Vetor CÁLCULO VETORIAL

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Cálculo Vetorial 
Profª.: Aline Viana de Souza
avianadesouza@yahoo.com.br
PLANO DE CURSO
 Vetores;
Produto de vetores;
Retas;
Planos;
Cônicas;
 JULIANELLI, José Roberto. Cálculo vetorial e geometria analítica. Rio de
Janeiro: Ciência Moderna, 2008.
 WINTERLE, Paulo. Vetores e geometria analítica. São Paulo: Makron,
2006.
 STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Geometria analítica. São
Paulo: Makron, 2006.
BIBLIOGRAFIA
VETOR
Segmento de reta orientado com:
 Direção: Horizontal ou Vertical;
 Sentido: Direita ou Esquerda;
 Intensidade: Módulo ou Tamanho;
 PLANO  ESPAÇO
VETOR
VETOR
EXPRESSANDO UM VETOR COMO COMBINAÇÃO LINEAR i E j
Sejam P =(-1, 5) e Q = (3, 2). Escreva o vetor v = 𝑃𝑄 como uma
combinação linear de i e j.
v = Q – P = 3 − −1 , 2 − 5 = 4,−3
v = 4i – 3j
EXERCÍCIOS
1. Determine as coordenadas do vetor 𝐴𝐵 para os seguintes pontos
abaixo. Expresse-os como uma combinação linear i, j e k e represente –
os no plano cartesiano.
a) A = ( 2, 5) e B = ( - 4, 0) b) A = ( -1, 3, 2) e B = ( 4, 3, -3)
2. Sendo B = (8, 3), determine as coordenadas do ponto A, sabendo
que o vetor 𝐴𝐵 = (−5, 4).
MÓDULO DE UM VETOR
É a distância entre o ponto inicial e a extremidade de um vetor.
𝑅2: 𝐴𝐵 = (𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2
𝑅3: 𝐴𝐵 = (𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2 +(𝑧2 − 𝑧1)2
OBSERVAÇÕES
 VETOR NULO: é o vetor de módulo zero: 𝐴𝐵 = 0;
VETOR UNITÁRIO: é o vetor de módulo igual a uma unidade: 𝐴𝐵 = 1;
 VERSOR DE UM VETOR: é o vetor unitário com a mesma direção e
sentido do vetor 𝑣. Indica – se: 𝑣′.
 𝑣 = 3 ; 𝑢1 = 𝑢2 = 1
⇒ 𝑣′ = 𝑢1 ∴ 𝑣
′ = 𝑣/ 𝑣
1

u 2

u

v
EXEMPLO
Dado os pontos A = (3, -2) e B = (6, -6). Determine:
a) O vetor 𝐴𝐵
𝐴𝐵 = B – A
𝐴𝐵
= 6 − 3 , (−6 − (−2))
𝐴𝐵 = 3,−4
b) 𝐴𝐵
𝐴𝐵 = 32 + (−4)2
𝐴𝐵 = 9 + 16
𝐴𝐵 = 25 = 5
c) 𝐴𝐵’
𝐴𝐵′ =
3
5
𝑖 −
4
5
𝑗
EXERCÍCIOS
1. Dados os pontos A = (4, -2) e B = (7, 2), calcule:
a) 𝐴𝐵 b) 𝐴𝐵 c) 𝐴𝐵’
2. Considere o vetor 𝑢 = 2,−1 , determine:
a) 𝑢 b)𝑢′
3. Determine o valor de m, sabendo que o vetor 𝑟 =
2
3
, 𝑚 é unitário.
IGUALDADE DE VETORES
Dois vetores 𝐴𝐵 e 𝐷𝐶 são iguais se e somente se, os dois segmentos
orientados que os representam possuem as mesmas coordenadas.
Se 𝑣1 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1)
𝑣2 = (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2)
𝑣1 = 𝑣2 ⟺ 𝑥1 = 𝑥2, 𝑦1 = 𝑦2, 𝑧1 = 𝑧2
EXERCÍCIOS
1. Determine o valor de x e y para que os pares ordenados sejam iguais:
a) (2 + x, y – 3) = (– 4, 7)
b) (2x + y, 3x – y) = (2, 8)
c) (x, 3 – y) = (4, 7)
2. O ponto P = (2m – 4, 3) pertence ao eixo das ordenadas. Determine m.
OPERAÇÕES COM VETORES
1. ADIÇÃO
Sejam os vetores 𝑣1 = 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 e 𝑣2 = (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) em 𝑅
3.
A soma 𝑣1 + 𝑣2 é o vetor definido por:
𝑣1 + 𝑣2 = (𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 + 𝑦2, 𝑧1 + 𝑧2)
OPERAÇÕES COM VETORES
1. ADIÇÃO
Exemplo:
Dados 𝑣1 = −1,2,1 e 𝑣2 = (−2,−5, 3) em 𝑅
3.
A soma 𝑣1 + 𝑣2 é o vetor definido por:
𝑣1 + 𝑣2 = (−1 + (−2), 2 + (−5), 1 + 3) = (−3,−3, 4)
OPERAÇÕES COM VETORES
2. SUBTRAÇÃO
Sejam os vetores 𝑣1 = 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 e 𝑣2 = (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) em 𝑅
3.
A diferença 𝑣1 - 𝑣2 é igual à soma 𝑣1 + (- 𝑣2):
Onde - 𝑣2 = vetor oposto de 𝑣2.
𝑣1 + (- 𝑣2) = (𝑥1 + (−𝑥2), 𝑦1 + (−𝑦2), 𝑧1 + (−𝑧2))
OPERAÇÕES COM VETORES
2. SUBTRAÇÃO
Exemplo:
Dados 𝑣1 = −1,2,1 e 𝑣2 = (−2,−5, 3) em 𝑅
3.
A diferença 𝑣1 - 𝑣2 é o vetor definido por:
𝑣1 - 𝑣2 = (−1 + (+2), 2 + (+5), 1 + (−3) = (1, 7, −2)
OPERAÇÕES COM VETORES
3. PRODUTO POR UM NÚMERO REAL
O produto de um vetor 𝐴 por um número real k ≠ 0 é um vetor de
mesma direção que 𝐴.
 Mesmo sentido de 𝐴 se k > 0;
 Sentido contrário de 𝐴 se k < 0;
 Módulo é k . 𝐴 ;
EXERCÍCIOS
1. Determine 𝑢1 - 𝑢2, 2𝑢1 , −3𝑢2, 2𝑢1 − 3𝑢2, quando:
a) 𝑢1 = ( 4,−5, 1) 𝑢2 = 0,3, −2
b) 𝑢1 = ( 2, 0) 𝑢2 = (−1, 1)
2. Determine as coordenadas do vetor
 𝑣 = 3 1, 0, 1 − 4 0, 1 , 1 − 3 1,−1, 0 .
ÂNGULO ENTRE VETORES
O ângulo θ entre 𝑢 = 𝑥1, 𝑦1 e 𝑣 = 𝑥2, 𝑦2 é por definição o menor
ângulo segundo o qual 𝑢 deve girar para se tornar colinear com 𝑣 e é
tal que 0° < 𝜃 < 180° .
cos 𝜃 =
𝑥1. 𝑥2+𝑦1. 𝑦2
𝑢 . 𝑣
OBSERVAÇÕES:
𝑥1. 𝑥2 + 𝑦1. 𝑦2= 𝑢 . 𝑣
 𝑢 . 𝑣 = 0 ⟹ 𝑢 𝑒 𝑣 forma um ângulo reto.
 𝑢 . 𝑣 > 0 ⟹ 𝑢 𝑒 𝑣 forma um ângulo agudo.
 𝑢 . 𝑣 < 0 ⟹ 𝑢 𝑒 𝑣 forma um ângulo obtuso.
ÂNGULO ENTRE VETORES
EXEMPLO
Determine o ângulo formado pelos vetores
𝑢 = ( 3, 1) e 𝑣 = (3, 0).
cos 𝜃 =
3 . 3 + 1.0
( 3)2+ 12 . 32 + 02
=
3 3
4 . 9
=
3
2
Logo 𝜃 = 30°
ÂNGULO ENTRE VETORES
EXERCÍCIOS
1. Determine a medida do ângulo entre os seguintes vetores:
a) 𝑢 = (2, 0, −3) e 𝑣 = (1, 1, 1).
b) 𝑢 = (1, 10, 200) e 𝑣 = (−10, 1, 0).
c) 𝑢 = (3, 3, 0) e 𝑣 = (2, 1, −2).
d) 𝑢 = (
3
2
,
1
2
, 0) e 𝑣 = (
3
2
,
1
2
, 3).
ÂNGULOS DIRETORES e 
COSSENOS DIRETORES
EXEMPLO:
ÂNGULOS DIRETORES e 
COSSENOS DIRETORES
• PROPRIEDADES:
ÂNGULOS DIRETORES e 
COSSENOS DIRETORES
EXERCÍCIOS
1.
2. 
3.