MAT1161 152 ExercícioParaEntregar02 gaba

Prévia do material em texto

MAT1161 – Ca´lculo de uma Varia´vel - 2015.2 PUC-Rio
Lista de Exerc´ıcios para Entregar 02 Gabarito Resumido
1. A equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f no ponto P = (p, f(p)) (ou equivalentemente, em
x = p) e´ y = f ′(p)(x− p)+ f(p), ja´ que uma reta com esta equac¸a˜o tem coeficiente angular
f ′(p) e passa por P . Como f(p) = p2 e f ′(p) = 2 p, a equac¸a˜o fica
y = 2 p (x− p) + p2 .
(a) Vejamos se (1, 0) satisfaz a equac¸a˜o da reta tangente para algum p:
0 = 2 p (1− p) + p2 ⇐⇒
0 = p (2− p) ⇐⇒ p = 0 ou p = 2 .
Portanto duas retas tangentes ao gra´fico de f passam por (1, 0). Uma delas e´ a reta
tangente em P1 = (0, 0) que tem equac¸a˜o y = 0. A outra e´ a reta tangente em P2 = (2, 4)
que tem equac¸a˜o y = 4 (x− 2) + 4.
(b) Vejamos se (1, 1) satisfaz a equac¸a˜o da reta tangente para algum p:
1 = 2 p (1− p) + p2 ⇐⇒
0 = −1 + 2 p− p2 ⇐⇒
0 = −(p− 1)2 ⇐⇒ p = 1 .
Portanto uma reta tangente ao gra´fico de f passa por (1, 1). Esta reta e´ a exatamente
a reta tangente em (1, 1) e sua equac¸a˜o e´ y = 2 (x− 1) + 1.
(c) Vejamos se (1, 2) satisfaz a equac¸a˜o da reta tangente para algum p:
2 = 2 p (1− p) + p2 ⇐⇒
0 = −2 + 2 p− p2 .
Como a equac¸a˜o na˜o tem soluc¸a˜o real, nenhuma reta tangente ao gra´fico de f passa
pelo ponto (1, 2).
2.
2 f(2) + (4− 2) f(4) + (6− 4) f(6) + (8− 6) f(8) =
2
3
√
2 + 2
3
√
4 + 2
3
√
6 + 2
3
√
8 =
2 (
3
√
2 +
3
√
4 +
3
√
6) + 4 =
4 + 2
3∑
n=i
3
√
2 i.