CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 LISTA DE EXERCÍCIOS PARA PROVA

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Lista de Exercícios – Cálculo II 
Funções de Duas Variáveis Reais – Domínio, Imagem, Gráficos, Curvas de Nível, 
Derivadas Parciais. 
1. Dada a função ���, �� = �1 − �² − �², determinar: 
a) o domínio de �; R: � = {��, �� ∈ ℝ�; �� + �� ≤ 1}		
b) o gráfico do domínio de �; 
c) as equações que representam as curvas de nível de � para � = 0, �� 	�	1; 
R: �² + �² = 1; 			�² + �² = �� ; 					�² + �² = 0 
d) o gráfico de �. 
2. Faça uma representação gráfica do domínio das seguintes funções. 
a) � = ��³ − �² + 1 b) � = �16 − �² − �² c) ���, �� = ²!" 
d) ���, �� = � ²." e) ���, �� = ln	�� − �� f) ���, �� = � ²!"² 
3. Esboce o gráfico dos seguintes parabolóides. 
a) � = �² + �² b) ���, �� = −�² − �² c) ���, �� = 1 + �² + �² 
4. Escreva as seguintes equações das esferas em forma de função de duas variáveis reais 
(� = ���, ���. 
a) �² = 1 − �² − �² R: % ����, �� = �1 − �² − �²����, �� = −�1 − �² − �²
& 
b) �² + �² + �² = 4 R: % ����, �� = �4 − �² − �²����, �� = −�4 − �² − �²
& 
5. Esboce o gráfico das esferas da questão anterior. 
6. Esboce o gráfico das curvas de nível das seguintes funções para os valores de k dados. 
a) � = �² + �² ; � = 1, 4, 9 b) ���, �� = �² − �	; � = −1, 0, 1, 2 
c) � = 2� + �	; 	� = −1, 0, 1, 2. d) ���, �� = �² − �²	; � = −1, 0, 1 
7. Encontrar a equação da curva de interseção do gráfico da função dada com os planos dados, 
representando graficamente essas curvas. 
a) � = �² + �² com os planos � = 1; 	� = 1; 	� = 1. 
b) � = �25 − �² − �² com os planos � = 4; 	� = 0; 	� = 0 
c) � = ��² + �² com os planos � = 1; 	� = 0; 	� = 1 
Derivadas Parciais de Funções de Duas Variáveis Reais 
8. Encontrar as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções. 
a) ���, �� = 3�²� + 4��³ + 1 b) ���, �� = �²�² + �³�³ + � + �² 
c) � = �2�² − �² d) ���, �� = ���² + ���, 
e) � = -�.��� − �� f) ���, �� = /0��� + ��� 
g) ���, �� = ln	���� + 3�²��� h) � = � ²1�"³ 
i) ���, �� = ��². cos	��� + �� j) ���, �� = �³�. � "² 
l) � = ³ ²1"² m) ���, �� = 5
6³
 ²!"² 
n) � = � "7 . ��� + ��� o) ���, �� = �³�. ln	�� + �� 
9. Dada a função ���, �� = �25 − �² − �², determinar � �3,0� e �"(3,0) e fazer uma 
interpretação geométrica. 
10. Dada a função ���, �� = 8 − �² − �², determinar � �1,2� e �"(1,2) e fazer uma 
interpretação geométrica. 
Derivadas Direcionais, Vetor Gradiente e Plano Tangente 
11. Determinar a derivada direcional de f no ponto dado e a direção e sentido indicada 
pelo ângulo 9. 
a) ���, �� = �²�³ − ��, : = �2,1�, 9 = ;� 
 b) ���, �� = �5� − 4�, : = �4,1�, 9 = ;< 
c) ���, �� = �. -�.����, : = �2,0�, 9 = ;� 
12. Determine a derivada direcional da função no ponto dado e na direção e sentido do 
vetor =>?. 
a) ���, �� = 5��� − 4���, : = �1,2�, =>? = @ A�� , ����B 
b) ���, �� = �. ln	���, : = �1,−3�, =>? = @!�A , �AB 
c) ���, �� = ln	��� + ���, : = �2,1�, =>? = @�A , �AB 
13. Ache a derivada direcional à superfície ���, �� = �³ + 4��� − 2��� no ponto 
P=(1,1) e na direção do vetor C? = �3,4�. 
14. Ache a derivada direcional à superfície ���, �� = �� − �² ponto P=(1,0) e na 
direção do vetor C? = �1,1�. 
15. Determinar a equação do plano tangente as seguintes superfícies nos pontos 
indicados. 
a) � = �² + �² ; : = �0,0,0�. b) ���, �� = �4 − �² − �²; : = �0,0,2�. 
c) Faça uma interpretação geométrica dos itens (a) e (b). 
 
16. Dada a função ���, �� = � ²!"², determinar: 
a) vetor gradiente à superfície � no ponto : = �1,1,1�; 
b) a equação do plano tangente à superfície � no ponto : = �1,1,1�. 
 
17. Determinar o vetor gradiente das seguintes funções nos pontos indicados. 
a) � = �²� + 3�� + �²; : = �0,3� b) ���, �� = -�.�3� + ��; : = �0, ;�� 
c) ���, �� = ln�� − ��� ; : = �2,1� d) � = ��² − �; : = �2,3� 
18. Determine a equação do plano tangente à superfície ���, �� = cos�� + 2�� 
: = @0, ;� , 0B. 
Derivadas de Maior Ordem 
19. Determine as derivadas parciais de segunda ordem. 
a) ���, �� = �²� + 3�� + �³ b) ���, �� = ln	��� + 2��� 
c) � = � "² d) ���, �� = -�.��� + �� 
e) ���, �� = DE-³����� f) � = �³ + 2�²�³ + �� + �³ + �³ + 1