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Mecânica Geral 
 
 
 
M A T E R I A L T E Ó R I C O 
 
 
 
 
 
 
 
 
Unidade IV: 
 
 
Equilíbrio de Corpos Rígidos 
 
 
 
 
 
 
Responsável pelo Conteúdo: 
Prof. Dr. Jaime Sandro da Veiga 
 
Revisão Textual: 
Prof. Dr. Jaime Sandro da Veiga 
 
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zzzzzzzzzzzzzzz 
 
 
 
 
Orientação de Estudos 
 
 
Olá caros alunos, 
 
Sejam bem-vindos a mais uma unidade de ensino e de aprendizagem da 
disciplina de Mecânica Geral. Espero que tenham um excelente estudo e um bom 
aproveitamento. 
Há nesta unidade atividades que contemplam exercícios de sistematização 
e aprofundamento do conteúdo em que aplicamos o que aprendemos sobre o 
Equilíbrio de Corpos Rígidos. 
 
 
 
 
 
 
A T E NÇ Ã O: Para um bom aproveitamento do curso, leia o 
material teórico atentamente antes de realizar as atividades. É 
importante também respeitar os prazos estabelecidos no 
cronograma. 
Olá, Caros Alunos: 
Nesta unidade, abordaremos o Equilíbrio de Corpos 
Rígidos, a fim de introduzir as duas condições para ocorrência de 
um equilíbrio estático: o equilíbrio de forças externas e o 
equilíbrio de momentos. A resolução de problemas passa por um 
importante método para simplificar a aplicação das condições de 
equilíbrio: a construção de diagramas de corpos livres. Eles 
constituem uma maneira de se apresentar em um diagrama 
apenas as forças e momentos que participarão explicitamente do 
balanço de forças e momentos. 
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Unidade IV: Equilíbrio de Corpos Rígidos 
Contextualização 
 
Nesta unidade IV, iremos estudar o equilíbrio estático em corpos rígidos, 
objetos que são idealizações de objetos reais, pois os corpos rígidos não 
possuem flexibilidade, não se deformam, de forma que dois pontos quaisquer 
pertencentes a ele mantêm a mesma distância entre si. 
Os pontos fundamentais para o equilíbrio estático de corpos rígidos são: i) o 
equilíbrio entre as forças agindo no corpo, em que estas forças devem resultar 
em uma força total – a força resultante – nula; ii) o equilíbrio de momentos, em 
que a soma de todos os momentos externos – o momento total resultante – deve 
se anular. O que faz um corpo alterar seu estado de movimento translacional é 
uma força externa resultante e o que faz o mesmo corpo alterar seu estado de 
movimento rotacional é um momento (ou torque externo) ser nulo também. 
Assim, a condição (i) estabelece um equilíbrio translacional e a condição (ii) é a 
responsável pelo equilíbrio rotacional. 
Estabelecidas as condições de equilíbrio, parece, à primeira vista, que será 
muito fácil resolver os problemas de Estática que ocorrem em Engenharias: a 
parte envolvendo os cálculos se reduzirá a um sistema de equações com o 
mesmo número de incógnitas que, portanto, terá solução única - e direta - pelos 
métodos comuns de resolução de sistemas. Mas, em geral, nos deparamos com o 
problema de aplicar as condições de equilíbrio, pois às vezes ficamos confusos 
em como representar as forças e momentos, em onde e como devemos localizar 
o sistema de coordenadas. Em razão disto, a introdução de uma forma 
sistemática de descrever as forças e momentos importantes para a resolução dos 
problemas é introduzida. Tal método é conhecido como Diagramas de Corpos 
Livres. Não é muito trivial seu aprendizado e tampouco a se acostumar com 
suas regras de construção, habilidade que se consegue fazendo o maior número 
de exercícios que for possível. Todavia, uma longa exposição foi feita a fim de 
prover material de apoio suficiente para a resolução dos exercícios. 
 
 
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Unidade IV: Equilíbrio de Corpos Rígidos 
Equilíbrio de Corpos Rígidos 
 
 
 
 
Introdução: O que é um corpo rígido? 
 
 
 
Dizer que uma partícula permanece em equilíbrio é equivalente a dizer que ela 
se encontra em repouso ou em um estado de movimento retilíneo e uniforme. 
No entanto, em uma situação de equilíbrio estático, ela tem de necessariamente 
estar parada. Isto acontece – o repouso ou o movimento retilíneo e uniforme – 
sempre que a resultante de todas as forças que atuam sobre ela for igual a zero. 
Essa é a 1ª lei de Newton, estudada na Unidade III. Essa condição de equilíbrio 
pode ser estendida para corpos maiores do que uma partícula sempre que 
tenhamos um corpo com dimensões desprezíveis quando comparadas às outras 
dimensões envolvidas no sistema (neste caso, o corpo é conhecido por ponto 
material). Damos como exemplo o sistema Terra-Sol, em que ambos podem ser 
tratados como pontos materiais se compararmos suas dimensões com a 
distância que os separa. Além disso, isso é válido também quando tratamos 
todas as forças externas como se estivessem concentradas em um único ponto 
do corpo extenso: o centro de massa. Recordando a declaração da 1ª Lei de 
Newton, temos: 
Uma partícula (ou ponto material) permanece no seu estado de 
repouso ou de movimento retilíneo e uniforme a menos que uma 
força resultante externa altere seu estad0 de movimento. 
Resumindo, a condição de equilíbrio de forças pode ser estendida para corpos 
maiores do que uma partícula sob uma de duas possíveis condições: 
 se as forças atuando sobre o corpo forem concorrentes (caso em que elas 
são dirigidas para um único ponto); 
 se o corpo se move com movimento translacional uniforme, isto é, em 
uma mesma direção fixa com velocidade constante, sem rotações. 
Muitos dos problemas do equilíbrio de corpos extensos não preenchem estas 
condições. As forças atuando sobre o corpo não passam através de um único 
ponto, isto é, não são concorrentes, e o movimento do corpo não é um 
movimento puramente translacional, mas pode incluir rotações também. O 
movimento de um corpo extenso é, em geral, complicado, como é o caso de uma 
raquete de tênis jogada para cima. A raquete é quase sempre lançada de modo a 
girar em torno de um de seus eixos, mas, além disso, o próprio eixo de rotação 
pode girar e o movimento consequente é uma superposição de uma translação 
com uma rotação. 
Devemos manter nossa atenção no estudo do equilíbrio de um corpo em relação 
à rotação em torno de um eixo fixo. Embora todos os corpos materiais se 
deformem de alguma forma sob a ação de forças aplicadas, é conveniente pensar 
neles como corpos não deformáveis, isto é, rígidos. Assim, podemos definir um 
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Unidade IV: Equilíbrio de Corpos Rígidos 
corpo rígido como aquele em que todas as dimensões permanecem as mesmas – 
constantes -, não importando a natureza das forças aplicadas. No fundo, é o 
mesmo que dizer que, escolhendo dois pontos quaisquer no corpo, eles 
permanecerão sempre com a mesma distância, não importando o estado de 
movimento. Com este conceito, a Estática de Corpos Materiais pode ser bastante 
simplificada, pois ao invés de se ter de estudar o corpo como se ele fosse uma 
vasta coleção de partículas para as quais as condições de equilíbrio devam ser 
aplicadas para somente uma única partícula de cada vez, o corpo inteiro pode 
ser tratado como um objeto único e seu equilíbrio pode ser estudado por 
intermédio da introduçãode um novo conceito chamado momento de uma 
força (que também recebe o nome de torque), que é uma quantidade relativa a 
rotações de corpos ou a movimentos de partículas em torno de eixos. 
 
Momento de uma Força (Torque) 
 
O efeito de uma força, ao produzir uma rotação, é determinado por dois fatores: 
1. a força em si; 
2. a distância da linha de ação da força, a partir de alguma reta considerada 
como eixo de rotação. 
Suponha que a força atue sobre um corpo rígido, como é mostrado na Figura 
1; sua linha de ação é colinear ao vetor : 
 
Figura 1: Uma força sendo aplicada em um corpo rígido a uma distância de um 
ponto por por onde passa um eixo de rotação. 
Imagine um eixo passando através de um ponto perpendicular ao plano da 
tela do computador ou do papel, no caso do texto impresso, tal que a distância a 
partir de à linha de ação da força seja igual a : O efeito da força na 
produção da rotação em torno do eixo que passa por O, chamado momento da 
força ou torque, é definido como o produto da força pela distância 
perpendicular à linha de ação da força. Se representa o módulo do momento, 
então: 
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Unidade IV: Equilíbrio de Corpos Rígidos 
 
Como se pode ver na Figura 1, o momento tenderá a produzir uma rotação do 
corpo em um sentido anti-horário em torno de um eixo passando por O; o 
momento é dito estar no sentido anti-horário. A Figura 2 apresenta um corpo 
rígido sujeito a duas forças, e , a distâncias e , respectivamente, a partir 
de um eixo passando por perpendicular ao plano da tela ou do papel, o que for 
utilizado. O momento produzido por em torno de é no sentido anti-
horário e o momento produzido por em torno de é no sentido horário. 
Por convenção, um momento no sentido anti-horário é costumeiramente 
definido positivo e o no sentido horário oposto é definido negativo. Assim, o 
momento total produzido por estas forças em torno do eixo passando por é: 
 
 
Figura 2: Duas forças são aplicadas em pontos diferentes em relação ao eixo de 
rotação 
Sempre que o momento produzido por uma força em torno de um eixo 
particular precisa ser determinado, é essencial descobrir a distância 
perpendicular à linha de ação da força. Na Figura 3, a força é aplicada no 
ponto E na borda de um disco. Para encontrar o momento em torno de um eixo 
perpendicular ao plano da tela (ou papel) que passa pelo ponto no centro do 
disco, é necessário estender o raio de ação da força mostrada pela linha 
pontilhada e então descer uma perpendicular a partir de sobre este raio para 
obter a distância perpendicular . O momento de em torno do eixo que passa 
por é ; o sinal de menos indica que ele aponta no sentido horário. 
As unidades usadas para expressar o momento devem ser coerentes com o 
produto de uma força por uma distância. Assim, libra-força vezes pé 
é costumeiramente utilizada no sistema britânico, newton vezes metro ( ) 
no sistema internacional ou dina vezes centímetro no sistema CGS, 
pois todas elas são unidades apropriadas para o momento. 
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Unidade IV: Equilíbrio de Corpos Rígidos 
 
Figura 3: Uma força aplicada em um disco a uma distância do centro. 
 
Representação Vetorial do Momento 
 
Somente forças coplanares foram consideradas na discussão precedente. O eixo 
em torno do qual os momentos das forças foram determinados estavam sempre 
formando ângulos retos com os planos que continham as forças. Neste caso mais 
simples, o sentido de rotação e, por conseguinte, o sentido do momento foi 
especificado como sendo horário ou anti-horário. No caso mais geral, em que as 
forças são não coplanares e o eixo de rotação pode estar em qualquer direção 
arbitrária, é necessário que se tenha um método mais geral, consistindo em 
representar o momento por um vetor. 
Sistemas de coordenadas retangulares são ditos sistemas de mão direita quando 
eles têm a disposição representada pelo conjunto de vetores , e que 
aparecem na Figura 4. 
 
Figura 4: Indicação da regra da mão direita. 
 
Pela figura, se os dedos da mão direita estão apontando no sentido positivo do 
eixo (representados na figura pelo vetor ) e as partes dos dedos que estão 
dobradas de forma a apontar no sentido positivo do eixo (representados pelo 
vetor ), o polegar que está esticado apontará no sentido positivo do eixo 
(representado pelo vetor ). A disposição dos dedos e do polegar da mão direita 
é comumente usada para representar quantidades vetoriais envolvendo 
rotações. Se os dedos da mão direita fossem usados para girar o disco 
representado na Figura 5, com os dedos apontando no sentido da rotação que a 
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Unidade IV: Equilíbrio de Corpos Rígidos 
força aplicada em A pode produzir, o polegar estendido deve apontar na direção 
do eixo de rotação. Para representar o momento produzido pela força em A 
por um vetor, temos de desenhar um vetor de módulo dado por , 
apontando ao longo da linha do eixo de rotação no sentido da esquerda da 
figura. 
 
Figura 5: Ilustração da regra da mão direita mostrando o sentido do momento pelo 
polegar. 
 
Equilíbrio de um Corpo Rígido 
 
Quando um corpo rígido permanece em repouso sob a ação de um sistema de 
forças, diz-se que o corpo está em equilíbrio estático. Porém, sob condições 
especiais, um corpo pode estar em equilíbrio até mesmo quando ele está em 
movimento e, neste caso, diz-se que este corpo está em equilíbrio dinâmico. Por 
exemplo, um corpo rígido está em equilíbrio se ele se move de tal forma que 
cada partícula no corpo se move com velocidade uniforme em uma reta. Outro 
tipo de equilíbrio dinâmico é aquele de uma roda girando em torno de seu eixo 
com velocidade angular uniforme. Para um corpo rígido permanecer em 
equilíbrio estático, quando um conjunto de forças atua sobre ele, duas 
condições devem ser satisfeitas: 
1. A soma vetorial de todas as forças agindo sobre o corpo deve ser nula. 
Esta condição assegura que não haverá variação no estado do movimento 
translacional. Escrevendo a condição na forma de uma equação, temos: 
 
 
 
 
em que a soma vetorial engloba todas as forças atuando sobre o ponto 
material em questão. Notemos que esta é a mesma condição para o 
equilíbrio de uma partícula. Esta equação é conhecida como balanço de 
forças. 
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Unidade IV: Equilíbrio de Corpos Rígidos 
2. A soma vetorial de todos os momentos agindo sobre um corpo em torno 
de qualquer eixo é nula. Em se tratando de problemas bidimensionais, 
isto é equivalente a dizer que a soma dos momentos no sentido horário 
em torno de qualquer eixo deve ser igual a soma dos momentos no 
sentido anti-horário em torno do mesmo eixo. Escrevendo esta condição, 
na forma de uma equação, temos: 
 
 
 
 
Esta condição sobre os momentos, a saber, que a soma dos momentos deve se 
anular, é uma nova condição para o equilíbrio aplicávela um corpo rígido que 
não era pertinente ao equilíbrio de uma partícula, já que todas as forças agindo 
sobre a partícula tinham de se cruzar sobre a mesma. As forças agindo sobre um 
corpo rígido, não atuam, em geral, sobre um único ponto no corpo e, 
consequentemente, darão surgimento a um movimento rotacional, a menos que 
a condição sobre os momentos seja satisfeita. Esta equação é conhecida como 
balanço de momentos (ou balanço de torques). 
 
Diagramas de Corpo Livre (DCL) 
 
 
 
Um diagrama de corpo livre consiste em primeiramente fazer um esboço do 
corpo em questão e colocar as flechas representando as forças aplicadas a ele. A 
seleção do corpo para o esboço pode ser a primeira decisão importante no 
processo de resolução de um problema. Por exemplo, para descobrir as forças 
sobre a junta-pivô de um simples par de tenazes, como em uma pinça de 
cadinho siderúrgico (ou químico) ou mesmo em um alicate, é útil que se faça um 
esboço do DCL de uma das tenazes, não do sistema inteiro, substituindo a 
segunda metade pelas forças que deveriam ser aplicadas à primeira. 
 
O que deve ser incluído 
 
O desenho de um DCL precisa incluir tão somente os detalhes necessários e 
importantes. Em geral, um simples esboço é suficiente. Dependendo da análise a 
ser feita e do modelo que está sendo empregado, até mesmo um único ponto 
pode ser o mais adequado a ser representado por intermédio de um desenho. Se 
a rotação do corpo e o momento estão sendo levados em consideração, o melhor 
a fazer é desenhar o formato do corpo. Diagramas de corpo livre são chamados 
assim porque o diagrama isola o corpo - daí o "livre”- de todos os outros corpos 
interagentes, de forma que o diagrama focaliza apenas o corpo específico. 
Desenhos de corpos em volta dos DCL podem ser necessários a fim de 
considerar os outros corpos interagentes do sistema. 
Todos os contatos externos, vínculos e forças entre corpos são indicados por 
flechas com descrições apropriadas. As flechas mostram a direção, sentido e 
módulo das várias forças existentes no sistema em questão. Sempre que 
possível, para propósitos práticos, as flechas devem indicar o ponto de aplicação 
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Unidade IV: Equilíbrio de Corpos Rígidos 
das forças que elas representam. Apenas as forças que atuam sobre um objeto 
são incluídas. Estes podem incluir forças tais como: a de atrito, a gravitacional, a 
força normal, a de arrasto, tensões em cordas ou outras tensões, ou uma força 
humana que irá empurrar ou puxar. Quando tratamos de um sistema que está 
em um sistema de referência não inercial, forças fictícias tais como a 
pseudoforça centrífuga, podem ser apropriadas. Um sistema de coordenadas é 
usualmente incluído, de acordo com a conveniência. Isto pode tornar a definição 
dos vetores mais simples no momento de escrever as equações de movimento. 
Por exemplo, a direção pode ser escolhida de forma a apontar para baixo em 
uma rampa no problema do plano inclinado. No caso da força de atrito, se tiver 
apenas a componente a força normal só terá componente . A força de 
gravidade terá ainda componentes em ambas as direções e : na 
direção ( é o seno do ângulo ) e na direção , em que é o 
ângulo que a rampa faz com a horizontal (veja a Figura 6). 
 
Figura 6: Figura mostrando um bloco de massa m sujeito à aceleração da 
gravidade g em um plano inclinado de um ângulo com coeficiente de atrito 
 
O que não deve ser incluído 
 
Todas as forças externas de contato e de vínculo escritas a partir dos objetos 
externos são deixadas de fora e substituídas por flechas de força sobre o corpo 
livre. As forças oriundas da aplicação do corpo livre sobre outros objetos não são 
incluídas. Por exemplo, se uma bola repousa sobre uma mesa, a bola aplica uma 
força sobre a mesa e a mesa aplica uma força sobre a bola igual e oposta. O DCL 
da bola inclui apenas a força que a mesa faz sobre a bola. Forças internas, isto é, 
as forças entre as várias partes que compõem um sistema que está sendo tratado 
como um corpo simples são omitidas. Por exemplo, se um andaime inteiro está 
sendo analisado para se descobrir as forças de reação no suporte, as forças entre 
as diversas partes individuais do andaime não são incluídas. Qualquer 
velocidade ou aceleração deve ser deixada de fora. Estas podem ser indicadas 
em um diagrama parecido, chamado de "diagrama cinemático", "diagrama de 
resposta inercial" ou algum termo equivalente, dependendo do autor. 
 
Suposições 
 
 
Um DCL reflete as suposições e as simplificações feitas a fim de analisar o 
sistema. Se o corpo em questão é um satélite em órbita, por exemplo, e tudo o 
que se quer é encontrar sua velocidade, então um simples ponto pode ser a 
melhor representação. Por outro lado, a empinada traseira de uma moto, 
quando ela é brecada fazendo com que o motociclista seja jogado um pouco para 
a frente sobre o garfo dianteiro, não pode ser descrita a partir de um único 
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Unidade IV: Equilíbrio de Corpos Rígidos 
ponto, e um esboço mais detalhado deve ser utilizado. Os vetores de força devem 
ser cuidadosamente localizados para evitar suposições que pressupõem um 
resultado. Por exemplo, em um diagrama de um bloco sobre uma rampa, a 
localização exata da força normal, resultante da rampa sobre o bloco, pode 
somente ser encontrada após a análise do movimento ou assumindo-se o 
equilíbrio do sistema. 
 
 
Exemplos 
 
 
Dois exemplos bastante simples serão apresentados a seguir. Um deles, o de 
uma bicicleta sendo brecada, cujo foco será a roda dianteira. O DCL deverá 
apresentar o sistema de eixos (pode-se utilizar um sistema de mão direita com o 
eixo orientado para baixo e o eixo orientado para a direita ou um sistema de 
mão esquerda, com o eixo orientado para a direita e o eixo orientado para 
baixo), a força de atrito do breque sobre a roda, a força de atrito do chão sobre a 
roda e a força normal do chão sobre a roda. Dá para notar que as duas forças de 
atrito estão com suas maiores componentes dirigidas ao mesmo sentido. Outro 
exemplo é o de uma pessoa de pernas ligeiramente abertas mantendo-se em pé. 
Há o peso da pessoa para baixo, as duas normais atuando uma em cada pé e as 
duas forças de atrito recebidas no pé e aplicadas pelo chão em sentidos opostos, 
ambas do sentido externo para o interno ao eixo de simetria bilateral (aquele 
eixo imaginário que corta longitudinalmente uma pessoa ao meio, passando 
pelo nariz e boca e pelo umbigo). Este par de forças de atrito, atuando nos pés, 
permite que a pessoa se mantenha em pé; sem atrito, os pés escorregariam 
fazendo com que as pernas se abrissem e a pessoa caísse. 
Na Figura 7 há um esboço de cada sistema e o DCL de cada um dos sistemas em 
questão. 
 
Figura 7: Dois exemplos de diagramas de corpo livre: uma bicicleta sendo brecada 
e uma pessoa em pé de pernas abertas. 
 
O que mostrar e o que não mostrar em um diagrama de corpo livre? 
 
Vamos falar um pouco mais acerca dos elementos de um bom DCL. Alguns 
destes têm mais a ver com estilo, mas achamos que mesmo assim eles ajudarão 
na resolução de problemas. 
 O sistema: Um DCL é um desenho do sistema para o qual você gostaria 
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Unidade IV: Equilíbrio de Corpos Rígidos 
de aplicar os balanços de forças e de momentos ou o balanço de energia. 
Ele apresenta o sistema isolado(livre) de seu meio ambiente, ou seja, o 
DCL não apresenta objetos que estão próximos ou tocando o sistema de 
interesse; 
 A palavra corpo significa sistema: Um DCL pode mostrar uma ou 
mais partículas, objetos rígidos, objetos deformáveis ou partes 
componentes de tal máquina. Você pode desenhar um DCL de qualquer 
coleção de materiais que você identificar. A palavra corpo tem a 
conotação de um objeto padrão nas mentes das pessoas. O corpo em um 
DCL pode ser um subsistema de um sistema global de interesse. Para um 
sistema de partes, há coleções de partes. Para os alicates 
apresentados na Figura 11 há 4 partes e 15 DCL possíveis (6 deles foram 
apresentados); 
 As forças que enganam em um sistema: O DCL de um sistema 
apresenta as forças e momentos que o meio ambiente impõe ao sistema. 
Isto é, já que o único método de interação mecânica que a Natureza 
"inventou" é a força (e, por conseguinte, o momento para um corpo 
extenso), um DCL apresenta o que deveria ser feito para "enganar" um 
sistema, se fôssemos literalmente isolar tal sistema. Assim, o movimento 
do sistema seria totalmente o mesmo se fôssemos isolá-lo e as forças 
mostradas em um diagrama de corpo livre fossem aplicadas em 
substituição a todas as interações externas; 
 Cada força possui uma fonte e um alvo: Toda força mostrada em 
um DCL atua sobre o sistema (o corpo) e a partir de outro objeto de 
acordo com alguma regra. Para cada força você deve ser capaz de 
denominar um alvo (o corpo "livre"), a fonte (isto é, o corpo que está em 
contato) e a regra (isto é, lei da gravidade, uma equação de mola, a força 
suficiente para evitar interpenetração). Alguns índices podem ajudar, tais 
como que indica a força que atua a partir de E sobre D; 
 Coloque forças em cortes: As forças e os momentos são localizados 
em um DCL nos pontos aonde eles são aplicados. Estes lugares estão 
onde você fizer os "cortes" para liberar o corpo; 
 O movimento é causado ou evitado por forças: Em lugares aonde 
o meio externo causa ou restringe a translação do sistema isolado, uma 
força de contato é desenhada sobre o DCL; 
 A rotação é causada ou evitada por momentos: Em conexões com 
o mundo exterior que causa ou restringe a rotação do sistema, um 
momento de contato (ou um binário) é desenhado. Desenhe este 
momento para fora do sistema para maior clareza; 
 Desenhe forças de contato para fora do corpo: Desenhe a força de 
contato saindo do esboço do sistema para uma maior clareza. Um bloco 
preso por uma dobradiça como na Figura 8 ilustra como a força de reação 
sobre o bloco devido à dobradiça é melhor apresentada saindo do bloco.
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Unidade IV: Equilíbrio de Corpos Rígidos 
 
Figura 8: A figura apresenta um bloco de massa m sendo mantido por uma 
dobradiça com atrito. Estão desenhados os DCL correto e o errado. 
 Desenhe as forças sobre o corpo (por exemplo, a força da 
gravidade) para dentro do corpo: O DCL apresenta o corte do 
sistema livre da fonte de quaisquer forças de corpos aplicadas ao sistema. 
Forças de corpos são forças que atuam sobre o interior de um corpo a 
partir de objetos fora do corpo. É melhor desenhar as forças de corpos 
sobre o interior do corpo exatamente no centro de massa, se isto 
representar corretamente o efeito total dessas forças. A Figura 8 mostra a 
forma mais limpa de representar a força de gravidade sobre o bloco 
uniforme, atuando exatamente no centro de massa; 
 As forças internas não são desenhadas: O DCL mostra todas as 
forças externas atuando sobre o sistema, mas nenhuma força interna, isto 
é, forças entre os objetos dentro de um corpo não são mostradas; 
 
Figura 9: DCL desenhado de forma errada, pois apresenta forças internas. 
 Não desenhe velocidades e acelerações: O DCL não apresenta nada 
acerca do movimento. Ele não mostra "forças centrífugas", "forças 
inerciais" etc. 
 
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Unidade IV: Equilíbrio de Corpos Rígidos 
Como desenhar as forças em um diagrama de corpo livre 
 
Isto irá depender: 
 de quanto você sabe acerca da força antes de fazer sua análise. 
Você conhece sua direção e sentido? Seu módulo? 
 da sua escolha de notação (que pode variar de vetor para vetor em 
um DCL). 
Algumas das possibilidades são: 
1. Qualquer é possível; 
2. A direção e o sentido de são conhecidos; e 
3. Tudo a respeito de é sabido. 
 
Observe na Figura 10 o processo de construção de um diagrama de corpo livre. 
 
Figura 10: A figura apresenta o corte e o isolamento de DCL de um sistema 
envolvendo a roda de um ônibus espacial. 
A Figura 11 apresenta o processo correto de introdução das forças no DCL para 
um alicate que prende um lápis com a mão apertando esse alicate. 
 
 
Número de Equações e Número de Incógnitas 
 
 
Em duas dimensões, as equações de equilíbrio perfazem três equações escalares 
independentes. Podemos ter: 
 duas componentes do balanço de forças e uma componente não trivial do 
balanço de momentos; ou 
 balanço de momentos em torno de dois pontos quaisquer (exceto na 
direção ortogonal à linha que liga estes dois pontos); 
 balanço de momentos em torno de três pontos (três pontos quaisquer que 
não estejam alinhados são suficientes). 
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Unidade IV: Equilíbrio de Corpos Rígidos 
 
Figura 11: Mão apertando um lápis com o alicate. De (a) até (f), representação 
correta dos DCL’s. Em (g), o detalhe do lápis e o alicate. 
 
Note que o balanço de momentos necessariamente é parte das equações de 
equilíbrio, mas o balanço de forças pode ser mais sutil. Com um diagrama 2D do 
corpo livre, as equações de equilíbrio podem ser resolvidas de forma a encontrar 
três incógnitas escalares; por exemplo: 
 os módulos das três forças cujas direções são conhecidas a priori; ou 
 um vetor força incógnita (as duas componentes, ou ângulo e módulo) e 
um módulo desconhecido; ou 
 uma outra lista de três escalares associados às forças em um DCL. Além 
disso, componentes de força e módulos podem incluir um ângulo da 
força, ; um coeficiente de atrito, ; ou o local de aplicação da força. 
Uma vez que temos três equações independentes, quaisquer equações adicionais 
que venhamos a escrever, digamos o momento em torno de qualquer ponto 
imóvel, esta não conterá qualquer informação extra. Uma quarta equação de 
equilíbrio pode aparentemente parecer diferente de qualquer outra equação que 
já foi escrita, mas certamente ela pode ser deduzida de combinações lineares das 
outras equações. Em alguns problemas, as forças apresentadas em um diagrama 
de corpo livre satisfazem automaticamente uma ou mais das equações de 
equilíbrio; ao fazer o desenho, poderemos ter de implicitamente resolver 
algumas equações de equilíbrio. As equações de equilíbrio então oferecem 
menos (e até em algumas situações, nenhuma) informação nova. 
Em 3D, as equações de equilíbrio produzem 6 equações escalares 
independentes: 3 são para as componentes da força e 3 para as componentes do 
momento. Mas há muitas combinações diferentes de equações de equilíbrio que 
produzem 6 equações escalares independentes. 
 
Resolução de alguns problemas simples 
 
Exemplo 1: Vamos analisar as forças associadas com a operação de uma 
alavanca. Essencialmente, uma alavanca consiste em uma barra rígida AB, como 
na Figura 12, capaz de rodar em torno de um ponto de apoio, chamado de 
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Unidade IV: Equilíbrio de Corpos Rígidos 
 
Figura 12: Figura mostrando uma alavanca com um peso, W, posto em A com uma 
força F aplicada em B. Observe o fulcro sustentando a alavanca em O e aplicando-
lhe uma reação, P. 
fulcro ou sustentáculo, que define o eixo de rotação. Suponha que um peso 
seja colocado na extremidade A e que uma força seja aplicada para baixo na 
extremidade B para manter a alavanca em equilíbrio na posição horizontal. 
Aplicando a equação do equilíbrio de forças da barra AB, uma vez que as forças 
 e estão ambas na direção , a única outra força possível, a força exercida 
pelo apoio em , deve estar também na direção 
Chamando esta força de , a equação vetorial para essas forças deve ser: 
 
 . 
 
Reescrevendo a equação com os símbolos W, P e F representando o módulo das 
três forças, seus respectivos sentidos são tomados a partir dos sentidos das 
flechas na figura, de forma que: 
 
 
 
Logo, 
 . 
 
Para aplicar a segunda condição para o equilíbrio, vamos determinar os 
momentos das forças em torno do ponto em relação a um eixo que aponta 
para fora da tela (ou do papel, caso seja uma cópia de impressão em papel). Se 
considerarmos como a origem de um sistema de coordenadas com o eixo 
positivo apontando à direita do ponto B, a direção positiva como a direção 
dada pelo vetor , então o sentido positivo de aponta na direção normal para 
fora da tela ou do papel, como dada pela convenção de sistemas de eixos de mão 
direita. O momento de em torno de é , já que a rotação que seria 
gerada por estaria no sentido anti-horário, e o vetor momento apontaria na 
direção positiva de O momento de em torno de é , já que este 
está no sentido horário; o momento de em torno de é zero. Todos os 
momentos estão no sentido de positivo, de forma que aplicaremos as 
condições para o equilíbrio de momentos: 
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Unidade IV: Equilíbrio de Corpos Rígidos 
 
 
 
 
 
ou, usando apenas as componentes, temos: 
 
 , 
 
de modo que, finalmente, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
As distâncias e são chamadas de braços de alavanca das respectivas 
forças e . Assim, no caso de uma alavanca, e estão na razão inversa de 
seus braços de alavanca. Colocando-se o fulcro mais próximo a , deveremos 
precisar de uma força menor para erguer . O fulcro pode ser colocado em 
qualquer ponto ao longo da barra e as posições de e podem ser movidas de 
forma a obter quase que qualquer resultado desejado consistente com a 
aproximação que a barra permanece um corpo rígido. Muitas ferramentas 
comuns são aplicações do princípio da alavanca, como pode ser visto a partir da 
análise do uso da tesoura, do alicate, do cortador de unhas e do quebra-nozes. 
 
Exemplo 2: Uma barra de aço de 5 ft (pés) de comprimento é suportada em 
suas duas terminações, conforme mostrada na Figura 13. Um peso de 160 lbf 
(libras-força) é colocado a 2 ft (pés) da extremidade A. Desprezando o peso da 
barra, determine as forças exercidas pelos suportes. 
Solução: As forças atuando sobre a barra de aço são mostradas na Figura 13. 
 
Figura 13: Figura mostrando uma barra de aço e um peso sobre ela e as forças 
atuando em suas extremidades. 
As forças exercidas pelos suportes são apresentadas como e . A partir da 
condição de equilíbrio, obtemos: 
 
 
 
Aplicando a segunda condição para o equilíbrio, ficamos com a liberdade de 
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Unidade IV: Equilíbrio de Corpos Rígidos 
escolher qualquer eixo de rotação. Vamos escolher um eixo que passa através do 
ponto A dirigido para a normal que sai da tela (ou do papel, caso se faça uma 
cópia impressa). Seguindo o exemplo prévio, definimos esta como a direção 
positiva. A soma dos momentos de todas as forças em torno de A é zero, 
produzindo: 
 
 
 
a partir da qual: 
 
 
 
Substituindo esta na primeira equação resulta: 
 
 
 
Este exemplo realmente representa a solução de uma classe de muitos 
problemas em Estática. Se a linha AB representa uma simples ponte, então FA e 
FB representam as forças exercidas pelos piers da ponte, e resolvemos o 
problema da carga suportada pelos piers sob uma distribuição particular de 
cargas. Se a linha AB representa o chassi de um caminhão, como bem poderia 
ser com a substituição de números um pouco diferentes para a distância e peso, 
então poderia representar o peso do motor e as duas forças poderiam 
representar a carga suportada pelos pneus da frente e de trás. 
 
Exemplo 3: Um bastão de 8 ft de comprimento e que pode ser considerado 
sem peso, é preso a uma parede em uma ponta, como é mostrado na Figura 14a. 
Para suportar o bastão horizontalmente, uma corda de 10 ft de comprimento é 
esticada, puxando a ponta de fora do bastão para cima até chegar à parede a 
uma distância de 6 ft acima do pino em que o bastão está preso. Encontre a 
tensão na corda e a força exercida pelo pino sobre o bastão. 
 
Figura 14: Uma barra suportando um peso é presa por uma corda em (a); em (b), 
está representado o DCL deste sistema. 
Observemos que estamos tratando do equilíbrio de um corpo rígido, isto é, de 
um bastão. A partir das dimensões dadas, trata-se de um triângulo retângulo 3-
4-5, e o ângulo ACD é de 37°. Vamos isolar o bastão AC e rotular todas as forças 
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Unidade IV: Equilíbrio de Corpos Rígidos 
atuando sobre ele, assim como é apresentado na Figura 14b. Uma vez que não 
sabemos nem o módulo nem a direção da força exercida pelo pino em A, iremos 
rotular também as componentes dessa força como e e desenhá-las nos 
sentidos em que esperamos que essas forças atuem. Embora conheçamos a 
direção da tensão na corda, é mais conveniente trabalhar em termos das 
componentes da tensão e . As forças sobre o bastão são , , , e , 
cujos símbolos sem as flechas representam os módulos das forças, as direções 
sendo dadas no diagrama. Seguindo tal procedimento, se uma das forças se 
mostra negativa para a solução do problema, a direção da força particular será 
oposta àquela mostrada na figura. 
Nós aplicaremos na forma de componentes a equação para o balanço de forças 
para o equilíbrio translacional de um corpo rígido: 
 
 
 
 
 
Já que e são componentes de uma força podemos escrever: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Neste estágio, temos três equações e quatro incógnitas, , , e . Desta 
forma, necessitamos de uma relação adicional entre essas quantidades para 
obter a solução do problema. A segunda condição de equilíbrio, a condição dos 
momentos, fornece a relação necessária. Mais uma vez, a direção positiva é 
mantida, apontando para fora da tela (ou do papel). O eixo de rotação será 
tomado na direção e a localização do eixo de rotação será escolhida passando 
pelo pino A. As linhas de ação de todas as forças , e passam pelo pontoA; consequentemente, essas forças não produzem torque em torno do eixo que 
passa por A. Foi por essa razão que o ponto A foi escolhido para a localização do 
eixo de rotação e não porque o pino estava localizado em A. O ponto C teria sido 
igualmente uma boa escolha para a localização do eixo de rotação. 
Substituindo na dos momentos em torno do eixo que passa por A, obtemos: 
 
 
 
 
 
Logo, 
 
 
 
Com este resultado, o problema inteiro é reduzido a manipulações algébricas. 
Da relação entre as tangentes, obtemos: 
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Unidade IV: Equilíbrio de Corpos Rígidos 
 
 
 
 
 
 
 
 
Usando as equações para o equilíbrio de forças e de momentos no eixo , 
encontramos: 
 
 
 
ou 
 
 
E das mesmas equações para , encontramos: 
 
 
 
Por conseguinte, a tensão na corda T possui o módulo: 
 
 
 
A direção e sentido de são conhecidos a partir da declaração do problema. O 
módulo da força no pino A é dado por: 
 
 
 
a direção da força pode ser definida em termos do ângulo que ela faz com a 
barra considerada como eixo e, assim, 
 
 
 
 
 
 
 
Interações 
 
 
 
A forma com que os objetos interagem mecanicamente é pela transmissão de 
uma força ou um conjunto de forças. Se quisermos apresentar o efeito que um 
corpo B exerce sobre outro corpo A, no caso mais geral, podemos esperar que 
uma força, ou um momento, será equivalente a um sistema complexo inteiro de 
forças e momentos. A interação mais geral entre dois corpos requer o 
conhecimento de: 
 três números em duas dimensões (duas componentes da força e uma 
componente do momento); ou 
 seis números em três dimensões (três componentes da força e três 
componentes do momento). 
É comum que os objetos não interajam da forma a mais geral possível e, com 
isto, menos números serão necessários. Algumas das formas mais comuns em 
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Unidade IV: Equilíbrio de Corpos Rígidos 
que os objetos mecânicos interagem, pelo menos de forma idealizada, serão 
descritas a seguir. 
 
Movimento Vinculado e Movimento Livre 
 
Um princípio geral das forças de interação e dos momentos diz respeito aos 
vínculos "geométricos". Onde quer que um movimento A seja causado ou 
evitado por B há uma força correspondente mostrada no ponto de interação 
sobre o DCL de A. Similarmente, se B causa ou evita rotação há um momento 
mostrado sobre o DCL de A no ponto da interação. O inverso também é 
verdadeiro. Muitos tipos de artefatos de acoplamentos mecânicos são, na 
realidade, projetados para permitir o movimento. Se um acoplamento permite 
movimento livre em dada certa direção (diz-se que possui um grau de 
liberdade), então o DCL não apresenta força naquela direção. Se um 
acoplamento permite rotação livre em torno de um eixo, então o DCL não 
apresenta momento em torno daquele eixo. Poderíamos pensar em cada ponto 
do acoplamento como tendo uma variedade de tarefas a fazer. Para cada 
possível grau de liberdade de translação, ou rotação, o acoplamento ou tem de 
permitir movimento livre ou restringir o movimento. De qualquer forma, o 
movimento é restringido (ou causado) pela conexão com uma força ou com um 
momento. O movimento de um corpo A é causado e restringido por forças e 
momentos que atuam em A. O movimento é livremente permitido pela ausência 
de tais forças ou momentos. Assim, demonstrando as ideias acima, estão 
algumas das conexões ou acoplamentos mais comuns. 
 
Cortes em Conexões "Rígidas" 
 
Algumas vezes o corpo que você irá desenhar em um DCL está preso firmemente 
a outro corpo. A Figura 15 mostra uma estrutura de alavanca presa em um 
edifício. 
 
Figura 15: DCL para o corte de uma alavanca presa a um edifício. 
O DCL da alavanca tem de mostrar todas as possíveis forças e componentes de 
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Unidade IV: Equilíbrio de Corpos Rígidos 
carga. Já que temos usado a notação vetorial para a força e para o momento da 
força , pode haver ambiguidade acerca de estarmos fazendo uma análise bi ou 
tridimensional. A gravidade está apontando para baixo, então por que 
mostramos uma força de reação horizontal em C? Esta é uma questão razoável 
porque uma análise rápida da Estática mostra que, para um edifício e alavanca 
estacionários, deve ser vertical. Há duas razões para apresentar a força 
horizontalmente: 
1. A Mecânica inclui tanto Estática quanto a Dinâmica. Em Dinâmica, as 
forças sobre um corpo não têm resultante zero. De fato, o edifício 
mostrado na Figura 15 poderia estar sofrendo uma rápida aceleração para 
a direita, devido a movimentos de um violento terremoto que estaria 
acontecendo no instante em que foi desenhada a figura; 
2. Seja ou não um terremoto, o acoplamento da alavanca ao edifício em C na 
Figura 16 é seguramente feito para ser rígido e evitar que a alavanca se 
mova para cima ou para baixo (queda) ou mover-se para os lados e girar 
em torno do ponto C. Na maior parte da vida dos edifícios, a reação 
horizontal em C é pequena. Mas, uma vez que a conexão em C evita 
claramente o movimento horizontal relativo, é, em geral, melhor 
desenhar uma força de reação horizontal no DCL. Desse modo, o mesmo 
DCL fica adequado tanto durante os terremotos quanto nos dias normais. 
Quando sabemos que uma força está caindo a zero, como as forças 
laterais neste exemplo se tratadas como um problema de Estática, é uma 
questão de gosto mostrar ou não as forças laterais no DCL. Nosso 
conselho é “melhor prevenir do que remediar”; se não soubermos que 
uma força, ou momento, está caindo a zero, mantenha-o no DCL. A 
situação com conexões rígidas, como a já comentada alavanca, é 
mostrada de forma mais abstrata em 3D e 2D na Figura 16. 
 
Figura 16: DCL para cortes em 2D e 3D de uma conexão rígida presa a um corpo 
rígido. 
 
Cortes em Dobradiças 
 
Uma dobradiça, mostrada na Figura 17, permite que se faça rotação e não deixa 
que se faça translação. Assim, o DCL de um corte de objeto em uma dobradiça 
não apresenta momento em torno do eixo da dobradiça, mas mostra a força ou 
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Unidade IV: Equilíbrio de Corpos Rígidos 
suas componentes que evitam que se faça translação. 
 
 
Figura 17: Representação de um DCL para uma junta com pino. 
Há alguma ambiguidade acerca de como modelar as juntas com pinos 
(dobradiças) em três dimensões. A ambiguidade é mostrada em relação à porta 
com a dobradiça (Figura 18) e discutida a seguir. 
 
Figura 18: Representação do DCL para uma dobradiça de porta. 
 
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Unidade IV: Equilíbrio de Corpos Rígidos 
Claramente, uma dobradiça, se é o único acoplamento, evita a rotação da porta 
em torno do eixos e apresentados. Assim, é natural mostrar um momento na 
direção , , e um momento na direção , . Mas, a dobradiça não evita 
resistências muito firmes a rotaçõesnessas direções comparadas à resistência da 
outra dobradiça. Ou seja, até se ambas as dobradiças são modeladas com juntas 
de bola e soquete (veja a seguir), que não oferecem nenhuma resistência à 
rotação, a porta ainda não poderá rodar em torno dos eixos e . 
 
Quando o vínculo opositor vence 
 
Se uma conexão entre objetos evita a translação relativa ou rotação que já é 
evitada por outra conexão opositora, então a reação da conexão mais vinculativa 
é sempre desprezada. Até mesmo sem vínculos rotacionais, os vínculos 
translacionais nas dobradiças A e B restringem a rotação da porta mostrada na 
Figura 18. Assim, cada uma das duas dobradiças ficam bem modeladas, ou seja, 
elas nos conduzirão a cálculos razoavelmente acurados de forças e movimentos - 
por juntas de bola e soquete em A e B. 
Em 2D, uma junta de bola e soquete é equivalente a uma dobradiça ou junta de 
pino (com o eixo da dobradiça ortogonal à tela ou à pagina impressa). 
 
Fazendo o alinhamento 
 
Se duas conexões fazem a mesma tarefa, por exemplo, as duas dobradiças de 
porta apresentadas na Figura 18, elas podem não fazer a tarefa exatamente da 
mesma forma. Assim, por exemplo, dobradiças de porta precisam ser bem 
alinhadas a fim de que a porta se abra de forma livre e evite que se faça grandes 
forças e momentos em uma batalha entre as fechaduras. 
 
Junta de Bola e Soquete 
 
Algumas vezes se deseja prender dois objetos de forma a não permitir 
movimento translacional relativo, porém que seja livre para fazer rotações. O 
aparelho que é usado para este propósito é chamado de "junta de bola e soquete" 
(confira a Figura 19). Ele é construído ligando-se rigidamente uma esfera (a 
bola) a um dos objetos e prendendo rigidamente uma cavidade esférica parcial 
(o soquete) ao outro objeto. 
 
Figura 19: DCL em 2D e 3D para a junta de soquete e bola. 
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Unidade IV: Equilíbrio de Corpos Rígidos 
A junta do quadril humano é uma junta de bola e soquete (veja Figura 20). 
 
Figura 20: Prótese de junta de bola e soquete. 
Na extremidade superior do osso chamado "fêmur" está a cabeça femural, uma 
esfera perfeita dentro de uma tolerância de vários centésimos de milímetro. O 
osso do quadril possui uma capa esférica que de forma muito acurada se ajusta à 
cabeça femural. A junta do quadril humano não é muito diferente de juntas 
usinadas de bola e soquete. Suspensões de carros são construídas a partir de um 
mecanismo tipo “suporte tridimensional”. Algumas das partes necessitam de 
uma rotação relativa livre em três dimensões e, assim, deve-se usar uma junta 
chamada "junta de bola", ou "ponta de haste", que é uma junta de bola e 
soquete. Já que esse tipo de junta permite todas as rotações, nenhum momento 
é mostrado em um corte de junta de bola e soquete. Uma vez que ela evita 
translação relativa em todas as direções, a possibilidade de forças em qualquer 
direção é mostrada. 
 
Barbantes, Cordas, Fios Metálicos e Correntes Leves 
 
Uma maneira de manter uma torre de rádio para não cair é prendê-la com fios, 
como mostrado na Figura 21. Se o peso dos fios é pequeno e a resistência do ar é 
desprezível, é uma prática comum assumir que eles possam transmitir forças 
somente ao longo da linha que ligam suas pontas. Os momentos não são 
mostrados porque cordas, barbantes e fios metálicos, em geral, são tão flexíveis 
que os momentos de enverga são desprezíveis. Para fios metálicos, a tensão é a 
força puxando para fora em um corte no DCL. 
 
Figura 21: Antena de rádio presa por fios de sustentação. 
 
 
 
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Unidade IV: Equilíbrio de Corpos Rígidos 
Material Complementar 
 
 
Existem muitos sites excelentes na web sobre o assunto Equilíbrio de 
Corpos Rígidos. A seguir, listaremos alguns que julgamos interessantes: 
 
http://www.ctec.ufal.br/professor/enl/aurb006/9%20-
%20Equilibrio%20dos%20Corpos%20Rigidos.pdf 
http://www.eletrica.ufpr.br/ufpr2/professor/49/TE224/Aula%205%2
0Equil%C3%ADbrio%20de%20um%20corpo%20r%C3%ADgido.pdf 
E para complementar seus conhecimentos, visite também: 
 
http://pt.wikibooks.org/wiki/Introdução_à_Física/Equilíbrio_dos_c
orpos_rígidos 
http://www.mecanicavetorial.com/equilibrio/ 
http://rived.mec.gov.br/atividades/fisica/EXTERNOS/equiilibriun/a
equilibrium.html 
 
 
 
 
 
 
 
 
Depois de ler o material e se informar 
sobre o assunto, vamos pôr em prática 
esses conhecimentos nas atividades! 
 
Bom trabalho! 
 
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Unidade IV: Equilíbrio de Corpos Rígidos 
 Anotações 
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Unidade IV: Equilíbrio de Corpos Rígidos 
Referências 
 
 
BEER, F.P. & JOHNSTON JUNIOR, E.R. Mecânica Vetorial para 
Engenheiros: Estática. 5ª Edição; São Paulo, Makron Books do 
Brasil, 2005. 
 
HIBBELER, R.C. Estática: Mecânica para Engenharia. 10ª 
edição; São Paulo, Pearson Prentice Hall , 2006 (e-book). 
 
MERIAM, J.L. Mecânica: Estática. 4ª Edição; Rio de Janeiro, 
LTC – Livros Técnicos e Científicos, 1997. 
 
GIACAGLIA, G.E.O. Mecânica Geral. 7ª Edição; São Paulo, 
Nobel, 1977. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Rua Galvão Bueno, 868 
01506-000 
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Tel: (55 11) 3385-3000 
 
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