calculo numerico 5

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Cálculo Numérico 
 
 
 
M A T E R I A L T E Ó R I C O 
 
 
 
 
 
 
 
 
Unidade V: 
 
 
Resolução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias 
 
 
 
 
 
Responsável pelo Conteúdo: 
Prof. Dr. Jaime Sandro da Veiga 
 
 
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zzzzzzzzzzzzzzz 
 
 
 
 
Orientação de Estudos 
 
 
Olá, caros alunos! 
 
Sejam bem-vindos a mais uma unidade de ensino e de aprendizagem da 
disciplina de Cálculo Numérico. Vocês irão conhecer os métodos utilizados para a 
resolução numérica de equações diferenciais ordinárias, as aplicações mais simples 
na resolução de equações que envolvem derivadas. A utilização será certamente 
ampliada para um sistema de equações diferenciais acopladas, o que caracteriza 
um sistema dinâmico de maior complexidade do que os sistemas que são 
representados por uma única equação diferencial. Espero que tenham um 
excelente estudo e um bom aproveitamento! 
 
 
 
 
A T E NÇ Ã O: Para um bom aproveitamento do curso, leiam 
o material teórico atentamente antes de realizar as atividades. É 
importante também respeitar os prazos estabelecidos no 
cronograma. 
Olá, caro aluno! Esta unidade tem por objetivo apresentar e introduzir 
os conceitos elementares sobre a Resolução Numérica de Equações 
Diferenciais Ordinárias, que é uma ferramenta muito importante para 
todas as áreas do conhecimento. Aconselhamos a estudar todas as 
seções da unidade V, procurando entender a teoria e os exercícios 
resolvidos e resolver os exercícios propostos para praticar. É 
fundamental fazer a leitura do material complementar e da bibliografia 
proposta para auxiliar na compreensão do tema e exercícios. No final, 
quando estiver com os conceitos assentados, não se esqueça de fazer 
a Atividade de Sistematização para nota. 
Bom estudo a todos! 
 
 
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Unidade V: Resolução Numérica de Equações Di ferenc iais Ordinár ias 
Contextualização 
 
A unidade V aborda o tema Resolução Numérica de Equações Diferenciais 
Ordinárias, tema importantíssimo para a grande área das Ciências Exatas. As 
soluções analíticas de equações diferenciais constituem um tema da Análise 
Matemática que tem importância fundamental para a resolução de Sistemas 
Dinâmicos Simples (oscilações de pequenas estruturas e edificações, em projetos 
de pequenas máquinas e circuitos elétricos). Os Sistemas Dinâmicos Complexos 
não possuem, em geral, soluções analíticas fechadas, pois a complexidade é 
tamanha que as soluções numéricas obtidas com o auxílio de computadores 
tornam-se imperativas. Às vezes, até mesmo a utilização de supercomputadores 
não consegue suprir as necessidades em termos de capacidade de processamento e 
de memória para os Sistemas Dinâmicos Complexos (meteorologia, engenharia 
química, engenharia de fármacos, estruturas, máquinas e circuitos complexos etc.). 
O estudo de métodos numéricos para a obtenção de soluções de equações 
diferenciais aborda, costumeiramente, os métodos para a obtenção de soluções 
aproximadas para equações de primeira e de segunda ordem. Como todos são 
métodos aproximativos, é comum apresentar comparações entre os métodos, 
basicamente fazendo gráficos e comparando erros em relação às soluções analíticas 
conhecidas para determinados sistemas. Assim, se não conhecêssemos as soluções 
analíticas de alguns sistemas, seria mais difícil encontrar uma maneira para fazer a 
calibração de um método. 
Além das soluções analíticas para as equações diferenciais de primeira e de 
segunda ordem, o conceito de derivada discreta – fundamental para a resolução de 
equações diferenciais em computadores – e a redução de um sistema de segunda 
ordem para um de primeira ordem, são apresentados os métodos aproximativos. 
Os métodos abordados nesta Unidade são: o método de Euler e a avaliação 
de seu erro usando séries de Taylor, métodos para equações de segunda ordem, o 
método do ponto médio, e o método de Runge-Kutta. As equações diferenciais 
ordinárias (EDO) são equações que relacionam uma função desconhecida e suas 
derivadas ordinárias. 
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Introdução 
 
As equações diferenciais podem descrever, de uma forma geral, todos os 
sistemas que são submetidos a variações. Eles são amplamente utilizados nas 
Ciências e nas Engenharias, bem como na Economia, Ciências Sociais, Comércio, 
Medicina, Ciências da Saúde etc. Muitos matemáticos estudaram a natureza dessas 
equações já há centenas de anos e há muitas técnicas de resolução muito bem 
desenvolvidas. Todavia, é comum encontrar sistemas que são descritos por 
equações diferenciais que são extremamente complexos, ou mesmo que são tão 
grandes, que uma solução puramente analítica para as equações seja intratável. 
São para esses sistemas complexos que as simulações por computador e os 
métodos numéricos são úteis. 
As técnicas para a resolução de equações diferenciais são baseadas em 
aproximações numéricas, que foram desenvolvidas muito antes do aparecimento 
dos computadores programáveis. Durante a 2ª Guerra Mundial, era comum 
encontrar salas de pessoas – usualmente de mulheres – trabalhando com 
calculadoras mecânicas para resolver numericamente sistemas de equações 
diferenciais para cálculos com fins militares. Antes dos computadores programáveis, 
era muito comum explorar analogias a sistemas elétricos para projetar 
computadores analógicos a fim de estudar sistemas mecânicos, térmicos ou 
químicos. À medida que os computadores programáveis aumentaram a velocidade 
de processamento e tiveram acentuadas quedas nos custos, os sistemas complexos 
de equações diferenciais de forma crescente puderam ser resolvidos por programas 
simples escritos para rodar em um PC comum. Atualmente, os computadores de 
mão são capazes de resolver problemas que eram inacessíveis pelos mais rápidos 
supercomputadores há uns poucos anos. Contudo, mesmo atualmente, esgotam-se 
facilmente os recursos de processamento e de memória até mesmo dos mais 
rápidos e potentes supercomputadores, o que nos levam a crer que somente um 
novo princípio computacional poderá resolver os problemas atuais referentes aos 
sistemas complexos: a computação quântica. Uma classe de computadores 
quânticos já está à venda, mas pela “bagatela” de 10 milhões de dólares! Ele 
resolve problemas envolvendo desde a Meteorologia, Engenharia de Fármacos até 
simulações da evolução de preços de ações na bolsa de valores. Contudo, os 
métodos básicos utilizados ainda residem no tema desta Unidade. 
 
 
 
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Sistemas de Equações Diferenciais de Primeira Ordem 
 
Uma equação diferencial de primeira ordem possui seguinte a forma geral: 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 𝑓(𝑦; 𝑡), 
 
em que a derivada 𝑑𝑦
dt
 significa a variação em 𝑦 em relação ao tempo 𝑡, e 𝑓(𝑦; 𝑡) é 
qualquer função de 𝑦 e de 𝑡. Note que a derivada da variável 𝑦 depende também 
de 𝑦. Há notações diferentes para 𝑑𝑦
dt
, sendo as mais comuns: �̇� e 𝑦′. 
 
Uma das mais simples equações diferenciais que podemos escrever é:𝑑𝑦dt = −𝑦 . 
 
Assim, por simplicidade, vamos nos concentrar nessa equação a fim de 
introduzir vários conceitos importantes. Além disso, a equação é conveniente por 
possuir soluções analíticas fáceis que irão permitir uma checagem da acuracidade 
do esquema numérico. 
A equação de primeira ordem é relevante no governo de vários sistemas 
que são comumente encontrados nas ciências, dentre eles destacamos: no 
aquecimento e resfriamento; no decaimento radioativo de materiais; na absorção 
de drogas pelo corpo humano (ou animal); na carga e descarga de capacitores; no 
crescimento populacional, dentre outros. 
Para resolver a equação analiticamente, vamos começar fazendo um 
rearranjo da equação, escrevendo-a na forma: 
 
𝑑𝑦
𝑦
= −𝑑𝑡 
 
e integrá-la em relação ao tempo, obtendo: 
𝑙𝑛𝑦 = −𝑡 + 𝐾 , 
 
em que 𝐾 é uma constante de integração. Como o logaritmo representa o 
expoente de uma potência com a mesma base do logaritmo (que no caso do 𝑙𝑛 𝑦 é 
o número de Neper, 𝑒 = 2. 718 281 828 46⋯), podemos determinar 𝑦: 
𝑦 = 𝑒−𝑡+𝐾 = 𝑒𝐾𝑒−𝑡 . 
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Como 𝑒𝐾 = 𝐶, em que 𝐶 é uma constante, podemos escrever, finalmente, 
a solução na forma: 
𝑦 = 𝐶𝑒−𝑡 . 
 
Podemos checar que a resposta satisfaz a equação diferencial fazendo a 
substituição na equação original. Uma vez que obtemos a solução por integração, 
há sempre uma constante de integração que resta ser determinada. Essa constante 
𝐶 é especificada por uma condição inicial, ou pelo estado inicial do sistema. Por 
simplicidade, iremos escolher a condição inicial: 
𝑦(𝑡 = 0) = 1 , 
 
fazendo com que tenhamos 𝐶 = 1. 
 
 
Derivadas Discretas 
 
 
Lembremos que a derivada de uma função em um ponto é equivalente à 
inclinação da reta que tangencia a curva no ponto em questão. Se fizermos o 
gráfico da posição de um carro percorrendo uma estrada em linha reta como 
função do tempo, a inclinação da curva 𝑥 × 𝑡 é a velocidade, isto é, a derivada da 
posição em relação ao tempo. 
Podemos usar este conceito intuitivo de inclinação para calcular 
numericamente a derivada discreta de uma função. Entende-se pelo termo 
discreto como algo que é não contínuo, que possa ser rotulado e enumerado. Por 
exemplo, o conjunto de números inteiros geometricamente é representado por um 
conjunto de pontos dispostos em uma reta, equidistantes de seus vizinhos. Entre 
dois pontos vizinhos não há a possibilidade de se ter outro ponto; logo, entre os 
números 3 e 4 não há qualquer outro número inteiro. Este caso está em 
contraposição ao que chamamos de contínuo, em que entre dois pontos há sempre 
infinitos pontos. 
Em um computador, sempre representamos as funções contínuas como 
uma coleção de valores de amostragem discreta. Para estimar a inclinação em 
qualquer ponto de uma curva (isto é, sua derivada), podemos simplesmente dividir 
a variação de subida ou descida pela variação ao percorrer qualquer dos pontos 
proximamente espaçados, 𝑎 e 𝑏: 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
≅
∆𝑦
∆𝑡
= 𝑦𝑏 − 𝑦𝑎
𝑡𝑏 − 𝑡𝑎
 . 
 
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Façamos, então, um exemplo para podermos construir uma tabela que 
permita levantar uma curva de um gráfico. Vamos supor que 𝑎 → 𝑡 = 0 e 
𝑏 → 𝑡 = 0.1. Para a função dada, 𝑦(𝑡) = 𝑒�−𝑡, temos que 𝑦 (𝑡𝑎 = 0) = 1 e 
𝑦 (𝑡𝑏 = 0.1) = 𝑒−0.1 ≅ 0.90. Assim, 𝑑𝑦dt ≅ 𝑦𝑏−𝑦𝑎𝑡𝑏−𝑡𝑎 = 0.90−10.1−0 = −1.0. Para a construção 
de uma tabela, se mantivermos o passo temporal ∆𝑡 = 𝑡𝑏 − 𝑡𝑎 = 0.1 constante, 
basta que determinemos o salto na função, ∆𝑦(𝑁) = 𝑦 (𝑁 × 0.1) − 𝑦 ((𝑁 − 1) ×0.1), quando ela se deslocar de um passo temporal ∆𝑡𝑁 = 0.1. Procedendo da 
mesma forma, a tabela a seguir pode ser construída: 
 
 
Com base nos valores apresentados na tabela, podemos levantar parte do 
gráfico (linha pontilhada) da Figura 1. Observe a diferença que existe entre o 
cálculo analítico da derivada da função e o cálculo numérico, utilizando o conceito 
de derivada discreta. 
 
Figura 1: Apresentação da solução analítica 𝑦 = 𝐶𝑒−𝑡 em azul e da derivada analítica (tracejado inferior) e 
derivada numérica (tracejado superior em vermelho). 
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Métodos de Passo Simples: O Método de Euler 
 
 
 
Um método de passo simples é aquele que, para descobrirmos o 
valor de 𝒚(𝒕) em um instante qualquer, basta que saibamos o valor no 
instante inicial, 𝒚(𝟎). Podemos utilizar as derivadas obtidas numericamente para 
implementar um método bastante simples de aproximação à solução de equações 
diferenciais. Para facilitar a maturação dos conceitos, apesar de uma derivada em 
uma equação diferencial ser relativa a uma variável qualquer (tempo, temperatura, 
posição etc.), vamos frequentemente utilizar a derivada temporal, já que falar em 
evolução de uma solução quase sempre nos faz relacionar à evolução temporal, 
mas enfatizamos que a palavra é utilizada matematicamente sem restrições, 
podendo ser temporal, espacial etc. 
Quando conhecemos a equação diferencial que governa o sistema e o 
tempo inicial, também acabamos por descobrir a derivada da solução na situação 
inicial. Em outras palavras, descobrir a derivada é o mesmo que descobrir a 
inclinação da curva que denota a solução no instante inicial. Quase sempre 
associamos a palavra inclinação de qualquer curva diretamente a um ângulo, mas 
vamos deixar bem claro que, neste caso, falar em inclinação é o mesmo que falar 
na função trigonométrica tangente do ângulo. Recordemos que a derivada em um 
ponto 𝑡0 de uma função de 𝑡 que representa uma curva é numericamente igual à 
inclinação da reta tangente à curva que passa pelo ponto (𝑡0,𝑓(𝑡0)). Assim, a 
inclinação inicial é simplesmente igual ao lado direito da equação 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 𝑓(𝑦; 𝑡). Nosso primeiro método numérico a ser abordado, conhecido como 
método de Euler, usará esta inclinação inicial para extrapolar e predizer uma 
situação futura. Para o caso da função 𝑑𝑦
dt
= −𝑦, com 𝑦(𝑡 = 0) = 1, a inclinação na 
condição inicial é 𝑑𝑦
dt
= −1. Na Figura 2, apresentamos a função e a extrapolação 
baseada na condição inicial. 
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Figura 2: Extrapolação da função 𝑦 = 𝑒−𝑡 baseada na condição inicial 𝑡 = 0. Para breves intervalos de 
tempo, a estimativa é bastante boa, no caso para 𝑡 < 0.2, mas claramente fica ruim para tempos maiores. 
 
A extrapolação é válida para tempos que não estejam muito distantes no 
futuro (no caso, 𝑡 < 0.2), mas, às vezes, a estimativa ainda assim falha. 
Outra maneira de pensar acerca do conceito de extrapolação é imaginar que 
você está em um carro trafegando em uma pequena rodovia do interior. Você vê 
uma placa indicando que um posto de gasolina está a 10 km de distância, então 
você olha no velocímetro e nota que está a 60 km/h. Por extrapolação, você pode 
inferir que o posto de gasolina está a 10 minutos. A extrapolação assume que você 
continuará emsua velocidade atual (derivada da posição em relação ao tempo) até 
que alcance o próximo posto de gasolina. Se não há tráfego e seu controle do carro 
for total, essa suposição será bastante acurada. Entretanto, sua previsão não será 
mais acurada se houver qualquer interrupção no trânsito, como um semáforo 
fechado ou se você ficar preso bem atrás de um caminhão muito lento que não lhe 
permite a ultrapassagem. A extrapolação será uma boa previsão para um tempo 
futuro muito próximo, mas cairá por terra para tempos muito ulteriores, exceto em 
sistemas muito simples. 
Uma vez que nossas previsões não serão muito acuradas para um tempo 
𝑡 muito para frente no futuro em relação ao tempo inicial 𝑡0, faremos pequenos 
passos no tempo enquanto a suposição da extrapolação for boa, podendo, sempre 
que possível, extrapolá-la novamente. Usando a equação 𝑑𝑦
dt
= −𝑦 e a condição 
inicial, conhecemos o valor da função e a inclinação no tempo inicial 𝑡 = 0. O valor 
no tempo ulterior 𝑡1 pode ser previsto por extrapolação como: 
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𝑦1 = 𝑦0 + 𝑑𝑦𝑑𝑡 |𝑡=𝑡0(𝑡1 − 𝑡0) , 
 
 
em que a notação 𝑑𝑦
𝑑𝑡
|𝑡=0 significa a derivada de 𝑦 avaliada no tempo igual a zero. 
Com a nossa notação específica, a fórmula de extrapolação torna-se: 
 
𝑦1 = 𝑦0 − 𝑦0(𝑡1 − 𝑡0) . 
 
Essa expressão é equivalente à aproximação por diferença discreta que 
apresentamos atrás e podemos reescrevê-la como: 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 𝑦1 − 𝑦0
𝑡1 − 𝑡0
= −𝑦0 . 
 
Uma vez que o valor da função em 𝑡1 é conhecido, podemos reavaliar a 
derivada e transportá-la para frente no tempo em 𝑡2. Em geral, chamamos o 
intervalo de tempo sobre o qual fizemos a extrapolação de passo de tempo, 
∆𝑡 = 𝑡1 − 𝑡0, ou simplesmente passo. A equação 𝑦1 = 𝑦0 + 𝑑𝑦𝑑𝑡 |𝑡=𝑡0(𝑡1 − 𝑡0) é usada 
como uma equação de iteração, que simplesmente marcha para frente em 
pequenos incrementos de tempo, sempre resolvendo para o valor de 𝑦 no passo de 
tempo seguinte dado pela informação conhecida. Este procedimento é conhecido 
como o Método de Euler. O resultado deste método para nossa equação-modelo 
usando um passo de tempo ∆𝑡 = 0.5 é mostrado na Figura 3. 
 
Figura 3: Os pontos ligados pela linha tracejada são os resultados da solução e a linha contínua é a solução 
exata. O passo é de 𝑡 = 0.5. A extensão do passo sendo grande resulta em erros grandes entre a solução 
numérica e analítica. 
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Vemos que a extrapolação da inclinação inicial 𝑑𝑦
𝑑𝑡
= −1 leva-nos ao ponto (0.5, 0.5) após o primeiro passo. Então, reavaliamos a inclinação, que agora é 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= −0.5 e a usamos para extrapolar o próximo passo para 𝑡 = 1, em que 
atingimos o valor (1, 0.25). Este processo irá se repetir. Enquanto o erro na Figura 
3 continuar pequeno, o processo continua valendo. Sempre que o passo for feito 
cada vez menor, a solução numérica irá se tornar mais próxima da solução 
analítica verdadeira. 
 
 
Exemplos Ilustrativos 
 
Exemplo 1: Resolva numericamente pelo Método de Euler a equação diferencial 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 0.5𝑦, usando o valor inicial 𝑦(0) = 1, no intervalo 𝑡 ∈ [0,2] com passos 0.5 e 
0.25. 
Solução: Antes de aplicar o método, vamos resolver a equação analiticamente 
(esta é fácil e tem solução), para que possamos fazer uma comparação entre o 
método analítico e o numérico. A solução analítica é 𝑦(𝑡) = 𝑒𝑡2. 
A solução numérica é dada pelo método de Euler 𝑦1 = 𝑦0 + 𝑑𝑦𝑑𝑡 |𝑡=0(𝑡1 − 𝑡0). 
A derivada é dada por 𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 0.5𝑦; logo, podemos escrever: 
 
𝑦𝑁+1 = 𝑦𝑁 + 0.5𝑦𝑁∆𝑡 = 𝑦𝑁(1 + 0.5∆𝑡). 
 
Para o passo ∆𝒕 = 𝟎.𝟓, temos: 
 
𝑦0 = 𝑦(0) = 1, 
 
𝑦1 = 𝑦0(1 + 0.5∆𝑡) , 
 
resultando, numericamente, em: 
 
𝑦1 = 𝑦(0.5) = 1 × (1 + 0.5 × 0.5) = 1.25 . 
 
Procedendo da mesma forma, obtemos 𝑦2: 
 
𝑦2 = 𝑦(1.0) = 1.25 × (1 + 0.5 × 0.5) = 1.5625 , 
 
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e 
𝑦3 = 𝑦(1.5) = 1.5625 × (1 + 0.5 × 0.5) = 1.953125 . 
 
Finalmente, obtemos: 
 
𝑦4 = 𝑦(2.0) = 1.953125 × (1 + 0.5 × 0.5) = 2.44140625 . 
 
O erro foi de aproximadamente 10.2%, diga-se de passagem, um erro 
bastante alto. 
Para o passo ∆𝒕 = 𝟎.𝟐𝟓, temos: 
 
𝑦𝑁+1 = 𝑦𝑁(1 + 0.5 × 0.25) = 𝑦𝑁(1.125). 
 
 
Usando essa relação de recorrência, temos: 
 
𝑦0 𝑦1 𝑦2 𝑦3 𝑦4 𝑦5 𝑦6 𝑦7 𝑦8 
1.0 1.125 1.2656 1.42383 1.60180 1.802032 2.02728 2.2806 2.5657 
 
O erro caiu para 5.6%, aproximadamente a metade do anterior. Assim, 
reduzindo à metade o passo de tempo, reduzimos à metade o erro. 
 
Exemplo 2: Seja a equação diferencial 𝑡 𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 𝑡 − 𝑦 e a condição inicial 𝑦(2) = 2. 
Determine, usando o método de Euler o valor de 𝑦(2.1), com os passos temporais 
∆𝑡 = 0.1, ∆𝑡 = 0.05 e ∆𝑡 = 0.025. 
 
Solução: Vamos usar a equação do método de Euler: 
 
𝑦𝑁+1 = 𝑦𝑁 + ∆𝑡 𝑑𝑦𝑑𝑡 |𝑡=2 . 
 
Isolando a derivada na equação diferencial dada, temos: 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 1 − 𝑦
𝑡
 . 
 
Agora, substituindo na equação do método de Euler, recaímos na seguinte 
equação: 
 
𝑦𝑁+1 = 𝑦𝑁 + ∆𝑡 𝑑𝑦𝑑𝑡 |𝑡=2 = 𝑦𝑁 + ∆𝑡 �1 − 𝑦𝑁𝑡 � = ∆𝑡 + 𝑦𝑁 �1 − ∆𝑡𝑡𝑁� . 
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Para o passo ∆𝒕 = 𝟎.𝟏, temos: 
 
𝑦1 = 𝑦(2.1) = 0.1 + 2 × �1 − 0.12 � = 2.0 . 
 
Para o passo ∆𝒕 = 𝟎.𝟎𝟓, temos: 
 
𝑦1 = 𝑦(2.05) = 0.05 + 2 × �1 − 0.052 � = 2.0 . 
 
𝑦2 = 𝑦(2.1) = 0.05 + 2 × �1 − 0.052.05� = 2.001195122 . 
 
Para o passo ∆𝒕 = 𝟎.𝟎𝟐𝟓, temos: 
 
𝑦1 = 𝑦(2.025) = 0.025 + 2 × �1 − 0.0252 � = 2.0 . 
 
𝑦2 = 𝑦(2.05) = 0.025 + 2.0 × �1 − 0.0252.025� = 2.00030864198 . 
 
𝑦3 = 𝑦(2.075) = 0.025 + 2.00030864198 × �1 − 0.0252.050� = 2.00091463415 . 
 
𝑦4 = 𝑦(2.1) = 0.025 + 2.00091463415 × �1 − 0.0252.075� = 2.00180722892 . 
 
A solução analítica exata é 𝑦(𝑡) = 1
𝑡
�
1
2
𝑡2 + 2�. Logo, 𝑦(2.1) = 2.0024 é a 
solução exata e o erro relativo da solução numérica é de 0.03%. 
 
 
 
Avaliando o Erro Usando Séries de Taylor 
 
 
Quando resolvemos equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem, a tarefa 
tipicamente realizada é: a partir da informação do estado inicial do sistema, 
tentamos entender como é que o sistema evolui no tempo 𝑡. Assim, com uma 
abordagem intuitiva para realizar a extrapolação, usamos a informação acerca da 
inclinação para enviar a solução para frente no tempo. Agora, colocaremos a 
noção de extrapolação em uma maneira mais formal, isto é, utilizando o 
formalismo matemático das séries de Taylor, e discutiremos o erro dessas 
aproximações ao usar tais séries. 
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Então, considere uma função arbitrária 𝑦(𝑡) e assuma que temos toda a 
informação acerca da função na origem (𝑡 = 0).Gostaríamos de construir uma 
aproximação 𝑦�(𝑡) em relação à função original, 𝑦(𝑡), isto é: 
 
𝑦�(𝑡) = 𝑎 + 𝑏𝑡 + 𝑐𝑡2 + 𝑑𝑡3 + ⋯, 
 
de tal forma que precisaremos de um método para encontrar os coeficientes 
desconhecidos 𝑎, 𝑏, 𝑐,𝑑 etc. 
A aproximação mais simples para 𝑦(𝑡) seria usar o método de Euler da 
última seção para casar a derivada das funções verdadeira e aproximada: 
 
𝑦�(𝑡) = 𝑦(𝑡 = 0) + 𝑑𝑦
𝑑𝑡
|𝑡=0𝑡 
 
cuja notação 𝑑𝑦
𝑑𝑡
|𝑡=0 significa mais uma vez a derivada da função em relação a 𝑡 
avaliada no ponto 𝑡 = 0. 
Podemos aprimorar a aproximação polinomial casando as derivadas 
segundas das funções, real e aproximada, na origem, isto é: 
 
𝑦�(𝑡 = 0) = 𝑎 = 𝑦(𝑡 = 0) , 
 
𝑑𝑦�
𝑑𝑡
|𝑡=0 = 𝑏 = 𝑑𝑦𝑑𝑡 |𝑡=0 , 
 
𝑑2𝑦�
𝑑𝑡2
|𝑡=0 = 2𝑐 = 𝑑2𝑦𝑑𝑡2 |𝑡=0 . 
 
Se continuarmos o casamento entre as derivadas de ordens superiores das 
funções, real e aproximada, na origem, iremos obter a expressão: 
 
𝑦�(𝑡) = 𝑦(𝑡 = 0) + 𝑑𝑦
𝑑𝑡
|𝑡=0𝑡 + 𝑡22 𝑑2𝑦𝑑𝑡2 |𝑡=0 + 𝑡36 𝑑3𝑦𝑑𝑡3 |𝑡=0 + ⋯+ 𝑡𝑛𝑛! 𝑑𝑛𝑦𝑑𝑡𝑛 |𝑡=0 , 
 
que é conhecida como série de Taylor da função 𝑦�(𝑡). As séries de Taylor são 
apresentadas em muitos livros de Cálculo, onde você poderá encontrar mais 
detalhes, exemplos e generalizações. 
Para testar esta série, devemos retornar à nossa função modelo, 𝑦(𝑡) = 𝑒�−𝑡. 
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Substituindo esta função na série de Taylor truncada em 𝑛 acima, obtemos a 
aproximação na seguinte forma: 
 
𝑦�(𝑡) = 1 − 𝑡 + 𝑡22 − 𝑡36 + ⋯+ (−1)𝑛 𝑡𝑛𝑛! . 
 
A simplicidade desta expressão é devida ao fato que todas as derivadas de 𝑦 
avaliadas na origem são iguais a 1. Na Figura 4, fizemos o gráfico dos primeiros 
termos da série em comparação com a função verdadeira. 
 
Figura 4: Aproximação em série de Taylor da função 𝑒−𝑡. Incluímos os três primeiros termos da expansão. A 
aproximação é válida para um intervalo maior de t desde que sejam retidos mais termos da expansão. 
 
Vemos que a aproximação funciona bem quando 𝑡 é pequeno e desvia mais 
do valor verdadeiro para grandes valores de 𝑡. Assim, descobrimos que quanto 
mais termos são incluídos na série de Taylor resulta em uma melhor 
concordância entre as funções verdadeira e aproximada. 
Retornando ao contexto do problema do valor inicial, queremos fazer a 
solução evoluir a partir da condição inicial até o tempo 𝑡 = ∆𝑡, um pequeno 
intervalo de tempo para o futuro. Então, avaliamos a série de Taylor em ∆𝑡: 
 
𝑦�(∆𝑡) = 𝑦(0) + ∆𝑡 𝑑𝑦
𝑑𝑡
|𝑡=0 + ∆𝑡22 𝑑2𝑦𝑑𝑡2 |𝑡=0 + ⋯ 
que pode ser arranjada como 
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𝑦�(∆𝑡) − 𝑦(0)
∆𝑡
= 𝑑𝑦
𝑑𝑡
|𝑡=0 + ∆𝑡2 𝑑2𝑦𝑑𝑡2 |𝑡=0 + ⋯ 
 
que se parece com a derivada discreta (ou com o método de Euler), exceto pelo 
termo extra do lado direito. Este termo extra é o erro ao usar o método de 
Euler. Tecnicamente, o erro é uma série incluindo termos até o infinito para 
potências mais altas de 𝑡 (denotada pelas reticências). Retivemos apenas o primeiro 
termo supondo que ∆𝑡 seja pequeno e que então o primeiro termo do erro é 
dominante. Notemos que, quando ∆𝑡 = 0.1, então ∆𝑡2 = 0.01, ∆𝑡3 = 0.0001 e 
assim por diante. Concluímos que o erro no método de Euler irá sofrer uma 
transformação de escala cujo parâmetro de escala é o ∆𝑡. Ao fazermos esta 
transformação de escala, entendemos que se dividirmos o passo de tempo ao meio, 
teremos a metade do erro. Há métodos que exibem melhores transformações de 
escala: se dividirmos o passo de tempo ao meio o erro decresce com uma potência 
superior de ∆𝑡. Conhecendo a transformação de escala é possível checar se o 
resultado está se comportando conforme o esperado. Em métodos mais complexos 
é possível usar um controle adaptativo do tamanho do passo de tempo para 
assegurar que a solução esteja dentro de limites aceitáveis de erro. 
Uma forma de confirmar a transformação de escala dos métodos numéricos 
é fazer o gráfico do erro em um gráfico dilog. Na Figura 5 fazemos o gráfico do erro 
na aplicação do método de Euler para a nossa equação-modelo em função do 
tamanho do passo de tempo. 
 
Figura 5: O erro no método de Euler quando variamos o tamanho do passo em comparação com o gráfico 
linear de ∆𝑡. Já que a a inclinação da curva de erro casa com a da curva linear de ∆𝑡, concluímos que o erro é 
uma transformação de escala de ∆𝑡. 
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Também apresentamos a reta, 𝑒𝑟𝑟𝑜 = ∆𝑡. Descobrimos que ambas as retas 
têm a mesma inclinação. Uma reta em um gráfico dilog significa que o gráfico 
segue uma lei de potência: 𝑒𝑟𝑟𝑜 = ∆𝑡𝑛. A inclinação da reta fornece a potência. 
Descobrimos, a partir desse gráfico, que o erro no método de Euler sofre uma 
transformação de escala linear com ∆𝑡 quando as inclinações das duas curvas 
apresentadas se casam. Este resultado, obtido por intermédio do gráfico, concorda 
com a previsão do erro usando a série de Taylor. 
 
 
 
Métodos para Equações de Segunda Ordem: Sistema Massa-Mola 
 
 
 
Agora que já apresentamos os sistemas de primeira ordem, passemos para 
os sistemas de equações diferenciais de segunda ordem. O exemplo mais simples 
de um sistema de segunda ordem é o de uma massa oscilando presa a uma mola. 
Tal massa é presa a uma mola fixa com a aceleração da gravidade na posição 
normal à direção do movimento; uma mola é empurrada para trás e é mantida em 
repouso, até que a massa é solta e passa a oscilar em torno da posição de 
equilíbrio, a posição em que a mola está relaxada. 
As equações que governam este sistema podem ser deduzidas a partir da lei 
de Newton, 𝐹 = 𝑚𝑎, em que 𝐹 é a força exercida sobre a massa 𝑚 e 𝑎 é a 
aceleração. As molas possuem muitos formatos, tamanhos e durezas de materiais, 
mas muitas obedecem a uma relação linear simples, conhecida por Lei de Hooke, 
isto é, a força exercida pela mola é proporcional ao quanto ela é esticada ou 
deformada. Matematicamente, 𝐹 = −𝑘𝑥, em que 𝑘 é chamada de constante 
elástica da mola e representa sua dureza, 𝑥 é o deslocamento a partir de sua 
posição de equilíbrio, podendo assumir valores positivos e negativos. Igualando as 
duas expressões para a força da mola e lembrando que a aceleração é a derivada 
segunda da posição em relação ao tempo, obtemos a equação de movimento: 
 
𝑚
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
= −𝑘𝑥 . 
 
 
 
 
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Matematicamente, as condições iniciais que dão a partida neste sistema de 
massa-mola são: 
• Para a posição: 
𝑥(𝑡 = 0) = 𝑥0 ; 
 
• Para a velocidade: 
𝑣(𝑡 = 0) = 0 . 
 
Quando resolvemos numericamente equações diferenciais, é conveniente 
sempre trabalhar com sistemas de equações que envolvam apenas derivadas 
primeiras. A conveniência é devida à execução numérica, que pode ser 
generalizada para resolver qualquer problema, a despeito do valor e ordem da 
derivada mais alta. Seguindo o exemplo anterior,o sistema de segunda ordem é 
transformado muito facilmente usando as relações entre a velocidade, posição e 
aceleração: 
𝑎 = 𝑑𝑣
𝑑𝑡
 , 
𝑣 = 𝑑𝑥
𝑑𝑡
 , 
 
em que 𝑣 é a velocidade e 𝑎 a aceleração. Podemos facilmente reescrever a 
equação de movimento como duas equações: 
 
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= − 𝑘
𝑚
 𝑥 
e 
 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝑣 . 
 
As razões para reescrevermos a equação de movimento como um sistema 
de equações acopladas se tornarão claras mais tarde. Dizemos que as equações 
são acopladas porque as derivadas da velocidade são relacionadas à posição e 
vice-versa. Não detalharemos os métodos para as soluções analíticas desta equação. 
Nossa intuição para a solução do sistema diz que esta solução deve ser oscilatória, 
já que se trata de um sistema massa-mola. Em nosso modelo não há mecanismos 
de amortecimento (tal como atrito) e, portanto, a energia do sistema deve ser 
conservada. Podemos facilmente confirmar que a solução exata para este problema 
é satisfeita pela expressão: 
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𝑥 = 𝑥0 cos�𝑡�𝑘𝑚� . 
 
Aplicação do Método de Euler para Sistemas de Segunda Ordem 
 
A partir das condições iniciais para as equações diferenciais para a posição 𝑥 
e para a velocidade 𝑣, encontramos as seguintes expressões, válidas para o instante 
em que é solta a mola: 
 
𝑑𝑣
𝑑𝑡
|𝑡=0 = − 𝑘𝑚 𝑥0 
e 
 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
|𝑡=0 = 0 . 
 
Estas expressões mostram que a aceleração da massa é negativa (a mola 
está contraída), mas a posição da massa ainda não foi mudada. O fato importante 
a notar a partir dessa equação é que conhecemos o valor da função (posição e 
velocidade são dadas na condição inicial) e sabemos o valor de suas derivadas a 
partir da equação que as governa. Para resolver essas equações com o método de 
Euler, simplesmente aplicamos esse método para ambas as equações em nosso 
sistema simultaneamente a fim de prever o estado do sistema para um breve 
intervalo de tempo à frente no futuro: 
𝑣1 = 𝑣0 + ∆𝑡 𝑑𝑣𝑑𝑡 |𝑡=0 . 
 
e 
 
𝑥1 = 𝑥0 + ∆𝑡 𝑑𝑥𝑑𝑡 |𝑡=0 . 
 
Substituindo as respectivas equações de movimento nas equações acima, e 
generalizando para o N-ésimo passo de tempo, temos: 
 
 
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𝑣𝑁+1 = 𝑣𝑁 − ∆𝑡 𝑘𝑚 𝑥𝑁 
e 
𝑥𝑁+1 = 𝑥𝑁 + ∆𝑡 𝑣𝑁 . 
 
É assumido que o passo de tempo 𝑁 é conhecido e o próximo passo de 
tempo, o 𝑁 + 1, é desconhecido. 
Sem perda de generalidade, é comum fazer a simplificação das constantes 
nas equações dos programas de aplicação do método, fazendo 𝑘
𝑚
= 1 e 𝑥0 = 1. 
Para facilitar o trabalho, ao invés de criar variáveis separadas para 𝑥 e 𝑣, 
iremos armazená-las em um único vetor de dois elementos, escrevendo as 
equações na seguinte forma: 
 
�
𝑥
𝑣�𝑁+1
= �𝑥𝑣�𝑁 + ∆𝑡 𝑑𝑑𝑡 �𝑥𝑣�𝑁 
 
Quando o vetor é definido como: 
𝑦 = �𝑥𝑣� , 
 
o método de Euler resultante torna-se: 
 
𝑦𝑁+1 = 𝑦𝑁 + ∆𝑡 𝑑𝑑𝑡 𝑦𝑁 , 
 
em que o primeiro elemento do vetor 𝑦 é 𝑥 e o segundo elemento é 𝑣. Substituindo 
as equações que governam o sistema no sistema acima, temos: 
 
�
𝑥
𝑣�𝑁+1
= �𝑥𝑣�𝑁 + ∆𝑡 𝑑𝑑𝑡 � 𝑣−𝑥�𝑁 . 
 
Esta representação vetorial se tornará importante quando aumentarmos o 
tamanho do sistema e tivermos muitas variáveis. Neste exemplo de sistemas de 
segunda ordem, a economia em termos de linhas de programação não é 
significativa. Entretanto, à medida que nos propusermos a resolver problemas mais 
e mais complexos, esta forma de armazenagem se tornará progressivamente mais 
importante. Na Figura 6, apresentamos o resultado da aplicação do método de 
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Euler ao sistema massa-mola e comparamos com o resultado analítico. Percebe-se, 
claramente, uma forte discrepância entre os resultados devido a um erro 
acumulado numericamente. 
 
Figura 6: Resultado da aplicação do método de Euler ao sistema massa-mola. Claramente, o erro acumulado 
está influenciando a solução e contaminando os resultados. O método de Euler mostra que a amplitude das 
oscilações está crescendo com o tempo enquanto a solução analítica apresenta uma amplitude constante. 
 
 
Método do Ponto Médio ou de Runge-Kutta de 2ª Ordem 
 
 
Quando resolvemos equações numericamente, o que realmente queremos 
fazer é encontrar a melhor maneira de estimar a inclinação média durante o 
intervalo de um passo de tempo. Até aqui, usamos o valor inicial da derivada para 
extrapolar a solução após um intervalo de um passo de tempo, uma vez que este é 
o único setor em que temos alguma informação acerca da função. Pudemos ver o 
engano nesta suposição no problema de massa-mola, quando descobrimos um 
crescimento da amplitude com o passar do tempo. Agora, mostraremos um método 
de obter uma estimativa melhor da inclinação média ao usar a inclinação da 
função no ponto médio do intervalo. 
Considere a Figura 7, onde foi feito o gráfico da função 𝑦(𝑡) = 𝑒�−𝑡 e 
várias aproximações para derivada em um ponto no intervalo 0 < 𝑡 < 1. Usamos o 
valor da derivada no começo, no fim e no ponto médio do intervalo. 
Vemos que o simples método de Euler baseado na inclinação inicial e final 
está muito longe da curva analítica verdadeira, enquanto a extrapolação baseada 
na aproximação de ponto médio é muito melhor. O ponto médio trabalha melhor 
para este caso específico, mas nós podemos também provar que o ponto médio é 
uma representação melhor da inclinação média para o intervalo. 
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A extrapolação baseada na inclinação do ponto médio é dada por: 
 
𝑦�(∆𝑡) = 𝑦(0) + ∆𝑡 𝑑𝑦
𝑑𝑡
|𝑡=∆𝑡/2 . 
 
Expandindo a derivada de y em relação ao tempo usando uma série de 
Taylor, e avaliando esta aproximação no intervalo de ponto médio, resulta em: 
 
Figura 7: Aproximação de ponto médio para a curva y(t) = e�−t. A figura mostra a função mais as 
extrapolações usando a inclinação avaliada no começo do intervalo, no final do intervalo e no ponto médio. A 
inclinação em qualquer ponto da curva é −e�−t. 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
|𝑡=∆𝑡/2 = 𝑑𝑦𝑑𝑡 |𝑡=0 + ∆𝑡2 𝑑2𝑦𝑑𝑡2 |𝑡=0 + ∆𝑡24 𝑑3𝑦𝑑𝑡3 |𝑡=0 + ⋯ . 
 
Substituindo esta expressão na equação para 𝑦�(𝑡) produz a equação: 
 
𝑦�(∆𝑡) = 𝑦(0) + ∆𝑡 �𝑑𝑦
𝑑𝑡
|𝑡=0 + ∆𝑡2 𝑑2𝑦𝑑𝑡2 |𝑡=0 + ∆𝑡24 𝑑3𝑦𝑑𝑡3 |𝑡=0 + ⋯� . 
 
Vemos que os primeiros três termos do lado direito casam exatamente com 
a aproximação em série de Taylor. O erro não é introduzido até que obtenhamos 
os termos de ordem ∆𝑡3. Com o método de Euler simples baseado na condição 
inicial, o primeiro termo de erro era da ordem de ∆𝑡2. Usando o valor do ponto 
médio como estimativa da inclinação para o intervalo, temos uma melhor 
aproximação do que quando usamos o valor inicial. A dificuldade em usar o 
método do ponto médio ocorre quando conhecemos tão somente o estado no 
início do intervalo e, portanto, a inclinação do ponto médio é desconhecida. A 
dificuldade podeser remediada com uma simples aproximação se usarmos o 
método de Euler como um chute para um ponto médio aproximado. Assim, 
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Unidade V: Resolução Numérica de Equações Di ferenc iais Ordinár ias 
estimaremos a derivada no ponto médio nesse chute e usaremos o resultado para 
fazer o passo completo a partir da condição inicial. 
Especificamente, o método do ponto médio trabalha da seguinte forma: 
 
𝑦𝑁+1/2 = 𝑦𝑁 + ∆𝑡2 𝑑𝑑𝑡 𝑦𝑁 , 
 
𝑦𝑁+1 = 𝑦𝑁 + ∆𝑡 𝑑𝑑𝑡 𝑦𝑁+1/2 . 
 
O primeiro passo aplica o método de Euler até metade do caminho durante 
o intervalo. Os valores 𝑦𝑁+1/2 e 𝑡 = ∆𝑡2 são usados para recalcular as derivadas. Os 
valores das derivadas estimadas nos pontos médios são assim usados para dar 
chutes no transcorrer do domínio inteiro. 
Para ilustrar completamente este método, devemos detalhá-lo para um 
passo de tempo para a equação 𝑑𝑦
dt
= −𝑦 usando um passo de tempo grande, 
∆𝑡 = 1. A condição inicial é 𝑦(𝑡 = 0) = 1, de modo que 𝑑𝑦
𝑑𝑡
|𝑡=0 = −1 via equação 
que governa o sistema. Aplicando esta equação e a condição inicial, a fórmula: 
 
𝑦(𝑡) = 1 − ∆𝑡2 
 
é extrapolada ao ponto médio usando o método de Euler. A esquematização é 
apresentada na Figura 8. 
 
Figura 8: Exemplo do método do ponto médio para 𝑦(𝑡) = 𝑒�−𝑡 , em que ∆𝑡 = 1. Os passos são mostrados 
em quatro figuras: (a) solução exata, em que só conhecemos a condição inicial; (b) usamos o método de Euler 
para extrapolar para o ponto médio (linha tracejada); (c) encontramos a inclinação como se fôssemos 
continuar com o método de Euler usando metade do passo; (d) usamos a inclinação do ponto médio para 
darmos um chute para o intervalo. 
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Unidade V: Resolução Numérica de Equações Di ferenc iais Ordinár ias 
 
A solução para o sistema massa-mola é apresentada na Figura 9, onde é 
apresentada uma comparação entre o método de Ponto Médio e o método de 
Euler. Na figura é notória a melhor aproximação do Método de Ponto Médio neste 
caso. 
Finalmente, encerramos esta seção avaliando o erro do Método do Ponto 
Médio. Para testar o erro, resolvemos a equação até 𝑡 = 1 e calculamos a diferença 
para a solução exata no mesmo tempo. Depois, repetimos o teste para vários 
tamanhos de passos temporais. O resultado pode ser visto na Figura 10. A figura 
mostra no gráfico da inclinação da reta ∆𝑡2, o ponto médio sofrendo um fator de 
escala exatamente com ∆𝑡2. Este fator de escala significa que se dividirmos ao meio 
o passo temporal, então diminuiremos o erro por um fator 4. 
 
 
Figura 9: Comparação entre as soluções para o sistema massa-mola usando o método do Ponto Médio e o 
método de Euler. Percebe-se que o método do Ponto Médio é muito superior neste caso. 
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Figura 10: Dependência com a escala do erro no método do Ponto Médio quando aplicado ao sistema-
modelo 𝑑𝑦
dt
= −𝑦. O algoritmo do Ponto Médio sofre um fator de escala de ∆𝑡2. 
 
Exemplos 
 
Exemplo 1: Resolva novamente a equação diferencial 𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 0.5𝑦, usando o valor 
inicial 𝑦(0) = 1, no intervalo 𝑡 ∈ [0,2] com passos 0.5 e 0.05, mas desta vez 
usando o método do ponto médio. 
Solução: Vamos utilizar a equação para o método do ponto médio: 
 
𝑦𝑁+1/2 = 𝑦𝑁 + ∆𝑡2 𝑑𝑦𝑁𝑑𝑡 , 
 
𝑦𝑁+1 = 𝑦𝑁 + ∆𝑡 𝑑𝑦𝑁+1/2𝑑𝑡 . 
 
Para o passo ∆𝒕 = 𝟎.𝟓, temos: 
𝑦𝑁+1/2 = 𝑦𝑁 + ∆𝑡2 0.5𝑦𝑁 = 𝑦𝑁 �1 + ∆𝑡4 � . 
Como 𝑦0 = 1, então, 
𝑦1/2 = 𝑦(0.25) = 𝑦0 �1 + ∆𝑡4 � = 1.0 �1 + 0.54 � = 1.125. 
𝑦1 = 𝑦(0.5) = 𝑦0 + ∆𝑡 0.5𝑦1/2 = 1.0 + 0.5 × 0.5 × 1.125 = 1.28125 . 
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Repetindo o processo, obtemos: 
𝑦3/2 = 𝑦(0.75) = 𝑦1 + ∆𝑡2 0.5𝑦1 = 1.28125 �1 + 0.54 � = 1.44140625, 
 
𝑦2 = 𝑦(1.0) = 𝑦1 + ∆𝑡 0.5𝑦3
2
= 1.28125 + 0.5 × 0.5 × 1.44140625= 1.6416015625 . 
 
𝑦5/2 = 𝑦(1.25) = 𝑦2 + ∆𝑡2 0.5𝑦2 = 1.6416015625 �1 + 0.54 � = 1.84680175781, 
 
𝑦3 = 𝑦(1.5) = 𝑦2 + ∆𝑡 0.5𝑦5/2 = 1.6416015625 + 0.5 × 0.5 × 1.84680175781= 2.10330200195 . 
 
𝑦7/2 = 𝑦(1.75) = 𝑦3 + ∆𝑡2 0.5𝑦3 = 2.10330200195 �1 + 0.54 � = 2.36621475219, 
 
𝑦4 = 𝑦(2.0) = 𝑦3 + ∆𝑡 0.5𝑦7/2 = 2.10330200195 + 0.5 × 0.5 × 2.36621475219= 2.69485569 . 
 
Esse resultado mostra um erro de 0.86%. 
Para o passo ∆𝒕 = 𝟎.𝟎𝟓, daremos apenas a resposta final que é 𝑦(2.0) =2.71763, cujo desvio do resultado exato é de apenas 0.02% 
 
 
 
 
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Método de Runge-Kutta de 4ª Ordem 
 
 
Há muitos esquemas diferentes para resolver equações diferenciais 
ordinárias numericamente. Neste texto, foram introduzidos dois esquemas simples 
para apresentar alguns conceitos básicos e fornecer exemplos. Muitas das mais 
avançadas técnicas são mais difíceis de deduzir, analisar e de se produzir um 
programa computacional, mas todos os esquemas são baseados em ideias que já 
introduzimos. Uma das técnicas fundamentais para resolver equações diferenciais 
ordinárias é o chamado método de Runge-Kutta. Este método é simplesmente uma 
aproximação de ordem mais alta do método de ponto médio. Ao invés de dar um 
chute estimando a derivada no ponto médio, o chute é dado no intervalo inteiro. O 
método de Runge-Kutta, em certo sentido, faz quatro passos, dando chutes para 
um quarto do intervalo para estimar a derivada, depois para a metade, e assim por 
diante. A forma precisa em que o método evolui através de um passo de tempo é 
dada de maneira otimizada para os quatro passos. Nós não apresentaremos uma 
dedução formal do algoritmo de Runge-Kutta; em vez disso, apresentaremos o 
método e faremos sua execução. O sistema geral de equações diferenciais 
ordinárias pode ser escrito como: 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 𝑓(𝑦; 𝑡) . 
 
O método de Runge-Kutta é definido como: 
 
𝑘1 = ∆𝑡 𝑓(𝑦𝑁; 𝑡𝑁) , 
 
𝑘2 = ∆𝑡 𝑓 �𝑦𝑁 + ∆𝑡2 𝑘1; 𝑡𝑁 + ∆𝑡2 � , 
 
𝑘3 = ∆𝑡 𝑓 �𝑦𝑁 + ∆𝑡2 𝑘2; 𝑡𝑁 + ∆𝑡2 � , 
 
𝑘4 = ∆𝑡 𝑓 �𝑦𝑁 + ∆𝑡2 𝑘3; 𝑡𝑁 + ∆𝑡2 � , 
 
com 
 
𝑦𝑁+1 = 𝑦𝑁 + 𝑘16 + 𝑘23 + 𝑘33 + 𝑘46 . 
 
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Podemos notar a similaridade com o método do ponto médio, pois, na 
verdade, o método do ponto médio é um método de Runge-Kutta de 2ª ordem. O 
método que acabamos de apresentar é um método de 4ª ordem. Também 
notemos que cada passo de tempo requer quatro avaliações de derivadas, isto é, 
da função 𝑓. A programação deste método seguirá o formato já utilizado para os 
métodos de Euler e do ponto médio. Uma vez que simplesmente fornecemos as 
equações para executar o método de Runge-Kutta, não é claro como o erro se 
comporta. Em vez de fazermosa análise, iremos calcular o erro ao resolver uma 
equação numericamente e comparar o resultado a uma solução exata quando 
variamos o passo. Para testar o erro, resolvemos o problema modelo, 𝑑𝑦
𝑑𝑡
= −𝑦, em 
que 𝑦(0) = 1 e vamos integrar até o tempo 𝑡 = 1. Já conduzimos este mesmo teste 
com os métodos de ponto médio e de Euler. Na Figura 11, apresentamos o gráfico 
do erro entre as soluções exata e numérica em 𝑡 = 1 como função do tamanho do 
passo de tempo ∆𝑡. Apresentamos o gráfico de uma função ∆𝑡4 sobre o mesmo 
gráfico para mostrar que o erro do método de Runge-Kutta varia com ∆𝑡2. Isto é 
muito bom: se dividimos ao meio o passo, reduzimos o erro em 16 vezes. Para 
gerar esta figura, o erro mínimo é de 10−15 devido à acuracidade de representar 
números reais com um número finito de dígitos no computador (dupla precisão). 
 
Figura 11: O gráfico apresenta o erro do método de Runge-Kutta em relação à solução exata em função do 
tamanho do passo temporal ∆𝑡. Em um dos gráficos há um fator de escala que varia com ∆𝑡4. Quando o erro 
chega a 10−15, ele é dominado pelos números de dupla precisão da programação. 
 
 
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Exemplos 
 
Método de Runge-Kutta 
 
Exemplo 1: Resolver pelo método de Runge-Kutta a equação diferencial 𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 𝑡 −
𝑦 + 2, com 𝑦(0) = 2 e 𝑦 ∈ [0,1] com tamanho do passo ∆𝑡 = 0.25 . 
Solução: A solução analítica é dada por: 
 
𝑦(𝑡) = 𝑡 − 𝑒−𝑡 + 1 . 
 
O valor exato de 𝑦(1) = 2.3679, com erro na 4ª casa. 
Para o cálculo numérico, vamos escrever as fórmulas do método de Runge-
Kutta de 4ª ordem: 
 
𝑘1 = ∆𝑡 𝑓(𝑦0; 𝑡 = 0) = 0.25(0 − 2 + 2) = 0 , 
 
𝑘2 = ∆𝑡 𝑓 �𝑦0 + ∆𝑡2 𝑘1; 𝑡0 + ∆𝑡2 � = 0.25𝑓 �2 + 0.252 × 0; 0 + 0.252 � = 0.25𝑓(2; 0.125)= 0.03125 , 
 
𝑘3 = ∆𝑡 𝑓 �𝑦0 + ∆𝑡2 𝑘2; 𝑡0 + ∆𝑡2 � = 0.25 𝑓 �2.0 + 0.252 × 0.03125; 0 + 0.252 �= 0.25 𝑓(2.0039; 0.125) = 0.027344. 
 
𝑘4 = ∆𝑡 𝑓 �𝑦0 + ∆𝑡2 𝑘3; 𝑡0 + ∆𝑡2 � = 0.25 𝑓 �2.0 + 0.252 × 0.027344; 0 + 0.252 �= 5. 5664 × 10−2. 
 
O valor da função é dado por: 
 
𝑦1 = 𝑦(0.25) = 𝑦0 + 𝑘16 + 𝑘23 + 𝑘33 + 𝑘46 = 2. 0288 . 
 
Como o cálculo que se segue é muito tedioso, iremos mostrar apenas os 
resultados finais: 
 
𝑘1 = 0.0553,𝑘2 = 7. 9638 × 10−2,𝑘3 = 7. 6595 × 10−2𝑒 𝑘4 = 9. 8651 × 10−2. 
 
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O resultado é 
𝑦2 = 𝑦(0.50) = 𝑦1 + 𝑘16 + 𝑘23 + 𝑘33 + 𝑘46 = 2. 1065 . 
 
𝑘1 = 9. 8375 × 10−2,𝑘2 = 0.11733,𝑘3 = 0.11496 𝑒 𝑘4 = 0.13214. 
 
𝑦3 = 𝑦(0.75) = 𝑦2 + 𝑘16 + 𝑘23 + 𝑘33 + 𝑘46 = 2. 2223 . 
 
Finalmente: 
 
𝑘1 = 0.13193,𝑘2 = 0.14668,𝑘3 = 0.14484 𝑒 𝑘4 = 0.15822. 
 
𝑦4 = 𝑦(1.0) = 𝑦3 + 𝑘16 + 𝑘23 + 𝑘33 + 𝑘46 = 2. 3678 . 
 
Podemos notar que o resultado é praticamente o mesmo que o resultado exato. 
Nesta seção final, introduziremos alguns sistemas com conjuntos de 
equações maiores do que os apresentados até aqui e que exibem comportamentos 
não lineares. Estes exemplos são destinados a fornecer um guia ao estudante para 
futuras execuções de métodos numéricos para uma grande variedade de 
problemas. Esta seção é também destinada a voltar os olhos para sistemas que 
tenham comportamentos interessantes e complexos que não são tratáveis via 
análise matemática pura. Entretanto, estes resultados, juntamente com técnicas de 
análise mais avançadas, podem revelar comportamentos muito mais não usuais ou 
fora do comum. 
Exemplo 1: O Atrator de Lorentz: Lorentz propôs um sistema de equações 
diferenciais como um modelo simples de convecção atmosférica e esperava usar 
suas equações para auxiliar a prever o tempo. Os detalhes de sua dedução para 
este modelo estão além dos objetivos deste texto e, assim, escreveremos 
simplesmente suas equações para usá-las em seguida. Uma vez que as equações 
resultantes eram muito complexas, Lorentz as resolveu numericamente. 
Computadores eram lentos naquele tempo e, um dia, ao invés de rodar novamente 
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Unidade V: Resolução Numérica de Equações Di ferenc iais Ordinár ias 
um determinado cálculo a partir do tempo 𝑡 = 0, ele usou os dados escritos pelo 
programa a partir de um dia anterior em um tempo intermediário. Ele notou que 
quando resolvia suas equações, obtinha respostas completamente diferentes se 
iniciasse a solução a partir do começo, ou parasse na metade do caminho e 
reiniciasse. Lorentz procurou a diferença até chegar ao fato que, quando ele digitou 
as condições para o reinício, ele usou apenas uns poucos dígitos significativos. 
Logo descobriu que o sistema era muito sensível à condição inicial. Para uma 
pequena variação na condição inicial, a solução das equações divergia muito no 
tempo. Mais tarde, ele também notou que enquanto as variáveis dispostas como 
função do tempo pareciam aleatórias, as variáveis dispostas umas com as outras 
sem o tempo explicitamente apresentavam padrões regulares e interessantes. 
Iremos explorar o atrator de Lorentz usando os métodos numéricos que 
apresentamos. O sistema de equações que Lorentz desenvolveu era: 
 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 10(𝑦 − 𝑥) , 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 𝑥(27 − 𝑧) − 𝑦 , 
 
𝑑𝑧
𝑑𝑡
= 𝑥𝑦 − 83 𝑧 . 
 
Não discutiremos aqui a dedução dessas equações, mas elas são baseadas 
em argumentos físicos relativos à convecção atmosférica. As variáveis 𝑥,𝑦 e 𝑧 
representam quantidades físicas, tais como temperaturas e velocidades de fluxo, 
enquanto os números 10; 27 e 8
3
 representam propriedades do sistema atmosférico. 
As constantes não são constantes 
universais e o sistema irá se comportar de 
forma diferente para diferentes 
constantes. Para o propósito desta seção, 
tomaremos estes números como dados 
do problema. Alguns resultados 
interessantes são mostrados na Figura 12. 
 
Figura 12: A figura apresenta diversos resultados 
gerados a partir das equações de Lorentz: i) história 
temporal da variável 𝑥 para a condição inicial (1,0,0) 
(linha pontilhada) e (1,0.01,0.01) (linha tracejada). 
Vemos a sensibilidade em relação à condição inicial. 
 
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Unidade V: Resolução Numérica de Equações Di ferenc iais Ordinár ias 
Nesta figura, demonstramos várias características interessantes das equações 
de Lorentz. O primeiro conceito é a sensibilidade às condições iniciais. A primeira 
imagem mostra a história no tempo de duas condições iniciais que diferem em 
apenas 1%: Os dois sistemas evoluem identicamente durante um intervalo de 
tempo para, então, divergirem. Tal resultado é a razão pela qual a previsão 
detalhada do clima é muito difícil para muitos dias além no futuro. Indiferentes em 
relação à qualidade do modelo, simplesmente, não sabemos a condição inicial 
precisa para darmos partida no modelo (isto é, o tempo que está fazendo hoje), o 
que nos impede de obter os detalhes do tempo em um futuro muito distante. O 
gráfico que é apresentado a seguir na Figura 13 mostra a evolução usando 
diferentes métodos: ponto médio e Runge-Kutta. Pela mesma razão, as equações 
são muito sensíveis às condições iniciais, o que também as tornam sensíveis aos 
métodos numéricos.Justamente pelo motivo que pequenas diferenças nas 
condições iniciais causam uma evolução muito diferente no sistema, os erros no 
método numérico podem causar também soluções numéricas muito diferentes. 
Embora a história temporal siga, de alguma forma, uma aleatoriedade e um padrão 
imprevisível, ainda assim, de forma previsível, qualquer estado atual sempre cairá 
em uma evolução muito parecida com a figura de uma borboleta. Podemos pensar 
que este gráfico mostra que, embora o estado em detalhe de um sistema seja 
desconhecido, há alguma previsibilidade e um padrão de comportamento. 
Finalmente, variamos o parâmetro de 27 para 20 na equação para 𝑑𝑦
𝑑𝑡
 e vemos que 
o sistema se comporta de maneira muito diferente. O sistema não é apenas sensível 
à condição inicial, mas é sensível aos parâmetros da equação. Quando o 
parâmetro é 27, o sistema oscila em um padrão de "borboleta" para sempre. 
Quando o parâmetro é 20, o sistema evolui para um estado estacionário. Este 
sistema tem sido muito discutido na literatura especializada e muitos resultados 
detalhados e análises existem nessa literatura. Estes resultados foram apresentados 
para fornecer ao estudante uma experiência introdutória acerca do comportamento 
de sistemas complexos e de sistemas interessantes que podem ser facilmente 
tratados usando métodos numéricos. 
 
Exemplo 2: O Pêndulo Forçado - Um simples pêndulo pode ser um sistema 
não linear extremamente rico. Imagine uma massa grande, 𝑚, na extremidade de 
um bastão rígido e leve de comprimento 𝐿. A outra extremidade do bastão é ligada 
a um pequeno motor que fornece um momento 𝑀. Fazemos o motor se mover de 
forma sinusoidal e podemos controlar o momento 𝑀 e a frequência 𝜔. A 
aceleração da gravidade 𝑔 atua para baixo e o ângulo 𝜃 é considerado nulo no 
repouso. O atrito no motor e as forças de vínculo fornecem um momento 
proporcional à velocidade angular com um coeficiente 𝛽. 
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Unidade V: Resolução Numérica de Equações Di ferenc iais Ordinár ias 
Aplicando as leis de Newton, obtemos, após aplicar o balanço detalhado 
para o equilíbrio de forças, a seguinte equação: 
 
𝑚𝐿
𝑑2𝜃
𝑑𝑡2
= −𝑚𝑔 sin𝜃 − 𝛽 𝑑𝜃
𝑑𝑡
+ 𝑀 sin𝜔𝑡 , 
 
que pode ser rearranjada como: 
 
𝑑2𝜃
𝑑𝑡2
= −𝑔
𝐿
sin𝜃 − 𝛽
𝑚𝐿
𝑑𝜃
𝑑𝑡
+ 𝑀
𝑚𝐿
sin𝜔𝑡 . 
 
Uma nova simplificação pode ser feita se redefinirmos o tempo por uma 
transformação de escala de forma a torná-lo adimensional e que varia com sua 
frequência natural. O novo tempo é definido como: 
 
�̂� = 𝑡�𝐿
𝑔
 . 
 
Fazendo esta substituição resulta em: 
 
𝑑2𝜃
𝑑�̂�2
= − sin𝜃 − 𝛽
𝑚�𝑔𝐿
𝑑𝜃
𝑑�̂�
+ 𝑀
𝑚𝑔
sin�𝜔�̂��𝑔
𝐿
� . 
 
Decidimos forçar o pêndulo para oscilar em sua frequência natural (tal qual 
uma criança sendo empurrada em um balanço) e o parâmetro de amortecimento é 
escolhido 0.2. Podemos agora estudar uma variedade de comportamento de 
sistemas interessantes. 
Na Figura 13, apresentamos a evolução não linear do sistema pendular. Em 
quatro imagens, mostramos a evolução de 𝜃 para diferentes amplitudes do pêndulo 
forçado. 
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Unidade V: Resolução Numérica de Equações Di ferenc iais Ordinár ias 
 
Figura 13: A evolução temporal de 𝜃 para diferentes amplitudes forçadas. Da esquerda para a direita e para 
baixo, a amplitude é 1.6, 1.61, 2 e 7. Vemos nas primeiras duas imagens que o pêndulo está balançando em 
um estado estacionário. Um pouquinho mais de energia e o pêndulo balança até o topo. 
 
Nas primeiras duas imagens, descobrimos que um pequeno aumento na 
energia leva o pêndulo a partir de um estado estacionário oscilando entre ±140° 
para uma oscilação aleatória que balança até o topo. O comportamento não linear, 
quando o pêndulo balança em amplitudes muito altas, permite esta súbita transição 
em contrapartida a um aumento constante da amplitude de oscilação até ±180°. 
Outra maneira de representar o comportamento complexo não linear deste 
sistema é levantar a questão: no caso altamente forçado, o sistema irá rodar no 
sentido horário ou anti-horário? Nós geramos o espaço das condições iniciais em 
termos do ângulo e da velocidade angular e fazemos o gráfico em que um pixel 
preto representa o sentido horário e um pixel branco representa o sentido anti-
horário. O resultado deste exercício é mostrado na Figura 14. Nós observamos 
uma estrutura muito complexa e descobrimos que o sistema é muito sensível à 
condição inicial. Mesmo para tal sistema simples, é muito difícil fazer esta previsão 
precisa em um sistema físico real. 
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Figura 14: Mapa do sentido em que o pêndulo gira logo após passar por 𝜃 = 𝜋. Os pixels pretos são para a 
rotação no sentido horário e os brancos, para o sentido anti-horário. Os eixos, horizontal e vertical, estão as 
condições iniciais para 𝜃 𝑒 𝜔. O pêndulo tem o valor da amplitude forçada igual a 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Material Complementar 
 
Para conhecer e se informar um pouco mais sobre métodos 
numéricos de resolução de equações diferenciais ordinárias, visite o site: 
• http://www.mat.uel.br/matessencial/superior/pdfs/edo.pdf 
• http://www.alunos.eel.usp.br/numerico/notasDeAula/EDO.pdf 
• http://www.das.ufsc.br/~camponog/Disciplinas/DAS-
5103/Slides/l23-ode-intro.pdf 
E para complementar sua leitura, visite também: 
• http://www.alunos.eel.usp.br/numerico/ 
• http://www.del.ufms.br/tutoriais/matlab/apresentacao.htm 
• http://www.math.ist.utl.pt/~calves/cursos/Eqdiford.htm 
• http://www.khanacademy.org/math/differential-equations 
• http://www.ugrad.math.ubc.ca/coursedoc/math101/notes/techniqu
es/numerical.html 
• http://www.ugrad.math.ubc.ca/coursedoc/math101/notes/ 
 
 
 
 
 
 
 
 
Depois de ler o material e informar-se 
sobre o assunto, vamos pôr em prática 
esses conhecimentos nas atividades! 
 
Bom trabalho! 
 
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 Anotações 
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Referências 
 
RUGGIERO, M.A.G. & LOPES, V.L.R. Cálculo Numérico: 
Aspectos Teóricos e Computacionais . 2ª Edição. São Paulo: 
Editora Makron Books, 1998. 
 
SPERANDIO, D., MENDES, J.T. & SILVA, L.H.M. Cálculo 
Numérico: Características Matemáticas e Computacionais dos 
Métodos Numéricos . São Paulo: Editora Pearson, 2003. 
 
HUMES, A.F.P.C., MELO, I.S.H., YOSHIDA, L.K. & MARTINS, W.T. 
Noções de Cálculo Numérico . São Paulo: Editora McGraw Hil l, 
1984. 
 
BURDEN, R.L. & FAIRES, J.D. Análise Numérica . São Paulo: 
Editora Pioneira Thomson Learning, 2003. 
 
BARROS, I.Q. Introdução ao Cálculo Numérico. São Paulo: 
Editora Edgard Blucher Ltda, 1972. 
 
STEINBERG, A. & WINTERLE, P. Álgebra Linear. Editora Pearson 
Makron Books, 1987. 
 
PISKOUNOV, N. Cálculo Diferencial e Integral , Vols. I e II. 
Porto: Lopes da Silva Editora, 1983. 
 
SPIGEL,R.M. Manual de Fórmulas e Tabelas Matemáticas, São 
Paulo: Makron Books dos Brasi l Ltda, 1973. 
 
GRADSHTEYN, I.S. & RYZHIK, I.M. Table of Integrals, Series and 
Products. 7ª Edição. San Diego: Elsevier Inc., 2007. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Rua Galvão Bueno, 868 
01506-000 
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Tel: (55 11) 3385-3000 
 
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