CAL 4 Lista 1

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
Campus do Serta˜o
Ca´lculo 4: Lista de Exerc´ıcios Um
Professor: Rodrigo Fernandes de Moura Melo
Questo˜es marcadas com ? sa˜o complementares ao assunto visto em sala de aula.
Questo˜es marcadas com ∗ sa˜o questo˜es com grau de dificuldade maior.
(1) Esboce a regia˜o de integrac¸a˜o e em seguida calcule a integral dupla.
(a)
∫ 3
−3
∫ √9−x2
0
sen(x2 + y2) dydx.
(b)
∫ 1
0
∫ √2−y2
y
(x+ y) dxdy.
(c)
∫ 1
0
∫ 1
√
y
yex
2
x3
dxdy.
(d)
∫∫
R
arctg
( y
x
)
dA, onde R =
{
(x, y); 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4, 0 ≤ y ≤ x}.
(e)
∫ ∫
R
ex
2
dA, onde R e´ a regia˜o delimitada pelas curvas x− 3y = 0, y = 0 e x = 3.
(f)
∫∫
D
y
1 + x2
dA onde D e´ regia˜o delimitada pelas curvas y =
√
x, y = 0 e x = 1.
(g)
∫∫
D
1
1 + x2
dA onde D e´ regia˜o triangular com ve´rtices (0, 0), (1, 1) e (0, 1).
(h)
∫∫
D
y dA onde D e´ regia˜o do primeiro quadrante limitada pelas para´bolas x = y2 e x = 8− y2.
∗(2) Se [[ · ]] denota a func¸a˜o maior inteiro, calcule a integral∫∫
R
[[x+ y]] dA
onde R = [0, 1]× [0, 2].
?(3) O valor me´dio de uma func¸a˜o f de n varia´veis em um conjunto limitado D ⊂ Rn e´
fmed =
1
area(D)
∫∫
D
f(x, y) dA, se n = 2.
fmed =
1
volume(D)
∫∫∫
D
f(x, y, z) dV, se n = 3.
Determine o valor me´dio de cada uma das func¸o˜es a seguir.
(a) f(x, y) =
x
x2 + y2
, D =
{
(x, y)| x2 + y2 ≤ 2} .
(b) f(x, y) = x2 + y3 + 4, D = {(x, y)| 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1} .
(c) f(x, y, z) = xyz, D e´ o cubo de lado de comprimento L que esta´ no primeiro octante e cujos lados
sa˜o paralelos aos eixos coordenados.
(d) f(x, y, z) = x2z + y2z, D e´ a regia˜o delimitada pelo parabolo´ide z = 1 − x2 − y2 e pelo plano
z = 0.
(4) Esboce a regia˜o de integrac¸a˜o e em seguida calcule a integral tripla.
(a)
∫ 1
0
∫ 1
−2
∫ 3
1
2z dzdydx.
(b)
∫ 1
0
∫ 2x
x
∫ y
0
2xyz dzdydx.
(c)
∫ 1
0
∫ 1
−2x
∫ x+y
0
2x dzdydx.
(d)
∫ pi/2
0
∫ y
0
∫ x
0
cos(x+ y + z) dzdydx.
?(5) Suponha que uma laˆmina ocupe uma regia˜o D no plano xy e que a func¸a˜o ρ : D → R+ represente sua
densidade. A massa de D e´ definida por
m =
∫∫
D
ρ(x, y) dA,
enquanto que o centro de massa de D e´ o ponto (x¯, y¯) ∈ D cujas coordenadas sa˜o
x¯ =
1
m
∫∫
xρ(x, y) dA e y¯ =
1
m
∫∫
yρ(x, y) dA.
(a) Encontre o centro de massa da laˆmina que ocupa a regia˜o D = {(x, y); 1 ≤ x ≤ 3, 1 ≤ y ≤ 4} e
cuja func¸a˜o densidade e´ ρ(x, y) = 2y2.
(b) Encontre o centro de massa da laˆmina cuja func¸a˜o densidade e´ ρ(x, y) =
√
x onde, D e´ a regia˜o
do plano delimitada pelas para´bolas y = x2 e x = y2.
(c) Generalize a definic¸a˜o de centro de massa para regio˜es D ⊂ R3.
(6) Decida se e´ melhor utilizar coordenadas cilindricas ou esfe´ricas para calcular a integral em cada um
casos abaixo.
(a)
∫∫∫
E
1
(x2 + y2 + z2)1/2
dV , onde E e´ a regia˜o delimitada pelas eferas centradas na origem e de
. raios r e R, com 0 < r < R.
(b)
∫ 3
−3
∫ √9−x2
0
∫ 9−x2−y2
0
√
x2 + y2 dzdydx.
(c)
∫ a
−a
∫ √a2−y2
−
√
a2−y2
∫ √a2−x2−y2
−
√
a2−x2−y2
x2z + y2z + z3 dzdxdy.
(d)
∫ 2
−2
∫ √4−x2
0
∫ √4−x2−y2
−
√
4−x2−y2
x2
√
x2 + y2 + z2 dzdydx.
(e)
∫ √3
−√3
∫ √3−x2
−
√
3−x2
∫ 3
√
3x2+3y2
x2 + y2 dzdydx.
(f)
∫ 1
0
∫ √1−x2
0
∫ √2−x2−y2
√
x2+y2
xy dzdydx.
∗(7) Determine a regia˜o E para a qual a integral tripla∫∫∫
1− x2 − y2 − z2 dV
e´ ma´xima. Calcule o valor desta da integral.
(8) Calcule o volume do so´lido E em cada um dos casos a sequir.
(a) E e´ limitado pelos parabolo´ides z = 3x2 + 3y2 e z = 4− x2 − y2.
(b) E e´ limitado pelos planos z = x, y = x x+ y = 2 e z = 0.
(c) E e´ limitado pelo cilindro y2 + z2 = 4 e pelos planos x = 2y, x = 0, z = 0 no primeiro octante.
(d) E e´ limitado pelo cone z =
√
x2 + y2 e abaixo da esfera x2 + y2 + z2 = 2.
(e) E e´ a regia˜o exterior a` esfera x2+y2+z2 = r2 e interior a` esfera x2+y2+z2 = R2 onde 0 < r < R.
3
(9) Determine a imagem do conjunto S pela transformac¸a˜o T : R2 → R2 em cada um dos casos abaixo.
(a) S = {(u, v); 0 ≤ u ≤ 3, 0 ≤ v ≤ 2}, T (u, v) = (2u+ 3v, u− v).
(b) S e´ a regia˜o triangular com ve´rtices (0, 0), (1, 1) e (0, 1), T (u, v) = (u2, v).
(c) S =
{
(u, v);u2 + v2 ≤ 1}, T (u, v) = (au, bv).
(10) Utilize a mudanc¸a de coordenadas T : R2 → R2 para calcular a integral.
(a)
∫∫
R
x− 3y dA onde R e´ a regia˜o triangular com ve´rtices (0, 0), (2, 1) e (1, 2),
. T (u, v) = (2u+ v, u+ 2v).
(b)
∫∫
R
x2 dA onde R e´ a regia˜o limitada pela el´ıpse 9x2 + 4y2 = 36, T (u, v) = (2u, 3v).
(c)
∫∫
R
x2 − xy + y2 dA onde R e´ a regia˜o limitada pela el´ıpse x2 − xy + y2 = 2,
. T (u, v) = (
√
2u−√2/3v,√2u+√2/3v).
(d)
∫∫
R
xy dA onde R e´ a regia˜o do primeiro quadrante limitada pelas retas y = x e y = 3x e pelas
. hipe´rboles xy = 1 e xy = 3, T (u, v) = (u/v, v).
∗(11) Seja f : [0, 1]→ R uma func¸a˜o cont´ınua e R a regia˜o triangular com ve´rtices (0, 0), (1, 0) e (0, 1). Mostre
que ∫∫
R
f(x+ y) dA =
∫ 1
0
uf(u) du.
(Dica: Utilize uma mudanc¸a de coordendas tal que x + y = u.)