História da Engenharia Estrutural

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01.08 - Histórico
As primeiras construções
A Torre de Babel
Alguns homens, partindo para o 
oriente, encontraram na terra de 
Senaar uma planície onde se 
estabeleceram.
E disseram uns aos outros: 
“Vamos, façamos tijolos e 
cozamo-los no fogo.” Serviram-se 
de tijolos em vez de pedras, e de 
betume em lugar de argamassa.
Depois disseram: “Vamos, 
façamos para nós uma cidade e 
uma torre cujo cimo atinja os 
céus. Tornemos assim célebre o 
nosso nome, para que não 
sejamos dispersos pela face de 
toda a terra.”
O período egípcio
• Desde os tempos remotos, quando as pessoas 
começaram a construir, verificou-se a necessidade 
de dominar o conhecimento da resistência dos 
materiais estruturais, com o que pode-se projetar 
elementos com dimensões seguras.
• Os Egípcios detinham o conhecimento de regras 
empíricas, o que justifica a construção de grandes 
monumentos, templos, pirâmides e obeliscos, 
alguns dos quais existentes até hoje.
Egito
HOW THE EGYPTIANS BUILT THE PYRAMIDS
BY RICHARD KOSLOW
If people can lift water with a counter weight, why 
not use the same principle to lift stones, huge 
stones, like the ones used to build the pyramids? 
Back in ancient Egypt, a device called a shadoof
was commonly used to move water. A shadoof is 
a long pole, weighted at one end, perhaps with a 
stone, and a vessel on the other end, used for 
raising water to irrigate the land. They pulled 
down the vessel, filled it under the water, and 
then easily lifted it by the counter weight. These 
water lifting machines showed that the Egyptians 
knew something about weights, fulcrum, and 
balance long before they built the pyramids.
HOW THE EGYPTIANS BUILT THE PYRAMIDS
BY RICHARD KOSLOW
Pirâmides
• Os Gregos desenvolveram a arte da 
construção. São precursores da estática que 
dá suporte à mecânica dos materiais.
• Archimedes (287-212 aC): Determinação do 
centro de gravidade dos corpos, o que 
auxiliou no içamento de colunas e vigas na 
construção e na determinação do equilíbrio.
O Período Grego
O Período Grego
Grécia
Partenon
Partenon
O Período Romano
• Os romanos eram grandes construtores: 
templos, estradas, pontes e fortificações: 
– Vitruvius arquiteto e engenheiro romano do tempo 
do Imperador Augustus publicou um livro com a 
descrição dos métodos construtivos, os materiais 
estruturais e os tipos de construções.
– Passaram a utilizar os arcos como elemento 
estrutural, construindo pontes e aquedutos.
O Período Romano
Roma
Arenas esportivas
Arcos romanos
Pont Du Gard
Técnicas de projeto
• Engenharia fundamentada na experiência:
– “Deu certo uma vez, vai dar certo sempre!”
• Ausência quase total de modelos 
matemáticos.
• Não existia distinção entre engenharia e 
arquitetura:
– O construtor era o artista. A arte e técnica se 
misturavam.
• Marcos Vitruvis
Idade Média
• Muito do conhecimento acumulado pelos 
gregos e romanos da engenharia estrutural 
foi perdido na Idade Média. Período da 
história européia compreendido entre a 
queda do Império Romano do Ocidente, no 
século V, e a afirmação do capitalismo sobre 
o modo de produção feudal, o florescimento 
da cultura renascentista e os grandes 
descobrimentos.
Período gótico
Em busca do conhecimento
Período renascentista
• Início das preocupações com modelos 
mais precisos para compreensão do 
comportamento das estruturas.
• Galileo Galilei: 1564-1642
• Leonardo da Vinci: 1452-1519
Leonardo da Vinci (1452-1519)
• Grandes descobertas em vários ramos da ciência.
• Interesse pela mecânica – Mecânica é o paraíso da ciência 
matemática porque aqui nós encontramos os frutos da 
matemática.
• Aplicou o conceito do princípio dos trabalhos virtuais para 
analisar vários sistemas de polias e alavancas, como as usadas 
em sistemas de içamento.
• Tinha a idéia correta do empuxo produzido por um arco.
• Estudou a resistência dos materiais estruturais 
experimentalmente.
• Estudou o comportamento das vigas (flexão) e concluiu que a 
resistência de vigas apoiadas em suas extremidades varia 
inversamente ao seu comprimento e diretamente a sua largura, 
e foi pioneiro no uso da Estática para a determinação de forças 
atuantes em partes das estruturas.
Galileu Galilei (1564-1642)
• Publicou o livro “Discorsi
e Dimostrazioni
Matematiche, intorno à
Due Nuove Scienze” –
“Two New Science”, que 
representou um esforço 
no sentido de viabilizar 
métodos aplicáveis à
análise de tensões em 
uma seqüência lógica.
Galileo Galilei
• 1564: Nasceu em Pisa – Itália.
• 1575-1577: Estuda em Florença.
• 1581-1585: Estuda medicina na Universidade 
de Pisa, não conclui o curso e mostra grande 
atração pelo estudo da matemática.
• 1589-1592: Professor de matemática, e dá o 
início ao estudo da dinâmica estabelecendo 
as bases como nós conhecemos “De Motu
Gravium”.
Galileo Galilei
• 1592-1610: Publica em Padua “Della Scienza
Meccanica” (1594). Um tratado de mecânica onde 
vários problemas de estática foram tratados 
utilizando o princípio dos deslocamentos virtuais. 
Trabalha como consultor da indústria da construção 
naval e está interessado na resistência dos 
materiais. Interessou-se por astronomia, construindo 
um telescópio com amplificação de 32X com o qual 
descobriu montanhas na lua, os satélites de Júpiter e 
etc. Adepto à teoria de Copérnico (o Sol como eixo 
do universo e em torno do qual giram a Terra e os 
outros planetas) contrária aos dogmas da Igreja da 
época.
Galileo Galilei
• 1610-1638: Recebe advertência da Inquisição (1616) para 
abandonar as idéias do sistema heliocêntrico. Publicou livro 
sobre suas observações que foi proibido pela Igreja Católica 
(1632). Foi julgado e condenado a cárcere privado (1633) e 
viveu em Arcetri onde retomou os estudos da mecânica. Nesse 
período escreveu o “Two New Science” (1638) que mostra todo 
o seu conhecimento nos vários campos da mecânica 
constituindo-se na primeira publicação nos campos da 
resistência dos materiais e o início da mecânica dos corpos 
elásticos (pe. propriedades mecânicas dos materiais estruturais, 
resistência das vigas). Estudou as relações de momentos e 
dimensões.
• Início da ciência da Resistência dos Materiais – 1638.
• Resistência à tração de uma corda
• Resistência à flexão de vigas:
Estudos sobre flexão em vigas
Hipótese errada!
Peso próprio
Carga 
concentrada
Idéias de Galileo
• “A resistência de uma barra tracionada é
proporcional à sua área de seção transversal 
e independente do comprimento”:
– Resistência absoluta à fratura.
• “Como e em que proporção pode uma verga, 
ou mesmo um prisma cuja altura e maior que 
sua espessura, oferece mais resistência a 
fratura quando a força é aplicada na direção 
de sua largura do que na direção de sua 
espessura?”
Idéias de Galileo
• “Nas vigas em balanço, similares geometricamente e 
sujeitas à ação de seu peso próprio, concluiu que 
enquanto o momento fletor aumenta na proporção do 
comprimento elevado a quarta potência, o momento 
resistente é proporcional ao cubo da dimensão 
linear. O que indica que vigas geometricamente 
similares não são igualmente resistentes. As vigas 
tornam-se mais fracas com o aumento das 
dimensões e finalmente, quando são maiores, elas 
podem romper sob a ação unicamente de seu peso 
próprio.”
– Tamanho LIMITE!!!!
A fragilidade dos gigantes
2X
80Kgf
Área ( 20 cm) 640Kgf
Área ( 40 cm)
A fragilidade dos gigantes
Viga em balanço
• Seção 20X40 – L = 500 cm.
• Peso específico:  = 25 kN/m3.
• Tensão admissível:  = 10 MPa: 104 kN/m2.
• Momento resistente:
kNmbHMr 33,536
2
 
• Momento solicitante:
kNmbHLMs 00,252
2
  53,1% menor!!!!
Viga em balanço
• Seção 40X80 – L = 1000 cm.
• Peso específico:  = 25 kN/m3.
• Tensão admissível:  = 10 MPa: 104 kN/m2.
• Momento resistente:
(8X) kNmbHMr 67,4266
2
 
• Momento solicitante:
(16X) kNmbHLMs 00,4002
2
  6,2% menor!!!!
Carga adicional no balanço
• Seção 20X40:
kNMMP sra 67,500,5
00,2533,53
00,5
)( 
• Seção 40X80:
kNMMP sra 67,200,10
00,40067,426
00,10
)( 
Século XVII
• Rápido desenvolvimento na matemática, 
astronomia e nas ciências naturais
• Interesse de estudiosos no trabalho 
experimental.
• Universidades sob controle da Igreja, que 
não estava interessada no progresso 
científico,
• Organizaram-se sociedades científicas em 
muitos países da Europa:
Academias Nacionais de 
Ciência
• Na Itália a Accademia Secretorum Naturae (1560).
• Em Napoles, Accademia dei Licei (1603 – Galileu era 
membro)
• Em Roma, Accademia del Cimento. Após a morte de 
Galileo, em Florença.
• Royal Society (1662 – Robert Boyle, Christopher 
Wern, John Wallis e Robert Hooke) em Londres,
• Academia Francesa de Ciências (1666 – Gassendi, 
Descartes, Pascal e Mariotte) em Paris
• Academia Russa de Ciências (1725) em São 
Petersburgo
• Academia de Ciências de Berlim (1770).
Robert Hooke (1635-1703)
• Estudou em Oxford onde obteve o título de Mestre 
das Artes.
• Em 1658 trabalhou com Robert Boyle. 
• Após o grande incêndio de Londres em 1666:
– Designado como engenheiro responsável pela reconstrução. 
• 1678: “De Potentiá restitutiva” ou “Of Spring”
relato dos experimentos com corpos elásticos. 
• Primeiro trabalho que trata das propriedades 
elásticas dos materiais.
– “A relação linear entre a força e a deformação é a chamada 
Lei de Hooke, o que transformou-se na base onde se 
desenvolveu a mecânica dos corpos elásticos”.
Edme Mariotte (1620-1684)
• Físico francês:
– Foi um dos primeiros membros da Academia Francesa
– Um dos responsáveis pela introdução dos métodos experimentais 
na França.
• Trabalhou com Boyle (lei dos gases de Boyle-Mariotte:
– “Em temperatura constante o produto de uma massa fixa de gás 
pelo seu volume permanece constante”.
• Estabeleceu as leis do impacto e inventou o pêndulo balístico.
• Estudou a flexão de vigas:
– Questionou os valores das cargas de ruptura de Galileu.
– Determinou a posição da linha neutra e propôs sua própria teoria 
levando em consideração as propriedades elásticas dos materiais.
– Contribuiu muito no desenvolvimento da teoria da mecânica dos 
corpos elásticos pela introdução de considerações de deformações 
elásticas na teoria de flexão das vigas.
Bernoulli (final do século XVII 
e início do século XVII)
• Família holandesa de matemáticos.
– Deixaram a Holanda por problemas religiosos.
• Em 1699:
– Fizeram parte da Academia Francesa de Ciência (Jacob e 
John) como membros estrangeiros.
• Contribuíram para o desenvolvimento do cálculo 
infinitesimal iniciado por Leibnitz.
– Jacob estudou a forma da curva de deformação de uma 
barra de comportamento elástico (calculou a deformação 
das barras fletidas). 
– John foi o maior matemático da época e formulou o 
princípio dos deslocamentos virtuais. 
– Daniel filho de John contribuiu na hidrodinâmica e trabalhou 
junto com Leonard Euler.
Leonard Euler (1707-1783)
• Matemático:
– Era discípulo de John Bernoulli
– Obteve seu título de mestre aos 
dezesseis anos.
– Antes dos vinte publicou seu primeiro 
trabalho científico na Academia 
Francesa de Ciências.
• Trabalhou com Daniel Bernoulli na 
Academia Russa em São 
Petersburgo.
– Interessou-se principalmente pela forma 
geométrica das curvas elásticas.
– Aceitou a teoria de Jacob Bernoulli de 
que a curvatura de uma viga elástica 
em qualquer ponto é proporcional ao 
momento fletor no ponto.
Leonard Euler (1707-1783)
• Em seus estudos preocupou-se com as formas das 
curvas nas mais diversas situações de estruturas 
lineares e de carregamentos.
• Escreveu o livro “Mechanica sive motus scientia
analytice exposita” onde introduziu os métodos 
analíticos, em contraponto aos métodos geométricos 
usados por Newton.
• Euler aperfeiçoou os conhecimentos da época sobre 
cálculo integral, desenvolveu a teoria das funções 
trigonométrica e logarítmica e simplificou as 
operações relacionadas à análise matemática.
• Sua produção científica corresponde a uma das 
maiores do mundo.
Joseph Louis Lagrange (1736-
1813)
• Matemático e físico de Turim.
• Já aos dezenove anos tornou-se professor de 
matemática na Escola de Artilharia Real de Turim:
• Fundou a Academia de Ciências. 
• Substitui Euler na Academia de Berlim por 
recomendação deste e de D’Alembert, onde publicou 
uma importante série de artigos. 
• Sua contribuição para a resistência dos materiais foi 
mais de interesse teórico do que prático, seu método 
de coordenadas generalizadas e de forças 
generalizadas foi de grande valor na solução de 
problemas práticos.
SÉCULO XVII
• A investigação científica desenvolveu-se 
principalmente nas academias de ciências.
• Poucos pesquisadores estavam interessados 
na mecânica dos corpos elásticos.
• Galileu, Hooke e Mariotte estudaram 
algumas questões da elasticidade e 
resistência das estruturas motivados por 
problemas práticos e a curiosidade científica 
foi a principal causa do seu trabalho.
SÉCULO XVIII
• O resultado científico obtido em centenas de anos 
encontraram aplicações práticas.
• Os métodos científicos foram gradualmente 
introduzidos em vários campos da engenharia.
• Foi fundada a primeira escola de engenharia.
• Foram publicados os primeiros livros de engenharia 
estrutural:
– (pe. “La Science des Ingénieurs”de Bernard Forest de 
Belidor, França-1729).
• A França liderou o desenvolvimento da época, 
principalmente na mecânica dos corpos elásticos.
SÉCULO XVIII
• O desenvolvimento deveu-se muito às 
escolas militares criadas para treinar peritos 
em fortificações e artilharia.
• Em 1747 foi criada a famosa “École des
Ponts et Chaussées,” em Paris, para treinar 
engenheiros no trabalho de construção de 
estradas, canais e pontes.
• Em 1798 foi publicado o primeiro livro sobre 
resistência dos materiais por Girard.
Charles Augustin de 
Coulomb (1736-1806)
• Engenheiro militar.
• Nos intervalos de suas atividades profissionais, 
dedicava-se a investigações sobre propriedade 
mecânica dos materiais e vários problemas de 
engenharia estrutural:
– Comportamento na flexão, na torção, o atrito e a resistência 
das estruturas.
• Estudou com profundidade e escreveu, pela primeira 
vez, as equações que determinam o comportamento 
das seções transversais, sob diversos tipos de 
solicitações. 
• Nenhum outro cientista do século XVIII contribuiu 
tanto para a ciência dos corpos elásticos.
SÉCULO XIX
Henri Navier (1785-1836):
• Engenheiro francês. 
– Formulou a primeira teoria geral da elasticidade.
– Estudou a flexibilidade, a resistência dos materiais à tração 
e o escoamento de líquidos em tubos.
– Escreveu em conjunto com Gauthey uma obra em três 
volumes versando sobre pontes e canais.
– Interessou-se por pontes suspensas (“Raport et Mémoire
sur les Ponts Suspendus”) cujos estudos permanecem 
importantes até os dias de hoje. 
– Foi o primeiro a tratar do módulo de elasticidade para 
caracterizar o material e definia como “percentagem da 
carga por unidade de área de seção transversal para 
produzir uma deformação unitária”. 
– Generalizou o uso da equação da linha elástica:
– Foi o primeiro a analisar problemas estaticamente 
indeterminados.
Outras avanços do período:
• Uso do aço na construção de pontes 
(desenvolvimento da indústria, construção de 
estradas de ferro) – Inglaterra.
– Destacam-se William Fairbain (estudo das propriedades do 
aço)
– Eaton Hodgkinson (equilíbrio da seção transversal, L.N. na 
posição correta, ensaios de flexão e flambagem);
• Pontes penseis;
• Teoria dos arcos – estudada desde Coulomb, 
aprimorada por Lamé e Clayperon e depois por 
Navier;
Outros personagens do 
período:
• Jean Victor Poncelet
– Introduziu os efeitos das forças de corte no 
cálculo das flechas em vigas fletidas. Foi o criador 
da geometria descritiva.
• Thomas Young
– Introduziu o conceito de módulo de elasticidade, 
estudou problemas de impacto, analisou os 
efeitos de cargas excêntricas e de flambagem, 
etc.
Teoria da elasticidade
• Desenvolvimento obtido pela aplicação da 
matemática na teoria da elasticidade, onde 
destacam-se:
– Simeon Denis Poisson (provou que as três equações de 
equilíbrio são necessárias e suficientes para garantir o 
equilíbrio de qualquer parte do corpo),
– Augustin Cauchy (direção principal e tensões e deformações 
principais)
– Joseph Louis Lagrange. Desenvolve-se a equação aplicada 
às placas, por Sophie Germain auxiliada por Lagrange.
Primeira mulher!
Outros personagens
• Barré de Saint-Venant:
– Trabalhou com a teoria da flexão (como a conhecemos 
atualmente, cálculo de flechas, vigas balcão, princípio de), 
desenvolveu o estudo da torção.
• D. J. Jourawski:
– Análise das tensões de cisalhamento em vigas (ampliou os 
estudos de Saint-Venant) e das ligações.
• Benoit Paul Emile Clapeyron (1799-1864):
– Vigas continuas – equação dos três momentos
Outros personagens
• Jacques Antoine Charles Bresse: 
– Desenvolveu a teoria das barras curvas e sua aplicação no 
projeto de arcos.
– Utilizou os conceitos de núcleo central de inércia nos 
estudos de barras prismáticas comprimidas 
excentricamente.
– Deu uma grande contribuição para as discussões do 
princípio da superposição dos efeitos.
• E. Winkler
– Contribuiu com sua teoria de flexão de barras curvas
– Interessou-se pela engenharia de pontes e das questões de 
determinação dos carregamentos mais desfavoráveis.
– Apresentou contribuições à teoria da elasticidade.
Engenharia ferroviária
• Efeitos positivos do crescimento do transporte 
ferroviário no desenvolvimento de soluções 
estruturais e no uso do ferro em pontes.
• Passou-se das:
– Soluções com uso de pedra e ferro fundido para perfis de 
ferro maleável, mais resistentes à fadiga;
– Pontes penseis, pouco rígidas para suportar cargas pesadas 
em movimento, para pontes tubulares (Pontes de Britannia e 
Conway).
• Primeiras investigações de fadiga;
• Efeitos da pressão de vento e do efeito de 
temperatura na estrutura;
• Coeficiente de impacto;
• Flechas estáticas e dinâmicas.
Acidentes com pontes
• Várias ruínas em pontes de seção aberta 
ocorreram na Europa Oriental e na Rússia.
• As ruínas ocorreram devido à rigidez 
insuficiente do banzo superior comprimido.
Banzo superior comprimido 
com comprimento de 
flambagem muito grande.
Treliças
• Solução estrutural para vencer grandes vãos, 
conhecida desde a época dos romanos.
• Foi desenvolvida na Renascença por arquitetos 
italianos (Palladio em Trent com ±30m, treliça em 
madeira).
• No século XVIII ganhou força (pe. Grubenmann-
1778, com ±117m). 
• Em 1840, nos EUA passou a ser construída toda 
metálica (S.Whipple para estrada de ferro).
Treliças
• Sistema Warren.
• Sistema Jourawski, propõe método simplificado de 
análise para sistemas de composição complicada de 
barras (superposição de sistemas simples que juntos 
compõe a teliça complexa), resolve por tentativas 
treliças com três apoios.
• J.W.Schwedler:
– Analogia das vigas de banzos paralelos.
• A. Ritter: 
– Estabeleceu um método da análise considerando o 
equilíbrio das barras interceptadas por uma seção.
Mais personagens
• Karl Culmann (1821-1881)
– Teve um importante papel no desenvolvimento de 
processos de análise, mais fundamentados na teoria em 
contrapartida aos processos mais práticos e empíricos 
utilizados.
– Deu grande contribuição no uso de processos gráficos.
• W.J. Macquorn Rankine (1820-1872)
– Contribuiu com a teoria de flexão em vigas (efeito das 
tensões de corte nas deformações).
– Estudou a estabilidade e contenção de taludes (método de 
determinar as dimensões de paredes de contenção).
Mais personagens
• James Clerk Maxwell
– Inventor do processo gráfico de determinação de forças, 
divulgado posteriormente por Luigi Cremona, foi 
denominado por “Método de Cremona”.
– Estudou e resolveu treliças hiperestáticas e seu método foi 
muito importante na análise de estruturas estaticamente 
indeterminadas.
– Dez anos após, Mohr redescobriu o teorema de Maxwell 
(método de Maxwell-Mohr).
• Johann Bauschinger
– Foi pioneiro em conseguir traçar os diagramas de tensão-
deformação (x) do aço.
Otto Mohr (1835-1918):
• Estudou o comportamento de vigas contínuas, 
inclusive com apoios desnivelados.
• Aplicou na análise das vigas as curvas funiculares
obtendo a equação diferencial desta, concluiu que as 
deformações das vigas poderiam ser determinadas a 
partir de um carregamento fictício de intensidade 
M/EI (importante para vigas de inércia variável)
• Foi o primeiro a utilizar as linhas de influência para 
deformações de vigas
• Apresentou a representação gráfica das tensões em 
um ponto (círculo de Mohr).
Mais personagens
• Alberto Castigliano
– Aplicou os teorema de energia de deformação de 
Clayperon, a partir dos estudos de Green e Euler, e das 
conclusões de Menabréa, no cálculo de deformações 
elásticas (teoremas de Castigliano).
– Friedrich Engesser generalizou a teoria de Castigliano para 
estruturas de resposta não linear (energia complementar).
• L.Tetmajer
– Estudou a flambagem inelástica de colunas, seguido de 
F.S. Jasinsky.
Evolução
• Com os modelos matemáticos mais bem 
fundamentados surgem novos materiais: 
ferro, concreto.
• Edifícios de vários pavimentos estruturados 
em alvenaria.
• Primeiras obras de vulto em ferro fundido.
Palácio de Cristal (1851-1936)
Gustavo Eiffel (1832-1923)
• Engenheiro Francês.
• Construtor de pontes, torres, estátuas.
• Torre Eiffel.
Gustave Eiffel
• Comandou a construção de grandes viadutos 
metálicos sobre os rios Sioule e Garabit, na França, 
e da ponte sobre o Douro, no Porto.
• Construiu o pavilhão de Paris para a Exposição 
Internacional de 1878.
• Em 1889, para comemorar o centenário da revolução 
francesa, dirigiu a construção do que seria sua obra 
máxima, a torre Eiffel, de 300 metros de altura, que 
na época de sua inauguração causou grande 
polêmica.
Torre Eiffel
Viadutos
Estátua da Liberdade
Concreto Armado
• Joseph Louis Lambot
– Primeira publicação sobre concreto armado em 1850. 
Denominação original: Cimento Armado.
– Construiu uma canoa de cimento com uma malha de barras 
finas de arame, ou ferro. Cimento era mais durável que a 
madeira.
• 1855: Lambot expõe seu barco na Exposição 
mundial de Paris e solicita a patente de seu projeto.
– Junto com o desenho do barco havia o desenho de um pilar 
com 4 barras de ferro.
– O barco de Lambot tinha 4,00 metros de comprimento por 
1,30 de largura e paredes de 4 cm.
Concreto armado
• Joseph Monier
– Jardineiro que fabricava vasos e tubos de concreto desde 
1849.
– Incluiu uma malha de aço no meio dos vasos pois eram 
muito frágeis.
• 1867
– Apresenta o método construtivo na feira de Paris.
– Patenteia o método
• 1868-1873
– Construiu um reservatório de 25 m3.
– Construiu mais dois reservatórios, 180 e 200 m3.
• 1877
– Patenteia um sistema de construção de vigas de concreto 
armado sem qualquer embasamento teórico.
Século XX
Anos
1920-1960
• Engenharia estrutural baseada em modelos 
matemáticos.
• Ampla investigação experimental.
• Dificuldade de solução matemática dos 
grandes problemas estruturais.
– Integração de equações de placas.
– Solução de sistemas de equações.
Concreto Protendido
• Eugène Freyssinet
– Em 1934, na França, demonstra as vantagens do 
uso da protensão.
– O desenvolvimento da protensão começou 
verdadeiramente no final da segunda guerra 
mundial, em 1945, com o nascimento da STUP: 
Société Téchnique pour l’Utilization de la
Prècontrainte.
Esforços em placas
Esforços em placas
Esforços em placas
Tabelas para lajes
L
y
Lx
 Kx Ky mxG+ myG+ xG yG mxM+ mxM- myM+ myM-
0,50 0,865 0,135 9,250 26,307 0,180 0,253 11,283 0,000 35,237 14,800
0,55 0,814 0,186 9,830 23,105 0,205 0,289 12,367 0,000 32,475 12,999
0,60 0,755 0,245 10,592 20,919 0,227 0,319 13,695 0,000 30,704 11,769
0,65 0,691 0,309 11,570 19,471 0,243 0,342 15,293 0,000 29,608 10,954
0,70 0,625 0,375 12,802 18,576 0,255 0,359 17,188 0,000 28,975 10,451
0,75 0,558 0,442 14,328 18,111 0,262 0,368 19,408 0,000 28,661 10,189
0,80 0,494 0,506 16,192 17,988 0,264 0,371 21,985 0,000 28,581 10,120
0,85 0,434 0,566 18,440 18,147 0,261 0,367 24,960 0,000 28,685 10,209
0,90 0,379 0,621 21,122 18,540 0,256 0,360 28,377 0,000 28,950 10,431
0,95 0,329 0,671 24,290 19,136 0,248 0,348 32,288 0,000 29,367 10,766
1,00 0,286 0,714 28,000 19,908 0,238 0,335 36,750 0,000 29,931 11,200
1,05 0,248 0,752 32,310 20,837 0,227 0,320 41,824 0,000 30,640 11,722
1,10 0,215 0,785 37,282 21,907 0,216 0,304 47,576 0,000 31,490 12,325
1,15 0,186 0,814 42,980 23,107 0,205 0,289 54,072 0,000 32,477 13,000
1,20 0,162 0,838 49,472 24,427 0,194 0,273 61,383 0,000 33,596 13,742
1,25 0,141 0,859 56,828 25,859 0,183 0,258 69,583 0,000 34,841 14,548
1,30 0,123 0,877 65,122 27,397 0,173 0,243 78,746 0,000 36,208 15,413
1,35 0,107 0,893 74,430 29,037 0,163 0,230 88,950 0,000 37,690 16,336
1,40 0,094 0,906 84,832 30,773 0,154 0,217 100,278 0,000 39,284 17,313
1,45 0,083 0,917 96,410 32,603 0,145 0,204 112,811 0,000 40,983 18,342
1,50 0,073 0,927 109,250 34,523 0,137 0,193 126,637 0,000 42,785 19,422
1,55 0,065 0,935 123,440 36,531 0,130 0,182 141,845 0,000 44,686 20,552
1,60 0,058 0,942 139,072 38,625 0,123 0,173 158,526 0,000 46,682 21,730
1,65 0,051 0,949 156,240 40,803 0,116 0,163 176,776 0,000 48,772 22,955
1,70 0,046 0,954 175,042 43,064 0,110 0,155 196,692 0,000 50,952 24,227
1,75 0,041 0,959 195,578 45,406 0,104 0,147 218,375 0,000 53,220 25,545
1,80 0,037 0,963 217,952 47,828 0,099 0,139 241,928 0,000 55,575 26,908
1,85 0,033 0,967 242,270 50,330 0,094 0,132 267,459 0,000 58,014 28,315
1,90 0,030 0,970 268,642 52,910 0,090 0,126 295,077 0,000 60,538 29,766
1,95 0,027 0,973 297,180 55,567 0,085 0,120 324,894 0,000 63,143 31,262
2,00 0,024 0,976 328,000 58,302 0,081 0,114 357,027 0,000 65,829 32,800
Resolução de pórticos
X7
01
X2
X1
X3
03
X9
X14
X8
05
X13
X15
07
X19
X21
09
X20
X10
02
04
X5
X6
X4
X12
06
08
10
X17
X11
X18
X16
X24
X22
X23






242424,2433,2422,2411,24
22420,233,222,211,2
12420,133,122,111,1
...
....
...
...
bXaXaXaXa
bXaXaXaXa
bXaXaXaXa
Processo de Cross
Ferramentas de cálculo
Ferramentas de cálculo
Anos 1920-1960
• Uso de métodos aproximados para soluções 
de problemas estruturais:
– Método de Cross, Método de Cremona.
• Uso sistemático de tabelas:
– Tabelas de lajes. Tabelas de concreto armado.
• Uso de réguas de cálculo.
• Aparecimento da figura do “calculista”
– O cálculo estrutural se tornou uma especialidade 
dominada por poucos com desenvoltura para 
matemática.
Anos 1960-2000
• Advento dos computadores
• Desenvolvimento da Análise Matricial de 
estruturas.
• Desenvolvimento do Método dos Elementos 
Finitos.
• Valorização da modelagem numérica em 
detrimento da modelagem física.
• Os grandes problemas matemáticos 
encontram fácil solução computacional.
Século XXI
• O engenheiro está liberado das atividades de 
cálculo.
• Não se exige mais a mesma desenvoltura 
matemática.
• O computador se torna uma ferramenta de 
cálculo.
• Maior tempo para criatividade e busca de 
soluções.
Modelagem computacional
Modelagem computacional
Modelagem computacional
Modelagem computacional
Modelagem computacional
Laje apoiada sobre pilares
Modelagem computacional
Base de um reservatório
Modelagem computacional
Chaminé para termo-elétrica
Segundo modo de vibração
Terceiro modo de vibração
Modelagem física – Túnel de vento
Modelagem física
Século XXI
• Valorização da figura do “engenheiro de 
estruturas”.
• Foco na pesquisa de soluções.
– Simulações são feitas rapidamente.
– Estudo de soluções alternativas.
• Forte interação da estrutura com outras 
disciplinas.
– O engenheiro deve conhecer agora a interface de 
seu problema com os outros.
01.05 Ciclo do projeto estrutural
I. Definição do sistema estrutural
Pré-dimensionamento
II. Avaliação de cargas
III. Análise estrutural
IV. Dimensionamento
V. Detalhamento
VI. Geração de desenhos e 
relatórios
Custos
VII. Orçamento
Tempo de projeto
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
I II III IV V VI
1950
2000
Engenharia estrutural 1950
• Preocupação principal com a estabilidade.
– Estados Limites últimos.
• Pouca ou quase nenhuma preocupação com 
a deformabilidade.
– Estados Limites de utilização.
• Nenhuma preocupação com a durabilidade.
• Projetos desvinculados do processo 
executivo.
• Pouca integração com outras disciplinas.
• Figura do calculista de estruturas.
Engenharia estrutural 2000
• Preocupação com a estabilidade é premissa.
• Forte preocupação com a deformabilidade.
• Forte preocupação com outros estados 
limites de utilização: fissuração, vibrações,..
• Forte preocupação com a durabilidade.
• Decisões de projeto orientadas pelo processo 
executivo.
• Forte integração com outras disciplinas.
• Figura do engenheiro de estruturas.
Evolução das normas
• Anos 1950´s
– Foco na garantia da estabilidade estrutural.
– Segurança contra estados limites último.
• Anos 2000´s
– Foco no uso da estrutura.
– Garantia contra estados limites de utilização.
– Garantia de durabilidade.
O uso do computador
• Elimina atividades de cálculo.
• Libera o tempo do engenheiro para 
atividades criativas.
• Permite simulações rápidas e pesquisa da 
melhor solução.
• Atenção:
– Não identifica erros de concepção!
– A engenharia é do engenheiro!