Forças Distribuídas

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Mecânica Geral 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Material teórico 
 
Responsável pelo Conteúdo: 
Prof. Dr. Antonio Carlos Bragança 
 
Revisão Textual: 
Profa. Ms. Rosemary Toffoli 
Forças Distribuídas 
 
 
 
 
5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nesta unidade VI, temos por objetivo estudar as forças distribuídas com grandezas vetoriais, 
saber caracterizá-las e determinar suas resultantes, através do conceito de sistemas dinamicamente 
equivalentes. Além disso, deseja-se classificar os tipos de força, apresentar as características de um 
sistema de forças, com isso estudar sua aplicação no equilíbrio de um corpo sujeito a ação de forças 
distribuídas paralelas, assunto essencial da Estática, uma das subáreas da Mecânica. 
Favor baixar a apostila da unidade, estudá-la e resolver os exercícios de aprofundamento e de 
sistematização para nota, a fim de verificar o aprendizado do conteúdo da teoria. 
O estudo dos textos e materiais disponíveis na bibliografia também é muito importante para 
que se possa consolidar a compreensão dos conceitos. 
Aconselhamos aos alunos que completem seus estudos por meio dos materiais complementares 
e os exercícios propostos para a realização da unidade. 
Forças Distribuídas 
Ob
jet
iv
o 
de
 
Ap
re
nd
iza
do
 
• Teoria Geral de Forças Paralelas 
• Características de um Sistema de Forças 
• Tipos de Forças 
• Introdução 
A unidade VI aborda o tema Forças Distribuídas, que é um assunto muito 
importante para a modelagem matemática de alguns fenômenos físicos 
envolvendo forças, que são intervenientes nos protótipos realizados pelas 
engenharias, e que faz parte da área de Mecânica Geral. Esta unidade já está 
disponível para o acesso. A data para a entrega de exercícios seguirá o mesmo 
tempo costumeiramente dado à resolução dos outros exercícios. 
O estudo das Forças Distribuídas divide-se em: propriedades das forças, 
seus tipos, as características de um sistema de forças, a teoria geral de forças 
paralelas e as resultantes de forças paralelas distribuídas. Esta unidade tem por 
objetivo apresentar os conceitos elementares referentes ás Forças Distribuídas que 
se baseia, principalmente, no princípio da transmissibilidade de forças e na 
resultante de forças paralelas distribuídas, os quais oferecem, de forma prática, 
procedimentos para a determinação de sistemas de força dinamicamente 
equivalentes, simplificando a modelagem matemática dos fenômenos físicos 
envolvidos na resolução de diversos problemas associados a forças distribuídas. 
 
• Resultante de Forças Paralelas Distribuídas 
 
6 
 
U n i d a d e : F o r ç a s D i s t r i b u í d a s 
 
 
 
 
 
Nesta unidade, estudaremos as forças distribuídas e aprenderemos a diferenciá-las das 
chamadas forças concentradas. Veremos também as características de um sistema de forças e 
a determinação da resultante de forças paralelas distribuídas e seu ponto de aplicação. 
Inicialmente, estudaremos as propriedades das forças; em seguida, analisaremos os 
tipos de forças e as características de um sistema de forças, o princípio da transmissibilidade e 
a resultante de forças paralelas. 
O estudo das Forças Distribuídas nos permitirá resolver problemas de Mecânica 
envolvendo o conceito de forças de contato e forças de volume, pois os projetos de estruturas 
utilizam amplamente esses conceitos. De fato, podemos citar como exemplo de aplicações de 
vetores e forças na Engenharia o caso de quaisquer sistemas e mecanismos, em que é 
necessário dimensionar quais os carregamentos que os sistemas suportarão, de modo que eles 
se mantenham estáveis. Podemos também citar como aplicação na Estática o cálculo da força 
máxima em barras, a fim de suportar as forças provenientes do peso próprio dos elementos 
estruturais constituintes e as forças provenientes de sua utilização. 
 
Com os tópicos estudados nesta unidade, os alunos poderão dominar os 
conceitos básicos das forças distribuídas, para compreender e solucionar 
problemas de estática. 
 
 
 
Contextualização 
 
7 
 
 
 
 
 
Como visto nas unidades anteriores, uma força é criada pela interação entre dois 
corpos. Quando dois corpos interagem, supõe-se que um dos corpos exerce a força e o outro 
resiste a ela. Por exemplo, a força do campo gravitacional atua sobre os corpos e a Terra, A 
hipótese adotada é de que a Terra exerce a força sobre o corpo e que este exerce a mesma 
força sobre a Terra. 
A terceira lei de Newton afirma que para toda força (ação), há uma força oposta de 
mesma magnitude (reação). Considerar uma força sendo uma ação ou uma reação depende 
do ponto de vista. 
Assim, toda força (ação) é acompanhada por uma força de mesma intensidade e 
oposta (reação). 
A força de campo gravitacional geralmente é expressa em termos de uma característica, 
que é o peso do corpo. 
 
Exemplo resolvido 1 – Força Peso 
 Qual o peso de um corpo (P) de massa (m) igual a 1 kg? 
 Dado: aceleração da gravidade g = 9,8 m/s2. 
 
Solução: 
 P = m g = 1 x 9,8 = 9,8 N (1) 
 
Entretanto, como já visto, uma força tem como propriedades essenciais sua magnitude, 
linha de direção, sentido e em algumas situações o ponto de aplicação. 
Como visto, as forças podem ser representadas por vetores, que são segmentos de reta 
orientados para representar forças. Assim, os vetores são abstrações matemáticas, criadas pelo 
matemático e inventor Simon Stevin (1548-1620), cujas grandezas que se somam como forças 
foram chamadas de vetores. 
 
 
 
As forças da natureza são representadas matematicamente como sendo vetores, que 
são abstrações matemáticas representadas graficamente por hastes com setas em uma das 
extremidades. 
 
1. Introdução 
2. Tipos de Forças 
 
8 
 
U n i d a d e : F o r ç a s D i s t r i b u í d a s 
• Força Concentrada (força pontual) – são as forças que atuam sobre pontos 
específicos dos corpos. Essas forças são idealizadas, não existindo no mundo real. 
Sempre a força está distribuída sobre uma superfície de contato. As forças 
concentradas, ou pontuais, são aproximações das forças reais. Graficamente as forças 
concentradas são representadas por vetores unitários (figura 1). 
 
P = 40 kN
 
 
Figura 1 – Exemplo de força concentrada. 
 
• Força Distribuída – são as forças reais que são causadas por contato de superfícies 
ou por causa de fenômenos físicos atuando no volume de corpos. Graficamente as 
forças distribuídas são representadas por uma série de vetores unitários, simbolizando a 
distribuição da carga pelo comprimento, pela superfície ou pelo volume (figuras 2a, 2b 
e 2c). 
q = 40 kN/m
L = 5,00m
 
Figura 2a – Exemplo de força distribuída pelo comprimento. 
 
q = 40 kN/m2
 
 
Figura 2b – Exemplo de força distribuída pela superfície. 
 
 
9 
q = 40 kN/m3
L = 8,00 m
D = 6,00 m
 
Figura 2c – Exemplo de força distribuída pelo volume. 
 
• Força de Contato – são as forças que resultam de contato físico direto entre os 
corpos, como no caso de uma barra apoiada sobre uma parede. 
• Força de Volume – são as forças que estão distribuídas pelo volume do corpo sobre o 
qual atuam, como no caso da força gravitacional do Sol exercida sobre a Terra. Em 
geral as forças de volume são provenientes da ação gravitacional de corpos ou por 
causa de fenômenos físicos como os efeitos eletromagnéticos ou inerciais. 
 
 
 
 
• Forças Concorrentes – são duas ou mais forçasque atuam sobre o mesmo ponto, 
podendo ter direções e sentidos diferentes (figura 3). 
F1
F2
F3
 
Figura 3 – Exemplo de um sistema de forças concorrentes. 
 
• Forças Colineares – são as forças que possuem a mesma direção e estão na mesma 
linha de ação, podendo ser concorrentes ou não. Elas não são concorrentes, quando 
têm diferentes pontos de aplicação ao longo da mesma linha de ação (figura 4). 
3. Características de um Sistema de Forças 
 
10 
 
U n i d a d e : F o r ç a s D i s t r i b u í d a s 
F1
F2
F3
 
Figura 4 – Exemplo de um sistema de forças colineares. 
 
• Forças Coplanares – são duas ou mais forças que estão no mesmo plano, 
representando sistemas de força planos. Duas forças concorrentes sempre são 
coplanares, pois sempre estão em um plano comum. Três ou mais forças concorrentes 
não são necessariamente coplanares. Todos os sistemas de forças colineares são 
coplanares. Também, forças coplanares não são necessariamente concorrentes (figuras 
5a e 5b). As forças não-coplanares representam sistemas de forças tridimensionais 
(figura 5c). 
F1
F2
F3
X
Y
 
Figura 5a – Exemplo de sistema de forças coplanares concorrentes ou sistema de forças plano concorrentes. 
F1
F2
F3
X
Y
 
Figura 5b – Exemplo de sistema de forças coplanares não concorrentes ou sistema de forças plano não 
concorrentes. 
 
11 
F1
F2
F3
X
Y
Z 
Figura 5c – Exemplo de sistema de forças não-coplanares ou sistema de forças tridimensionais. 
 
 
 
 
 
Como visto nas outras unidades, corpo rígido é um corpo que não se deforma sob a 
ação de forças, isto é ele não muda de tamanho ou de forma quando forças são nele 
aplicadas. Um corpo rígido é uma idealização de um corpo real. Portanto, um corpo rígido 
não existe, pois todos os corpos deformam sob a ação de forças, mas seu conceito é útil para 
estudos físicos. 
O Princípio da Transmissibilidade enuncia que o equilíbrio, ou o movimento, de 
um corpo rígido não é alterado se o ponto de aplicação de qualquer força que age no corpo 
for deslocado ao longo da linha de ação da força (figura 6). 
P
F
- F
P
F
QF
P
QF= =
 
Figura 6 – Exemplo do princípio da transmissibilidade. 
 
Observação: o princípio da transmissibilidade não se aplica a um corpo para o qual as 
forças internas ou as deformações devem ser determinadas (figura 7). 
 
4. Teoria Geral de Forças Paralelas 
 
12 
 
U n i d a d e : F o r ç a s D i s t r i b u í d a s 
 
F F - F- F
Corpo Deformado 
 
Figura 7 – A transmissão de forças altera as deformações do corpo. 
 
• Deslocamento Lateral de uma Força - Supondo um corpo rígido submetido a uma 
força F paralela ao eixo z, agindo em um ponto P (x, y) no plano xy. Seja um ponto 
Q(x, 0), tal que a reta PQ é perpendicular ao eixo x. Faz-se a introdução no ponto Q 
das forças autoequilibrantes F e –F. O novo sistema de forças, com as três forças 
aplicadas em P e Q, é equivalente ao sistema de forças original com a única força 
aplicada em P. O novo sistema de forças é dinamicamente equivalente à força F 
aplicada em Q e um conjugado das forças F aplicada em P com a força –F aplicada 
em Q gerando o momento Mx = y F, que atua em um plano vertical paralelo ao plano 
yz (figura 8). 
FF
- F
Y
Z
X
O
y
x
P (x, y)
Q (x, 0)
 
Figura 8 - Exemplo do deslocamento lateral de uma força para o ponto Q. 
 
Se introduzir as forças autoequilibrantes F e –F no ponto O (origem do sistema 
cartesiano), é possível transferir a carga F do ponto Q para o ponto O. Neste caso o 
conjugado compensador para esta transmissão está no plano xz e valerá My = - x F. Assim, 
para deslocar uma força F do ponto P para o ponto O irão surgir dois momentos 
compensadores Mx e My (figura 9). 
 
13 
FF
- F
Y
Z
X
O
y
x
P (x, y)
Q (x, 0)
- F
F
 
Figura 9 - Exemplo do deslocamento lateral de uma força para o ponto O. 
 
• Composição de Forças Paralelas - Sendo corpo rígido submetido à ação de várias 
forças paralelas, as quais podem ser transferidas para um ponto qualquer, através da 
adição de conjugados compensadores. Assim, as forças podem ser combinadas em 
uma única força resultante R, e como todas as forças têm a mesma direção, sua soma 
vetorial se reduz a uma soma algébrica. 
R = ∑ Fi (2) 
 
Se o ponto de transferência for o ponto O, origem do sistema cartesiano e as forças 
forem paralelas ao eixo z, além da força F na origem O, surgem dois momentos 
compensatórios Mx e My, que estão nos plano yz e xz respectivamente. Os momentos 
compensatórios são a somatória de todos os momentos de todas as forças originais em relação 
aos eixos x e y. 
Mx = + ∑ yi Fi e My = - ∑ xi Fi (3) 
 
• Eixo Resultante de um Sistema de Forças Paralelas - Como visto anteriormente, 
várias forças paralelas podem ser compostas em um sistema dinamicamente 
equivalente com uma única força resultante na origem e dois momentos 
compensatórios. Como visto podemos, também, deslocar esta força resultante da 
origem para um ponto qualquer (a, b) no plano xy. Se a resultante não for nula 
podemos escolher o ponto (a, b) de forma que os momentos compensatórios Mx e My 
sejam cancelados. Este ponto é o local onde a resultante das forças R exerce os 
mesmos momentos em relação aos eixos x e y que as forças originais. A linha de ação 
da resultante neste ponto é denominada de “eixo resultante do sistema de forças”. 
 
 
14 
 
U n i d a d e : F o r ç a s D i s t r i b u í d a s 
Assim, se várias forças paralelas que atuam sobre um corpo rígido são paralelas ao eixo 
z, e se sua soma vetorial não é nula, as forças dadas são dinamicamente equivalentes a uma 
única força, desde que esta resultante esteja localizada de maneira que produza os mesmos 
momentos em relação aos eixos x e y que todas as forças originais. Desta maneira, esta força 
resultante estará sobre o eixo resultante do sistema de forças. 
 
Exemplo resolvido 2 
Para a placa rígida plana carregada com as forças paralelas não-coplanares, 
perpendiculares à superfície da placa (figura 10), determinar: 
a) A força resultante equivalente no ponto O da origem do sistema cartesiano e os dois 
momentos compensatórios. 
b) A posição da linha de ação da resultante que é dinamicamente equivalente às forças 
que agem sobre a placa dada. 
Solução: 
Para os momentos utilizar a regra da mão direita (positivo quando o produto vetorial, “o 
dedão da mão direita”, coincidir com o sentido crescente positivo dos eixos X ou Y). 
F3 = 10 kNF2 = 30 kN
Y (m)
Z
X (m)
O
10 20 30
10
20
30
40
F4 = 20 kN
F1 = 50 kN
 
Figura 10 - Placa rígida plana carregada com as forças paralelas não-coplanares. 
 
 
 
15 
Força FZ (kN) X (m) Y (m) MX (kNm) MY (kNm) 
F1 50 10 10 500 - 500 
F2 30 20 0 0 - 600 
F3 - 10 20 20 - 200 200 
F4 - 20 30 10 - 200 600 
Total 50 ------------ ------------ 100 - 300 
 
a) RZ = 50 kN (positiva, significa no sentido crescente positivo do eixo Z) (4) 
Mx = 100 kNm (positivo, significa o produto vetorial no sentido crescente positivo do eixo X). 
(5) 
My = - 300 kNm (negativo, significa o produto vetorial no sentido crescente negativo do eixo y) 
(6) 
MX = 100 kNm
Y (m)
Z
X (m)
O
10 20 30
10
20
30
40
R = 50 kN
MY = 300 kNm
 
Figura 11 – Resultante e momentos compensatórios na placa rígida plana. 
 
b) 
Para a determinação da linha de ação daforça resultante determina-se o ponto P (a, b) 
de tal forma que a força resultante nele aplicada produza os momentos Mx e My: 
MX = b ∑ FZ ; b = 100/50 = 2,00 m (7) 
 
16 
 
U n i d a d e : F o r ç a s D i s t r i b u í d a s 
MY = - a ∑ FZ; a = - (-300/50) = 6,00 m (8) 
Portanto, o eixo resultante é perpendicular ao plano da chapa e passa pelo ponto P (6, 2). 
 
• Equilíbrio do Corpo Rígido sob a Ação de Forças Paralelas - um corpo rígido 
submetido a forças paralelas está em equilíbrio somente se a soma algébrica das forças 
for nula e as somas dos momentos das forças em relação a um dos eixos quaisquer que 
se interceptem e são perpendiculares às forças forem nulos. 
Para um corpo rígido submetido a forças que agem paralelamente ao eixo Z, elas 
podem ser expressas unicamente em termos de seu sentido e de sua magnitude. As equações 
para equilíbrio do corpo são: 
∑ FZ = 0 (9) 
∑MX =∑(+ yi Fi) = 0 (10) 
∑MY = ∑(-yi Fi) = 0 (11) 
 
 
 
 
A resultante e a linha de ação de uma força distribuída em uma linha podem ser 
encontradas por analogia no centroide de uma área plana. O mesmo acontece para a 
resultante e a linha de ação de uma força distribuída sobre uma área plana, que podem ser 
encontradas por analogia no centroide de um volume. 
Em algumas situações os efeitos de uma força distribuída podem ser determinados pela 
substituição desta pela sua resultante. No caso dos corpos rígidos, a resultante tem o mesmo 
efeito no equilíbrio que a força distribuída. No caso de corpos deformáveis, a força distribuída 
produz deformações diferentes daqueles que seriam produzidos pela força resultante. 
• Forças distribuídas em um segmento de reta - um segmento de reta pode 
representar uma barra de um sistema. A resultante de forças paralelas pode ser 
determinada pela teoria geral de forças paralelas vista na seção anterior. 
 
Seja uma força distribuída q(x) agindo na barra retilínea AB. Considerando um 
elemento infinitesimal de comprimento dx da carga a uma distância x de A. A resultante da 
força distribuída é dada por: 
∫=
L
dxxqR
0
)(
 (12) 
5. Resultante de Forças Paralelas Distribuídas 
 
17 
Para determinar a linha de ação da força resultante R faz-se o momento da força 
distribuída em relação ao ponto A: 
∫=
L
dxxqxM
0
)(
 (13) 
 
O momento M é dinamicamente equivalente ao momento da resultante R em relação 
ao ponto A. Portanto, a linha de ação de R, localizada em X, é determinada pela expressão: 
R
MX CG = (14) 
 
Y
XA
B
q(x)
q(x) dx
A B
XCG
R
X dX
 
Figura 12 – Forças distribuídas em um segmento de reta. 
 
 
A resultante R, também, é chamada de carga concentrada equivalente. Assim, o 
módulo da resultante do carregamento é igual à área sob a curva da força distribuída, e a 
linha de ação da resultante passa pelo centroide da referida área. Exemplos: 
• Força uniformemente distribuída (carregamento retangular) 
Força equivalente: R = área do retângulo = q L (15) 
Distância da linha de ação da força equivalente até o ponto A: X = L/2 (16) 
 
18 
 
U n i d a d e : F o r ç a s D i s t r i b u í d a s 
q 
L 
A B
R = q L 
L /2
A B
L /2
Sistema de Forças Original Sistema de Forças 
Dinamicamente Equivalente
 
Figura 13 – Sistemas de força dinamicamente equivalentes – carga retangular. 
 
• Força uniformemente variável (carregamento triangular) 
 
Força equivalente: R = área do triângulo = q L/2 (17) 
Distância da linha de ação da força equivalente até o ponto A: X = 2L/3 (18) 
A 
R = q L/2 
2L /3
B
L /3
Sistema de Forças Original Sistema de Forças 
Dinamicamente Equivalente
q 
L 
A B
 
Figura 14 – Sistemas de força dinamicamente equivalentes – carga triangular. 
 
Exemplo resolvido 3 
A viga reta AB é submetida a uma força uniformemente distribuída na forma de um 
trapézio com a menor força no ponto A de valor 20 kN/m e a maior força em B de valor 80 
kN/m. Determinar: 
a) A magnitude e a linha de ação da resultante da carga distribuída. 
b) As reações de apoio da viga. 
 
19 
Solução: 
Através do princípio da superposição de esforços o sistema de forças original é 
substituído por um sistema de forças com uma força uniformemente distribuída na forma de 
um triângulo, com a maior força no ponto B de valor 60 kN/m, superposta a uma força 
uniformemente distribuída na forma de um retângulo de valor 20 kN/m. 
Sistema de Forças Original
20 kN/m 
6,00 m 
A B 
60 kN/m 
=20 kN/m 
6,00 m 
A B 
80 kN/m 
Sistema de Forças 
Dinamicamente Equivalente
 
Figura 15 – Sistemas de força dinamicamente equivalentes por superposição. 
 
O sistema de forças dinamicamente equivalente pode ser analisado separadamente e 
ser recomposto posteriormente. 
20 kN/m 
6,00 m 
A B 
60 kN/m 
=
Sistema de Forças 
Dinamicamente Equivalente
20 kN/m 
6,00 m 
A B 
60 kN/m 
6,00m 
A B 
+
 
Figura 16 – Sistemas de força dinamicamente equivalentes. 
Fazendo a análise da força uniforme retangular: 
120 kN
3,00m
A B 
3,00m
20 kN/m 
6,00 m 
A B 
Sistema de Forças Original Sistema de Forças 
Dinamicamente Equivalente
=
 
Figura 17 – Sistemas de força dinamicamente equivalentes – força distribuída retangular. 
 
20 
 
U n i d a d e : F o r ç a s D i s t r i b u í d a s 
Fazendo a análise da força uniforme triangular: 
180 kN
4,00m
B 
2,00m
A 
Sistema de Forças Original Sistema de Forças 
Dinamicamente Equivalente
60 kN/m 
6,00m 
A B =
 
Figura 18 – Sistemas de força dinamicamente equivalentes – força distribuída triangular. 
 
Assim, o sistema de forças dinamicamente equivalente composto é: 
120 kN
180 kN
4,00m
B 
2,00m
A 
3,00m
6,00m
3,00m
 
Figura 19 – Forças dinamicamente equivalentes ao sistema de força original. 
 
a) 
A magnitude da resultante é: R = 120 + 180 = 300 kN (19) 
 
A linha de ação da resultante é: 
mxx
R
MX CG 60,3300
00,418000,3120
=
+
==
 (20) 
 
21 
b) 
Para determinar as reações de apoio, desenha-se o diagrama de corpo livre da viga, 
substituindo-se a carga distribuída por sua resultante. 
300 kN
3,60m
B 
2,40m
A 
6,00m
RVA RVB
X 
Y 
 
Figura 20 – Força Resultante e sua linha de ação. 
 
Portanto, as equações de equilíbrio são: 
)24(120:)21()23(
)23(180
)22(060,330000,6
)21(0300
↑=
↑=
=−=
=−+=
∑
∑
kNRemCom
kNR
xxRM
RRF
VA
VB
VBA
VBVAy
 
 
• Forças distribuídas em uma área plana - no caso da força distribuída q(x, y) que 
atua em uma área plana A, a força infinitesimal df que atua sobre uma área 
infinitesimal dA = dx dy, é definida como sendo o produto da força distribuída pela 
área infinitesimal df = q (x, y)dA, pode ser considerada uma força pontual. 
 
 
22 
 
U n i d a d e : F o r ç a s D i s t r i b u í d a s 
Y 
Z
X 
q (x, y)
dy
dx
q(x, y) dxdy
 
Figura 21 – Força distribuída em uma superfície plana. 
 
Assim, a resultante R da carga distribuída é a somatória de todas as forças pontuais 
agindo na área A: 
∫∫= A dydxyxqR ),((25) 
 
Os momentos MX e MY da carga distribuída q(x, y) em relação aos eixos X e Y 
respectivamente são: 
)27(),(
)26(),(
dydxyxqxM
dydxyxqyM
AY
AX
∫∫
∫∫
=
=
 
A linha de ação da força resultante R é determinada pelo fato de que os momentos de 
R em relação aos eixos X e Y são dinamicamente equivalentes aos momentos MX e MY, da 
carga distribuída q(x, y). O ponto de intersecção (XCG, YCG) da linha de ação de R com a área 
A é: 
XCG = MY/R (28) 
YCG = MX/R (29) 
 
 
23 
Y 
Z
X 
R
(xCG, yCG)
 
Figura 22 – Resultante da carga distribuída na superfície e sua linha de ação. 
 
Exemplo resolvido 4 
A superfície plana retangular está submetida à força uniformemente distribuída q = 60 
kN/m. Determinar a magnitude da reação R e a linha de ação da resultante da carga 
distribuída. 
q = 60 kN/m2
Z Y
X
 
Figura 24 – Carga distribuída na superfície plana. 
 
 
 
 
 
 
24 
 
U n i d a d e : F o r ç a s D i s t r i b u í d a s 
Solução: 
a) 
 A magnitude da resultante é: R = 60 x (8,00 x 6,00) = 2.880 kN 
A linha de ação da resultante é: 
m
y
X
dydy
x
xdxdy
R
xdxdyq
R
M
X
CG
Ay
CG
00,4
880.2
520.11
880.2
3260
880.2
3260
880.2
2
60
880.2
60
6
0
8
0
6
0
8
0
2
6
0
8
0
===
===== ∫
∫∫ ∫∫∫
 (30) 
)31(00,3
880.2
640.8
880.2
1860
880.2
1860
880.2
2
60
880.2
60
8
0
8
0
8
0
6
0
2
8
0
6
0
m
x
Y
dxdx
y
ydxdy
R
ydxdyq
R
MY
CG
AX
CG
===
=====
∫∫∫ ∫∫∫
 
 
R
Z
Y
X
(XCG, YCG)
YCG
XCG
 
 
Figura 25 – Resultante e sua linha de ação na superfície plana. 
Portanto, a linha de ação da resultante é: ( 4,00, 3,00) 
 
 
 
25 
 
 
 
 
 
Você também pode explorar os livros disponibilizados na biblioteca virtual Pearson. 
http://sites.cruzeirodosulvirtual.com.br/biblioteca/ 
 
 
 
 
 
 
 
 
Material Complementar 
 
26 
 
U n i d a d e : F o r ç a s D i s t r i b u í d a s 
 
 
 
 
 
 
BEER, F. P.; JOHNSTON Jr, E.R., EISENBERG, E.R.; CLAUSEN, W. E. Mecânica vetorial 
para engenheiros - estática. 7ª ed. São Paulo: Bookman - Artmed, 2006. 670p. 
 
BORESI, Arthur P.; SCHIMIDT, Richard J. Estática – São Paulo: Pioneira Thomson 
Learning, 2003. 
 
HIBBELER, R. C. Estática. 8ª. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1999. 528 p. 
 
Referências 
 
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Anotações