Relatório Papel Monolog e Dilog

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IFPR – INSTITUTO FEDERAL DO PARANÁ
INTRODUÇÃO A FÍSICA EXPERIMENTAL
RELATÓRIO 2: PAPEL DI-LOG E MONOLOG
Lucas Matheus Passos
Licenciatura em Física 1º Período
Foz do Iguaçu
2015
Índice
Introdução: ..................................................................................... 3
Objetivo: ......................................................................................... 4
Linearização de dados .............................................................. 4
Exemplo .......................................................................... 4
Materiais utilizados: ...................................................................... 5
Construção do gráfico monolog: .................................................... 5
Procedimento experimental .................................................... 6
Gráfico Monolog ...................................................................... 7
Construção do Gráfico Di-log: ...................................................... 8
Procedimento experimental ................................................... 8
Gráfico Di-log ........................................................................... 9
Conclusão ...................................................................................... 10
Referências bibliográficas: ............................................................ 11
Introdução
Os gráficos monolog e dilog devem ser usados quando há algum exponencial na equação, em geral. 
A princípio, o monolog é usado quando há o expoente variável na base “e” ou na base “10”; enquanto o dilog, quando há uma grandeza (tipo um tempo (t), uma distância (x), um volume (V) elevado a um expoente variável. 
Em muitas situações é comum fazer gráficos de grandezas onde a dependência com uma outra variável é dada por expressões do tipo: 
 ou 
Nesse caso, dependendo das constantes A e B, a grandeza y(x) pode variar muitas ordens de grandeza a partir de pequenas variações de x. É claro que, nesse caso, mudanças de variáveis podem ser realizadas para tornar as equações acima retas. Em geral, as mudanças de variáveis mais comuns envolvem funções logarítmicas. No passado, o cálculo de logaritmos era bastante trabalhoso e envolvia consulta a tabelas (ou tábuas) de logaritmos, nem sempre disponíveis. Nesse sentido, foram criados papéis gráficos especiais nos quais uma (ou ambas) das escalas é graduada logaritmicamente. A escala logarítmica é construída de tal forma que quando uma quantidade x é marcada nessa escala o comprimento (distância em relação à origem do eixo) é proporcional à log(x). 
* (Em física, é muito conveniente usar para b o número irracional e = 2,7182818... base dos logarítmicos neperianos).
Objetivo
 Linearização de dados 
Provavelmente por razões biológicas, o ser humano sabe distinguir bem entre uma curva e uma reta. Porém, é muito difícil para o ser humano perceber, graficamente, a diferença entre uma curva dada por y = x 2 e outra dada por y = x 4 . Em trabalhos técnico-científicos, os dados experimentais, nem sempre, produzem uma curva linear do tipo y = ax + b, fácil de extrair informações quantitativas, como descritas anteriormente.
Nesse caso faz-se uso de técnicas de linearização de dados, de tal forma que os dados finais obtidos, quando graficados, forneçam uma linha reta, fácil de ser analisada. Experiência e bom senso são elementos importantes para essa operação, bem como o conhecimento da equação esperada para os dados originais.
A linearização consiste sempre no mesmo processo: em identificar qual é o A, qual é o B, o Y’ e o X’. Isto é transformar a equação em algo equivalente à equação de uma reta.
Exemplo 
 Utilizaremos a função:
Y=Yo*ebx
Verifique que temos um exponencial (de base “e”), ou seja, devemos aplicar um logaritmo de base e nos dois lados, para sumir com o expoente, já que não há exponenciais nas equações das retas. E logaritmo de base “e” = ln
ln y = ln (yo*ebx)
Vamos usar as propriedades dos logarítimos (multiplicação vira soma; expoente vira multiplicante). Assim a equação fica assim:
ln y = ln A + ln e bx
ln y = ln A + (bx) * ln e
ln y = ln A + (bx)*1
Reescrevendo:
ln y = ln yo + bx
Y’ = log X (variável dependente)
X’ = t (variável independente)
A’ = log A (coeficiente linear)
B’ = (coeficiente angular)
Como uma das variáveis está em logaritimo (Y’=log X) e a outra linear (X’=t)m usa-se o papel monolog.
 3. Materiais utilizados:
- régua milimetrada;
- calculadora científica; 
- papel mono-log;
- papel di-log.
Construção do Gráfico no Papel Monolog 
Escala logarítmica (abaixo) em comparação com a escala linear (acima). A escala logarítmica é construída de tal forma que quando uma quantidade x é marcada nessa escala o comprimento (distância em relação à origem do eixo) é proporcional a log(x).
fig. 1.1
4.1. Procedimento Experimental
Devido à forma na qual a escala logarítmica é construída, deve-se ficar atento para algumas regras de uso: 
1. Não existe zero em escala logarítmica. Devido ao fato de 
 , é impossível definir o valor zero na escala.
2. A escala logarítmica é dividida em décadas. Cada década corresponde a uma ordem de grandeza decimal. A divisão da escala, em cada década, é idêntica de uma década para outra.
3. Pelo fato da posição da escala ser proporcional a log(x) não podemos escolher qualquer escala para fazer o gráfico. A posição equivalente ao 1 na escala logarítmica da figura 1.1 pode ser atribuída somente a números do tipo 1; 0,1; 10; 1000; etc. Do mesmo modo, a posição 3 só pode ser atribuída a números do tipo 3; 0,3; 30; 3000; etc.
4. Uma década subsequente tem que, necessariamente, possuir escala de tal forma que os números são marcados uma ordem de grandeza acima da década anterior. Por exemplo, caso a década anterior varie de 0,01 à 0,1; a década subsequente deve variar de 0,1 à 1 e assim sucessivamente.
Seguindo as propriedades das funções logarítmicas e as devidas técnicas de uso já apresentadas, criamos a função:
Com os seguintes valores:
A = 3
b = 2
e = 2,7182818... (base dos logarítmicos neperianos) 
Obtemos então a tabela abaixo:
	Y
	X
	3
	0
	22,16
	1
	163,79
	2
	1.210
	3
Tendo encontrado os valores para “Y” podemos em seguida transpor os dados para o papel monolog, sendo que a escala logarítmica (eixo Y) é construída de maneira crescente até a expressão , assim para os valores que excedem a equação X = 2, já não foi possível transpô-las no gráfico.
No gráfico o eixo Y e X representam a escala logarítmica e linear, respectivamente. Logo a representação da função no gráfico ficou da seguinte forma:
4.2 Gráfico Monolog
Construção do Gráfico Di-log 
Como o próprio nome diz, o gráfico di-log é aquele onde ambos os eixos x e y estão em escala logarítmica. O gráfico que representa a função algébrica, no papel di log, é representado por uma reta devido à escala logarítmica do papel que possui ”blocos” denominados décadas, cada qual variando em potencias de 10. Esse gráfico é útil para linearizar expressões do tipo:
Y (x) = 
5.1. Procedimento experimental:
A partir dos dados contidos na tabela fornecida e da equação exponencial de formação Y (x) = , elaborou-se uma escala compatível com o gráfico contendo o eixo das ordenadas correspondente ao comprimento do fio [L] e o eixo das abscissas correspondente ao tempo [T] em segundos. Traçou-se um gráfico de fator de correção, no caso uma reta que aproxima os valores (x, Y(x)) ao seu comportamento mais provável. Foram calculadas as constantes B e A, que representam, respectivamente, o coeficiente linear e angular.
Aplicando-se log na equação acima obtemos:
log (Y (x)) = log = log (B) + A log (x)
Fazendo as mudanças de variáveis
Z (x) = log (y (x))		e 	K (x) = log (x)
Podemos escrever a equação acima como sendo:
Z (x) = aK (x) + b
Ou seja, a equação de uma reta. Nesse caso, as constantesa e b valem, respectivamente, a = A e b = log (B).
5.2. Gráfico Di-log
Da mesma forma que no gráfico mono-log, caso o gráfico resulte em uma reta, pode-se traçar a reta média para o cálculo dos coeficientes a e b, bem como as retas máxima e mínima para a estimativa das incertezas nos coeficientes. Escolhendo-se dois pontos sobre as retas ajustadas (x1, y1) e (x2, y2), o coeficiente a, vale, nesse caso:
Ou, simplesmente, medindo-se a distância, em centímetros, entre os pontos y1 e y2 (dy); x1 e x2 (dx) bem como o tamanho das décadas no gráfico (Dy e Dx) e utilizando a expressão:
A constante B pode ser obtida diretamente pela leitura da escala no eixo-y para o qual x = 1 (caso onde log(x) = 0).
Conclusão
É evidente que essa linearização é trabalhosa, pois é preciso calcular uma nova tabela para, a partir dela, construir o gráfico que fornece uma reta. Para evitar todo este trabalho existe o papel mono-log e o di-log, que consistem de um papel quadriculado, onde (no papel mono-log) o eixo das abscissas tem uma escala linear, e o eixo das ordenadas tem uma escala logarítmica de base 10, dividida em décadas (cada década multiplica por 10 os valores da década anterior). Cada década do papel mono-log pode variar entre os múltiplos ou submúltiplos de 1 a 10. Enquanto no di-log, ambos os eixos são logarítmicos de base 10, dividida em décadas (cada década multiplica por 10 os valores da década anterior). Não existe o valor zero no eixo logarítmico, uma vez que a função logaritmo não está definida para este ponto. A escala pode ser iniciada de um valor unitário qualquer em potência de dez, NUNCA DE ZERO. Pode iniciar em ... ; 1x10-4 ; 0,001 ; 0,01 ; 0,1 ; 1 ; 10 ; 100 ; 1000 ; 1x104 ; ... 
Referências bibliográficas
http://www.fis.ita.br/labfis24/grafic/textos_graf/grafic_texto3.htm 
http://fisica.ufpr.br/cf358/linearizacao.pdf 
http://www.joinville.udesc.br/portal/professores/fex2001/materiais/Gr_ficos.pdf