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MAT1161 – Ca´lculo de uma Varia´vel - 2015.2 PUC-Rio Lista de Exerc´ıcios para Entregar 07 Gabarito Resumido 1. (a) u = x3 (1 + x3) = x3 + x6, du dx = 3 x2 + 6x5 = 3 (x2 + 2 x5) e du 3 = (x2 + 2 x5)dx Assim,∫ (x2 + 2 x5) cos(x3 (1 + x3)) dx = ∫ cos(u) 3 du = sen(x3 (1 + x3)) 3 +K (b) u = cos(x), du dx = − sen(x) e −du = sen(x)dx Assim,∫ cos(cos(x)) sen(x) dx = − ∫ cos(u) du = − sen(cos(x)) +K > restart; MAT1161 Exercíos Para Entregar 07 Gabarito Questão 2: > h:=x->cos(x); := h → x ( )cos x > g:=x->(x-200)^2/200+8/10; := g → x + 1 200 ( ) − x 200 2 4 5 (a) O gráfico de h é "limitado", temos sempre h(x) entre -1 e 1 . Se g(x)>1 ou g(x)<-1, então a equação h(x)=g(x) não terá solução. > solve(g(x)<1); ( )RealRange ,( )Open − 200 2 10 ( )Open + 200 2 10 > solve(g(x)<1.0); ( )RealRange ,( )Open 193.6754447 ( )Open 206.3245553 > solve(g(x)>-1.0); x As soluções todas, se existirem, estão dentro de [193, 207]: > plot([h(x),g(x), 1], x=193..207); Visualizando em torno da menor solução: > plot([h(x),g(x)], x=193..195); > x[0]:=194.5; := x0 194.5 O Método de Newton econstroi uma sequência de aproximações de soluções de equação do tipo f(x)=0. Então definimos f: > f:=x->g(x)-h(x); := f → x − ( )g x ( )h x (b) > Digits:=13; := Digits 13 > r0:=x->D(f)(x[0])*(x-x[0]) + f(x[0]); := r0 → x + ( )( )D f x0 ( ) − x x0 ( )f x0 > r0(x); − + 0.3301488476675 x 64.20379923225 > x[1]:=solve(r0(x)=0); := x1 194.4692513266 > x[1]; 194.4692513266 > r1:=x->D(f)(x[1])*(x-x[1]) + f(x[1]); := r1 → x + ( )( )D f x1 ( ) − x x1 ( )f x1 > x[2]:=solve(r1(x)=0); := x2 194.4705235494 > r2:=x->D(f)(x[2])*(x-x[2]) + f(x[2]); := r2 → x + ( )( )D f x2 ( ) − x x2 ( )f x2 > x[3]:=solve(r2(x)=0); := x3 194.4705257215 (c) > Digits:=14; := Digits 14 > z[0]:=194.4; := z0 194.4 > for n from 0 to 3 do z[n+1]:=z[n]-f(z[n])/D(f)(z[n]); end do; := z1 194.46499151451 := z2 194.47048525790 := z3 194.47052571926 := z4 194.47052572146 >
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