AULA DE REVISÃO 1

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CÁLCULO IV
AULA DE REVISÃO 1 hora: 49min 18seg
AULA 1 - INTEGRAIS MÚLTIPLAS
INTEGRAL DUPLA
CÁLCULO DA INTEGRAL DUPLA
RESOLVER PRIMEIRO A INTEGRAL MAIS INTERNA
RESOLVER AGORA A SEGUNDA INTEGRAL A PARTIR DO RESULTADO DA PRIMEIRA.
PORTANTO,
TEOREMA DE FUBINE
Onde 
EXEMPLO
Integrais dupla sobre regiões mais gerais 
Exemplo
	Use a integral dupla para calcular a área da região R limitada por y = x2, y = 0 e x = 2.
EXEMPLO
	Use a integral dupla para calcular a área da região R limitada por y = x2, y = 0 e x = 2
Aula 2:   MUDANÇA DE VARIÁVEL NAS INTEGRAIS DUPLAS
	Veja que na integração das funções de uma variável, realizamos também a mudança de variável ou substituição. Nesse caso ela é representada por: 
Onde a = (c) e b = (d)
EXEMPLO
	Seja a integral dupla 
	Onde D é a região definida por: y + x = 3, y + x = 5, y - x = 1 e y - x = 3.
	Considere: u = x + y e v = y - x
u = x + y y = u - x substituindo em v = y - x temos v = u - x - x então x = (u - v)/2.
v = y - x v - y = - x y - v = x substituindo em u = x + y temos u = y - v + y então u = 2y - v y = (u + v)/2.
	Portanto, x = (u - v)/2 e y = (u + v)/2.
	Considerando x = (u - v)/2 e y = (u + v)/2, calculamos o determinante do jacobiano.
	
	Escreveremos então a integral como: 
	Para resolvermos a integral precisamos delimitar a região de integração.
	Veja os gráficos das regiões. 
Mudança de Variável Polar
	As equações x = rcosϴ e y = rsenϴ, nos dão as coordenadas cartesianas de um dado ponto em termos de suas coordenadas polares. Neste caso, temos uma transformação que leva pontos (r, ϴ) do plano rϴ a pontos (x, y) do plano xy.
EXEMPLOS
INTEGRAIS TRIPLAS
Teorema: Toda função w = f(x, y, z) contínua em R é integrável sobre R.
Funções limitadas cujos conjuntos de descontinuidade podem ser descritos como união finita de gráficos de funções continuas são integráveis.
Teorema de Fubine
Se z= f(x, y, z) é contínua em R = {(x, y, z) | a < x < b, c < y < d, p < z < q}, então a integral tripla de f sobre R pode ser obtida através de integrais iteradas, ou seja:
EXEMPLO
AULA 3: MUDANÇA DE VARIÁVEL NA INTEGRAL TRIPLA
 	O problema da mudança de variáveis em integrais triplas é inteiramente análogo ao problema de mudança de variáveis em integrais duplas.
 	Veremos dois casos particulares de mudança de variáveis em integrais tripla: 
Sistemas de coordenadas cilíndricas
Sistema de coordenadas esféricas
MUDANÇA DE VARIÁVEIS CILÍNDRICAS
EXEMPLO
	Calcule a integral sendo Q o sólido limitado pelo cilindro x2+ y2 ≤ 1 e pelo plano z = 0 e pelo paraboloide z = 4 - y2 - x2.
	Observe geometricamente o sólido: 
 	Observemos que das equações z = 4 - y2 - x2 e x2 + y2 = 1, concluímos que z = 3, ou seja, a interseção ocorre no plano z = 3.
	As coordenadas cilíndricas serão:
	Concluímos que os limites de integração do sólido serão:
	Escreveremos a integral tripla como:
	Observe que trocamos a ordem de integração para começar por z, pois o limite de z contém uma função que depende de r.
MUDANÇA DE VARIÁVEIS ESFÉRICAS
	Um ponto P com coordenadas retangulares (x, y, z) tem coordenadas esféricas (,ϴ,), onde:
 é a distância do ponto P a origem
 ϴ é o angulo formado pelo eixo positivo dos x e o segmento de reta que liga a origem a P
 é o angulo formado pelo eixo positivo dos z e o segmento de reta que liga P a origem.
AULA 4: INTEGRAIS CURVILÍNEAS
Integral de Linha de função escalar
Lembre - se: 
EXEMPLO
	Calcule a integral de linha , sendo C o segmento que une o ponto A(-1, 0) ao ponto B(2, 3).
1o Passo: Definir a equação cartesiana da curva 
y – 0 = (x + 1) y = x + 1 (reta) 
2o Passo: Parametrizar a curva Utilizar a parametrização natural (t) = (t, t + 1), portanto teremos o intervalo t [-1, 2]. 
3o Passo: Calcular o '(t) ’(t) = (1, 1) | ’(t) | = 
4o Passo: Aplicar na integral 
 x = t y = t + 1
EXEMPLO 
	Considere o campo vetorial F(x, y, z) = (x, y, z2) e o caminho (t) = (cos t, sen t, t2) onde 0 ≤ t ≤ π. Calcule a integral curvilínea (integral de linha de campo vetorial) .
	Portanto, podemos escrever a integral como: 
.
	Observe que, nesse exemplo, a parametrização foi dada.
FUNÇÃO POTENCIAL
	Se F = (F1, F2, F3) é um campo vetorial gradiente de uma função potencial f em um aberto U ⊂ , então:
EXEMPLO: 
	Considere o campo gradiente F(x, y) = (e-y - 2x, - xe-y - sen y). Calcule a integral , onde C é qualquer curva C1 por partes de A = (, 0) até B = (0, ).
	Pelo teorema anterior temos 
1o Passo: f é uma função potencial de F em R2, que será determinada usando integrais indefinidas.
	Integrando em relação a x teremos: f(x, y) = x e(-y) - x2 +A(y). 	
	Integrando em relação a y teremos: f(x, y) = x e(-y) + cos y +B(x). 
	Para encontrarmos os valores de A(y) e B(x) deveremos comprar ambas as funções encontradas f(x, y) = x e(-y) - x2 + A(y) e f(x, y) = x e(-y) + cos y +B(x). Observe que elas têm em comum x e(-y) portanto este termo existe na função f(x, y). Por comparação podemos dizer que A(y) = cos y e B(x) = - x2. Portanto f(x, y) = x e(-y) + cos y - x2. 
2o Passo: Aplicando o teorema
EXEMPLO: Determine a função potencial para o campo gradiente F(x, y) = ( ex sen y, ex cos y). 
OBSERVAÇÃO: expx é a exponencial elevada a x, esta função pode ser escrita também como ex. 
1o Passo: 
	Integrando em relação a x teremos:
 f(x, y) = ex sen y + A(y). 	
	Integrando em relação a y teremos:
 f(x, y) = ex sen y + B(x). 	
	
TEOREMA DE GREEN
	Seja D uma região fechada e limitada do plano xy, cuja fronteira está orientada positivamente e é parametrizada por uma função por partes, de modo que seja percorrida apenas uma vez.
	Se F(x, y) = (F1(x, y), F2(x, y)) é um campo vetorial de classe C1 em um subconjunto aberto que contém D, então:
EXEMPLO
	Usando o teorema de Green, calcular 
	Considere o triângulo de vértices (0,0), (1,2) e (0,2), no sentido anti-horário.	
	Usando o Teorema de Green:
AULA 5: INTERPRETAÇÃO VETORIAL DO TEOREMA DE GREEN
	Normalizando o vetor ′ (t), e consequentemente, para não modificar a expressão multiplicando por ‖ ′ (t) ‖, podemos escrever:
	Usando a notação de T(t), podemos escrever:
	Portanto, o Teorema de Green pode ser reescrito como:
	Este resultado será visto em aulas posteriores, como um caso particular do Teorema de Stokes.
	Dois vetores são perpendiculares se o produto escalar (produto interno) de F.G = 0.
	Tomando F = (F1, F2) como o vetor tangente à curva e G como o vetor normal, portanto G tem que ser (- F2, F1), para que seja satisfeita a condição F.G = 0.
	Observe que, utilizando G, o sinal muda na definição de integral de linha:
	Portanto, o Teorema de Green aplicado ao campo G pode ser reescrito como:
	Voltaremos a este tópico posteriormente, com a versão em duas dimensões do Teorema de Gauss.