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MAT1161 – Ca´lculo de uma Varia´vel - 2015.2 PUC-Rio
Lista de Exerc´ıcios para Entregar 07 Gabarito Resumido
1.
(a) u = x3 (1 + x3) = x3 + x6,
du
dx
= 3 x2 + 6x5 = 3 (x2 + 2 x5) e
du
3
= (x2 + 2 x5)dx
Assim,∫
(x2 + 2 x5) cos(x3 (1 + x3)) dx =
∫
cos(u)
3
du =
sen(x3 (1 + x3))
3
+K
(b) u = cos(x),
du
dx
= − sen(x) e
−du = sen(x)dx
Assim,∫
cos(cos(x)) sen(x) dx = −
∫
cos(u) du = − sen(cos(x)) +K
> restart;
MAT1161 Exercíos Para Entregar 07 Gabarito Questão 2:
> h:=x->cos(x);
 := h → x ( )cos x
> g:=x->(x-200)^2/200+8/10;
 := g → x + 
1
200
( ) − x 200 2 4
5
(a) O gráfico de h é "limitado", temos sempre h(x) entre -1 e 1 . Se g(x)>1 ou g(x)<-1, então a 
equação h(x)=g(x) não terá solução. 
> solve(g(x)<1);
( )RealRange ,( )Open − 200 2 10 ( )Open + 200 2 10
> solve(g(x)<1.0);
( )RealRange ,( )Open 193.6754447 ( )Open 206.3245553
> solve(g(x)>-1.0);
x
As soluções todas, se existirem, estão dentro de [193, 207]:
> plot([h(x),g(x), 1], x=193..207);
Visualizando em torno da menor solução:
> plot([h(x),g(x)], x=193..195);
> x[0]:=194.5;
 := x0 194.5
O Método de Newton econstroi uma sequência de aproximações de soluções de equação do tipo 
f(x)=0. Então definimos f:
> f:=x->g(x)-h(x);
 := f → x − ( )g x ( )h x
(b)
> Digits:=13;
 := Digits 13
> r0:=x->D(f)(x[0])*(x-x[0]) + f(x[0]);
 := r0 → x + ( )( )D f x0 ( ) − x x0 ( )f x0
> r0(x);
− + 0.3301488476675 x 64.20379923225
> x[1]:=solve(r0(x)=0);
 := x1 194.4692513266
> x[1];
194.4692513266
> r1:=x->D(f)(x[1])*(x-x[1]) + f(x[1]);
 := r1 → x + ( )( )D f x1 ( ) − x x1 ( )f x1
> x[2]:=solve(r1(x)=0);
 := x2 194.4705235494
> r2:=x->D(f)(x[2])*(x-x[2]) + f(x[2]);
 := r2 → x + ( )( )D f x2 ( ) − x x2 ( )f x2
> x[3]:=solve(r2(x)=0);
 := x3 194.4705257215
(c)
> Digits:=14;
 := Digits 14
> z[0]:=194.4;
 := z0 194.4
> for n from 0 to 3 do z[n+1]:=z[n]-f(z[n])/D(f)(z[n]); end do;
 := z1 194.46499151451
 := z2 194.47048525790
 := z3 194.47052571926
 := z4 194.47052572146
>

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