CAL 4 2016.1 REAV AB1

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
Campus do Serta˜o
Ca´lculo 4: Reavaliac¸a˜o - AB1
Data: 21/10/2016 In´ıcio: 10:10hs/ Te´rmino: 12:50hs
Professor: Rodrigo Fernandes de Moura Melo
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2
3
4
Nota
Aluno(a): Curso:
(1) (2,0 pts) Calcule a integral
∫ 3
−3
∫ √9−x2
0
sen(x2 + y2) dydx.
(2) (3,0 pts) Seja f : [0, 1]→ R uma func¸a˜o cont´ınua e R ⊂ R2 a regia˜o triangular no plano xy com ve´rtices
(0, 0), (1, 0) e (0, 1).
(a) Mostre que
∫∫
R
f(x+ y) dA =
∫ 1
0
uf(u) du. (Dica: Utilize a mudanc¸a de coordendas x = u− v e y = v.)
(b) Utilize o item anterior para calcular
∫∫
R
x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 dA.
(3) (3,0 pts) Considere o campo F (x, y) =
(
sen(xy2) + xy2 cos(xy2), 2x2y cos(xy2)
)
.
(a) Mostre que o campo e´ conservativo.
(b) Encontre a func¸a˜o potencial de F .
(c) Se α : [a, b] → R2 e´ a parametrizac¸a˜o de uma curva fechada C, qual e´ o trabalho realizado pelo campo F para
deslocar uma part´ıcula ao longo da curva C?
(4) (2,0 pts) Utilize o teorema de Green para calcular∫
C
x2y dx− xy2 dy,
onde C e´ o c´ırculo x2 + y2 = 4 orientado no sentido anti-hora´rio.