CalcII 2002 1 res1aP A4

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Universidade Federal de Minas Gerais
Instituto de Cieˆncias Exatas – ICEx
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo Diferencial e Integral II
Resoluc¸a˜o da 1a prova - Turma A4 - 03/09/2001
1. Determine a soma da se´rie ∞∑
k=1
√
k + 1−√k√
k2 + k
.
Soluc¸a˜o.
uk =
√
k + 1−√k√
k(k + 1)
=
√
k + 1−√k√
k
√
k + 1
=
√
k + 1√
k
√
k + 1
−
√
k√
k
√
k + 1
=
1√
k
− 1√
k + 1
.
sn =
n∑
k=1
uk =
1√
k
− 1√
k + 1
= (1− 1√
2
)− ( 1√
2
− 1√
3
) + . . .+ (
1√
n
− 1√
n+ 1
)
=⇒ sn = 1− 1√n+1 e´ a soma parcial. Portanto
∞∑
k=1
√
k + 1−√k√
k2 + k
= lim
n→∞
sn = lim
n→∞
(1− 1√
n+ 1
) = 1− 0 = 1.
2. Determine se as seguintes se´ries convergem ou divergem:
a)
∞∑
k=1
ln
(
2k
k + 1
)
Soluc¸a˜o.
lim
k→∞
uk = lim
k→∞
ln
(
2k
k + 1
)
= lim
k→∞
ln
(
2
1 + 1
k
)
= ln 2 6= 0.
Pelo teste da divergeˆncia, a se´rie diverge.
b)
∞∑
k=1
ln
k!
kk
Soluc¸a˜o.
uk+1
uk
=
(k+1)!
(k+1)k+1
k!
kk
=
(k + 1)!
(k + 1)k+1
.
kk
k!
=
=
k!(k + 1)
(k + 1k(k + 1))
.
kk
k!
=
(
k
k + 1
)k
=
1
(1 + 1
k
)k
=⇒ lim
k→∞
uk+1
uk
= lim
k→∞
1
(1 + 1
k
)k
=
1
e
< 1. Pelo teste da raza˜o, a se´rie converge.
c)
∞∑
k=1
5 sen2 k
2k + 5
Soluc¸a˜o.
5 sen2 k
2k + 5
≤ 5
2k + 5
≤ 5
2k
=⇒
Pelo crite´rio de comparac¸a˜o, como
∞∑
k=1
5
2k
converge, a se´rie dada tambe´m converge.
3. Determine se a se´rie converge absolutamente, condicionalmente ou se diverge:
∞∑
k=2
(−1)k+1
k(ln k)2
.
Soluc¸a˜o. Para ver se a se´rie dos valores absolutos converge, usamos o teste da integral
e, por substituic¸a˜o, u = ln x, du = 1
x
dx, dx = x du, temos∫ ∞
2
1
x (ln x)2
dx =
∫ ∞
ln 2
1
xu2
x du =
∫ ∞
ln 2
u−2 du = −1
u
]∞
ln 2
=
1
ln 2
, converge.
=⇒ A se´rie converge absolutamente.