SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO (2)

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MATEMÁTICA FINANCEIRA
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO
Planos de amortização de empréstimos e 
financiamentos
8.1 Reembolso de empréstimos e financiamentos
A amortização é um processo financeiro pelo qual uma dívida ou obrigação é paga progressivamente por meio de parcelas — de modo que ao término do prazo estipulado o débito seja liquidado. 
Essas parcelas ou prestações são a soma de duas partes: a amortização ou devolução do principal emprestado e os juros correspondentes aos saldos do empréstimo ainda não amortizado.
prestação = amortização + juros
Essa separação 
permite discriminar o que representa a devolução do principal 
(amortização) daquilo que representa o serviço da dívida (os juros). 
Importante para:
 necessidades jurídico‑contábeis;
 análise de investimentos, em que os juros, por serem dedutíveis para efeitos tributáveis, têm um efeito fiscal.
‘Carência’ = o período da data de concessão do empréstimo à data do pagamento da primeira prestação. 
Observação:
Em geral, esse período é negociado entre o credor e o mutuário. 
Qualquer sistema de amortização pode ter ou não um prazo de carência.
Principais e mais utilizados sistemas de 
amortização de empréstimos 
 Sistema de Amortização Francês — conhecido também como
 Tabela Price. 
 Sistema de Amortizações Constantes (SAC). 
 Sistema de Amortização Americano.
 Sistema de Amortizações Misto (SAM) — conhecido como Sistema de Amortizações Crescentes (Sacre).
Os bancos e as instituições financeiras, algumas vezes, criam sistemas de amortização específicos, não convencionais, adequados a determinadas situações ou características de seu mercado ou seus clientes.
Por questões didáticas, vamos evitar, na medida do possível, o excesso de fórmulas e equações matemáticas, preferindo apresentar a mecânica de cálculo por meio de planilhas autoexplicativas.
Sistema de Amortização Francês (Tabela Price)
Sua denominação origina‑se do fato de esse sistema ter sido utilizado inicialmente na França, no século XIX. 
Caracteriza‑se por pagamentos do principal em prestações iguais, periódicas e sucessivas. 
É o mais utilizado pelas instituições financeiras e pelo comércio em geral. 
Como os juros incidem sobre o saldo devedor que, por sua vez, decresce à medida que as prestações são pagas, eles são decrescentes e, consequentemente, as amortizações do principal são crescentes.
Sistema ou Tabela Price 
Nome em homenagem ao economista inglês
Richard Price — que incorporou a teoria do juro composto às amortizações de empréstimos, no século XVIII. 
A Tabela Price é um caso particular e muito utilizado do Sistema de Amortização Francês, em que a taxa de juros é dada em termos nominais (na prática, é dada em termos anuais) e as prestações têm período menor que aquele a que a taxa de juros se refere (em geral, as amortizações são pagas em base mensal). 
Nesse sistema, o cálculo das prestações é feito usando‑se a taxa proporcional ao período a que se refere a prestação, calculada a partir da taxa nominal.
Exercício
Um empréstimo de $200.000 será pago pela Tabela Price em quatro prestações mensais postecipadas. A juros efetivos de 10% a.m., construir a planilha de amortização.
Para determinado período, os juros são calculados sobre o saldo devedor do empréstimo ao início desse período; a amortização é a diferença entre o valor da prestação e o valor dos juros respectivos; e o saldo devedor é igual ao saldo devedor do período anterior menos a amortização do respectivo período. 
Planilha de valores
A planilha é autoexplicativa. Entretanto, a seguir, mostramos o procedimento utilizado no cálculo dos diversos valores.
Cálculo da prestação do t‑ésimo período
Cálculo dos juros do t‑ésimo período
Cálculo da amortização do t‑ésimo período
Cálculo do saldo devedor do t‑ésimo período
Sistema de Amortizações Constantes (SAC)
O principal é reembolsado em cotas de amortização iguais. 
Diferentemente da Tabela Price, em que as prestações são iguais, no Sistema SAC as prestações são decrescentes, já que os juros diminuem a cada prestação. 
A amortização é calculada dividindo‑se o valor do principal pelo número de períodos de pagamento.
Esse tipo de sistema às vezes é usado pelos bancos comerciais em seus financiamentos imobiliários e também, em certos casos, em empréstimos a empresas privadas, por meio de entidades governamentais.
Exercício
Elaborar a planilha de amortização para o 
seguinte financiamento:
• Valor do financiamento de $200.000.
• Reembolso em quatro meses pelo Sistema SAC.
• Taxa de juros efetiva: 10% a.m.
Cálculo das amortizações
Sistema de Amortizações Misto (SAM)
Baseia-se no SAC e no Sistema Price — pois a prestação é igual à média aritmética calculada entre as prestações desses dois sistemas, nas mesmas condições de juros e prazos.
Uma das desvantagens do SAM é que suas prestações iniciais são ligeiramente mais altas que as do Price. 
Contudo, após a metade do período, o mutuário sentirá uma queda
substancial no comprometimento de sua renda com o pagamento das prestações.
No Sistema Misto, 
as prestações decrescem de acordo com 
determinada progressão aritmética e podem ser 
calculadas usando‑se as seguintes expressões:
Valor da primeira prestação:
Valor da razão da progressão aritmética (corresponde ao decréscimo das prestações):
Valor das prestações no período t (t > 1):
onde: 
P = valor do principal;
R1 = valor da primeira prestação;
q = coeficiente variável por tipo de plano;
r = razão da progressão (correspondente ao decréscimo do valor das prestações sucessivas).
Dependendo do valor de q, o sistema de reembolso pode resultar no:
 Sistema Price (para q = 0); ou 
 Sistema SAC (no caso de q = 1). 
O denominado Sistema Misto é um caso particular em que q = 0,5. 
Devido à ponderação 0,5, o valor das prestações, amortizações, juros e saldos devedores corresponde à média aritmética dos valores dos Sistemas Price e SAC.
Exercício
Calcular as prestações de um empréstimo de 
$200.000 a ser pago em quatro prestações mensais a juros efetivos de 10% a.m., fazendo a variável q assumir os valores 0 (Sistema Price), 0,5 (Sistema SAM) e 1 (Sistema SAC). 
Apresentar também a planilha completa do Sistema SAM.
Cálculo da primeira prestação e da razão de decréscimo
a) Para q = 0 (Sistema Price)
Primeira prestação:
Razão de decréscimo das prestações
b) Para q = 0,5 (Sistema Misto)
Primeira prestação:
Razão de decréscimo das prestações
c) Para q = 1,0 (Sistema SAC)
Primeira prestação:
Razão de decréscimo das prestações
Valor das prestações para q = 0; 0,5; 1,0:
No quadro, para q = 0, as prestações correspondem às do Sistema Price; para q = 1,0, correspondem às do Sistema SAC; e, para q = 0,5, correspondem às do Sistema Misto.
Planilha no Sistema Misto
Atente ao fato de que essa planilha é simplesmente uma média aritmética das planilhas dos Sistemas SAC e Price.
Quadro para efeitos comparativos
Para um financiamento de $2.000 amortizado em 24 meses a juros efetivos de 1% a.m. 
Esquemas de reembolso pelos Sistemas Price e Misto
Observe que, 
no Sistema SAM, até a metade do período de financiamento, as amortizações são maiores que as do Sistema Price. 
Como já foi dito, isso resulta em uma queda mais acentuada do saldo devedor do que ocorre no Sistema Price, diminuindo as chances de resíduo ao fim do contrato. 
Assim, embora as prestações iniciais sejam ligeiramente mais altas, depois da metade do período passam a ser menores, comprometendo uma parcela menor da renda do mutuário.
Sistema de Amortização Americano
Sistema de amortização americano
Nesse sistema, o principal é restituído por meio de uma parcela única ao fim da operação. 
Os juros podem ser pagos periodicamente (mais comum) ou capitalizados e pagos juntamente como principal no fim do prazo acertado.
Pode ser aberto um fundo de amortização do empréstimo (sinking fund), no qual o devedor deposita periodicamente as cotas de amortização. 
Essas cotas, por sua vez, devem render juros de tal modo que, na data de pagamento do principal, o saldo desse fundo de amortização seja igual ao capital a pagar, liquidando dessa forma o empréstimo.
Exercício
Nos três casos seguintes, elaborar a planilha 
de amortização de um empréstimo que será reembolsado de acordo com o Sistema de Amortização Americano: 
os juros são pagos periodicamente e não é aberto o fundo de amortização do empréstimo (sinking fund); 
os juros são capitalizados e pagos no fim da operação, juntamente com o principal, e é aberto o sinking fund; 
pagamento periódico dos juros e criação de sinking fund.
Dados: Valor da operação = $200.000; taxa de juros contratada no financiamento (i) = 10% a.m.; prazo da operação = 3 meses; taxa de juros obtida pelo fundo de amortização (is) = 8% a.m.
a) Juros pagos periodicamente:
b) Juros capitalizados e pagos no fim da operação:
c) Com a criação do fundo de amortização do empréstimo (sinking fund):
Cálculo da cota do fundo de amortização do empréstimo (QFA)
Ao fim da operação, o valor do fundo de amortização (sinking fund) deve ser igual ao valor do empréstimo concedido, de modo que este possa ser liquidado. 
Logo, 
trata‑se de calcular, a juros efetivos (is) de 8% a.m., o valor da cota do fundo de amortização (QFA), de modo que ele acumule, ao término do prazo da operação, um montante igual ao valor do empréstimo. 
Assim, o valor da cota será:
As cotas do fundo de amortização do empréstimo mais os rendimentos que elas geram constituem o fundo de amortização que, ao final da operação, deve ter um valor igual ao valor do empréstimo. 
Pode‑se observar nas duas últimas colunas da planilha que, no fim da operação, o saldo devedor do empréstimo é igual ao valor do fundo de amortização. 
Consequentemente, o valor do fundo liquidará o empréstimo.
Juros periódicos pagos
Os juros são constantes e pagos periodicamente, calculados sobre o principal inicial à taxa de juros contratada:
Desencaixe periódico
O mutuário está obrigado, periodicamente, a pagar o juro (J) e depositar a cota do fundo de amortização (QFA). Logo, o desencaixe periódico total é o seguinte:
8.2 Custo efetivo (taxa interna de retorno) de planos de amortização
Normalmente, sobre os financiamentos incide uma série de custos adicionais, tais como o IOF, comissões, aval etc. 
Devido a esses encargos, o custo do financiamento é maior que a taxa contratada, tornando‑se indispensável sua inclusão na planilha de amortização para o posterior cálculo do custo efetivo do empréstimo (taxa interna de retorno).
Exercício
Uma empresa tomou um financiamento de 
$2.000 sob as seguintes condições: 
 taxa de juros efetiva de 10% a.m.; 
 reembolso do principal em quatro meses pelo Sistema Price; 
 encargos de 2% sobre o valor das prestações. 
Pede‑se:
Montar a planilha de amortização e fluxo de caixa e calcular o custo efetivo do financiamento.
Planilha de amortização e fluxo de caixa
O custo efetivo do financiamento é a taxa interna de retorno (TIR) do fluxo de caixa, ou seja, é a taxa que iguala a zero a seguinte expressão:
Para estimar manualmente o valor da TIR, podemos começar calculando o VPL para diversas taxas de juros até conseguir mudança 
no sinal do VPL e, a seguir, efetuar uma interpolação linear:
8.3 Sistemas de financiamento habitacional
O sistema de financiamento habitacional utiliza, 
para o financiamento da casa própria:
• Sistema Price; e
 
• Sistema SAC. 
Em ambos os sistemas, o saldo devedor é corrigido mês a mês pela
TR (taxa referencial de juros), e a cada período de 12 meses é feito o recálculo da prestação (a partir do terceiro ano ele pode passar a ser feito trimestralmente), com base no saldo devedor e no período restante. 
Os sistemas têm sido usados com atualização mensal pela TR acoplada a uma taxa de juros nominal não superior a 12% a.a.
O quadro, a seguir, apresenta, apenas para os primeiros 18 meses, os valores nos Sistemas Price e SAC — tal como computados pelo sistema de financiamento habitacional para um financiamento de $50.000 à taxa nominal de 10,5% a.a., capitalizada mensalmente, variação da TR de 0,6% a.m. e prazo de 15 anos:
Valores nos Sistemas Price e SAC
Sistema de financiamento habitacional 
Considerando j a taxa de juros nominal anual, no caso da Tabela Price a prestação para cada mês do ano k é dada por:
onde:
Im = taxa de juros efetiva por período de capitalização j/12;
SDk–1 = saldo devedor no fim do ano imediatamente anterior ao ano k;
n = número de anos restantes ao término do prazo;
j = taxa nominal anual capitalizada mensalmente.
Cálculo das prestações para os dois 
primeiros anos:
Para o primeiro ano: 
Para o segundo ano: 
A cada ano, esse cálculo é refeito levando‑se em conta o novo saldo devedor e o tempo restante. 
No primeiro ano: 
• SDk–1 é igual ao valor do financiamento tomado; e 
• nos anos posteriores, será igual ao saldo devedor do fim do ano imediatamente anterior; 
• n é o número de anos restantes até o término do prazo. 
Pelas regras do sistema, o cálculo da prestação é feito anualmente.
Os juros correspondentes a cada mês t são calculados sobre o saldo devedor do mês anterior (SDt–1) atualizado pelo valor da TR:
A amortização do mês t é a diferença entre o valor da prestação e o valor dos juros do mês:
O valor do novo saldo devedor (SDt) imediatamente depois de ter sido paga a prestação é igual ao saldo devedor do mês anterior (SDt–1), atualizado pelo valor da TR, menos o valor da amortização do mês:
No caso do Sistema SAC, de acordo com a metodologia usada pelo sistema, a prestação para cada mês do ano k é dada por:
Cálculo das prestações dos dois primeiros anos
Para o primeiro ano: 
Para o segundo ano:
O cálculo do resto da planilha segue o procedimento descrito para os dois primeiros anos. 
No Sistema SAC, no primeiro ano, o valor das prestações não pode comprometer mais que 30% da renda líquida mensal do mutuário. 
2. No Sistema Price, esse comprometimento é de, no máximo, 25%. 
3. No Sistema SAC, a partir de determinado período de recálculo, o valor das prestações começa a diminuir, enquanto no Sistema Price aumenta sempre.
Valor das prestações e o saldo devedor nos Sistemas SAC e Price — para os 15 anos do prazo do financiamento:
Aos valores das prestações 
calculados nas planilhas, às vezes 
é acrescentada
taxa administrativa
e taxa referente a seguros 
(seguro MIP e 
seguro DFI).