CAL 4 Lista 2

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
Campus do Serta˜o
Ca´lculo 4: Lista de Exerc´ıcios Dois
Professor: Rodrigo Fernandes de Moura Melo
Questo˜es marcadas com ? sa˜o complementares ao assunto visto em sala de aula.
Questo˜es marcadas com ∗ sa˜o questo˜es com grau de dificuldade maior.
(1) Determine o campo vetorial gradiente ∇f e esboce-o.
(a) f(x, y) = x2 − y.
(b) f(x, y) =
√
x2 + y2.
(2) Responda.
(a) Existe algum campo vetorial G em R3 tal que rot G = (xy2, yz2, zx2)?
(b) Existe algum campo vetorial G em R3 tal que rot G = (x, y, z)?
(c) Se F e G sa˜o campos vetoriais, rot(F +G) = rot(F ) + rot(G)?
(d) Se F e´ um campo vetorial enta˜o rotF e´ um campo vetorial?
(e) Se F e´ um campo vetorial enta˜o divF e´ um campo vetorial?
∗(3) Demonstre as seguintes identidades.
(a) ∇(F ·G) = (F · ∇)G+ (G · ∇)F + F × rot G+G× rot F .
(b) rot (F ×G) = F div G−G div F + (G · ∇)F − (F · ∇)G.
.
(
Notac¸a˜o: Sendo F = P~i+Q~j +R~k, F · ∇ = P ∂
∂x
+Q ∂
∂y
+R ∂
∂z
)
(4) Calcule.
(a)
∫
C
y2 dx+ x dy, onde C e´ o segmento de reta ligando os pontos (−5, 3) a (0, 2).
(b)
∫
C
F · dα, onde F (x, y, z) = (x, y,−xy) e α(t) = (cos t, sent, t), 0 ≤ t ≤ pi.
(5) Considerando o campo F : R3 → R3, F (x, y, z) = (yz, xz, xy + 2z), obtenha os itens a seguir.
(a) O campo rotacional de F .
(b) A func¸a˜o potencial de F .
(c) A integral de linha de F ao longo da he´lice α(t) = (cos t, sen t, t), −pi ≤ t ≤ pi.
(6) Considere o campo F (x, y, z) = (y2, 2xy + e3z, 3ye3z).
(a) Mostre que o campo e´ conservativo.
(b) Encontre a func¸a˜o potencial de F .
(c) Calcule o trabalho realizado pelo campo F para deslocar uma part´ıcula ao longo da curva
α(t) = (etsent, t , t+ 3pi cos t), 0 ≤ t ≤ 3pi.
(7) Considere o campo F (x, y) = (4x3y2 − 2xy3, 2x4y − 3x2y2 + 4y3).
(a) Mostre que o campo e´ conservativo.
(b) Encontre a func¸a˜o potencial de F .
(c) Determine o trabalho realizado pelo campo F para deslocar uma part´ıcula ao longo da curva
α(t) = (t+ sen(pit), 2t+ cos(pit)), 0 ≤ t ≤ 1.
(8) Utilize o teorema de Green para calcular∫
C
√
1 + x3 dx+ 2xy dy,
onde C e´ o triaˆngulo de ve´rtices (0, 0), (1, 0) e (1, 3).
(9) Utilize o teorema de Green para calcular∫
C
x2y dx− xy2 dy,
onde C e´ o circulo x2 + y2 = 4 orientado no sentido anti-hora´rio.
∗(10) Considere o campo F (x, y) =
( −y
x2 + y2
,
x
x2 + y2
)
. Mostre que
∮
C
F · dα = 2pi para todo caminho
fechado e simples que circunde a origem.
?(11) Suponha que a func¸a˜o ρ(x, y) represente a densidade linear em um ponto (x, y) de um fio fino com
forma de curva C ⊂ R2. A massa do fio e´ definida por
m =
∫
C
ρ(x, y) ds,
enquanto que o centro de massa do fio e´ o ponto (x¯, y¯) cujas coordenadas sa˜o
x¯ =
1
m
∫
C
xρ(x, y) ds e y¯ =
1
m
∫
C
yρ(x, y) ds.
(a) Um arame fino e´ entortado no formato da semicircunfereˆncia x2 + y2 = 4, x ≥ 0. Se a densidade
linear for uma constante k, determine o centro de massa do arame.
(b) Um arame fino tem a forma da parte que esta´ no primeiro quadrante de uma circunfereˆncia
centrada na origem e raio a. Determine o centro de massa do arame sabendo que sua densidade
linear e´ ρ(x, y) = kxyuma
(c) Generalize a definic¸a˜o de centro de massa para uma curva C localizada no espac¸o e com func¸a˜o
densidade linear ρ(x, y, z).
(d) Determine o centro de massa de um arame com formato da he´lice α(t) = (2 cos t, 2sen t, 3t),
0 ≤ t ≤ 2pi, sabendo que a densidadde em qualquer ponto e´ o quadrado da distaˆncia deste ponto
a` origem.
∗(12) Encontre uma curva fechada simples C para a qual o valor da integral de linha∫
C
(y3 − y) dx − 2x3 dy
e´ ma´xima.