CAL4 2016.2 REAV

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
Campus do Serta˜o
Ca´lculo 4: Reavaliac¸a˜o
Data: 23/06/2017 In´ıcio: 13:30hs/ Te´rmino: 16:10hs
Professor: Rodrigo Fernandes de Moura Melo
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2
3
4
5
6
Nota
Aluno(a): Curso:
ATENC¸A˜O: Responda apenas as questo˜es correspondentes a`s avaliac¸o˜es que voceˆ esta´ repondo.
Assinale aqui as Avaliac¸o˜es que voceˆ esta´ repondo: ( )Av1 ( )Av2 ( )Av3
Avaliac¸a˜o 1
(1) (3,0 pts)
(a) Esboce a regia˜o de integrac¸a˜o e em seguida calcule a integral tripla
∫ 1
0
∫ 1−z
0
∫ 2−2x−2z
0
z dydxdz.
(b) Calcule o volume do so´lido limitado pelo cone z =
√
x2 + y2 e abaixo da esfera x2 + y2 + z2 = 2.
(2) (2,0 pts) O valor me´dio de uma func¸a˜o f de 2 varia´veis em um conjunto limitado D ⊂ R2 e´
fmed =
1
area(D)
∫∫
D
f(x, y) dA.
Determine o valor me´dio de f(x, y) =
x
x2 + y2
, com D =
{
(x, y)| x2 + y2 ≤ 2} .
Avaliac¸a˜o 2
(3) (3,0 pts) Calcule.
(a)
∫
C
y2 dx+ x dy, onde C e´ o segmento de reta ligando os pontos (−5, 3) a (0, 2).
(b)
∫
C
2xy2ex
2y dx+ (1 + x2y)ex
2y dy, onde C e´ a curva α(t) =
(
t2sen 2t, et cos t
)
, 0 ≤ t ≤ pi
2
.
. (Dica: Use o teorema fundamental das integrais de linha)
(4) (2,0 pts)
(a) Seja F = P~i+Q~j +R~k um campo duas vezes diferencia´vel em R3. Mostre que div(rotF )=0.
(b) Utilize o teorema de Green para calcular∫
C
√
1 + x3 dx+ 2xy dy,
onde C e´ o triaˆngulo de ve´rtices (0, 0), (1, 0) e (1, 3).
Avaliac¸a˜o 3
(5) (2,0 pts) Considere a superf´ıcie determinada pela parte do plano y + z = 2 que se encontra no interior do
cilindro x2 + y2 = 1. Fac¸a o esboc¸o da superf´ıcie e em seguida calcule sua a´rea.
(6) (3,0 pts)
(a) Use o teorema de Stokes para calcular
∫
C
F · dα, onde F (x, y, z) = (1, x+ yz, xy −√z) e C e´ o limte da
parte do plano 3x + 2y + z = 1 no primeiro octante, orientada no sentido anti-hora´rio quando vista de
cima.
(b) Use o teorema do divergente para calcular
∫∫
S
F · dS, onde F (x, y, z) =
(
y, z − y, x
)
, S e´ a superf´ıcie
do tetraedro com ve´rtices (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1).