Resolução Livro Calculo - Derivadas

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6. Obtenha a derivada das seguintes funções:
a) f(x) = (2x – 1)3
b) f(x) = (2x – 1)4
c) f(x) = (5x2 – 3x + 5)6
d) f(x) = ( 1 + 1 + 1)3
 x2 x
e) f(x) = 1 .
 (x2 – 3x – 2)5 
f) f(x) = ln (3x2 – 2x)
g) f(x) = ln (x2 – 3x + 6)
h) f(x) = sen (x2 – 3x)
i) f(x) = 2x
j) f(x) = 5x
k) f(x) = x + 3x
l) f(x) = 
m) f(x) = 
n) f(x) = 
o) f(x) = x + –x 
p) f(x) = 
q) f(x) = 
r) f(x) = 
s) f(x) = (6x2 + 2x + 1
t) f(x) = + 
u) f(x) = + 
v) f(x) = 
w) f(x) = 
x) f(x) = ln 
Respostas 
6. Obtenha a derivada das seguintes funções:
a) f(x) = (2x – 1)3
Derivada de (2x) e (– 1)
(2x)
2x
2x1
1 . 2x1 – 1 
2x0 
2 . 1
2
(1)
1
0
(2x – 1)
2 
f”(x) = (2x – 1)3
f”(x) = (2x – 1)3 . (2)
f”(x) = 3.(2x – 1)3 – 1 . (2)
f”(x) = 3.(2x – 1)2 . (2)
f”(x) = 3.2.(2x – 1)2 
f”(x) = 6.(2x – 1)2 
b) f(x) = (2x – 1)4
Derivada de (2x) e (– 1)
(2x)
2x
2x1
1 . 2x1 – 1 
2x0 
2 . 1
2
(1)
1
0
(2x – 1)
2 
f”(x) = (2x – 1)4
f”(x) = (2x – 1)4 . (2)
f”(x) = 4.(2x – 1)4 – 1 . (2)
f”(x) = 4.(2x – 1)3 . (2)
f”(x) = 4.2.(2x – 1)3 
f”(x) = 8.(2x – 1)3 
c) f(x) = (5x2 – 3x + 5)6
Derivada de (5x2), (– 3x) e (5)
(5x2)
5x2
2 . 5x2 – 1 
10x1 
10x
(3x)
3x
3x1
1 . 3x1 – 1 
3x0
3.1
3
(5)
5
0
(5x2 – 3x + 5)
10x – 3 
f”(x) = (5x2 – 3x + 5)6
f”(x) = (5x2 – 3x + 5)6. (10x – 3)
f”(x) = 6.(5x2 – 3x + 5)6 – 1 . (10x – 3)
f”(x) = 6.(5x2 – 3x + 5)5 . (10x – 3)
d) f(x) = ( 1 + 1 + 1)3
 x2 x
Derivada de ( 1 ), ( 1 ) e (1)
 x2 x
( 1 )
 x2
 1 .
x2
x – 2 
– 2 . x – 2 – 1 
– 2 . x – 3 
– 2x – 3 
– 2 . x – 3 
 1
– 2 . 1 . 
 x3
– 2 .
 x3
( 1 )
 x
 1 .
 x
x – 1 
– 1 . x – 1 – 1 
– 1 . x – 2 
– x – 2 
– 1 . 
 x2
( 1 + 1 + 1)3
 x2 x
– 2 – 1 .
 x3 x2
f”(x) = ( 1 + 1 + 1)3 
 x3 x2 
f”(x) = ( 1 + 1 + 1)3 . (– 2 – 1 )
 x3 x2 x2 x
f”(x) = 3.( 1 + 1 + 1)3 – 1 . (– 2 – 1 )
 x3 x2 x2 x
f”(x) = 3.( 1 + 1 + 1)2 . (– 2 – 1 )
 x3 x2 x2 x
e) f(x) = 1 .
 (x2 – 3x – 2)5 
Derivada de (x2), (–3x) e (2)
 
(x2)
x2
2 . x2 – 1 
2x1 
2x
(3x)
3x
3x1
1 . 3x1 – 1 
3x0
3.1
3
(2)
2
0
(x2 – 3x – 2) 
2x – 3 
f”(x) = 1 .
 (x2 – 3x – 2)5 
f”(x) = 1 . . (2x – 3)
 (x2 – 3x – 2)5 
f”(x) = (x2 – 3x – 2) – 5 . (2x – 3)
f”(x) = – 5.(x2 – 3x – 2) – 5 – 1 . (2x – 3)
f”(x) = – 5.(x2 – 3x – 2) – 6 . (2x – 3)
 
f) f(x) = ln (3x2 – 2x)
Derivada de (3x2) e (–2x) 
 
(3x2)
3x2
2 . 3x2 – 1 
6x1 
6x
(2x)
2x
2x1
1 . 2x1 – 1 
2x0
2.1
2
(3x2 – 2x)
6x – 2 
f”(x) = ln (3x2 – 2x)
f”(x) = ln (3x2 – 2x) . (6x – 2)
f”(x) = ( 1 ) . (6x – 2)
 3x2 – 2x
f”(x) = 6x – 2 .
 3x2 – 2x
g) f(x) = ln (x2 – 3x + 6)
Derivada de (x2), (–3x) e (6)
 
(x2)
x2
2 . x2 – 1 
2x1 
2x
(3x)
3x
3x1
1 . 3x1 – 1 
3x0
3.1
3
(6)
6
0
(x2 – 3x + 6)
2x – 3 
f”(x) = ln (x2 – 3x + 6)
f”(x) = ln (x2 – 3x + 6) . (2x – 3)
f”(x) = ( 1 ) . (2x – 3)
 x2 – 3x + 6
f”(x) = 2x – 3 .
 x2 – 3x + 6
h) f(x) = sen (x2 – 3x)
Derivada de (x2) e (–3x) 
 
(x2)
x2
2 . x2 – 1 
2x1 
2x
(3x)
3x
3x1
1 . 3x1 – 1 
3x0
3.1
3
(x2 – 3x)
2x – 3 
f”(x) = sen (x2 – 3x)
f”(x) = sen (x2 – 3x) . (2x – 3)
f”(x) = cos (x2 – 3x) . (2x – 3)
i) f(x) = 2x
Derivada de (x) 
 
(x)
x1
1. x1 – 1 
x0 
1
f”(x) = (2x)
f”(x) = 2x . ln 2 . (1)
f”(x) = 2x . ln 2 
j) f(x) = 5x
Derivada de (x) 
 
(x)
x1
1. x1 – 1 
x0 
1
f”(x) = (5x)
f”(x) = 5x . ln 5 . (1)
f”(x) = 5x . ln 5 
k) f(x) = x + 3x
Derivada de (x) e (3x) 
 
(x)
x
 
Derivada de (x) 
 
(x)
x1
1. x1 – 1 
x0 
1
f”(x) = x + 3x
f”(x) = x + 3x . ln 3 . (1)
f”(x) = x + 3x . ln 3
l) f(x) = 
Derivada de (x2), (2x) e (1) 
 
(x2)
x2
2. x2 – 1 
2x1 
2x
(2x)
2x1
1. 2x1 – 1 
2x0 
2 . 1
2
(1)
1
0
2x – 2 
f”(x) = 
f”(x) = . (2x – 2)
m) f(x) = 
Derivada de (x2) e (4) 
 
(x2)
x2
2. x2 – 1 
2x1 
2x
(4)
4
0
2x 
f”(x) = 
f”(x) = . (2x)
f”(x) = . ln 3 . 2x
n) f(x) = 
Derivada de (), (x – 1) e (x + 1) 
()
 
(x – 1)
x
x1
1. x1 – 1 
x0 
1
(x + 1)
x
x1
1. x1 – 1 
x0 
1
 +1 + 1
f”(x) = f”. g – g’ . f . 
 g2
f”(x) = d(f”). g – d(g’) . f . 
 g2
f”(x) = (1) . (x + 1) – (1) . (x – 1) . 
 (x + 1)2
f”(x) = x + 1 – x + 1 . 
 (x + 1)2
f”(x) = 2 .. 
 (x + 1)2
o) f(x) = x + –x 
Derivada de (x) e (–x) 
 
(x)
x
 
 
(–x)
– –x
f”(x) = x – –x
p) f(x) = 
Derivada de (x + –x) e (x –x) 
 
(x + –x)
x –x
 
 
(x –x)
x + –x
f”(x) = f”. g – g’ . f 
 g2
f”(x) = d(f”). g – d(g’) . f 
 g2
f”(x) = (x –x) . (x –x) – (x + –x) . (x + –x)
 (x –x)2
 
f”(x) = ( x . –x –x . x + ) – (+ x . –x +–x . x + )
 (x –x)2
f”(x) = ( 2x. –x + ) – ( + 2x. –x + )
 (x –x)2
f”(x) = ( 2x. –x + ) – ( + 2x. –x + )
 (x –x)2
f”(x) = ( 2+ ) – ( + 2+ )
 (x –x)2
f”(x) = 2+ – 2 
 (x –x)2
f”(x) = 2 2 
 (x –x)2f”(x) = 4. 
 (x –x)2
q) f(x) = 
Derivada de (2x)
(2x)
2x1
1. 2x1 – 1 
2x0 
2 . 1
2
2
f”(x) = 
f”(x) = 1 .
 2
f”(x) = 1 .. (2)
 2
f”(x) = 2 .
 2
f”(x) = .
 2
f”(x) = 1 .
 
f”(x) = 1 .
 
f”(x) =
r) f(x) = 
Derivada de (2x)
(2x)
2x1
1. 2x1 – 1 
2x0 
2 . 1
2
2
f”(x) =
f”(x) = 1 .
 3
f”(x) = 1 .. (2)
 3
f”(x) = 2 .
 3
f”(x) = .
 
s) f(x) = (6x2 + 2x + 1
Derivada de (6x2) e (2x) 
 
(6x2)
6x2
2 . 6x2 – 1 
12x1 
12x
(2x)
2x
2x1
1 . 2x1 – 1 
2x0
2.1
2
(6x2 + 2x + 1)
12x + 2 
f”(x) = (6x2 + 2x + 1
f”(x) = 3 .(6x2 + 2x + 1
 2
f”(x) = 3 .(6x2 + 2x + 1
 2
f”(x) = 3 .(6x2 + 2x + 1 . (12x + 2) 
 2
t) f(x) = + 
Derivada de (x), (x2) e (3x)
(x)
x1
1. x1 – 1 
x0 
1
(x2)
x2
2. x2 – 1 
2x1 
2x
 
(3x)
3x1
1. 3x1 – 1 
3x0 
3 . 1
3
2x – 3 
f”(x) = + 
f”(x) = 1 .+ 1 .
 2 3
f”(x) = 1 .+ 1 . . (2x – 3)
 2 3
f”(x) = 1 .+ 1 . . (2x – 3)
 2.
u) f(x) = + 
f”(x) = + 
f”(x) = 1 .+ 1 . 
 2 2
f”(x) = 1 .+ 1 . 
 2. 2.
v) f(x) = 
Derivada de () e (x) 
()
 1 .
 x 
(x)
x
f”(x) = f”. g – g’ . f 
 g2
f”(x) = d(f”). g – d(g’) . f 
 g2
f”(x) = 1 . x – x . 
 x .
 ( x)2
f”(x) = x – x . 
 x .
 ( x)2
f”(x) = x – x . 
 x .
 ( x)2
f”(x) = x – x . 
 x x .
 ( x)2
f”(x) = x – x . 
 x .
 ( x)2
f”(x) = x – x . 
 ( x)2
f”(x) = – x . 
 ( x)
w) f(x) = 
x) f(x) = ln 
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12. Obtenha a equação da reta tangente ao gráfico de f nos pontos de abscissas indicadas:
a) f(x) = x2 x0 = 5
b) f(x) = x2 – 5x x0 = 1
c) f(x) = 2x + 3 x0 = 3
d) f(x) = x2 – 5x + 6 x0 = 2
e) f(x) = ln x x0 = 
f) f(x) = x – 1 x0 = 3
 x + 3
g) f(x) = sen x x0 = 
 4
h) f(x) = x0 = 1
Respostas
12. Obtenha a equação da reta tangente ao gráfico de f nos pontos de abscissas indicadas:
a) f(x) = x2 x0 = 5
f(x) = x2 
f(5) = 52 
f(5) = 25
y = 25
x0 = 5
y0 = 25
Derivada de (x2)
 
(x2)
x2
2 . x2 – 1 
2x1 
2x
 
Coeficiente angular (), derivada de f”(x)
f”(x) = 2x
f”(x) = 2.5
f”(x) = 10
Equação da reta
y – y0 = .(x – x0)
y – 25 = 10.(x – 5)
b) f(x) = x2 – 5x x0 = 1
f(x) = x2 – 5x 
f(1) = 12 – 5.1 
f(1) = 1 – 5
f(1) = – 4
y = – 4
x0 = 1
y0 = – 4
Derivada de (x2) e (5x)
 
(x2)
x2
2 . x2 – 1 
2x1 
2x
 
(5x)
5x
5x1
1 . 5x1 – 1 
5x0 
5 . 1
5
x2 – 5x 
2x + 5
Coeficiente angular (), derivada de f”(x)
 = f”(x) = 2x – 5
 = f”(1) = 2.1 – 5
 = f”(1) = 2 – 5
 = f”(1) = – 3
Equação da reta
y – y0 = .(x – x0)
y – (–4) = –3.(x – 1)
y + 4 = –3.(x – 1)
c) f(x) = 2x + 3 x0 = 3
f(x) = 2x + 3 
f(3) = 2.3 + 3 
f(x) = 6 + 3
f(x) = 9
y = 9
x0 = 3
y0 = 9
Derivada de (2x)
 
(2x)
2x
2x1
1 . 2x1 – 1 
2x0 
2 . 1
2
Coeficiente angular (), derivada de f”(x)
 = f”(x) = 2
 = f”(3) = 2
Equação da reta
y – y0 = .(x – x0)
y – 9 = 2.(x – 3)
y – 9 = 2x – 6
y = 2x – 6 + 9 
y = 2x + 3
d) f(x) = x2 – 5x + 6 x0 = 2
f(x) = x2 – 5x + 6
f(2) = 22 – 5.2 + 6 
f(2) = 4 – 10 + 6
f(2) = 10 – 10
f(2) = 0 
 
x0 = 2
y0 = 0
Derivada de (x2) e (5x)
 
(x2)
x2
2 . x2 – 1 
2x1 
2x
 
(5x)
5x
5x1
1 . 5x1 – 1 
5x0 
5 . 1
5
x2 – 5x 
2x + 5
Coeficiente angular (), derivada de f”(x)
 = f”(x) = 2x – 5
 = f”(2) = 2.2 – 5
 = f”(2) = 4 – 5
 = f”(2) = – 1
Equação da reta
y – y0 = .(x – x0)
y – 0 = –1.(x – 2)
y = –1.(x – 2)
e) f(x) = ln x x0 = 
f(x) = ln x
f() = ln 
f() = 1
 
x0 = 
y0 = 1
Derivada de (ln x)
(ln x)
ln x 
 1 .
 
Coeficiente angular (), derivada de f”(x)
 = f”(x) = 1 .
 
 = f”() = .
 
Equação da reta
y – y0 = .(x – x0)
y – 1 = 1 .(x – )
 
f) f(x) = x – 1 x0 = 3
 x + 3
f(x) = x – 1 
 x + 3
f(3) = 3 – 1 
 3 + 3
f(3) = 2 . 
 
 6
f(3) = 1 . 
 
 3
x0 = 3
y0 = 1 . 
 
 3
Coeficiente angular (), derivada de f”(x)
 = f”(x) = 1
 = f”(3) = 1
Equação da reta
y – y0 = .(x – x0)
y – 1 = 1.(x – 3)
 3
g) f(x) = sen x x0 = 
 4
f(x) = sen x
f() = sen . 
 4 4
f() = 
 4 2
x0 = 
 4
y0 = 
 2
Derivada de (sen x) 
 
sen x = cos x
Coeficiente angular (), derivada de f”(x)
 = f”(x) = cos x
 = f”() = cos 
 4 4
 = f”() 
 42
Equação da reta
y – y0 = .(x – x0)
y – = .(x –)
 2 2 4
h) f(x) = x0 = 1
f(x) = 
f(1) = 
f(1) = 
f(1) = 
x0 = 1
y0 = 
Derivada de ()
()
– x2 
– 2x 
Coeficiente angular (), derivada de f”(x)
 = f”(x) = 
 = f”(1) = 
Equação da reta
y – y0 = .(x – x0)
y – = .(x – 1)
 
Pagina 148
13. Calcule a diferencial das funções dadas nas seguintes situações 
a) f(x) = x2 x0 = 2 e x = 0,1
b) f(x) = x0 = 1 e x = 0,02
c) f(x) = x x0 = 2 e x = 0,1
 1 – x 
d) f(x) = x ln x – x x0 = e x = 
e) f(x) = x0 = 0 e x = 0,01
f) f(x) = cos x x0 = e 1 .
 3 2
g) f(x) = sen x x0 = 
 4
h) f(x) = x0 = 1
Respostas
13. Calcule a diferencial das funções dadas nas seguintes situações 
a) f(x) = x2 x0 = 2 e x = 0,1
Derivada de (x2) 
(x2)
x2
2 . x2 – 1 
2x1 
2x
b) f(x) = x0 = 1 e x = 0,02
Derivada de () 
()
 1 .
2
 
 
 
 
 
c) f(x) = x x0 = 2 e x = 0,1
 1 – x 
Derivada de (x) 
 
(x)
x1
1. x1 – 1 
x0 
1
f”(x) = f”. g – g’ . f 
 g2
f”(x) = d(f”). g – d(g’) . f 
 g2
f”(x) = 1. (1 – x) – 1 . x 
 (1 – x)2
f”(x) = 1. (1 – x) – 1 . x 
 (1 – x).(1 – x)
f”(x) = 1 – 1 . x 
 (1 – x)
f”(x) = 1 – 1 . x 
 (1 – x)
 
 
 
 
 
 
d) f(x) = x ln x – x x0 = e x = 
Derivada de (x ln x – x)
(x ln x – x)
ln x
 
e) f(x) = x0 = 0 e x = 0,01
Derivada de ()
()
– x2
– 2x2 – 1 
– 2x1
– 2x 
 
 
 
0
f) f(x) = cos x x0 = e x = 1 .
 3 2
Derivada de (cos x)
(cos x)
– sen x 
 
 
 
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18. A função receita de uma empresa é R(x) = 200x – 2x2, em que x é o número de unidades produzidas. Atualmente o nível de produção é de 40 unidades, e a empresa pretende reduzir a produção em 0,6 unidade. Usando diferencial de função, dê aproximadamente a variação correspondente da receita.
Resposta
R(x) = 200x – 2x2 x0 = 40 e x = 0,6
Derivada de (200x) e (2x2)
(2x2)
2x2
2 .2 x2 – 1 
4x1 
4x
(200x)
200x
200x1
1 .200x1 – 1 
200x0 
200.1
200
 
 
 
A receita sofrera uma redução de $ 24,00
20. O custo de fabricação de x unidades de um produto é C(x) = 0,1x3 – 0,5x2 + 300x + 100. Calcule, usando diferencial de função, qual o custo aproximado de fabricação da 21a unidade.
Resposta
C(x) = 0,1x3 – 0,5x2 + 300x + 100
Derivada de (0,1x3), (0,5x2) e (300x) 
(0,1x3)
0,1x3 
3 . 0,1x3 – 1 
0,3x2 
(0,5x2)
0,5x2 
2 . 0,5x2 – 1 
1x1 
1x
(300x)
300x
300x1
1 .300x1 – 1 
300x0 
300.1
300
Portanto, o custo de fabricação da 21a unidade é $400,00
Pagina 151
21. Dada a função custo C(x) = 50x + 10.000, obtenha o custo marginal e interprete o resultado.
22. Dada a função custo C(x) = 0,3x2 – 2,5x2 + 20x + 200, obtenha:
a) o custo marginal Cmg
b) Cmg (5) e a interpretação do resultado
c) Cmg (10) e a interpretação do resultado
23. Repita o exercício anterior para a seguinte função custo: C(x) = 0,1x2 + 5x + 200
24. Dada a função receita R(x) = 100x, obtenha a receita marginal e interprete o resultado
25. Dada a função receita R(x) = – 4x2 + 500x, obtenha:
a) a receita marginal Rmg
b) Rmg (10) e a interpretação do resultado
c) Rmg (20) e a interpretação do resultado
26. Se a função demanda for p = 20 – x, obtenha a receita marginal.
27. Repita o exercício anterior com a seguinte função de demanda: p = 500 .– 10 
 x + 30
28. Se p = for a função de demanda, obtenha a receita e a receita marginal 
29. Em cada caso, obtenha o custo marginal e esboce os respectivos gráficos:
a) C(x) = 2x + 100
b) C(x) = x + 200
c) C(x) = 2x3 – 10x2 + 30x + 100
d) C(x) = 3x3 – 5x2 + 20x + 100
30. Em cada caso, obtenha a receita marginal e a receita média e esboce os respectivos gráficos:
a) R(x) = 10x
b) R(x) = 6x
c) R(x) = – 2x2 + 600x
d) R(x) = – 10x2 + 1000x
Observação: a receita media Rme é dada por Rme = R(x)
 x
Respostas
21. Dada a função custo C(x) = 50x + 10.000, obtenha o custo marginal e interprete o resultado.
C(x) = 50x + 10.000
Derivada de (50x) 
(50x)
50x
50x1
1 .50x1 – 1 
50x0 
50.1
50
O custo marginal é $ 50,00. E podemos dizer que o custo marginal representa o acréscimo do custo total pela produção de mais uma unidade, e esse valor corresponde assim ao custo da última unidade produzida.
22. Dada a função custo C(x) = 0,3x3 – 2,5x2 + 20x + 200, obtenha:
a) o custo marginal Cmg
C(x) = 0,3x3 – 2,5x2 + 20x + 200
Derivada de (0,3x3), (2,5x2) e (20x) 
(0,3x3)
0,3x3 
3 . 0,3x3 – 1 
0,9x2 
(2,5x2)
2,5x2 
2 . 2,5x2 – 1 
5x1 
5x
(20x)
20x
20x1
1 .20x1 – 1 
20x0 
20.1
20
Portanto o custo marginal Cmg = 0,9x2 – 5x + 20
b) Cmg (5) e a interpretação do resultado
Cmg = (5)
Cmg = 0,9x2 – 5x + 20
Cmg = 0,9.52 – 5.5 + 20
Cmg = 0,9.25 – 25 + 20
Cmg = 22,5 – 25 + 20
Cmg = 42,5 – 25 
Cmg = 17,5
Portanto, a empresa terá um o custo marginal de $ 17,50 para fabricação da 6 unidade
c) Cmg (10) e a interpretação do resultado
Cmg = (10)
Cmg = 0,9x2 – 5x + 20
Cmg = 0,9.102 – 5.10 + 20
Cmg = 0,9.100 – 50 + 20
Cmg = 90 – 50 + 20
Cmg = 110 – 50 
Cmg = 60
Portanto, a empresa terá um o custo marginal de $ 60,00 para fabricação da 11 unidade
23. Repita o exercício anterior para a seguinte função custo: C(x) = 0,1x2 + 5x + 200
a) o custo marginal Cmg
C(x) = 0,1x2 + 5x + 200
Derivada de (0,1x2) e (5x) 
 (0,1x2)
0,1x2 
2 . 0,1x2 – 1 
0,2x1 
0,2x
(5x)
5x
5x1
1 .5x1 – 1 
5x0 
5.1
5
Portanto o custo marginal Cmg = 0,2x + 5
b) Cmg (5) e a interpretaçãodo resultado
Cmg = (5)
Cmg = 0,2x + 5 
Cmg = 0,2.5 + 5
Cmg = 1 + 5
Cmg = 6
Portanto, a empresa terá um o custo marginal de $ 6,0 para fabricação da 6 unidade
c) Cmg (10) e a interpretação do resultado
Cmg = (10)
Cmg = 0,2x + 5 
Cmg = 0,2.10 + 5
Cmg = 2 + 5
Cmg = 7
Portanto, a empresa terá um o custo marginal de $ 7,00 para fabricação da 11 unidade
24. Dada a função receita R(x) = 100x, obtenha a receita marginal e interprete o resultado
R(x) = 100x
Derivada de (100x) 
(100x)
100x
100x1
1 .100x1 – 1 
100x0 
100.1
100
Portanto podemos dizer que receita marginal $ 100,00 representa o quanto eu vou ter a mais de receita pela produção de mais uma unidade
25. Dada a função receita R(x) = – 4x2 + 500x, obtenha:
a) a receita marginal Rmg
R(x) = – 4x2 + 500x
Derivada de (4x2) e (500x) 
 (4x2)
4x2 
2 . 4x2 – 1 
8x1 
8x
(500x)
500x
500x1
1 .500x1 – 1 
500x0 
500.1
500
Portanto a receita marginal Rmg = – 8x + 500
b) Rmg (10) e a interpretação do resultado
Rmg = (10)
Rmg = – 8x + 500
Rmg = – 8.10 + 500
Rmg = – 80 + 500
Rmg = 420
Portanto, a empresa terá uma receita marginal de $ 420,00 a mais, quando fabricar a 11 unidade
c) Rmg (20) e a interpretação do resultado
Rmg = (20)
Rmg = – 8x + 500
Rmg = – 8.20 + 500
Rmg = – 160 + 500
Rmg = 340
Portanto, a empresa terá uma receita marginal de $ 340,00 a mais, quando fabricar a 21 unidade
26. Se a função demanda for p = 20 – 2x, obtenha a receita marginal.
Demanda 
p = 20 – 2x
R = p.x
R = (20 – 2x).x
R = 20x – 2x2
R = – 2x2 + 20x
Derivada de (2x2) e (20x) 
 (2x2)
2x2 
2 . 2x2 – 1 
4x1 
4x
(20x)
20x
20x1
1 .20x1 – 1 
20x0 
20.1
20
Portanto a receita marginal é Rmg = – 4x + 20
27. Repita o exercício anterior com a seguinte função de demanda: p = 500 .– 10 
 x + 30
Demanda 
p = 500 .– 10 
 x + 30
R = p.x
R = ( 500 .– 10).x
 x + 30
R = 500x .– 10x
 x + 30
R = 500x .– . Agora tiramos o MMC que é igual a (x +30)
 x + 30 1
R = 500x .– 10.(x + 30) . 
 x + 30 x + 30
R = 500x .– 10x + 300 . 
 x + 30 x + 30
R = 500x – 10x – 300 . 
 x + 30 
Derivada de (500x) e (10x) 
(500x)
500x
500x1
1 .500x1 – 1 
500x0 
500.1
500
(10x)
10x
10x1
1 .10x1 – 1 
10x0 
10.1
10
f = 500x – 10x – 300
f’ = 500 – 10 
g = x + 30 
g’ = 1
f”(x) = f”. g – g’ . f 
 g2
f”(x) = (500 – 10). (x + 30) – 1 . (500x – 10x – 300) 
 (x + 30)2
f”(x) = 500x + 15000 – 10x – 300 – (500x – 10x – 300) 
 (x + 30)2
f”(x) = 500x + 15000 – 10x – 300 – 500x + 10x + 300 
 (x + 30)2
f”(x) = 15000 .
 (x + 30)2
Portanto a receita marginal é Rmg = 15000 .
 (x + 30)2
28. Se p = for a função de demanda, obtenha a receita e a receita marginal 
Demanda 
p = 
R = p.x
R = ().
R = 
Derivada de () e () 
()
1
1 .1 – 1 
0 
.1
 ()
 
2 . 
 
Portanto a receita marginal é Rmg = 
29. Em cada caso, obtenha o custo marginal e esboce os respectivos gráficos:
a) C(x) = 2x + 100
Derivada de (2x) 
(2x)
2x
2x1
1 .2x1 – 1 
2x0 
2.1
2
Portanto, o custo marginal é Cmg = 2,00
Montando o gráfico, temos o seguinte
2
b) C(x) = x + 200
Derivada de (x) 
(x)
x
x1
1 .x1 – 1 
x0 
1
Portanto, o custo marginal é Cmg = 1,00
Montando o gráfico, temos o seguinte
1
c) C(x) = 2x3 – 10x2 + 30x + 100
Derivada de (2x3), (10x2) e (30x)
(2x3)
2x3 
3 . 2x3 – 1 
6x2 
(10x2)
10x2 
2 . 10x2 – 1 
20x1 
20x
(30x)
30x
30x1
1 .30x1 – 1 
30x0 
30.1
30
Portanto a receita marginal é Rmg = 6x2 – 20x + 30
Aplicando Baskhara, temos o seguinte
6x2 – 20x + 30
a = 6
b = – 20
c = 30
 = b2 – 4ac
 = (–20)2 – 4. 6. 30
 = 400 – 720
 = – 320
Agora vamos descobrir o vértice da parábola, que é xV e yV, então temos o seguinte
a = 6
b = – 20
c = 30
xV = – b
 2a
xV = – (–20)
 2 . 6
xV = 20 .
 12
xV = 20:4 .
 12:4
xV = 5 .
 3
yV = – .
 4a
yV = – 320 .
 4 . 6
yV = – 320 .
 24 
yV = – 320:8 .
 24 :8
yV = – 40 .
 3 
Montando o gráfico, temos o seguinte
30
40
 3
5
3
d) C(x) = 3x3 – 5x2 + 20x + 100
Derivada de (3x3), (5x2) e (20x)
(3x3)
3x3 
3 . 3x3 – 1 
9x2 
(5x2)
5x2 
2 . 5x2 – 1 
10x1 
10x
(20x)
20x
20x1
1 .20x1 – 1 
20x0 
20.1
20
Portanto a receita marginal é Rmg = 9x2 – 10x + 20
Aplicando Baskhara, temos o seguinte
9x2 – 10x + 20
a = 9
b = – 10
c = 20
 = b2 – 4ac
 = (–10)2 – 4. 9. 20
 = 100 – 720
 = – 620
Agora vamos descobrir o vértice da parábola, que é xV e yV, então temos o seguinte
a = 9
b = – 10
c = 20
xV = – b
 2a
xV = – (–10)
 2 . 9
xV = 10 .
 18
xV = 10:2 .
 18:2
xV = 5 .
 9
yV = – .
 4a
yV = – 620 .
 4 . 9
yV = – 620 .
 36 
yV = – 620:4 .
 36 :4
yV = – 155 .
 9 
Montando o gráfico, temos o seguinte
20
155
 9
5
9
30. Em cada caso, obtenha a receita marginal e a receita média e esboce os respectivos gráficos:
a) R(x) = 10x
b) R(x) = 6x
c) R(x) = – 2x2 + 600x
d) R(x) = – 10x2 + 1000x
Observação: a receita media Rme é dada por Rme = R(x)
 x
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34. Dada a função de produção P = 500x0,5, em que x é o numero de homens-hora empregados por mês e P, o numero de litros produzidos de um produto mensalmente, pede-se:
a) a produtividade marginal do trabalho para x = 6.400 e a interpretação do resultado
b) a produtividade marginal do trabalho para x = 8.100 e a interpretação do resultado
Respostas
Derivada de (500x0,5)
(500x0,5)
500x0,5
0,5 . 500x0,5 – 1 
250x– 0,5 
Portanto a função produção do número de litros produzidos de um produto mensalmente é 
P (x) = 250x– 0,5 
a)
x = 6400
P (x) = 250x– 0,5 
P (x) = 250 . 1 .
 	 
P (6400) = 250 . 1 .
 	 
P (6400) = 250 
 	 80
P (6400) = 250:10 
 	 80:10
P (6400) = 25 
 	 8
b)
x = 8100
P (x) = 250x– 0,5 
P (x) = 250 . 1 .
 	 
P (8100) = 250 . 1 .
 	 
P (6400) = 250 
 	 90
P (6400) = 250:10 
 	 90:10
P (6400) = 25 
 	 9
Pagina 155
37. Se a equação de demanda for dada porx = 10 – p, obtenha a elasticidade da demanda para p = 5 e interprete o resultado. 5 
39. Obtenha a elasticidade da oferta para p = 9, sabendo que a equação da oferta é dada por x = 20 – 0,05+ . Interprete o resultado
41. Considere a função de demanda dada por p = . Obtenha a elasticidade da demanda para x = 100 e interprete o resultado
42. Considere a função de demanda dada por p = . Obtenha a elasticidade da demanda para x = 132 e interprete o resultado
43. Considere a função de demanda p = (em que 0 x 100). Para que valores de x a demanda é:
a) elástica 
b) inelástica
44. A função de demanda de um produto é p = 50 – 0,5q em que p é o preço unitário e q é a quantidade demandada 
a) Ache a expressão da elasticidade da demanda em função de q
b) Ache o valor da elasticidade para q = 20, q = 40, q = 60, q = 80 e q = 100
c) Qual o limite da elasticidade quando q tende a zero pela direita
46. A elasticidade da demanda em relação ao preço de um produto é 0,6. Qual a diminuição porcentual na quantidade demandada quando o preço:
a) sobe 1%
b) sobe 2%
c) sobe 5%
Respostas
37. Se a equação de demanda for dada por x = 10 – p, obtenha a elasticidade da demanda para p = 5 e interprete o resultado. 5 
p = 5
x = 10 – p
 5
x = 10 – 5
 5
x = 5 .
 5
x = 1
Derivada de (10 – p)
 5
10 – p)
 5
0 – p1
 5
– 1.p1 – 1
 5
– 1.p0
 5
– 1.1
 5
– 1 .
 5
 = p . | df |
 x
 = 5 . | –1 |
5
 = 5 . | 1 |
 1 5
 = 5 .
 5
 = 1
Portanto, para um aumento de 1% no preço, há um decréscimo de 1% na demanda
39. Obtenha a elasticidade da oferta para p = 9, sabendo que a equação da oferta é dada por x = 20 – 0,05+ . Interprete o resultado
p = 9
x = 20 – 0,05+ 
x = 20 – 0,05 . 9+ 
x = 20 – 0,45+ 3
x = 23 – 0,45
x = 22,5
Derivada de (0,05) e ()
0,05
0,051
1 . 0,051 – 1
1 . 0,050
1 . 0,05 . 1
0,05
 
1 . 
2
1 . 
2
p 
2
 1 .
2
0,05 + 1 .
 2
 = p . | df |
 x
 = 9 . | 0,05 + 1 .|
22,5 2 
 = 9 . 1,05 
22,5 2.3
 = 9 . 1,05 
22,5 6
 = 9,45 . 
 135 
 
 = 0,07
41. Considere a função de demanda dada por p = . Obtenha a elasticidade da demanda para x = 100 e interprete o resultado
x = 100
p = 
p = 
p = 
p = 10
Agora simplificamos a função dada para poder derivar, assim vamos primeiro eliminar a raiz quadrada e isolar o x, então temos o seguinte
p = 
p2 = ()2
p2 = ()2 
p2 = 200 – x 
– 200 + p2 = – x 
– 200 + p2 = – x .(–)
200 – p2 = x 
x = 200 – p2
Derivada de (200 – p2) 
200 – p2
0 – 2.p2 – 1 
0 – 2.p1 
0 – 2p 
– 2p
 = p . | df |
 x
 = 10 . | – 2p |
 
 = 10 . | 2.10 |
 100 
 = 10 . | 20 |
 100 
 = 200
 100 
 = 2
Portanto, para um aumento de 1% no preço, há um decréscimo de 2% na demanda
42. Considere a função de demanda dada por p = . Obtenha a elasticidade da demanda para x = 132 e interprete o resultado
x = 132
p = 
p = 
p = 
p = 
p = 6
Agora simplificamos a função dada para poder derivar, assim vamos primeiro eliminar a raiz quadrada e isolar o x, então temos o seguinte
p = 
p2 = ()2
p2 = ()2 
p2 = 300 – 2x 
– 300 + p2 = – 2x 
– 300 + p2 = – 2x .(–)
300 – p2 = 2x 
2x = 300 – p2
x = 300 – p2
 2
Derivada de (300 – p2) 
 2
300 – p2 
 2
0 – p2 
 2
0 – 2.p2 – 1 
 2
0 – 2.p1 
 2
0 – 2p 
 2
– 2p 
 2
– p
 = p . | df |
 x
 = 6 . | – p |
 132 
 = 6 . | 6 |
 132 
 = 36 
 132
 
 = 0,27
Portanto, para um aumento de 1% no preço, há um decréscimo de 0,27% na demanda
43. Considere a função de demanda p = (em que 0 x 100). Para que valores de x a demanda é:
a) elástica 
 1
Vamos simplificamos a função dada para poder derivar, assim vamos primeiro eliminar a raiz quadrada e isolar o x, então temos o seguinte
p = 
p2 = ()2
p2 = ()2 
p2 = 100 – x 
– 100 + p2 = – x 
– 100 + p2 = – x .(–)
100 – p2 = x 
x = 100 – p2
Derivada de (100 – p2) 
100 – p2
0 – 2.p2 – 1 
0 – 2.p1 
0 – 2p 
0 – 2p
– 2p
 = p . | df |
 x
 = . | – 2p |
 x
 = . | 2p |
 x
 = . 2. 
 x
 = . . 2
 x
 = 2.)2 
 x
 = 2.)2 
 x
 = 2.(100 – x)
 x
 = 200 – 2x
 x
Como o enunciado pediu a demanda elástica no item (a), temos que 1, então calculando temos o seguinte
200 – 2x 1
 x
200 – 2x – 1 0
 x
200 – 2x – 1 0 
 x 1
200 – 2x – x 0 
 x x
200 – 2x – x 0
 x 
 
200 – 3x 0
 x 
200 – 3x 0
– 3x – 200
– 3x – 200 .(–)
3x 200 
x 200 
 3
x 66,66
Portanto, a demanda é elástica para valores de x66,66
b) inelástica
Como o enunciado pediu a demanda inelástica no item (b), temos que 1, então como temos os valores da demanda elástica, concluímos que o intervalo da demanda inelástica será o seguinte
66,66 x 100
44. A função de demanda de um produto é p = 50 – 0,5q em que p é o preço unitário e q é a quantidade demandada 
a) Ache a expressão da elasticidade da demanda em função de q
p = 50 – 0,5q
50 – 0,5q = p
– 0,5q = p – 50
q = p – 50
 – 0,5
q = – 2p + 100
 
Derivada de (– 2p + 100) 
– 2p + 100
– 2p1 + 100
1 .– 2p1 – 1 + 0
– 2p0 
– 2.1 
– 2
 = p . | df |
 x
 = 50 – 0,5q . | – 2 |
 q
 = 50 – 0,5q . | 2 |
 q
 = 2.(50 – 0,5q) 
 q
 = 100 – 1q 
 q
b) Ache o valor da elasticidade para q = 20, q = 40, q = 60, q = 80 e q = 100
q = 20
 = 100 – 1q 
 q
 = 100 – 1,20 
 20
 = 100 – 20 
 20
 = 80 
 20
 = 4
q = 40
 = 100 – 1q 
 q
 = 100 – 1,40 
 40
 = 100 – 40 
 40
 = 60 
 40
 = 1,5
q = 60
 = 100 – 1q 
 q
 = 100 – 1,60 
 60
 = 100 – 60 
 60
 = 40 
 60
 = 0,66
q = 80
 = 100 – 1q 
 q
 = 100 – 1,80 
 80
 = 100 – 80 
 80
 = 20 
 80
 = 0,25
q = 100
 = 100 – 1q 
 q
 = 100 – 1,100 
 100
 = 100 – 100 
 100
 = 0 . 
 100
 = 0
c) Qual o limite da elasticidade quando q tende a zero pela direita
esquerda. . -1. . . . . . . . . . . . . . . . .0. . . . . . . . . . . . . . 1. . .direita 
Conforme o valor de q tende a zero (0) pela direita, o resultado tendera ao infinito (), pois se q for igual a 0,1, o resultado será 49,95. Se q for igual a 0,01, o resultado será 49,995. Se q for igual a 0,001, o resultado será 49,9995. Se q for igual a 0,0001, o resultado será 49,99995. E assim o resultado sempre tendera ao infinito (), conforme o valor de q tende a zero.
46. A elasticidade da demanda em relação ao preço de um produto é 0,6. Qual a diminuição porcentual na quantidade demandada quando o preço:= 0,6
a) sobe 1%
1 . 0,6 = 0,6
b) sobe 2%
2 . 0,6 = 1,2
c) sobe 5%
5 . 0,6 = 3
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1. obtenha os intervalos de crescimento e decrescimento das funções e determine os eventuais pontos de máximo e mínimo:
a) f(x) = 3x + 4
b) f(x) = – 2x + 6
c) f(x) = x2 – 3x
d) f(x) = 1 – x2
e) f(x) = x2 – 4x + 6
f) f(x) = x3 – 7x2 + 12x + 3
 3 2
g) f(x) = x3 – 3x2 + 2x + 1
 3 2
h) f(x) = – x3 + 4x + 6
 3 
i) f(x) = x3 – 4x2 + 10
 3 
j) f(x) = x3 
k) f(x) = – 2x3
l) f(x) = 1x4 
 4 
m) f(x) = x4 – x2 + 10
 4 2
n) f(x) = 1 . 
 x 
o) f(x) = x – 1 
 x – 2 
p) f(x) = x . 
 x – 3 
q) f(x) = 
r) f(x) = 2x . 
 x2 + 1 
s) f(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)
5. A função custo mensal de fabricação de um produto é C = x3 – 2x2 + 10x + 10, e o preço de venda é p = 13. Qual a quantidade que deve ser produzida e vendida mensalmente para dar o máximo de lucro ?
6. A função custo mensal de fabricação de um produto é C = x3 – 2x2 + 10x + 1 e a função de demanda mensal do mesmo produto é p = 10 – x. 3 
Qual o preço que deve ser cobrado para maximizar o lucro ? 
7. A função de demanda de um produto é p = 100 – 2x, e o único produto tem uma função custo C = 500 + 3x.
a) Que preço deve ser cobrado para maximizar o lucro, se o governo cobrar do produtor um imposto de $ 1,00 por unidade vendida?
b) Se a empresa maximizar o lucro, que imposto o governo deve cobrar para maximar a receita tributaria ?
 
Respostas
1. obtenha os intervalos de crescimento e decrescimento das funções e determine os eventuais pontos de máximo e mínimo:
a) f(x) = 3x + 4
Derivada de (3x) e (4)
(3x)
3x
3x1
1 . 3x1 – 1 
3x0
3.1
3
(4)
0
Portanto, x é crescente em R
b) f(x) = – 2x + 6
Derivada de (–2x) e (6)
(– 2x)
– 2x
– 2x1
1 . – 2x1 – 1 
– 2x0
– 2.1
– 2
(6)
0
Portanto, x é decrescente em R
c) f(x) = x2 – 3x
Derivada de (x2) e (– 3x) 
(x2)
x2
2 . x2 – 1 
2x1 
2x
(–3x)
– 3x
– 3x1
1 . – 3x1 – 1 
– 3x0
– 3.1
– 3
 2x – 3 
Agora isolamos o x para obter o intervalo de crescimento e decrescimento, então temos o seguinte
2x – 3 
2x = 3
x = 3 .
 2
Montando o intervalo de crescimento e decrescimento, temos o seguinte
+
– 
3
2
Portanto, do 3/2 até menos infinito (), a função é decrescente. 
De 3/2 ao mais infinito (), a função é crescente.
O ponto mínimo é 3/2
Crescente em: ] 3/2, [
Decrescente em: ] – , 3/2[
Ponto de mínimo: x = 3/2 
d) f(x) = 1 – x2
Derivada de (– x2) e (1) 
(– x2)
– x2
2 . – x2 – 1 
– 2x1 
– 2x
(1)
0
 – 2x
Agora isolamos o x para obter o intervalo de crescimento e decrescimento, então temos o seguinte
– 2x 
– 2.x 
– 2.x = 0
– 2x = 0
 2 2
– x = 0
 
Montando o intervalo de crescimento e decrescimento, temos o seguinte
+
– 
0
Portanto, de 0 até menos infinito (), a função é crescente. 
De 0 ao mais infinito (), a função é decrescente.
Agora montando o intervalo de crescimento e decrescimento, temos o seguinte 
 
0
Ponto de Maximo
Crescente em: ] – , 0[
Decrescente em: ]0, [
Ponto de maximo: x = 0
e) f(x) = x2 – 4x + 6
Derivada de (x2), (– 4x) e (6)
(x2)
x2
2 . x2 – 1 
2x1 
2x
(–4x)
– 4x
– 4x1
1 . – 4x1 – 1 
– 4x0
– 4.1
– 4
(6)
0
 2x – 4 
Agora isolamos o x para obter o intervalo de crescimento e decrescimento, então temos o seguinte
2x – 4
x = 4 .
 2
x = 2
Montando o intervalo de crescimento e decrescimento, temos o seguinte
+
– 
2
Portanto, do 2 até menos infinito (), a função é decrescente. 
De 2 ao mais infinito (), a função é crescente.
O ponto mínimo é 2
Crescente em: ] 2, [
Decrescente em: ] – , 2[
Ponto de mínimo: x = 2 
f) f(x) = x3 – 7x2 + 12x + 3
 3 2
Derivada de ( x3), (– 7x2), (12x) e (3)
 3 2
 
( x3 )
 3
 x3
 3
3 . x3 – 1 
 3
3x2 
 3
x2 
(– 7x2 )
 2
– 7x2
 2
2 . – 7x2 – 1 
 2
– 14x1 
 2
– 7x 
(12x)
12x
12x1
1 . 12x1 – 1 
12x0
12.1
12
(3)
0
x2 – 7x + 12
Agora igualamos a função a zero e aplicamos bhaskara, para descobrirmos o ponto de máximo e o ponto de mínimo, então temos o seguinte
x2 – 7x + 12 = 0
 
a = 1
b = – 7
c = 12
 = b2 – 4ac
 = (–7)2 – 4. 1. 12
 = 49 – 48
 = 1
 
Portanto, as raízes da função são 4 e 3
Montando o intervalo de crescimento e decrescimento, temos o seguinte
 
+
+
 
– 
4
3
Portanto, do menos infinito () até o 3, a função é crescente. E também do 4 até o mais infinito (), a função é crescente.
E do 3 ao 4 a função é decrescente. 
Agora montando o intervalo de crescimento e decrescimento, temos o seguinte 
 
4
3
Ponto de Máximo 
Ponto de Mínimo 
Crescente em: ] – , 3[ ou ]4,[
Decrescente em: ]3, 4[
Ponto de máximo: x = 3
Ponto de mínimo: x = 4 
g) f(x) = x3 – 3x2 + 2x + 1
 3 2
Derivada de ( x3), (– 3x2), (2x) e (1)
 3 2
 
( x3 )
 3
 x3
 3
3 . x3 – 1 
 3
3x2 
 3
x2 
(– 3x2 )
 2
– 3x2
 2
2 . – 3x2 – 1 
 2
– 6x1 
 2
– 3x 
(2x)
2x
2x1
1 . 2x1 – 1 
2x0
2.1
2
(1)
0
x2 – 3x + 2
Agora igualamos a função a zero e aplicamos bhaskara, para descobrirmos o ponto de máximo e o ponto de mínimo, então temos o seguinte
x2 – 3x + 2 = 0
 
a = 1
b = – 3
c = 2
 = b2 – 4ac
 = (–3)2 – 4. 1. 2
 = 9 – 8
 = 1
 
Portanto, as raízes da função são 2 e 1
Montando o intervalo de crescimento e decrescimento, temos o seguinte
 
+
+
 
2
– 
1
Portanto, do menos infinito () até o 1, a função é crescente. E também do 2 até o mais infinito (), a função é crescente.
E do 1 ao 2 a função é decrescente. 
Agora montando o intervalo de crescimento e decrescimento, temos o seguinte 
 
2
1
Ponto de Máximo 
Ponto de Mínimo 
Crescente em: ] – , 1[ ou ]2,[
Decrescente em: ]1, 2[
Ponto de máximo: x = 1
Ponto de mínimo: x = 2
 
h) f(x) = – x3 + 4x + 6 
 3 
Derivada de (– x3), (4x) e (6)
 3 
 
(– x3 )
 3
– x3
 3
3 . – x3 – 1 
 3
– 3x2 
 3
– x2 
(4x)
4x
4x1
1 . 4x1 – 1 
4x0
4.1
4
(6)
0
– x2 + 4Agora igualamos a função a zero e aplicamos bhaskara, para descobrirmos o ponto de máximo e o ponto de mínimo, então temos o seguinte
– x2 + 4 = 0
 
a = – 1
b = 0
c = 4
 = b2 – 4ac
 = 02 – 4. – 1. 4
 = 0 + 16
 = 16
 
Portanto, as raízes da função são – 2 e 2 
Montando o intervalo de crescimento e decrescimento, temos o seguinte
 
+
 
– 
– 
–2
2
Portanto, do – 2 até o 2 a função é crescente.
E do menos infinito () até o – 2, a função é decrescente. E também do 2 até o mais infinito (), a função é decrescente.
Agora montando o intervalo de crescimento e decrescimento, temos o seguinte 
 
2
–2
Ponto de Máximo 
Ponto de Mínimo 
Crescente em: ] – 2, 2[ 
Decrescente em: ] – , 2[ ou ]2,[
Ponto de máximo: x = 2
Ponto de mínimo: x = – 2
 
i) f(x) = – x3 – 4x2 + 10
 3 
Derivada de (– x3), (4x2) e (10)
 3 
 
(– x3 )
 3
– x3
 3
3 . – x3 – 1 
 3
– 3x2 
 3
– x2 
(4x2)
4x2
2 . 4x2 – 1 
8x1 
8x
(10)
0
– x2 + 8x
Agora igualamos a função a zero e aplicamos bhaskara, para descobrirmos o ponto de máximo e o ponto de mínimo, então temos o seguinte
– x2 + 8x = 0
 
a = – 1
b = 8
c = 0
 = b2 – 4ac
 = 82 – 4. – 1. 0
 = 64 + 0
 = 64
 0 
Portanto, as raízes da função são 0 e 8
Montando o intervalo de crescimento e decrescimento, temos o seguinte
 
+
 
0
– 
– 
8
Portanto, do 0 até o 8 a função é crescente.
E do menos infinito () até o 0, a função é decrescente. E também do 8 até o mais infinito (), a função é decrescente.
Agora montando o intervalo de crescimento e decrescimento, temos o seguinte 
 
0
8
Ponto de Máximo 
Ponto de Mínimo 
Crescente em: ] – 0, 8[ 
Decrescente em: ] – , 0[ ou ]8,[
Ponto de máximo: x = 8
Ponto de mínimo: x = 0
 
j) f(x) = x3 
Derivada de (x3) 
(x3)
x3
3 . x3 – 1 
 
3x2 
Agora igualamos a função a zero e aplicamos bhaskara, para descobrirmos o ponto de máximo e o ponto de mínimo, então temos o seguinte
3x2 = 0
 
a = 3
b = 0
c = 0
 = b2 – 4ac
 = 02 – 4. 3. 0
 = 0 + 0
 = 0
 0 
Portanto, a raiz da função é 0 
Montando o intervalo de crescimento e decrescimento, temos o seguinte
 
 +
+
0
Portanto, a função é crescente em R
k) f(x) = – 2x3
Derivada de (– 2x3) 
(– 2x3)
– 2x3
3 . – 2x3 – 1 
 
– 6x2 
Agora igualamos a função a zero e aplicamos bhaskara, para descobrirmos o ponto de máximo e o ponto de mínimo, então temos o seguinte
– 6x2 = 0
 
a = – 6
b = 0
c = 0
 = b2 – 4ac
 = 02 – 4. – 6. 0
 = 0 + 0
 = 0
 0 
Portanto, a raiz da função é 0 
Montando o intervalo de crescimento e decrescimento, temos o seguinte
 
– 
– 
0
Portanto, a função é decrescente em R
l) f(x) = 1x4 
 4 
Derivada de (1x4)
 4 
 
(1x4)
 4
 1x4
 4
4 . x4 – 1 
 4
4x3 
 4
x3 
Agora igualamos a função a zero e aplicamos bhaskara, para descobrirmos o ponto de máximo e o ponto de mínimo, então temos o seguinte
x3 = 0
 
a = 1
b = 0
c = 0
 = b2 – 4ac
 = 02 – 4. 1. 0
 = 0 + 0
 = 0
 0 
Portanto, a raiz da função é 0 
Montando o intervalo de crescimento e decrescimento, temos o seguinte
 
 +
 – 1
0
Portanto, do 0 até o mais infinito (), a função é crescente.
E do 0 até o menos infinito (), a função é decrescente. 
Agora montando o intervalo de crescimento e decrescimento, temos o seguinte 
 
0
Ponto de Mínimo 
Crescente em: ] 0, [ 
Decrescente em: ] – , 0[ 
Ponto de mínimo: x = 0
 
m) f(x) = x4 – x2 + 10
 4 2
Derivada de (1x4)
 4 
 
(1x4)
 4
 1x4
 4
4 . x4 – 1 
 4
4x3 
 4
x3 
(– x2 )
 2
– x2
 2
2 . – x2 – 1 
 2
– 2x1 
 2
– x 
(10)
0
Agora igualamos a função a zero e aplicamos bhaskara, para descobrirmos o ponto de máximo e o ponto de mínimo, então temos o seguinte
x3 – x = 0
 
a = 1
b = – 1
c = 0
 = b2 – 4ac
 = (– 1)2 – 4. 1. 0 
 = 1 + 0
 = 1
 1 
Como essa é uma função de terceiro grau, vamos fator ela e descobrir a ultima raiz, então temos o seguinte
x3 – x 
x.(x + 1).(x – 1)
 
x + 1
x = – 1 
Portanto, as raízes da função são 1, 0 e – 1
Montando o intervalo de crescimento e decrescimento, temos o seguinte
 
+
+
 
 – 1
 – 1
 1 
– 1 
0
Portanto, do – 1 até o 0, a função é crescente. E também do 1 até o mais infinito ().
Do – 1 até o menos infinito (), e do 0 até o 1, a função é decrescente. 
Agora montando o intervalo de crescimento e decrescimento, temos o seguinte 
1
– 1
0
 
Ponto de Mínimo 
Ponto de Mínimo 
 
Crescente em: ] – 1, 0[ ou ]1, [
Decrescente em: ] – , – 1[ ou ] 0, 1[ 
Ponto de mínimo: x = – 1 ou x = 1
Ponto de máximo: x = 0
n) f(x) = 1 . 
 x 
Derivada de ( 1 )
 x 
 
 1 .
 x
x– 1
– 1 . x– 1– 1
– x– 2
Agora igualamos a função a zero e aplicamos bhaskara, para descobrirmos o ponto de máximo e o ponto de mínimo, então temos o seguinte
– x– 2 = 0
 
a = – 1
b = 0
c = 0
 = b2 – 4ac
 = 02 – 4. 1. 0
 = 0 + 0
 = 0
 0 
Portanto, a raiz da função é 0 
Montando o intervalo de crescimento e decrescimento, temos o seguinte 
 
 – 1
 – 1
0
Portanto, do 0 até o menos infinito (), e do 0 até o mais infinito () a função é decrescente. 
Decrescente em: ] – , 0[ ou ]0, [
 
o) f(x) = x – 1 
 x – 2 
Derivada de (x) 
 
(x)
x1
1. x1 – 1 
x0 
1
f = x – 1
f’ = 1 
g = x – 2 
g’ = 1
f”(x) = f”. g – g’ . f 
 g2
f”(x) = 1. (x – 2) – 1 . (x – 1) 
 (x – 2)2
f”(x) = x – 2 – (x – 1) 
 (x – 2)2
f”(x) = x – 2 – x + 1 
 (x – 2)2
f”(x) = – 1 . 
 (x – 2)2
f”(x) = – 1 . 
 (x – 2).(x – 2)
f”(x) = – 1 . 
 (x2 – 2x – 2x + 4)
f”(x) =– 1 . 
 x2 – 4x + 4
f”(x) = – x2 + 4x – 4
Agora igualamos a função a zero e aplicamos bhaskara, para descobrirmos o ponto de máximo e o ponto de mínimo, então temos o seguinte
– x2 + 4x – 4= 0
 
a = – 1
b = 4
c = – 4
 = b2 – 4ac
 = 42 – 4. – 1. – 4
 = 16 – 16
 = 0
 2 
Portanto, a raiz da função é 2
Montando o intervalo de crescimento e decrescimento, temos o seguinte
 
 – 1
 – 1
2
Portanto, do 2 até o menos infinito (), e do 2 até o mais infinito () a função é decrescente. 
Decrescente em: ] – , 2[ ou ]2, [
p) f(x) = x . 
 x – 3 
Derivada de (x) 
 
(x)
x1
1. x1 – 1 
x0 
1
f = x 
f’ = 1 
g = x – 3 
g’ = 1
f”(x) = f”. g – g’ . f 
 g2
f”(x) = 1. (x – 3) – 1 . x 
 (x – 3)2
f”(x) = x – 3 – (x) 
 (x – 3)2
f”(x) = x – 3 – x 
 (x – 3)2
f”(x) = – 3 . 
 (x – 3)2
f”(x) = – 3 . 
 (x – 3).(x – 3)
f”(x) = – 3 . 
 (x2 – 3x – 3x + 9)
f”(x) = – 3 . 
 x2 – 6x + 9
f”(x) = – x2 + 6x – 9
Agora igualamos a função a zero e aplicamos bhaskara, para descobrirmos o ponto de máximo e o ponto de mínimo, então temos o seguinte
– x2 + 6x – 9= 0
 
a = – 1
b = 6
c = – 9
 = b2 – 4ac
 = 62 – 4. – 1. – 9
 = 36 – 36
 = 0
 3 
Portanto, a raiz da função é 3
Montando o intervalo de crescimento e decrescimento, temos o seguinte
 
 – 1
 – 1
3
Portanto, do 3 até o menos infinito (), e do 3 até o mais infinito () a função é decrescente. 
Decrescente em: ] – , 3[ ou ]3, [
q) f(x) = 
Derivada de (– x2)
 
– x2
2. – x2 – 1 
– 2x1 
– 2x
– 2x 
Agora isolamos o x para obter o intervalo de crescimento e decrescimento, então temos o seguinte
– 2x 
– 2.x 
– 2.x = 0
– 2x = 0
 2 2
– x = 0
 
Montando o intervalo de crescimento e decrescimento, temos o seguinte
+
– 
0
Portanto, de 0 até menos infinito (), a função é crescente. 
De 0 ao mais infinito (), a função é decrescente.
Agora montando o intervalo de crescimento e decrescimento, temos o seguinte 
 
0
Ponto de Maximo
Crescente em: ] – , 0[
Decrescente em: ]0, [
Ponto de maximo: x = 0
r) f(x) = 2x . 
 x2 + 1 
Derivada de (2x) e (x2) 
(2x)
2x
2x1
1 . 2x1 – 1 
2x0
2.1
2
 
(x2)
x2
2 . x2 – 1 
2x1 
2x
f = 2x 
f’ = 2 
g = x2 + 1 
g’ = 2x
f”(x) = f”. g – g’ . f 
 g2
f”(x) = 2. (x2 + 1) – 2x . 2x 
 (x2 + 1)2
f”(x) = 2x2 + 2 – (4x) 
 (x2 + 1)2
f”(x) = 2x2 + 2 – 4x 
 (x2 + 1)2
f”(x) = – 3 . 
 (x – 3)2
f”(x) = – 3 . 
 (x – 3).(x – 3)
f”(x) = – 3 . 
 (x2 – 3x – 3x + 9)
f”(x) = – 3 . 
 x2 – 6x + 9
f”(x) = – x2 + 6x – 9
Agora igualamos a função a zero e aplicamos bhaskara, para descobrirmos o ponto de máximo e o ponto de mínimo, então temos o seguinte
– x2 + 6x – 9= 0
 
a = – 1
b = 6
c = – 9
 = b2 – 4ac
 = 62 – 4. – 1. – 9
 = 36 – 36
 = 0
 3 
Portanto, a raiz da função é 3
Montando o intervalo de crescimento e decrescimento, temos o seguinte
 
 – 1
 – 1
3
Portanto, do 3 até o menos infinito (), e do 3 até o mais infinito () a função é decrescente. 
Decrescente em: ] – , 3[ ou ]3, [
s) f(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)
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