cola de cálculo 1

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Sejam f e g funções da variável x. Considere as seguintes regras de derivação: 
 `(f/g)^' = (g . f ' - f . g')/g^2` e ` (f ^n)^' = n. f ^ (n-1). f '` 
Utilizando as regras de derivação dadas podemos afirmar que a derivada em relação a x da função 
` y = [ x /(1 + x^2 ) ]
5/3 
` 
 calculada no ponto x = 1 é dada por 
 y'(1) = 0 
A equação horária de um móvel é y = t
3
 + 2t, onde a altura y é dada em metros e o tempo t é dado em 
segundos. A equação da velocidade deste móvel será: 
 v(t)=3t2+2 
Encontre derivada da função f (x) = tgh
-1
(sen x) 
 
  sec x 
 
A Regra da Cadeia para derivação de função composta nos permite que, conhecendo as derivadas de duas 
funções f e g, podemos utilizá-las para encontrar a derivada da função composta fog. Se a função g for 
diferenciável no ponto x e a função f for diferenciável no ponto g(x), então a função composta fog é 
diferenciável no ponto x. Além disso, se f e g forem diferenciáveis e f og for a função composta definida 
por f (g(x)) então esta composta é diferenciável e é dada pelo produto f´(g(x))g´(x). A partir deste conceito 
de regra da cadeia, determine a derivada da função composta y=2x+1 
 12x+1 
Considere a função f(x)=x+lnx definida no domínio D = {x∈R|x>0}. Seja g a função inversa de f. 
Utilizando a Regra da Cadeia,encontre g'(x) 
 g'(x)=g(x)g(x)+1 
Considere as funções f e g tais que f é uma função inversível e derivável e g(x) = (f(x))3 . 
 
 Sabendo que f(0) =1 e f′(0) = −1, calcule (g−1)′(1), isto é, a derivada da função inversa de g no 
ponto x=1 
 -3 
Está sendo bombeado ar para dentro de um balão esférico, e seu volume cresce a uma taxa de 100 cm
3
/seg. 
Quão rápido o raio do balão está crescendo quando o diâmetro é 50 cm? 
 (25Pi)-1 cm/seg 
 
Se f(x) = x
2
 e g(x) = (x + 1). Encontre a derivada da função composta f ( g(1) ). 
 4 
Derive a expressão y=secx.cosx e marque a única alternativa correta. 
 0 
A função modular (valor absoluto) é definida por f(x)=|x| e seu estudo nos auxilia na análise das funções 
crescentes e decrescentes. Das afirmações abaixo, assinale aquelas que são Falsas ou Verdadeiras. 
 Uma função é decrescente na representação de um fenômeno físico aplicável a Engenharia em 
um intervalo (a , b), se para quaisquer dois números x1 e x2 em (a , b), f( x1) > f (x2 ), sempre 
que x1< x2; 
Encontre a derivada da função g (x) = x + 2.sen x 
 1 + 2.cos x 
São comuns as interpretações da derivada: geométrica e trigonométrica, isto é, geometricamente, a derivada 
é a reta tangente à uma curva de uma função qualquer y = f(x), em um ponto x0 da mesma, enquanto que 
trigonometricamente seu valor é igual à tangente que essa reta faz com o eixo dos x. Diante das afirmativas 
assinale a alternativa Verdadeira: 
 A afirmativa deixa clara a importância de se definir derivada em um ponto x0 , ou seja, a taxa 
de variação instantânea em qualquer ponto de um fenômeno físico variável representado por 
uma função matemática. 
Sabendo-se que f é uma função da variável x e que ln( f ) representa o logaritmo na base natural da função f, 
considere a seguinte regra de derivação: 
 
[ ln(f )]' = ( f '/ f ) 
Observando a regra estabelecida podemos afirmar que a derivada da função y = ln (x
3 
+ x) em relação a 
variável x no ponto x =1 é igual a 
 y'(1) = 2 
Um ponto de tangente horizontal ao gráfico de y = f(x) é tal que a derivada de f em relação a x é igual a 
zero, isto é, f '(x) = 0. Considerando a função y=x+1x , é possível afirmar que 
 Os pontos de tangente horizontal ao gráfico da função possuem coordenadas iguais a (1, 2) e (-
1, -2). 
A derivada surge como um caso particular de um limite; assim, dada a função y = f(x), a partir das 
diferenças Dx e Dy, representa-se o limite: 
 
Lim (∇y)/(∇x) = dy/dx 
D x ® 0 
 
Quanto a aplicação do conceito de derivada nos vários fenômenos físicos possíveis, assinale a 
alternativa Verdadeira. 
 Trigonometricamente, seu valor é igual à tangente que essa reta faz com o eixo dos x. 
Considere f uma função contínua em [a , b] e diferenciável em (a , b) . 
Se f'' (x) > 0 para todo x em (a , b) então 
f é crescente em [a , b] 
Escreva a equação da reta tangente à parábola y = x
2
 - x no ponto P(2, 2) 
 y = 3x – 4 
A derivada do produto de duas funções pode ser calculada pela fórmula: (UV)' = UV' + U'V. 
Sejam U = sec(2x) e V = tg(3x). Calcule a derivada do produto dessas duas funções. 
 2sec(2x)tg(2x)tg(3x) + 3sec(2x)sec²(3x) 
A função x
3
 + y
3
 = 6xy é conhecida como fólio de Descartes. Encontre a equação da reta tangente à função 
no ponto (3, 3). 
 x + y = 6 
Qual a interpretação geométrica para derivada em um ponto onde x = x0? 
 é a inclinação da reta tangente no ponto onde x = x0 
Considere as funções f(x) = lnx/e
x
 e g(x) = ( ln x )
3
 
Calcule a derivada da soma f(x) + g(x) no ponto x = 1. 
 1/e 
Somente uma das derivadas, em relação a x, das funções abaixo está correta. Assim , assinale a resposta 
correta: 
(a) y=sen(x2) 
(b) y=cos(x2) 
(c) y= sec(x2) 
(d) y=tg(x2) 
(e) y=sen(x). 
 y'=cos(x)2x 
Assinale a única resposta correta da derivada de `y = arcsen(x^3)` 
 `(3x^2)/(sqrt(1 - x^6))` 
Considere a função f(x)=x. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f , representado abaixo, no 
ponto P( 4,2). 
 y=(14)x+1 
Sabendo-se que a variável y é uma função da variável x, considere a função implícita de x descrita pela 
expressão a seguir: x3+y3=6⋅x⋅y .Pode-se então afirmar que o valor da derivada de y em relação a x é dada 
por 
 y'(x)=x2-2⋅y2⋅x-y2 
Um problema típico do Cálculo é a determinação da equação da reta tangente a uma função dada. Assim, 
determine a equação da reta tangente à função y = x
2 
+ 1, no ponto onde x = 1. 
 y = 2x 
 
Sabendo-se que a variável y é dependente da variável x considere a função implícita descrita pela 
equação a seguir: 
 
 x y + 2x - 5y - 2 = 0 
 
Pode-se então afirmar que no ponto (x, y) = (3, 2) a equação da reta normal à curva é dada por: 
 x + 2y = 7 
Encontre a derivada (dy/dx) da função x
3
 - 3 x y = y
3
. 
 y' = (x2 - y) / (x + y2 ) 
Um ponto de tangência horizontal ao gráfico de y=f(x) é tal que a derivada de f(x) é igual a zero, isto 
é f'(x)=0. 
 Considerando a função y=x+1x é possível afirmar que os pontos de tangência horizontal são: 
 (1,2) e (-1,-2) 
A reta 8x - y + 3 = 0 é paralela a reta (r) tangente ao gráfico da curva y = 2x
2 
+ 3. Podemos, então, afirmar 
que a equação da reta (r) é dada por: 
 y = 8x – 5 
Considere duas funções f e g tais que g(x) = f(x2-3⋅x+2) Sabendo-se que a equação da reta tangente ao 
gráfico de f em x = 2 é y=3x - 2 ,determine a equação da reta r, tangente ao gráfico de g em x = 0. 
 y=4 -9x 
Assinale a única resposta correta da derivada de y=arcsen(x3) 
 3x21-x6 
 
 
Determine dois números cuja a soma seja 20 e o produto seja máximo. 
 10 e 10 
Buscar um sonho exige muito trabalho: mental, emocional e físico. Por vezes não é o que se deseja 
fazer,mas para alcançar sonhos precisa-se fazer muitas coisas que não se tem vontade de fazer. Assim num 
programa de televisão " Em busca de um sonho " um candidato à aquisição de sua casa própria chegou a 
última etapa na qual deveria responder a questão: "Sua casa terá um jardim em forma de um triângulo 
retângulo de catetos a e b e hipotenusa igual à 4m.Calcule o valor máximo que pode alcançar a soma do 
triplo de um cateto com o outro cateto." 
 O candidato conseguiu alcançar o seu sonho, porque encontrou o valor ... 
 210Dada a equação y=3x+5 e dxdt=2, calcule dydt quando x=1. 
 6 
 
Na indústria automobilística, observou-se que a procura de uma determinada marca é 
de (510000+4⋅p2)unidades, desde que ela seja vendida a um preço de p milhares de reais por unidade. 
Que preço maximiza o rendimento desse automóvel ? 
 
 50.000 reais 
Na medida em que uma bola de neve de 12 cm de raio inicial derrete, seu raio decresce a uma taxa 
constante. A bola começa a derreter quando t= 0 horas e leva 12 horas para desaparecer. A taxa de variação 
do volume da bola quando t = 6 horas é dada por : 
 - 144 π cm3/s 
Encontre os números críticos de f(x) = x
3/5
(4-x). 
 3/2 e 0 
Dividir o número 120 em 2 partes tais que o produto de uma pelo quadrado da outra seja máximo. 
 80 e 40 
Um corpo é lançado verticalmente para cima, com velocidade de 40m/s, num local em que g = 10 m/s
2
, tem 
posição s em função do tempo t dada pela função horária s(t) = 40t - 5t
2
 com t pertencente ao intervalo [0, 
8]. Qual o tempo gasto para atingir a altura máxima em relação ao solo? 
 4 seg. 
Um psiculturista tem 120m de rede para cercar um criadouro de peixes em cativeiro de base retangular 
que está na margem de um rio reto, com 100m de largura . A margem será um dos lados do criadouro, não 
sendo necessário colocar rede ao longo desta margem e pretende-se que o criadouro tenha a maior área 
possível. 
Marque a alternativa com as dimensões da base retangular do criadouro que satisfaz a condição acima. 
 30mx60m, sendo utilizados 60m da margem do rio como um lados do criadouro. 
Determinar o raio da base de uma lata de refrigerante cilíndrica de volume 350 ml de modo que o material 
gasto na confecção da lata seja mínimo. Dado 1 ml = 1 cm
3
. 
 
Uma população de tâmias se transfere para uma nova região no tempo t = 0. No instante t a população é 
dada por P(t) = 100 (1 + 0,3t + 0,04 t
2
). Podemos então afirmar que a taxa de crescimento da população 
quando P = 200 é dada por: 
 50 tâmias por mês 
 
O proprietátio de um estacionamento de veículos verificou que o preço por dia de estacionamento está 
relacionado com o número de carros que estacionam por dia pela expressão 10 p + 3x = 300. Sabendo 
que p é o preço por dia de estacionamento e x é o número de veículos que estacionam por dia podemos 
afirmar que a receita máxima obtida no dia é de 
 
 R$750,00 
Um balão esférico, que está sendo inflado, mantém sua forma esférica. Seu raio aumenta a uma taxa 
constante de 0,05ms. Calcule a taxa de variação do seu volume no instante em que seu raio vale 2m. 
 0,8πm3s´ 
Um ponto de tangente horizontal ao gráfico de y = f(x) é tal que a derivada de f em relação a x é igual a 
zero, isto é, f '(x) = 0. Considerando a função y=x+1x é possível afirmar que: 
Os pontos de tangente horizontal ao gráfico da função possuem coordenadas iguais a (1, 2) e (-1, -2). Ache 
as dimensões de um retângulo com perímetro de 100m, cuja área é a maior possível 
 X= 25 e y= 25 
Calcule a derivada de f(x)=2x-π e indique a única alternativa correta. 
 (12x-π) 
Um teatro cobra na apresentação de uma peça, p reais por ingresso. O preço do ingresso relaciona-se com o 
número x de freqüentadores por apresentação pela fórmula, p(x) = 100 - 0,5 x ,podemos então afirmar 
que a receita máxima possível em Reais, por apresentação, é dada por: 
 5000 
 
 213 unidades 
Dada a função f(x)=3ae
x-2
- 5bln(3-x), calcule a e b sabendo que f(2)=15 e df(2)dx=20. 
 a =5 e b=1 
Um fazendeiro precisa construir um galinheiro de forma retangular utilizando-se de uma tela de 16 metros 
de comprimento. Sabendo que o fazendeiro vai usar um muro como fundo de galinheiro, determine as 
dimensões do mesmo para que sua área seja máxima. 
 x = 4 m e y = 8 m 
Encontre os valores absolutos máximo e mínimo da função f (x) = x
3
 -3x
2
 + 1 para x pertencente ao 
intervalo fechado [-1/2, 4] 
 máximo absoluto é f(4) = 17 e valor mínimo absoluto f(2) = -3 
Uma indústria de calçados fabrica um certo tipo de sandálias de couro. Após observação, por parte do 
departamento de vendas, conclui-se que o lucro de produção de x unidades deste produto é descrito pela 
função f(x)= -6(x + 3)(x - 67). Para que a fábrica obtenha lucro máximo nas vendas das sandálias, podemos 
afirmar que o total unidades a ser vendido deve ser igual a 
Na medida em que uma bola de neve de 12 cm de raio inicial derrete, seu raio decresce a uma taxa 
constante. A bola começa a derreter quando t= 0 horas e leva 12 horas para desaparecer. A taxa de variação 
do volume da bola quando t = 6 horas é dada por : 
 - 144 π cm3/s 
Uma noção intuitiva para determinar o que é comprimento de uma curva seria o de colocar um barbante 
sobre a curva e medir então o comprimento do barbante. Se f´ for continua em [a,b], então o comprimento da 
curva y=f(x),a≤x≤b é L=∫ab1+[f´(x)]2dx. Calcule o comprimento da curva y=2-3x,-2≤x≤1 
 310 
Encontre a área da região entre as funcões y = x
2
 e y = 2x - x
2 
 1/3 
Qual a área da região delimitada pelas funções f(x) = x
2
 + 1 e g(x) = 3 - x
2
? 
 8/3 
Ache a área da região compreendida pelas curvas x = y
2
 e y = x-2 
 9/2 
Calcule a área da região compreendida sob a curva f(x) = ln(x)/x e as retas x = 1 e x = e. 
 ½ 
A região R, limitada pelas curvas y = x e y = x
2
, é girada ao redor do eixo x. Encontre o volume do sólido 
resultante. 
 2Pi/15 
O traçado de uma estrada tem um trecho em curva que une dois pontos de coordenadas A( 0 , 0 ) e B( 2 , 1 
). A curva é determinada por y = (x2)23. Encontre o comprimento deste trecho da estrada.Obs.: Utilize, se 
necessário, os valores arredondados com duas casas decimais para o caso de números irracionais e dízimas 
periódicas tais como: 10=3,16; π=3,14; 5=2,24 ; 13 = 1,33 , entre outros. 
 2,27 U.C 
Calcule a integral definida ∫04xx2+9dx 
 983 
Encontre a área sob a curva y = e
x 
compreendida pelas retas x = 1 e x = 3 
 e3 – e 
As primeiras ideias do Cálculo surgiram na Grécia antiga, há 2500 anos atrás. Naquela época os gregos já 
sabiam calcular a área de qualquer região poligonal, dividindo-a em triângulos e somando as áreas obtidas. 
Para o cálculo de áreas de regiões planas limitadas por curvas, eles usavam o chamado Método da Exaustão. 
Esse método consistia em considerar polígonos inscritos e circunscritos à região. No prosseguimento desta 
história a matemática evolui. Assinale as alternativas falsas ou verdadeiras a seguir: 
 Aumentando o número de lados dos polígonos inscritos na área a ser calculada, eles 
conseguiam chegar a valores bem próximos do valor real da área. 
Calcule a área compreendida pelas funções f(x) = x
4
 e g(x) = x. 
 3/10 
Calcule a área da região do plano limitada pelos gráficos das funções : y=x ; y=2 e y=1x. 
 1 
As funções y = 5x - x
2
 e y = x formam uma região no primeiro quadrante. Quais os limites de integração 
compreendidos no eixo x para o cálculo da área 
 x = 0 a x = 4 
Calcule ∫13lnxdx pelo Método da Integração por Partes. 
 3ln3 - 2 
A integral indefinida ∫ 8xdx9+4x2 tem sua solução através da utilização de uma sustituição para reduzí-la à 
forma padrão. 
Marque a opção correspondente à forma padrão (fórmula) utilizada na resolução desta integral 
 ∫ un du = un+1n+1 + C 
Seja m um número positivo. Considere a integral definida dada a seguir ∫1mxdx=32 .Pode-se afirmar que o 
valor da integral está correto se m for igual a: 
 2 
 
 10 
A integral indefinida ∫dxxcos(lnx) tem sua solução através da utilização de uma substituição para reduzí-la à 
forma padrão. Marque a opção correspondente à forma padrão (fórmula) utilizada na resolução 
 ∫secudu=ln|secu+tg u|+C 
O cálculo da integral definida ∫-11 2x21+x3dx tem como resultado 
 892 
 
 
 
 
 
(-3.4
1/3
-3)/4 
Considere as afirmativas abaixo sendo f uma função derivável e x=c um ponto interior ao domínio de f . 
(i) Se f'(c) = 0 ou f'(c) não existe então f possui um ponto crítico quando x=c 
(ii) Se f'(c) = 0 e f''(c)<0 então f possui um mínimo local quando x=c e Se f'(c) = 0 e f''(c)>0 então 
f possui um máximo local quando x=c 
(iii) Se f'(c) = 0 e f''(c)>0 então f possui um mínimo local quando x=c e Se f'(c) = 0 e f''(c)<0 então 
f possui um máximo local quando x=c 
(iv) Se f'(c) = 0 e f''(c)= 0 nada se conclui a priori 
 (i), (iii) e (iv) são verdadeiras; (ii) é falsa. 
O Método de Integração por Partes permite, em casos, nos quais a derivada sucessiva de um dos fatores do 
integrando se anule, que se use o Método de Integração Tabelar. Avalie se a integral dada abaixo pode ser 
calculada por tal Método. Caso positivo, indique a resposta verdadeira. 
Calcule ∫x4exdx 
 
x4ex-4x3ex+12x2ex-24xex+24ex 
Resolva a integral indefinida F=∫x.(3x2 + 2)100dx em função de x. 
 (3x2 + 2)101/ 606 +C 
A técnica de completar quadrados torna-se muito útil quando se deseja, de imediato, saber as coordenadas 
 do vértice de uma parábola. É, também, utilizada como um dos métodos de integração. A forma canônica 
conhecida é : f(x) = a(x - xv )² - yv , onde xv e yv são as coordenadas do vértice. Portanto, aplicando a 
técnica de completar quadrados, determine as coordenadas da parábola: f(x) = 2x - x². 
 xv = 1 e yv = 1 
Qual o valor da integral indefinida da função e
5x 
? 
 (1/5).e5x + C 
Considere duas funções f e g tais que g(x) = f(x2-3⋅ x+2) Sabendo-se que a equação da reta tangente ao 
gráfico de f em x = 2 é y=3x - 2 ,determine a equação da reta r, tangente ao gráfico de g em x = 0. 
y=4 -9x 
Dada a função y=x3+4x2-5, determine a reta tangente no ponto (-1, -2) e indique a única alternativa correta. 
 y+5x+7=0 
No instante t = 0, um tanque contém 4 libras de sal dissolvido em 100 galões de água. Suponha que a água 
salgada contendo duas libras de sal por galão é acrescentada ao tanque a uma taxa de 5 galões por minuto, e 
que a solução misturada é drenada do tanque à mesma taxa. Ache a quantidade de sal no tanque após 10 
minutos. 
 81,1 
Uma aplicação de derivadas fornece o coeficiente angular da equação da tangente à curva num ponto 
considerado. Estabeleça a equação da tangente à curva y
3 
+ 1 = x
2 
- 4xy no ponto (-1,2). 
 4y=-5x+3 
Dada a equação 4x2+9y2=1 e dxdt=3, calcule dydt quando (x,y)=(122,132). 
 -2