Assuntos de DINÂMICA

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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
INSTITUTO DE FÍSICA 
 
Introdução à Física – FAP 100 
Soluções do 2º exercício 
 
1. A posição de um objeto que se desloca em linha reta é definida por x(t) = t3-6t2-15t+40, 
onde x(t) é dado em metros e t em segundos, sendo t>0. Determine: 
 
a) (2,0) O instante em que a velocidade será nula. 
 
Por definição, a velocidade de uma partícula é dada pela taxa de variação da posição 
como função do tempo, ou seja, 
v(t) =
dx
dt
=3𝑡2 − 12𝑡 − 15 𝑚/𝑠 
Assim, a velocidade irá se anular no instante de tempo em que (dx/dt)=0. 
3𝑡2 − 12𝑡 − 15 = 0 ÷ 3 
𝑡2 − 4𝑡 − 5 = 0 
𝑡1 = −1𝑠 𝑒 𝑡2 = 5𝑠 
 
b) (2,0) A posição e a distância percorrida pelo objeto até esse instante. 
 
Primeiramente, determinamos a posição, x(t), da partícula no instante 𝑡2 = 5𝑠 em 
que a velocidade do móvel se nula por substituição direta na equação original que 
descreve a cinética do movimento. Portanto, 
 
x(t=5)=53 − 6 ∗ 52 − 15 ∗ 5 + 40 = −60m 
 
Verificando que x(t=0)=40m, podemos encontrar a distância percorrida pela 
partícula no intervalo 0≤t≤5, calculando 
 
∆x=x(t=5)-x(t=0)=-60-40 
|∆x|=100 metros 
 
c) (2,0) A aceleração do objeto nesse instante. 
 
A aceleração de uma partícula é definida como a taxa de variação da velocidade em 
função do tempo. Logo, 
a(t)=
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= 6t-12 
a(t=5)=6*5-12=18 m/s2 
2 
 
 
d) (2,0) A distância percorrida pelo objeto de t=4s a t=6s 
 
Note que a velocidade do móvel muda de sinal no intervalo de tempo considerado, 
mais precisamente em t = 5s. Neste caso, podemos calcular o deslocamento do móvel 
de duas formas distintas: 
 
I – Integrando a expressão da velocidade 
 
∆x= |v(t)|dt
5
4
 + v(t)dt
6
5
 
∆x= (3𝑡2 − 12𝑡 − 15)dt
5
4
 + (3𝑡2 − 12𝑡 − 15)dt
6
5
 
∆x = |-8| + 10 → ∆x=18 metros 
 
II – Calculando os deslocamentos para v<0 e v>0 
 
d4-5 = |x(5) – x(4)| = |-60 - (-52)| = |-8| → d4-5 = 8 metros 
d5-6 = x(6) – x(5) = -50 - (-60) = 10 metros 
∆x = d4-5 + d5-6 = 10 + 8 → ∆x = 18 metros 
 
OBS: Note que as soluções (I) e (II) são completamente equivalentes, pois a integral 
da posição, v(t), é igual a posição da partícula, x(t), e quando a integral é calculada 
em um dado intervalo de tempo obtemos o deslocamento do móvel no trecho 
correspondente. 
 
e) (1,0) O gráfico da velocidade em função do tempo para o intervalo 0≤t≤6s. 
 
 
 
3 
 
f) (1,0) O gráfico da aceleração em função do tempo para o intervalo 0≤t≤6s.