av1Estatística e Probabilidade

Prévia do material em texto

Estatística e Probabilidade 
Alexandre Antunes 
CONTEÚDO DESTA AULA 
- Conceitos Básicos 
- Coleta de Dados 
- Medidas de Tendência Central 
- Separatrizes 
Estatística e Probabilidade 
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE 
Variável é uma característica da unidade experimental. Vamos estudar dois tipos de 
variáveis: quantitativas e qualitativas. 
Variáveis quantitativas 
são aquelas cujas 
respostas da variável são 
expressas por números 
(quantidades). 
Variáveis qualitativas 
são aquelas cujas 
respostas são 
expressas por um 
atributo. 
V 
A 
R 
I 
Á 
V 
E 
I 
s 
Variáveis quantitativas contínuas 
são aquelas que podem assumir, teoricamente, infinitos valores entre dois 
limites (num intervalo), ou seja, podem assumir valores não inteiros. 
Por exemplo: altura (em metros) de alunos de uma determinada faixa etária, 
peso (em kg), salário, etc. 
Variáveis quantitativas discretas 
são aquelas que só podem assumir valores inteiros. 
Por exemplo: número de filhos por casal, número de livros em uma biblioteca, 
número de carros vendidos, etc. 
Variáveis qualitativas nominais 
definem-se como aquelas em que as respostas são expressas por um 
atributo (nome) e esse atributo não pode ser ordenado. 
Por exemplo: tipo sanguíneo, religião, estado civil, etc. 
Variáveis qualitativas ordinais 
têm suas respostas expressas por um atributo (nome) e 
esse atributo pode ser ordenado. 
Por exemplo: grau de instrução, classe social, etc. 
Estatística e Probabilidade 
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - Conceitos Básicos 
a) cor dos olhos 
b) número de peças produzidas por hora 
c) diâmetro externo 
d) número de pontos em uma partida de futebol 
e) produção de algodão 
f) salários dos executivos de uma empresa 
g) número de ações negociadas na bolsa de valores 
h) sexo dos filhos 
i) tamanho de pregos produzidos por uma máquina 
j) quantidade de água consumida por uma família em um mês 
k) grau de escolaridade 
l) nível social 
m) tipo sanguíneo 
n) estado civil 
Exercício 1: Classifique as variáveis abaixo em quantitativas (discretas ou contínuas) 
ou qualitativas (nominal ou ordinal). 
Estatística e Probabilidade 
Respostas 
a) qualitativa nominal 
b) quantitativa discreta 
c) quantitativa contínua 
d) quantitativa discreta 
e) quantitativa contínua 
f) quantitativa contínua 
g) quantitativa discreta 
h) qualitativa nominal 
i) quantitativa contínua 
j) quantitativa contínua 
k) qualitativa ordinal 
l) qualitativa ordinal 
m) qualitativa nominal 
n) qualitativa nominal 
 
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - Conceitos Básicos 
a) cor dos olhos 
b) número de peças produzidas por hora 
c) diâmetro externo 
d) número de pontos em uma partida de futebol 
e) produção de algodão 
f) salários dos executivos de uma empresa 
g) número de ações negociadas na bolsa de valores 
h) sexo dos filhos 
i) tamanho de pregos produzidos por uma máquina 
j) quantidade de água consumida por uma família em um mês 
k) grau de escolaridade 
l) nível social 
m) tipo sanguíneo 
n) estado civil 
Exercício 1: Classifique as variáveis abaixo em quantitativas (discretas ou contínuas) 
ou qualitativas (nominal ou ordinal). 
Estatística e Probabilidade 
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - Conceitos Básicos 
Exercício 2: Os institutos de pesquisa de opinião regularmente fazem pesquisas para 
determinar o índice de popularidade do presidente em exercício. Suponha que uma 
pesquisa será conduzida com 2.500 indivíduos, que serão questionados se o 
presidente está fazendo um bom ou um mau governo. Os 2.500 indivíduos serão 
selecionados por números de telefone aleatórios e serão entrevistados por telefone. 
 
a) Qual a população relevante? 
b) Qual a variável de interesse? É qualitativa ou quantitativa? 
c) Qual é a amostra? 
d) Qual é o interesse da inferência para o pesquisador? 
e) Qual é o método de coleta de dados que foi empregado? 
f) A amostra em estudo é representativa? 
Estatística e Probabilidade 
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - Conceitos Básicos 
Exercício 2: Os institutos de pesquisa de opinião regularmente fazem pesquisas para 
determinar o índice de popularidade do presidente em exercício. Suponha que uma 
pesquisa será conduzida com 2.500 indivíduos, que serão questionados se o 
presidente está fazendo um bom ou um mau governo. Os 2.500 indivíduos serão 
selecionados por números de telefone aleatórios e serão entrevistados por telefone. 
a) Qual a população relevante? 
 R: Todos os cidadãos brasileiros. 
b) Qual a variável de interesse? É qualitativa ou quantitativa? 
 R: Avaliação do trabalho do presidente (bom ou mau); qualitativa. 
c) Qual é a amostra? 
 R: 2.500 indivíduos sorteados. 
Estatística e Probabilidade 
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - Conceitos Básicos 
Exercício 2: Os institutos de pesquisa de opinião regularmente fazem pesquisas para 
determinar o índice de popularidade do presidente em exercício. Suponha que uma 
pesquisa será conduzida com 2.500 indivíduos, que serão questionados se o 
presidente está fazendo um bom ou um mau governo. Os 2.500 indivíduos serão 
selecionados por números de telefone aleatórios e serão entrevistados por telefone. 
a) Qual a população relevante? 
 R: Todos os cidadãos brasileiros. 
b) Qual a variável de interesse? É qualitativa ou quantitativa? 
 R: Avaliação do trabalho do presidente (bom ou mau); qualitativa. 
c) Qual é a amostra? 
 R: 2.500 indivíduos sorteados. 
Estatística e Probabilidade 
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - Conceitos Básicos 
Exercício 2: Os institutos de pesquisa de opinião regularmente fazem pesquisas para 
determinar o índice de popularidade do presidente em exercício. Suponha que uma 
pesquisa será conduzida com 2.500 indivíduos, que serão questionados se o 
presidente está fazendo um bom ou um mau governo. Os 2.500 indivíduos serão 
selecionados por números de telefone aleatórios e serão entrevistados por telefone. 
a) Qual a população relevante? 
 R: Todos os cidadãos brasileiros. 
b) Qual a variável de interesse? É qualitativa ou quantitativa? 
 R: Avaliação do trabalho do presidente (bom ou mau); qualitativa. 
c) Qual é a amostra? 
 R: 2.500 indivíduos sorteados. 
Estatística e Probabilidade 
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - Conceitos Básicos 
Exercício 2: Os institutos de pesquisa de opinião regularmente fazem pesquisas para 
determinar o índice de popularidade do presidente em exercício. Suponha que uma 
pesquisa será conduzida com 2.500 indivíduos, que serão questionados se o 
presidente está fazendo um bom ou um mau governo. Os 2.500 indivíduos serão 
selecionados por números de telefone aleatórios e serão entrevistados por telefone. 
d) Qual é o interesse da inferência para o pesquisador? 
 R: Estimar a proporção de todos os cidadãos que acreditam que o presidente está 
fazendo um bom trabalho. 
e) Qual é o método de coleta de dados que foi empregado? 
 R: Pesquisa 
f) A amostra em estudo é representativa? 
 R: A amostra em estudo não é representativa, pois foram entrevistadas somente 
pessoas que possuem telefone. 
Estatística e Probabilidade 
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - Conceitos Básicos 
Exercício 2: Os institutos de pesquisa de opinião regularmente fazem pesquisas para 
determinar o índice de popularidade do presidente em exercício. Suponha que uma 
pesquisa será conduzida com 2.500 indivíduos, que serão questionados se o 
presidente está fazendo um bom ou um mau governo. Os 2.500 indivíduos serão 
selecionados por números de telefone aleatórios e serão entrevistados por telefone. 
d) Qual é o interesse da inferência para o pesquisador?R: Estimar a proporção de todos os cidadãos que acreditam que o presidente está 
fazendo um bom trabalho. 
e) Qual é o método de coleta de dados que foi empregado? 
 R: Pesquisa 
f) A amostra em estudo é representativa? 
 R: A amostra em estudo não é representativa, pois foram entrevistadas somente 
pessoas que possuem telefone. 
Estatística e Probabilidade 
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - Conceitos Básicos 
Exercício 2: Os institutos de pesquisa de opinião regularmente fazem pesquisas para 
determinar o índice de popularidade do presidente em exercício. Suponha que uma 
pesquisa será conduzida com 2.500 indivíduos, que serão questionados se o 
presidente está fazendo um bom ou um mau governo. Os 2.500 indivíduos serão 
selecionados por números de telefone aleatórios e serão entrevistados por telefone. 
d) Qual é o interesse da inferência para o pesquisador? 
 R: Estimar a proporção de todos os cidadãos que acreditam que o presidente está 
fazendo um bom trabalho. 
e) Qual é o método de coleta de dados que foi empregado? 
 R: Pesquisa 
f) A amostra em estudo é representativa? 
 R: A amostra em estudo não é representativa, pois foram entrevistadas somente 
pessoas que possuem telefone. 
Estatística e Probabilidade 
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - Coleta de Dados 
Exercício 3: Definida a população, é preciso estabelecer a técnica de amostragem, 
isto é, o procedimento que será adotado para escolher os elementos que irão compor 
a amostra, conforme a técnica utilizada tem-se um tipo de amostra. Entende-se como 
sendo amostra sistemática: 
A) quando é composta por elementos, retirados ao acaso, da população. Então, todo 
elemento da população tem igual probabilidade de ser escolhido para a amostra. 
B) quando os elementos são escolhidos não por acaso, mas por um sistema. 
C) quando é composta por elementos provenientes de todos os estratos da 
população. 
D) quando é formada por elementos que o pesquisador reuniu simplesmente porque 
dispunha deles. 
Estatística e Probabilidade 
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - Coleta de Dados 
Exercício 3: Definida a população, é preciso estabelecer a técnica de amostragem, 
isto é, o procedimento que será adotado para escolher os elementos que irão compor 
a amostra, conforme a técnica utilizada tem-se um tipo de amostra. Entende-se como 
sendo amostra sistemática: 
A) quando é composta por elementos, retirados ao acaso, da população. Então, todo 
elemento da população tem igual probabilidade de ser escolhido para a amostra. 
B) quando os elementos são escolhidos não por acaso, mas por um sistema. 
C) quando é composta por elementos provenientes de todos os estratos da 
população. 
D) quando é formada por elementos que o pesquisador reuniu simplesmente porque 
dispunha deles. 
Estatística e Probabilidade 
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - Coleta de Dados 
Exercício 4: Suponha que duas amostras da produção da peça X, colhidas da 
mesma ordem de produção, sendo uma amostra com 100 exemplares e outra 
amostra com 200 exemplares. 
A amostra maior é mais representativa da população? Justifique sua resposta. 
Estatística e Probabilidade 
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - Coleta de Dados 
Exercício 4: Suponha que duas amostras da produção da peça X, colhidas da 
mesma ordem de produção, sendo uma amostra com 100 exemplares e outra 
amostra com 200 exemplares. 
A amostra maior é mais representativa da população? Justifique sua resposta. 
 
Resposta: Não. 
 Para decidir qual amostra é mais representativa, é necessário conhecer 
na íntegra os procedimentos utilizados para a coleta das duas amostras, pois estes 
influenciam na qualidade da amostra. Uma amostra de 100 elementos que 
representam significativamente a população é melhor que uma amostra de 200 
elementos selecionada sem o emprego de procedimentos adequados. 
Estatística e Probabilidade 
As medidas de posição, também chamadas de medidas de tendência 
central, têm o objetivo de apresentar um ponto central em torno do qual os 
dados se distribuem. As mais conhecidas são: a média, a mediana e a moda. 
Média: 𝑋 =
 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑛
 Mediana 
𝑛 𝑓𝑜𝑟 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟,𝑀𝑑 = 𝑥 𝑛+1
2
 
𝑛 𝑓𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑟,𝑀𝑑 =
𝑥 𝑛
2
 + 𝑥 𝑛
2+1
2
 
 
A Moda de um conjunto de dados é o valor (ou valores) que ocorre 
com maior frequência. 
Para os dados não tabulados, ou seja, quando os dados não estiverem na 
forma de distribuição de frequência. 
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - Medidas de Tendência 
Central 
Estatística e Probabilidade 
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - Medidas de Tendência 
Central 
Exercício 4: (ENADE/2011) Os preços em reais (R$) para uma amostra de 
equipamentos de som estão indicados na tabela abaixo. 
Com base na amostra, o valor CORRETO da mediana é igual a: 
a) 𝑅$ 440,00. 
b) 𝑅$ 470,00. 
c) 𝑅$ 512,00. 
d) 𝑅$ 627,00. 
Estatística e Probabilidade 
Exercício 4: (ENADE/2011) Os preços em reais (R$) para uma amostra de 
equipamentos de som estão indicados na tabela abaixo. 
Com base na amostra, o valor CORRETO da mediana é igual a: 
a) 𝑅$ 440,00. 
b) 𝑅$ 470,00. 
c) 𝑅$ 512,00. 
d) 𝑅$ 627,00. 
420,00 440,00 440,00 470,00 480,00 500,00 834,00 
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - Medidas de Tendência 
Central 
Estatística e Probabilidade 
Exercício 4: (ENADE/2011) Os preços em reais (R$) para uma amostra de 
equipamentos de som estão indicados na tabela abaixo. 
Com base na amostra, o valor CORRETO da mediana é igual a: 
a) 𝑅$ 440,00. 
b) 𝑅$ 470,00. 
c) 𝑅$ 512,00. 
d) 𝑅$ 627,00. 
420,00 440,00 440,00 470,00 480,00 500,00 834,00 
Mediana 
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - Medidas de Tendência 
Central 
Estatística e Probabilidade 
Exercício 4: (ENADE/2011) Os preços em reais (R$) para uma amostra de 
equipamentos de som estão indicados na tabela abaixo. 
Com base na amostra, o valor CORRETO da mediana é igual a: 
a) 𝑅$ 440,00. 
b) 𝑅$ 470,00. 
c) 𝑅$ 512,00. 
d) 𝑅$ 627,00. 
420,00 440,00 440,00 470,00 480,00 500,00 834,00 
Mediana 
𝑀é𝑑𝑖𝑎 =
420,00 + 440,00 + 440,00 + 470,00 + 480,00 + 500,00 + 834,00
7
=
3584
7
= 512,00 
𝑀𝑜𝑑𝑎 = 440,00 (Bimodal) 
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - Medidas de Tendência 
Central 
Estatística e Probabilidade 
RELAÇÃO ENTRE A MÉDIA, A MEDIANA E A MODA 
Como o próprio nome sugere, o valor da Mediana (que ocupa a posição central 
numa distribuição de frequência), deve estar em algum ponto entre o valor da 
Média e o valor da Moda, mas pode também ser igual à Moda e à Média. 
Três casos podem ocorrer: 
𝟏𝒐 Caso: 𝑴é𝒅𝒊𝒂 = 𝑴𝒆𝒅𝒊𝒂𝒏𝒂 = 𝑴𝒐𝒅𝒂 a curva da distribuição é SIMÉTRICA 
𝟐𝒐 Caso: 𝑴é𝒅𝒊𝒂 < 𝑴𝒆𝒅𝒊𝒂𝒏𝒂 < 𝑴𝒐𝒅𝒂 a curva da distribuição tem ASSIMETRIA NEGATIVA 
𝟑𝒐 Caso: 𝑴é𝒅𝒊𝒂 > 𝑴𝒆𝒅𝒊𝒂𝒏𝒂 > 𝑴𝒐𝒅𝒂 a curva da distribuição tem ASSIMETRIA POSITIVA 
Assimetria Positiva, podemos dizer que a distribuição é Assimétrica à Direita (da curva); 
Assimetria Negativa, podemos dizer que a distribuição é Assimétrica à Esquerda (da curva); 
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - Medidas de Tendência 
Central 
Estatística e Probabilidade 
Exercício 4: (ENADE/2011) Os preços em reais (R$) para uma amostra de 
equipamentos de som estão indicados na tabela abaixo. 
Com base na amostra, o valor CORRETO da mediana é igual a: 
a) 𝑅$ 440,00. 
b) 𝑅$ 470,00. 
c) 𝑅$ 512,00. 
d) 𝑅$ 627,00. 
420,00 440,00 440,00 470,00 480,00 500,00 834,00 
Mediana 
𝑀é𝑑𝑖𝑎 =
420,00 + 440,00 + 440,00 + 470,00 + 480,00 + 500,00 + 834,00
7
=
3584
7
= 512,00 
𝑀𝑜𝑑𝑎 = 440,00 (Bimodal) 
𝑀é𝑑𝑖𝑎 > 𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 > 𝑀𝑜𝑑𝑎 
a curva da distribuição tem ASSIMETRIAPOSITIVA, ou seja, é Assimétrica à 
Direita (da curva) 
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - Medidas de Tendência 
Central 
Estatística e Probabilidade 
Para os dados não tabulados, ou seja, quando os dados não estiverem na forma de 
distribuição de frequência. 
Com base na amostra, o valor CORRETO da mediana é igual a: 
a) 𝑅$ 440,00. 
b) 𝑅$ 470,00. 
c) 𝑅$ 512,00. 
d) 𝑅$ 627,00. 
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - Medidas de Tendência 
Central 
Estatística e Probabilidade 
Exercício 5: Em um determinado mês, foi computado o número de faltas ao trabalho, 
por motivos de saúde, que cada funcionário de uma determinada empresa teve. Os 
dados estão apresentados na tabela a seguir. 
Número de Faltas 𝑓 
0 31 
1 20 
2 8 
3 2 
4 0 
5 1 
6 1 
Total 63 
𝑋 =
 𝑥𝑖. 𝑓𝑖
𝑛
𝑖=1
 𝑓𝑖
𝑛
𝑖=1
= 
 
=
0 ∙ 31 + 1 ∙ 20 + 2 ∙ 8 + 3 ∙ 2 + 4 ∙ 0 + 5 ∙ 1 + 6 ∙ 1
63
=
53
63
≅ 0,84 
 
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - Medidas de Tendência 
Central 
Estatística e Probabilidade 
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - Medidas de Tendência Central 
Exercício 5: Em um determinado mês, foi computado o número de faltas ao trabalho, 
por motivos de saúde, que cada funcionário de uma determinada empresa teve. Os 
dados estão apresentados na tabela a seguir. 
Número de Faltas 𝑓 
0 31 
1 20 
2 8 
3 2 
4 0 
5 1 
6 1 
Total 63 
𝑋 =
 𝑥𝑖. 𝑓𝑖
𝑛
𝑖=1
 𝑓𝑖
𝑛
𝑖=1
= 
 
=
0 ∙ 31 + 1 ∙ 20 + 2 ∙ 8 + 3 ∙ 2 + 4 ∙ 0 + 5 ∙ 1 + 6 ∙ 1
63
=
53
63
≅ 0,84 
 
Moda: 𝑀𝑜 = 0 
Estatística e Probabilidade 
Exercício 5: Em um determinado mês, foi computado o número de faltas ao trabalho, 
por motivos de saúde, que cada funcionário de uma determinada empresa teve. Os 
dados estão apresentados na tabela a seguir. 
Número de Faltas 𝑓 
0 31 
1 20 
2 8 
3 2 
4 0 
5 1 
6 1 
Total 63 
𝑋 =
 𝑥𝑖. 𝑓𝑖
𝑛
𝑖=1
 𝑓𝑖
𝑛
𝑖=1
= 
 
=
0 ∙ 31 + 1 ∙ 20 + 2 ∙ 8 + 3 ∙ 2 + 4 ∙ 0 + 5 ∙ 1 + 6 ∙ 1
63
=
53
63
≅ 0,84 
 
Mediana: 𝑀𝑒 = 1 
𝑓𝑎 
31 
51 
59 
61 
61 
62 
63 
Moda: 𝑀𝑜 = 0 
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - Medidas de Tendência 
Central 
Estatística e Probabilidade 
Exercício 6: A tabela abaixo apresenta a distribuição de frequências do tempo de 
vida de 60 componentes eletrônicos (medido em dias) submetidos à experimentação 
num laboratório especializado. Calcular as medidas de posição. 
Tempo de Vida (dias) 𝑓 
3 |--- 18 3 
18 |--- 33 4 
33 |--- 48 4 
48 |--- 63 8 
63 |--- 78 10 
78 |--- 93 28 
93 |--- 108 2 
108 |--- 123 1 
Total 60 
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - Medidas de Tendência 
Central 
Estatística e Probabilidade 
Exercício 6: A tabela abaixo apresenta a distribuição de frequências do tempo de 
vida de 60 componentes eletrônicos (medido em dias) submetidos à experimentação 
num laboratório especializado. Calcular as medidas de posição. 
Tempo de Vida (dias) 𝑓 𝑋𝑖 
3 |--- 18 3 10,5 
18 |--- 33 4 25,5 
33 |--- 48 4 40,5 
48 |--- 63 8 55,5 
63 |--- 78 10 70,5 
78 |--- 93 28 85,5 
93 |--- 108 2 100,5 
108 |--- 123 1 115,5 
Total 60 
𝑋 =
 𝑥𝑖. 𝑓𝑖
𝑛
𝑖=1
 𝑓𝑖
𝑛
𝑖=1
= 
 
=
10,5 ∙ 3 + 25,5 ∙ 4 + 40,5 ∙ 4 + 55,5 ∙ 8 + 70,5 ∙ 10 + 85,5 ∙ 28 + 100,5 ∙ 2 + 115,5 ∙ 1
60
=
4155
60
= 69,25 
 
𝑋 = 69 𝑑𝑖𝑎𝑠 
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - Medidas de Tendência 
Central 
Estatística e Probabilidade 
Exercício 6: A tabela abaixo apresenta a distribuição de frequências do tempo de 
vida de 60 componentes eletrônicos (medido em dias) submetidos à experimentação 
num laboratório especializado. Calcular as medidas de posição. 
Tempo de Vida (dias) 𝑓 𝑋𝑖 
3 |--- 18 3 10,5 
18 |--- 33 4 25,5 
33 |--- 48 4 40,5 
48 |--- 63 8 55,5 
63 |--- 78 10 70,5 
78 |--- 93 28 85,5 
93 |--- 108 2 100,5 
108 |--- 123 1 115,5 
Total 60 
𝑀𝑒 = 𝑋𝑒 +
ℎ ∙ (𝑋𝑚 − 𝐹𝑖𝑎𝑎)
𝐹𝑖
 
onde 
𝑋𝑒 o limite inferior da classe que contém a mediana; 
𝑋𝑚: metade do valor da frequência total; 
𝐹𝑖𝑎𝑎: frequência acumulada da classe anterior à classe que contém a mediana; 
𝐹𝑖: número de observações na classe que contém a mediana; 
ℎ: amplitude da classe que contém a mediana. 
𝑀𝑒 = 78 +
15 ∙ (30 − 29)
28
= 78 +
15
28
≅ 78 + 0,5357 ≅
≅ 78,5 ∴ 𝑀𝑒 = 79 𝑑𝑖𝑎𝑠 
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - Medidas de Tendência 
Central 
Estatística e Probabilidade 
Exercício 6: A tabela abaixo apresenta a distribuição de frequências do tempo de 
vida de 60 componentes eletrônicos (medido em dias) submetidos à experimentação 
num laboratório especializado. Calcular as medidas de posição. 
Tempo de Vida (dias) 𝑓 𝑋𝑖 
3 |--- 18 3 10,5 
18 |--- 33 4 25,5 
33 |--- 48 4 40,5 
48 |--- 63 8 55,5 
63 |--- 78 10 70,5 
78 |--- 93 28 85,5 
93 |--- 108 2 100,5 
108 |--- 123 1 115,5 
Total 60 
𝑀𝑜 = 𝑋𝑜 +
ℎ ∙ (𝐹𝑚 − 𝐹𝑎)
2 ∙ 𝐹𝑚 − (𝐹𝑎 + 𝐹𝑝)
 
Onde 
𝑋𝑜 o limite inferior da classe que contém a moda; 
𝐹𝑚: frequência máxima; 
𝐹𝑎: frequência anterior à frequência máxima; 
𝐹𝑝: frequência posterior à frequência máxima; 
ℎ: amplitude da classe que contém a moda. 
𝑀𝑜 = 78+
15 ∙ (28 − 10)
2 ∙ 28 − (10 + 2)
= 78 +
15 ∙ 18
56 − 12
= 78 +
270
44
≅
≅ 78 + 6,13636… ≅ 84,1 ∴ 𝑀𝑜 = 84 𝑑𝑖𝑎𝑠 
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - Medidas de Tendência 
Central 
Estatística e Probabilidade 
𝑪𝑶𝑴𝑷𝑨𝑹𝑨ÇÃ𝑶 𝑬𝑵𝑻𝑹𝑬 𝑨 𝑴É𝑫𝑰𝑨,𝑨 𝑴𝑬𝑫𝑰𝑨𝑵𝑨 𝑬 𝑨 𝑴𝑶𝑫𝑨 
MEDIDA DE 
POSIÇÃO 
VANTAGENS DESVANTAGENS 
MÉDIA Reflete cada valor observado 
na distribuição 
É influenciada por valores extremos 
MEDIANA Menos sensível a valores 
extremos do que a Média 
Difícil de determinar para grande 
quantidade de dados 
MODA Maior quantidade de valores 
concentrados neste ponto 
Não se presta à análise matemática 
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - Medidas de Tendência 
Central 
Estatística e Probabilidade 
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - Separatrizes 
Na análise da distribuição de uma variável, há grande interesse de determinarmos 
qual o valor que divide a distribuição em duas partes iguais, quatro partes iguais, dez 
partes iguais e cem partes iguais. A estes valores (separatrizes) chamaremos 
respectivamente de: 
 Mediana: é o valor que divide a distribuição em duas partes iguais. 
𝑀𝑒 = 𝑋𝑒 +
ℎ ∙ (𝑋𝑚 − 𝐹𝑖𝑎𝑎)
𝐹𝑖
 
 Quartis: dividem a distribuição em quatro partes iguais. 
𝑄𝑖 = 𝑋𝑞𝑖 +
ℎ 𝑋𝑚𝑖 – 𝐹𝑖𝑎𝑎
𝐹𝑖
 
 Decis: é qualquer um dos nove valores que dividem os dados ordenados de uma 
variável em dez partes iguais, de modo que cada parte representa 1/10 da amostra ou 
população 
 Percentis: são medidas que dividem a amostra ordenada (por ordem crescente dos 
dados) em 100 partes. 
Estatística e Probabilidade 
𝑄𝑖 = 𝑋𝑞𝑖 +
ℎ 𝑋𝑚𝑖 – 𝐹𝑖𝑎𝑎
𝐹𝑖
 𝑄𝑖 - primeiro, segundo e terceiro quartil ( 𝑖 = 1, 2 𝑒 3) 
𝑋𝑞𝑖 - ponto inicial da classe à qual pertence 𝑋𝑚𝑖 . 
𝑋𝑚𝑖 - valor proporcional da frequência total. 25% para o 
1º quartil; 50% para o 2º quartil; e 75% para o 3º quartil. 
ℎ - intervalo de classe. 
𝐹𝑖𝑎𝑎 - frequência acumulada imediatamente anterior à 
classe a qual pertence 𝑋𝑚. 
𝐹𝑖 - frequência simples da classe à qual pertence 𝑋𝑚. 
𝑄3 = 78 +
15 45 – 29
28
= Tempo de Vida (dias) 𝑓 𝑋𝑖 
3 |--- 18 3 10,5 
18 |--- 33 4 25,5 
33 |--- 48 4 40,5 
48 |--- 63 8 55,5 
63 |--- 78 10 70,5 
78 |--- 93 28 85,5 
93 |--- 108 2 100,5 
108 |--- 123 1 115,5 
Total 60 
= 78 +
15 ∙ 16
28
= 78 +
240
28
 
𝑄3 ≅ 78 + 8,5714 ≅ 86,57 
𝑄3 = 86,6 
𝑋𝑚𝑖 = 75% 𝑑𝑒 60 = 45 
ESTATÍSTICAE PROBABILIDADE - Separatrizes 
Exercício 7: Vamos utilizar os dados do Exercício anterior (Exercício 6) para 
encontrar o terceiro quartil, o quinto decil e o décimo quinto percentil 
Estatística e Probabilidade 
𝑄𝑖 = 𝑋𝑞𝑖 +
ℎ 𝑋𝑚𝑖 – 𝐹𝑖𝑎𝑎
𝐹𝑖
 𝑄𝑖 - primeiro, segundo e terceiro quartil ( 𝑖 = 1, 2 𝑒 3) 
𝑋𝑞𝑖 - ponto inicial da classe à qual pertence 𝑋𝑚𝑖 . 
𝑋𝑚𝑖 - valor proporcional da frequência total. 25% para o 
1º quartil; 50% para o 2º quartil; e 75% para o 3º quartil. 
ℎ - intervalo de classe. 
𝐹𝑖𝑎𝑎 - frequência acumulada imediatamente anterior à 
classe a qual pertence 𝑋𝑚. 
𝐹𝑖 - frequência simples da classe à qual pertence 𝑋𝑚. 
𝐷5 = 78 +
15 30 – 29
28
= 
Tempo de Vida (dias) 𝑓 𝑋𝑖 
3 |--- 18 3 10,5 
18 |--- 33 4 25,5 
33 |--- 48 4 40,5 
48 |--- 63 8 55,5 
63 |--- 78 10 70,5 
78 |--- 93 28 85,5 
93 |--- 108 2 100,5 
108 |--- 123 1 115,5 
Total 60 
= 78 +
15 ∙ 1
28
= 78 +
15
28
 
𝐷5 ≅ 78 + 0,5357 ≅ 78,53 
𝐷5 = 78,5 
Note que 𝐷5 = 𝑀𝑒 = 𝑄2 
𝑋𝑚𝑖 = 50% 𝑑𝑒 60 = 30 
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - Separatrizes 
Exercício 7: Vamos utilizar os dados do Exercício anterior (Exercício 6) para 
encontrar o terceiro quartil, o quinto decil e o décimo quinto percentil 
Estatística e Probabilidade 
Exercício 7: Vamos utilizar os dados do Exercício anterior (Exercício 6) para 
encontrar o terceiro quartil, o quinto decil e o décimo quinto percentil 
𝑄𝑖 = 𝑋𝑞𝑖 +
ℎ 𝑋𝑚𝑖 – 𝐹𝑖𝑎𝑎
𝐹𝑖
 𝑄𝑖 - primeiro, segundo e terceiro quartil ( 𝑖 = 1, 2 𝑒 3) 
𝑋𝑞𝑖 - ponto inicial da classe à qual pertence 𝑋𝑚𝑖 . 
𝑋𝑚𝑖 - valor proporcional da frequência total. 25% para o 
1º quartil; 50% para o 2º quartil; e 75% para o 3º quartil. 
ℎ - intervalo de classe. 
𝐹𝑖𝑎𝑎 - frequência acumulada imediatamente anterior à 
classe a qual pertence 𝑋𝑚. 
𝐹𝑖 - frequência simples da classe à qual pertence 𝑋𝑚. 
𝑃15 = 33 +
15 9 – 7
4
= 
Tempo de Vida (dias) 𝑓 𝑋𝑖 
3 |--- 18 3 10,5 
18 |--- 33 4 25,5 
33 |--- 48 4 40,5 
48 |--- 63 8 55,5 
63 |--- 78 10 70,5 
78 |--- 93 28 85,5 
93 |--- 108 2 100,5 
108 |--- 123 1 115,5 
Total 60 
= 33 +
15 ∙ 2
4
= 78 +
15
2
 
𝑃15 = 33 + 7,5 = 40,5 
𝑃15 = 40,5 
𝑋𝑚𝑖 = 15% 𝑑𝑒 60 = 9 
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - Separatrizes 
Estatística e Probabilidade 
ÍNDICES DE PERSON 
Os índices de Pearson são muito úteis ao estudo e descrição de uma variável 
discreta. 
 
Os índices de Assimetria e Curtose, ditos de Pearson, mostra a relação entre 
dominantes, separatrizes e médias relações entre desvio padrão de distribuição 
simétricas. 
Para maiores detalhes, sugerimos complementar essa atividade com uma visita 
ao site: http://estatisticax.blogspot.com.br/2008/03/medidas-de-assimetria-e-de-achatamento.html 
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - Separatrizes 
Estatística e Probabilidade 
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - Separatrizes 
ÍNDICES DE PERSON 
 Índice de Assimetria: As medidas de assimetria permitem distinguir as 
distribuições simétricas (Média = Moda = Mediana) das assimétricas. No caso 
das distribuições assimétricas estas podem ter assimetria positiva (Moda <= 
Mediana <= Média) ou assimetria negativa (Média <= Mediana <= Moda). 
𝑇 =
𝑄3 + 𝑄1 − 2 ∙ 𝑀𝑒
𝑄3 − 𝑄1
 
Sendo: 𝑇 = 0 : simétrica; 𝑇 < 0 : assimétrica negativa; 𝑇 > 0 : assimétrica positiva 
• Uma distribuição simétrica resultará num valor igual a 0 (zero); 
• Se a distribuição for assimétrica positiva resultará num valor 
superior a 0 (zero); 
• Se a distribuição for assimétrica negativa resultará num valor 
inferior a 0 (zero). 
Estatística e Probabilidade 
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - Separatrizes 
ÍNDICES DE PERSON 
 Índice de Curtose: AS medidas de achatamento (ou curtose) indicam a intensidade 
das frequências na vizinhança dos valores centrais. A classificação da distribuição 
de frequência, relativamente ao seu achatamento, pode ser feita através do cálculo 
do coeficiente percentílico de curtose: 
K =
𝑄3 – 𝑄1
2 ∙ (P90 − P10)
 
 𝐾 < 0,263 leptocúrtica; 𝐾 = 0,263 mesocúrtica; 𝐾 > 0,263 Platicúrtica 
Fonte: http://4.bp.blogspot.com/_HqjPVvZ1cRI/R-v7u8hreYI/AAAAAAAABNw/M1oM2cFIXFk/s1600-h/curtose.gif 
Estatística e Probabilidade 
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - Separatrizes 
𝑇 =
𝑄3 + 𝑄1 − 2 ∙ 𝑀𝑒
𝑄3 − 𝑄1
 K =
𝑄3 – 𝑄1
2 ∙ (P90 − P10)
 
𝑄1 = ? 
𝑄3 = 86,6 
𝑀𝑒 = 78,5 
P10 = ? 
P90 = ? 
Estatística e Probabilidade 
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - Separatrizes 
𝑇 =
𝑄3 + 𝑄1 − 2 ∙ 𝑀𝑒
𝑄3 − 𝑄1
 K =
𝑄3 – 𝑄1
2 ∙ (P90 − P10)
 
𝑄1 = 55,5 
𝑄3 = 86,6 
𝑀𝑒 = 78,5 
P10 = 29,3 
P90 = 91,4 
𝑄1 = 48 +
15 15 –11
8
= 48 +
15 ∙ 4
8
= 48 +
15
2
= 48 + 7,5 = 55,5 
 
Tempo de 
Vida (dias) 
𝑓 𝑋𝑖 
3 |--- 18 3 10,5 
18 |--- 33 4 25,5 
33 |--- 48 4 40,5 
48 |--- 63 8 55,5 
63 |--- 78 10 70,5 
78 |--- 93 28 85,5 
93 |--- 108 2 100,5 
108 |--- 123 1 115,5 
Total 60 
𝑃10 = 18 +
15 6 –3
4
= 18 +
15 ∙ 3
4
= 18 + 11,25 = 29,25 
 
𝑃90 = 78 +
15 54 – 29
28
= 78 +
15 ∙ 25
28
= 78 + 13,39 = 91,39 
Estatística e Probabilidade 
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - Separatrizes 
𝑇 =
𝑄3 + 𝑄1 − 2 ∙ 𝑀𝑒
𝑄3 − 𝑄1
 K =
𝑄3 – 𝑄1
2 ∙ (P90 − P10)
 
𝑄1 = 55,5 
𝑄3 = 86,6 
𝑀𝑒 = 78,5 
P10 = 29,3 
P90 = 91,4 
Tempo de 
Vida (dias) 
𝑓 𝑋𝑖 
3 |--- 18 3 10,5 
18 |--- 33 4 25,5 
33 |--- 48 4 40,5 
48 |--- 63 8 55,5 
63 |--- 78 10 70,5 
78 |--- 93 28 85,5 
93 |--- 108 2 100,5 
108 |--- 123 1 115,5 
Total 60 
𝑇 =
86,6 + 55,5 − 2 ∙ 78,5
86,6 − 55,5
=
142,1 − 157
31,1
=
−14,9
31,1
≅ −0,47 
𝑇 < 0 : assimétrica negativa (Média <= Mediana <= Moda) 
𝑋 = 69 𝑑𝑖𝑎𝑠 𝑀𝑒 = 79 𝑑𝑖𝑎𝑠 𝑀𝑜 = 84 𝑑𝑖𝑎𝑠 
K =
𝑄3 – 𝑄1
2 ∙ (P90 − P10)
=
86,6 – 55,5
2 ∙ (91,4 − 29,3)
=
31,1
2 ∙ 62,1
=
31,1
124,2
= 0,250 
𝐾 = 0,250 < 0,263 leptocúrtica 
Estatística e Probabilidade