Qualidade unid II

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Unidade II
Unidade II
5 CAPABILIDADE DE PROCESSOS EXERCÍCIOS
5.1 Exercícios
1. Um processo está caracterizado por uma distribuição normal com média de 52 g e um desvio-
padrão de 1,5 g. Sabendo que as especificações de nosso cliente são de 50 ± 4 g. Pede-se:
a) O Cp e o Cpk .
Solução:
Cálculos de Cp e Cpk:
b) Um esboço da representação gráfica, mostrando os limites, Cp e Cpk
c) A porcentagem aproximada em ppm dos itens fora de especificação.
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QUALIDADE
A figura a seguir ilustra graficamente os resultados obtidos:
Para estimativa da quantidade de defeitos, iremos utilizar a tabela a seguir, em que os valores de Cp 
e Cpk diferem:
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Unidade II
Considerando o valor mais próximo da tabela (0,50) corresponde aproximadamente, a 66807 ppm 
no limite superior:
Considerando o valor mais próximo da tabela (1,33), corresponde, aproximadamente a 32 ppm no 
limite superior.
2. Considere a média e a amplitude de 20 amostras de tamanho n = 4 representadas na tabela a seguir:
Determine a porcentagem de itens fora das especificações (994,0 – 1006,0), o Cp e o Cpk para as 
seguintes situações:
1. A média X = 1000 e o desvio-padrão = 2,0
2. A média X aumenta para 1002,0 e o desvio-padrão mantém-se em 2,0
3. A média X aumenta para 1002,0 e o desvio-padrão dobra, passando, portanto, para 4,0
3. Amostras de tamanho n = 6 são retiradas de um processo em intervalos regulares de tempo. A 
característica de qualidade (normalmente distribuída) é medida e são calculados os valores de X e R para 
cada amostra. Após 40 amostras, obtém-se:
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QUALIDADE
a) Se os limites de especificação são 33 +/- 4,0, que conclusões podem ser tiradas acerca da 
capacidade do processo de produzir itens dentro das especificações?
b) Nesse processo, ocorre retrabalho quando um item excede o limite superior de especificação, e 
ocorre refugo quando um item está abaixo do limite inferior de especificação. Quais os percentuais 
de retrabalho e refugo que o processo está produzindo?
c) Se o processo estivesse centrado em X = 33, qual seria o efeito nos percentuais de retrabalho e 
refugo?
6 CARTAS DE CONTROLE
6.1 Conceito
É a mudança da tendência no decorrer do tempo. Um processo de medição estável está sob controle 
estatístico com respeito à localização, também conhecida como deslocamento lento e gradual.
A estabilidade do sistema de medição é um estudo que visa, inicialmente, a demonstrar que o sistema 
mantém a confiabilidade ao longo do tempo, enquanto a análise de repetibilidade e a reprodutibilidade 
apresentam o resultado instantâneo que, naquele momento, o sistema é potencialmente capaz de 
atender nossa necessidade por acurácia de medidas, o estudo da estabilidade nos mostra se ele mantém 
essas propriedades ao longo do tempo.
6.2 Carta de controle
A utilização da carta de controle compreende duas etapas. Em primeiro lugar é necessário montar 
a carta, determinando os limites de controle. Uma vez concluída com sucesso a montagem da carta, 
passa-se a controlar o processo por meio dela, medindo a variável controlada, marcando os pontos na 
carta e verificando as condições do processo sob controle.
Quando o processo está sob controle, deve-se deixá-lo funcionar. Quando o processo sai de controle, 
é necessário corrigi-lo, interrompendo-o, se necessário, para investigações e correções.
6.3 Gráfico da média - gráfico X
Um gráfico X apresenta as variações observadas nas médias da característica de qualidade em 
amostras selecionadas. Os limites de controle para o gráfico X serão:
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Unidade II
As constantes utilizadas para os cálculos dos limites estão tabeladas no quadro 1 abaixo:
6.4 GRÁFICO DA AMPLITUDE (R)
Na seção anterior ficou claro que os limites do gráfico X dependem de uma estimativa de σ′, o desvio-
padrão do processo. Ass im é preciso, antes de se construir o gráfico X , verificar se a variabilidade do 
processo está sob controle. Isso porque, existem causas especiais atuando no aumento ou na diminuição 
da variabilidade do processo, os limites do gráfico X ficarão comprometidos.
Existem duas formas de medir a variabilidade do processo: pelo desvio-padrão e pela amplitude. 
Trataremos apenas da amplitude, que é a forma mais difundida. Como anteriormente, para construir o 
gráfico da amplitude, é preciso obter a linha média e os limites de controle. Essas quantidades são dadas 
pelas seguintes expressões:
D3 e D4 são lidos no Quadro 1:
6.5 Processo fora de controle
Quando um ponto, correspondente a um subgrupo, cai fora dos limites de controle, o processo está 
fora de controle, ou trata-se de um processo instável. Isso significa que uma causa especial de variação 
está presente. Uma regra prática para verificar se um processo está sob controle é dividir o intervalo 
entre o limite superior e o limite inferior de controle em 6 faixas, conforme mostrado na figura 3 a 
seguir, e verificar a distribuição dos pontos nessas faixas. Cerca de 34% dos pontos devem estar em cada 
faixa C, 13,5% dos pontos em cada faixa B e 2,5% dos pontos em cada faixa A.
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Um processo também pode ser considerado fora de controle, mesmo quando todos os pontos 
caem dentro dos limites de controle. Essa situação ocorre quando um padrão de variação anormal 
está presente no processo. Não é normal que 9 ou mais pontos consecutivos se situem do mesmo lado 
da linha média. Também não é normal quando 15 pontos consecutivos se situam dentro da faixa ±1σ 
em torno do valor central. A probabilidade de ocorrência de um padrão normal é, aproximadamente, 
igual à probabilidade de um ponto cair além dos limites de ±3σ. Alguns desses padrões anormais estão 
descritos e ilustrados na figura a seguir.
1. Padrão 1: Um único ponto além da A, ou seja, acima do limite superior ou inferior de controle;
2. Padrão 2: Nove pontos consecutivos do mesmo lado do valor central, ou seja, todos os nove 
pontos acima ou abaixo da linha média;
3. Padrão 3: Seis pontos consecutivos continuamente aumentando ou diminuindo no gráfico;
4. Padrão 4: Quatorze pontos consecutivos alternando-se para cima e para baixo, no gráfico;
5. Padrão 5: Dois em três pontos consecutivos situados na zona A do gráfico;
6. Padrão 6: Quatro em cinco pontos consecutivos nas zonas A ou B de um mesmo lado do gráfico;
7. Padrão 7: Quinze pontos consecutivos situados na zona C acima ou abaixo da linha média;
8. Padrão 8: oito pontos consecutivos de ambos os lados da linha média com nenhum situado na 
zona C
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Unidade II
Exemplo: Você trabalha em uma empresa de autopeças que produz eixos para sistemas de transmissão. 
Uma das peças produzidas deve estar dentro das seguintes especificações: 250 +/- 50. No entanto, um 
problema crônico no processo temproduzido peças fora das especificações, resultando em scraps e 
retrabalhos. Dessa maneira, o supervisor deseja construir uma carta de controle ao longo do tempo para 
monitorar a variação desse processo. A amostragem utilizou um subgrupo de tamanho 5 e 20 amostras 
ao longo do mês, conforme tabela a seguir. Pede-se construir a carta da média e da amplitude.
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QUALIDADE
Para cada subgrupo calcularemos a amplitude R, diferença entre o maior e o menor valor e a média. 
Em seguida calcularemos a média de todas as médias e a média das amplitudes. Os valores estão 
representados na tabela a seguir.
máx mín r x
Càlculo dos limites de Controle para o gráfico das médias:
Um gráfico X apresenta as variações observadas nas médias da característica de qualidade em 
amostras selecionadas. Os limites de controle para o gráfico X serão:
O valor A2 foi retirado por meio da tabela de constantes, considerando o tamanho do subgrupo n=5.
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Unidade II
Cálculo dos limites de Controle para o gráfico das amplitudes:
Os valores D3 e D4 foram obtidos por meio da tabela de constantes considerando o tamanho do 
subgrupo n=5.
De posse dos valores dos limites de controles para o gráfico das médias e das amplitudes, iremos plotar 
individualmente as médias e as amplitudes para construção das cartas. O gráfico a seguir representa a 
situação desse processo:
Pela análise gráfica, pode-se perceber que não houve a ocorrência de nenhum dos oito testes 
estatísticos, portanto, podemos dizer que o processo é estável.
7 CARTAS DE CONTROLE
7.1 Exercício
Para o exercício resolvido utilizaremos a tabela e os 8 testes estatísticos.
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Um processo também pode ser considerado fora de controle, mesmo quando todos os pontos 
caem dentro dos limites de controle. Essa situação ocorre quando um padrão de variação anormal 
está presente no processo. Não é normal que 9 ou mais pontos consecutivos se situem do mesmo lado 
da linha média. Também não é normal quando 15 pontos consecutivos se situam dentro da faixa ±1σ 
em torno do valor central. A probabilidade de ocorrência de um padrão normal é, aproximadamente, 
igual à probabilidade de um ponto cair além dos limites de ±3σ. Alguns desses padrões anormais estão 
descritos e ilustrados na figura a seguir.
1. Padrão 1: Um único ponto além da A, ou seja, acima do limite superior ou inferior de controle;
2. Padrão 2: Nove pontos consecutivos do mesmo lado do valor central, ou seja, todos os nove 
pontos acima ou abaixo da linha média;
3. Padrão 3: Seis pontos consecutivos continuamente aumentando ou diminuindo, no gráfico;
4. Padrão 4: Quatorze pontos consecutivos alternando-se para cima e para baixo, no gráfico.
5. Padrão 5: Dois em três pontos consecutivos situados na zona A do gráfico;
6. Padrão 6: Quatro em cinco pontos consecutivos nas zonas A ou B de um mesmo lado do gráfico;
7. Padrão 7: Quinze pontos consecutivos situados na zona C acima ou abaixo da linha média;
8. Padrão 8: oito pontos consecutivos de ambos os lados da linha média com nenhum situado na 
zona C.
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Exemplo: Você trabalha em uma empresa de autopeças que produz eixos para sistemas de transmissão. 
Dessa maneira, o supervisor deseja construir uma carta de controle ao longo do tempo para monitorar 
a variação desse processo. A amostragem utilizou um subgrupo de tamanho 5 e 20 amostras ao longo 
do mês, conforme tabela a seguir. Pede-se construir a carta da média e da amplitude.
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Amostra 1 2 3 4 5 Maior Menor Amplitude Média
1 31 29 40 36 26 40 26 14 32,4
2 34 26 31 31 31 34 26 8 30,6
3 36 26 22 31 16 36 16 20 26,2
4 33 31 31 35 33 35 31 4 32,6
5 30 31 33 31 20 33 20 13 29
6 29 28 32 28 41 32 28 4 31,6
7 35 33 30 29 41 35 29 6 33,6
8 18 38 34 35 30 38 18 20 31
9 41 31 33 31 32 41 31 10 33,6
10 32 28 32 36 25 36 25 11 30,6
11 31 38 20 44 26 44 20 24 31,8
12 31 36 32 28 20 36 20 16 29,4
13 27 32 28 25 23 32 23 9 27
14 31 33 36 35 34 36 31 5 33,8
15 27 32 28 25 23 32 23 9 27
16 35 33 37 36 39 37 33 4 36
17 31 33 36 35 34 36 31 5 33,8
18 27 26 23 25 23 27 23 4 24,8
19 27 32 28 25 23 32 23 9 27
20 31 33 36 35 34 36 31 5 33,8
10 30,78
Cálculo dos limites de Controle para o gráfico das médias:
Um gráfico X apresenta as variações observadas nas médias da característica de qualidade em 
amostras selecionadas. Os limites de controle para o gráfico X serão:
O valor A2 foi retirado pela tabela de constantes considerando o tamanho do subgrupo n=5.
Càlculo dos limites de Controle para o gráfico das amplitudes:
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Os valores D3 e D4 foram obtidos pela tabela de constantes considerando o tamanho do 
subgrupo n=5.
De posse dos valores dos limites de controles para o gráfico das médias e das amplitudes, iremos plotar 
individualmente as médias e as amplitudes para construção das cartas. O gráfico a seguir representa a 
situação desse processo:
Pela análise gráfica pode-se perceber que houve a ocorrência do padrão 8 para o gráfico das médias e do 
padrão 1 para o gráfico das amplitudes. Portanto, conclui-se que o processo não é estatisticamente estável.
8 FERRAMENTAS DA QUALIDADE
8.1 INTRODUÇÃO
Com a finalidade de estudar métodos estatísticos utilizados em Controle Estatístico de Processo 
(CEP), faremos, inicialmente, uma breve abordagem aos conceitos básicos de estatística.
Os métodos que a Estatística utiliza são aplicáveis a todas as ciências, sendo que alguns são mais 
utilizados em uma área do que em outra. Assim, por exemplo, os métodos de controle estatístico da 
qualidade são mais utilizados nas indústrias e em serviços.
Na indústria sua utilização vai desde o recebimento de matéria-prima, passando por todas as 
etapas de transformação, inspeção de qualidade do produto (na fase do acabamento) e terminando na 
colocação do produto acabado no mercado consumidor. Pode-se dizer que a utilização dos métodos 
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QUALIDADE
estatísticos de controle de qualidade é hoje a grande responsável pelo sucesso da indústria japonesa 
em todos os setores de atividade. É claro que esses métodos não constituem nenhuma novidade, mas 
o que deve ressaltar é o caráter sério e racional com que os japoneses os impuseram em seu programa 
industrial, com o emprego de profissionais capacitados.
8.2 Coleta de dados
Não existem na natureza dois elementos exatamente iguais; sempre há variação. Essa é uma das 
razões dos projetos de engenharia incluírem tolerância em especificações; é o reconhecimento de que a 
variação está presente nos produtos.
Existem, basicamente, dois tipos de variação: a aleatória (também chamada de variação comum ao 
processo) e a não aleatória que tem origem em causas especiais que devem ser eliminadasa fim de que 
se consiga uma maior uniformidade nos produtos ou dos serviços produzidos.
Para estudar a variação existente nos processos, é necessário fazer observações, isto é, coletar dados.
Os principais métodos que permitem coletar dados estatísticos são o levantamento completo e a 
amostragem. No levantamento completo estudam-se as variáveis de interesse em todos os elementos 
que compõem um universo (população) claramente definido. Por exemplo, algumas indústrias fazem 
inspeção completa considerando cada item como defeituoso ou não defeituoso em toda sua produção 
(aqui, o universo é toda a produção). As desvantagens mais sérias desse método são o elevado custo, 
pois significa trabalhar com volumes de informações muito grandes (toda produção) e a consequente 
demora na obtenção dos resultados, além de cometer erros na leitura e no tratamento dos dados.
A amostragem é entendida como um levantamento parcial das variáveis de interesse dos elementos que 
compõem o universo. É dito parcial uma vez que se considera uma fração do universo, isto é, uma amostra.
Suas grandes vantagens são, obviamente, o custo, que, em geral, é muito inferior ao do levantamento 
completo, o tempo gasto na coleta dos dados e a fidedignidade das informações que ela traz como em 
uma pesquisa de opinião pública, por exemplo. Observação: Entende-se por processo uma série de ações 
ou operações, influenciada por vários fatores que contribuem para um eventual resultado. Por exemplo, 
na indústria, processo é a combinação de máquinas, métodos, mão de obra, medição, meio ambiente e 
materiais (6M) sobre aceitabilidade de um determinado produto no mercado consumidor. Utiliza-se um 
questionário para se fazer a coleta de dados.
Na indústria, quando se está acompanhando o processo pior meio de gráficos de controle, não 
se faz questionário algum; mas deve ser confeccionado um impresso apropriado, prevendo tomar as 
informações do equipamento, nome do operário que está fazendo a coleta de dados, nome ou número 
da operação, especificação de engenharia, critérios do depto, métodos e processos; enfim, tudo o que 
seja relevante para identificação dos registros efetuados.
Em outras situações é necessário apenas a confecção de uma simples planilha para sistematizar a 
coleta de dados. Na prática, a coleta de dados é feita utilizando as chamadas folhas de verificação.
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8.3 Folha de verificação
As folhas de verificação são uma ferramenta de fácil compreensão, usada para responder a pergunta: 
“Com que frequência certos eventos acontecem?”. Ela inicia o processo transformando opiniões em 
fatos. A construção da folha de verificação envolve as seguintes etapas:
• Estabelecer exatamente qual evento está sendo estudado. Todos têm que observar a mesma coisa;
• Definir sobre o período durante o qual os dados serão coletados;
• Construir um formulário claro e de fácil manuseio, certificando-se de que todas as colunas estão 
claramente utilizadas e que há espaço suficiente para registro de dados;
• Coletar os dados honestamente. Certifique-se de haver tempo para a tarefa de coleta de dados.
Para ilustrar a coleta de dados (folha de verificação), observe um exemplo da tabela a seguir:
8.4 Gráfico de pareto
O Gráfico de Pareto é um tipo especial de gráfico que possibilita separar os poucos problemas que são 
realmente importantes, em termos de quantidade ou em termos de custo, daqueles muitos que não têm 
grande importância, de modo que seja possível concentrar a atenção nos aspectos realmente prioritários. 
Elaborado por meio de uma folha de verificação ou em uma outra fonte de coleta de dados, ajuda a 
dirigir nossa atenção a esforços para problemas verdadeiramente importantes. Em geral, teremos melhores 
resultados se atuarmos na barra mais alta do gráfico do que nos embaraçando nas barras menores.
Exemplo: Em uma fábrica de autorrádios, em um determinado período de tempo, observou-se os 
seguintes problemas:
Identificação Problema Frequência (no de vezes)
A Sintonia com jogo 253
C Parafuso solto 69
B Ponteiro pulando 146
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E Material estranho 29
D Outros problemas 52
Total 549
A análise de Pareto consiste em relacionar os problemas em ordem de importância. Nesse exemplo 
estamos interessados em ordenar os problemas quanto às suas quantidades (frequências). Calculam-se 
as porcentagens de contribuição de cada um:
Sintonia com jogo (253/549)X100% = 46,1%
Parafuso (69/549)X100% = 12,6%
Ponteiro pulando (146/549)X100% = 26,6%
Material estranho (29/549)X100% = 5,3 %
Outros problemas (52/549)X100% = 9,4%
O próximo passo é ordenar os problemas, do maior (o que tem maior porcentagem) para o menor 
(que tem menor porcentagem).
Identificação Problema Porcentagem
A Sintonia com jogo 46,1%
B Ponteiro pulando 26,6%
C Parafuso solto 12,6%
D Outros problemas 9,4%
E Material Estranho 5,3%
Façamos agora o gráfico de Pareto, que nada mais é do que um gráfico de colunas ordenadas, 
colocando-se no eixo horizontal os problemas ordenados e no eixo vertical as porcentagens:
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Unidade II
Exemplo de Gráfico de Pareto
Considerando o exemplo anterior, faça agora o gráfico de Pareto, considerando o custo total para o 
reparo de cada defeito.
Problema Frequência Custo de reparo Por unidade total Classificação Porcentagem
Sintonia com jogo 253 0,25
Parafuso solto 69 0,10
Ponteiro pulando 146 0,60
Material Estranho 29 0,05
Outros problemas 52 0,25 (em média)
Total - -
8.5 Diagrama de causa e efeito
O Diagrama de Causa e Efeito é uma ferramenta utilizada para apresentar a relação existente entre 
um resultado de um processo (efeito) e os fatores (causas) do processo que, por razões técnicas, possam 
afetar o resultado considerado.
Frequentemente, o resultado de interesse do processo constitui um problema a ser solucionado 
e, então, o diagrama de causa e efeito é utilizado para sumarizar e apresentar as possíveis causas 
do problema considerado, atuando como um guia para a identificação da causa fundamental desse 
problema e para a determinação das medidas corretivas que deverão ser adotadas.
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QUALIDADE
Para cada efeito, existem, seguramente, inúmeras categorias de causas. As causas principais podem 
ser agrupadas sobre seis categorias conhecidas como 6M: método, mão de obra, material, medição, 
meio ambiente e máquina.
Um diagrama de causa e efeito bem detalhado tomará a forma de uma espinha de peixe e daí o 
nome alternativo de diagrama espinha de peixe. A partir de uma bem definida lista de possíveis causas, 
as mais prováveis são identificadas e selecionadas para uma melhor análise. Quando examinar cada 
causa, observe fatos que mudaram, como, desvios da norma ou dos padrões. Lembre-se de eliminar 
a causa e não o sintoma do problema. Investigue a causa e seus contribuidores tão a fundo quanto 
possível.
Etapas na construção do Diagrama de Causa e Efeito:
1. Comece o processo estabelecendo de comum acordo uma definição que descreva o problema 
selecionado em termos claros do que seja, onde ocorre, quando ocorre e sua extensão.
2. A pesquisa das causas para construção do diagrama de causa e efeito é feita por um dos seguintes 
métodos:
• Um brainstormingconduzido sobre as possíveis causas, sem preparação prévia.
• Incentive os membros do grupo a dispender algum tempo, entre as reuniões, no uso da folha de 
verificação para detectar causas e examinar as etapas do processo mais de perto.
3. Construa o diagrama de causa e efeito atual:
• Colocando o problema já definido no quadro à direita;
• Desenhando as tradicionais categorias de causas (6M) para o processo produtivo e/ou qualquer 
outra causa que auxilie a organização dos fatos mais importantes:
• Aplicando o resultado do brainstorming para as apropriadas categorias principais;
• Para cada causa, questione: Por que isso acontece?, relacionando as respostas como contribuidores 
da causa principal.
4. Interpretação
• Observe as causas que aparecem repetidamente.
• Obtenha o consenso do grupo.
• Colete os dados para determinar a frequência relativa das diferentes causas.
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Unidade II
Interpretação/Utilização típica para o diagrama de causa e efeito:
• Procure não sair fora da área de responsabilidade do grupo a fim de minimizar frustrações.
• Se as ideias surgem muito lentamente, use as categorias principais das causas como catalisadores. 
Ex: O que em material é causador?
• Utilize o mínimo de palavras possível
• Certifique-se da concordância geral quanto à definição do problema.
A figura a seguir apresenta a estrutura de um diagrama de causa e efeito. Como a sua forma lembra 
o esqueleto de um peixe, ele também é conhecido como Diagrama Espinha de Peixe.
Cause-and-Effect Diagram
Escolha uma das alternativas a seguir e monte um Diagrama de Causa e Efeito: Elevado consumo 
de combustível de um automóvel, Atraso para um encontro, elevado consumo de água em um edifício 
residencial, Discagem do número de telefone errado, Erros de datilografia, outros.
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QUALIDADE
5 Porquês
8.6 Diagrama de dispersão,coeficiente de correlação e regressão
Em algumas situações é interessante considerar duas variáveis para dar resposta a alguma 
investigação. Por exemplo, será que existe associação entre horas de treinamento e produtividade para 
os operários de uma determinada fábrica?
Bem, se tivermos dados de ambas as variáveis ao longo do tempo, isto é, pares de valores, por exemplo, 
mês a mês, poderemos usar um gráfico, chamado diagrama de dispersão, e verificar qual o comportamento.
Vamos supor que temos os dados apresentados na tabela a seguir:
Operário Horas de treinamento (X) Produtividade (Y) 1000 unidades
1 2 20
2 4 28
3 6 35
4 8 48
5 10 54
6 12 58
7 14 60
8 16 61
9 18 60
10 20 62
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Unidade II
Portanto, conforme mostrado no gráfico a seguir, verifica-se que há uma tendência entre horas 
de treinamento e produtividade, isto é, na medida em que horas de treinamento aumentam, também 
cresce a produtividade, e vice-versa. Dizemos, então, que há uma correlação positiva.
Podemos também medir o agrupamento dos valores pelo coeficiente de correlação que irá variar de 
–1 a 1. Quando r está próximo de 1, existe forte correlação positiva.Quando r está próximo de –1, existe 
forte correlação negativa. Quando r está próximo de zero, dizemos que não existe correlação.
No exemplo anterior considerado, temos r= 0,92; o que significa que horas de treinamento e 
produtividade estão fortemente correlacionadas positivamente.
Para calcularmos o coeficiente de correlação, basta usarmos a fórmula dada por:
Para o exemplo anterior, teríamos:
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QUALIDADE
Nesse caso, como há uma forte correlação positiva, podemos ajustar uma equação da reta (regressão) 
para prever o comportamento desse fenômemo por uma equação. Utilizando a equação a seguir, para a 
determinação do coeficiente angular:
Como a equação da reta é descrita por:
y = ax + b
y = 2,34x + b
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Unidade II
Para acharmos o valor da constante b, devemos utilizar a fórmula:
Portanto, a equação que define a regressão será da seguinte fórmula:
y = 2,34x + 22,9
Exercícios:
1. Com base na tabela abaixo:
X 2 3 5 5 10
Y 6 9 14 16 30
A. Construa o diagrama de dispersão.
B. Ache o coeficiente de correlação.
C. Se houver correlação, faça o ajuste da regressão.
2. Com base na tabela abaixo:
X 2 3 5 5 10
Y 6 0 15 5 2
A. Construa o diagrama de dispersão.
B. Ache o coeficiente de correlação.
C. Se houver correlação, faça o ajuste da regressão.
8.7 Histograma
Com o objetivo de conhecer as características da distribuição associada a alguma população de 
interesse, retiramos uma amostra dessa população e medimos, para os elementos da amostra, os valores 
assumidos pela variável considerada. Portanto, uma ferramenta que nos permite resumir as informações 
contidas em um grande conjunto de dados será muito útil nesse contexto.
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QUALIDADE
O Histograma é um gráfico de barras no qual o eixo horizontal, subdividido em vários pequenos 
intervalos, apresenta os valores assumidos por uma variável de interesse. Para cada um desses intervalos 
é construída uma barra vertical, cuja área deve ser proporcional ao número de observações na amostra 
cujos valores pertencem ao intervalo correspondente.
Exemplo: Medidas de 30 arruelas foram realizadas e os seguintes dados foram obtidos:
228 230 227 228 228 229
229 230 228 228 230 229
230 231 229 230 230 228
226 228 228 231 231 229
226 229 227 227 227 228
1 - Determina-se o maior e o menor número dos dados brutos, então, calcula-se a amplitude R, 
diferença entre o maior e o menor valor daqueles números
R = 231 - 226 = 5
2 - Divide-se a amplitude total R em um número conveniente de intervalo em classes usando a 
seguinte tabela:
Número de elementos Número de classes (k)
< 50 5 - 7
51 - 100 6 - 10
101 - 250 7 - 12
> 250 10 - 20
Para o nosso caso, N = 30 (<50) - K = 5. Dividindo a amplitude R por K (5/5), encontraremos o valor = 1
3. Calculam-se os intervalos de classe. Para o primeiro, pegar o menor valor (226) e somar 1. Para o 
segundo, pega-se o próximo valor e soma-se 1. Assim por diante até chegar ao maior valor (231). 
Em seguida, determina-se o número de observações que cai dentro de cada intervalo e completa-
se a tabela a seguir.
Intervalo frequência
226,00 < 227 2 **
227,00 < 228 4 ****
228,00 < 229 9 *********
229,00 < 230 6 ******
230,00 < 231 6 ******
231,00 < 232 3 ***
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Unidade II
4. Plota-se o gráfico
Exercício: Dado a tabela abaixo, construir o Histograma correspondente:
14 15
12 13
13 12
11 14
12 13
13 14
16 13
14 15
14 16
15 12
17 12
14 13
11 14
8.8 A curva normal
A variação natural de muitos processos industriais é realmente aleatória. Embora as distribuições de 
muitos processos possam assumir uma variedade de formas, muitas variáveisobservadas possuem uma 
distribuição de frequências que é, aproximadamente, uma distribuição de probabilidade normal.
Probabilidade é a chance real de ocorrer um determinado evento, isto é, a chance de ocorrer uma 
medida em um determinado intervalo. Por exemplo, a frequência relativa desse intervalo, observada a 
partir de uma amostra de medidas, é a aproximação da probabilidade, e a distribuição de frequências e 
a aproximação da distribuição de probabilidades.
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QUALIDADE
Para achar a área sob a curva normal devemos conhecer dois valores numéricos (também chamados 
de parâmetros), a média m e o desvio padrão σ. 
Para se ter uma magnitude da situação, veja a tabela a seguir:
Teste de Normalidade:
Imagine a situação típica em que possuímos um conjunto de dados e estamos interessados em 
constatar se eles são provenientes de uma população (distribuição) normal.
Inicialmente faríamos um histograma que nos permitiria ter uma primeira impressão visual, o 
que é extremamente útil para detectarmos caso em que as observações são tão divergentes de uma 
distribuição normal que bastaria apenas essa impressão visual para admitirmos a não-normalidade.
Considere o seguinte exemplo:A característica de interesse de uma barra de aço usada em uma parte 
maior era o seu comprimento. Para analisá-la foram efetuadas medidas em 200 barras restantes de 40 
amostras de tamanho 5 cada uma. Os resultados foram:
37 34.2 29.7 30.4 32 33.4 31 30.5 28.5 28.4
37.8 35.1 33.9 31.7 32.3 29.8 29.2 30.5 31.1 30
32.3 31.9 35 36.2 40.4 33.6 35 29.3 31 28.8
29 30 29.5 29.9 30.1 32.1 31.8 33.5 33.4 35.9
37 34.2 29.7 30.4 32 33.4 31 30.5 28.5 28.4
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37.8 35.1 33.9 31.7 32.3 29.8 29.2 30.5 31.1 30
32.3 31.9 35 36.2 40.4 33.6 35 29.3 31 28.8
29 30 29.5 29.9 30.1 32.1 31.8 33.5 33.4 35.9
37 34.2 29.7 30.4 32 33.4 31 30.5 28.5 28.4
37.8 35.1 33.9 31.7 32.3 29.8 29.2 30.5 31.1 30
32.3 31.9 35 35.2 40.4 33.6 35 29.3 31 28.8
29 30 29.5 29.9 30.1 32.1 31.8 33.5 33.4 35.9
37 34.2 29.7 30.4 32 33.4 31 30.5 28.5 28.4
37.8 35.1 33.9 31.7 33.4 29.8 29.2 30.5 31.1 30
32.3 31.9 35 36.2 40.4 33.6 35 29.3 31 28.8
29 30 29.5 29.9 30.1 32.1 31.8 33.5 33.4 35.9
37 34.2 29.7 30.4 32 33.4 31 30.5 28.5 28.4
37.8 35.1 33.9 31.7 32.3 29.8 29.2 30.5 31.1 30
32.3 31.9 35 36.2 40.4 33.6 35 29.3 31 28.8
29 30 29.5 29.9 30.1 32.1 31.8 33.5 33.4 35.9
Visualmente, não podemos afirmar com exatidão pelo histograma, se essa distribuição é normal. 
Dessa maneira, aplicando o teste da normalidade, podemos encontrar seis tipos de curvas (figura a 
seguir). As curvas (1, 2 e 3) são consideradas como situações de normalidade. Enquanto as demais (4, 5 
e 6) são consideradas situações de não normalidade.
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Normal Probability Plot
Como pode-se perceber, pelo teste da normalidade, essa curva se aproximou da figura 5, o que nos 
sugere que essa distribuição não é normal.
Considere, agora, a média das médias de cada sub-grupo de 5 medidas e representadas na tabela a 
seguir, iremos aplicar o teste da normalidade.
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34.62 33.08 31.56 31.72 33.36 32.46 31.6 30.86 30.5 30.30
34.78 33.26 32.4 31.98 33.42 31.74 31.24 30.86 31.02 30.62
33.68 33.62 32.62 32.88 35.04 32.50 32.40 30.62 31 30.38
33.02 32.24 31.52 31.62 32.98 32.20 31.76 31.46 31.48 31.80
Fazendo o Histograma:
Aplicando o teste da normalidade:
Normal Probability Plot
Nessa condição, a curva se aproxima do caso 6, o que nos sugere uma situação de normalidade.
Informações:
www.sepi.unip.br ou 0800 010 9000