, podemos montar o seguinte sistema linear: 
 
a0 + a1x0 + a2x0² + a3x0³ + ... + anx0n = f(x0) 
a0 + a1x1 + a2x1² + a3x1³ + ... + anx1n = f(x1) 
a0 + a1x2 + a2x2² + a3x2³ + ... + anx2n = f(x2) 
 
a0 + a1xn + a2xn² + a3xn³ + ... + anxnn = f(xn) 
 
Por notação matricial temos: 
 
V • a = f 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 x0 x0² x0n 
1 x1 x1² x1n 
 
 
1 xn xn² xnn 
a0 
a1 
 
 
an 
f(x0) 
f(x1) 
 
 
f(xn) 
V a f 
= x 
Cálculo Numérico 
 
 
83 
 
A matriz “V” é uma matriz de Vandermonde e, portanto desde que x0, x1, x2, ... , 
xn sejam pontos distintos, temos det(v) ≠ 0. Portanto, o sistema acima admite 
solução única. A matriz coluna “a” é a matriz incógnitas e a matriz “f” é a das 
constantes f(xi) = yi. 
Existe um único polinômio Pn(x), de grau ≤ n, tal que: 
 
Pn(xk) = f(xk) ; k = 0, 1, 2, ... , n 
 
Exemplo 01: Sistema linear – Polinômio Interpolador 
 
Encontre um polinômio de grau menor que interpole os pontos: 
 
 
 
Representando, temos: 
 
 
x -1 0 2 
f(x) 4 1 -1 
 
P2(x) = a0 + a1x + a2x² 
V • a = f 
 
 
 
 
 
x -1 0 2 
f(x) 4 1 -1 
x0 x1 x2 
1 x0 x0² 
1 x1 x1² 
1 x2 x2² 
a0 
a1 
a2 
f(x0) 
f(x1) 
f(x2) 
V a f 
= • 
Cálculo Numérico 
 
 
84 
 
 
 
 
 
 
 
Fazendo a multiplicação de “V” por “a” (lembrando, linha por coluna – regra de 
multiplicação de matrizes), teremos: 
 
a0 – a1 + a2 = 4 
a0 = 1 
a0 + 2a1 + 4a2 = -1 
 
Resolvendo esse sistema linear, iremos obter: 
 
a0 = 1 
a1 = -2,3333 
a2 = 0,6667 
 
Desse modo, o Polinômio encontrado será: 
 
P2(x) = a0 + a1x + a2x² 
P2 (x) = 1 – 2,3333x + 0,6667x² 
 
Exemplo 02: 
Dada a função f(x) = x4 + 2x +1, encontre um polinômio interpolador do 2º 
grau com x0 = -1, x1 = 0 e x2 = 1. Depois verifique se f(1,5) = P2(1,5). 
 
1 -1 -1² 
1 0 0² 
1 2 2² 
a0 
a1 
a2 
 4 
 1 
 -1 
V a f 
= • 
Cálculo Numérico 
 
 
85 
 
O primeiro passo para resolução desse exemplo é encontrar os valores de x 
para a função f(x). 
 
f(x) = x4 + 2x +1 
 
x0 = -1 → f(-1) = (-1)4 + 2.(-1) + 1 = 0 
x1 = 0 → f(0) = (0)4 + 2.(0) + 1 = 1 
x0 = 1 → f(1) = (1)4 + 2.(1) + 1 = 4 
 
Após, determinado os valores de x para f(x), deve-se esboçar a planilha para 
melhor aplicar a fórmula: V.a = f. 
 
 
x -1 0 1 
f(x) 0 1 4 
 
P2(x) = a0 + a1x + a2x² 
V • a = f 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x0 x1 x2 
1 x0 x0² 
1 x1 x1² 
1 x2 x2² 
a0 
a1 
a2 
f(x0) 
f(x1) 
f(x2) 
V a f 
= • 
1 -1 -1² 
1 0 0² 
1 1 1² 
a0 
a1 
a2 
 0 
 1 
 4 
V a f 
= • 
Cálculo Numérico 
 
 
86 
 
Fazendo a multiplicação de “V” por “a” (mesmo processo do exemplo1), 
teremos: 
 
a0 – a1 + a2 = 0 
a0 = 1 
a0 + a1 + a2 = 4 
 
Resolvendo esse sistema linear, você irá obter: 
 
a0 = 1 
a1 = 2 
a2 = 1 
 
1ª Solução: 
 
P2(x) = a0 + a1x + a2x² 
P2 (x) = 1 – 2x + x² 
 
 
2ª Solução: Verificar se f(1,5) = P2(1,5) 
 
f(x) = x4 + 2x +1 
x = 1,5 → f(1,5) = (1,5)4 + 2.(1,5) + 1 = 9,0625 
 
P2(x) = 1 + 2x + x² 
x = 1,5 → P2(1,5) = 1 + 2.(1,5) + (1,5)² = 6,25 
 
Logo, conclui-se que f(x) ≠ P2(x). 
Cálculo Numérico 
 
 
87 
 
Suponha agora que deseja o valor de f(x) para a ̅ݔ ∈ [xi ; xi +1] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A Interpolação consiste em determinar um polinômio de 1º grau que 
contenha os pontos A[xi ; G(xi)] e B[xi + a ; f(xi + 1)]. 
 
 Os triângulos ABD e AEC são semelhantes, logo: 
 
ܧܥ
ܤܧ ൌ	
ܣܥ
ܣܦ ൌ 	
݂ሺ̅ݔሻെ 	݂ሺݔ௜ሻ
݂ሺݔ௜ ൅ 1ሻ െ 	݂ሺݔ௜ሻ ൌ 	
̅ݔ െ	ݔ௜
ݔାଵ െ 	ݔ௜ 
 
Sendo assim, temos: 
 
݂ሺ̅ݔሻ ൌ ݂ሺݔ௜ሻ ൅	 ̅ݔ െ	ݔ௜ݔ௜ାଵ െ	ݔ௜ 	ൈ ሾ݂ሺݔ௜ାଵሻ െ 	݂ሺݔ௜ሻሿ 
 
 
y 
xi x 
F (xi +1) 
xi +1 ̅ݔ 
F (̅ݔ) 
F (xi) 
A C D 
B 
E 
Cálculo Numérico 
 
 
88 
 
Exemplo 03: 
 
Considere sen0 0° = 0 e o sen 10°= 0,17365, através da interpolação determine o 
sen 6,5º. 
 
Podemos obter os seguintes dados a para resolução: 
 
̅ݔ = 6,5º 
 
xi = 0º → f(xi) = 0 
xi+1 = 10º → f(xi+1) = 0,17365 
 
Utilizando a fórmula abaixo, iremos obter o valor interpolado do sen6,5º. 
 
݂ሺ̅ݔሻ ൌ ݂ሺݔ௜ሻ ൅	 ̅ݔ െ	ݔ௜ݔ௜ାଵ െ	ݔ௜ 	ൈ ሾ݂ሺݔ௜ାଵሻ െ 	݂ሺݔ௜ሻሿ 
 
Substituindo pelos valores obtidos, teremos: 
 
݂ሺ6,5ሻ ൌ 0 ൅ 	6,5െ 	010 െ 0 	ൈ ሾ0,17365െ 0ሿ 
 
݂ሺ6,5ሻ ൌ 0,11287 
 
Exemplo 04: 
 Considere sen 6º = 0,10453 e o sen 7° = 0,12187, através da interpolação 
determine o sen 6,5º. 
 
Cálculo Numérico 
 
 
89 
 
̅ݔ = 6,5º 
 
xi = 6º → f(xi) = 0,10453 
xi+1 = 7º → f(xi+1) = 0,12187 
 
Utilizando a fórmula: 
 
݂ሺ̅ݔሻ ൌ ݂ሺݔ௜ሻ ൅	 ̅ݔ െ	ݔ௜ݔ௜ାଵ െ	ݔ௜ 	ൈ ሾ݂ሺݔ௜ାଵሻ െ 	݂ሺݔ௜ሻሿ 
 
Substituindo pelos valores obtidos, teremos: 
 
݂ሺ6,5ሻ ൌ 0,10453 ൅	6,5 െ 	67 െ 6 	ൈ ሾ0,12187 െ 0,10453ሿ 
 
݂ሺ6,5ሻ ൌ 0,1132 
 
4.2 Interpolação de Lagrange 
 
Determinado e conhecido as funções Ln,k, um polinômio interpolado pode ser 
facilmente determinado, sendo chamado de n-ésimo polinômio interpolador de 
Lagrange. 
 
Logo temos o seguinte polinômio de grau (n): 
 
 
 
 
Cálculo Numérico 
 
 
90 
Observe que no numerador, temos os produtos (x-xi), com i≠k, e no 
denominador os produtos (xk-xi), com i≠k. 
Sendo assim, a fórmula de Lagrange do Polinômio de Interpolação pode ser 
descrita da seguinte forma: 
 
 
Exemplo 05: 
 
Dada a função f(x) = x3 - 9x +3, encontre um polinômio interpolador do 2º grau 
com x0 = 0, x1 = 2 e x2 = 3, utilizando o método de Lagrange. Depois verifique se f(1) 
= P2(1). 
 
O primeiro passo para resolução desse exemplo é encontrar os valores de x 
para a função f(x). 
 
f(x) = x3 - 9x +3 
 
x0 = 0 → f(0) = (0)3 – 9 .(0) + 3 = 3 
x1 = 2 → f(2) = (2)3 – 9 .(2) + 3 = -7 
x0 = 3 → f(3) = (3)3 – 9 .(3) + 3 = 3 
 
Após determinado os valores de x para f(x), deve-se esboçar a planilha para 
melhor aplicar V.a = f. 
 
 
x -1 0 1 
f(x) 0 1 4 
 
*Note que iniciamos igual ao exemplo 2. 
x0 x1 x2 
Cálculo Numérico 
 
 
91 
 
Como possuímos três pontos, precisaremos de um polinômio de grau 2, dada 
pela seguinte função: 
 
 
 
 
݈଴ ൌ 	
ሺݔ െ	ݔଵሻ. ሺݔ െ	ݔଶሻ
ሺݔ଴ െ	ݔଵሻ. ሺݔ଴ െ 	ݔଶሻ	ൌ 	
ሺݔ െ 2ሻ. ሺݔ െ 3ሻ
ሺ0 െ 2ሻ. ሺ0 െ 3ሻ 	ൌ 	
ݔ² െ 5ݔ ൅ 6
6 
 
݈ଵ ൌ	
ሺݔ െ	ݔ଴ሻ. ሺݔ െ	ݔଶሻ
ሺݔଵ െ	ݔ଴ሻ. ሺݔଵ െ	ݔଶሻ	ൌ 	
ሺݔ െ 0ሻ. ሺݔ െ 3ሻ
ሺ2 െ 0ሻ. ሺ2 െ 3ሻ 	ൌ 	
ݔ² െ 3ݔ
െ2 
 
݈ଶ ൌ 	
ሺݔ െ	ݔ଴ሻ. ሺݔ െ 	ݔଵሻ
ሺݔଶ െ	ݔ଴ሻ. ሺݔଶ െ	ݔଵሻ	ൌ 	
ሺݔ െ 0ሻ. ሺݔ െ 2ሻ
ሺ3 െ 0ሻ. ሺ3 െ 2ሻ 	ൌ 	
ݔ² െ 2ݔ
3 
 
Logo o polinômio interpolador seguirá a seguinte expressão: 
 
ଶܲሺݔሻ ൌ 	 ଴݂ . ݈଴	ሺݔሻ	൅		 ଵ݂ . ݈ଵ	ሺݔሻ	൅ 	 ଶ݂ . ݈ଶ	ሺݔሻ

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