MAT1161 152 ExercícioParaEntregar03 gaba

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MAT1161 – Ca´lculo de uma Varia´vel - 2015.2 PUC-Rio
Lista de Exerc´ıcios para Entregar 03 Gabarito Resumido
1. (a) Vamos estudar o sinal de f ′(x) = 30x4−30x2 = 30 x2 (x2−1). Primeiro observamos
que f ′(x) = 0 ⇔ x = −1 ou x = 0 ou x = 1. Agora, como 30 x2 > 0 ∀x ∈ R \ {0},
basta estudar o sinal de x2 − 1. Pelo gra´fico da para´bola de equac¸a˜o y = x2 − 1,
vemos que x2− 1 > 0 ⇐⇒ x ∈ (−∞,−1)∪ (1,∞) e x2− 1 < 0 ⇐⇒ x ∈ (−1, 1).
Assim,
(a.1) f e´ crescente em (−∞,−1] e em [1,∞), pois f ′(x) > 0 ⇐⇒ x ∈ (−∞,−1) ∪
(1,∞).
(a.2) f e´ decrescente em [−1, 1], pois f ′(x) < 0 ⇐⇒ x ∈ (−1, 0) ∪ (0, 1).
(a.3) f tem ma´ximo local em x1 = −1, pois f troca de crescente para descrescente
em x1.
(a.4) f tem mı´nimo local em x2 = 1, pois f troca de decrescente para crescente em
x2.
(b) Vamos estudar o sinal de f ′′(x) = 120 x3 − 60x = 60 x (2x2 − 1). Primeiro obser-
vamos que f ′′(x) = 0 ⇐⇒ x = 0 ou x =
√
2
2
ou x = −
√
2
2
.
x < −
√
2
2
−
√
2
2
< x < 0 0 < x <
√
2
2
√
2
2
< x Sinal de:
− − + + 60x
+ − − + 2 x2 − 1
− + − + f ′′(x)
(b.1) f tem concavidade para cima em
[
−
√
2
2
, 0
]
e em
[√
2
2
,∞
)
, pois f ′′(x) > 0 ⇐⇒
x ∈
(
−
√
2
2
, 0
)
∪
(√
2
2
,∞
)
.
(b.2) f tem concavidade para baixo em
(
−∞,−
√
2
2
]
e em
[
0,
√
2
2
]
pois f ′′(x) < 0
⇐⇒ x ∈
(
∞,−
√
2
2
)
∪
(
0,
√
2
2
)
. baixo.
(b.3) Os valores de x para os quais a func¸a˜o f tem pontos de inflexa˜o sa˜o x3 = −
√
2
2
,
x4 = 0 e x5 =
√
2
2
, pois f troca de concavidade em x3, em x4 e em x5.
(c) Vimos no item (a) que f ′(0) = 0. Temos que f ′
(√
2
2
)
< 0, pois
√
2
2
∈ (0, 1). E
f ′
(
−
√
2
2
)
< 0, pois −
√
2
2
∈ (−1, 0).
(d) Gra´fico de f :
–1
0
1
–1 x3
x
5
2.
∫
x
√
5x
x7/3
dx =
√
5
∫
x−5/6 dx = 6
√
5 x1/6 +K .