CAL4 2016.2 AV3

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
Campus do Serta˜o
Ca´lculo 4: Avaliac¸a˜o 3
Data: 09/06/2017 In´ıcio: 13:30hs/ Te´rmino: 18:50hs
Professor: Rodrigo Fernandes de Moura Melo
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2
3
Nota
Aluno(a): Curso:
(1) (4,0 pts) Para os itens a seguir considere a superf´ıcie S obtida da rotac¸a˜o da curva y = e−x, x ≥ −1, ao
redor do eixo x.
(a) Esboce a superf´ıcie.
(b) Encontre uma representac¸a˜o parame´trica de S.
(c) Obtenha a equac¸a˜o do plano tangente a` S no ponto P = (0, 1, 1).
(d) Calcule a a´rea da parte de S compreendida entre os planos x = 0 e x = ln 2.
(2) (3,0 pts) Use o teorema de Stokes para calcular
∫
C
F · dα, onde
F (x, y, z) =
(
x2z, xy2, z2
)
e C e´ a curva intersec¸a˜o do plano x+y+z = 1 com o cilindro x2+y2 = 9 com orientac¸a˜o no sentido anti-ho´ra´rio
quando vista de cima.
(3) (3,0 pts) Use o teorema do divergente para calcular o fluxo do campo
F (x, y, z) =
(
z tan−1(y2), z3 ln(x2 + 1), z
)
atrave´s da parte do paraboloide x2 + y2 + z = 2 que esta´ acima do plano z = 1, com orientac¸a˜o para cima.(
Dica: S na˜o e´ fechada. Chame de S0 o disco x
2 + y2 ≤ 1, z = 1, e aplique o teorema a` S ∪ S0.
)