ApresCap04_2013

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04 – SISTEMAS DE 
SUPERFÍCIE ATIVA
04.01 - Conceitos
• Sistemas estruturais onde a transmissão dos
esforços se dá por tensões distribuídas na
superfície estrutural.
• A superfície da edificação é a própria
estrutura.
• As espessuras são pequenas se comparadas
com as dimensões em plantas, o que justifica
a existência apenas de esforços de
membrana.
04.01 - Conceitos
• Denominações:
– Cascas
– Cascas delgadas
– Shell structures
• A forma da superfície é quem garante a
rigidez.
– Comparativo de uma folha de papel plana e uma
folha dobrada.
– A forma adquire importância
04.01 - Conceitos
• Não se distingue a estrutura de seu invólucro
(pele).
– A estrutura não é mais um esqueleto revestido
(Cristo Redentor).
– O revestimento é a própria estrutura.
• Mesmo as barras de treliças, ou de pórticos,
podem ser entendidas como sistemas de
superfície ativa, quando observado o que
acontece ao longo da barra.
04.02 - Histórico
• 27 ≈ 25 A.C.: Cúpula do Panteon (Roma):
– Diâmetro de 42 metros.
– Abertura central de 10 metros.
• 532 ≈ 537: Cúpula de Santa Sofia - Constantinopla:
– Artemio de Tralles. Isidoro de Milleto.
• 1590: Cúpula de São Pedro (Roma)
– 42 metros de vão.
– Tijolos e nervuras de pedras pesando 4.000 toneladas.
– O desvio contínuo entre as aduelas de pedras faz com que
a resultante das cargas acima de uma aduela caia no núcleo
de inércia do bloco inferior, gerando somente compressão
na aduela inferior.
– Projeto de Michelangelo.
Santa Sofia
Pantheon
Cúpula de São Pedro
04.02 - Histórico
• 1924: Primeira cúpula em concreto armado – Jena
(Alemanha)
– Projeto de Carl Zeiss.
– Mesmo vão da cúpula de São Pedro.
– Pesando apenas 330 toneladas.
• Situação atual:
– As espessuras são mínimas: 10 a 15 cm para vãos até de
100 metros.
– Existem dificuldades executivas
• Alto custo de fôrmas e escoramentos
– Soluções alternativas para redução dos custos de fôrmas e
escoramentos
• Cascas em concreto armado infladas.
• Sistemas de fôrmas em argamassa armada incorporadas à
seção: Píer Luigi Nervi
Cúpula em Jena
CNIT - Paris
04.03 – Propriedades 
Geométricas das superfícies
• Plano tangente:
– Plano que tangencia a superfície em único ponto
• Normal à superfície em um ponto:
– Reta normal ao plano tangente que passa pelo ponto.
• Plano normal:
– Qualquer plano que contenha a reta normal.
– Por um ponto passam infinitos planos normais.
• Seção Normal:
– Curva resultante da seção normal com a superfície.
– Por um ponto da superfície existem infinitas seções normais.
04.03 – Propriedades
• Círculo osculador:
– Círculo que tangencia uma seção normal no ponto dado.
– Para cada seção normal deve existir um único círculo
osculador naquele ponto.
• Raio de curvatura:
– Raio do círculo osculador à seção normal à superfície no
ponto.
– Para cada plano normal, tem-se uma seção normal e um
raio de curvatura diferente no ponto.
– Rx: Raio do círculo osculador que contém o plano XZ
– Ry: Raio do círculo osculador que contém o plano YZ.
04.03 – Propriedades
• Curvatura:
– É o inverso do raio de curvatura do círculo osculador.
– Cx = 1/Rx; Cy = 1/Ry
– Curvatura positiva; Curvatura negativa
• Curvaturas principais:
– Dada uma superfície, em um determinado ponto existem
dois planos normais que definem seções normais, cujas
curvaturas naquele ponto são máxima e mínima.
– C1: Curvatura máxima; C2: Curvatura mínima.
• Curvatura Gaussiana:
– É o produto da curvatura máxima pela curvatura mínima.
– K = C1.C2
04.04 – Classificação quanto à 
curvatura
• Superfícies Sinclásticas:
– Superfícies de dupla curvatura com curvatura gaussiana
positiva.
– K = C1.C2 > 0
– Exemplos: Cúpulas, Parabolóides Elípticos.
• Superfícies Anticlásticas:
– Superfícies de dupla curvatura com curvatura gaussiana
negativa.
– K = C1.C2 < 0
– Exemplos: Parabolóides Hiperbólicos, Conóides,
Hiperbolóides.
04.04 – Classificação quanto à 
curvatura
• Superfícies Desenvolvidas:
– Superfícies de curvatura simples.
– K = 0; C1 ou C2 =0.
– Cascas cilíndricas, abóbodas.
• Rigidez
– As superfícies anticlásticas geram estruturas mais rígidas
que as superfícies sinclásticas, que por sua vez geram
estruturas mais rígidas que as superfícies desenvolvidas.
– Vãos (superfícies anticlásticas) > Vãos (superfícies
sinclásticas)
– Vãos (superfícies sinclásticas) > Vãos (superfícies
desenvolvidas)
04.05 – Classificação quanto à 
forma de geração
• Superfícies de revolução:
– Obtidas pela rotação de uma curva em torno de
um eixo.
– A curva que define a superfície é denominada
Meridiano.
04.05 – Classificação quanto à 
forma de geração
– Exemplos:
• Cúpulas esféricas: Meridiano é um círculo.
• Cúpulas parabólicas: Meridiano é uma parábola.
• Hiperbolóide de revolução: Meridiano é uma hipérbole.
– Pode ser gerado também com um meridiano constituído
de uma reta reversa em relação ao eixo de revolução. Por
isso é classificado também como superfície regrada.
04.05 – Classificação quanto à 
forma de geração
• Superfícies de translação:
– Obtidas pela translação de uma curva (geratriz)
apoiada sobre uma ou duas curvas (diretrizes).
– Exemplos:
• Casca cilíndrica: Geratriz é um círculo.
• Parabolóide hiperbólico: Geratriz é uma parábola, diretriz
é uma parábola com curvatura oposta.
• Parabolóide hiperbólico: Geratriz é uma reta, diretrizes
são duas retas reversas.
– Pelo fato de possibilitar a geração somente com retas a
superfície é denominada de regrada.
04.05 – Classificação quanto à 
forma de geração
• Superfícies de translação:
– Exemplos:
• Parabolóide elíptico: Geratriz é uma parábola, diretriz é
uma parábola com curvatura de mesmo sentido.
• Conóide: Geratriz é uma reta. Uma diretriz é uma reta a
outra é uma curva (círculo ou parábola) não coplanar à
primeira reta diretriz. Também pode ser entendido como
uma superfície regrada.
04.06. Tipologia de superfícies 
espaciais 
• Cascas cilíndricas:
– São superfícies desenvolvidas, geradas por
translação.
– A geratriz pode ser uma reta e a diretriz uma
curva (círculo, parábola, elipse).
– Podem ser entendidas também como geradas
pela translação de uma curva geratriz (círculo,
parábola ou elipse) apoiada sobre uma diretriz
reta.
04.06. Tipologia de superfícies 
espaciais 
• Cúpulas:
– São superfícies sinclásticas.
– O meridiano pode ser:
• Círculo: Cúpula esférica.
• Parábola: Cúpula parabólica.
• Elipse: Cúpula elíptica.
– Os paralelos são círculos.
04.06. Tipologia de superfícies 
espaciais 
• Parabolóides:
– São superfícies geradas pela translação de uma parábola
apoiada em outro parábola. A geratriz e a diretriz são
parábolas.
– Se as duas têm curvaturas de mesmo sentido, a superfície é
sinclástica. Se denomina Parabolóide Elíptico.
– Se as duas têm curvaturas de sentidos opostos, a superfície
é anticlástica. Se denomina Parabolóide Hiperbólico.
– Parabolóide Hiperbólico: Seções paralelas ao plano XY
(curvas de nível) definem hipérboles. Pode ser também uma
superfície regrada.
– Parabolóide Elíptico: Seções paralelas ao plano XY (curvas
de nível) definem elipses.
Parabolóides
04.06. Tipologia de superfícies 
espaciais 
• Elipsóide de revolução:
– Supefície de revolução onde o meridiano é uma elipse.
– Superfície sinclástica.
– “Elipse no rolete”.
• Hiperbolóide de revolução:
– Pode ser gerado pela revolução de uma hipérbole em torno
de uma eixo de rotação.
– Pode ser gerado também pela revolução de uma reta
reversa ao eixo de rotação.
• Superfície regrada.
– É uma superfície anticlástica.
– Muita usada em telhas protendidas. Fatias da superfície.
Hiperbolóides de revolução
04.06. Tipologia de superfícies 
espaciais
• Conóide:
– Pode ser gerado pela translação de uma reta
(geratriz) apoiada em uma diretriz reta e outra
curva (círculo, elipse).
– È uma superfície anticlástica.
• Embora uma das curvaturas seja nula, a da geratriz, a
direção da mesma não é direção principal.
• Nas direções principais as duas curvaturas têm sentidos
opostos.
– Exemplo de associação de conóides em uma
cobertura tipo shed:
Conóides
04.07. Cascas cilíndricas -
Abóbodas
• Elementos principais:
– Casca
• Seção Circular, Parabólica ou Eliptica.
– Viga ou tensor de bordo
• Absorve os esforços de tração.
• Altura (h) ≈ 15 cm.
– Vão: L
– Flecha: f
– Tímpano:
• Pode ser em formato de:
• Arco
• Maciço
• Diafragma
30
Lhf 
Cascas cilíndricas
Arcos apoiados em vigas
 Arco:
Transmissão transversal.
 Viga:
Transmissão longitudinal.
 Aberturas podem ser feitas na 
casca sem prejuízo da 
estabilidade.
 A altura da viga deve ser 
compatível com o vão 
L/10~L/15
Abóboda
 Todo o conjunto trabalha 
solidariamente.
 Tirante: Concentra esforço de 
tração.
 Aberturas não podem ser 
feitas na casca sem prejuízo 
da estabilidade. Analisar 
tensões.
 Não existe mais a viga 
trabalhando à flexão.
04.07. Cascas cilíndricas -
Abóbodas
• Ação portante
– Uma folha dobrada é mais rígida que uma folha plana.
– Na direção longitudinal, a compressão na casca e a tração
no tirante garantem o funcionamento como viga.
– O efeito de arco é responsável pela distribuição transversal.
– Tensões que se manifestam:
• Tensão normal na direção longitudinal: NL
• Tensão normal na direção transversal: NT
• Esforço cortante na direção longitudinal: QTL
• Esforço cortante na direção transversal: QLT
04.07. Cascas cilíndricas -
Abóbodas
• Ação portante
– Diagrama de tensões normais longitudinais NL:
• Compressão na casca:
– Máxima no vértice.
– Nula junto ao tirante.
– Tração constante no tirante.
– Diagrama de tensões normais transversais NT:
• Máximas no vértice.
• Nulas nas extremidades inferiores.
04.07. Cascas cilíndricas -
Abóbodas
• Isostáticas de tração e compressão:
– Em cada ponto tem-se: NT, NL, QTL, QLT.
– Para cada ponto, dado um ângulo , pode se calcular N,
N+90, Q, Q+90.
– Para cada ponto existe um ângulo  tal que:
• N = máximo (tração); N+90 = mínimo (compressão)
• Q = 0; Q+90 = 0
– Os ângulos  e +90 definem as direções principais.
– As linhas que unem em cada ponto as direções principais
são denominadas de isostáticas de:
• Esforços máximos (isostáticas de tração).
• Esforços mínimos (isostáticas de compressão).
04.07. Cascas cilíndricas -
Abóbodas
• Influência da curvatura:
– Caso a curvatura do arco obedeça a linha de
pressão do carregamento, desaparece o
funcionamento longitudinal do conjunto. A
resistência longitudinal recai sobre o tensor, que
passa a funcionar como viga.
– O conjunto passa a funcionar como uma série de
arcos paralelos apoiados sobre uma viga de
bordo.
• NL = 0
• QTL = QLT = 0
04.07. Cascas cilíndricas -
Abóbodas
• Influência da curvatura:
– Caso a curvatura do arco obedeça a linha de
pressão do carregamento, desaparece o
funcionamento longitudinal do conjunto. A
resistência longitudinal recai sobre o tensor, que
passa a funcionar como viga.
– O conjunto passa a funcionar como uma série de
arcos paralelos apoiados sobre uma viga de
bordo.
• NL = 0
• QTL = QLT = 0
04.07. Cascas cilíndricas -
Abóbodas
• Inclinação da casca no bordo:
– O plano do tirante de bordo deve ser paralelo ao vértice
inferior da casca.
– Evitar transições bruscas. O desvio da força de compressão
na casca gera um componente horizontal que empurra o
tirante para fora..
– Usar curvas de transição quando necessário.
– O desvio brusca da força de compressão na casca gera um
força horizontal que produz flexão na extremidade da casca.
• O problema pode ser minorado com o enrijecimento do bordo.
Tensões na direção longitudinal
Tensões na direção transversal
Eladio Diestes
Vitória Santo Antão (PE)
Eladio Diestes
Rio do Sul (SC)
Viga horizontal para contenção da 
componente horizontal da força normal.
Pier Luigi Nervi
Hangar em Orvieto (IT)
Oscar Niemeyer
Oscar Niemeyer
Memorial América Latina
04.08 - Cúpulas
• Tensões de membrana:
– Somente tensões normais ao longo dos
meridianos e ao longo dos paralelos.
– Condições para ocorrência somente de tensões
de membrana:
• Carregamento simétrico.
• Apoio tangente à cúpula.
– Apoio não tangente gera distúrbios de borda.
• Apoio contínuo
– Apoios discretos, pontuais, geram distorções nos esforços
na região de aplicação. Solução adotada por Nervi no
Palacete dos Desportes em Roma:
Cúpulas
04.08 - Cúpulas
• Ação portante de uma cúpula esférica com
carga q uniformemente distribuída:
– Acima do paralelo de 52 graus o carregamento
comprime os anéis (paralelos).
– Abaixo do paralelo de 52 graus o carregamento
traciona os anéis (paralelos).
– O ângulo de 52 graus corresponde ao ponto onde
a Linha de pressão do carregamento, parábola,
intercepta o eixo do meridiano.
– Demonstrar através do equilíbrio de fatias de peso
constante.
Esforços
Cúpulas cilíndricas X esféricas
 Na cúpula esférica o desvio 
do eixo do meridiano em 
relação à linha de pressão do 
carregamento é compensado 
com solicitações nos anéis 
(paralelos).
 Na cúpula parabólicas os 
anéis (paralelos) não são 
solicitados.
Tensões nos paralelos
Tensões nos meridianos
04.08 - Cúpulas
• Perturbações de borda:
– O apoio, quando não é tangente à cúpula, deve permitir a
translação do meridiano, afim de não se gerar uma reação
horizontal.
– Uma eventual força horizontal introduz flexão na
extremidade da placa. O bordo deve ser enrijecido à flexão.
– A solução do apoio tangente elimina o problema.
– Quando o apoio não é tangente pode se executar um anel
de bordo afim de confinar as forças horizontais.
• Este anel de bordo pode ser protendido.
• Em cúpulas abatidas, muito rebaixadas, existe uma transição
brusca de um paralelo comprimido para um anel de bordo
tracionado.
Pier Luigi Nervi
Palacete dos Esportes (Roma)
Pier Luigi Nervi
Palacete dos Esportes (Roma)
Pier Luigi Nervi
Palacete dos Esportes (Roma)
Palacete dos Esportes (Roma)
Pier Luigi Nervi
Palácio dos Esportes (Roma)
Palácio dos Esportes (Roma)
04.09 – Parabolóides 
Hiperbólicos
• Características:
– Pelo fato de serem formados por superfícies anticlásticas
são muito rígidos, vencendo grandes vãos.
– Podem ser empregados em coberturas de grandes, sapatas
de fundações, coberturas isoladas.
– Como são superfícies regradas são facilmente moldáveis
em concreto armado. As fôrmas podem ser constituídos por
faixas retas.
– As superfícies regradas apresentam vantagens de
associação, gerando fôrmas bastante criativas.
04.09 – Parabolóides 
Hiperbólicos
• Ação portante:
– Pelo fato de ser uma superfície anticlástica, o
parabolóide hiperbólico reúne o comportamento
de arco em uma direção com o de cabo em outra
direção.
– Os arcos e cabos se apóiam nos bordos do
parabolóide onde ocorrem somente esforços
normais de tração e compressão, dependendo de
como estejam apoiados:
– Exemplo de uma superfície hypar (parabolóide
hiperbólico), gerada com retas:
04.09 – Parabolóides 
Hiperbólicos
Parabolóide Hiperbólico
04.09 – Parabolóides 
Hiperbólicos
• Combinações de folhas hypar:
– Superfícies hypar geradas com retas definem
contornos regulares em planta, retângulo,
quadrados.
– O agrupamento destas folhas pode gerar outras
formas muito criativas:
• Cobertura do prédio da engenharia civil - EPUSP
04.09 – Parabolóides
Hiperbólicos
04.09 – Parabolóides 
Hiperbólicos
• Combinações de folhas hypar:
– Coberturas para ponto de ônibus
– Fundações em sapatas.
• Observar a figura invertida
Exemplo de projeto
Exemplo de projeto
Exemplo de projeto
Parabolóide Hiperbólico
Associações de folhas hypar
Superfícies Hypar regradas
Superfícies Hypar regradas
Superfícies Hypar regradas
Exemplo
•Cobertura 40X40 metros. Altura 10 metros.
•Espessura de 10 cm.
•Bordos 30X30 cm.
•Pilar vazado, fe 80 cm, fi 50 cm. Altura 10 metros.
Deformada
Tensões máximas
Tensões mínimas
Esforços Normais nos bordos
Superfícies Hypar regradas
Catedral St Mary – San 
Francisco – P.L.Nervi
Catedral St Mary – San 
Francisco – P.L.Nervi
Catedral St Mary – San 
Francisco – P.L.Nervi
Catedral St Mary
Catedral St Mary
Sagrada Família
Kenzo Tange (Tokyo)
Igreja da Virgem Milagrosa 
(Mexico) – Felix Candela
Igreja da Virgem Milagrosa 
(Mexico) – Felix Candela
Ponto de ônibus
Ponto de ônibus
04.09 – Parabolóides 
Hiperbólicos
• Combinações de folhas hypar:
– Com bordos retos: Catedral de St Mary.
– Com bordos curvos
Superposição de Hypar’s
Felix Candela
Ópera de Sidney
John Utzon
Ópera de Sidney
John Utzon
Ópera de Sidney
John Utzon
Terminal TWA – Aeroporto JFK
Arquiteto: Eero Saarinem
Aeroporto St Louis