Capitulo 1 (2)

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CAPÍTULO 1
PROBABILIDADES
	O cálculo de probabilidades constitui um instrumental básico para a análise de fenômenos caracterizados pela incerteza. A incerteza existe devido à impossibilidade de se conhecer todas as causas dos resultados dos fenômenos observados. Neste caso não se pode, antes da observação do fenômeno, conhecer o resultado que ocorrerá, porém constata-se que à medida que se aumenta o número de observações, a frequência relativa de um determinado resultado tende para um número que é a probabilidade deste resultado. Este fato é conhecido como regularidade estatística. O cálculo de probabilidade é imprescindível na inferência estatística
1.1. MODELOS MATEMÁTICOS
	Para estudar um fenômeno é necessário construir um modelo matemático que permita explicar o comportamento do mesmo. Através deste modelo pode-se prever o resultado que se obterá em futuras observações deste fenômeno.
O modelo matemático é a representação matemática do fenômeno em estudo, desprezando-se os pormenores irrelevantes a fim de simplificar o procedimento. O modelo é construído a partir de determinadas hipóteses sobre o fenômeno estudado. Para verificar a validade do modelo construído, realiza-se um experimento. O experimento consiste na obtenção de dados sobre o fenômeno observado, sendo os dados obtidos comparados com os resultados previstos através do modelo.
	Um experimento pode ser determinístico ou aleatório. Num experimento determinístico obtém-se o mesmo resultado sempre que condições de realização do experimento são mantidas inalteradas. Neste caso, as condições sob as quais o experimento é realizado determinam os resultados do mesmo. Por exemplo, a corrente num circuito depende da tensão e da resistência do mesmo. Neste caso, admitindo-se que a variação da temperatura ambiente não cause mudança significativa na resistência do circuito, o modelo matemático para a corrente i num circuito com resistência r a uma tensão v é i(= v/r.
	Existem outros experimentos nos quais os resultados não são determinados unicamente pelas condições em que tais os mesmos são realizados, sendo que os resultados variam imprevisivelmente de uma realização para outra, mesmo que as condições em que são realizados permaneçam inalteradas. Estes experimentos são requerem um modelo matemático diferente de um modelo determinístico para descrevê-los, sendo estes denominados modelos probabilísticos. 
1.2.(CONCEITOS BÁSICOS PARA A CONSTRUÇÃO DE UM MODELO (( PROBABILÍSTICO
	Para se construir um modelo probabilístico são necessários os conceitos apresentados a seguir.
1.2.1. EXPERIMENTO ALEATÓRIO
	Um experimento aleatório tem as seguintes características: a) os resultados variam mesmo que as condições de realização sejam mantidas inalteradas; b) não se pode predizer que resultado ocorrerá numa determinada realização; c) pode-se descrever todos os resultados possíveis.
Exemplo 1.1 Observar se cada um de dois itens de um produto escolhidos ao acaso de uma linha de produção num processo de controle de qualidade é defeituoso((s - sim) ou não 
Exemplo 1.2. Observar o número de interrupções no fornecimento de energia num determinado mês escolhido ao acaso.
Exemplo 1.3. Observar a vazão (em m3/s) numa adutora em determinado instante.
1.2.2. ESPAÇO AMOSTRAL
	Denomina-se espaço amostral o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. O espaço amostral é representado pela letra grega (. Os elementos de um espaço amostral, denominados pontos amostrais, são geralmente representados por (. Em geral, se um experimento aleatório tem m resultados possíveis, o espaço amostral deste experimento é:
Os exemplos a seguir ilustrarão o conceito de espaço amostral.
Exemplo 1.4. Construir o espaço amostral do experimento aleatório do exemplo 1.1.
Solução
	Seja ( o espaço amostral deste experimento. Então 
( = 
Neste caso tem-se que 
�� EMBED Equation.3 
 e 
	Exemplo 1.5. Construir o espaço amostral do experimento do exemplo 1.2.
Solução
	Seja ( o espaço amostral deste experimento. Então
( = {x|x = 0, 1, 2, 3,..., k} ou ((=({x|x ( e 0(((x(((k}
onde x é número de interrupções de energia e k é o número de dias do mês considerado. Neste caso tem-se que ( = x.
	Exemplo 1.6. Construa o espaço amostral do experimento do exemplo 1.3.
Solução
	Seja ( o espaço amostral deste experimento. Então
( = {x|x ( 0 e x ( }
onde x é a vazão (m3/s) na adutora no instante considerado. Neste caso tem-se que ((=(t.
	Um espaço amostral pode ser numerável ou não numerável. Os espaços amostrais dos exemplos 1.4 e 1.5 são numeráveis enquanto que o espaço amostral do exemplo 1.6 é não numerável. 
1.2.3. EVENTO 
	Denominam-se eventos os subconjuntos de um espaço amostral. Os eventos de um espaço amostral variam do subconjunto vazio até o próprio espaço amostral. O subconjunto vazio, representado por (, é denominado evento impossível e o espaço amostral é denominado evento certo. Diz-se que um evento ocorre se, numa realização do experimento o ponto amostral observado pertence ao referido evento.
Exemplo 1.7. Com relação ao espaço amostral do exemplo 1.4, construa o evento A((um ou dois itens são defeituosos). 
Solução
O evento considerado é:
 
 	Um evento e o espaço amostral ao qual está associado podem ser representados graficamente por um diagrama de Venn-Euler. 
Exemplo 1.8. Represente graficamente o espaço amostral do exemplo 1.4 e evento A do exemplo 1.7.
Solução
Figura 1.1. Representação gráfica de um espaço
 amostral e um evento do mesmo
Um evento com apenas um ponto amostral é denominado evento elementar. Os eventos elementares são fundamentais na construção do modelo probabilístico de um experimento.
Exemplo 1.9. Determine os eventos elementares do espaço amostral do exemplo 1.4. 
Solução
	Os eventos elementares deste espaço amostral são: 
 
 e 
	No cálculo de probabilidades são freqüentes as seguintes operações com os eventos de um espaço amostral.
a) Interseção de eventos
	Sendo A1 e A2 dois eventos quaisquer de um espaço amostral (, A1
A2 é o evento que ocorre se, e somente se, ambos ocorrem, ou seja, A1
A2 = {(|(( A1 e ( ( A2}, como ilustra o gráfico a seguir. 
Figura 1.2. Interseção de eventos
Se A1
A2(=((, os eventos A1 e A2 são mutuamente exclusivos, isto é, a ocorrência de um exclui a ocorrência do outro. Os eventos elementares são, trivialmente, mutuamente exclusivos.
b) União de eventos
	Sendo A1 e A2 dois eventos quaisquer de um espaço amostral (,
 é o evento que ocorre se, e somente se, ocorrer A1, ou A2 ou ambos ou, em outras palavras, se pelo menos um evento ocorrer, ou seja, 
(=({(|(((A(ou(((((B ou ((((
, como ilustra o gráfico a seguir:
Figura 1.3. União de eventos
c) Complementação 
 
	Sendo A um evento qualquer de um espaço amostral, 
 é o evento que ocorre se, e somente se, não ocorrer o evento A, ou seja, 
 = {(|( ( A}, como ilustra gráfico a seguir.
Figura 1.4. Complementação de eventos
Os eventos A e 
 são complementares porque são mutuamente exclusivos e
d) Subtração 
	Sendo A1 e A2 dois eventos quaisquer de um espaço amostral (, 
 é o evento que ocorre se, e somente se, ocorrer A1 e não ocorrer A2 ou seja, 
(=({(|((
(e (((
); analogamente, 
 é o evento que ocorre se, e somente se, não ocorrer A1 e ocorrer A2, ou seja, 
(=({(|((
(e (((
). O gráfico a seguir ilustra esta operação.
 
Figura 1.5. Subtração de eventos
Observando-se esta figura constata-se que 
 e 
As operações com eventos de um espaço amostral têm as seguintes propriedades:
a)(Idempotente: Se A é um evento de um espaço amostral (, então:
b) Comutativa: Se 
 e 
 são eventos de um espaço amostral (, então:
 e 
c) Associativa: Se 
�� EMBEDEquation.3 e 
 são eventos de um espaço amostral ( então:
 e 
d) Distributiva: Se 
 e 
 e 
 são eventos de um espaço amostral (, então:
 e 
e) Absorção: Se 
 e 
 são eventos de um espaço amostral ( então:
f) Identidade: Se A e um evento de um espaço amostral ( então:
g) Complementar: Se A e um evento de um espaço amostral ( então:
h) Leis das dualidades ou leis de Morgan: Se 
 e 
 são eventos de um espaço amostral ( então:
 e 
Um evento constituído de k pontos amostrais é resultante da união de k eventos elementares.
	A união de k eventos quaisquer é igual a união de k(eventos mutuamente exclusivos convenientemente escolhidos. Assim, se A1, A2, ..., Ak(1 e Ak são eventos quaisquer de um espaço amostral, então
onde B1, B2, ..., Bk(1 e Bk são mutuamente exclusivos sendo:
 
 
 
 
 
 
A figura a seguir ilustra esta igualdade para o caso de 3 eventos.
Figura 1.6. Igualdade de uma união de eventos quaisquer
 e uma união de eventos mutuamente exclusivos
	Esta igualdade é útil no cálculo da probabilidade da união de eventos não mutuamente exclusivos.
1.2.4. FREQUÊNCIA RELATIVA DE UM EVENTO
	Se um evento A do espaço amostral ( de um experimento aleatório ocorre 
vezes em n realizações deste experimento, a frequência relativa deste evento é
	Exemplo 1.10. Referindo-se ao exemplo 1.7, suponha que em 40 de 200 realizações do experimento uma ou dois itens são defeituosos. Calcule a frequência relativa deste evento. 
Solução
	Seja A o evento: uma ou duas amostras estão contaminadas. Neste caso tem-se que 
 e 
(
Em conseqüência desta definição, a freqüência relativa de um evento tem as seguintes propriedades:
Se A é um evento qualquer de um espaço amostral (, então 
Se A1, A2, ..., Ak são eventos mutuamente exclusivos de um espaço amostral (, então:
	Exemplo 1.11. Dependendo do dia em que são coletadas as amostras de ar de uma região pode apresentar nível de poluição muito baixo, baixo, moderado, alto ou muito alto. Um experimento consiste em observar o nível de poluição de uma amostra de ar coletada da região em determinada hora de determinado dia escolhido aleatoriamente. Tendo sido coletadas 400 amostras, constatou-se que 150 apresentam baixo nível, 80 apresentam nível moderado e 120 apresentam nível alto de poluição. Sejam os eventos: A1(((a amostra apresenta nível baixo de poluição; A2(–(a amostra apresenta nível moderado de poluição; A3(–(a amostra apresenta nível alto de poluição. Calcule a freqüência relativa de cada um destes eventos e da união dos mesmos. Verifique que a freqüência relativa da união é igual à soma das freqüências relativas dos eventos.
Solução
(
(
(
Constata-se, a partir destes resultados que 
 ou seja, 
1.2.5. ÁLGEBRA DE EVENTOS
	Denomina-se álgebra de eventos uma coleção A de eventos de um espaço amostral tal que:
a) Sendo A um evento de (, se A ( A, então 
( A.
b) Sendo 
e 
 são eventos, se 
( A e 
 ( A , então 
 ( A.
		Como conseqüência de (a) e (b) qualquer evento resultante da operação de dois ou mais eventos pertence à álgebra A. 
		Exemplo 1.12. Construa a álgebra de eventos do espaço amostral do exemplo 1.4.
O espaço amostral deste evento e 
Solução
		A álgebra deste evento é
A =({(,
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 
 
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 
 
 ((
 
 
		Se um espaço amostral finito é constituído de n pontos amostrais, a álgebra de eventos deste espaço amostral tem 2n eventos.
		De modo geral, se 
 (i = 1, 2, 3, ...() são eventos de um espaço amostral (:
 a) Se 
( A, então 
 ( A.
b) Se 
( A, então 
 A.	
Neste caso a álgebra A de eventos é denominada (-álgebra. Note que os eventos são considerados como elementos da (-álgebra.
1.2.6. MEDIDA DE PROBABILIDADE
	A medida de probabilidade ou simplesmente probabilidade é utilizada para prever a frequência relativa de um evento A da (-álgebra gerada por um espaço amostral ( sendo por isto definida como uma função P cujo domínio é a (-álgebra e cujo contradomínio é o intervalo [0, 1]. Esquematicamente tem-se que
P: A (( [0, 1]
A (( P(A)
ou seja, cada evento A ( A tem associado ao mesmo uma probabilidade P(A)([0, 1].
1.3. MODELO PROBABILÍSTICO
	O modelo probabilístico de um experimento aleatório é constituído do espaço amostral do experimento, da ((álgebra e da medida de probabilidade dos eventos do referido espaço amostral.
1.4. AXIOMAS DA PROBABILIDADE
	A probabilidade de um evento A, representada por P(A), satisfaz os seguintes axiomas:
a) P(A) ( 0;
b) P(() = 1 
c) Se A1, A2, ..., Ak, ... são eventos mutuamente exclusivos de um espaço amostral (, então:
ou, de forma compacta:
1.5. CÁLCULO DA PROBABILIDADE DE UM EVENTO
	Para calcular a probabilidade a um evento pode-se utilizar um dos processos a seguir.
1.5.1. PROCESSO EMPÍRICO OU DA FREQÜÊNCIA RELATIVA	
	Este processo se baseia na regularidade estatística. Assim, se um experimento aleatório é realizado n vezes e se um evento A ocorre nA vezes nestas n realizações, sendo n suficientemente grande, o valor da probabilidade deste evento pode ser dado por
	Esta situações pode ser elucidada no gráfico a seguir. 
Figura 1.7. Processo empírico
	Exemplo 1.13. Observou-se 2(000 unidades de certo componente para computadores retiradas aleatoriamente de uma linha de produção e constatou-se que 160 unidades apresentam algum defeito de fabricação. Com base nesta informação calcule a probabilidade de que uma unidade deste componente retirada da linha de produção apresente algum defeito de fabricação. 
	Seja A o evento: a unidade retirada apresenta algum defeito de fabricação. Neste caso tem-se que 
 ( 
	Com este resultado espera-se que cerca de 8% das unidades produzidas tenham algum defeito de fabricação.
1.5.2. PROCESSO CLÁSSICO
	Se um espaço amostral tem #( pontos amostrais igualmente prováveis e um evento A deste espaço amostral tem #A pontos amostrais, o valor da probabilidade deste evento é
	Este processo tem o inconveniente de ser restrito a espaços amostrais finitos numeráveis equiprováveis ao passo que o anterior pode ser utilizado para qualquer tipo de espaço amostral.
	Exemplo 14. Dentre as 800 placas de circuito guardadas num estoque 560 têm duração prevista de 800 horas. Escolhendo-se ao acaso uma destas placas, qual é a probabilidade de que a mesma tenha uma duração prevista de 800 horas?
	Seja A o evento: a placa escolhida tem duração prevista de 800 horas. Neste caso tem-se que #A = 560 e #( = 800. Então pela definição acima tem-se que:
 ( 
Com este resultado, espera-se que cerca 70% das placas escolhidas ao acaso do estoque tenham duração prevista de 800 horas.
Em muitas aplicações a determinação do número de pontos amostrais do evento e do espaço amostral não é simples como no exemplo 1.14. Quando isto ocorre tornam-se necessários alguns métodos para a contagem dos pontos amostrais. 
1.5.2.1. Regra da multiplicação 
	Suponha que um procedimento 1 possa ser executado de 3 modos e que um procedimento 2 possa ser executado de 2 modos. Admite-se que cada modo de executar o procedimento 1 seja seguido por qualquer um dos 2 modos de executar o procedimento 2. Esta situação pode ser representada pelo diagrama de árvore a seguir.
Figura 1.8
Observando-se o diagrama acima constata-se facilmente que o procedimento 1 seguido pelo procedimento 2 pode ser executado de 3 ( 2 = 6 modos.
	De modo geral, se um procedimento1 pode ser executado de n1 modos, um procedimento 2 pode ser executado de n2 modos, ..., um procedimento k(1 pode ser executado de nk(1 modos e um procedimento k pode ser executado de nk modos e supondo-se que cada modo de executar o primeiro procedimento possa ser seguido de um dos modos de executar os procedimentos subseqüentes, o procedimento 1 seguido dos demais procedimentos pode ser executado de n1(((n2(((n3(((((((((((nk(1(((nk modos.
	Exemplo 1.15. Um dispositivo eletrônico é constituído de 2 placas de circuito integrado, uma do tipo I e outra do tipo II guardadas em 2 estoques distintos. No estoque que contém as placas do tipo I existem 25 placas sendo 5 defeituosas enquanto que no estoque que contém as placas do tipo II existem 40 placas sendo 8 defeituosas. Escolhe-se ao acaso uma placa do tipo I e em seguida uma do tipo II para montar uma unidade deste dispositivo. Qual a probabilidade de que esta unidade seja montada com duas placas defeituosas.
Solução
	Para se calcular o número de pontos amostrais do espaço amostral deste experimento deve-se considerar que existem 25 maneiras de se escolher uma placa do tipo I e 40 maneiras de se escolher uma do tipo II para cada placa do tipo I escolhida. Logo o número de pontos amostrais do espaço amostral deste experimento é:
Seja A o evento: a placa é montada com duas placas defeituosas. Como existem 4 maneiras de se escolher uma placa do tipo I e para cada uma destas existem 8 maneiras(de se escolher uma do tipo II, número de pontos amostrais deste evento é:
Logo
(
1.5.2.2. Regra da adição
	Suponha que um procedimento 1 possa ser realizado de 4 modos e que outro procedimento 2 possa ser realizado de 3 modos. Admite-se que um procedimento não pode ser realizado em conjunto com o outro. Esta situação pode ser representada pelo diagrama de árvore a seguir.
Figura 1.9
Observando-se o diagrama acima constata-se facilmente que o número de modos de executar o procedimento 1 ou o procedimento 2 é 4 + 3 = 7.
	De modo geral, se um procedimento 1 pode ser realizado de n1 modos, um procedimento 2 pode ser realizado de n2 modos, ..., um procedimento k(((1 pode ser realizado de nk(1 modos e um procedimento k pode ser realizado de nk modos e supondo-se que nenhum procedimento pode ser executado em conjunto com os demais o número de modos de executar o procedimento 1, ou o procedimento 2 ou, ..., ou o procedimento k é n1(+(n2(+(n3(+(((((((+(nk(1(+(nk.
	Exemplo 1.16. Um computador de uma rede pode ser ligado a um dentre 3 roteadores A, B e C nos quais estão disponíveis 8, 10 e 7 entradas, respectivamente. Qual é a probabilidade de que o computador seja ligado ao roteador A? 
Solução
	O número de pontos amostrais do espaço amostral é 
porque pode-se escolher uma das 8 entradas do roteador A ou uma das 5 entradas do roteador B ou uma das 9 entradas do roteador C. Seja A o evento: computador é ligado ao roteador A. O número de pontos amostrais deste evento é 
porque pode-se escolher uma das 8 entradas deste roteador para ligar o computador. Logo, a probabilidade de que o computador seja ligado ao roteador A é:
(
1.5.2.3. Permutação
	Suponha que existam n objetos diferentes. Deseja-se saber de quantas maneiras pode-se dispor os n objetos trocando a ordem dos mesmos. Cada uma dessas seqüências é denominada permutação. Para ilustrar, suponha que os objetos sejam as letras minúsculas do alfabeto latino. As permutações destas letras são:
abc bca cab cba acb bac
Neste caso existem 6 permutações.
De modo geral, o número de permutações de n objetos é:
Usando a notação de fatorial o número de permutações de n objetos é
 
onde 
 é denominado fatorial de n. O fatorial de um número tem as seguintes propriedades:
a) 
b) 0! = 1.
Estas propriedades são muito importantes porque permitem a simplificação das operações envolvendo fatoriais.
	Exemplo 1.17. Numa linha de montagem de hidrômetros cada unidade produzida deve ser inspecionada por 4 técnicos I, II, III e IV, um após o outro, em ordem aleatória. Qual é a probabilidade de que uma unidade seja inspecionada pelos técnicos I e II juntos e nesta ordem. 
Solução
O número pontos amostrais deste experimento é:
Seja A o evento: a unidade é inspecionada pelos técnicos I e II nesta ordem. Neste caso os técnicos I e II nesta ordem são considerados como se fossem somente um e deste modo é como se houvessem apenas 3 técnicos. Logo o número de pontos amostrais do evento é o número de permutações dos técnicos I e II juntos nesta ordem com os técnicos III e IV, ou seja:
 Logo:
(
1.5.2.4. Arranjo
	
	Suponha que sejam escolhidos grupos de k objetos de um total de n (k(<(n) de modo que os mesmos difiram entre si pela ordem e pela natureza dos objetos. Cada uma destes grupos é denominado arranjo. Para ilustrar, suponha que os objetos sejam as 4 primeiras letras minúsculas do alfabeto latino e que sejam escolhidos grupos de 2 letras. O arranjos destas quatro letras duas a duas são:
ab ac ad bc bd cd ba ca da cb db dc
Neste caso existem 12 arranjos destas quatro letras duas a duas.
	Em geral, o número de arranjos de n objetos k a k é:
	Exemplo 1.18. Um experimento consiste em escolher aleatoriamente 4 amostras de água de um total de 20 amostras dentre as quais 6 estão contaminadas. Qual é a probabilidade de que as amostras escolhidas estejam contaminadas considerando-se a ordem em que as mesmas são escolhidas.
Solução
Considerando-se a ordem em que as amostras são escolhidas, número de pontos amostrais do espaço amostral deste experimento é: 
Seja A o evento: as amostras escolhidas estão contaminadas. Sendo as 4 amostras contaminadas escolhidas dentre as 6 contaminadas disponíveis, o número de pontos amostrais deste evento é:
Logo
( 
Observação: Se não for considerada a ordem em que os objetos são escolhidos, os grupos se diferem apenas pela natureza dos objetos, o que será considerado a seguir.
1.5.2.5. Combinação
	Considere novamente que os objetos sejam as 4 primeiras letras do alfabeto latino. Admita agora que se deseja escolher duas das 4 letras desconsiderando-se a ordem das mesmas. Cada um dos grupos de 2 letras assim escolhidas é denominado combinação das quatro letras duas a duas. Neste caso as combinações são:
ab ac ad bc bd cd
Observe que os grupos ba, ca, da, cb, db e dc não são considerados porque as letras escolhidas são as mesmas dos grupos ab, ac, ad, bc, bd e cd.
	Em geral, o número de combinações de n objetos k a k é:
O número de combinações de n objetos k a k é freqüentemente representado por 
 e neste caso lê-se binomial de n sobre k. Este número é chamado coeficiente binomial porque é o coeficiente genérico do desenvolvimento do binômio 
. De fato, desenvolvendo-se este binômio tem-se que
ou
	Exemplo 1.19. Num lote de 20 disjuntores termomagnéticos 8 são de determinada marca. Um experimento consiste em escolher 5 disjuntores ao acaso deste lote. Se não for considerada a ordem em que os disjuntores são escolhidos, que é a probabilidade de que os mesmos sejam da marca considerada?
Solução
Como a ordem em que os disjuntores são escolhidos não é considerada, o número de pontos amostrais do espaço amostral deste experimento é:
Seja A o evento: os disjuntores escolhidos são da marca considerada. Sendo os 5 computadores da marca considerada escolhidas dentre os 8 disponíveis no lote, o número de pontos amostrais deste evento é
Logo
(
1.6. PROBABILIDADE CONDICIONAL
	
	Sejam 
 e 
 dois eventos quaisquer de um espaço amostral. Freqüentemente deseja-se saber a probabilidade do evento 
 ocorrer, tendo-se a informação de que o evento 
 tenha ocorrido. Esta probabilidade é denominada probabilidade condicional, sendo denotada por(
	Para entender o que significa probabilidade condicional, considere um experimento que consiste em escolher ao acasoum dos 200 locais de determinada região num determinado dia sendo que choveu em 60 locais e houve falta de energia em 16 locais, tendo chovido e faltado energia em 9 destes locais. Considere os seguintes eventos: 
(choveu no local escolhido) e 
(houve falta de energia no local escolhido). O(espaço amostral e os eventos considerados estão ilustrados no gráfico a seguir.
Figura 1.10
	A probabilidade de ter faltado energia no local escolhido é 
 Neste caso, o espaço amostral é constituído dos 200 locais da região e 
 é denominada probabilidade incondicional do evento 
. Suponha agora que se deseja calcular a probabilidade de ter faltado falta energia no local escolhido, sabendo-se que choveu no mesmo. Neste caso, o espaço amostral se restringe aos 60 locais onde choveu (porque sabe-se a priori que foi escolhido um local onde choveu). Como dentre os 60 locais onde choveu existem 9 nos quais houve falta de energia, então a probabilidade desejada é 
= 9/60 = 0,15. Esta probabilidade é denominada probabilidade condicional do evento(
 e 
 significa probabilidade de ocorrer o evento 
 na dado que o evento(
ocorreu.
	Pode-se demonstrar que, se 
 e 
 são dois eventos quaisquer de um espaço amostral, então:
Considerando-se os dados acima: 
 
 Então 
 Se 
 diz-se que os eventos 
 e 
 são estatisticamente independentes.
	Para os locais acima tem-se que
 e 
 Isto significa que os eventos não são estatisticamente independentes, isto é, a informação de que choveu no local escolhido altera a probabilidade de ter faltado energia no mesmo (neste caso a probabilidade de ter faltado energia no local escolhido é quase o dobro da probabilidade de ter faltado energia neste local sem a informação de que tenha chovido no mesmo).
1.7. TEOREMAS DA PROBABILIDADE
	Serão apresentados nesta seção os principais teoremas da probabilidade. Estes teoremas 
são construídos a partir dos axiomas apresentados na seção 1.4 e são imprescindíveis na resolução de problemas de cálculo de probabilidade.
Teorema 1.1. Se ( é um evento impossível então 
Demonstração
	Pela propriedade da identidade da união e da interseção de eventos tem-se que 
 Sendo ( e ( mutuamente exclusivos ((
((=(() tem-se, pelo terceiro axioma da probabilidade que:
ou
Para que esta igualdade seja verdadeira a probabilidade P(() deve ser igual a zero concluindo-se assim a demonstração do teorema..
Teorema 1.2. Se A é um evento qualquer de um espaço amostral (, então a probabilidade do evento complementar
é
 
Demonstração
Sendo A e 
 eventos complementares então:
Sendo A e 
 mutuamente exclusivos então:
ou
Como pelo segundo axioma da probabilidade 
então:
e, finalmente:
concluindo-se assim a demonstração do teorema.	
Exemplo 1.20. Numa linha de produção de lâmpadas fluorescentes, 6% das mesmas apresentam defeitos de fabricação. Se uma lâmpada é escolhida ao acaso da linha de produção, qual a probabilidade de não apresentar defeitos de fabricação?
Solução
	Seja A o evento: a lâmpada escolhida apresenta defeitos de fabricação. Então o evento 
 é: a lâmpada escolhida não apresenta defeitos de fabricação. Sabe-se que P(A) = 6% = 0,06. Então, pelo teorema acima tem-se que
 (
	De acordo com este resultado espera-se que cerca de 94% das lâmpadas escolhidas ao acaso da linha de produção não apresentem defeitos de fabricação.
Teorema 1.3. Se A é um evento qualquer de um espaço amostral (, então 
Demonstração
	Do teorema anterior tem-se que 
Como, de acordo com o primeiro axioma da probabilidade tem-se que 
então
Logo 
(ou 
Pelo primeiro axioma da probabilidade 
Como 
 e 
 conclui-se que 
Teorema 1.4. Se 
 e 
 são dois eventos quaisquer de um espaço amostral ( tal que 
então:
Demonstração
	Considere a figura a seguir.
Como 
 e 
 são eventos mutuamente exclusivos e 
 então:
Logo
concluindo-se assim a demonstração do teorema.
Teorema 1.5. Se 
 e 
 são dois eventos quaisquer de um espaço amostral ( então:
Demonstração
	Pode-se decompor o evento 
 nos eventos mutuamente exclusivos 
 e 
 e como ilustra diagrama de Venn-Euler a seguir.
Observando-se o diagrama acima constata-se que
Então:
Considerando-se que o evento 
 contém o evento 
 de acordo com o teorema 1.3 pode-se afirmar que:
Sendo 
 tem-se que:
Assim, substituindo-se o primeiro membro de (II) pelo segundo membro de (III) obtém-se:
ou 
Substituindo-se o segundo termo do segundo membro de (I) pelo segundo membro de (IV) obtém-se:
e finalmente:
concluindo-se assim a demonstração do teorema.
	Exemplo 1.21.. Dentre as unidades de certo componente utilizado numa linha de montagem de computadores, constatou-se que 40% são de determinada marca (evento 
), 10% apresenta algum defeito de fabricação (evento 
) e 3% são da marca considerada e apresentam algum defeito de fabricação (
). Qual a probabilidade de que uma unidade deste componente seja da referida marca ou apresente algum defeito de fabricação?
Solução
	P(
) = 40% = 0,4; P(
) = 10% = 0,1 e P(
)= 3% = 0,03. Então pelo teorema(1.4 tem-se que
 ( 
Com este resultado espera-se que cerca de 47% das unidades sejam da marca considerada, ou apresentem algum defeito de fabricação ou seja da marca considerada e apresentem algum defeito de fabricação.
	Se 
�� EMBED Equation.3 e 
 são eventos quaisquer de um espaço amostral ( então:
e, de modo geral, se 
�� EMBED Equation.3 ..., 
 e 
 são eventos quaisquer de um espaço amostral ( então:
	Este teorema é conhecido como teorema da adição.
Teorema 1.5. Se 
 e 
 são eventos quaisquer de um espaço amostral ( e considerando-se que 
 ocorre na condição de 
 ter ocorrido então:
Demonstração
	Da probabilidade condicional tem-se que
 
	Transpondo os termos e explicitando 
 no primeiro membro desta igualdade, tem-se finalmente que
concluindo-se assim a demonstração do teorema.
	Exemplo 1.22. Com relação ao exemplo 1.21 sabe-se que dentre as unidades que são da marca considerada, 7,5% apresentam algum defeito de fabricação. Qual a probabilidade de que uma unidade seja da referida marca e tenha algum defeito de fabricação?
Solução
Pelo enunciado do exemplo tem-se que
 Do exemplo 1.21 tem-se que 
 Então pelo teorema 1,5 tem-se que
 
( 
Com este resultado espera-se que cerca de 3% das unidades sejam da referida marca e apresentem algum defeito de fabricação.
	Se 
�� EMBED Equation.3 e 
 são eventos quaisquer de um espaço amostral ( então:
e, de modo geral, se 
�� EMBED Equation.3 ..., 
 e 
 são eventos quaisquer de um espaço amostral ( e considerando-se que o i-esimo evento (i = 2, 3, ..., k) 
ocorra na condição de terem ocorrido o (s) evento(s) anterior(e)s, então::
Observação: Se os eventos são independentes então:
	Este teorema é conhecido como teorema da multiplicação.
Teorema 1.6. Em muitas aplicações o espaço amostral ( de um experimento aleatório pode ser dividido em k eventos 
 
..., 
 e 
 denominados partições deste espaço amostral sendo escolhidos de modo que sejam dois a dois mutuamente exclusivos. Um evento A deste espaço amostral tem interseção com pelo menos uma destas partições como ilustra o gráfico a seguir.
Figura 1.11. Partições de um espaço amostral
Se forem conhecidas as probabilidades incondicionais destas partições, isto é, 
 
�� EMBED Equation.3 ...,(
 e 
 assim como as probabilidades condicionais do evento A dado que as mesmas ocorreram, isto é, 
 
�� EMBED Equation.3 ..., 
 e 
então
Este teorema é conhecido como teorema da probabilidade total.
Demonstração
	Observando-se a figura 1.11 constata-se que o evento A é a união dos eventos mutuamente exclusivos
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 ...,
e 
 Assim:
ou 
Pelo teorema 1.5 (teorema da multiplicação)tem-se que:
para i = 1, 2, ..., k(1, k
Substituindo-se 
na igualdade anterior por 
(i(=(1, 2, 3, ..., k(1, k) tem-se que:
ou, usando a notação de somatório:
concluindo-se assim a demonstração do teorema.
	Exemplo 1.23. Numa fábrica de certo tipo de componente para computadores existem 3 linhas de produção I, II e III responsáveis por 30 %, 50%, e 20% das unidades produzidas sendo que 6% das unidades produzidas pela linha I, 4% das produzidas pela linha II e 9 % das produzidas pela linha III apresentam algum defeito de fabricação. Um processo de controle de qualidade consiste em observar lote de unidades produzidas e observar se cada uma destas unidades apresenta ou não algum defeito de fabricação. Qual é a probabilidade de que uma unidade escolhida para compor este lote apresente algum defeito de fabricação?
Solução
	Sejam os eventos: 
 (a unidade escolhida é da linha de produção I); 
(a unidade escolhida é da linha de produção II); 
(a unidade escolhida é da linha de produção III); 
(a unidade escolhida apresenta algum defeito de fabricação). De acordo com enunciado tem-se que: 
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 
�� EMBED Equation.3 e 
 A figura a seguir ilustra este experimento.
Do teorema da probabilidade total sabe-se que:
Assim:
( 
A figura a seguir ilustra este procedimento.
Com este resultado espera-se conclui-se que.cerca de 5,6% das unidades produzidas por esta fábrica apresentam algum defeito de fabricação.
Teorema 1.7. Este teorema, proposto pelo britânico Thomas Bayes, é uma conseqüência do teorema da probabilidade total. 
Se os eventos
 
�� EMBED Equation.3 ..., 
 e 
 são partições de um espaço amostral ( e A um evento qualquer deste espaço amostral, então a probabilidade de uma partição 
(j(=(1, 2, ..., 3, k(1, k) dado que o evento A ocorreu é:
Este teorema é conhecido como teorema de Bayes em homenagem ao seu autor.
Demonstração
	Da definição de probabilidade condicional sabe-se que:
Como são conhecidas as probabilidades 
e
aplicando-se o teorema da multiplicação ao numerador do segundo membro desta igualdade tem-se que:
Substituindo-se 
por 
no segundo membro da penúltima igualdade acima:
Do teorema da probabilidade total sabe-se que:
Substituindo-se o denominador do segundo membro da penúltima igualdade pelo segundo membro da última igualdade tem-se finalmente que:
concluindo-se a demonstração do teorema.
	Exemplo 1.24. Referindo-se ao exemplo 1.23, se uma unidade escolhida apresenta algum defeito de fabricação, qual é a probabilidade de que tenha sido produzido pela linha de produção II?
Solução
	Pelo teorema de Bayes tem-se que:
ou
(
Conclui-se, a partir deste resultado, que cerca de 35,7% das unidades escolhidas com algum defeito de fabricação foram produzidas pela linha de produção 2.
1.8. EXERCÍCIOS
1)(Sejam A e B dois eventos quaisquer de um espaço amostral. Represente através dos diagramas de (((((Venn-Euler os seguintes eventos: a) A
B; b) A
B; c) 
; d) 
; e)
; f) 
; g)
; h) 
.
2) Um experimento consiste em observar o número de itens defeituosos de um artigo num lote de 180 escolhidos aleatoriamente de uma linha de produção. Represente analítica e graficamente:
 (a)(O espaço amostral deste experimento.
 (b) O evento: menos de 20 itens defeituosos.
 c) O evento: entre 43 e 85 itens defeituosos.
 d) O evento pelo menos 34 itens defeituosos.
e) A união e a interseção dos eventos definidos em (c) e (d).
 f) Os eventos complementares dos eventos definidos em (c) e em (d).
 g) O evento definido em (c) menos o evento definido em (d).
 h) O evento definido em (d) menos o evento definido em (c). 
3) Um processo de controle consiste em retirar 3 unidades de certo artigo de uma linha de produção e observar se o mesmo está de acordo com as especificações preestabelecidas. 
a) Construa o espaço amostral deste experimento.
b) Construa os eventos: pelo menos 1 (uma) unidade não está de acordo com as especificações; no máximo 2 unidades estão de acordo com as especificações.
c) Determine a união e a interseção destes eventos.
d) Determine as complementações e as subtrações destes eventos.
4) Um lote contém eixos com 5, 10, 15, 20, 25 e 30 cm de comprimento. Um experimento consiste em escolher 2 eixos ao acaso e observar os diâmetros x e y do primeiro e do segundo eixo, respectivamente.
a) Construa o espaço amostral deste experimento.
b) Determine os eventos: A1
 A2
A3
A4
5) Sendo A1, A2 e A3 eventos de um espaço amostral ( exprima, usando as operações com eventos: a)(somente A1 ocorre; b) A1 e A2 ocorre mas A3 não; c) A1, A2 e A3 ocorrem; d) pelo menos um ocorre; e) exatamente um ocorre; f) nenhum ocorre; g) exatamente dois ocorrem; h) pelo menos dois ocorrem; i) no máximo 2 ocorrem.
6) A tabela a seguir indica o tempo (em milissegundos) gasto por 500 computadores para executar determinado programa. 
	tempo (milissegundos)
	número de computadores
	menos de 200 
	60
	200 a 400 (exclusive)
	100
	400 a 600 (exclusive)
	160
	600 a 800 (exclusive)
	140
	800 ou mais
	40
		Qual a probabilidade de que um computador escolhido ao acaso dentre gaste para executar este programa: a) no mínimo 200 e menos de 400 milissegundos; b) inferior a 800 milissegundos; c) menos de 600 ou no mínimo 400 milissegundos; d) no mínimo 200 ou mais de 600 milissegundos?
7) Num estoque existem 12 placas de rede sendo 5 da marca A, 4 da marca B e 3 da marca C. Um experimento consiste em retirar simultaneamente 3 placas deste estoque. Calcule a probabilidade de que: a) nenhuma seja da marca B; b) exatamente uma seja da marca A; c) uma de cada marca; d)(duas da marca C; e) duas da mesma marca.
8) Dentre as 40 unidades de um componente eletrônico, 8 foram reprovados num teste de qualidade. 
a)	Se forem escolhidos duas destes unidades (uma de cada vez, sem reposição), qual é a probabilidade de que as duas sejam reprovadas?
b)	Se forem escolhidos três destas unidades ao acaso, qual é a probabilidade de que nenhuma tenha sido reprovada, considerando-se que as mesmos são escolhidas uma de cada vez, sem reposição?
c) Repita a letra (a) considerando-se que sejam escolhidas duas unidades de uma única vez.
d) Repita a letra (b) considerando-se que sejam escolhidas três unidades de uma única vez.
9) Num laboratório de pesquisa existem amostras de ar sendo 40% da região I , 25% da região II e 35% da região III. Sabe-se que 3% das amostras da região I, 5% das amostras da região II e 2% das amostras da região III apresentam alto nível de poluição. Qual é a probabilidade de que uma amostra escolhida ao acaso deste laboratório apresente alto nível de poluição? Qual é a probabilidade de que uma amostra com alto nível de poluição seja da região II?
10) Uma empresa de construção civil construiu apartamentos e casas em duas localidades A e B. Na localidade A foram construídos 5 apartamentos e 7 casas; na localidade B foram construídos 10 apartamentos e 2 casas. Escolhe ao acaso, de uma das localidades uma unidade habitacional e constata-se que é um apartamento. Qual é a probabilidade de que a unidade habitacional escolhida é da localidade A? 
11) Um canal de comunicação binária é transmite mensagens utilizando os dígitos 0 e 1. O dígito 1 é transmitido 40% das vezes. A probabilidade de um dígito 0 transmitido ser recebido corretamente é 0,9 e a probabilidade de que um dígito 1 transmitido seja recebido corretamente é 0,95. a) Qual é a probabilidade de um dígito 1 seja recebido?; b) Dado que um dígito 0 foi recebido, qual é a probabilidade de que o mesmo tenha sido transmitido?
12)(Num estoque existem 20 parafusos dos quais 6 são defeituosos. Retiram-se simultaneamente do estoque, ao acaso, 4 parafusos. Qual é a probabilidade de serem defeituosos: a) 2; b) 3; c)(nenhum; d) todos.
13)(Se, no problema anterior, forem retiradas1 000 amostras, cada uma com 10 parafusos, em quantas destas amostras esperar-se-ia encontrar: a) exatamente dois parafusos defeituosos; 
b) 2 ou mais parafusos defeituosos; c) mais de 5 parafusos defeituosos.
14)(Numa fábrica existem 3 máquinas destinadas à produção de tijolos. A primeira, segunda e terceira máquinas produzem diariamente 1 000, 4 000 e 2 000 tijolos, respectivamente. Sabe-se ainda que 4% dos tijolos produzidos pela primeira máquina, 6% dos tijolos produzidos pela segunda máquina e 2% dos tijolos produzidos pela terceira máquina são defeituosos. 
Qual é a proporção de tijolos defeituosos na produção diária das três máquinas?
Se um tijolo escolhido ao acaso da produção das três máquinas é defeituoso, qual é a probabilidade de que tenha sido produzido pela segunda máquina?
15)(Um sistema automático de alarme contra incêndio utiliza 3 sensores de calor que agem independentemente um do outro. Cada sensor entra em funcionamento com probabilidade 0,8 quando a temperatura ambiente atinge 60 ºC. Se pelo menos um dos sensores entrar em funcionamento o alarme é acionado. Calcule a probabilidade de que o alarme seja acionado quando a temperatura ambiente atingir 60 ºC?
16)(Sejam A e B dois eventos tais que P(A) = 0,4 e P(A
B) = 0,7. Seja P(B) = p. Para que valor de p A e B são independentes?
17)(Um meteorologista acerta 80% dos dias em que chove e 90% dos dias ocorre tempo bom. Chove em 10% dos dias. Tendo havido previsão de chuva, qual é a probabilidade de chover?
18)(Sejam A1 e A2 dois eventos quaisquer tais que 
�� EMBED Equation.3 e 
 Calcule: a)
 (a)
 f) 
 b)
 g) 
 c) 
 h) 
 d) 
 i) 
 e) 
 j) 
19)(A água dos lagos de certa região é considerada contaminada se forem encontradas algas do tipo A ou dos tipos B e C simultaneamente. As probabilidades de serem encontradas as algas dos tipos A, B e C são 0,3, 0,2 e 0,8, respectivamente. Existindo algas do tipo A não existirão algas do tipo B. Existindo algas do tipo B a probabilidade de existirem algas do tipo C é reduzida à metade. Escolhe-se ao acaso um lago da região.
 a)(Calcule a probabilidade de que a água do lago escolhido contenha algas do tipo B, C ou ambos?
 b)(Calcule a probabilidade de que a água do lago escolhido esteja contaminada.
c)(sabendo-se que a água está contaminada, calcule a probabilidade de que a mesma contenha algas dos tipos B e C?
20)(Considere os eventos A1 e A2 do exercício número 18.
	 a)(Estes eventos são mutuamente exclusivos? Por quê?
	 b)(Estes eventos são estatisticamente independentes? Por quê?
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