Mecânica Geral Baricentro e Centro de Massa

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Mecânica Geral 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Unidade V: 
 
 
Baricentro e Centro de Massa 
 
 
 
 
 
Responsável pelo Conteúdo: 
Prof. Dr. Sergio Turano de Souza 
 
Revisão Textual: 
Prof. Dr. Jaime Sandro da Veiga 
 
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zzzzzzzzzzzzzzz 
 
 
 
 
Orientação de Estudos 
 
 
Olá caros alunos, 
 
Sejam bem-vindos a mais uma unidade de ensino e de aprendizagem da 
disciplina de Mecânica Geral. Espero que tenham um excelente estudo e um bom 
aproveitamento. 
Há nesta unidade atividades que contemplam exercícios de sistematização e 
aprofundamento do conteúdo em que aplicamos o que aprendemos sobre o 
Baricentro e Centro de Massa. 
 
 
 
 
 
 
A T E NÇ Ã O: Para um bom aproveitamento do curso, leia o 
material teórico atentamente antes de realizar as atividades. É 
importante também respeitar os prazos estabelecidos no 
cronograma. 
Olá, Caros Alunos: 
Nesta unidade, abordaremos o tema Baricentro e Centro de 
Massa, a fim de introduzir os métodos de determinação do ponto que 
irá representar um conjunto de partículas ou um corpo rígido. Tal 
ponto pode ser um centro de forças atuantes em um conjunto de 
massas imersas em um campo gravitacional, o Baricentro, ou, no 
caso do um ponto representante das massas, que é independente de 
qualquer campo, o Centro de Massa. Quando o campo gravitacional 
é uniforme, o baricentro coincide com o centro de massa. Há uma 
distinção entre um sistema de partículas que estão separadas daquele 
cujas partículas estão unidas dentro de um corpo. É o que veremos 
no momento em que executaremos os cálculos para a localização de 
tal ponto. 
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Unidade V: Baricentro e Centro de Massa 
Contextualização 
 
Na Física e na Engenharia, em muitos casos, tratamos os objetos como se 
fossem partículas, isto é, consideramos os objetos possuindo massa, mas não 
dimensões. 
 
Consideramos um corpo qualquer como sendo um conjunto de partículas e 
determinamos a localização exata do ponto de aplicação da resultante das forças 
peso que atuam sobre as partículas. Este ponto é chamado de baricentro. 
Quando o campo gravitacional é uniforme, o baricentro (ou centro de gravidade) 
coincide com o centro de massa do corpo em questão, mas em campos 
gravitacionais não uniformes (por exemplo, em um aglomerado de asteroides), 
essa coincidência não ocorrerá. O centro de massa se desloca da mesma maneira 
que se deslocaria uma única partícula, sujeita ao mesmo conjunto de forças 
externas. No vídeo a seguir vemos a trajetória de centros de massa. 
 
http://www.youtube.com/watch?v=DY3LYQv22qY 
 
http://www.youtube.com/watch?v=DY3LYQv22qY
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Unidade V: Baricentro e Centro de Massa 
Baricentro e Centro de Massa 
 
 
 
 
Introdução: O que é um centro de massa? 
 
 
 
Na Física e na Engenharia, em muitos casos, tratamos os objetos como se 
fossem partículas, isto é, consideramos os objetos possuindo massa, mas não 
dimensões. 
Quando um corpo se desloca, há um ponto no corpo, chamado centro de 
massa, que se desloca da mesma maneira que se deslocaria uma única partícula, 
sujeita ao mesmo conjunto de forças externas. Isto continua sendo verdade se o 
corpo estiver rodando ou vibrando durante o deslocamento, como mostra a Figura 
1. O centro de massa fica situado no mesmo ponto conhecido como baricentro 
(bari=peso), ou centro de gravidade, na situação de corpos ou de um único 
corpo em um campo gravitacional uniforme, mas isso não é verdadeiro para 
campos gravitacionais não uniformes. 
 
Figura 1 - Uma raquete é jogada de um ponto a outro. Embora a raquete gire e dê volta 
entorno de um eixo, existe um ponto deste eixo, que é o centro de massa, que percorre 
uma trajetória parabólica simples. 
Centro de massa de um sistema de partículas 
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Consideremos, primeiramente, o caso simples de um sistema de duas 
partículas 1m e 2m , localizadas a distâncias 1x e 2x da origem O no eixo x , como 
mostra a Figura 2. 
 
 
Figura 2 - Sistema de duas partículas. 
 
O centro de massa do sistema formado por estas duas partículas é um ponto 
C à distância CMx da origem, definido como: 
21
2211
mm
xmxm
xCM


 (1) 
 
Figura 3 - Sistema de duas partículas e seu centro de massa. 
 
O centro de massa então pode ser definido como uma média ponderada 
das coordenadas das partículas, em que o peso estatístico para cada partícula é a 
fração da massa total que a massa de cada partícula representa. 
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Podemos reescrever esta fórmula como sendo o produto da distância do 
ponto C à origem pela massa total do sistema, chamada de 21 mmM  , que é 
igual à soma dos produtos de cada uma das massas multiplicada pela sua 
respectiva distância da origem, ou seja: 
 
  221121 xmxmxMxmm CMCM  (2) 
 
Se tivermos n partículas, nmmm ,...,, 21 , ao longo de uma linha reta, por 
definição, o centro de massa destas partículas, em relação a uma origem, é: 






i
ii
n
nn
CM
m
xm
mmm
xmxmxm
x
...
...
21
2211 
O símbolo  representa uma soma, que neste caso, é a operação de 
adição aplicada a todas as n partículas. O somatório Mmi  é a massa total do 
sistema. Assim, podemos reescrever a equação como: 
 iiCM xmxM 
E se três partículas não estiverem em linha reta? 
Considere agora três partículas localizadas em um plano, como mostra 
a Figura 4. 
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Figura 4 - O centro de massa das três massas, m1, m2 e m3, encontra-se no ponto C, 
que tem coordenadas xcm e ycm e está no mesmo plano das três massas. 
 
O centro de massa deste sistema é definido e localizado por: 
321
332211
321
332211
mmm
ymymym
y
mmm
xmxmxm
x
CM
CM






 
 
com todas as medidas de x e y feitas no mesmo referencial cuja localização é 
arbitrária. 
 
Para um grande número de partículas coplanares (no mesmo plano), 
o centro de massa é definido e localizado por: 
 








ii
i
ii
CM
ii
i
ii
CM
ym
Mm
ym
y
xm
Mm
xm
x
1
1
 
 
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Para várias partículas, não necessariamente no mesmo plano, mas 
distribuídas no espaço, o centro de massa é dado pelas coordenadas CMx , CMy 
e CMz definidas como: 
 iiCM xm
M
x
1
;  iiCM ym
M
y
1
;  iiCM zm
M
z
1
 
Notação Vetorial 
 
 
Podemos ter a posição de cada partícula, assim como a posição do centro 
de massa, descrita pela notação vetorial por um vetor posição r

 em um sistema de 
referência particular. Assim, 
kzjyixr iiii
ˆˆˆ 

 
e 
kzjyixr CMCMCMCM
ˆˆˆ 

 
E a equação de CMr

 pode ser reescrita como 
 iiCM rm
M
r
 1
 
DICA: Demonstre que esta equação é verdadeira. 
 
Conclusão: O centrode massa de um sistema de partículas depende 
apenas das massas das partículas e de suas posições espaciais em relação ao 
sistema de referência. Em outras palavras, depende apenas da distribuição 
espacial de massas. 
 
Centro de Massa de Corpos Rígidos 
 
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Um corpo rígido, ou uma distribuição contínua de massa, como uma régua, 
por exemplo, pode ser considerado como um sistema de partículas que estão muito 
próximas. Portanto, um corpo rígido também tem um centro de massa. 
 
Com frequência lidamos com objetos homogêneos que apresentam um 
ponto, uma linha ou um plano de simetria. Então, seu centro de massa cairá no 
ponto, linha ou no plano de simetria. Por exemplo, o centro de massa de uma 
esfera homogênea estará no centro da esfera; o centro de massa de um cone estará 
sobre o seu eixo etc. 
 
Em muitos casos, uma placa pode ser dividida em retângulos ou outras 
formas usuais mostradas na Tabela 1. 
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Tabela 1 - Centróides de formas comuns de superfícies. 
 
 
 
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Se a placa é homogênea e de espessura constante, o baricentro, ou centro 
de massa, C, é definido pelas coordenadas CMX e CMY . A abscissa CMX do centro 
de massa da superfície pode ser determinada notando que o momento (ou torque) 
de primeira ordem yM em relação ao eixo y da superfície composta pode ser 
expresso como o produto CMX pela área total, ou como a soma dos momentos 
(torques) de primeira ordem em relação ao eixo y das áreas elementares. 
 
A ordenada CMY do centro de massa é determinada de maneira análoga, a 
partir do momento de primeira ordem xM da superfície composta: 
 
 
  nCMnCMCMnCMx
nCMnCMCMnCMy
AyAyAyAAAYM
AxAxAxAAAXM


......
......
221121
221121
 
 
Ou, de forma compacta: 




iCMiCMx
iCMiCMy
AyAYM
AxAXM
i
i
 
 
Assim, utilizamos as equações que determinam os momentos de primeira 
ordem da superfície composta para calcular as coordenadas CMX e CMY do centro 
de massa: 






i
iCM
CM
i
iCM
CM
A
Ay
Y
A
Ax
X
i
i
 
 
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Exemplos 
 
 
Exemplo 1 
 
Determine o centro de massa do sistema constituído por três partículas m1 = 1,0 
kg, m2 = 2,0 kg e m3 = 3,0 kg. As partículas estão localizadas nos vértices de um 
triângulo equilátero de lado 1,0 m. 
 
Figura 5: Disposição de três massas diferentes nos vértices de um triângulo equilátero. 
Resolução: Escolhemos o eixo como mostra a figura: 
 
Figura 6: Apresentação das localizações de cada vértice no plano cartesiano. 
 
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E calculamos 
       
     
      
     
m
kgkgkg
mkgkgkg
m
ym
y
m
kgkgkg
mkgmkgkg
m
xm
x
i
ii
CM
i
ii
CM
433,0
0,30,20,1
866,0.0,30.0,20.0,1
583,0
0,30,20,1
5,0.0,30,1.0,20.0,1












 
 
OBS: Note que o centro de massa não está no centro geométrico do triângulo. Por 
quê? 
 
Figura 7: Localização do centro de massa C. Ele está mais próximo da massa maior ou 
da menor? 
 
Exemplo 2 
 
Achar o centro de massa da chapa triangular abaixo. 
 
Figura 8: Chapa triangular para a qual se pretende encontrar a localização do centro de massa. 
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Resolução: A chapa triangular pode ser dividida em faixas estreitas paralelas a 
cada um dos lados. O centro de massa de cada faixa estará sobre a linha que une a 
meia distância deste lado ao vértice oposto, como mostra a figura abaixo: 
 
 
Figura 9: Divisão em tiras paralelas aos lados para encontrar o centro de massa da 
chapa. 
 
O centro de massa está na intersecção das três linhas. 
 
Figura 10: Localização do centro de massa no encontro das três mediatrizes do 
triângulo. 
 
 
Exemplo 3 
 
Determine a posição do centro de massa. Todas as medidas estão em metros. 
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Unidade V: Baricentro e Centro de Massa 
 
Figura 11: Cotas para a chapa que se pretende encontrar a localização do centro de 
massa. 
Resolução: Primeiro escolhemos um sistema de coordenadas (x,y) e dividimos a 
peça em componentes. 
 
Figura 12: Divisão da chapa em três figuras geométricas de centros de massa 
conhecidos. 
 
Analisamos a peça toda como uma soma de superfícies de forma comum. 
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Unidade V: Baricentro e Centro de Massa 
 
Figura 13: Decomposição da chapa em três figuras planas conhecidas. 
Com o auxílio da Tabela 1, determinamos o centro de massa de cada superfície: 
 
Figura 14: Localização dos respectivos centros de massa para proceder ao cálculo do 
CM da chapa. 
Como a peça é simétrica, é simples notarmos que o centro de massa, em relação 
ao eixo x, está no meio na peça, ou seja, mXCM 0,6 . Mesmo assim, vamos 
calcular para treinar. 
Comecemos calculando as áreas: 
222
3
2
22
2
2
1
24,50414,3
52,56
2
614,3
2
96812
mrA
m
r
A
mbhA







 
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m
AAA
AyAyAy
A
Ay
Y
m
AAA
AxAxAx
A
Ax
X
CMCMCM
i
iCM
CM
CMCMCM
i
iCM
CM
i
i
6,5
2,505,5696
)2,508()5,56
3
64
8()964(
)(
)()()(
0,6
2,505,5696
)2,506()5,566()966(
)(
)()()(
321
332211
321
332211
























 
Assim, temos: 
mY
mX
CM
CM
6,5
0,6


 
 
 
Exercícios 
 
 
 
Exercício 1 
Considere as partículas da Figura 15 abaixo. Determine as coordenadas do centro 
de massa. 
 
Figura 15: Localização das massas no plano cartesiano do problema referente ao 
exercício 1. 
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Unidade V: Baricentro e Centro de Massa 
Resposta: 
my
mx
CM
CM
25,0
75,1


 
 
Exercício 2 
 
Determine a posição do centro de massa. 
 
Figura 16: Chapa trapezoidal em que se fará a determinação do centro de massa, 
referente ao exercício 2. 
Resposta: 
cmY
cmX
CM
CM
05,7
18,8


 
 
 
 
 
 
 
 
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Unidade V: Baricentro e Centro de Massa 
Material Complementar 
 
 
Existem muitos sites excelentes na web sobreo assunto Baricentro e Centro 
de Massa. A seguir, listaremos alguns que julgamos interessantes: 
 
http://www.fsc.ufsc.br/~canzian/bau/tcckarla/tcckarla.pdf 
http://www.ceset.unicamp.br/~hiroshiy/ST511/CENTRO%20DE%20GRAVI
DADE%20DE%20FIGURAS%20PLANAS.pdf 
http://www.ctec.ufal.br/professor/enl/mecsol1/7%20-
%20Forcas%20Distribuidas%20-%20CG,%20CM%20e%20C.pdf 
E para complementar seus conhecimentos, visite também: 
http://pt.wikibooks.org/wiki/Introdução_à_Física/Equilíbrio_dos_corpos_rí
gidos 
http://www.planetseed.com/pt-br/node/41108 
http://www.youtube.com/watch?v=u7RbExOgxjEl 
 
 
 
 
 
 
 
Depois de ler o material e se informar 
sobre o assunto, vamos pôr em prática 
esses conhecimentos nas atividades! 
 
Bom trabalho! 
 
http://www.fsc.ufsc.br/~canzian/bau/tcckarla/tcckarla.pdf
http://www.ceset.unicamp.br/~hiroshiy/ST511/CENTRO%20DE%20GRAVIDADE%20DE%20FIGURAS%20PLANAS.pdf
http://www.ceset.unicamp.br/~hiroshiy/ST511/CENTRO%20DE%20GRAVIDADE%20DE%20FIGURAS%20PLANAS.pdf
http://www.ctec.ufal.br/professor/enl/mecsol1/7%20-%20Forcas%20Distribuidas%20-%20CG,%20CM%20e%20C.pdf
http://www.ctec.ufal.br/professor/enl/mecsol1/7%20-%20Forcas%20Distribuidas%20-%20CG,%20CM%20e%20C.pdf
http://pt.wikibooks.org/wiki/Introdu%C3%A7%C3%A3o_%C3%A0_F%C3%ADsica/Equil%C3%ADbrio_dos_corpos_r%C3%ADgidos
http://pt.wikibooks.org/wiki/Introdu%C3%A7%C3%A3o_%C3%A0_F%C3%ADsica/Equil%C3%ADbrio_dos_corpos_r%C3%ADgidos
http://www.planetseed.com/pt-br/node/41108
http://www.youtube.com/watch?v=u7RbExOgxjE
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Unidade V: Baricentro e Centro de Massa 
Leitura Complementar 
 
 
 
CENTRO DE GRAVIDADE 
 
Em um corpo extenso, seu peso é resultante de um grande número de 
forças, pois cada partícula do corpo está sob o efeito de uma força gravitacional. 
Imagine um corpo de massa M dividido em um grande número de 
partículas. A atração gravitacional exercida pela Terra sobre uma partícula i , de 
massa im será dada por gmi

. , apontando para o centro da Terra. Se a aceleração 
da gravidade g

 for uniforme e apontando na mesma direção em toda a região, 
cada partícula do corpo sofre a atração da força peso que é paralelo à das demais 
partículas. E as força-peso individuais podem ser substituídas por uma única força 
gM

. aplicada no centro de massa do corpo e apontando para baixo. 
O ponto de aplicação da força gravitacional resultante equivalente é 
denominado centro de gravidade. 
A coincidência do centro de gravidade com o centro de massa ocorre 
porque supomos que o campo gravitacional terrestre é uniforme. Mas isto não é 
inteiramente verdade, por dois motivos: o módulo de g

 varia com a distância ao 
centro da Terra; e g

 tem a direção do raio terrestre e está orientada para o centro 
da terra. 
Imagine uma barra uniforme com comprimento de muitos quilômetros, 
inclinada em relação à vertical e sob o efeito do campo gravitacional terrestre, 
como mostra a Ilustração 1. 
 
Ilustração 1 - Barra uniforme inclinada em relação à vertical sob o efeito do campo gravitacional 
terrestre. 
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Unidade V: Baricentro e Centro de Massa 
O centro de gravidade G é o ponto em que deveria ser aplicada uma única 
força para manter o ponto em equilíbrio, como o campo não é uniforme, o valor 
de g em 1m é menor que seu valor em 2m . 
Além disso, se mudarmos a orientação do corpo, a posição de G mudará 
também. 
Uma vez que praticamente todos os problemas de mecânica envolvem 
objetos com dimensões pequenas, comparadas às distâncias onde há variação 
apreciável de g

, supomos g

 uniforme em todo o corpo e o centro de massa e o 
centro de gravidade são considerados um só ponto. 
Podemos utilizar esta coincidência entre C e G para determinarmos 
experimentalmente o centro de massa de um objeto de forma irregular. Por 
exemplo, considere uma final lâmina de forma irregular, mostrada na Ilustração 2. 
 
Ilustração 2 - Fina lâmina de forma irregular. 
Para se determinas experimentalmente o centro de massa do objeto, 
suspende-se o corpo por um fio, por um ponto qualquer A do objeto. Com o corpo 
em repouso, o centro de gravidade encontra-se diretamente abaixo do ponto de 
suspensão. Em seguida, suspende-se o objeto por outro ponto B (se achar 
necessário, faça para mais pontos). O centro de gravidade coincide com o centro 
de massa, estando localizado no único ponto comum às linhas. 
 
Ilustração 3 - Obtenção do centro de massa C. 
 
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Unidade V: Baricentro e Centro de Massa 
 Anotações 
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_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
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_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
 
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Referências 
 
 
BEER, F.P. & JOHNSTON JUNIOR, E.R. Mecânica Vetorial para 
Engenheiros: Estática. 5ª Edição; São Paulo, Makron Books do 
Brasil , 2005. 
 
HIBBELER, R.C. Estática: Mecânica para Engenharia. 10ª 
edição; São Paulo, Pearson Prentice Hall , 2006 (e-book). 
 
MERIAM, J.L. Mecânica: Estática. 4ª Edição; Rio de Janeiro, LTC 
– Livros Técnicos e Científicos, 1997. 
 
GIACAGLIA, G.E.O. Mecânica Geral. 7ª Edição; São Paulo, Nobel, 
1977. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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