apostila-matematica-3-02-DETERMINANTES-Vidigal

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MATEMÁTICA III 1 DETERMINANTES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INTRODUÇÃO ..................................................................................... 2 
DETERMINANTE DE MATRIZ DE ORDEM 1 ...................................... 2 
DETERMINANTE DE MATRIZ DE ORDEM 2 ...................................... 2 
DETERMINANTE DE MATRIZ DE ORDEM 3 ...................................... 3 
PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES......................................... 8 
REGRA DE CHIÓ ............................................................................... 11 
MENOR COMPLEMENTAR ............................................................... 15 
COFATOR .......................................................................................... 16 
TEOREMA DE LAPLACE .................................................................. 16 
RESPOSTAS ..................................................................................... 23 
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA ........................................................ 23 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No final das séries de exercícios podem 
aparecer sugestões de atividades 
complementares. Estas sugestões referem-se a 
exercícios do livro “Matemática” de Manoel Paiva 
fornecido pelo FNDE e adotado pelo IFMG – 
Campus Ouro Preto durante o triênio 2015-2017. 
 
Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se 
referem ao volume 2.
 
CASSIO VIDIGAL 2 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
 
INTRODUÇÃO 
 
 Toda matriz QUADRADA tem, 
associada a ela, um numero chamado 
determinante da matriz obtido por meio 
de operações que envolvem todos os 
elementos da matriz. (Dante, 2007). 
 
 A teoria dos determinantes teve 
sua origem em meados do século XVII, 
quando eram estudados processos para 
resolução de sistemas lineares de 
equações. Hoje em dia, embora não 
sejam um instrumento prático para a 
resolução destes sistemas, os 
determinantes são utilizados, por 
exemplo, para sintetizar certas 
expressões matemáticas complicadas. 
 
DETERMINANTE DE MATRIZ DE 
ORDEM 1 
 
 Sendo A uma matriz de ordem 1 
determinada por A = [a11], por definição, 
o determinante de A é igual ao número 
a11, ou seja, em uma matriz de um único 
elemento, o determinante associado a 
ela será o próprio elemento. 
 
 
 
 
 Dadas as matrizes A = [5] e 
B = [-2] podemos dizer que det A = 5 e 
que det B = -2. 
 
 
 
 
__________________________ 
 
 
DETERMINANTE DE MATRIZ DE 
ORDEM 2 
 
 No caso de matrizes quadradas 
de ordem dois, calculamos seu 
determinante fazendo o produto dos 
termos da diagonal principal menos o 
produto dos termos da diagonal 
secundária., 
 
 
Assim, dada a matriz 









2221
1211
aa
aa
A
, indicamos seu 
determinante por 
 
21212211det aaaaA 
 
 
ou 
 
21212211
2221
1211 aaaa
aa
aa

 
 
 
 
 
 Ex.1: Encontre o determinante da 
matriz 





 

53
71
A
. 
 
Resolução: 
    162157351
53
71

 
 
 
MATEMÁTICA III 3 DETERMINANTES 
 
 
 Ex.2: Determine x de modo que o 
determinante da matriz 








33
2xx
B
seja igual a 18. 
 
Resolução: 
 
2
189
1863
1863
18
33
2






x
x
xx
xx
xx
 
 
Resposta: x = 2 
 
 
_______________________ 
 
DETERMINANTE DE MATRIZ DE 
ORDEM 3 
 
 Consideremos agora a matriz de 
ordem 3 dada por 











333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
M
. 
 
 O determinante de M é o número: 
 
211233113223312213
322113312312332211
333231
232221
131211
det
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
aaa
aaa
aaa
M



 
 Afim de que possamos obter tal 
determinante de forma mais prática, 
vamos conhecer a regra de Sarrus. 
 
a) Repetimos ao lado da matriz, as duas 
primeiras colunas. 
 
b) Os termos precedidos pelo sinal + 
(mais) são obtidos multiplicando-se os 
termos da diagonal principal e a seguir 
multiplicando os termos das diagonais 
que estão nesta mesma direção. 
 
c) Os termos precedidos pelo sinal - 
(menos) são obtidos multiplicando-se os 
termos da diagonal secundária e a 
seguir multiplicando os termos das 
diagonais que estão nesta mesma 
direção. 
 
 
 
 
d) o determinante é obtido a partir da 
soma dos 6 valores encontrados. 
3231333231
2221232221
1211131211
aaaaa
aaaaa
aaaaa
+ + + - - - 
3
3
2
2
1
1
a
a
a



3
1
2
3
1
2
a
a
a



3
2
2
1
1
3
a
a
a



3
1
2
2
1
3
a
a
a



1
1
3
2
2
3
a
a
a



2
1
1
2
3
3
a
a
a



 
CASSIO VIDIGAL 4 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
 
 
 
 Calcular o determinante da matriz 













351
202
514
B
 
 
Resolução: 
351
202
514
det


B 
 
6det B
 
 
___________________________ 
 
 
 Existe uma outra forma mais 
prática de memorizar a Regra de Sarrus. 
Consiste em acompanhar os caminhos 
indicados a seguir sem a necessidade 
de repetir as duas primeiras colunas. 
Apesar de ser um pouco mais rápida, 
exige bastante atenção. Observe: 
 
 Os termos precedidos do sinal de 
+ (mais) são obtidos 
multiplicando-se os elementos 
segundo as trajetórias indicadas. 
 
 
 Já para obter os termos 
precedidos do sinal de – (menos) 
devemos seguir estas trajetórias: 
 
 
Observe que o resultado obtido 
em cada trajetória é exatamente o 
mesmo daqueles que encontramos em 
cada “diagonal” na regra vista 
anteriormente. 
+ + + - - - 
51351
02202
14514


0 -40 -6 +0 +2 +50 
-40-6+2+50=6 
 
MATEMÁTICA III 5 DETERMINANTES 
 
 
 
1) Calcule os determinantes: 
a) 
2
1
2
13  
 
 
 
 
 
 
 
b) 
511
713 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
25
13a 
 
 
 
 
 
 
 
2) Calcule os determinantes: 
a) 
yy
xx
cossen
cossen  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
xx
xx
sencos
cossen  
 
 
 
 
 
 
 
c) 
2sen3cos21
cos3sen2


xx
xx 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Calcule os determinantes: 
a) 
4
1
2
1
loglog ba 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
1
22
3
42


mm
mmm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CASSIO VIDIGAL 6 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
4) Determine x tal que: 
a) 
0
1
232


x
xx 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
11
1354
22



xx
xx 
 
 
5) Calcular os determinantes 3 x 3 a 
seguir: 
a) 
110
010
011
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
152
201
231

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
245
312
713


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA III 7 DETERMINANTES 
 
 
6) Calcular os determinantes: 
a) 
635
1312
1179

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
0
0
0
ba
bc
ca

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
453
2
012
nm

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7) Determine x tal que: 
a) 
0
113
122
1

x
x
xx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
0
11
11
11



x
x
x
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
0
31
42
21



x
x
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CASSIO VIDIGAL 8 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
 
8) Determinar x tal que 
x
xx
xxx
xx




4
23
213
110
21
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
______________________ 
 
ATIVIDADES COMPLEMENTARES 
Pág. 130 – Exercício 04 
______________________ 
 
PROPRIEDADES DOS 
DETERMINANTES 
 
P1: Fila de Zeros. 
Se todos os elementos de uma linha ou 
coluna de uma matriz quadrada forem 
iguais a zero, seu determinante será 
nulo. 
 
 
 
Ex.1: 
0
50
20

 
 
 
Ex.2: 
0
000
232
741


 
 
P2: Filas Iguais. 
Se os elementos correspondentes de 
duas linhas ou duas colunas de uma 
matriz quadrada forem iguais, seu 
determinante será igual a zero. 
 
 
 
Ex.1: 0
1887
2332
5441
2113




 
pois a 2ª e 3ª colunas são iguais. 
 
Ex.2: 
0
32
701
32

k
k
 
Pois a 1ª e 3ª linhas são iguais. 
__________________________ 
 
P3: Filas Proporcionais. 
Se uma matriz quadrada possui duas 
linhas ou duas colunas proporcionais, 
seu determinante será nulo. 
 
 
 
Ex.1: 
0
264
701
132




 
Pois a 3ª linha é igual ao produto dos 
termos da 1ª linha por 2. 
 
Ex.2: 
0
284
71

 
pois a 2ª coluna é 7 vezes a primeira. 
 
 
MATEMÁTICA III 9 DETERMINANTES 
 
 
P4: Multiplicação de uma fila por uma 
constante. 
Se todos os elementos de uma linha ou 
uma coluna de uma matriz quadrada são 
multiplicados por um mesmo número 
real k então seu determinante fica 
multiplicado por k. 
 
Ex.: 












021
235
342
A
 det A = 55 
Multiplicando todos os termos da 
segunda coluna por 3: 












061
295
3122
'A
 det A’ = 165 
 
Multiplicando todos os termos da 1ª linha 
de A por 2: 












021
235
684
"A
 det A” = 110. 
__________________________ 
 
P5: Multiplicação de matriz por um 
número real. 
Se uma matriz quadrada de ordem n é 
multiplicada por um número real k, o seu 
determinante fica multiplicado por kn. 
 
 
Ex.: 
13det
54
21


 AA
 
 
3255det
2520
105
5 

 AA
 
 
P6: Determinante da transposta: 
O determinante de uma matriz quadrada 
é igual ao determinante de sua 
transposta. 
 
 
Ex.1: 
13det
54
21


 AA
 
13det
52
41


 tt AA
 
Ex.2: 
55det
021
235
342


 BB
 
55det
023
234
152



 tt BB
 
__________________________ 
 
P7: Troca de filas paralelas: 
Se trocarmos de posição duas linhas ou 
duas colunas de uma matriz quadrada, o 
determinante da nova matriz obtida é 
oposto ao determinante da matriz 
original. 
 
 
 
Ex.: 
021
235
342

A
 e 
021
342
235


B
 
Note que, de A para B foram 
trocadas de posição a primeira com a 
segunda linhas. 
Temos que 
55det A
 e 
55det B
. 
 
CASSIO VIDIGAL 10 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
 
P8: Matriz triangular. 
O determinante de uma matriz triangular 
é obtido multiplicando-se todos os 
termos da diagonal principal. 
 
 
Ex.1: 
36632det
600
230
342
 AA
 
Ex.2: 
    601345det
1887
0332
0041
0005






B
B
 
__________________________ 
 
 
P9: Teorema de Binet. 
Sendo A e B duas matrizes quadradas 
de mesma ordem e AB a matriz produto, 
então o determinante de AB é igual ao 
determinante de A vezes o determinante 
de B. 
 
 
Ex.: 
13det
54
21


 AA
 
29det
31
29


 BB
 
377det
54
27


 ABAB
 
  3772913detdet  BA
 
 
P10: Teorema de Jacobi 
Seja A uma matriz quadrada. Se 
multiplicarmos todos os elementos de 
uma linha ou coluna pelo mesmo 
número e somarmos os resultados aos 
elementos correspondentes de outra 
linha ou coluna, formando uma outra 
matriz B, então det A = det B. 
 
 
 
14det
45
21







 AA
 
 
Vamos multiplicar os termos da primeira 
linha por 3 e somar aos termos 
correspondentes da 2ª linha: 
 
14det
28
21






 BB
. 
 
Note que 
BA detdet 
. 
 
__________________________ 
 
P11: Determinante da inversa. 
Sendo A uma matriz quadrada invertível, 
e A-1 sua inversa, então 
1det
1
det


A
A
. 
 
 
 
Sendo A e sua inversa A-1 indicadas 
abaixo, observe seus determinantes já 
encontrados: 
2det
02
11





 
 AA
 
2
1
det
2
1
1
2
1
0
11 











  AA 
 
 
MATEMÁTICA III 11 DETERMINANTES 
 
Observe que 
1det
1
det


A
A
, ou seja, 
um determinante é o inverso do outro. 
 
 
__________________________ 
 
 
REGRA DE CHIÓ 
 
 A Regra de Chió consiste em 
aplicar algumas operações de forma a 
reduzir “as dimensões” de uma matriz e, 
assim, facilitar o cálculo do determinante 
porém ela é muito prática se o elemento 
a11 for igual a 1. Se tal termo for 
diferente de 1, aplicamos uma ou mais 
propriedades (já vistas) afim de tornar 
a11 = 1. 
 
 
 Siga os passos da Regra de Chió 
e, em seguida, veja sua aplicação no 
exemplo. 
 
 
1. Sendo a11 = 1, suprime-se a 
primeira linha e a primeira coluna. 
2. De cada elemento restante, 
subtrai-se o produto dos dois 
termos suprimidos, na linha e 
coluna desse elemento restante. 
3. Com os resultados das 
subtrações, obtém-se uma matriz 
uma ordem menor que a anterior 
porém com mesmo determinante. 
 
Observe o exemplo a seguir para 
entender cada passagem. 
 
 
 
 Calcule o determinante da matriz 















4322
0214
9631
1021
M . 
 
 
Resolução: 
Vamos seguir os três passos indicados. 
1. 
 
 
2. 
 
 
3. 
 
 
 
 
 
CASSIO VIDIGAL 12 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
 
A matriz 












636
427
1061
 tem o 
mesmo determinante que a matriz 
4322
0214
9631
1021


 entretanto, por ser uma 
ordem menor, é mais fácil calcular o 
determinante e podemos fazê-lo 
utilizando a regra de Sarrus. 
 
 
 
9) Encontre o valor do determinante da 
matriz 






















31240
02231
45123
20232
23012
A
. 
(Dica: Use o Teorema de Jacobi multiplicando a 
segunda coluna por 1 e somando à primeira 
coluna. Assim, você terá a11 = 1. Depois aplique 
a regra de Chió. Na matriz obtida, troque de 
posição a 1ª com a 2ª linha e aplique novamente 
Chió. Você chegará numa matriz de 3ª ordem e 
encontrará o determinante pela regra de Sarrus) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA III 13 DETERMINANTES 
 
 
10) Determine x na equação 
16
2000
302
211
000

x
x
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11) Calcule os determinantes a seguir: 
a) 
1200
4314
1521
1312


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
4321
3321
2221
1111
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CASSIO VIDIGAL 14 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
 
c) 
1100
1300
0032
0021
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) 
22310
1514
0003
2312


 
 
e) 
010
102
111
010
d
c
b
a


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f) 
101
01
01
0011x
xx
xx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA III 15 DETERMINANTES 
 
 
MENOR COMPLEMENTAR 
 
Sendo A uma matriz quadrada de 
ordem n  2, denomina-se menor 
complementar de A pelo elemento aij, o 
determinante Dij associado a matriz 
quadrada que se obtém de A ao suprimir 
a linha i e a coluna j onde está o 
elemento aij. Esse determinante é 
chamado de Dij. 
 
 
Sendo a matriz












1010
461
352
A
, temos: 
a) menor complementar de A pelo termo 
a21: 
Vamos eliminar a segunda linha e a 
primeira coluna. 
 
Assim, temos que 
53...
101
35
21 

D
 
 
b) Menor complementar de A pelo termo 
a33. 
 
7...
61
52
33 D
 
 
 
12) Calcule o MENOR 
COMPLEMENTAR de cada um dos 9 
termos da matriz 












383
510
426
K
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CASSIO VIDIGAL 16 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
 
COFATOR 
 
 Sendo A uma matriz quadrada de 
ordem n  2, denomina-se cofator de um 
elemento aij o número real 
  ij
ji
ij DA 

1
 onde Dij é o menor 
complementar de A pelo termo aij. 
 
 
Sendo a matriz












1010
461
352
A
, temos: 
a) cofator de A pelo termo a21: 
    535311 21
12
21 

DA
 
(nota: Esta matriz A é a mesma do exemplo da 
página anterior e 
21D
 já havia sido calculado) 
 
b) cofator de A pelo termo a33. 
  7711 33
33
33 

DA
 
 
 
13) Calcule os cofatores de cada um dos 
9 termos da matriz 












383
510
426
K
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TEOREMA DE LAPLACE 
 
 O determinante associado a uma 
matriz quadrada A de ordem n  2 é o 
número que se obtém pela soma dos 
produtos de cada termo de uma fila 
qualquer pelos seus respectivos 
cofatores. 
 
 Assim, para calcular o 
determinante de uma matriz quadrada 
qualquer, devemos escolher uma linha 
ou coluna, a seguir encontramos cada 
um de seus cofatores. Multiplicamos 
cada cofator pelo seu termo 
correspondente e somamos estes 
produtos. 
 
 
MATEMÁTICA III 17 DETERMINANTES 
 
 Acompanhe o exemplo. 
 
Sendo 













341
025
132
A
, podemos 
calcular 
Adet
a partir dos cofatores de 
qualquer de suas filas.. Vamos fazer a 
partir da 1ª linha e a seguir, a partir da 3ª 
coluna para verificarmos se os 
resultados obtidos coincidem. 
 
 1. A partir da primeira linha temos que 
 
131312121111det AaAaAaA 
 
 
    661
34
02
1
11
11 



A
 
      15151
31
05
1
21
12 



A
 
  18181
41
25
1
31
13 

A
 
Assim, temos que: 
 
    1518115362
det 131312121111

 AaAaAaA
 
 
2. Agora, a partir da terceira coluna: 
 
333323231313det AaAaAaA 
 
 
  18181
41
25
1
31
13 

A
 
    551
41
32
1
32
23 

A
 
    11111
25
32
1
33
33 

A
 
 
        1511350181
det 333323231313

 AaAaAaA
 
 Observe que, em ambos os 
casos, 
15det A
. Esse valor será 
encontrado em qualquer fila escolhida e 
você pode verificar isto. 
 
 É importante destacar que, nesta 
segunda escolha, especificamente no 
produto 
2323 Aa 
 não havia necessidade 
de calcular 
23A
 pois, como 
023 a
, o 
produto seria 
0
. Devido a isto, quando 
vamos calcular determinantes usando o 
teorema de Laplace, é interessante que 
escolhamos uma fila onde há uma 
grande quantidade de zeros, assim, 
reduziremos a quantidade de cálculos. 
 
 
 
 
 
 
CASSIO VIDIGAL 18 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
 
14) Calcule os determinantes a seguir 
preferencialmente utilizando o Teorema 
de Laplace: 
a) 













532
406
123
A
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 












431
531
431
B
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 











642
321
532
C
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) 









 

304
021
153
D
 
 
MATEMÁTICA III 19 DETERMINANTES 
 
e) 













350
211
124
E
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f) 

















2001
7302
3011
0240
F 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
g) 



















6230
1251
3124
0132
G 
 
CASSIO VIDIGAL 20 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
h) 




















43010
22020
25243
13010
01023
H
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15) Provar que 
   cdbcaba
dcba
ccba
bbba
aaaa
 
 
 
 
MATEMÁTICA III 21 DETERMINANTES 
 
 
16) Calcule o determinante 
zyx
zyx
coscoscos
sensensen
111
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17) Resolver a equação 0
xaaa
axaa
aaxa
aaax
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18) Calcule os determinantes: 
a) 
343125278
492584
7532
1111
 
 
CASSIO VIDIGAL 22 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
 
b) 
222
111
cba
cba
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
3333
2222
1111
dcba
dcba
dcba
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
___________________ 
 
Neste link, você pode acessar um documento 
com outras informações sobre Determinantes e 
também sobre nosso próximo conteúdo – 
Sistemas Lineares 
 
http://vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/wp-
content/uploads/sites/12/2015/03/Determinantes-
e-sistemas-lineares.pdf 
 
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MATEMÁTICA III 23 DETERMINANTES 
 
 
RESPOSTAS 
1) a) 
2
1
 b) -12 c) 6a - 5 
 
2) a) 
 yx sen
 
 b) 1 
 c) 
xx cos3sen46 
 
 
3) a) 
b
a4
log
 b) 2m 
 
4) a) 2x ou 
2
1
x
 
 b) 1x ou 
2
1
x
 
 
5) a) 1 b) -9 c) -40 
 
6) a) 121 b) 
 22 cab 
 
 c) 
2684  nm
 
 
7) a) 
2
1
x
 b) 
0x
 ou 
1x
 
 c) 
0x
 ou 
2x
 
 
8) 
3
3
x
 
 
9) -559 
 
10) 2 
 
11) a) 28 b) 1 
 c) -2 d) -75 
 e) 3d – 3a f) 1 – x 
 
12) D11=-43 D12=15 D13=-3 
 D21=-26 D22=30 D23=54 
 D31=14 D32=30 D33=-6 
 
 
13) A11=-43 A12=-15 A13=-3 
 A21=26 A22=30 A23=-54 
 A31=14 A32=-30 A33=-6 
 
14) a) 
10det A
 b) 
0det B
 
 c) 
0det C
 d) 
11det D
 
 e) 
17det E
 f) 
38det F
 
 g) 
13det G
 h) 
144det H
 
 
15) Demonstração 
 
16) 
     xzzyyx  sensensen
 
 
17) 
 aaS ,3
 
 
18) a) 236 
 b) 
   abacbc 
 
 
c) 
      abacbcadbdcd REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA 
 
DANTE, Luiz Roberto; 
Matemática, Volume dois. São Paulo, 
Atica, 2005. 
IEZZI, Gelson e outros; 
Matemática, Volume único. São Paulo, 
Atual, 2002. 
IEZZI, Gelson e outros; 
Fundamentos da Matemática Elementar, 
Volume 4. São Paulo, Atual, 5ª edição, 
1977.