CONCEITOS BASICOS MECANICA

Prévia do material em texto

Conceitos Básicos 
[Ano] 
Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.cruzeirodovirtual.com.br 
Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.cruzeirodovirtual.com.br 
 
 
 
2 
 
Unidade: Colocar o nome da unidade aqui 
 
Unidade: Conceitos Básicos 
 
 
 
Unidade: Conceitos Básicos 
 MATERIAL TEÓRICO 
 
 
 
Responsável pelo Conteúdo: 
Prof. Dr. Victo dos Santos Filho 
 
Revisão Textual: 
Profa. Ms. Alessandra Cavalcante 
Mecaˆnica Geral
Unidade I: Conceitos ba´sicos
1 Introduc¸a˜o
Mecaˆnica e´ a parte da F´ısica que estuda o estado de movimento de um
corpo.
Por se tratar de uma a´rea extremamente ampla, a Mecaˆnica se divide em
treˆs sub-a´reas:
1. Cinema´tica: E´ a parte da Mecaˆnica que estuda o movimento dos
corpos, sem considerar suas causas.
2. Mecaˆnica: E´ a parte da Mecaˆnica que estuda o movimento dos corpos,
considerando suas causas.
3. Esta´tica: E´ a parte da Mecaˆnica que estuda o estado de repouso ou
equil´ıbrio dos corpos.
Denominamos corpo uma porc¸a˜o limitada de mate´ria ou, em outras
palavras, um corpo e´ qualquer objeto que possua massa.
Os corpos podem ser classificados em dois tipos, de acordo com as suas
dimenso˜es:
1. Corpos extensos: Sa˜o os corpos em que na˜o se pode desprezar todas
as suas dimenso˜es no problema em considerac¸a˜o.
Ex.: Uma barra de ferro em um andar, um paralelep´ıpedo na calc¸ada,
um fio de varal, etc.
2. Corpos puntiformes ou part´ıculas: Sa˜o aqueles em que se pode
desprezar todas as suas dimenso˜es no problema em estudo.
Ex.: Uma bolinha de gude em um gramado, um a´tomo isolado em um
ga´s ou em um l´ıquido, etc.
1
 
Unidade: Colocar o nome da unidade aqui 
 
Unidade: Conceitos Básicos 
 
Essa classificac¸a˜o e´ meramente dida´tica, pois na verdade existem apenas
corpos extensos na Natureza. Entretanto, dependendo das condic¸o˜es do pro-
blema em estudo, podemos simplificar um ca´lculo, considerando os corpos
como part´ıculas.
No contexto da Engenharia, consideramos, em geral, corpos extensos, em-
bora existam casos em que se analisam forc¸as sobre corpos com dimenso˜es
desprez´ıveis no problema em considerac¸a˜o.
Exerc´ıcio 1: Classifique em puntiforme ou extenso:
(a) A Terra, movendo-se em relac¸a˜o a` Lua:
(b) A Terra, em relac¸a˜o a` Via-La´ctea.
(c) Um carro, movendo-se sozinho na Via Dutra.
(d) Um carro, manobrando na garagem.
(e) Uma formiga, caminhando em uma mesa.
Neste curso, consideraremos o estudo da Esta´tica, ou seja, analisaremos
as grandezas f´ısicas relevantes no estudo do estado de equil´ıbrio dos corpos
e as condic¸o˜es f´ısicas em que ocorre o repouso dos mesmos.
2 Esta´tica
A Esta´tica e´ a parte da Mecaˆnica que estuda as condic¸o˜es para que os
corpos permanec¸am em equil´ıbrio.
Definimos equil´ıbrio como o estado f´ısico em que um corpo se encontra
com:
• Velocidade nula, em relac¸a˜o a um dado referencial inercial, ou seja, em
estado de repouso, ou
• Velocidade constante, em relac¸a˜o a um dado referencial inercial, ou seja,
caracterizando o estado de movimento que se denomina Movimento
Retil´ıneo Uniforme (MRU).
2
 
Unidade: Colocar o nome da unidade aqui 
 
Unidade: Conceitos Básicos 
 
Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.cruzeirodovirtual.com.br
Na Engenharia, sa˜o utilizados muitos ca´lculos, envolvendo principalmente
corpos extensos, como vigas, barras, pontes ou estruturas como trelic¸as, em
que se conectam muitas barras atrave´s de junc¸o˜es ou no´s. Entretanto, alguns
corpos podem ter dimenso˜es desprez´ıveis e os consideramos como part´ıculas
para facilitar os ca´lculos. E´ tambe´m usual trabalhar com no´s em estruturas
mecaˆnicas, que formalmente corresponderiam a pequenos corpos em que se
aplicam as condic¸o˜es matema´ticas de equil´ıbrio para se analisar o estado de
repouso ou movimento da estrutura global.
Ex.: Uma haste e´ um corpo extenso, enquanto que um pino pode ser
considerado como uma part´ıcula nos ca´lculos.
3 Grandezas F´ısicas
Denominamos grandeza f´ısica qualquer quantidade, qualidade ou pro-
priedade observa´vel da Natureza que possamos medir. Podemos dizer que
uma grandeza f´ısica descreve qualitativa e quantitativamente propriedades
e/ou suas relac¸o˜es associadas a corpos, observadas no estudo de um fenoˆmeno
da Natureza.
Uma grandeza f´ısica descreve quantitativamente as propriedades naturais
na forma de um nu´mero e uma unidade, ou seja, atribuindo-se grandezas
f´ısicas a`s propriedades da Natureza podemos quantifica´-las ou medi-las.
Medir significa comparar quantitativamente uma grandeza f´ısica com uma
unidade de mesma natureza previamente definida. No processo de medic¸a˜o,
atribu´ımos um valor unita´rio a uma porc¸a˜o previamente adotada da grandeza
que se deseja medir para servir de padra˜o ou refereˆncia. Esta refereˆncia e´
denominada unidade f´ısica. Nas medic¸o˜es, as grandezas sempre devem vir
acompanhadas de suas unidades respectivas.
Exemplos de grandezas: comprimento, massa, temperatura, veloci-
dade, etc.
Exemplos de unidades f´ısicas: cent´ımetro, que e´ uma unidade de
distaˆncia; hora, que e´ uma unidade de tempo e metro por segundo (m/s),
que e´ uma unidade de velocidade.
As unidades ou grandezas f´ısicas podem ser classificadas em dois tipos:
3
 
Unidade: Colocar o nome da unidade aqui 
 
Unidade: Conceitos Básicos 
 
Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.cruzeirodovirtual.com.br
• Fundamentais: Sa˜o aquelas que representam as mais ba´sicas e essen-
ciais propriedades ou conceitos da Natureza, a partir das quais se cons-
troem as demais grandezas ou unidades;
• Derivadas: Sa˜o aquelas que dependem das fundamentais e/ou aquelas
cujas definic¸o˜es derivam das fundamentais.
Como exemplo, tempo e espac¸o sa˜o conceitos primitivos que consideramos
fundamentais. Ja´ a velocidade e a pressa˜o sa˜o grandezas derivadas, pois de-
pendem de outras grandezas em suas definic¸o˜es.
Exemplo 1: A velocidade e´ definida como:
v =
∆s
∆t
. (1)
Do ponto de vista das relac¸o˜es entre as grandezas, o s´ımbolo ∆ significa ape-
nas uma variac¸a˜o da grandeza dada. A relac¸a˜o que define a grandeza f´ısica
velocidade e´ a divisa˜o entre a grandeza espac¸o ou comprimento e a grandeza
tempo, ou seja, a velocidade e´ uma grandeza f´ısica derivada que depende de
duas grandezas f´ısicas fundamentais em sua definic¸a˜o.
Exemplo 2: No caso da pressa˜o, essa grandeza e´ definida como a divisa˜o
entre duas grandezas (ambas tambe´m derivadas), a forc¸a F e a a´rea A:
P =
F
A
, (2)
que podem ser desdobradas em treˆs fundamentais: massa, comprimento e
tempo.
O mesmo ocorre para as demais grandezas f´ısicas derivadas da mecaˆnica.
Exerc´ıcio 2: Caracterize em grandeza (G) ou grandeza f´ısica (GF) e, no
segundo caso, classifique em grandeza f´ısica fundamental (GFF) ou grandeza
f´ısica derivada (GFD):
(a) Velocidade (b) Utilidade
(c) Odor (d) Beleza
(e) Forc¸a (f) Pressa˜o
(g) Comprimento (h) Trabalho
(i) Estado de agitac¸a˜o de mole´culas (j) Tempo
4
 
Unidade: Colocar o nome da unidade aqui 
 
Unidade: Conceitos Básicos 
 
Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.cruzeirodovirtual.com.br
4 Sistemas de Unidades F´ısicas
Denominamos sistema de unidades f´ısicas um conjunto de unidades ado-
tado para que se possa medir qualquer grandeza em quaisquer fenoˆmenos
existentes na Natureza.
Ha´ muitos sistemas de unidades, mas os mais famosos sa˜o:
1. Sistema Internacional de Unidades (SI) ou Sistema MKS:
O Sistema Internacional de Unidades foi aquele adotado em uma con-
fereˆncia internacional de f´ısica, sendo utilizado atualmente por quase todos
os pa´ıses no mundo, com excec¸a˜o, talvez, dos Estados Unidos e da Gra˜-
Bretanha. Entretanto, nos u´ltimos anos, mesmo ambos teˆm adotado o sis-
tema, tendo em vista sua grandeutilidade e a convenieˆncia de que todos
adotem unidades universais.
O Sistema Internacional de Unidades possui as seguintes grandezas e
unidades fundamentais constituintes, dadas na tabela 1:
Grandeza Unidade S´ımbolo
Comprimento metro m
Tempo segundo s
Massa quilograma kg
Temperatura Kelvin K
Corrente ele´trica Ampe`re A
Quantidade de mate´ria mol mol
Intensidade luminosa candela cd
Tabela 1: Grandezas f´ısicas fundamentais e suas
respectivas unidades f´ısicas no sistema internacional.
Com essas grandezas f´ısicas fundamentais, podem ser constru´ıdas quais-
quer outras grandezas f´ısicas derivadas, de modo que qualquer propriedade
ou quantidade natural de qualquer fenoˆmeno pode ser medida.
Obviamente, como anteriormente mencionado nos exemplos, na Mecaˆnica
sa˜o necessa´rias as treˆs primeiras grandezas f´ısicas - o comprimento, a massa
e o tempo - para construir as demais grandezas f´ısicas derivadas.
5
 
Unidade: Colocar o nome da unidade aqui 
 
Unidade: Conceitos Básicos 
 
Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.cruzeirodovirtual.com.br
2. Sistema Gaussiano ou CGS:
O sistema CGS tambe´m e´ muito utilizado, principalmente em Eletromag-
netismo. Suas principais grandezas e unidades fundamentais na Mecaˆnica sa˜o
dadas na tabela 2 abaixo:
Grandeza Unidade
Comprimento cent´ımetro (cm)
Tempo segundo (s)
Massa grama (g)
Tabela 2: Grandezas f´ısicas fundamentais
da Mecaˆnica no sistema CGS.
Ha´ tambe´m outros sistemas de unidades. Alguns, inclusive, usam na˜o a
massa e sim a forc¸a como grandeza fundamental. E´ o caso do sistema te´cnico,
em que a unidade de forc¸a e´ o quilograma-forc¸a ou kgf.
Dentre os sistemas de unidades mais usados, ale´m dos dois ja´ citados, ou
seja, o principal adotado no mundo, chamado Sistema Internacional (SI) ou
sistema MKS (devido a`s iniciais das unidades das treˆs principais grandezas
fundamentais) e tambe´m o sistema CGS (nome dado devido a`s iniciais das
unidades da Mecaˆnica que o compo˜em), destacamos os sistemas americano
e britaˆnico, muito encontrados em documentos te´cnicos de empresas e em
livros americanos.
Adotaremos aqui o sistema internacional, mas na Engenharia e´ tambe´m
muito comum trabalharmos com unidades dos sistemas americanos.
Resumindo, medir uma grandeza f´ısica e´ compara´-la com outra grandeza
de mesma espe´cie, que e´ a unidade de medida. Verifica-se, enta˜o, quantas
vezes a unidade esta´ contida na grandeza que esta´ sendo medida.
Unidades f´ısicas sa˜o, como vimos, valores padronizados como unita´rios
de uma dada grandeza f´ısica que teˆm por finalidade medir a magnitude das
mesmas.
Na F´ısica, podem ser feitas medidas de grandezas muito pequenas a
grandezas extremamente grandes, assim e´ necessa´rio adotar te´cnicas que fa-
cilitem a escrita desses nu´meros, como a utilizac¸a˜o da notac¸a˜o cient´ıfica, a
conversa˜o de unidades e/ou o uso de prefixos para as unidades, baseados em
poteˆncias de dez.
6
 
Unidade: Colocar o nome da unidade aqui 
 
Unidade: Conceitos Básicos 
 
Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.cruzeirodovirtual.com.br
5 Notac¸a˜o Cient´ıfica
Existem muitas formas de se representar nu´meros com notac¸a˜o cient´ıfica.
Entretanto, a mais usada e´ a chamada notac¸a˜o cient´ıfica padra˜o ou padro-
nizada. Definimos notac¸a˜o cient´ıfica padronizada aquela em que se tem a
mantissa (coeficiente ou nu´mero com os algarismos significativos) com valor
maior ou igual a 1 e menor que 10, multiplicado por fatores de 10.
Desse modo, cada nu´mero e´ representado de um modo u´nico, na forma:
N = M.10e, (3)
onde N e´ o nu´mero a ser representado, M e´ a mantissa e e o expoente.
Como exemplos, temos:
1. A dimensa˜o me´dia de um nu´cleo atoˆmico e´ um nu´mero da ordem de
r=0,0000000000000010 m.
Em notac¸a˜o cient´ıfica, esse nu´mero deve ser escrito como:
r = 1,0 x 10−15 m
2. O raio da Terra e´ da ordem de 6400 km ou 6400000 m. Em notac¸a˜o
cient´ıfica, temos:
R = 6,400 x 107 m.
Exerc´ıcio 3: Escrever em notac¸a˜o cient´ıfica:
1. x = 64538,38 kg
2. y = 0,00000538 m
3. z = 6000000000 J
4. w = 0,0000000001 m
5. v = 168000000000000 N
7
 
Unidade: Colocar o nome da unidade aqui 
 
Unidade: Conceitos Básicos 
 
Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.cruzeirodovirtual.com.br
6 Prefixos
Outro recurso para se representar nu´meros muito grandes ou muito pe-
quenos e´ o de utilizar prefixos. Denominamos prefixos os s´ımbolos antepostos
a`s unidades f´ısicas, significando um fator de 10 multiplicativo a` unidade.
Os prefixos mais usados sa˜o dados na tabela 3, a seguir.
Prefixo Prefixo Fator
Nome S´ımbolo
Atto a 10−18
Femto f 10−15
Pico p 10−12
Nano n 10−9
Micro µ 10−6
Mili m 10−3
Quilo k 103
Mega M 106
Giga G 109
Tera T 1012
Peta P 1015
Exa E 1018
Tabela 3: Prefixos e seus respectivos valores
em poteˆncias de dez
Como exemplos, temos:
1. x = 0,000005 J = 5 µJ
2. y = 5830000000 g = 5,83 Gg
Exerc´ıcio 4: Escrever os nu´meros abaixo, usando prefixos:
1. x = 64538,38 kg
2. y = 0,00000538 m
3. z = 6000000000 J
4. w = 0,0000000001 m
5. v = 168000000000000 N
8
 
Unidade: Colocar o nome da unidade aqui 
 
Unidade: Conceitos Básicos 
 
Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.cruzeirodovirtual.com.br
7 Conversa˜o de Unidades
Muitas vezes, e´ necessa´rio saber passar um nu´mero de uma unidade para
outra, ou seja, devemos fazer a conversa˜o de unidades.
Algumas converso˜es muito u´teis sa˜o:
1. Conversa˜o de unidades de distaˆncia:
Ha´ muitas unidades de distaˆncia, sendo as unidades mais comuns, inclu-
sive sendo usadas no dia-a-dia, aquelas dadas na tabela 4:
km hm dam m dm cm mm
103 m 102 m 101 m 1 m 10−1 m 10−2 m 10−3 m
Tabela 4: Tabela de conversa˜o com mu´ltiplos e submu´ltiplos do metro.
2. Conversa˜o de unidades de tempo:
Neste caso, muito comum no quotidiano, tem-se como unidades principais
as dadas na tabela 5, em que esta˜o tambe´m indicadas as converso˜es entre as
principais unidades: dia, hora e segundo:
ano semana dia hora (h) minuto (min) segundo (s) ms
365 dias 7 dias 24 h 3600 s 60 s 1 s 10−3 s
Tabela 5: Tabela de conversa˜o com mu´ltiplos e submu´ltiplos do segundo.
2. Conversa˜o de unidades de massa:
Neste caso, usamos os mesmos prefixos adotados no caso das converso˜es
de distaˆncia, como indicado na tabela 6:
kg hg dag g dg cg mg
103 g 102 g 101 g 1 g 10−1 g 10−2 g 10−3 g
Tabela 6: Tabela de conversa˜o com mu´ltiplos e submu´ltiplos do grama.
9
 
Unidade: Colocar o nome da unidade aqui 
 
Unidade: Conceitos Básicos 
 
Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.cruzeirodovirtual.com.br
3. Conversa˜o entre o sistema internacional e o americano:
No caso das grandezas anteriores e de outras grandezas escritas no sis-
tema americano usual, torna-se muitas vezes necessa´rio converteˆ-las para o
sistema internacional. No sistema americano usual, as unidades ba´sicas sa˜o:
pe´, libra e segundo, para as grandezas f´ısicas distaˆncia, forc¸a e tempo, res-
pectivamente. Neste caso, algumas destas converso˜es sa˜o dadas na tabela 7.
Grandeza Unidade Fator de conversa˜o para o SI
Forc¸a 1 lb 4,4482 N
Massa 1 slug = (lb × s2)/pe´ 14,5938 kg
Comprimento pe´ 0,3048 m
Tempo s s
Tabela 7: Exemplos de conversa˜o entre unidades do sistema americano e o SI.
Para se verificar relac¸o˜es de conversa˜o entre diversas unidades, pode-se
consultar pa´ginas espec´ıficas com esse tipo de func¸a˜o de ca´lculo, como:
http://www.webcalc.com.br/
Exemplo 1: Converter 80 km / h para pe´ / s:
Sabemos que:
1 km = 1000 m = 1000 x [ (100/2,54)/12 ] pe´ e
1 h = 3600 s.
Logo: 80 km / h = 80 x 1000 x 1 / ( 0,0254 * 12 * 3600 ) pe´ / s, de modo
que:
80 km/h ∼= 72,908 pe´/s.
Exemplo 2: Converter 100 slug / pe´2 para o SI:
Sabemos que:
10Unidade: Colocar o nome da unidade aqui 
 
Unidade: Conceitos Básicos 
 
Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.cruzeirodovirtual.com.br
1 slug = 14,5938 kg e
1 pe´ = 0,3048 m .
Logo:
100 slug / pe´2 = 100 x 14,5938 kg / (0,3048)2 m2,
de modo que:
100 slug / pe´2 ∼= 1,57 x 104 kg / m2.
Exerc´ıcio 5: Executar os ca´lculos e converso˜es abaixo, expressando a
quantidade em unidades do SI (pesquise as unidades que desconhecer):
(a) 50 pe´s x 60 µlb
(b) 50 kN x 60 nm
(c) 100 kgf x 200 pe´s
(d) 500 lb / pe´s2
(e) 10 dyn x 20 ns
8 Dimenso˜es
Denominamos dimensa˜o de uma grandeza f´ısica a unidade gene´rica que
a caracteriza, independentemente do sistema de unidades que se use para
determina´-la.
A dimensa˜o de uma grandeza permite que se estabelec¸am as relac¸o˜es en-
tre as unidades fundamentais que a constituem. A notac¸a˜o para representar
a dimensa˜o de uma grandeza f´ısica e´ dada por:
[ A ]: Leˆ-se ”dimensa˜o da grandeza f´ısica A”.
As dimenso˜es das grandezas fundamentais sa˜o dadas na tabela 8:
11
 
Unidade: Colocar o nome da unidade aqui 
 
Unidade: Conceitos Básicos 
 
Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.cruzeirodovirtual.com.br
Grandeza Dimensa˜o
Comprimento L
Tempo T
Massa M
Temperatura Θ
Corrente ele´trica I
Quantidade de mate´ria N
Intensidade luminosa J
Tabela 8: Grandezas f´ısicas fundamentais
e suas respectivas dimenso˜es f´ısicas.
Exemplo 1: A velocidade tem dimensa˜o de espac¸o por tempo, logo:
[ v ] = [ s ] / [ t ]
[ v ] = L / T ou
[ v ] = LT−1.
Exemplo 2: A acelerac¸a˜o tem dimensa˜o de velocidade por tempo, logo:
[ a ] = [ v ] / [ t ]
[ a ] = ( LT−1 ) / T ou
[ a ] = LT−2.
Exemplo 3: A forc¸a tem dimensa˜o de massa vezes acelerac¸a˜o, logo:
[ F ] = [ m ] [ a ]
[ F ] = M .( LT−2 ) ou
[ F ] = MLT−2.
Exemplo 4: Determine a dimensa˜o da energia cine´tica.
Exemplo 5: Determine a dimensa˜o do trabalho de uma forc¸a.
12
 
Unidade: Colocar o nome da unidade aqui 
 
Unidade: Conceitos Básicos 
 
Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.cruzeirodovirtual.com.br
9 Revisa˜o de Trigonometria
Trigonometria e´ um ramo da matema´tica que estuda as relac¸o˜es entre os
comprimentos dos lados e dos aˆngulos em um triaˆngulo retaˆngulo.
Na geometria euclidiana plana, definimos um triaˆngulo retaˆngulo como
um triaˆngulo que possui um aˆngulo reto. Consequentemente, os outros dois
aˆngulos sa˜o agudos, tendo em vista que a soma dos aˆngulos internos de
qualquer triaˆngulo e´ igual a 180o. Matematicamente:
Aˆ+ Bˆ + Cˆ = 180o (4)
A trigonometria e´ fundamental em va´rias a´reas, tendo aplicac¸o˜es impor-
tantes nas cieˆncias e na Engenharia.
Em um triaˆngulo retaˆngulo, se soubermos as medidas de dois lados ou a
medida de um lado e de um aˆngulo agudo, enta˜o podemos calcular a medida
dos demais lados e aˆngulos.
A relac¸a˜o entre os lados e aˆngulos de um triaˆngulo retaˆngulo e´ a base
da trigonometria. Na figura 1, podemos visualizar a forma de um triaˆngulo
retaˆngulo e suas principais medidas.
Figura 1: Esquema de um triaˆngulo retaˆngulo, mostrando seus elementos:
lados, aˆngulos, altura e projec¸o˜es.
Em um triaˆngulo retaˆngulo, os dois lados menores - que sa˜o cada um
oposto a um dos aˆngulos agudos - sa˜o chamados catetos, enquanto que o
maior lado, oposto ao aˆngulo reto, e´ chamado hipotenusa.
13
 
Unidade: Colocar o nome da unidade aqui 
 
Unidade: Conceitos Básicos 
 
Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.cruzeirodovirtual.com.br
Na figura 1, os catetos teˆm medidas c e b, a hipotenusa tem medida a
e os aˆngulos sa˜o denotados com os respectivos nomes de seus ve´rtices com
circunflexo (Aˆ, Bˆ e Cˆ). Ale´m disso, identificamos na figura outras medidas
importantes, como as projec¸o˜es dos catetos sobre a hipotenusa (m e n) e a
medida da altura (h) do triaˆngulo em relac¸a˜o a` hipotenusa.
10 Relac¸o˜es me´tricas em um triaˆngulo retaˆngulo
Dois triaˆngulos sa˜o ditos semelhantes se um pode ser obtido do outro pela
multiplicac¸a˜o da medida de seus lados por um fator constante. Este e´ o caso
se, e somente se, seus aˆngulos correspondentes sa˜o iguais.
Em outras palavras, em triaˆngulos semelhantes os comprimentos de seus
lados correspondentes sa˜o proporcionais, ou seja:
a1
b1
=
a2
b2
=
a3
b3
= k. (5)
Assim, se o maior triaˆngulo tem seu maior lado treˆs vezes maior que o do
segundo, enta˜o o mesmo ocorre entre as proporc¸o˜es dos demais lados corres-
pondentes.
Em um triaˆngulo retaˆngulo, podemos estabelecer relac¸o˜es me´tricas entre
seus elementos, aplicando as propriedades ba´sicas da geometria euclidiana.
Usando como base o triaˆngulo da figura 1, temos que o triaˆngulo menor a`
esquerda e´ semelhante ao triaˆngulo ABC, pois possuem ao menos dois aˆngulos
iguais, logo os lados correspondentes sa˜o proporcionais:
a
c
=
c
n
, (6)
de modo que:
c2 = a.n. (7)
Analogamente, usando o mesmo racioc´ınio e montando as poss´ıveis pro-
porc¸o˜es, obtemos:
b2 = a.m (8)
e
bc = a.h. (9)
Com as relac¸o˜es acima, podemos provar o famoso Teorema de Pita´goras:
c2 + b2 = a.n+ a.m = a(m+ n) = a.a, (10)
14
 
Unidade: Colocar o nome da unidade aqui 
 
Unidade: Conceitos Básicos 
 
Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.cruzeirodovirtual.com.br
logo:
a2 = c2 + b2, (11)
cujo resultado nos fornece o enunciado:
”O quadrado da medida da hipotenusa e´ igual a` soma das medidas dos
quadrados dos catetos.”
11 Propriedades trigonome´tricas em um
triaˆngulo retaˆngulo
Com as propriedades de semelhanc¸a, podemos definir as func¸o˜es trigo-
nome´tricas em triaˆngulos retaˆngulos. Dois triaˆngulos retaˆngulos que teˆm
aˆngulos B correspondentes iguais sa˜o obviamente semelhantes, pois sabemos
da geometria que triaˆngulos com dois aˆngulos iguais sa˜o semelhantes. A raza˜o
entre o comprimento do lado oposto a B e o comprimento da hipotenusa sera´,
portanto, a mesma nos dois triaˆngulos, sendo um valor entre 0 e 1 e que de-
pende somente de B.
Esta raza˜o ou relac¸a˜o trigonome´trica e´ denominada seno de B, sendo
denotada e definida matematicamente como:
sin Bˆ =
cateto oposto ao aˆngulo
hipotenusa
. (12)
Assim, no triaˆngulo da figura 1, temos:
sin Bˆ =
b
a
. (13)
Outras func¸o˜es que sa˜o poss´ıveis de definir em um triaˆngulo retaˆngulo sa˜o:
2. Cosseno:
cos Bˆ =
cateto adjacente ao aˆngulo
hipotenusa
, (14)
de modo que, seguindo a figura 1, temos:
cos Bˆ =
c
a
. (15)
15
 
Unidade: Colocar o nome da unidade aqui 
 
Unidade: Conceitos Básicos 
 
Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.cruzeirodovirtual.com.br
3. Tangente:
tan Bˆ =
cateto oposto ao aˆngulo
cateto adjacente ao aˆngulo
. (16)
Matematicamente:
tan Bˆ =
b
c
. (17)
4. Cotangente:
cot Bˆ =
cateto adjacente ao aˆngulo
cateto oposto ao aˆngulo
. (18)
Matematicamente:
cot Bˆ =
c
b
. (19)
5. Secante:
sec Bˆ =
hipotenusa
cateto adjacente ao aˆngulo
. (20)
Matematicamente:
sec Bˆ =
a
c
. (21)
6. Cossecante:
csc Bˆ =
hipotenusa
cateto oposto ao aˆngulo
. (22)
Matematicamente:
csc Bˆ =
a
b
. (23)
As razo˜es trigonome´tricas definidas acima tambe´m podem ser definidas
para o outro aˆngulo agudo do triaˆngulo retaˆngulo, ou seja, em nossa figura,
o aˆngulo Cˆ. Como os aˆngulos sa˜o complementares, ou seja:
Bˆ + Cˆ = 90o, (24)
enta˜o podemos concluir algumas propriedades interessantes, como:
sin x = cos (90o − x). (25)
16
 
Unidade: Colocar o nome da unidade aqui 
 
Unidade: Conceitos Básicos 
 
Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.cruzeirodovirtual.com.br
12 Aˆngulos nota´veis
Denominamos aˆngulos nota´veis alguns aˆngulos em que se pode determi-
nar de forma exata os valores de suas razo˜es trigonome´tricas.Dentre os
aˆngulos agudos, sa˜o eles os aˆngulos de 30o, 45o e 60o.
A tabela a seguir mostra esses aˆngulos nota´veis e os valores de suas razo˜es
trigonome´tricas principais.
Aˆngulo Seno Cosseno Tangente
30o 1 / 2
√
3/2
√
3/3
45o
√
2/2
√
2/2 1
60o
√
3/2 1 / 2
√
3
Tabela 9: Aˆngulos nota´veis e suas razo˜es trigonome´tricas.
Esses valores podem ser demonstrados com propriedades da geometria
plana. Por exemplo, pode-se obter um triaˆngulo retaˆngulo a partir da divisa˜o
de um retaˆngulo por sua diagonal. Supondo um quadrado (figura 2), pode-se
mostrar os valores das razo˜es para o aˆngulo de 45o:
Figura 2: Esquema de um quadrado, subdividido em dois
triaˆngulos retaˆngulos, com aˆngulos agudos de 45o.
De fato, neste triaˆngulo, os catetos teˆm medidas iguais ao lado do quadrado
(a); logo, para qualquer um dos aˆngulos agudos, que sa˜o iguais a 45o, para
17
 
Unidade: Colocar o nome da unidade aqui 
 
Unidade: Conceitos Básicos 
 
Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.cruzeirodovirtual.com.br
que a soma fornec¸a 90o, tem-se, por Pita´goras:
h2 = a2 + a2 ⇒ h2 = 2a2, (26)
de modo que:
h = a
√
2. (27)
Assim, as razo˜es trigonome´tricas seno, cosseno e tangente dadas na tabela 9
podem ser facilmente verificadas:
sin 45o =
a
a
√
a
⇒ sin 45o =
√
2
2
; (28)
cos 45o =
a
a
√
a
⇒ cos 45o =
√
2
2
(29)
e
tan 45o =
a
a
⇒ tan 45o = 1. (30)
Exemplos resolvidos:
1. Obter os valores das medidas dos catetos b e c abaixo, sabendo-se que
a hipotenusa mede 5 cm e o aˆngulo Bˆ vale 30o.
Figura 3: Esquema do triaˆngulo retaˆngulo do exemplo 1.
Resoluc¸a˜o:
Com os conceitos dados anteriormente, podemos escrever:
sin Bˆ =
b
a
⇒ (31)
18
 
Unidade: Colocar o nome da unidade aqui 
 
Unidade: Conceitos Básicos 
 
Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.cruzeirodovirtual.com.br
sin 30o =
b
5
. (32)
Como da tabela de aˆngulos nota´veis, sabemos que sin 30o = 1/2, enta˜o pode-
mos escrever:
1
2
=
b
5
, (33)
de modo que temos 2 b = 5 ou b = 2,5 cm.
Analogamente, podemos usar a raza˜o cosseno para obter o outro cateto:
cos Bˆ =
c
a
⇒ (34)
cos 30o =
c
5
. (35)
Como da tabela de aˆngulos nota´veis, sabemos que cos 30o =
√
3/2, enta˜o
podemos escrever: √
3
2
=
b
5
, (36)
de modo que temos 2 b = 5
√
3 ou
b =
5
√
3
2
(37)
ou, aproximadamente, b=4,33 cm.
2. Obter os valores das medidas do cateto b e dos aˆngulos, sabendo-se
que a hipotenusa vale 12 m e o cateto c vale 6 cm.
Resoluc¸a˜o:
Com os conceitos dados anteriormente, podemos escrever:
sin Cˆ =
c
a
⇒ (38)
sin Cˆ =
6
12
= 0, 5. (39)
Com a tabela de aˆngulos nota´veis, conclu´ımos que Cˆ = 30o.
Como Bˆ + Cˆ = 90o, obtemos:
Bˆ = 60o.
19
 
Unidade: Colocar o nome da unidade aqui 
 
Unidade: Conceitos Básicos 
 
Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.cruzeirodovirtual.com.br
Enta˜o, temos:
sin Bˆ =
b
 
Unidade: Colocar o nome da unidade aqui 
 
Unidade: Conceitos Básicos 
 
a
⇒ (40)
√
3
2
=
b
12
⇒ (41)
b = 12
√
3
2
. (42)
Desse ca´lculo, obtemos: b = 6
√
3 ou, aproximadamente:
b = 10,39 cm.
Respostas dos exerc´ıcios propostos:
Ex.: 1)
(a) Corpo extenso.
(b) Part´ıcula.
(c) Part´ıcula.
(d) Corpo extenso.
(e) Part´ıcula ou corpo extenso, o que vai depender de seu tamanho e se
consideramos seu movimento em relac¸a˜o a um objeto na mesa como uma
colher ou em relac¸a˜o a um cubo de ac¸u´car, por exemplo.
Ex.: 2)
(a) GFD (b) G
(c) G (d) G
(e) GFD (f) GFD
(g) GFF (h) GFD
(i) GFF (j) GFF
Ex.: 3)
1. x = 6,453838 x 104 kg
20
Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.cruzeirodovirtual.com.br
2. y = 5,38 x 10−6 m
3. z = 6 x 109 J
4. w = 1,0 x 10−10 m
5. v = 1,68 x 1014 N
Ex.: 4)
1. x = 64,53838 Mg
2. y = 5,38 µm
3. z = 6 GJ
4. w = 0,1 nm
5. v = 16,8 TN
Ex.: 5)
(a) 50 pe´s x 60 µlb = 0,0041 N.m
(b) 50 kN x 60 nm = 0,003 N.m
(c) 100 kgf x 200 pe´s = 5,98 x 104 N.m
(d) 5000 lb / pe´s2 = 2,39 x 105 N / m2
(e) 10 dyn x 20 ms = 2 x 10−6 N.s
21
 
Unidade: Colocar o nome da unidade aqui 
 
Unidade: Conceitos Básicos 
 
Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.cruzeirodovirtual.com.br
Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.cruzeirodovirtual.com.br 
 
 
 
 
 
Unidade: Colocar o nome da unidade aqui 
 
Unidade: Conceitos Básicos 
 Anotações 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
 
Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.cruzeirodovirtual.com.br 
 
 
 
 
Unidade: Colocar o nome da unidade aqui 
 
Unidade: Conceitos Básicos 
 
Referências 
 
HIBBELER, R. C. Estática- Mecânica Para Engenharia, Cap. 1, 10ª ed. 
Pearson Prentice Hall, 2005. 
IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar, Vol. 3: Trigonometria, 
8ª ed. São Paulo: Editora Atual, 2004. 
SHAMES, IRVING H. Estática - Mecânica Para Engenharia - Volume I, Cap. 1, 
4ª ed. Pearson Prentice Hall, 1996. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
www.cruzeirodosul.edu.br 
Campus Liberdade 
Rua Galvão Bueno, 868 
01506-000 
São Paulo SP Brasil 
Tel: (55 11) 3385-3000 
 
Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.cruzeirodovirtual.com.br 
	Untitled
	Untitled