Lista 10 CM201

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Lista 10 de CM201 - Cálculo Diferencial e Integral I
Profa. Tanise Carnieri Pierin
1 Integrais Definidas
Questão 1 Calcule:
(a)
∫ 4
0
1
2
dx
(b)
∫ 4
1
1 + x√
x
dx
(c)
∫ 1
0
(x+ 4
√
x)dx
(d)
∫ 2
1
1 + 3x2
x
dx
(e)
∫ 0
−pi
sen(3x)dx
(f)
∫ 1
0
1
1 + t2
dt
(g)
∫ 1
−1
x3ex
4
dx
(h)
∫ 1
2
0
1√
1− x2dx
(i)
∫ pi
4
0
tg2(x)dx
2 Cálculo de áreas
Questão 1 Em cada um dos itens abaixo, desenhe o conjunto A e calcule sua área:
(a) A é o conjunto do plano limitado pelas retas x = 1, x = 4, y = 0 e pelo gráfico de
f(x) =
√
x.
(b) A é o conjunto dos pontos (x, y) tais que x2 − 1 ≤ y ≤ 0.
(c) A é o conjunto dos pontos (x, y) tais que 0 ≤ y ≤ |sen(x)|, com 0 ≤ x ≤ 2pi.
(d) A é o conjunto do plano limitado pela reta y = 0 e pelo gráfico de y = 3− 2x− x2, com
−1 ≤ x ≤ 2.
(e) A é o conjunto do plano limitado pela reta y = 0 e pelo gráfico de y = x3 − x, com
0 ≤ x ≤ 2.
(f) A é o conjunto dos pontos (x, y) tais que x ≥ 0 e x3 ≤ y ≤ x.
(g) A = {(x, y) ∈ R2; 0 ≤ x ≤ 1 e √x ≤ y ≤ 3}.
(h) A é o conjunto de todos os pontos (x, y) tais que x2 + 1 ≤ y ≤ x+ 1.
(i) A é o conjunto dos pontos (x, y) tais que x ≥ 0 e −x ≤ y ≤ x− x2.
3 Mudança de variável na integral definida
Questão 1 Calcule.
1
(a)
∫ 4
−3
3
√
5− xdx
(b)
∫ 2
1
2
(3x− 2)3dx
(c)
∫ 1
−2
3
4 + x
dx
(d)
∫ 1
0
xex
2
dx
(e)
∫ 0
−1
x2
√
1 + x3dx
(f)
∫ 3
1
2
5 + 3x
dx
(g)
∫ 2
1
x2(x− 2)10dx
(i)
∫ 1
0
x
(x+ 1)5
dx
(j)
∫ 1
0
x
√
1 + 2x2dx
(k)
∫ 1
0
x2
(x+ 1)2
dx
(l)
∫ pi
3
0
sen(x) cos2(x)dx
(m)
∫ pi
6
0
cos3(x)dx
4 Volume de sólidos
Questão 1 Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto dos
pontos (x, y) tais que:
(a) 1 ≤ x ≤ 3 e 0 ≤ y ≤ x.
(b) 2x2 + y2 ≤ 1 e y ≥ 0.
(c) 0 ≤ x ≤ 1 e√x ≤ y ≤ 3.
(d) x2 ≤ y ≤ x.
(e) y ≥ x2 e x2 + y2 ≤ 2.
(f) 1x ≤ y ≤ 1 e 1 ≤ x ≤ 2.
Questão 2 Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y, do conjunto dos
pontos (x, y) tais que:
(a) 1 ≤ x ≤ e e 0 ≤ y ≤ lnx.
(b) 1 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ 3√x.
(c) 0 ≤ x ≤ pi e 0 ≤ y ≤ sen(x).
(d) y2 ≤ 2x− x2 e y ≥ 0.
(e) 0 ≤ x ≤ 6, 0 ≤ y ≤ 2 e y ≥ √x− 2.
(f)
√
x ≤ y ≤ −x+ 6, x ≥ 0.
2